线性规划
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在实际问题中具有广泛的应用，例如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将对线性规划的相关知识点进行总结，包括线性规划的基本概念、模型建立、解法以及应用场景等方面。
一、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为一个关于决策变量的数学表达式。
2. 约束条件：线性规划的解必须满足一系列线性等式或不等式，称为约束条件。
约束条件可以包括等式约束和不等式约束。
3. 决策变量：线性规划的解决方案通常涉及一组决策变量，这些变量的值可以被调整以满足约束条件并优化目标函数。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
可行解的集合构成了可行域。
二、线性规划模型的建立1. 建立目标函数：根据问题的具体要求，将目标转化为数学表达式，并确定是最大化还是最小化。
2. 建立约束条件：根据问题的限制条件，将约束条件转化为线性等式或不等式。
3. 确定决策变量：根据问题的决策变量，定义需要优化的变量。
4. 确定变量的取值范围：根据问题的实际情况，确定决策变量的取值范围。
三、线性规划的解法1. 图解法：对于二维线性规划问题，可以使用图形方法进行求解。
通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划求解方法，适用于多维线性规划问题。
通过迭代计算，找到目标函数的最优解。
3. 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
整数规划问题通常比线性规划问题更复杂，求解难度更大。
四、线性规划的应用场景1. 生产计划：线性规划可以用于制定最优的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
通过考虑资源限制和需求量，可以确定最佳的生产数量和产品组合。
2. 资源分配：线性规划可以用于优化资源的分配，以达到最大的效益。
例如，可以通过线性规划确定最佳的人员调度、物资采购和设备配置方案。
第二章线性规划
线性规划要研究的两类问题中都包含有约束条件和目 标函数。用数学的方式描述，规划的目的就是在给定 的限制条件（或称约束条件）下，求目标函数的极值 问题（包括极小值和极大值）。
2
线性规划的数学模型
3
解： 设产品 的产量为：1 , 产品 的产量为：x2 x
4
5
6
7
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
15
2.2.3 线性规划求解的可能结局
1、有唯一的最优解
2、有无穷多个最优解 （将目标函数改为 z=4x1+3x2 ）
x2
max z 4 x1 3 x2 x1 2 x2 5 2 x x 4 1 2 s.t. 4 x1 3 x2 9 x1 , x2 0
3x1 2 x2 4 x3 3
3x1 2 x2 4 x3 xs 3
剩余变量
变量xs实际上是原式左端减去右端的差，即 ：
xs 3x1 2 x2 4 x3 3
当约束条件是“ ”型的不等式时，只要将该约 束条件左端减去一个非负的剩余变量即可化为等式。 无论是松弛变量还是剩余变量在决策中都不产生实际价 值，因此它们在目标函数中的系数都应该为零。有时也将松 29 弛变量和剩余变量统称为松弛变量。
2x1+x2=4 D C
x1+2x2=5 B 4x1+3x2=9 O A x1
16
3、无界解
指线性规划问题有可行解，但是 在可行域，目标函数值是无界的， 因而达不到有限最优值。因此线 性规划问题不存在最优解。
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解。
它在经济、管理、工程等领域有着广泛的应用。
线性规划的基本思想是在一组线性约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小的变量取值。
二、线性规划模型线性规划模型由三部分组成：决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要决策的量，通常用符号x表示。
决策变量的取值会影响目标函数的值。
2. 目标函数目标函数是需要优化的函数，通常用符号f(x)表示。
线性规划中的目标函数是线性的，可以是最大化或最小化。
3. 约束条件约束条件是对决策变量的限制条件，通常用不等式或等式表示。
线性规划中的约束条件也是线性的。
三、线性规划的解法线性规划可以使用不同的解法求解，常见的有图形法、单纯形法和内点法。
1. 图形法图形法适用于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等值线，找到最优解的图形位置。
2. 单纯形法单纯形法适用于多维线性规划问题，通过迭代计算，从初始可行解出发，逐步靠近最优解。
3. 内点法内点法是一种近年来发展起来的线性规划求解方法，通过在可行域内不断搜索，逐步趋近最优解。
四、线性规划的应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 生产计划线性规划可以用于确定生产计划中各种资源的最优分配，以满足生产需求并最大化利润。
2. 运输问题线性规划可以用于解决运输问题，确定各个供应点到需求点的最优运输方案，以最小化总运输成本。
3. 金融投资线性规划可以用于优化投资组合，确定不同资产的投资比例，以最大化投资收益或最小化风险。
4. 人力资源管理线性规划可以用于人力资源管理，确定员工的最优分配方案，以满足工作需求并最小化成本。
五、线性规划的局限性线性规划虽然在很多问题中有着广泛的应用，但也存在一些局限性：1. 线性假设线性规划要求目标函数和约束条件都是线性的，这在某些实际问题中可能不符合实际情况。
2. 单一最优解线性规划只能得到一个最优解，而在某些问题中可能存在多个最优解。
线性规划
矿物质（g）
维生素(mg）
0.1
0.05
0.05
0.1
0.02
0.02
0.2
0.2
0.05
0.08
希望建立数学模型，既能满足动物需要，又使总成 本最低的饲料配方
模型
饲料 符号 A1 x1 A2 x2 A3 x3 A4 x4 A5 x5
约 l2 : 12x1 8x2 480 束 12x1 8x2 480 l4 条 3x1 100 l3 : 3x1 100 件 c l4 : x1 0, l5 : x2 0 x1 , x2 0 目标 函数
l1 : x1 x2 50
x2 A
l1 B l2 C Z=3600 l3
线性规划问题的数学模型的一般形式
（ 1）列出约束条件及目标函数 （2）画出约束条件所表示的可行域 （3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值
线性规划问题的标准形式
{
max y=cTx s.t. Ax=b x≥0
求解方法： （1）单纯形法 （2）软件求解:Lindo， Lingo, matlab，sas
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 X2 ROW 72.000000 24.000000 8.000000
Max z 72x1 64x2
z=c (常数) ~等值线
0
l5
Z=0
x1 D Z=2400
运筹学基础-线性规划(方法)
线性规划问题通常由三个基本部分组成，即决策变量、约束条件 和目标函数。决策变量是问题中需要求解的未知数，约束条件是 限制决策变量取值的条件，目标函数是要求最大或最小的函数。
线性规划的应用领域
01
02
03
04
生产计划
在制造业中，线性规划可以用 于制定最优的生产计划，以最 大化利润或最小化成本。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组是由多个线性方程组成的数学模型，描 述了多个变量之间的线性关系。
线性方程组可以用矩阵和向量表示，通过矩阵运算 和代数方法求解。
线性方程组有多种解法，如高斯消元法、LU分解、 迭代法等。
约束条件与目标函数
02
01
03
约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为变量的 上界、下界或等式约束。
目标函数是描述问题目标的数学表达式，通常是最小 化或最大化的线性或非线性函数。
约束条件和目标函数共同构成了线性规划问题的数学 模型。
线性规划的解
线性规划的解是指满足 所有约束条件并使目标 函数取得最优值的变量 取值。
线性规划问题可能有多 个解，也可能无解或无 界解。
最优解的性质包括最优 性、可行性和唯一性。
最优解可以通过求解线 性方程组或使用专门的 优化软件获得。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
01
基本概念
单纯形法是一种求解线性规划问题的迭代算法，通过 不断迭代寻找最优解。
02 1. 初始化 选择一个初始可行解，并确定初始基可行解。
03
2. 迭代
根据目标函数系数和约束条件系数，计算出单纯形表 格，然后进行迭代更新。
运筹学基础-线性规划(方法)
线性规划基本模型
在每次迭代中，单纯形法会根据目标函数的 系数和约束条件，通过一系列的数学运算， 将问题转化为更简单的形式，直到找到最优 解或确定无解。
单纯形法具有简单易懂、易于实现 的特点，是解决线性规划问题最常 用的方法之一。
对偶问题
等式约束
等式约束优化是指在优化问题中包含等式约束的线性规划问题。等式约束通常 表示决策变量之间的关系，满足等式约束是找到最优解的必要条件。
求解算法
对于包含等式约束的线性规划问题，可以采用一些特殊的算法进行求解，如消 元法或拉格朗日乘子法。这些算法能够更高效地处理等式约束，并找到最优解。
05
线性规划的扩展模型
线性规划基本模型
• 线性规划概述 • 线性规划的基本概念 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的优化方法 • 线性规划的扩展模型 • 线性规划的实际应用案例
01
线性规划概述
定义与特点
定义
线性规划是一种数学优化方法，通过 在一定的约束条件下最大化或最小化 一个线性目标函数，来找到一组变量 的最优解。
现状
目前，线性规划已经发展成为一 个成熟的学科分支，有许多成熟 的算法和软件工具可用于解决各 种实际问题。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组
01
线性规划问题通常由一组线性方程组成，这些方程描述了决策
变量之间的关系。
线性方程的解
02
线性方程组可能有多个解，但在线性规划中，我们通常只关心
满足特定约束条件的解。
资源利用
线性规划可以确定最佳的资源利用方案，包括原材料、设备、劳动力等，以最小化生产成本或最大化 利润。
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。
通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。
例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
最优化方法：第2章 线性规划
Z=CBB-1b+(σm+1,
σm+k ,
xm+1
σn
)
CB B-1b+σ m+k
xn
因为 m+k 0，故当λ→+∞时，Z→+∞。
用初等变换求改进了的基本可行解
假设Ｂ是线性规划 maxZ=CX,AX=b,X 0的可行基，则
AX=b
(BN)
XB XN
b
(I,B-1 N)
➢ 若在化标准形式前，m个约束方程都是“≤”的形式， 那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个松弛变 量xn+i (i=12…m)。
➢ 若在化标准形式前，约束方程中有“≥”不等式， 那么在化标准形时除了在方程式左端减去剩余变量使不等式变 成等式以外，还必须在左端再加上一个非负新变量，称为 人工变量．
单纯形法简介
考虑到如下线性规划问题 maxZ=CX AX=b X 0
其中Ａ一个m×n矩阵，且秩为m，ｂ总可以被调整为一 个m维非负列向量，Ｃ为n维行向量，Ｘ为n维列向量。
根据线性规划基本定理： 如果可行域Ｄ={ Ｘ∈Ｒn / ＡＸ=ｂ，Ｘ≥0}非空有界， 则Ｄ上的最优目标函数值Ｚ=ＣＸ一定可以在Ｄ的一个顶 点上达到。 这个重要的定理启发了Dantzig的单纯形法， 即将寻优的目标集中在D的各个顶点上。
非基变量所对应的价值系数子向量。
要判定 Z=CBB-1b 是否已经达到最大值，只需将
XB =B-1b-B-1NX N 代入目标函数，使目标函数用非基变量
表示，即：
Z=CX=(CBCN
)
XB XN
=CBXB +CNXN =CB (B-1b-B-1NXN )+CNXN
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a21x1 + a22x2 + ···+ a2nxn = b2
┆
┆
am1x1 + am2x2 + ···+ amnxn = bm x1，x2，···，xn ≥ 0
[eg.9] 生产计划问题
Ⅰ
问：产品Ⅰ、Ⅱ各生产多少件， 设备台时 1
使利润最大？
原料A
2
原料B
0
利润
50
Ⅱ 限制 1 300台时 1 400kg 1 250kg 100
约束条件： x1 + x2 ≤310
2x1 + x2 ≤ 400
x2
直线G
x2 ≤ 250 x1，x2 ≥ 0
250 A
B
C
直线F
o
D
直线E
x1
200 300
2.约束条件中的常数项bj的灵敏度分析
常数项bj的变化影响的是线性规划的可行域，这就引起了最优 解的变化。
假设设备台时增加了10台，共310台。
(2)不等式(≤，≥) 对于“≤”情况：在“≤”左边加上一个松弛变量（非负），变为等式； 对于“≥”情况：在“≥”左边减去一个剩余变量（非负），变为等式。
注意：松弛变量、剩余变量在目标函数中的价值系数为0, bi≥0,当bi<0 时，在方程两边都乘以-1。
(3)无约束变量
令xk = xk’ - xk”，xk’,xk” ≥ 0，代入即可。
§1 线性规划问题及其数学模型
1.1 问题的提出
Ⅰ
[eg.1] 生产计划问题
设备台时 1
问：产品Ⅰ、Ⅱ各生产多少件， 材料A
4
使利润最大？
材料B
0
利润
2
Ⅱ 限制 2 8台时 0 16kg 4 12kg 3
分析：
目标函数： max z = 2x1 + 3x2
设：产品Ⅰ生产x1件， 约束条件： 1x1 + 2x2 ≤ 8
产品Ⅱ生产x2件。
4x1
≤ 16
这里z为利润函数，
4x2 ≤ 12
max z:表示求z的最大值。
x1，x2 ≥ 0
[eg.2]污水处理问题
环保要求河水含污低于2‰，河水可自身净化20%。 问：化工厂1、2每天各处理多少污水，使总费用最少？
分析： 化工厂1处理污水x1万m3, 500万m3 化工厂2处理污水x2万m3。
D
直线E
x1
200 300
*
1.目标函数中的系数ci的灵敏度分析
直线E方程： x1 + x2 =300 x2 =-x1+300 斜率为-1
直线F方程：0x1 + x2 =250 x2 =0x1+250 斜率为0
直线G方程：2x1 + x2 =400 x2 =-2x1+400 斜率为-2
目标函数： z = c1x1 + c2x2
200万m3
化工厂1 2万m3
1000元/万m3 化工厂2
1.4万m3 800元/万m3
[eg.2]污水处理问题
min z = 1000x1 + 800x2 (2 - x1)/500 ≤ 2/1000 [(1 - 0.2)(2 - x1) + 1.4 - x2]/(500 + 200) ≤ 2/1000 x1 ≤ 2 x2 ≤ 1.4 x1，x2 ≥ 0
弛变量
松弛变量
max z = 2x1 + 3x2
1x1 + 2x2 ≤ 8 ①
4x1
≤ 16 ②
4x2 ≤ 12 ③
x1，x2 ≥ 0
x2
②
Q4
Q3
③
Q2(4,2)
①
x1
Q1
*
➢ 最优生产方案位于直线①、 ②的交点Q2上，故可知设备台时和材料A的 松弛变量都为0；
➢ 交点Q2不在直线③上，材料B的松弛变量大于0.
1z 3
o
②
Q3
③
Q2
①
4 Q1
x1
*
首先取z = 0，然后，使z逐
x2
渐增大，直至找到最优解所对 Q4
应的点。
3
可见，在Q2点z取到最大值。 因此， Q2点所对应的解为最优解。
Q2点坐标为(4，2)。 即: x1 = 4，x2 = 2
②
Q3
③
Q2(4,2)
①
4 Q1
*
x1
*
∴由此求得最优解：x1* = 4 x2* = 2 最大值：max z = z* = 2x1 + 3x2 = 14(元)
Bread or Cookies ?
1.4 图解法的灵敏度分析
灵敏度分析：建立在数学模型和求得最优解之后，研究线
性规划的一些系数ci,aij,bj的变化对最优解产生什么影响？
max z = c1x1 + c2x2 + ···+ cnxn
a11x1 + a12x2 + ···+ a1nxn = b1
求解结果的几种情况讨论： (1)唯一最优解 max z = z*时，解唯一，如上例。
(2)无穷多最优解
[eg.4] 对eg.1，若目标函数
②
x2
Q4
Q3(2,3)
③
3
z = 2x1 + 4x2，此时表示 目标函数的直线与表示
Q2(4,2)
① *
条件①的直线平行，
o
最优点在线段Q3Q2上。
即存在无穷多最优解。
a11x1 + a12x2 + ···+ a1nxn ≤(=, ≥) b1
a21x1 + a22x2 + ···+ a2nxn ≤(=, ≥) b2
┆
┆
am1x1 + am2x2 + ···+ amnxn ≤(=, ≥) bm x1，x2，···，xn ≥ 0
cj为价值系数, bi为资源，
aij为技术系数(i=1,…,m;j=1,…,n)
这里min z:表示求z的最小值。
两例的共同特征
(1)决策变量：x1，x2，···，xn 。 一组决策变量的值表示为问题的一个方案；
(2)目标函数：max(min)z z为决策变量及其有关的价值系数构成的线性函数;
(3)约束条件 一组线性等式或不等式，互不矛盾。
线性规划的数学模型： max (min)z = c1x1 + c2x2 + ···+ cnxn
2
最大值：max z = z* = 2x1 + 3x2 = 14(元)
Ⅱ 限制 2 8台时 0 16kg 4 12kg 3
最优生产方案下资源消耗的情况： 设备台时：1*4+2*2=8台时 材料A：4*4+0*2=16kg 材料B：0*4+4*2=8kg
➢ 所有可用的设备台时和材料A都消耗完，但材料B有12-8=4的剩余； ➢ 在线性规划中，一个“≤”约束条件中没有使用的资源或能力称之为松
.
1.2 图解法
[eg.3]用图解法求eg.1。
max z = 2x1 + 3x2
1x1 + 2x2 ≤ 8
①
4x1
≤ 16
②
4x2 ≤ 12
③
x1，x2 ≥ 0
解：
(1)建立x1 - x2坐标；
x2
Q4
(2)约束条件的几何表示； 3
(3)目标函数的几何表示；
z = 2x1 + 3x2
x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 3
x1
目标函数： max z = 50x1 + 100x2 约束条件： x1 + x2 ≤310
1.目标函数中的系数ci的灵敏度分析
系数ci的变化影响的是目标函 数的斜率，从图中可以看出：
➢ 目标函数的斜率在直线E和 直线F之间变化，顶点B仍然 是最优解
➢ 如果目标函数的直线按逆时 针旋转，当目标函数的斜率 等于直线F的斜率时，线段 AB上的所有点都是最优解
x2
直线G
250 AB
C
直线F
*
o
直线G
B C
直线F
*
o 1.目标函数中的系数ci的灵敏度分析
D
直线E
x1
200 300
*
系数ci的变化影响的是目标函数的斜率，从图中可以看出：
➢ 目标函数的斜率在直线E和直线F之间变化，顶点B仍然是最
优解
➢ 如果目标函数的直线按逆时针旋转，当目标函数的斜率等于 直线F的斜率时，线段AB上的所有点都是最优解
➢ 原料A的购进量比原料A购进量的最低限多购进了250-125=125t； ➢ 在线性规划中，对于“≥”约束条件，可以增加一些代表最低限约束的
超过量，称之为剩余变量。
1.3 线性规划的标准型
1、标准型
max z = c1x1 + c2x2 + ···+ cnxn
a11x1 + a12x2 + ···+ a1nxn = b1
x1 + x2 ≤ 1
x1，x2 ≥ 0
1
无公共部分，无可行域。
即无可行解。
在实际问题中，可能是关系错。
4
x1
松弛变量
max z = 2x1 + 3x2
Ⅰ
1x1 + 2x2 ≤ 8
设备台时 1
4x1
≤ 16
4x2 ≤ 12
x1，x2 ≥ 0
最优解：x1* = 4 x2* = 2
材料A
4
材料B