第四章 同余方程

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初等数论(严蔚敏版) 第四章同余式

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2、 (i)设 m1 , m2 , m3 是三个正整数,证明:
(m1 , m3 ),( m2 , m3 ) m1 , m2 , m3

(ii)设 d (m1 , m2 ).证明:同余式组
x b1 (mod m1 ), x b2 (mod m2 )
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第四章
同余式
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§4.1
基本概念及一次同余式
同余多项式有 3 个解
例、 解同余式 12 x 15 0 mod 45 解:(12,45)= 3 15
而原同余式为 4 x 5 0(mod15)
先解同余式 256x 1 mod 337 由辗转相除法,得 256 104 337 79 1
上述同余式的解是 x 104 mod 337 原同余式的解是 x 104 179 81 mod 337
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即 b( 1) 2( a 1) ( a 1)! k ( a 1)!(mod p )
k b(mod p )
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即 x b(1)
a 1
( p 1) ( p a 1) (mod p ) a!
是 ax b(mod p ) 的解.
其中 x1,2,,k 是适合 (2) 的一个整数。 证明: (i) (m1 , m3 ),(m2 , m3 ) (m1 , m3 )(m2 , m3 ) (m1 , m3 )(m2 , m3 ) (( m1 , m3 ),( m2 , m3 )) ( m1 , m2 , m3 )

同余方程在数论中的应用解析

同余方程在数论中的应用解析

同余方程在数论中的应用解析同余方程是数论中一个重要的概念,它在解决很多数学问题中起着关键作用。

它的应用涉及到数论的诸多领域,如同余定理、模运算、密码学等。

本文将从数论的角度出发,对同余方程在数论中的应用进行一番解析。

首先,我们来了解一下同余方程的概念。

同余方程是指两个整数之间满足模同余的关系,即模一个固定的数时,它们的余数相等。

比如,对于整数a和b,若a-b能被m整除,我们可以表示为a≡b (mod m),其中≡表示模同余关系,mod表示取模运算。

同余方程可以用来描述两个数之间的关系,并在数论中发挥重要作用。

在数论中,同余方程有很多应用。

首先,同余方程与同余定理密切相关。

同余定理是一种用于处理同余方程的重要工具。

根据同余定理,如果两个整数a和b在模m下的余数相等,则它们的和、积、幂等也在模m下具有相等的余数。

利用同余定理,我们可以解决一些整数方程、方程组以及一些特殊的数学问题。

其次,同余方程在模运算中有广泛的应用。

模运算是一种将数按照某一数值取模的运算。

同余方程可以用来求解模运算中的问题,如求模运算下的乘法逆元、模幂运算等。

模运算广泛应用于计算机科学、密码学等领域,通过同余方程的应用,我们可以实现密码的加密和解密,保证数据的安全性。

此外,同余方程也在数论中的素数检测以及素数生成中扮演着重要的角色。

素数是指只能被1和自身整除的数。

同余方程可以用来判断一个数是否为素数。

根据费马小定理,如果p是一个素数,a是任意与p互质的正整数,则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

根据这个性质,我们可以通过同余方程进行素性检测。

最后,同余方程还在数论中的循环小数表示、离散数学以及组合数学等领域发挥着重要作用。

循环小数是指一个有限小数部分和重复的无限循环部分组成的数。

同余方程可以用来分析循环小数的性质,如确定循环节的长度、循环节中的数字等。

此外,在离散数学和组合数学中,同余方程是探索数与数之间的整除关系、约数关系以及数列性质的重要工具。

同余方程化简

同余方程化简

同余方程化简摘要:一、同余方程的基本概念二、同余方程的化简方法1.公因式法2.公式法3.辗转相除法三、同余方程的应用举例四、总结正文:一、同余方程的基本概念同余方程,是指一组代数方程在模某个整数的意义下同时成立的方程。

这里的“同余”实际上是同余关系的一种推广,同余关系是指对于整数a 和b,如果它们除以某个整数m 的余数相同,即a≡b(mod m),则称a 和b 是同余的。

二、同余方程的化简方法同余方程的化简方法主要有以下几种:1.公因式法如果同余方程的方程项中有公因式,那么可以先提取公因式,这样可以简化方程,便于求解。

例如,对于同余方程:x ≡2 (mod 3)x ≡5 (mod 3)我们可以提取公因式x,得到:x(1 ≡2 (mod 3))x(1 ≡5 (mod 3))这样就更容易求解了。

2.公式法对于形如ax ≡b (mod m) 的同余方程,如果a 和m 互质,那么可以使用公式:x ≡b * (mod m) / a (mod m)例如,对于同余方程:3x ≡11 (mod 7)我们可以使用公式法,得到:x ≡11 * (mod 7) / 3 (mod 7)这样就可以简化方程,更容易求解。

3.辗转相除法辗转相除法,又称欧几里得算法,是一种求解同余方程的方法。

它是基于以下性质:如果a 和b 是整数,且a 和b 的最大公约数是d,那么ax ≡b (mod m) 一定有解,解为:x ≡b * (mod m) / a (mod m)例如,对于同余方程:13x ≡23 (mod 17)我们可以使用辗转相除法,得到:x ≡23 * (mod 17) / 13 (mod 17)这样就可以简化方程,更容易求解。

三、同余方程的应用举例同余方程在密码学、数论等领域有广泛的应用。

例如,著名的RSA 加密算法就是基于同余方程的难解性设计的。

四、总结同余方程是代数学中的一个重要概念,它在密码学、数论等领域有着广泛的应用。

数论中的同余方程

数论中的同余方程

数论是研究整数性质及其相互关系的一门学科。

而同余方程作为数论中的基本概念之一,在数学领域中具有重要的地位。

同余方程可以帮助我们研究整数的行为规律,解决实际问题,并且在密码学、计算机科学等领域中也有广泛的应用。

同余方程是指满足某种特定关系的整数方程。

具体来说,对于给定的整数a,b和正整数m,如果a和b除以m所得的余数相等,即a mod m = b mod m,那么我们就称a与b在模m下同余,记作a ≡ b (mod m)。

在同余方程中,a被称作余数,m被称作模数。

同余方程在数论中的研究往往涉及到判断是否存在整数解,以及如何寻找整数解的问题。

为了解决这些问题,我们需要掌握一些重要的定理与技巧。

其中,最基本的定理就是模运算的性质:若a ≡ b (mod m) 且c ≡ d (mod m),那么a + c ≡ b + d (mod m),a - c ≡ b - d (mod m),ac ≡ bd (mod m)。

这些定理使得我们在处理同余方程时,可以像处理等式一样进行运算。

而对于寻找同余方程的解,则涉及到一些更加高级的数论技巧。

其中最重要的技巧之一就是使用求解线性同余方程的方法。

对于一般形式的同余方程ax ≡b (mod m),若gcd(a,m) | b,那么该方程存在整数解。

通过求解该方程,我们可以得到原方程的一个特解。

另外,对于m和a互质的情况,我们可以使用费马小定理或欧拉定理来求解同余方程。

同余方程的应用非常广泛。

首先,同余方程在数论领域中作为基础概念,包含了很多重要的数论定理。

例如,中国剩余定理就是基于同余方程的理论推导。

在实际问题中,同余方程也具有重要的应用。

例如,我们可以通过解决同余方程来计算某个数的阶乘的最后一位数字,或者判断一个数是否是质数等。

同样,在密码学领域中,同余方程被广泛应用于构建加密算法,特别是RSA加密算法。

综上所述,同余方程作为数论中的重要概念,具有很大的研究和应用价值。

通过研究同余方程,我们可以了解整数的行为规律,解决实际问题,并在密码学、计算机科学等领域中应用于构建加密算法等。

数论中的同余方程与模运算性质

数论中的同余方程与模运算性质

数论中的同余方程与模运算性质数论是研究整数性质的学科,同余方程和模运算是数论中重要的概念和工具。

同余方程是指具有相同余数的方程,而模运算是指在同余方程中,对方程中的数进行模除运算。

本文将探讨同余方程与模运算的性质及其在数论中的应用。

一、同余方程1. 同余关系的定义在整数集合中,对于给定的正整数m,若整数a和b满足a-b能被m整除,即(a-b) mod m = 0,则称a与b对于模m同余,记作a ≡ b (mod m)。

将这种关系称为同余关系。

2. 同余方程的定义同余方程是指形如ax ≡ b (mod m)的方程,其中a、b、m是已知的整数,x是未知的整数。

3. 同余方程的性质(1)同余方程的解集性质若同余方程ax ≡ b (mod m)有解,设x0是该方程的一个解,则所有解x满足x ≡ x0 (mod m)。

(2)同余方程的等价性若同余方程ax ≡ b (mod m)和ax ≡ c (mod m)的解集相等,则b ≡ c (mod m)。

(3)同余方程的合并若同余方程ax ≡ b (mod m)和cx ≡ d (mod m)的解集相等,则(a+c)x ≡ (b+d) (mod m)。

二、模运算性质1. 模运算的定义对于给定的整数a、b和正整数m,称a除以m的余数为a对于模m的模余数,记作a mod m。

2. 模运算的性质(1)模运算的基本性质若a和b对于模m同余,则a mod m = b mod m。

(2)模运算的运算性质设a1和a2对于模m同余,b1和b2对于模m同余,则有:a1 + b1 ≡ (a2 + b2) (mod m);a1 - b1 ≡ (a2 - b2) (mod m);a1 · b1 ≡ (a2 · b2) (mod m)。

(3)模运算的幂运算对于给定的整数a和正整数m,有:a^k mod m ≡ (a mod m)^k (mod m),其中k为非负整数。

三、同余方程与模运算的应用1. 方程求解通过对同余方程进行变形和运算,可以解决一些实际问题,例如日历计算、时间转换等。

同余方程的解法

同余方程的解法

同余方程的解法
同余方程是一个古老的数学问题,即求解这样一个数学性质:给定两个正整数a和m,存在一个整数x,满足x除以m余a,即x=am+a。

这样的整数x叫做同余数,以am+a形式表示的方程叫作同余方程。

例如:求解x除以7余3,即求解7x=3(mod 7),则x=7*1+3=10。

二、如何求解同余方程
1、约分同余方程,当m和a互质时,则有x=a*(m^(-1))+a,m^(-1)叫做逆元,记作m^(-1)=y,则x=ay+a。

2、用乘法逆元的原理求解逆元:已知a、m互质,m,y非零且ay ≡1(mod m),则y就是m的乘法逆元。

3、用欧几里得最大公约数求解逆元:已知a、m互质,则用欧几里得最大公约数求解ay+b=1,则y即可作为m的乘法逆元。

4、用因子分解求解:将m分解质因子,将a分解质因子。

然后
将m分解得到质因子,使和a的质因子相乘,计算出ay+b,即可将y 作为m的乘法逆元。

三、应用
同余方程的解法所解决的问题在实际生活中具有重要的应用。

例如,密码学领域,大多数采用RSA加密方案,该方案中,m、a、y这三个值都需要用到同余方程的解法,来保证运算的安全性。

此外,同余方程的解法也可以用于求解模等式组(即统计意义上的等式组),
并广泛应用于偏微分方程、几何有理函数及局部多多边形等数学领域。

四、结论
从上文可以看出,同余方程的解法仍然具有很强的实用性,能够解决数学和工程领域中的许多问题,且解决的结果均有可靠的理论支撑。

同余方程的解法具有重要的应用价值,并且具有广泛的应用前景,值得深入研究。

第四章 同余式 (2)

第四章   同余式 (2)
“小模”和“降次”的方法来得到一般 模的高次同余方程的解。
1、小模:即把一般模高次同等方程转化为 一系列模两两互素的高次同余方程组,即有
m 定理:设m m1m2 mk , 1, m2 ,mk 两两互素, f ( x) 0(mod m) 等价于下面方程组 则 (1)
例:同余方程 x3 x2 x 1 0(mod15)
解:原同余方程等价于同余方程组
x3 x2 x 1 0(mod3)
x3 x2 x 1 0(mod5)
即有
x 1,2(mod 3) x 1,4(mod 5)
所以有4解,由孙子定理为
x 1,4,11,14(mod15)
9 9 4
6 2) 30 8(mod11 ( )
4
(3)用形式分数
定义1:当(a,m)=1时,若ab 1(modm), 则记b 1 (modm)称为形式分数。 a
c 1 (mod m) 根据定义和记号, 有性质 a
c a
1、
c c mt1 (mod m), t1 , t2 Z a a mt 2
(1)移项运算是传统的,
(2)同余方程两边也可以加上模的若干倍。 相当于同余方程两边加“零”。 (3)乘上一数k或除去一个数k,为了保持其 同解性,必须(k ,m)=1,这一点和同余的性 质有区别。

15x2 17x 5(mod12) 等价于 3x2 5x 5(mod12)
12 7
x 2x 6x 8 0(mod5)
x0 m1t2 mk x0 m1t2 mod m) (
2.2 一次同余方程ax≡b(mod m)的解法。
(1)化为不定方程ax+my=b

初等数论同余式

初等数论同余式
进而有 M ,1 4, M , 2 1, M ,3 5
72M ,1 1(mod7),63M , 2 1(mod8),56M ,3 1(mod9)
所以有x 72 4 1 63 (1) 2 56 5 3 498(mod504)
是原一次同余式组的解。
f ( x) 0(modmi ),i 1,2k 设 和 f ( x) 0(modmi ) f ( x) 0(mod m) 数为 则有
(2) 的解
T , Ti . 下面来看证明
T T1T2 Tk
证明:若 x0 是(1)的解,即 f ( x0 ) 0(modm) 则 m | f ( x0 ) 从而有 mi | f ( x0 ) ,即 f ( x0 ) 0(modmi ) 即(1)的解就是(2)的解, 反之若 x0 是(2)的解,则有 f ( x0 ) 0(modmi ),i 1,2k 即 mi | f ( x0 ) 从而有[m1, m2 ,mk ] | f ( x0 ) 由于 m1 , m2 ,mk 两两互素,所以
模m的一个完全剩余系中满足同余方程的个 数称为满足同余方程的解数。
.
注:对模m互相同余的解是同一个解。 例:同余式 x 2 x 1 0(mod3)
x 1(mod3) 是解, x 2(mod3)也 次数为2, 是解,因为 1 2(mod3)
所以为同一解,解数是1,
为了求方程的解经常有等价变形的问题, 对 于同余方程同样也有等价变形,即使原同余 方程和新的同余方程互相等价的若干变换。 常用的变换有
§3 一次同余方程组的解法
定义:如下(*)称为一次同余方程组
x≡b1(mod m1)
x≡b2(mod m2)
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关于模m互不同余的所有解的个数, 也即在模
m的一个完全剩余系中的解的个数.
由定义2,同余方程(1)的解数不超过m。
第一节 同余方程的基本概念
定理1 下面的结论成立:
(ⅰ) 设b(x)是整系数多项式,则同余方程(1)与
f(x) b(x) b(x) (mod m)
等价;
(ⅱ) 设b是整数, (b, m) = 1, 则同余方程(1)与
第一节 同余方程的基本概念
x 0, x 0 m d , x0 2m d , , x0 (d 1)m d
对于模m是两两不同余的,所以同余方程 (2)恰有d个解。证毕。 在定理的证明中,同时给出了解方程(2) 的方法,但是,对于具体的方程(2),常常可 采用不同的方法去解。
第一节 同余方程的基本概念
由式(4)所确定的x都满足方程(2)。记d = (a, m), 以及
t = dq r,qZ,r = 0, 1, 2, , d 1,
则 x = x0 qm (mod m),0 r d 1。 容易验证,当r = 0, 1, 2, , d 1时,相应的解
x 0, x 0 m d , x0 2m d , , x0 (d 1)m d
m2y a1 a2 (mod m1)
有解y y0 (mod m1),记x0 = a2 m2y0,则
x0 a2 (mod m2) 并且 x0 = a2 m2y0 a2 a1 a2 a1 (mod m1), 因此x0是同余方程组的解。
第一节 同余方程的基本概念
若x1与x2都是方程组(9)的解,则 x1 x2 (mod m1),x1 x2 (mod m2), 由同余的基本性质,得到式(11)。
第一节 同余方程的基本概念
再代入(8)的前一式得到
3x 10 1 (mod 7),
x 4 (mod 7)。
即同余方程组(8)的解是:
x 4,y 2 (mod 7).
第一节 同余方程的基本概念
例8 设a1,a2是整数,m1,m2是正整数,证明: 同余方程组
x a 1 (mod m 1 ) x a 2 (mod m 2 )
m的同余方程。 若an 0 (mod m),则称为n次同余方程。
(1)
是关于未知数x的模m的同余方程,简称为模
第一节 同余方程的基本概念
定义2 设x0是整数, 当x = x0时式(1)成立, 则称x0
是同余方程(1)的解. 凡对于模m同余的解, 被
视为同一个解. 同余方程(1)的解数是指它的
例5 设(a, m) = 1,并且有整数 > 0使得 a 1 (mod m),
则同余方程(2)的解是
x ba 1 (mod m)。 解 直接验证即可。 x ba(m) 1 (mod m) 总是同余方程(2)的解。
注: 由例5及Euler定理可知,若(a, m) = 1,则
例4 解同余方程6x 7 (mod 23)。 解 由例3,依次得到
6x 7 (mod 23) 5x 73 2 (mod 23) 3x 24 8 (mod 23) 2x 8(7) 10 (mod 23) x 5 (mod 23)。
第一节 同余方程的基本概念
ax [
m a
]
b[(Βιβλιοθήκη od m), ]即x是同余方程(7)的解。
第一节 同余方程的基本概念
但是由假设条件可知同余方程(2)与(7)都
有且只有一个解.所以这两个同余方程等价.
注:用本例的方法,可以将同余方程(2)转化成 未知数的系数更小一些的同余方程,从而易 于求解。
第一节 同余方程的基本概念
第四章 同余方程
• 本章主要介绍同余方程的基础知识, 并介绍几类特殊的同余方程的解法.
第一节 同余方程的基本概念
本节要介绍同余方程的基本概念及一次同
余方程。 在本章中,总假定m是正整数。
定义1 设f(x) = anxn a1x a0是整系数多 项式,称
f(x) 0 (mod m)
x b( 1)
a 1
( p 1 )( p 2 ) ( p a 1 )(mod a!
p)。
是同余方程ax b (mod p)的解。
习题一
5. 证明:同余方程a1x1 a2x2 anxn b (mod m)有解的充要条件是 (a1, a2, , an, m) = db。 若有解,则恰有dmn 1个解,mod m。 6. 解同余方程:2x 7y 5 (mod 12)。
例2 解同余方程
325x 20 (mod 161)
解 同余方程(6)即是 3x 20 (mod 161)。 解同余方程 161y 20 (mod 3), 2y 1 (mod 3), 得到y 2 (mod 3),因此方程(6)的解是 x 20 2 161 = 114 (mod 161)。
例1 设(a, m)=1, 又设存在整数y, 使得ab ym, 则
x b ym a
(mod m )
是方程(2)的解。 证明 直接验算,有 ax b ym b (mod m)。
第一节 同余方程的基本概念
注: 例1说明, 求方程(2)的解可以转化为求方程
my b (mod a)
第一节 同余方程的基本概念
例7 解同余方程组
3 x 5 y 1 (mod 7 ) 2 x 3 y 2 (mod 7 )
.
(8)

将(8)的前一式乘以2后一式乘以3再相减得 19y 4 (mod 7),
到 5y 4 (mod 7),
y 2 (mod 7)。
因此,第一个结论可由第四章第一节定理 1得出。 若同余方程(2)有解x0 ,则存在y0 ,使得x0 与y0 是方程(3)的解,此时,方程(3)的全部解是
m t x x0 (a , m ) t Z. a y y t 0 (a , m )
(4)
第一节 同余方程的基本概念
第一节 同余方程的基本概念
例6 解同余方程 81x3 24x2 5x 23 0 (mod 7)。 解 原同余方程即是 3x3 3x2 2x 2 0 (mod 7)。 用x = 0,1,2,3逐个代入验证,得到它的 解是 x1 1,x2 2,x3 2 (mod 7)。 注: 本例使用的是最基本的解同余方程的方法, 一般说来, 它的计算量太大, 不实用.
3
(6)
第一节 同余方程的基本概念
例3 设a > 0,且(a, m) = 1,a1是m对模a的最 a1x b [ ] (mod m)
m a
小非负剩余,则同余方程
(7) 等价于同余方程(2)。
解 设x是(2)的解,则由m =
a1 x
a[
m a
] a1得到
m a
(m
a[
m a
]) x
第一节 同余方程的基本概念
定理2 设a,b是整数, a 0 (mod m). 则同余方

ax b (mod m) (2)
有解的充要条件是(a, m)b。若有解,则恰有d
= (a, m)个解。 证明 显然,同余方程(2)等价于不定方程 ax my = b, (3)
第一节 同余方程的基本概念
(5)
的解, 这有两个便利之处:第一 , 将一个对于大
模m的同余方程转化为一个对于小模a的同余
方程, 因此有可能通过对模a的完全剩余系进 行逐个验证, 以求出方程(5)和(2)的解; 第二, 设m r (mod a), r < a, 则又可继续转化成一 个对于更小的模r的同余方程.
第一节 同余方程的基本概念
bf(x) 0 (mod m) 等价;
第一节 同余方程的基本概念
(ⅲ) 设m是素数, f(x) = g(x)h(x), g(x)与h(x)都
是整系数多项式, 又设x0是同余方程(1)的解,
则x0必是同余方程
g(x) 0 (mod m) 或 h(x) 0 (mod m)
的解. 证明 留做习题。 下面,我们来研究一次同余方程的解。
习题一
1. 证明定理1。 2. 解同余方程: (ⅰ) 31x 5 (mod 17); (ⅱ) 3215x 160 (mod 235)。 3. 解同余方程组:
3 x 5 y 38 (mod 47 )。 x y 10 (mod 47 )
习题一
4. 设p是素数,0 < a < p,证明:
(9)
有解的充要条件是 a1 a2 (mod (m1, m2))。 (10) 若有解,则对模[m1, m2]是唯一的,即若x1与x2
都是同余方程组(9)的解,则
x1 x2 (mod [m1, m2])。 (11)
第一节 同余方程的基本概念
证明 必要性是显然的。下面证明充分性。
若式(10)成立,由定理2,同余方程
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