线性规划简介
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题1. 线性规划问题简介线性规划是一种常见的数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数取得最大（或者最小）值的变量取值。
2. 动态规划方法概述动态规划是一种通过将问题分解为子问题并逐步解决的方法。
它适合于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
对于线性规划问题，动态规划方法可以通过将问题分解为多个子问题，并利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
3. 动态规划方法求解线性规划问题的步骤步骤1: 定义状态首先，我们需要定义状态变量。
对于线性规划问题，状态变量可以是目标函数的值，或者是满足约束条件的变量取值。
步骤2: 定义状态转移方程接下来，我们需要定义状态之间的转移关系。
对于线性规划问题，状态转移方程可以表示为：dp[i] = max(dp[i-1] + a[i], a[i])其中，dp[i]表示第i个状态的最优值，a[i]表示第i个状态的值。
步骤3: 初始化状态在动态规划方法中，我们需要初始化第一个状态的值。
对于线性规划问题，我们可以将第一个状态的值设置为目标函数的初始值。
步骤4: 递推求解最优解接下来，我们可以使用状态转移方程递推求解最优解。
通过计算每一个状态的最优值，我们可以得到整体问题的最优解。
步骤5: 回溯求解最优解最后，我们可以通过回溯的方式求解最优解的具体取值。
通过追踪每一个状态的转移路径，我们可以找到使目标函数取得最大（或者最小）值的变量取值。
4. 动态规划方法求解线性规划问题的实例为了更好地理解动态规划方法求解线性规划问题的过程，我们来看一个具体的实例。
假设有一个线性规划问题，目标是最大化目标函数：maximize 3x + 4y约束条件为：2x + y <= 10x + 3y <= 15x, y >= 0我们可以按照以下步骤使用动态规划方法求解该线性规划问题：步骤1: 定义状态我们定义状态变量为目标函数的值，即dp[i]表示目标函数的值为i时的最优解。
线性规划PPT课件
线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义
2 线性规划
第一节 线性规划问题及其数学模型
可加性假定：每个决策变量对目标函数和约
束方程的影响是独立于其他变量的，目标函 数值是每个决策变量对目标函数贡献的总和 连续性假定：线性规划问题中的决策变量应 取连续值。 确定性假定：线性规划问题中的所有参数都 是确定的参数。线性规划问题不包含随机因 素。
约 束 方 程
约束条件
变量约束
第一节 线性规划问题及其数学模型
线性规划问题隐含的假定： 比例性假定 可加性假定 连续性假定 确定性假定
比例性假定：决策变量变化引起的目标函数
的改变量和决策变量的改变量成比例，同样， 每个决策变量的变化引起约束方程左端值的 改变量和该变量的改变量成比例
≥0
=
≥0
第一节 线性规划问题及其数学模型
标准型的简缩形式
max Z
c x
j j 1
n
j
s .t
n aij x j bi , i 1,2 , , m j 1 x j 0 , i 1,2 , , m
第一节 线性规划问题及其数学模型
或
松弛变量
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n bi
a i 1 x1 a i 2 x 2 a in x n x p bi , x p 0
剩余变量
练习
例:将下列线性规划问题划为标准形式： min Z = x1+3x2
s.t.
6x1+7x28 -x1+3x2-6 x1-x2=3 x10
可行域无界
x1+2x2 10 x2 0 x1
可行域无界
x2
x1 0
线性规划的应用
线性规划的应用1. 简介线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、投资组合、运输问题等。
本文将介绍线性规划的基本概念和应用领域，并以一个实际案例来说明其具体应用。
2. 基本概念2.1 目标函数在线性规划中，我们需要最大化或最小化的目标称为目标函数。
目标函数通常是一个线性函数，表示决策变量的加权和。
2.2 约束条件约束条件是限制决策变量取值范围的条件。
线性规划的约束条件通常是一组线性等式或不等式。
2.3 决策变量决策变量是我们要求解的问题中的未知数，它们的取值将影响目标函数的值。
3. 应用领域3.1 生产计划线性规划可以用于优化生产计划，以最大化产出或最小化成本。
例如，一个工厂需要决定每种产品的生产数量，以最大化总利润。
我们可以将每种产品的利润作为目标函数，将生产数量的约束条件表示为线性等式或不等式。
3.2 资源分配线性规划可以帮助我们合理分配有限资源，以达到最优效益。
例如，一个公司需要决定如何分配有限的人力资源和资金，以最大化销售额。
我们可以将销售额作为目标函数，将人力资源和资金的约束条件表示为线性等式或不等式。
3.3 投资组合线性规划可以用于优化投资组合，以最大化收益或最小化风险。
例如，一个投资者需要决定如何分配资金到不同的投资标的，以最大化投资组合的收益。
我们可以将投资组合的收益作为目标函数，将资金分配的约束条件表示为线性等式或不等式。
3.4 运输问题线性规划可以解决运输问题，以最小化运输成本或最大化运输量。
例如，一个物流公司需要决定如何安排货物的运输路线和运输量，以最小化运输成本。
我们可以将运输成本作为目标函数，将货物的供应和需求、运输路线的约束条件表示为线性等式或不等式。
4. 案例分析假设某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
产品A的生产时间为1小时，产品B的生产时间为2小时。
1.线性规划简介
13
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 Ⅰ 1 2 0 50 元 Ⅱ 1 1 1 100 元 资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题:工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利 最多？
线性规划模型(Ⅰ、Ⅱ产品的产量分别为x1 , x2)： 目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件：s.t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
§2.1
• 一般形式 目标函数： 约束条件： s.t.
线性规划问题的提出
Max（Min）z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ （ =, ≥ ）b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =, ≥ ）bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
大轿车座椅的限制： 非负限制：
5 x1 2.5 x2 2500 x1 400 x1 0, x2 0
分析：问题是如何安排生产使得工厂获利最大？
项目 产品 大轿车 载重车 提供量
生产能力
5 (小时 ⁄ 辆) 2.5 (小时 ⁄ 辆) 2500 (小时 ⁄ 年)
钢材 (吨) 2 2 1600
问题分析: 如何安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产使得工厂 获利最大？ 设定决策变量：设Ⅰ、Ⅱ产品的产量分别为x1 , x2 目标：获利最大的利润 制约条件：生产能力和原材料的供给量
线性规划论文 (5)
线性规划论文简介线性规划是数学规划领域的一种重要方法，用于优化线性目标函数在一系列线性约束条件下的取值。
由于其广泛的应用性和高效的计算方法，线性规划在工程、经济、物流等领域中被广泛应用。
背景线性规划的出现与发展源于对优化问题的研究。
在过去的几十年中，随着计算机技术的进步和算法的优化，线性规划在实践中得到了广泛的应用。
线性规划的主要优点是能够处理大规模的问题，并且提供了一种可行的方式来解决复杂的决策问题。
定义和模型线性规划问题的一般形式可以表示为：最大化（或最小化）目标函数：Z = c₁x₁+ c₂x₂ + ... + cₙxₙ在约束条件下：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，x₁, x₂, ..., xₙ是决策变量，c₁, c₂, ..., cₙ是目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ是约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ是约束条件的右侧常数。
算法和求解线性规划问题的求解可以使用多种算法，包括单纯形法、内点法等。
这些算法基于不同的思想和技巧，通过迭代计算来逼近最优解。
其中，单纯形法是最常用的算法之一，它通过不断地改变基变量和非基变量的组合来寻找最优解。
内点法则是近年来发展起来的一种新的算法，通过在可行域内部搜索最优解。
应用领域线性规划在众多领域中都有广泛的应用。
以下是线性规划常见的应用领域：生产计划与调度通过线性规划，可以优化生产计划和调度问题。
通过设置合理的约束条件和目标函数，可以最大程度地提高生产效率，减少生产成本。
运输与物流规划线性规划在运输和物流规划中也得到了广泛应用。
通过优化物流路径和运输计划，可以降低运输成本，提高物流效率。
金融与投资管理在金融领域中，线性规划可以用于优化投资组合和资产配置，以最大化收益或降低风险。
线性规划--基本概念
线性规划–基本概念简介线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种数学优化技术，用于寻找最佳解决方案。
它被广泛应用于工程、经济学、商业和其他领域，以帮助决策者做出最佳决策。
基本概念1. 线性规划模型线性规划模型由一个目标函数和一组约束条件组成。
目标函数是需要最小化或最大化的线性函数，约束条件是关于决策变量的线性不等式或等式。
2. 决策变量决策变量是影响问题解决方案的变量。
在线性规划中，这些变量通常代表着可供决策者调整的资源或决策参数。
3. 目标函数目标函数是需要优化的线性函数。
在线性规划中，最常见的目标是最大化利润或最小化成本，目标函数通常用代数符号表示。
4. 约束条件约束条件是问题中必须满足的条件。
这些条件通常由一组线性不等式或等式组成，描述了决策变量的限制范围。
5. 最优解线性规划的目标是找到满足所有约束条件下使目标函数达到最小值或最大值的决策变量值。
这些决策变量值组成了最优解。
6. 可行解满足所有约束条件的解决方案被称为可行解。
线性规划求解过程中，需要找到一个可行解才能进行优化。
7. 线性可分线性规划要求问题中的目标函数和约束条件都是线性的。
这意味着这些函数和不等式都可以用直线表示，且在图形上相交于有限个点。
求解方法1. 单纯形法单纯形法是最常用的线性规划求解方法之一。
它通过不断移动目标函数的极值点来寻找最优解，直到无法再改进为止。
2. 内点法内点法是另一种常用的线性规划求解方法，它通过在内部点迭代来逼近最优解。
与单纯形法相比，内点法在大规模问题上具有更好的性能。
3. 混合整数线性规划混合整数线性规划（Mixed Integer Linear Programming，简称MILP）扩展了线性规划，允许决策变量为整数。
这种形式的问题更难求解，通常需要使用分支定界等复杂算法。
应用领域线性规划在许多领域都有广泛的应用：•生产计划：优化生产线的效率和成本。
•供应链管理：优化库存水平和运输成本。
线性规划课件ppt
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
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0 b1 零向量： 0 ；资源向量： b 0 b m
T
第一节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题及数学模型 二、线性规划模型特点 三、线性规划问题的一般形式 四、线性规划问题的标准形式 五、非标准型转化为标准型
i1 1 i2 2 in n i1 1 i2 2 in n i
i
a x a x a x s b , s 0
i i
或
a x a x a x b
i1 1 i2 2 in n
松弛变量
i
a x a x a x s b , s 0
i1 1 i2 2 in n i i i
第一节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题及数学模型 二、线性规划模型特点 三、线性规划问题的一般形式 四、线性规划问题的标准形式 五、非标准型转化为标准型
线性规划问题的标准形式
目标函数： max z c x c x c x
1 1 2 2 n 11 1 12 2 1n n 1
线性规划问题的标准形式
用向量表示为：
目标函数： max z CX P x b j 1 j j 约束条件： j 1,2,, n x j 0, C c1 , c2 ,, cn ;
n
a1 j x1 b1 a2 j x2 b2 X ; Pj ; b ; j 1,2, n x b a n m mj
i
j
i
i
j
j
i
j
ij
课堂练习二
问 题 分 析
变量：从仓库 A 运往 B 的产品数量 设为 x ; i 1,2, j 1,2,3,4
i
j
ij
目标函数：总运费最小 费用函数 c x
2 4 i 1 j 1 ij
ij
约束条件： 从仓库运出总量不超过可用总量，运入零售点的数 量不低于需求量。 由于总供给量等于总需求量，所以都是等号。即
n
a x a x a x b a x a x a x b 约束条件： a x a x a x b x , x , , x 0
21 1 22 2 2n n 2 m1 1 m2 2 mn n 1 2 n
xi1 xi 2 xi 3 xi 4 ai ; i 1,2 x1 j x2 j bj ; j 1,2,3,4
ij
蕴含约束：数量非负 x 0; i 1,2, j 1,2,3,4
课堂练习二
模 型
min s.t.
c
i 1 j 1
2
4
ij
x ij
x i 1 x i 2 x i 3 x i 4 a i ; i 1,2
x1 + x2 5
x1，x2 0
线性规划问题及数学模型
例2 ：
捷运公司拟在下一年度的 1-4 月的 4 个月 内需租用仓库堆放物资，已知各月所需仓库 面积如表一。仓库租借费用随合同期限而定， 合同期越长，折扣越大，具体见表二。租借 仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体 规定租用面积数和期限。该厂可在任何一月 办理租借合同，每次办理一份或若干份均可。 为使租借费用最小，公司应如何选择签订合 同的最优决策？
等式或不等式的两端同乘（ -1 ），则右端 项必大于零
非标准型转化为标准型
例1
min
z x 2 x 3x 2 x x x 9 3x x 2 x 4 s .t . 4 x 2 x 3 x 6 x 0 , x 0 , x 取值无约束
x 1 j x 2 j b j ; j 1,2,3,4 x ij 0; i 1,2, j 1,2,3,4
第一节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题及数学模型 二、线性规划模型特点 三、线性规划问题的一般形式 四、线性规划问题的标准形式 五、非标准型转化为标准型
线性规划问题的一般形式
x11 + x12 +x13+x14 15 x12 + x13 +x14+x21 +x22+x23 10 x13 + x14 +x22+x23 +x31+x32 20 x14 + x23 +x32+x41 12 xij 0 (i =1,…,4; j =1,…,4)
第一节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题及数学模型 二、线性规划模型特点 三、线性规划问题的一般形式 四、线性规划问题的标准形式 五、非标准型转化为标准型
线性规划模型特点
决策变量：向量(x1… xn)T 考虑和控制的因素非负 约束条件：线性等式或不等式 决策人要
目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z 极大或极小
变量：每天生产三种产品的数量，分别设为
x1 , x2 , x3
目标函数：每天的生产利润最大， 利润函数 3x 5 x 4 x 约束条件： 每天原料的需求量不超过可用量： 原料 P ： 2 x 3x 1500 原料 P ： 2 x 4 x 800 原料 P ： 3x 2 x 5 x 2000 蕴含约束：产量为非负数
非标准型转化为标准型
练习一： 将minZ= 0.15x1 + 0.25x2 + 0.1x3 50x1 + 150x2 + 90 x3 175 100x2 - 50x3 -30 70x1+ 10 x2 200 30x1 + 80x2 + 200 x3 100 xi 0 (i =1,2) 化为标准型
1 2 3 4 5 1 2 3 4 6 1 2 3 4 j
非标准型转化为标准型
例2
min z x1 x2 2 x 1 x 2 2 x1 2 x 2 2 s .t . x1 x 2 5 x1 0 max z x 1 x 2 x 3 -2 x1+x2-x3+x4=2 x1-2x2+2x3+x5=2 s .t . x1+x2-x3+x6=5 x 0; j 1, … ,6 j
n
线性规划问题的标准形式
目标函数： max z c j x j
j 1 n
a x b , i 1, 2, , m ij j i 约束条件： j 1 x j 0, j 1, 2, , n 标准形式的规定：
n
（1） 目标函数是求最大值 （2） 所有约束条件均用等式表示 （3） 所有决策变量均取非负数 （4） 所有右端项常数均为非负数
线性规划问题的一般形式
max(min) Z
C
j 1
n
j
X
j
n aij X j bi (i 1,2, , m) j 1 X j 0( j 1,2,量
技术系数
右端项常数
线性规划问题的一般形式
“线性”的含义
比例性：决策变量变化引起目标的改变量与决 策变量改变量成正比 可加性：每个决策变量对目标和约束的影响独 立于其它变量 连续性：每个决策变量取连续值 确定性：线性规划中的参数aij , bi , cj为确定值
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
非标准型转化为标准型
例1
max z x 2 x 3x 3 x 0 x 0 x
1 2 3 4 5
6
2 x x x x x 9 3 x x 2 x 2 x x 4 s.t. 4 x 2 x 3 x 3 x 6 x 0, j 1,,6
线性规划问题及数学模型
表1
月份
所需仓库面积
单位：100m2
1
15
2
10
3
20
4
12
表2
合同租借期限 1个月 合同期内 的租费 2800
单位：元/100m2
2个月 3个月 4个月 4500 6000 7300
线性规划问题及数学模型
minZ= 2800（ x11 + x21 +x31+x41 ） +4500（ x12 + x22+x32）+6000（ x13 + x23 ）+7300x14
剩余变量
非标准型转化为标准型
3. 变量的转换
（1）若存在取值无约束的变量xk，可令,
xk x x
' k
' k " k
" k
其中，
x ,x 0 （2）若 x 0 ，可令x x
'
k
k
k
,显然
x 0
' k
非标准型转化为标准型
4. 右端项常数的转换
若约束条件的右端项
b 0
i
时，只需在
线性规划问题及数学模型
例1
生产计划问题
Ⅰ 设备A (h) 设备B (h) 调试工序 (h) 0 6 1 Ⅱ 5 2 1 每天可用能力 15 24 5
利润 (元)
2
1
两种家电各生产多少, 可获最大利润?
线性规划问题及数学模型
解:设两种家电产量分别为变量x1 ， x2
max Z= 2x1 +x2
5x2 15 6x1 + 2x2 24
非标准型转化为标准型
目标函数 max(min) z c1 x1 c2 x2 约束条件 a11 x1 a12 x2 a21 x1 a22 x2 am1 x1 am 2 x2 x1 , x2 , a1n xn (, ) b1 a2 n xn (, ) b2 (1.2) am xn (, ) bm , xn 0 (1.3) cn xn (1.1)