0-1线性规划模型
核对输入数据正确之后,键入下列行命令:
[x z]=bintprog(f,A,b,Aeq,beq)
由屏幕最后显示结果得:
最优解 x1=x2=x5=x6=x7=x8=1, x3=x4=x9=0 目标函数最小值 z=6 即应该选修微积分,线性代数,应用统计, 计算机模拟,计算机编程,预测理论等6 门课,最小选课门数是6.
Min z=j=19xi.
⑴
其次,某些课有先修课的要求,例如,数据 结构的先修课是计算机编程,这意味着 x4=1蕴涵x7=1,这个条件可表示为x4x7或 x4-x70. ⑸ 同理,最优化方法的先修课是微积分和线 性代数的条件可表示为x3x1,x3x2,此二 式可合并为一个不等式
2x3-x1-x20. 另外有 2x5-x1-x20 x 6-x 7 0 x8-x5 0 2x9-x1-x20 ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽
Min z=j=19xi Max w=5x1+4x2+4x3+3x4+4x5+3x6+2x7+2x8+3x9
具有多个决策目标的规划称为多目标规划, 前面讲的只有一个目标的规划称为单目 标规划.所以,选课策略问题②的数学模 型是满足约束条件⑵-⑽并有双目标 Min z和 Max w 的0-1线性规划.
所以,选课策略问题①的数学模型就是:只 取值0或1的9个决策变量x1,…,x9,满足 约束条件⑵-⑽,并使目标函数⑴取最小 值的0-1线性规划模型.
选课策略问题①数学模型求解
首先,把约束条件⑵-⑷标准化为
-x1-x2-x3-x4-x5-2 -x3 -x5-x6 -x8-x9-3 -x4 -x6-x7 -x9-2 ⑵ ⑶ ⑷
0-1线性规划模型
在实际优化问题中存在一类所谓的分派 问题,其含义如下:有若干项任务,每项 任务必须有一人且只能有一人承担,每 人也只能承担其中一项,不同人员承担 不同任务的收益(或成本)不同.优化目 标是:怎样分派各项任务使总收益最大 (或总成本最小). 本节通过若干个实际的分派问题,说明 如何建立这类优化问题的数学模型,并 用Matlab求出最优解及对应的目标函数 最优值,同时对结果作一些分析.
函数linprog(f,A,b,Aeq,beq)使用方法
首先,(必要的话)改变z中所有系数的符 号把”Max z”化为”Min z”;把””化 为””. 其次,输入具体的f(=c),A,b,Aeq,beq. 最后执行行命令: [x z]=bintprog(f,A,b,A eq,beq) 则输出的x即为最优解;z(或-z)即为目 标函数最小(大)值.
思考题1:
在校运会报名时,发现队员b4的蛙泳 成绩有较大退步,只有115"2;而队员 b5训练努力自由泳有明显进步,达到 57"5.
问组成接力队的方案应作如何调整?
B 选课策略问题
问题:某大学规定,运筹学专业学生毕业时 必须至少修过2门数学课,3门运筹学课 和2门计算机课.这些课的编号及信息如 下表所示. ① 给出毕业时选课门数最少的一个方案. ② 给出毕业时选课门数少而学分多的一 个方案.
Min y=0.7z-0.3w =-0.1(8x1+5x2+5x3+2x4+5x5+2x6-x7-x8+2x9)
用Matlab函数bintprog求解这个问题时, 与前面求解选课策略问题①时的 A,b,Aeq,beq数据完全一样,只需把f改为
f=-0.1[8 5 5 2 5 2 -1 -1 2]; 后,再执行行命令bintprog=(f,A,b,Aeq,beq)
函数bintprog(f,A,b,Aeq,beq)使用范围
函数linprog(f,A,b,Aeq,beq)用来求解 一般的标准型0-1线性规划:
Min z=cTx s.t. Axb, Aeqx=beq x=0或1
其中,约束条件除若干不等式Axb外,还 有若干等式Aeqx=beq,A,b;Aeq,beq分别 代表二者的系数矩阵及右端向量.若置 A=[],b=[],则不等式全缺省;若置 Aeq=[],beq=[],则等式全缺省.
思考题3:
在选课策略问题中如果一个学生在满 足学校有关选课规定条件下,希望毕 业时所学课程获得的学分数尽可能多, 试给出他(她)的一个选课方案.
选课策略问题②的数学模型
选课策略问题②的数学模型与选课策略问 题①的数学模型的约束条件完全一样; 只是目标函数不同.要求”选课门数少 而学分多”意味着同时要求两个决策目 标:
A 混合接力队的最优组合问题
• 问题:某学院准备从5名游泳队员中选择4 人组成学院的接力队,参加校运动会的4 100混合泳接力赛.5名队员b1,…,b5的4种 泳姿(蝶,仰,蛙,自由)a1,…,a4的百米平 均成绩cij,i=1,…,5;j=1,…,4如下表所示. 应如何选择4人组成最优的接力队?
所以,混合接力队的最优组合问题的数 学 模型是下列0-1线性规划问题: Min z=j=14i=15cijxij s.t. j=14xij1,i=1,…,5 i=15xij=1,j=1,…,4 xij{0,1},i=1,…,5,j=1,…,4 这类线性规划问题的特点是决策变量只 取值1或0,故称为0-1线性规划问题. Matlab的函数bintprog专门用来求解01线性规划,下面介绍此函数的使用范围 及使用方法,其理论基础从略.
其次,输入数据
A=[-1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0;0 0 -1 0 -1 -1 0 -1 -1;0 0 0 -1 0 -1 -1 0 -1;-1 -1 2 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 1 0 0 -1 0 0;-1 -1 0 0 2 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 1 -1 0 0;0 0 0 0 -1 0 0 1 0; -1 -1 0 0 0 0 0 0 2]; b=[-2 -3 -2 0 0 0 0 0 0],Aeq=[];beq=[]; f=[1 1 1 1 1 1 1 1 1];
cij(秒) b1 b2 b3 b4 a1 66.8 75.6 87 58.6 a2 57.2 66 66.4 53 a3 78 67.8 84.6 59.4 a4 70 74.2 69.6 57.2 a5 67.4 71 83.8 62.4
问题分析
要求从5名队员选择4人,每人一种泳姿 且4人泳姿各不相同,使接力队成绩最好. 容易想到的办法是穷举法,组成接力队 的方案共5!=120种,逐一计算并作比较 即可找出最优方案.显然,这不是解决这 类问题的有效办法,随着问题规模变大, 穷举法的计算量将是无法接受的. 一个好的办法是:用0-1变量表示一个队 员是否入选接力队,从而建立这个问题 的0-1规划模型,再借助数学软件求解.
思考题2:
在选课策略问题①中,如果一个学生 因对最优化方法特有兴趣而把此课定 为必选,仍然希望毕业时所学课程门 数尽可能少,试给出他(她)的一个选 课方案.
关于解的唯一性
一般来说,线性规划问题,包括0-1线性 规划问题的解都不是唯一的,例如对选 课策略问题①,我们先求出一个最优解 x=[1,1,0,0,1,1,1,1,0]; 后又在思考题 5-5中求得另外一个最优解 x=[1,1,1,0,0 1,1,0,1],它们对应的最优目标函数值相 等(=6).说明对应选课策略问题①的0-1 线性规划至少有两个的解★,说明它的解 不唯一.
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0;
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0; 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1]; [x z]=bintprog(f,A,b,Aeq,beq)
即可得出 最优解 x=[1 1 1 1 1 1 1 0 1], 目标函数最小值 z=-2.8. 即选修除预测理论外的8门课,共计28学分.
思考题4:
在选课策略问题②中如果一个学生觉 得学分数和课程数是二五和七五开, 试给出他(她)的一个最优选课方案.
作业:请根据我校的选课政策,给出你专
业的一位同学的一个最优选课方案.
建立0-1线性规划模型
引入0-1变量xij,若队员bj参加泳姿ai的比 赛,记xij=1,否则记xij=0.根据组成接力 队的要求,应满足两个约束条件: ① 每人至多入选4种泳姿之一,应有 j=14xij1,i=1,…,5 ② 每种泳姿必须有一人入选 i=15xij=1,j=1,…,4 当队员bj入选泳姿ai时,其成绩为cijxij,于 是接力队的成绩可表为z= j=14i=15cijxij,这就是问题的xi=1(0)表示选修(不选)按上表中编号 顺序的9门课程的第i门课. 问题①决策目标为选修课程门数最少,即
其约束条件包括 首先,每人最少要选2门数学课,3门运筹学 课和2门计算机课,按表中课程类别划 分可将此约束表示为
x1+x2+x3+x4+x52 x3+x5+x6+x8+x93 x4+x6+x7+x92 ⑵ ⑶ ⑷
★我们可以证明
此问题恰有两个解.
证:如果我们再把x4=1作为约束条件(表 示为 -x4-1),求得最优解x=[1,1,1,1,1 1,1,0,0],但对应最优目标值已不是6, 而是7.说明,此解与上面二解不同,不 是选课策略问题①的最优解.再注意观 察:上面两个最优解恰有一个分量,第4 分量,同时为0,由此可见(没有第4分量 为1的最优解),选课策略问题①只有上 述两个解.
双目标规划的一种处理方法
把双目标归结为一个单目标,即令 y=z+(1-)w,为闭区间[0,1]中任一 数,并取决策目标为(Max w=Min(-w)) Min y=z-(1-)w 值的大小体现决策者对每个目标的重 视程度,例如,某同学觉得学分数和课程 数是三七开,故把取为0.7,决策目标 为
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第四讲 0 1整数线性规划要点
? ??
x25 、? 项x1目3和4只能选中一项 x3i 、? 项0,1目5被i ?选1中,2,的? 前,5提是项目 1被选中;如何
在 满足上述条件下选择一个最好的投资
解：设 xi为决方策案变，量使（投i资? 1收,2益,?最,5大)
?1 投资第i个项目
xi ? ?
?0 不投资第i个项目
项目
1 2 3 4
整数规划建模举例
练习1 ：组合投资问题。
某财团有 B 万元的资金，经过其考察选中 n个投资
项目，其中第 j个项目需投资金额为 a j 万元，预
计获利 c j（ j ? 1,2..., n）万元，由于种种原因，
有两个附加条件：第一，项目 2和项目3至少选择一
个；第二项目 5，6，7恰好选择两个。问应如何选
例1：一个旅行者要到某地作两周的带包旅行 ,装背包时,他 发现除了已装的必需物件外,他还能再装5公斤重的东西.他 打算从下列4种东西中选取,使增加的重量不超过5公斤又 能使使用价值最大.这4种东西的重量和使用价值( 这里用打 分数的办法表示价值) 如下表所示,问旅行者应该选取哪些 物件为好？
解：建立模型为 max Z=6x 1 ? 7 x 2 ? 3 x3 ? 9 x4
在 满足上述条件下选择一个最好的投资
解：设 xi为决方策案变，量使（投i资? 1收,2益,?最,5大)
?1 投资第i个项目
xi ? ?
?0 不投资第i个项目
项目
1 2 3 4
投资额 （万元） 210 300 100 130
投资收益 （万元） 150 210 60 80
Z表示投资效益
5
260
180
max=150*x1+210*x2 +60*x3+80*x4+180* x5; 210*x1+300*x2+100 *x3+130*x4+260*x5 <=600; x1+x2+x3>=1; x3+x4=1; x5<=x1; @bin(x1); @bin(x2); @bin(x3); @bin(x4); @bin(x5);
运筹学-0-1规划指派问题PPT课件
在0-1规划问题中，遗传算法通过模拟生物进化过程中的基因突变、交叉 和选择等过程来寻找最优解。算法从一个初始种群出发，通过不断迭代 进化，最终找到最优解。
遗传算法的优点是能够处理大规模、复杂的优化问题，且具有较强的鲁 棒性和全局搜索能力。缺点是算法实现较为复杂，需要较高的计算资源 和时间，且在某些情况下可能会陷入局部最优解。
指派问题通常具有整数约束和 0-1约束，即每个工人只能被分 配一项任务，且每个任务只能 由一个工人完成。
指派问题的解通常具有最优子 结构和局部最优解的特性。
变量定义
• $x{ij}$：如果第i个工人被分配第j项任务，则$x{ij}=1$； 否则$x_{ij}=0$。
目标函数
• $min \sum{i=1}^{n} \sum{ j=1}^{n} c{ij} x{ij}$： 最小化总成本。
04
指派问题在0-1规划中的应用
指派问题的定义
• 指派问题是一种组合优化问题，旨在将一组任务分配给一组工 人，使得总成本最小化。每个工人只能完成一项任务，每项任 务只能由一个工人完成。目标是找到一种最优的分配方式，使 得总成本最低。
指派问题的特点
指派问题具有NP难解的特点， 即没有已知的多项式时间算法 来解决该问题。
04
总结词：整数规划
பைடு நூலகம்
案例三：旅行商问题
总结词：旅行商问题
总结词：图论
详细描述：旅行商问题是一个经典的组合优 化问题，涉及到寻找一条最短路径，使得一 个旅行商能够访问一系列城市并返回出发城 市，同时最小化总旅行距离。
详细描述：图论是研究图形和图形结构的数 学分支，提供了解决旅行商问题和其他优化 问题的理论基础。
在0-1规划问题中，分支定界法将问题分解为多个子问题，每个子问题对应一种指派 方案。算法通过不断排除不可能的解来缩小搜索范围，最终找到最优解。
遗传算法的优点是能够处理大规模、复杂的优化问题，且具有较强的鲁 棒性和全局搜索能力。缺点是算法实现较为复杂，需要较高的计算资源 和时间，且在某些情况下可能会陷入局部最优解。
指派问题通常具有整数约束和 0-1约束，即每个工人只能被分 配一项任务，且每个任务只能 由一个工人完成。
指派问题的解通常具有最优子 结构和局部最优解的特性。
变量定义
• $x{ij}$：如果第i个工人被分配第j项任务，则$x{ij}=1$； 否则$x_{ij}=0$。
目标函数
• $min \sum{i=1}^{n} \sum{ j=1}^{n} c{ij} x{ij}$： 最小化总成本。
04
指派问题在0-1规划中的应用
指派问题的定义
• 指派问题是一种组合优化问题，旨在将一组任务分配给一组工 人，使得总成本最小化。每个工人只能完成一项任务，每项任 务只能由一个工人完成。目标是找到一种最优的分配方式，使 得总成本最低。
指派问题的特点
指派问题具有NP难解的特点， 即没有已知的多项式时间算法 来解决该问题。
04
总结词：整数规划
பைடு நூலகம்
案例三：旅行商问题
总结词：旅行商问题
总结词：图论
详细描述：旅行商问题是一个经典的组合优 化问题，涉及到寻找一条最短路径，使得一 个旅行商能够访问一系列城市并返回出发城 市，同时最小化总旅行距离。
详细描述：图论是研究图形和图形结构的数 学分支，提供了解决旅行商问题和其他优化 问题的理论基础。
在0-1规划问题中，分支定界法将问题分解为多个子问题，每个子问题对应一种指派 方案。算法通过不断排除不可能的解来缩小搜索范围，最终找到最优解。
0-1整数型线性规划在消防站布局中的应用
ｌ ■
０１ — 整数型 线性 规划在 消 防站布局 中 的应用
宋江涛 杨艳军
河北 廊坊 ０５０ ） ６ ０ ０ （ 中国人民武装警察 部队学院
［ 要］ 摘 针对 目前我 国城 市现 有消防站数量少 ，责任面积面积大 ，资金短缺 等一系列 问题 ，结合消防站布局 的影响因素 ，运用整 数型线性规划理论 ，提 出一些
域 的边 界 ，结 合消 防站 的责 任面 积 划分 出不 同 的区域 ，使 消 防站所 在 区域 和 临近 区域 为其所 能达 到 的最大 责任面 积 。其优化 模 型如下 ：
｝ ｛ ｍｉＩ ： ￡ ｎ＋
∑ ≥， ， ｌ 】 ＝２ …
ｆ ０ ＝（ １ ， 溅 ０２１ ｉ ， ． ・ ＝Ｉ ＂ ２ ．， ， ＝１ ２ Ｓ
（ ）最 大覆盖 模 型 。对 于 一些老 城 区， 随着城 区 改造 工程 的进行 ， 二
已有 消 防站布 局 不均 匀 ，不 能满足 城市 消 防发 展 需求 的 问题 日益 严 重 ，这
就要 求我 们对 现 有消 防站 进行 改 建和搬 迁 ，重 新布 置 消防 力量 ， 以达 到 充 分利 用现 有 消防 站的 资源 ，使 其所 覆盖 的总的 责任 面积 最 大的 目的 。其优
一
其 中Ｓ 模 型 中消 防站 要覆 盖 的项 目， 即需要 有 消防 站 或临 近消 防站 为
的 区域 ：ｃ 是在 区域 ｊ 置 消防 站 的费用 ； 若在 区域 ｊ ｊ 设 设置 消 防站￣ ｘ＝ ， Ｊｊｌ 否Ｎ ｘ＝ ￣若 区域ｉ ｊ 邻或 者 ｉｊ Ｊｉ＝ ，否 ￣ａｊ ０ ｊ０ ，相 ＝ ，￣ａ ｊｌ ］ １ｉ＝ 。
在城 市 消防规 划过 程 中，消 防站布 局 是一项 非常 重要 的 内容 。我 国城 市 消 防 站 的布 局是 以接 警 起 ５ｉ 其 中ｌ ｉ为 接警 出车 ，４ ｉ为 行 驶 时 ｍ ｎ（ ｍｎ ｍｎ 间 ）内到达 责任 区 的最远 点为布 点依 据 的。 随着社 会 经济 和城 市规 模 的不 断 向前发展 ，我 国不少 城 区存在 的消 防站 布 局不合 理 、责 任 区面积 过 大等 状 况 目益突 出 ，如广州 市平 均一 个消 防站责 任 面积为 ２ｋ ０ ９ ｍ，而上海 市 竟达 到 １ｌｍ。消防 站布 局 的一 系列 问题 导致 在 火灾 发 生 时， 消防 人员 和 车辆 ２ｋ 不能及 时 到达 火灾现 场 ，贻 误 了战机 ，对 保 障城 市建 设和 人 民生命 财 产 的
０１ — 整数型 线性 规划在 消 防站布局 中 的应用
宋江涛 杨艳军
河北 廊坊 ０５０ ） ６ ０ ０ （ 中国人民武装警察 部队学院
［ 要］ 摘 针对 目前我 国城 市现 有消防站数量少 ，责任面积面积大 ，资金短缺 等一系列 问题 ，结合消防站布局 的影响因素 ，运用整 数型线性规划理论 ，提 出一些
域 的边 界 ，结 合消 防站 的责 任面 积 划分 出不 同 的区域 ，使 消 防站所 在 区域 和 临近 区域 为其所 能达 到 的最大 责任面 积 。其优化 模 型如下 ：
｝ ｛ ｍｉＩ ： ￡ ｎ＋
∑ ≥， ， ｌ 】 ＝２ …
ｆ ０ ＝（ １ ， 溅 ０２１ ｉ ， ． ・ ＝Ｉ ＂ ２ ．， ， ＝１ ２ Ｓ
（ ）最 大覆盖 模 型 。对 于 一些老 城 区， 随着城 区 改造 工程 的进行 ， 二
已有 消 防站布 局 不均 匀 ，不 能满足 城市 消 防发 展 需求 的 问题 日益 严 重 ，这
就要 求我 们对 现 有消 防站 进行 改 建和搬 迁 ，重 新布 置 消防 力量 ， 以达 到 充 分利 用现 有 消防 站的 资源 ，使 其所 覆盖 的总的 责任 面积 最 大的 目的 。其优
一
其 中Ｓ 模 型 中消 防站 要覆 盖 的项 目， 即需要 有 消防 站 或临 近消 防站 为
的 区域 ：ｃ 是在 区域 ｊ 置 消防 站 的费用 ； 若在 区域 ｊ ｊ 设 设置 消 防站￣ ｘ＝ ， Ｊｊｌ 否Ｎ ｘ＝ ￣若 区域ｉ ｊ 邻或 者 ｉｊ Ｊｉ＝ ，否 ￣ａｊ ０ ｊ０ ，相 ＝ ，￣ａ ｊｌ ］ １ｉ＝ 。
在城 市 消防规 划过 程 中，消 防站布 局 是一项 非常 重要 的 内容 。我 国城 市 消 防 站 的布 局是 以接 警 起 ５ｉ 其 中ｌ ｉ为 接警 出车 ，４ ｉ为 行 驶 时 ｍ ｎ（ ｍｎ ｍｎ 间 ）内到达 责任 区 的最远 点为布 点依 据 的。 随着社 会 经济 和城 市规 模 的不 断 向前发展 ，我 国不少 城 区存在 的消 防站 布 局不合 理 、责 任 区面积 过 大等 状 况 目益突 出 ，如广州 市平 均一 个消 防站责 任 面积为 ２ｋ ０ ９ ｍ，而上海 市 竟达 到 １ｌｍ。消防 站布 局 的一 系列 问题 导致 在 火灾 发 生 时， 消防 人员 和 车辆 ２ｋ 不能及 时 到达 火灾现 场 ，贻 误 了战机 ，对 保 障城 市建 设和 人 民生命 财 产 的
用Lingo求解整数(0-1)规划模型
要求：
1、建立数学模型， 2、用lingo循环语句编写程序.
上机作业题 人员安排问题
某城市的巡逻大队要求每天的各个时间段都有一
定数量的警员值班, 以便随时处理突发事件, 每人连续 工作6h, 中间不休息. 如表所示是一天8个班次所需值 班警员的人数情况统计:
班次
时间段
人数 班次
时间段
人数
1
6:00～9:00
例 4 求函数 z x 22 y 22 的最小值.
例 4 求函数 z x 22 y 22 的最小值.
解: 编写Lingo 程序如下:
min=(x+2)^2+(y-2)^2; @free(x); 求得结果: x=-2, y=2
二、Lingo 循环编程语句
(1) 集合的定义 包括如下参数: 1) 集合的名称.
12,8 3,0; enddata
!数据赋值;
max=@sum(bliang(i):a(i)*x(i)); !目标函数;
@for(yshu(j):@sum(bliang(i):x(i)*c(j,i))<=b(j));
!约束条件;
例6：人员选拔问题
队员号码 身高 / m 位置 队员号码 身高 / m 位置
例 2 用Lingo软件求解整数规划问题
min z 2 x1 5 x2 3 x3
4 x1 x2 x3 0
2
x1
4 x2
2 x3
2
x1
x2
x3
2
xi 0 且取整数, i 1, 2, 3
Lingo 程序:
min=2*x1+5*x2+3*x3; -4*x1-x2+x3>=0; -2*x1+4*x2-2*x3>=2; x1-x2+x3>=2; @gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);
1、建立数学模型， 2、用lingo循环语句编写程序.
上机作业题 人员安排问题
某城市的巡逻大队要求每天的各个时间段都有一
定数量的警员值班, 以便随时处理突发事件, 每人连续 工作6h, 中间不休息. 如表所示是一天8个班次所需值 班警员的人数情况统计:
班次
时间段
人数 班次
时间段
人数
1
6:00～9:00
例 4 求函数 z x 22 y 22 的最小值.
例 4 求函数 z x 22 y 22 的最小值.
解: 编写Lingo 程序如下:
min=(x+2)^2+(y-2)^2; @free(x); 求得结果: x=-2, y=2
二、Lingo 循环编程语句
(1) 集合的定义 包括如下参数: 1) 集合的名称.
12,8 3,0; enddata
!数据赋值;
max=@sum(bliang(i):a(i)*x(i)); !目标函数;
@for(yshu(j):@sum(bliang(i):x(i)*c(j,i))<=b(j));
!约束条件;
例6：人员选拔问题
队员号码 身高 / m 位置 队员号码 身高 / m 位置
例 2 用Lingo软件求解整数规划问题
min z 2 x1 5 x2 3 x3
4 x1 x2 x3 0
2
x1
4 x2
2 x3
2
x1
x2
x3
2
xi 0 且取整数, i 1, 2, 3
Lingo 程序:
min=2*x1+5*x2+3*x3; -4*x1-x2+x3>=0; -2*x1+4*x2-2*x3>=2; x1-x2+x3>=2; @gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);
0-1线性规划模型
思考题3:
在选课策略问题中如果一个学生在满 足学校有关选课规定条件下,希望毕 业时所学课程获得的学分数尽可能多, 试给出他(她)的一个选课方案.
选课策略问题②的数学模型
选课策略问题②的数学模型与选课策略问 题①的数学模型的约束条件完全一样; 只是目标函数不同.要求”选课门数少 而学分多”意味着同时要求两个决策目 标:
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0;
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0; 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1];
[x z]=bintprog(f,A,b,Aeq,beq)
用Matlab函数bintprog求解这个问题时,
与前面求解选课策略问题①时的 A,b,Aeq,beq数据完全一样,只需把f改为
f=-0.1[8 5 5 2 5 2 -1 -1 2];
后,再执行行命令bintprog=(f,A,b,Aeq,beq) 即可得出
最优解 x=[1 1 1 1 1 1 1 0 1], 目标函数最小值 z=-2.8.
所以,混合接力队的最优组合问题的数 学 模型是下列0-1线性规划问题: Min z=j=14i=15cijxij s.t. j=14xij1,i=1,…,5 i=15xij=1,j=1,…,4 xij{0,1},i=1,…,5,j=1,…,4
这类线性规划问题的特点是决策变量只 取值1或0,故称为0-1线性规划问题.
★我们可以证明 此问题恰有两个解.
证:如果我们再把x4=1作为约束条件(表 示为 -x4-1),求得最优解x=[1,1,1,1,1 1,1,0,0],但对应最优目标值已不是6, 而是7.说明,此解与上面二解不同,不 是选课策略问题①的最优解.再注意观 察:上面两个最优解恰有一个分量,第4 分量,同时为0,由此可见(没有第4分量 为1的最优解),选课策略问题①只有上 述两个解.
用Lingo求解整数(0-1)规划模型.
Lingo 程序: max=2*x1+5*x2+3*x3+4*x4;
-4*x1+x2+x3+x4>=0; -2*x1+4*x2+2*x3+4*x4>=1; x1+x2-x3+x4>=1; @bin(x1);@bin(x2);@bin(x3);@bin(x4);
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例 2 用Lingo软件求解整数规划问题 min z 2 x1 5 x2 3 x3
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注意:
Lingo 默认变量的取值从0到正无穷大,
变量定界函数可以改变默认状态.
@free(x): 取消对变量x的限制(即x可取任意实数值)
例 4 求函数 z x 2 y 2 的最小值.
2 2
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,8
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上机作业题
要求：
1、建立数学模型，
2、用lingo循环语句编写程序.
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上机作业题
人员安排问题
某城市的巡逻大队要求每天的各个时间段都有一 定数量的警员值班, 以便随时处理突发事件, 每人连续 工作6h, 中间不休息. 如表所示是一天8个班次所需值 班警员的人数情况统计:
成绩 甲 乙 丙 丁 自由泳 / s 56 63 57 55 蛙泳 / s 74 69 77 76 蝶泳 / s 61 65 63 62 仰泳 / s 63 71 67 62
甲, 乙, 丙, 丁 四名队员各自游什么姿势 , 才最有可能取得好成绩?
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整数线性规划及0-1规划
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳
甲 1’06”8 1’15”6 1’27” 58”6
乙 57”2 1’06” 1’06”4 53”
讨论 丁蛙泳c43 =69.675.2，戊自由泳c54=62.4
57.5, 方案是否调整？ 敏感性分析？ IP规划一般没有与LP规划相类似的理论，LINDO 输出的敏感性分析结果通常是没有意义的。 c43, c54 的新数据重新输入模型，用LINDO求解
若选择队员i参加泳姿j 的比赛，记xij=1, 否则记xij=0
目标 函数
约束 条件
4
Min
Z
c
j 1 i 1
4
5
ij
x ij
每人最多入选泳姿之一
每种泳姿有且只有1人
x ij 1, i 1, 5
5
x ij 1, j 1, 4
j 1
i 1
模型求解
输入LINDO求解
0-1规划模型
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 先修课要求
约束条件
先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
x 3 x1 , x 3 x 2
2 x 3 x1 x 2 0
x4 x7
应用统计 微积分；线性代数
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。 方法3：化为非线性规划
x1=0 或 80
x2=0 或 80 x3=0 或 80
x 1 ( x 1 80 ) 0
x 2 ( x 2 80 ) 0
x 3 ( x 3 80 ) 0
非线性规划（Non- Linear Programming，简记NLP） NLP 虽 然 可 用 现 成 的 数 学 软 件 求 解 ( 如 LINGO, MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择。 实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出 的最优解时，才能得到正确的结果。
整数规划与01规划
. y j
1, 0,
采用第 j种方式，即x j 0， 不采用第 j种方式，即x j 0
于是目标函数
min z (k1 y1 c1x1) (k2 y2 c2 x2 ) (k3 y3 c3x3 )
23
0-1型整数规划解法之一（过滤隐枚举法）
解0-1型整数规划最容易想到的方法，和一般整数规 划的情形一样，就是穷举法，即检查变量取值为0或1 的每一种组合，比较目标函数值以求得最优解，这就 需要检查变量取值的2n个组合。对于变量个数n较大 （例如n>10），这几乎是不可能的。因此常设计一些 方法，只检查变量取值的组合的一部分，就能求到问 题的最优解。这样的方法称为隐枚举法（Implicit Enumeration），分枝定界法也是一种隐枚举法。当然， 对有些问题隐枚举法并不适用，所以有时穷举法还是 必要的。
24
例6
Max
z 3x1 2x2 5x3
x1 2x2 x3 2
x1 x1
4x2 x2 , x3 0或1
求解思路及改进措施：
1.
先试探性求一个可行解，易看出
且相应的目标函数值为 z 3
(
x1,
x2
,
x3
)
(1,
0,
0)
满足约束条件，故为一个可行解，
z 为 。
14
小结（续）
z z ii）用观察法找问题A的一个整数可行解，一般可取 xj 0, j 1,L , n 试探，求得其目标函数值，并记作 。以 * 表示问题的最优目标 函数值；这时有 z z* z
其次，进行迭代。
第一步：分枝，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量xj，其值为bj，以[bj]
表示小于bj的最大整数。构造两个约束条件: x j [bj ] x j [bj ] 1
第2章 0-1规划
用自编函数itgm： [r1,r2,ex1,ex2]=itgm(g,a,b,aq,bq) 定出决策变量x1，x2，x3的取值范围： x1：0~3 x2：0~2 x3：0~2
下面用枚举法求解：
k=1; for x1=0:3 for x2=0:2 for x3=0:2 q=[x1 x2 x3]';p=a*q; if p<=b z(k)=f*q; v(k,:)=q'; k=k+1; end end end end [zm,mi]=max(z); x=v(mi,:); zv=[z',v];
解得： ex =1 fv =53
x= 0 1 0 1 0 0 0 0 1
则当x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0， x6=0，x7=0，x8=0，x9=1时，目标函数取 得最小值53。
例2-4 新产品研制，某工厂计划试制4种新产品A1、A2、 A3、A4。现有科研经费40万元，科技人员60名。各新产 品的试制费用、所需科技人员及预期的年利润如表2-1所 示。如果研制产品A2必须先研制产品A1，但产品A1的研 制与产品A2无关。另外该厂想至少研制其中的两种新产 品。问决策者应如何决定研制计划，使该厂获得利润最 大？
表2-6
货物编号i
1
2
3
单位重量（t）
3
4
5
单位价值ci
4
5
6
解：设第i种货物装载件的数量为xi（i=1,2,3），则所述 问题可表为：
max z 4x1 5x2 6x3
s.t.
3x1 4x2 5x3 10
xi
0, xi为整数(i=1,2,3)
f=[4,5,6]; a=[3,4,5]; b=10;
第4章 线性整数规划
线性整数规划的概念 例：用集装箱装运甲、乙两种货物，每种货物每包的体积、 重量和收益见下表。集装箱体积为 24m3 ，允许的最大 重量 14 吨，问每个集装箱应装两种货物各多少包才能
使收益最大?
货物 甲 乙 每包体积 (m3) 5 4 每包重量 (吨 ) 2 5 收益 (元/包) 1000 1500
线性整数规划的概念
二、线性整数规划的数学模型
在线性规划模型：
max S CX AX b s .t . X 0
中，若增加自变量取整数约束条件，则可得到线性整数 规划的数学模型：
max S CX AX b s.t . X 0且为整数
解：①解原问题的松弛问题P0： max S 40 x1 90 x2
9 x1 7 x2 56 s.t .7 x1 20 x2 70 x , x 0 1 2
分枝定界法 可用图解法求解。最优解为xl=4.809，x2=1.817，S=355.89 根据松弛问题的最优解可以确定原问题的目标函数值的 上界为S =355.89或 S =355，下界为 S =0（由于目标函数的 系数均为整数且大于0）。 ②将P0分解为两个子问题Pl和P2(分枝)
P3 的最优解为 x1=4 ， x2=2 ， S=340 ，因已得到一个整数 解，即原问题的一个可行解，故原问题目标函数下界 为：S=340。 P4的最优解为x1=1.428，x2=3，S＝327.12，S4 327
分枝定界法
因S4 S，故没有必要继续对 P4分枝，应将 P4剪掉(称为剪枝 )。
线性整数规划的概念
三、整数规划的解法概述
由于对变量的整数约束限制了通常的连续型方法的应 用，因此，人们在刚接触整数规划问题时，往往会产 生两种原始的求解设想： ①因为纯整数规划的可行解是有限的，因此，可采用一 一比较的方法(穷举法)找出最优解； ②先不考虑整数约束，解相应的连续型问题 ( 松弛问题 ) ， 然后用“四舍五入”的办法凑得一个较好的整数解作 为最优解。 这两种设想往往是行不通的。穷举法效率太低，只有 当可行解较少时才能行得通，当可行解很多时，需要 花很长的时间。凑整法不一定能得到问题的最优解。