0-1线性规划模型
思考题3:
在选课策略问题中如果一个学生在满 足学校有关选课规定条件下,希望毕 业时所学课程获得的学分数尽可能多, 试给出他(她)的一个选课方案.
选课策略问题②的数学模型
选课策略问题②的数学模型与选课策略问 题①的数学模型的约束条件完全一样; 只是目标函数不同.要求”选课门数少 而学分多”意味着同时要求两个决策目 标:
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0;
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0; 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1];
[x z]=bintprog(f,A,b,Aeq,beq)
用Matlab函数bintprog求解这个问题时,
与前面求解选课策略问题①时的 A,b,Aeq,beq数据完全一样,只需把f改为
f=-0.1[8 5 5 2 5 2 -1 -1 2];
后,再执行行命令bintprog=(f,A,b,Aeq,beq) 即可得出
最优解 x=[1 1 1 1 1 1 1 0 1], 目标函数最小值 z=-2.8.
所以,混合接力队的最优组合问题的数 学 模型是下列0-1线性规划问题: Min z=j=14i=15cijxij s.t. j=14xij1,i=1,…,5 i=15xij=1,j=1,…,4 xij{0,1},i=1,…,5,j=1,…,4
这类线性规划问题的特点是决策变量只 取值1或0,故称为0-1线性规划问题.
★我们可以证明 此问题恰有两个解.
证:如果我们再把x4=1作为约束条件(表 示为 -x4-1),求得最优解x=[1,1,1,1,1 1,1,0,0],但对应最优目标值已不是6, 而是7.说明,此解与上面二解不同,不 是选课策略问题①的最优解.再注意观 察:上面两个最优解恰有一个分量,第4 分量,同时为0,由此可见(没有第4分量 为1的最优解),选课策略问题①只有上 述两个解.
Min z=j=19xi Max w=5x1+4x2+4x3+3x4+4x5+3x6+2x7+2x8+3x9
具有多个决策目标的规划称为多目标规划, 前面讲的只有一个目标的规划称为单目 标规划.所以,选课策略问题②的数学模 型是满足约束条件⑵-⑽并有双目标 Min z和 Max w 的0-1线性规划.
0-1线性规划模型
在实际优化问题中存在一类所谓的分派 问题,其含义如下:有若干项任务,每项 任务必须有一人且只能有一人承担,每 人也只能承担其中一项,不同人员承担 不同任务的收益(或成本)不同.优化目 标是:怎样分派各项任务使总收益最大 (或总成本最小).
本节通过若干个实际的分派问题,说明 如何建立这类优化问题的数学模型,并 用Matlab求出最优解及对应的目标函数 最优值,同时对结果作一些分析.
A 混合接力队的最优组合问题
• 问题:某学院准备从5名游泳队员中选择4 人组成学院的接力队,参加校运动会的4 100混合泳接力赛.5名队员b1,…,b5的4种 泳姿(蝶,仰,蛙,自由)a1,…,a4的百米平 均成绩cij,i=1,…,5;j=1,…,4如下表所示. 应如何选择4人组成最优的接力队?
Matlab的函数bintprog专门用来求解01线性规划,下面介绍此函数的使用范围 及使用方法,其理论基础从略.
函数bintprog(f,A,b,Aeq,beq)使用范围
函数linprog(f,A,b,Aeq,beq)用来求解 一般的标准型0-1线性规划:
Min z=cTx s.t. Axb,
由屏幕最后显示结果得:
最优解 x14=x21=x32=x43=1,其它xij=0 目标函数最小值 z=253.2"=413"2
即应该选派b1,b2,b3,b4四人组成接力队参 加混合泳接力比赛,并分别游自由泳,蝶 泳,仰泳,和蛙泳.他们的预期成绩(是一 切可能组合中最好成绩)为:4分13秒2.
思考题1:
双目标规划的一种处理方法
把双目标归结为一个单目标,即令 y=z+(1-)w,为闭区间[0,1]中任一 数,并取决策目标为(Max w=Min(-w)) Min y=z-(1-)w
值的大小体现决策者对每个目标的重 视程度,例如,某同学觉得学分数和课程 数是三七开,故把取为0.7,决策目标 为
Min y=0.7z-0.3w =-0.1(8x1+5x2+5x3+2x4+5x5+2x6-x7-x8+2x9)
建立0-1线性规划模型
引入0-1变量xij,若队员bj参加泳姿ai的比 赛队的,记要x求ij=,1应,否满则足记两x个ij=约0.束根条据件组:成接力
① 每人至多入选4种泳姿之一,应有 j=14xij1,i=1,…,5
② 每种泳姿必须有一人入选 i=15xij=1,j=1,…,4
当队员bj入选泳姿ai时,其成绩为cijxij,于 是接力队的成绩可表为z= j=14i=15cijxij,这就是问题的目标函数.
2x3-x1-x20.
⑹
另外有 2x5-x1-x20
⑺
x6-x70
⑻
x8-x5 0
⑼
2x9-x1-x20
⑽
所以,选课策略问题①的数学模型就是:只
取值0或1的9个决策变量x1,…,x9,满足 约束条件⑵-⑽,并使目标函数⑴取最小
值的0-1线性规划模型.
选课策略问题①数学模型求解
首先,把约束条件⑵-⑷标准化为
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1] b=[1 1 1 1 1];beq=[1 1 1 1]; Aeq=[1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0;
分可将此约束表示为
x1+x2+x3+x4+x52
⑵
x3+x5+x6+x8+x93
⑶
x4+x6+x7+x92
⑷
其次,某些课有先修课的要求,例如,数据
结构的先修课是计算机编程,这意味着
x4=1蕴涵x7=1,这个条件可表示为x4x7或
x4-x70.
⑸
同理,最优化方法的先修课是微积分和线
性代数的条件可表示为x3x1,x3x2,此二 式可合并为一个不等式
在校运会报名时,发现队员b4的蛙泳 成绩有较大退步,只有115"2;而队员 b5训练努力自由泳有明显进步,达到 57"5.
问组成接力队的方案应作如何调整?
B 选课策略问题
问题:某大学规定,运筹学专业学生毕业时 必须至少修过2门数学课,3门运筹学课 和2门计算机课.这些课的编号及信息如 下表所示.
① 给出毕业时选课门数最少的一个方案. ② 给出毕业时选课门数少而学分多的一
解:执行下列Matlab行命令:
f=[66.8 75.6 87 58.6 57.2 66 66.4 53 78 67.8 84.6 59.4 70 74.2 69.6 57.2 67.4 71 83.8 62.4];
A=[1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
关于解的唯一性
一般来说,线性规划问题,包括0-1线性 规划问题的解都不是唯一的,例如对选 课策略问题①,我们先求出一个最优解 x=[1,1,0,0,1,1,1,1,0]; 后又在思考题 5-5中求得另外一个最优解 x=[1,1,1,0,0 1,1,0,1],它们对应的最优目标函数值相 等(=6).说明对应选课策略问题①的0-1 线性规划至少有两个的解★,说明它的解 不唯一.
由屏幕最后显示结果得:
最优解 x1=x2=x5=x6=x7=x8=1, x3=x4=x9=0 目标函数最小值 z=6
即应该选修微积分,线性代数,应用统计, 计算机模拟,计算机编程,预测理论等6 门课,最小选课门数是6.
思考题2:
在选课策略问题①中,如果一个学生 因对最优化方法特有兴趣而把此课定 为必选,仍然希望毕业时所学课程门 数尽可能少,试给出他(她)的一个选 课方案.
个方案.
课程 课程名称 学 所属类别
编号
分
1
微积分 5 数学
2 线性代数 4 数学
3 最优化方法 4 数学,运筹
4 数据结构 3 数学,计算
5 应用统计 4 数学,运筹
6 计算机模拟 3 计算,运筹
7 计算机编程 2 计算
8 预测理论 2 运筹
9 数学实验 3 计算,运筹
先修课
微积分,线性代数 计算机编程
首先,(必要的话)改变z中所有系数的符 号把”Max z”化为”Min z”;把””化 为””.
其次,输入具体的f(=c),A,b,Aeq,beq. 最后执行行命令:
[x z]=bintprog(f,A,b,Aeq,beq) 则输出的x即为最优解;z(或-z)即为目 标函数最小(大)值.
混合接力队优化组合问题求解
Aeqx=beq x=0或1
其中,约束条件除若干不等式Axb外,还 有若干等式Aeqx=beq,A,b;Aeq,beq分别 代表二者的系数矩阵及右端向量.若置 A=[],b=[],则不等式全缺省;若置 Aeq=[],beq=[],则等式全缺省.
函数linprog(f,A,b,Aeq,beq)使用方法
cij(秒) b1 b2 b3 b4
a1 a2 a3 a4 a5 66.8 57.2 78 70 67.4 75.6 66 67.8 74.2 71 87 66.4 84.6 69.6 83.8
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运筹学-0-1规划指派问题PPT课件
在0-1规划问题中，遗传算法通过模拟生物进化过程中的基因突变、交叉 和选择等过程来寻找最优解。算法从一个初始种群出发，通过不断迭代 进化，最终找到最优解。
遗传算法的优点是能够处理大规模、复杂的优化问题，且具有较强的鲁 棒性和全局搜索能力。缺点是算法实现较为复杂，需要较高的计算资源 和时间，且在某些情况下可能会陷入局部最优解。
指派问题通常具有整数约束和 0-1约束，即每个工人只能被分 配一项任务，且每个任务只能 由一个工人完成。
指派问题的解通常具有最优子 结构和局部最优解的特性。
变量定义
• $x{ij}$：如果第i个工人被分配第j项任务，则$x{ij}=1$； 否则$x_{ij}=0$。
目标函数
• $min \sum{i=1}^{n} \sum{ j=1}^{n} c{ij} x{ij}$： 最小化总成本。
04
指派问题在0-1规划中的应用
指派问题的定义
• 指派问题是一种组合优化问题，旨在将一组任务分配给一组工 人，使得总成本最小化。每个工人只能完成一项任务，每项任 务只能由一个工人完成。目标是找到一种最优的分配方式，使 得总成本最低。
指派问题的特点
指派问题具有NP难解的特点， 即没有已知的多项式时间算法 来解决该问题。
04
总结词：整数规划
பைடு நூலகம்
案例三：旅行商问题
总结词：旅行商问题
总结词：图论
详细描述：旅行商问题是一个经典的组合优 化问题，涉及到寻找一条最短路径，使得一 个旅行商能够访问一系列城市并返回出发城 市，同时最小化总旅行距离。
详细描述：图论是研究图形和图形结构的数 学分支，提供了解决旅行商问题和其他优化 问题的理论基础。
在0-1规划问题中，分支定界法将问题分解为多个子问题，每个子问题对应一种指派 方案。算法通过不断排除不可能的解来缩小搜索范围，最终找到最优解。
遗传算法的优点是能够处理大规模、复杂的优化问题，且具有较强的鲁 棒性和全局搜索能力。缺点是算法实现较为复杂，需要较高的计算资源 和时间，且在某些情况下可能会陷入局部最优解。
指派问题通常具有整数约束和 0-1约束，即每个工人只能被分 配一项任务，且每个任务只能 由一个工人完成。
指派问题的解通常具有最优子 结构和局部最优解的特性。
变量定义
• $x{ij}$：如果第i个工人被分配第j项任务，则$x{ij}=1$； 否则$x_{ij}=0$。
目标函数
• $min \sum{i=1}^{n} \sum{ j=1}^{n} c{ij} x{ij}$： 最小化总成本。
04
指派问题在0-1规划中的应用
指派问题的定义
• 指派问题是一种组合优化问题，旨在将一组任务分配给一组工 人，使得总成本最小化。每个工人只能完成一项任务，每项任 务只能由一个工人完成。目标是找到一种最优的分配方式，使 得总成本最低。
指派问题的特点
指派问题具有NP难解的特点， 即没有已知的多项式时间算法 来解决该问题。
04
总结词：整数规划
பைடு நூலகம்
案例三：旅行商问题
总结词：旅行商问题
总结词：图论
详细描述：旅行商问题是一个经典的组合优 化问题，涉及到寻找一条最短路径，使得一 个旅行商能够访问一系列城市并返回出发城 市，同时最小化总旅行距离。
详细描述：图论是研究图形和图形结构的数 学分支，提供了解决旅行商问题和其他优化 问题的理论基础。
在0-1规划问题中，分支定界法将问题分解为多个子问题，每个子问题对应一种指派 方案。算法通过不断排除不可能的解来缩小搜索范围，最终找到最优解。
第二章线性规划模型
m
n
ai bj ,
i 1
j 1
又从产地 Ai到需求点 B j的单位运输成本为 cij , 求相应的运
输方案.
模型建立
设 xij表示从产地 Ai到需求点B j 的运输量, 则合适的运输
方案表现为
n
对产量的要求
xij ai
i 1, 2, ,m;
j 1
m
对需求量的要求 xij bj i 1
第五年 x54 1.0235x44 1.06x31,
投资收益函数为
z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54.
由此得到该问题的数学模型
max z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54,
s.t.x11 x14 120,
项目C: 于第二年的年初进行投资, 并于第五年的年末完成 成投资, 投资收益为21.5%, 投资额不超过40万； 项目D: 于每年的年初可进行投资, 并于当年末完成, 投资 收益为2.35%.
该公司现有资金120万, 试为该公司制定投资计划.
模型建立
以i 1, 2,3, 4,5代表年份, j 1, 2,3, 4分别表示4个项
0.1x1 0.3x2 0.9x3 1.1x5 0.2x6 0.8x7 1.4x8,
由此得到该问题的数学表达式:
min z 2.92x1 x2 x3 x4 200 2.12x2 x3 3x5 2x6 x7 200 1.5 x1 x3 3x4 2x6 3x7 4x8 200
3 2
x2
C
D
E
A
1
用Lingo求解整数(0-1)规划模型
要求：
1、建立数学模型， 2、用lingo循环语句编写程序.
上机作业题 人员安排问题
某城市的巡逻大队要求每天的各个时间段都有一
定数量的警员值班, 以便随时处理突发事件, 每人连续 工作6h, 中间不休息. 如表所示是一天8个班次所需值 班警员的人数情况统计:
班次
时间段
人数 班次
时间段
人数
1
6:00～9:00
例 4 求函数 z x 22 y 22 的最小值.
例 4 求函数 z x 22 y 22 的最小值.
解: 编写Lingo 程序如下:
min=(x+2)^2+(y-2)^2; @free(x); 求得结果: x=-2, y=2
二、Lingo 循环编程语句
(1) 集合的定义 包括如下参数: 1) 集合的名称.
12,8 3,0; enddata
!数据赋值;
max=@sum(bliang(i):a(i)*x(i)); !目标函数;
@for(yshu(j):@sum(bliang(i):x(i)*c(j,i))<=b(j));
!约束条件;
例6：人员选拔问题
队员号码 身高 / m 位置 队员号码 身高 / m 位置
例 2 用Lingo软件求解整数规划问题
min z 2 x1 5 x2 3 x3
4 x1 x2 x3 0
2
x1
4 x2
2 x3
2
x1
x2
x3
2
xi 0 且取整数, i 1, 2, 3
Lingo 程序:
min=2*x1+5*x2+3*x3; -4*x1-x2+x3>=0; -2*x1+4*x2-2*x3>=2; x1-x2+x3>=2; @gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);
1、建立数学模型， 2、用lingo循环语句编写程序.
上机作业题 人员安排问题
某城市的巡逻大队要求每天的各个时间段都有一
定数量的警员值班, 以便随时处理突发事件, 每人连续 工作6h, 中间不休息. 如表所示是一天8个班次所需值 班警员的人数情况统计:
班次
时间段
人数 班次
时间段
人数
1
6:00～9:00
例 4 求函数 z x 22 y 22 的最小值.
例 4 求函数 z x 22 y 22 的最小值.
解: 编写Lingo 程序如下:
min=(x+2)^2+(y-2)^2; @free(x); 求得结果: x=-2, y=2
二、Lingo 循环编程语句
(1) 集合的定义 包括如下参数: 1) 集合的名称.
12,8 3,0; enddata
!数据赋值;
max=@sum(bliang(i):a(i)*x(i)); !目标函数;
@for(yshu(j):@sum(bliang(i):x(i)*c(j,i))<=b(j));
!约束条件;
例6：人员选拔问题
队员号码 身高 / m 位置 队员号码 身高 / m 位置
例 2 用Lingo软件求解整数规划问题
min z 2 x1 5 x2 3 x3
4 x1 x2 x3 0
2
x1
4 x2
2 x3
2
x1
x2
x3
2
xi 0 且取整数, i 1, 2, 3
Lingo 程序:
min=2*x1+5*x2+3*x3; -4*x1-x2+x3>=0; -2*x1+4*x2-2*x3>=2; x1-x2+x3>=2; @gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);
线性规划模型
j 1
i 1
将目标函数和约束条件放在一起，即得指派问题的数学模型.
第i人花费在第j项工作的时间用cijxij表示，在所有的工作中，第i人干仅干一项工作，
若第i人被分配去干第j0项工作，则当j0≠j时，cijxij=0，所以花费的总时间为T
nn
cij xij
.
i1 j 1
n
n
对于第i人，应有 xij 1 ；对于第j项工作，应有 xij 1 .
cT x
Ax b
A
eq
x beq
l b x u b
Matlab中求解线性规划的命令为：
[x，fval]=linprog(c，A，b，Aeq，beg，lb，ub)
其中，x返回的决策变量x的取值，fvla返回的是目标函数的最优值.
注：若没有某种约束，则相应的系数矩阵赋值为空矩阵，如没有等式约束，则令Aeq=[]， beq=[].
（7）模型的分析与评价
在建立线性模型是，总是假定aij，bi，cj都是常数，但实际上这些系数往往是估计值 和预测值，如市场条件一变，aij值就会变化；bi往往因工艺条件的改变而改变；cj是根据 资源投入后的经济效果决定的一种决策选择.因此，这些参数在什么范围内变化时，线 性规划问题的最优解不变.
2.整数规划模型
3. 0-1整数模型
在部分规划问题中，每个需要做的决策只有两种时，可以使用0-1整数规划建模，它的 变量xi仅取值0或1.此类模型可用Lingo和Matlab求解.Matlab中规定0-1整数规划模型中的标准形 式为：
min cT x Ax b
s.t. Aeq x beq
Matlab中求解0-1规划的命令为： [x，fval]=bintprog(c，A，b，Aeq，beq)
用Lingo求解整数(0-1)规划模型.
Lingo 程序: max=2*x1+5*x2+3*x3+4*x4;
-4*x1+x2+x3+x4>=0; -2*x1+4*x2+2*x3+4*x4>=1; x1+x2-x3+x4>=1; @bin(x1);@bin(x2);@bin(x3);@bin(x4);
温州大学城市学院
例 2 用Lingo软件求解整数规划问题 min z 2 x1 5 x2 3 x3
温州大学城市学院
注意:
Lingo 默认变量的取值从0到正无穷大,
变量定界函数可以改变默认状态.
@free(x): 取消对变量x的限制(即x可取任意实数值)
例 4 求函数 z x 2 y 2 的最小值.
2 2
温州大学城市学院 例 4 求函数 z x 2 y 2 的最小值.
,8
温州大学城市学院
温州大学城市学院
上机作业题
要求：
1、建立数学模型，
2、用lingo循环语句编写程序.
温州大学城市学院
上机作业题
人员安排问题
某城市的巡逻大队要求每天的各个时间段都有一 定数量的警员值班, 以便随时处理突发事件, 每人连续 工作6h, 中间不休息. 如表所示是一天8个班次所需值 班警员的人数情况统计:
成绩 甲 乙 丙 丁 自由泳 / s 56 63 57 55 蛙泳 / s 74 69 77 76 蝶泳 / s 61 65 63 62 仰泳 / s 63 71 67 62
甲, 乙, 丙, 丁 四名队员各自游什么姿势 , 才最有可能取得好成绩?
温州大学城市学院
01-线性规划
线形规划解的概念：最优基本解
目标函数： 1 z 42 x 4 x5 ( f max ) 2 令x 4 c 4 , x5 c5 得通解 2 1 x1 4 3 c 4 3 c5 , x 6 1 c 2 4 2 2 1 x3 4 c 4 c5 3 3 x 4 c 4 , x5 c5
x1 x2 x3 x4 x5 1 0 1 0 0 8 A 0 2 0 1 0 12 3 4 0 0 1 36
取x1 , x 2 , x3为基本变量，x 4 , x5为 自由变量，从约束方程 解出 2 1 1 2 1 x1 4 x 4 x5，x 2 6 x 4 , x3 4 x 4 x5 3 3 2 3 3 1 目标函数：z 42 x 4 x5 ( f max ) 2
非标准型LP的标准化:约束函数1
1、bi<0: x1 - 2x2 = -1
⇒ -x1 + 2x2 = 1 例：max z = 3x1 + 5x2 s.t x1 ≤8 2x2 ≤ 12 3x1 + 4x2 ≤ 36 x1, x2 ≥0 为约束不等式左边分别添加松弛变 量x3、x4、x5, 约束变为等式 x1 2x2 3x1 + 4x2 x1, x2 ≥0 + x3 + x4 =8 = 12 （ 1） （ 2） （ 3）
端值的改变量和该变量的改变量成比
例。
可加性假定
每个决策变量对目标函数和约束方
程的影响是独立于其他变量的，目 标函数值是每个决策变量对目标函
数贡献的总和。
连续性假定
线性规划问题中的决策变量应 取连续值。
确定性假定 线性规划问题中的所有参数都是 确定的参数。线性规划问题不包
整数线性规划及0-1规划
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳
甲 1’06”8 1’15”6 1’27” 58”6
乙 57”2 1’06” 1’06”4 53”
讨论 丁蛙泳c43 =69.675.2，戊自由泳c54=62.4
57.5, 方案是否调整？ 敏感性分析？ IP规划一般没有与LP规划相类似的理论，LINDO 输出的敏感性分析结果通常是没有意义的。 c43, c54 的新数据重新输入模型，用LINDO求解
若选择队员i参加泳姿j 的比赛，记xij=1, 否则记xij=0
目标 函数
约束 条件
4
Min
Z
c
j 1 i 1
4
5
ij
x ij
每人最多入选泳姿之一
每种泳姿有且只有1人
x ij 1, i 1, 5
5
x ij 1, j 1, 4
j 1
i 1
模型求解
输入LINDO求解
0-1规划模型
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 先修课要求
约束条件
先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
x 3 x1 , x 3 x 2
2 x 3 x1 x 2 0
x4 x7
应用统计 微积分；线性代数
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。 方法3：化为非线性规划
x1=0 或 80
x2=0 或 80 x3=0 或 80
x 1 ( x 1 80 ) 0
x 2 ( x 2 80 ) 0
x 3 ( x 3 80 ) 0
非线性规划（Non- Linear Programming，简记NLP） NLP 虽 然 可 用 现 成 的 数 学 软 件 求 解 ( 如 LINGO, MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择。 实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出 的最优解时，才能得到正确的结果。
整数规划与01规划
. y j
1, 0,
采用第 j种方式，即x j 0， 不采用第 j种方式，即x j 0
于是目标函数
min z (k1 y1 c1x1) (k2 y2 c2 x2 ) (k3 y3 c3x3 )
23
0-1型整数规划解法之一（过滤隐枚举法）
解0-1型整数规划最容易想到的方法，和一般整数规 划的情形一样，就是穷举法，即检查变量取值为0或1 的每一种组合，比较目标函数值以求得最优解，这就 需要检查变量取值的2n个组合。对于变量个数n较大 （例如n>10），这几乎是不可能的。因此常设计一些 方法，只检查变量取值的组合的一部分，就能求到问 题的最优解。这样的方法称为隐枚举法（Implicit Enumeration），分枝定界法也是一种隐枚举法。当然， 对有些问题隐枚举法并不适用，所以有时穷举法还是 必要的。
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例6
Max
z 3x1 2x2 5x3
x1 2x2 x3 2
x1 x1
4x2 x2 , x3 0或1
求解思路及改进措施：
1.
先试探性求一个可行解，易看出
且相应的目标函数值为 z 3
(
x1,
x2
,
x3
)
(1,
0,
0)
满足约束条件，故为一个可行解，
z 为 。
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小结（续）
z z ii）用观察法找问题A的一个整数可行解，一般可取 xj 0, j 1,L , n 试探，求得其目标函数值，并记作 。以 * 表示问题的最优目标 函数值；这时有 z z* z
其次，进行迭代。
第一步：分枝，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量xj，其值为bj，以[bj]
表示小于bj的最大整数。构造两个约束条件: x j [bj ] x j [bj ] 1
第2章 0-1规划
用自编函数itgm： [r1,r2,ex1,ex2]=itgm(g,a,b,aq,bq) 定出决策变量x1，x2，x3的取值范围： x1：0~3 x2：0~2 x3：0~2
下面用枚举法求解：
k=1; for x1=0:3 for x2=0:2 for x3=0:2 q=[x1 x2 x3]';p=a*q; if p<=b z(k)=f*q; v(k,:)=q'; k=k+1; end end end end [zm,mi]=max(z); x=v(mi,:); zv=[z',v];
解得： ex =1 fv =53
x= 0 1 0 1 0 0 0 0 1
则当x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0， x6=0，x7=0，x8=0，x9=1时，目标函数取 得最小值53。
例2-4 新产品研制，某工厂计划试制4种新产品A1、A2、 A3、A4。现有科研经费40万元，科技人员60名。各新产 品的试制费用、所需科技人员及预期的年利润如表2-1所 示。如果研制产品A2必须先研制产品A1，但产品A1的研 制与产品A2无关。另外该厂想至少研制其中的两种新产 品。问决策者应如何决定研制计划，使该厂获得利润最 大？
表2-6
货物编号i
1
2
3
单位重量（t）
3
4
5
单位价值ci
4
5
6
解：设第i种货物装载件的数量为xi（i=1,2,3），则所述 问题可表为：
max z 4x1 5x2 6x3
s.t.
3x1 4x2 5x3 10
xi
0, xi为整数(i=1,2,3)
f=[4,5,6]; a=[3,4,5]; b=10;
运筹学-9整数规划及0-1变量
学 x1 =0, x7 =1, x8 =0
x1 =0, x7 =0, x8 =1
模 x1 =x7=x8 =0 型 x1 =x7=x8 =1
x1 + x8 =1
x7 + x8 =1
建 (4)开采了A3或A4,就不能开采A5,
立
数 x3 =1, x4 =0, x5 =0
型
x4 1
x3 + x4 1
1，0，1，1
10 防火区只需要1个消防站 11防火区只需要1个消防站
关闭第2消防站，任同样可以负责个
防区的火警。
某公司制造小、中、大3种尺寸的金属容器， 所用的资源为金属板、劳动力和机时见表。 不管每种容器制造的数量是多少,都要支付 一笔固定费用，小号容器是100元,中号容器 是150元,大号容器是200元.现要制定生产计 划,使获得的利润最大?
解：设用 x j = 1 开采 A j 油井. x j = 0 不开采A j油井 目标合适选点，使总利润最大
max Z = 10x1+15x2+25x3+10x4+15x5 +30x6+25x7+30x8+30x9+20x10
s.t.
20x1+25x2+30x3+25x4+40x5 +45x6+35x7+35x8+40x9+25x10 200
+0.93x1010+M(1-y) ‘ Y=0 等价’,而等于没有约束 Y=1 等价’,而等于没有约束
(2) N个约束中选择K个约束的问题
设N个约束可能的约束条件是: f1(x1, x2,…, xn) d1, f2(x1, x2,…, xn) d2, ……………………. fN(x1, x2,…, xn) dN,