线性规划01线性问题及图解法
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线性规划图解法
第二节 线性规划的图解法
图解法 线性规划问题求解的 几种可能结果 由图解法得到的启示
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例1的数学模型
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
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图解法
9— 8—
x1+ 2x2=8 4x1 =16
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
最优解 (4, 2)
D
x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9 | 4
A
0
| 1
| 2
| 3
E
| 5
x1 下页 返回
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图解法求解步骤
• 由全部约束条件作图求出可行域； • 作目标函数等值线，确定使目标函数最
(d)无可行解
Max Z = 2x1 + 3x2 x1 +2 x2 8 4 x1 16 4x2 12 -2x1 + x2 4 x 1、 x 2 0
可行域为空集
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图解法的几点结论:
（由图解法得到的启示）
– 可行域是有界或无界的凸多边形。 – 若线性规划问题存在最优解，它一定可以在
优的移动方向； • 平移目标函数的等值线，找出最优点， 算出最优值。
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线性规划问题求解的 几种可能结果
(a) 唯一最优解
x2
6— 5— 4— 3— 2— 1— | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | x 9 1
图解法 线性规划问题求解的 几种可能结果 由图解法得到的启示
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例1的数学模型
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
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图解法
9— 8—
x1+ 2x2=8 4x1 =16
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
最优解 (4, 2)
D
x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9 | 4
A
0
| 1
| 2
| 3
E
| 5
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图解法求解步骤
• 由全部约束条件作图求出可行域； • 作目标函数等值线，确定使目标函数最
(d)无可行解
Max Z = 2x1 + 3x2 x1 +2 x2 8 4 x1 16 4x2 12 -2x1 + x2 4 x 1、 x 2 0
可行域为空集
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图解法的几点结论:
（由图解法得到的启示）
– 可行域是有界或无界的凸多边形。 – 若线性规划问题存在最优解，它一定可以在
优的移动方向； • 平移目标函数的等值线，找出最优点， 算出最优值。
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线性规划问题求解的 几种可能结果
(a) 唯一最优解
x2
6— 5— 4— 3— 2— 1— | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | x 9 1
线性规划(图解法)
D
max Z
可行域
（7.6，2） ， ）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥) X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤) L0： 0=3X1+5.7X2
oபைடு நூலகம்
x1
图解法
min Z=5X1+4X2 x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
Page 18
43=5X1+4X2 8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2） ， ）
图解法
线性规划问题的求解方法 一般有 两种方法 图解法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
Page 1
适用于任意变量、 适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题， 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。 性规划基本原理和几何意义等优点。
• 有效与无效 紧与松)约束：与最优解相关的约束为有效 有效与无效(紧与松 约束 紧与松 约束： (紧)约束。 紧 约束 约束。 • 最优解：总是在可行域的边界上，一般由可行域的顶 最优解：总是在可行域的边界上， 点表示。 点表示。 • 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域，可行域 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域， 个可行解。 内的每一个点代表一 个可行解。
20
无可行解(即无最优解 无可行解 即无最优解) 即无最优解
10
O
10
第一章线性规划-模型和图解法
a22 am2
a1n
a2n amn
(P1,
P2 ,
, Pn )
用向量表示时，上述模型可写为：
max(min)Z CX
s.t
n j 1
Pj x j
(, )b
X 0
线性规划问题可记为矩阵和向量的形式：
max(min)Z CX
s.t
AX
X
(, )b 0
max(min)Z CX
x21 x23
x14
x23
x32
x41
xij 0(i 1, ,4;
15
x22 x31 12
x23 x32
j 1, ,4)
10 20
二。线性规划问题的数学模型 下面从数学的角度来归纳上述三个例子的共同点。 ①每一个问题都有一组变量---称为决策变量，一般记为
x1, x2 , , xn. 对决策变量每一组值：(x1(0) , x2(0) , xn(0) )T 代表了
表1-3
月份
12
所需仓库面积 15 10
单位：100m2
34 20 12
合同租借期限 合同期内的租费
表1-4
单位；元/100m2
1个月 2个月 3个月 4个月
2800 4500 6000 7300
表1-2
月份
12
所需仓库面积 15 10
单位：100m2
34 20 12
合同租借期限 合同期内的租费
max(min) Z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn (, )b1
s.t
a21x1
a22 x2
a2n xn
(, )b2
am1x1 am2 x2 amnxn (, )bm
04-06线性规划-1
所有可行解构成的集合即为可行解集。
最优解（optimal solution）
使目标函数取得最大值（或最小值）的可行解 称为最优解。
LP一般形式
一组决策变量
满足这三个要素的 问题就是线性规划 问题
每个问题都用一组决策变量表示某个方案，通 常要求这些未知数取值是非负的。
一个线性目标函数
max s CX s.t. AX b X 0
一般称C为价值向量，b为资源向量，A为技术系数矩阵
关于标准型要把握几点
决策变量大于等于0 约束条件均为等式 约束条件右端项bi大于等于0 目标函数为求max
如何将一般问题化为标准型？
若目标函数是求最小 值 Min z = CX 令 z’= - z, 则 Max z’= - CX
该问题可行域为空集， 即无可行解，也不存在 最优解
第3部分 线性规划的标准型(SLP)
线性规划标准型(SLP)
写成缩小形式或矩阵形式
max s c j x j
j 1
n
n aij x j bi , i 1,2,, m s.t. j 1 x 0, j 1,2,, n j
产品A 9 4 3 产品B 4 5 10 资源限额
360工时 200台时 300公斤
70
120
问：如何安排生产使该厂获利最大？
解：设x1,x2分别表示A、B两种产品的产量 那么其总利润为： z=70x1+120x2 并且由于资源限制，应有： 9x1＋4x2≤360
4x1+5x2≤200
3x1+10x2≤300 我们的目标是使z最大
可加性假定：每个决策变量对目标函数和约束方程的
影响独立于其他变量的，目标函数值是每个决策变量对 目标函数贡献的总和
最优解（optimal solution）
使目标函数取得最大值（或最小值）的可行解 称为最优解。
LP一般形式
一组决策变量
满足这三个要素的 问题就是线性规划 问题
每个问题都用一组决策变量表示某个方案，通 常要求这些未知数取值是非负的。
一个线性目标函数
max s CX s.t. AX b X 0
一般称C为价值向量，b为资源向量，A为技术系数矩阵
关于标准型要把握几点
决策变量大于等于0 约束条件均为等式 约束条件右端项bi大于等于0 目标函数为求max
如何将一般问题化为标准型？
若目标函数是求最小 值 Min z = CX 令 z’= - z, 则 Max z’= - CX
该问题可行域为空集， 即无可行解，也不存在 最优解
第3部分 线性规划的标准型(SLP)
线性规划标准型(SLP)
写成缩小形式或矩阵形式
max s c j x j
j 1
n
n aij x j bi , i 1,2,, m s.t. j 1 x 0, j 1,2,, n j
产品A 9 4 3 产品B 4 5 10 资源限额
360工时 200台时 300公斤
70
120
问：如何安排生产使该厂获利最大？
解：设x1,x2分别表示A、B两种产品的产量 那么其总利润为： z=70x1+120x2 并且由于资源限制，应有： 9x1＋4x2≤360
4x1+5x2≤200
3x1+10x2≤300 我们的目标是使z最大
可加性假定：每个决策变量对目标函数和约束方程的
影响独立于其他变量的，目标函数值是每个决策变量对 目标函数贡献的总和
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
线性规划问题的图解法
第二十四页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
单纯形法的思路(sīlù)
找出一个(yī ɡè)初始可行解
4x1
16
可行(kěxíng)域
单纯形法的进一步讨论(tǎolùn)－人工变量法
第四十三页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
是否最优 故人(gùrén)为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：
量作为换出变量。
L
min
bi a ik
a ik
0
第二十九页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
③ 用换入变量(biànliàng)xk替换基变量(biànliàng)中的换出变量 (biànliàng)，得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可 行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。
： X (1) K和X (2) K
X X (1) (1 ) X (2) (0 1)
则X为顶点(dǐngdiǎn).
(wèntí)
的 几
第四页，共51页。
凸组合(zǔhé)：
意线 义性
规 划 问 题 的 几 何
设X（1) ,..., X (k)是n维向量空间中的k个点,
若存在1,..., k ,且0 i 1, i 1,2,..., k,
A
1 域2 3
D
| E|
45
4 x2 16 x1 + 2x2 8
|||| 6789
x1
第九页，共51页。
❖图解法
目标(mùbiāo)函数 Max Z = 2x1 + 3x2
x2 9—
8—
7—
6—
5—
4—
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
单纯形法的思路(sīlù)
找出一个(yī ɡè)初始可行解
4x1
16
可行(kěxíng)域
单纯形法的进一步讨论(tǎolùn)－人工变量法
第四十三页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
是否最优 故人(gùrén)为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：
量作为换出变量。
L
min
bi a ik
a ik
0
第二十九页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
③ 用换入变量(biànliàng)xk替换基变量(biànliàng)中的换出变量 (biànliàng)，得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可 行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。
： X (1) K和X (2) K
X X (1) (1 ) X (2) (0 1)
则X为顶点(dǐngdiǎn).
(wèntí)
的 几
第四页，共51页。
凸组合(zǔhé)：
意线 义性
规 划 问 题 的 几 何
设X（1) ,..., X (k)是n维向量空间中的k个点,
若存在1,..., k ,且0 i 1, i 1,2,..., k,
A
1 域2 3
D
| E|
45
4 x2 16 x1 + 2x2 8
|||| 6789
x1
第九页，共51页。
❖图解法
目标(mùbiāo)函数 Max Z = 2x1 + 3x2
x2 9—
8—
7—
6—
5—
4—
第1章 线性规划-标准型和图解法
Y
x－y≥1
－ x+2y≤0
O A1 X
39
例
max z=x+2y s.t. － x+2y≥1 x+y≤ － 2 x、y ≥0
x+y≤ － 2
Y
－ x+2y≥1
O
X
40
图解法的启示：
1. 求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解， 求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解， 无穷多最优解，无界界，无可行解； 无穷多最优解，无界界，无可行解； 2. 若线性规划问题可行域存在，在可行域是一个凸 若线性规划问题可行域存在， 集； 3. 若线性规划问题最优解存在，在最优解或最优解 若线性规划问题最优解存在， 之一一定能够在可行域的某个顶点取得； 之一一定能够在可行域的某个顶点取得； 4. 解题思路是，先找凸集的任一顶点，计算其目标 解题思路是，先找凸集的任一顶点， 函数值。比较其相邻顶点函数值，若更优， 函数值。比较其相邻顶点函数值，若更优，则逐 点转移，直到找到最优解。 点转移，直到找到最优解。
C(1,3) 2x+2y=8 B(3,1) 4x+12y=24
x=7
2 4 6 7 (2,0) (4,0) A(6,0)G(7,0)
43
22
例
max = − x − y x + y ≥ 2 s.t.x ≤ 3 x , y无约束
23
解：令
x,当x ≥ 0 x′ = 0,当x < 0
y,当y ≥ 0 y′ = 0, 当y < 0
0, 当x ≥ 0 x ′′ = − x, 当x < 0
0,当y ≥ 0 y′′ = − y, 当y < 0
第一节线性规划的模型与图解法一线性规划问题及其数学模
1. 图解法的步骤
（1）做约束的图形
x2
先做非负约束的图形； 再做资源约束的图形。 90
以例1.1为例，其约束为
?9x1 ? 4x2 ? 360
s.t
?? ? ?
4 x1 3x1
? ?
5x2 ? 200 10x2 ? 300
40 30
?? x1, x2 ? 0
各约束的公共部分即
模型的约束，称可行域。 0
解：设安排甲、乙产量分别 为 x1, x2,总收入为 z ，
则模型为：
Maxz ? 7x1 ? 12x2
?9x1 ? 4x2 ? 360
s.t.??? ?
4 x1 3x1
? ?
5x2 ? 200 10x2 ? 300
?? x1, x2 ? 0
线性规划模型的一般形式：（以MAX型、 ? 约束为例）
40 50
x 100 1
（2）做目标的图形
对于目标函数 z? cx ???c x
x2
11
nn
任给 z 二不同的值，
便可做出相应的二
直线，用虚线表示。
以例1.1为例，其目标为
z ? 7 x ? 12 x ，分别令
1
2
z ? 84和z ? 168 ，做出
14
相应的二直线，便可看出 7
z 增大的方向。
0
1
n
1
n
ij m? n
1
m
则模型可表示为
Maxz ? CX
s.t.?? ?
AX X?
? 0
b
回顾例 1.1的模型
其中
X ? (x , x )T 表示决策变量的向量；
1
2
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2 第四讲 运输问题
3 第五讲 整数规划
4 第六讲 目标规划
5 第七讲 动态规划
6 第八讲 图与网络模型排队论, 对策论
7 第九讲 存储论、排队论、对策论及决策分析简介
学时
4 4 4 4 4 4 8 8 8
绪论 历史，性质，应用
20世纪整个世界参与规模最大的事件是什么？ 第二次世界大战！ 整个世界的资源都投入到了第二次世界大战中。 如何才能更好地利用资源，分配有限的资源，这是一个值得
模型的三种基本形式： （1）形象模型，（2）模拟模型，（3）符号或数学模型。
构造模型是一种创造性劳动，成功的模型往往是科学和艺 术的结晶，构造模型的方法和思路通常有以下几种：
绪论 历史，性质，应用
直接分析法 按研究者对问题内在机理的认识直接构造出 模型。运筹学中已有不少现存的模型，如线性规划模型、 投入产出模型、排队模型、存储模型、决策和对策模型等 等。这些模型都有很好的求解方法及求解软件，但用这些 现成的模型研究问题时，应注意不能生搬硬套。
绪论 历史，性质，应用
运筹学的性质和特点
a. 一种哲学方法论; b. 研究“事”而非“物”; c. 科学性，实践性，系统性，综合性; d. 模型的特点——系统优化模型。 运筹学—— 为决策机构在对其控制下业务活动进行决策时，
提供以数量化为基础的科学方法。 运筹学—— 一门应用科学，它广泛应用现有的科学技术知
研究的问题。 当时在英国军队中率先成立了研究小组——运筹小组
来研究这些问题，这就是著名的OR小组.很快美军中 也相继成立了OR小组。 战争—— 运筹学诞生的温床。
绪论 历史，性质，应用
二战中成功的运筹学案例：
英国防空部门如何布置防空雷达，建立最有效的防空警报系 统。
英，美空军如何提高对地面目标轰炸的命中率。 如何安排反潜飞机的巡逻飞行线路。 深水炸弹的合理爆炸深度，摧毁德军潜艇数增加400%。 商船如何编队，遭潜艇攻击时如何减少损失。 使船只受敌机攻击时，中弹数由47%降到29%。 这些研究大大提高了盟军的作战能力，为反法西斯
管理运筹学
Operations Research
授课教师 余 勇
Telephone: 88061330 E-mail: yuy@
《管理运筹学》课程 教学大纲Βιβλιοθήκη 课时安排：序号课程内容
1 第一讲 管理运筹学序论，线性规划问题
2 第二讲 线性规划的图解法及灵敏度分析
3 第三讲 线性规划问题的计算机求解及在管理中的应用
绪论 历史，性质，应用
数据分析法 对有些问题的机理尚未了解清楚，若能搜集 到与此问题密切有关的大量数据，或通过某些试验获得大 量数据，这就可以用统计分析法建摸。
试验分析法 有些问题的机理不清，又不能作大量试验来 获得数据，这时只能通过做局部试验的数据加上分析来构 造模型。
想定（构想）法 当有些问题的机理不清，又缺少数据， 又不能作试验来获得数据时，例如有些社会、经济、军事 问题，人们只能在已有的知识、经验和某些研究的基础上， 对于将来可能发生的情况给出逻辑上合理的设想和描述。 然后用已有的方法构造模型，并不断修正完善，直至比较满意
战争的最后胜利作出了巨大的贡献！
绪论 历史，性质，应用
战争结束了！ 整个世界投入到了战后的重建国家的经济之
中。 运筹学的方法相继在工业，农业，经济，社会问题等各个
领域中展开了应用。与此同时，运筹数学有了飞快的发展， 并形成了许多运筹学的分支。 线性规划，非线性规划，整数规划，目标规划，动态规划， 图与网络分析，统筹方法，排队论，存储论，对策论，决 策论，多目标决策。
5) 解的控制。通过控制解的变化过程决定是否要作一定的改 变；
6) 解的实施。是指将解用到实际中必须考虑到实施的问题， 如向实际部门讲清解的用法，在实施中可能产生的问题和 修改。
绪论 历史，性质，应用
运筹学的模型
运筹学在解决问题时，按研究对象不同可构造各种不同的 模型。模型是研究者对客观现实经过思维抽象后用文字、 图表、符号、关系以及实体模样描述所认识到的客观对象。 模型的有关参数和关系式是较容易改变的，这样是有助于 问题的分析和研究。利用模型可以进行一定预测、灵敏度 分析等。
类比法 有些问题可以用不同方法构造出模型；而这些模 型的结构性质是类同的，这就可以互相类比。如物理学中 的机械系统、气体动力学系统、水力学系统、热力学系统 及电路系统之间就有不少彼此类同的现象。甚至有些经济、 社会系统也可以用物理系统来类比。在分析有些经济、社 会问题时，不同国家之间也可以找出某些类比的现象。
2) 建立模型。 即把问题中可控变量，参数和目标与约束之间 的关系用一定的模型表示出来;
3) 求解。用各种手段（主要是数学方法，也可用其他方法） 将模型求解。解可以是最优解、次优解、满意解。复杂模 型的求解需用计算机，解的精度要可由求决策者提出。
绪论 历史，性质，应用
运筹学的工作步骤
4) 解的检验。首先检查求解步骤和程序有无错误，然后检查 解是否反映现实问题；
识和数学方法，解决实际中提出的专门问题。 运筹学—— 是一种给出问题坏的答案的艺术，否则问题的
结果会更坏。
绪论 历史，性质，应用
运筹学的工作步骤
运筹学在解决大量实际问题的过程中形成了自己的工作步骤：
1) 提出和形成问题。 即弄清问题的目标，可能的约束，问题 的可控变量以及有关参数，搜集有关资料;
为止。
绪论 历史，性质，应用
运筹学的主要应用 二次大战后运筹学的应用迅速转向了
民用，下面对某些重要领域给于简述。 1) 市场销售------广告预算和媒介选择、竞争性定价、新品开
发、销售计划的制订。（美）杜邦公司在五十年代起就非 常重视将运筹学用于如何做好广告工作、产品定价、新品 引入。 2) 生产计划------从总体确定生产、存储和劳动力的配合等计 划适应波动的需求计划。巴基斯坦一重型制造厂用线性规 划安排生产计划，节省10%的生产费用。 3) 运输问题------涉及空运、水运、公路、铁路运输、管道运 输等。公路网的设计和分析，市内公共汽车路线的选择和 行车时刻表的安排，出租车的调度等。