线性规划

G 11 G 12 E 1 L 1 I 1
t t t
t
t
t
t
t
t 1 , 2 , ,T
S2 S2

G 22 G 23 E 2 L t 2 I t 2
（2）设水库的蒸发渗漏损失与水库蓄水量满足某一线性关系，则有
E1 E2
t
S 1 t S 1 t 1 1 2 S 2 t S 2 t 1 2 2
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3)基可行解与可行基：满足非负条件的基解 称为基可行解；基可行解对应的基B即为可 行基。 4)最优解
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简单线性规划的求解—图解法

求解模型：
max z 6 x 1 4 x 2 ;
2 x 1 3 x 2 100;
4 x 1 2 x 2 120;
max z 1 G 11 G 12 G 22 G 23
t t t t 1 T

t
L
2
t 1
L 2 3 E1 E t 2
t

t

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3、应用二：水库调度问题

约束条件：

（ 1）满足水量平衡约束
S1 S1
t t t 1 t 1

（2）城市供水能力的约束
S (t ) X (t ) q (t ) X (t ) 0
t 0 , 1 , 2 , , T
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4、应用三：城市需水预测问题

变量说明：
X ( t ) [ x 1 ( t ), x 2 ( t ),, x n ( t )] T

为n部门的产出；
为各部门最终需求上限向量； 为各部门最终需求下限向量； 为各部门用水系数向量；

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建立优化模型的步骤为： 1）根据研究问题的性质决定决策变量； 2）根据问题的目标，列出与决策变量有关 的目标函数； 3）根据问题的限制条件，列出与决策变量 有关的约束条件。
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几个概念


1）可行解与可行域：在标准lps中，满足约束 条件和非负条件的解称为可行解，可行解的集 合 D { X AX b, X 0} 称为可行域。 2）基.基变量与基解：对于LPS的约束方程 AX=b的秩r（A）=m，B是A的m阶可逆子阵， 则称B是LP的一个基。其中B的任一列向量Pj称 为向量机，对应的决策变量xj称为变量基，变 量基之外的决策变量称为非变量基。
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3)基可行解与可行基：满足非负条件的基解 称为基可行解；基可行解对应的基B即为可 行基。 4)最优解
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2、应用一：供水合理分配问题

设有甲、乙两个水厂同时向某城市A、B、C 三区供水。
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2、应用一：供水的合理分配问 题


甲水厂的日供水量为28万立方米/日，乙水厂的日 供水量为35万立方米/日； 三个区的日需水量分别为A≥10万立方米/日， B≥15万立方米/日，C≥20万立方米/日。 各输水单位水费分别为c11=1.2，c12=1.5，c13=1.1， c21=1.1，c22=1.3，c23=1.4。试作出在满足对三个区 供水的情况下，输水费用最小的方案。
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2、应用一：供水的合理分配问 题

建立的数学模型如下：

设甲水厂向三个区日供水量为x11、x12、x13，乙水厂向 三个区日供水量为x21、x22、x23。求供水量佳方案应选 输水费用最小为目标函数，即
min z c 11 x 11 c 12 x 12 c 13 x 13 c 21 x 21 c 22 x 22 c 23 x 23 1.2 x 11 1.5 x 12 1.1 x 13 1.1 x 21 1.3 x 22 1.4 x 23
T n
m ax
z
t 0
t V ( t ) X ( t )( 1 ) i i i 1
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4、应用三：城市需水预测问题

模型的约束条件有：

（1）设在期间t，LY（t）为最终需求的下限向量；UY （t）为最终需求的上限向量，则
( I A R ) X ( t ) UY ( t ) ( I A R ) X ( t ) LY ( t )
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3、应用二：水库调度问题

设某市有二个年调节水库，求二库联合供 水的最佳调度方案。
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3、应用二：水库调度问题

在水库优化调度中，其目标函数可选用效 益最大或水资源利用程度最高等目标。本 例选用水资源利用程度最高为目标，即要 求联合调度方案以供水量最大，弃水量最 小为目标函数。
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其它形式： 1）求和形式 2）矩阵形式 3）集合形式 4）标准形式 一般形式与标准形式之间的转化
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1、线性规划的基本形式

线性规划模型的基本数学形式为：
式中xj为决策变量，cj、aij、bi为已知常数。 cj为目标函数的系数，又称价值系数； bi为资源约束常数； aij为技术系数。 括号中表示取三种约束不等式中一种，对一 个具体问题来说它将是唯一的。
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1、线性规划的基本形式

线性规划模型的基本数学形式为：
max z c1 x1 c2 x cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b i 12,, m 21 1 22 2 2n n 2 j 1,2, n a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x 1 , x 2 , x n 0
t t t t
01 02
t

（3）水库的供水量应满足用户需水量要求，即
Ly 1 G 11 Uy 1
t t t t
Ly 2 G 12 G 22 Uy 2 Ly 3 G 23 Uy 3
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t
t
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3、应用二：水库调度问题

约束条件：
S 1 ,S 2
t t t t 1 2 1 2
01 1 02 1 2 2 3
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4、应用三：城市需水预测问题

城市水资源规划中应和城市中的经济发展 计划联系起来，建立受供水约束的投入产 出的线性规划模型，以预测各经济部门的 需水量。
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4、应用三：城市需水预测问题

模型的目标函数是以城市总产值增加极大 为目标，即
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2、应用一：供水合理分配问题

建立的数学模型如下：

需水约束 x 11 x
21 22 23
10 15 20
x 12
x
x 13 x

供水约束
x 11 x 12 x 13 28 x 21 x 22 x 23 35
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2、应用一：供水合理分配问题
x1 , x 2 0
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8、简单线性规划的求解—图 解法


图解法基本原理介绍
（1）求满足约束条件的可行解区。以变量x1，x2为坐标 轴，作2x1+3x2=100和4x1+2x2=120的直线，找出满足约束 条件的可行解域，如图中的阴影区域即为解的可行域。 （2）令目标函数z 6 x 1 4 x 2 d , d 0 ，显然目标函数z是随着d 值而变化的一组平行线。变量d值，使z在可行域内平行移 动求出z的最大值，即可行域的凸点C，z=200，x1=20， x2=20。C点即为最优解。

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8、简单线性规划的求解—图 解法

图解法基本原理介绍
E=6x1+4x2=200 4x1+2x2=120 E=2x1+3x2=100
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8、简单线性规划的求解—图 解法

从上述求解过程，可得到以下几点：


（1）线性规划所有可行解组成的集合的凸集，没有凹 入和孔洞部分，是一个实心域，如图的阴影部分。 （2）如果线性规划问题有最优解存在，它只能在可行 域的凸点上找到，如图中的A、B、C、D点。每一个凸 点都对应一组解，称之为基础可行解。使目标函数值 最大（或最小）的基础可行解称为线性规划问题的最 优解。 （3）若可行域为有界，则线性规划问题一定有最优解， 且必定在某顶点处得到；若可行域为无界，则不一定 有最优解存在。当目标函数可能在多于一个顶点处达 到最大值时，则该线性规划问题有无穷多个最优解。
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几个概念


1）可行解与可行域：在标准lps中，满足约束 条件和非负条件的解称为可行解，可行解的集 合 D { X AX b, X 0} 称为可行域。 2）基.基变量与基解：对于LPS的约束方程 AX=b的秩r（A）=m，B是A的m阶可逆子阵， 则称B是LP的一个基。其中B的任一列向量Pj称 为向量机，对应的决策变量xj称为变量基，变 量基之外的决策变量称为非变量基。
第三讲 水资源系统优化问题 （线性规划）
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