第四章 非线性规划 山大刁在筠 运筹学讲义教学内容

第四章 非线性规划教学重点：凸规划及其性质，无约束最优化问题的最优性条件及最速下降法，约束最优化问题的最优性条件及简约梯度法。

教学难点：约束最优化问题的最优性条件。

教学课时：24学时主要教学环节的组织：在详细讲解各种算法的基础上，结合例题，给学生以具体的认识，再通过大量习题加以巩固，也可以应用软件包解决一些问题。

第一节 基本概念教学重点：非线性规划问题的引入，非线性方法概述。

教学难点：无。

教学课时：2学时主要教学环节的组织：通过具体问题引入非线性规划模型，在具体讲述非线性规划方法的求解难题。

1、非线性规划问题举例 例1 曲线最优拟合问题 已知某物体的温度ϕ与时间t 之间有如下形式的经验函数关系：312c t c c t e φ=++ （*）其中1c ，2c ，3c 是待定参数。

现通过测试获得n 组ϕ与t 之间的实验数据),(i i t ϕ，i=1，2，…,n 。

试确定参数1c ，2c ，3c ，使理论曲线(*)尽可能地与n 个测试点),(i i t ϕ拟合。

∑=++-n1i 221)]([ min 3i t c i i e t c c ϕ例 2 构件容积问题通过分析我们可以得到如下的规划模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥=++++=0,0 2 ..)3/1( max 212121222211221x x S x x x x a x x t s x x a V ππππ 基本概念设n T n R x x x ∈=),...,(1，R R q j x h p i x g x f n j i α:,...,1),(;,...,1),();(==, 如下的数学模型称为数学规划(Mathematical Programming, MP)：⎪⎩⎪⎨⎧===≤q j x h p i x g t s x f j i ,...,1,0)( ,...,1,0)( ..)( min 约束集或可行域X x ∈∀ MP 的可行解或可行点MP 中目标函数和约束函数中至少有一个不是x 的线性函数，称(MP)为非线性规划令 T p x g x g x g ))(),...,(()(1=T p x h x h x h ))(),...,(()(1=，其中，q n p nR R h R Rg αα:,:，那么(MP )可简记为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤ 0)( 0 ..)( min x h g(x)t s x f 或者 )(min x f Xx ∈ 当p=0,q=0时，称为无约束非线性规划或者无约束最优化问题。

否则，称为约束非线性规划或者约束最优化问题。

定义4.1.1 对于非线性规划(MP )，若X x ∈*，并且有X ),()(*∈∀≤x x f x f设计一个右图所示的由圆锥和圆柱面 围成的构件，要求构件的表面积为S ， 圆锥部分的高h 和圆柱部分的高x 2之 比为a 。

确定构件尺寸，使其容积最 大。

则称*x 是(MP )的整体最优解或整体极小点，称)(*x f 是 (MP )的整体最优值或整体极小值。

如果有** ),()(x x X,x x f x f ≠∈∀<则称*x 是(MP )的严格整体最优解或严格整体极小点，称)(*x f 是(MP )的严格整体最优值或严格整体极小值。

定义 4.1.2 对于非线性规划(MP )，若X x ∈*，并且存在*x 的一个 领域}{),0( )(**R x x R x x N n ∈><-∈=δδδδ，使I X x N x x f x f )( ),()(**δ∈∀≤，则称*x 是(MP )的局部最优解或局部极小点，称)(*x f 是(MP )的局部 最优值或局部极小点。

如果有I *** ,)( ),()(x x X x N x x f x f ≠∈∀<δ，则称*x 是(MP )的严格局部最优解或严格局部极小点，称)(*x f 是(MP ) 的严格局部最优值或严格局部极小点。

定义 4.1.3 设0,,,:≠∈∈p R p R x R R f n n n α，若存在0>δ ，使),0( ),()(δ∈∀<+t x f tp x f则称向量p 是函数f(x)在点x 处的下降方向。

定义 4.1.4 设0,,,≠∈∈⊂p R p X x R X n n ，若存在0>t ，使X tp x ∈+则称向量p 是函数f(x)在点x 处关于X 的可行方向。

一般解非线性规划问题的迭代方法的步骤：第一步：选取初始点0,:0x k =； 第二步：构造搜索方向k p ； 第三步：根据k p ，确定步长k t ；第四步：令1k k k k x x t p +=+若1k x +已满足某种终止条件，停止迭代，输出近似最优解1k x +，否则令:1k k =+，转回第二步。

常用规则：1、相邻两次迭代点的绝对差小于给定误差，即1k k x x ε+-<；2、相邻两次迭代点的相对差小于给定误差，即1k kkx x x ε+-<；3、()k f x ε∇<；4、1()()k k f x f x ε+-<第二节 凸函数和凸规划教学重点：凸函数的概念及性质，凸规划的概念、性质及判定。

教学难点：凸规划的概念及性质。

教学课时：4学时主要教学环节的组织：首先介绍凸函数的定义，然后给出凸函数及凸规划的性质。

凸函数的定义及性质：定义 4.2.1 设n R S ⊂是非空凸集，R S f α:，如果对任意的)1,0(∈α有)()1()())1((2121x f x f x x f αααα-+≤-+，S x x ∈∀21,则称f 是S 上的凸函数，或f 在S 上是凸的。

如果对于任意的)1,0(∈α有)()1()())1((2121x f x f x x f αααα-+<-+，21x x ≠则称f 是S 上的严格凸函数，或f 在S 上是严格凸的。

若-f 是S 上的（严格）凸函数，则称f 是S 上的（严格）凹函数， 或f 在S 上是（严格）凹的。

凸函数的性质：定理 4.2.1 设n R S ⊂是非空凸集。

（1）若R R f n α:是S 上的凸函数，0≥α，则 f α是S 上的凸函数； （2）若R R f f n α:,21都是S 上的凸函数，则21f f +是S 上的凸函数。

定理 4.2.2 设n R S ⊂是非空凸集，R R f n α:是凸函数，R c ∈，则集合}{c x fS x c f H S ≤∈=)(),(是凸集。

注：一般来说上述定理的逆是不成立的。

(a) 凸函数 (b)凹函数定理 4.2.3 设n R S ⊂是非空开凸集，R S f α:可微，则 （1） f 是S 上的凸函数的充要条件是)()()()(12121x f x f x x x f T -≤-∇， S x x ∈∀21,其中T nxx f x x f x f ))(,....,)(()(1111∂∂∂∂=∇是函数f 在点1x 处的一阶 导数或梯度。

（2） f 是S 上的严格凸函数的充要条件是)()()()(12121x f x f x x x f T -<-∇， 2121,, x x S x x ≠∈∀证明（1）. 必要性.设f 是S 上的凸函数，对(0,1)α∀∈有：212112((1))()(1)(),,f x x f x f x x x S αααα+-≤+- ∀∈故121121(())()()()f x x x f x f x f x αα+--≤-（4.2.3）由多元函数Taylor 展开式可知：121112121(())()()()(())T f x x x f x f x x x x x ααοα+--=∇-+-将其带入（4.2.3）并令αο+→便便可得到12121()()()()T f x x x f x f x ∇-≤-充分性.设1212112()()()(),T f x x x f x f x x x S ∇-≤- ∀∈对(0,1),α∀∈取12(1)x x x αα=+-，由S 凸知x S ∈，对12,,x x S x x S ∈∈和分别有： 111()()()(),T f x f x x x f x x S +∇-≤ ∀∈（4.2.4）和222()()()(),T f x f x x x f x x S +∇-≤ ∀∈ （4.2.5）将（4.2.4）乘以α，（4.2.5）乘以(1)α-，两式相加得到12121212((1))()()()((1))()(1)(),,T f x x f x f x f x x x x f x f x x x Sαααααα+-==+∇+--≤+- ∀∈（2）. 证明和（1）类似.定理 4.2.4 设n R S ⊂是非空开凸集，R S f α:二阶连续可导，则f 是S 上的凸函数的充要条件是f 的Hesse 矩阵)(2x f ∇在S 上是半正定的。

当)(2x f ∇在S 上是正定矩阵时，f 是S 上的严格凸函数。

（注意：该逆命题不成立。

）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∇22221222222122122122122)()()(....)(...)()()(....)()()(n n n n n x x f x x x f x x x f x x x f x x f xx x f x x x f x x x f x x f x f 凸规划及其性质⎪⎩⎪⎨⎧===≤qj x h p i x g t s x f j i ,...10,)( (MP) ,...,1,0)( ..)( min ⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫===≤∈=q j x h p i x g R x X j i n,...,1,0)(,...,1,0)( 约束集如果(MP)的约束集X 是凸集，目标函数f 是X 上的凸函数，则(MP)叫做非线性凸规划，或简称为凸规划。

凸规划的性质定理 4.2.5 对于非线性规划(MP)，若p i x g i ,...,1),(= 皆为n R 上的凸函数，q j x h j ,...,1),(=皆为线性函数， 并且f 是X 上的凸函数，则(MP)是凸规划。

定理 4.2.6 凸规划的任一局部最优解都是它的整体最优解。

证明：设*x 是凸规划（MP ）的一个局部解，存在则*x 的临域*()N x δ使得**()(),()f x f x x X N x δ≤ ∀∈I若*x 不是（MP ）的整数最优解，则存在x X ∈，使*()()f x f x <又因为f 是凸函数，有*****((1))()(1)()()(1)()()f x x f x f x f x f x f x αααααα+-≤+-<+-=显然，当α充分小时，有**(1)()x x X N x δαα+-∈I出现矛盾。