线性规划详细

一、线性规划数学模型的建立
建立线性规划数学模型是解决线性规划问题的一 个重要步骤。
建立的线性规划数学模型是否真正的反映客观实 际，数学模型本身是否正确，都直接影响求解结果， 从而影响决策结果，所以，建立正确的线性规划模 型尤为重要。下面举例说明线性规划数学模型的建 立。
例1：（产品组合问题）
某厂利用A、B两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下：
设未知数 目标函数 约束方程
这里生产方案指的是如何安排甲、乙产品的产量。显然，产量是未知 数。
① 设：甲产品的产量为 x1 T/日 乙产品的产量为 x2 T/日
② 决策准则是产值最大，用 Z 代表产值，则有： Z=3x1+2x2 Z 是x1、x2 的函数，称为目标函数，目标是求极大值， 即：max
2万m3
1.4万m3
设 x1、x2 分别为第一、第二化工厂每天处理的工业污水量。
约束条件： 第一化工厂到第二化工厂之间的污水含量要不大于 0.2%
(2 - x1) / 500 2 / 1000
流经第二化工厂后，河流中的污水含量仍不大于 0.2%
[0.8(2 - x1) + (1.4- x2)] / 700 2 / 1000
单位产品 消耗原料
产品名称
原料名称
A B
产品售价 （千元/T）
甲乙
12 21 32
可供利用的原料 数量（T/日）
6 8
根据市场调查，有如下资料： 1.乙产品的需求量至多 2 T/日; 2.乙产品的需求量比甲产品的需求量至多大 1 T/日。 求该厂产值最大的生产方案。
提出三个问题大家考虑： 1.问题的未知数是什么？ 2.以什么准则进行决策？ 3.约束条件是什么？
x1, x2 , x3, x4 , x5, x6 , x7 , x8 0
二、线性规划问题的共同特征 （模型的三要素）
⑴ 每一个问题都用一组决策变量(x1，x2，…，xn)表示某
一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案。一般 这些变量取值都是非负的。 ⑵ 存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性 等式或线性不等式来表示。 ⑶ 都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函 数（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求目标 函数实现最大化或最小化。
x2 1.4
x1 0， x2 0
例3、配料问题（min, )
某厂生产一种胶丸， 已知如下资料：
设 x1, x2分别代表每粒胶丸
中甲、乙两种原料的用量
例4、合理下料问题
用7.4m长的钢筋，分别截取2.9m、2.1m、1.5m各 至少100根，要求用料最少。
设 xj 分别代表采用切割方案1~8所需7.4米的钢
污水处理量限制
x1 2，x2 1.4，x1 0，x2 0
目标函数： 要求两厂用于处理工业污水的费用最小
min z = 1000 x1+800 x2
整理得数学模型：
目标函数： min z = 1000 x1 + 800 x2
约束条件： s.t.
x1 1
0.8 x1 + x2 1.6 x1 2
③ 约束条件（分三部分：资源限制、市场限制、非负限制）
x1+2x2≤6
约 束
2x1+x2≤8
条 x2≤2
件 x2 -x1≤1
x1，x2≥0
资源限制 市场限制 非负限制
例 2．靠近某河流有两个化工厂（见图），流经第一化工厂的河 流流量为每天 500 万 m3，在两个工厂之间有一条流量为每天 200 万 m3 的支流。第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污水 2 万 m3，第二化工厂每天排放这种工业污水 1.4 万 m3。从第一化工 厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有 20%可以自然净化。根 据环保要求，河流中工业污水的含量不应大于 0.2%。这两个工厂 都需各自处理一部分工业污水。第一化工厂处理工业污水的成本 是 1000 元/万 m3，第二化工厂处理工业污水的成本是 800 元/万 m3。 现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水， 使这两个工厂总的处理工业污水费用最小。
线性规划问题及单纯形法
线性规划问题及其数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法计算步骤 Matlab计算线性规划问题
一、 线性规划问题及其数学模型
线性规划在经营管理中，常常用来解决有 限资源（人、财、物）的合理分配问题。在 经营管理中，几乎一切问题都与有限资源的 合理分配利用有关。线性规划为解决有限资 源的合理分配利用提供了一个有效的数学工 具。
三、线性规划数学模型的一般表示方式
max(min)Z( x) c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12 x2 a1n xn (, )b1
s.t.
a21x1 a22 x2
a2n xn
(, )b2
am1x1 am2 x2 amn xn (, )bm
x1, x2 ,, xn 0
筋的数量。
若目标函数为使购买的7.4m钢筋最少, 则有
min Z (x) x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
2x1 x2 x3 x4 100
s.t.
x1
2x2 x3 3x5 2x6 x7 x3 3x4 2x6 3x7 4x8
100 100
x1, x2 , x3, x4 , x5 , x6 , x7 , x8 0
解）。
1.和式
n
max Z (x) c j x j j 1
若目标函数为余料最少, 则有
min Z (x) 0.1x1 0.3x2 0.9x3 0x4 1.1x5 0.2x6 0.8x7 1.4x8
2x1 x2 x3 x4 100
s.t.
x1
2x2 x3 3x5 2x6 x7 x3 3x4 2x6 3x7 4x8
100 100
n : 变量个数; m : 约束行数; n m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数 ; bi : 右端项; aij : 技术系数
求解线性规划问题的任务是：在满足
约束条件的所有(x1，x2，…，xn)（可行 解）中求出使目标函数达到最大(小)z 值 的决策变量值(x1*，x2*，…，xn*)（最优