专题三 开放型问题

∴△ABE≌△CBD.
(2)答案不唯一，如△ABN∽△CDN. 证明：∵∠BAN＝60° ＝∠DCN，∠ANB＝∠DNC， ∴△ABN∽△CDN. AB 2 其相似比为DC＝ ＝2. 1 AN AB 1 1 (3)由(2)得CN＝CD＝2，∴CN＝ AN＝ AC. 2 3 1 同理 AM＝ AC.∴AM＝MN＝NC. 3
【点拨】本题考查平行四边形的性质、全等三角 形的判定与性质、直角三角形的性质以及二次函数的 最值问题，本题作出辅助线构造全等三角形是解题的 关键．
CE 【解答】(1)∵α＝60° ，BC＝10，∴sin α＝BC， 3 CE 即 sin 60° ＝ ＝ ，解得 CE＝5 3. 10 2 (2)①存在 k＝3，使得∠EFD＝3∠AEF. 理由如下：连接 CF 并 延长交 BA 的延长线于点 G， ∵F 为 AD 的中点， ∴AF＝FD，
【答案】B
4． 如图是由一些大小相同的小立方体组成的几何 体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小立方体 的个数不可能是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
5． 如图， 已知矩形 ABCD， 一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为 M 和 N，则 M＋N 不可能是( ) A．360° B．540° C．720° D．630°
10． 抛物线 y＝－x2＋bx＋c 的部分图象如图所示， 请写出与其关系式、图象相关的 2 个正确结论：开口 方向向下， x 轴的另一交点坐标为(－3,0)(对称轴方 与 程，图象与 x 轴正半轴、y 轴的交点坐标除外)．
三、解答题(共 60 分) 2a－1 1－a2 11．(12 分)先化简(a－ a )÷ 2 ，然后给 a a ＋a 选择一个你喜欢的数代入求值．
【解析】直线将四边形分割成两个三角形，内角 和为 360° ；分割成一个三角形，一个四边形，内角和 为 540° ；分割成两个四边形，内角和为 720° ，所以不 可能得到 630° 【答案】D
二、填空题(每小题 4 分，共 20 分) 6．如图，在△ABC 中，D 是 AB 边上一点，连接 CD. 要使△ADC 与 △ABC 相似 ，应添加的条 件是 AD AC ∠ACD＝∠B 或∠ADC＝∠ACB 或 AC＝AB (答案 不唯一，只需写出一个条件即可)．
数 学
专题三 开放型问题
1．条件开放型：所谓条件开放型试题是指在结 论不变的前提下，条件不唯一的题目．
2． 结论开放型： 所谓结论开放题是指结论部分是 未知要素的开放题．数学命题根据思维形式可分成三 部分：假设——推理——判断．
3．条件、结论开放型：所谓条件、结论开放型 是指条件和结论都不唯一，此类问题没有明确的条件 和结论，并且符合条件的结论具有开放性，它要求通 过观察和思考，将已知的信息集中进行分析，通过这 一思维活动揭示事物的内在联系．
∴△AEB≌△FBC(AAS)，∴AE＝BF.
例 3 (2012· 广州)如图， 在平行四边形 ABCD 中， AB ＝5，BC＝10，F 为 AD 的中点，CE⊥AB 于点 E，设 ∠ABC＝α(60° ≤α<90° )． (1)当 α＝60° 时，求 CE 的长； (2)当 60° <α<90° 时， ①是否存在整数 k， 使得 ∠EFD＝k∠AEF？若存在， 求出 k 的值；若不存在，请说明理由． 2 2 ② 连 接 CF ， 当 CE － CF 取 最 大 值 时 ， 求 tan∠DCF 的值．
在平行四边形 ABCD 中，AB∥CD， ∴∠G＝∠DCF， 在△AFG 和△DFC 中，
∠G＝∠DCF， ∠AFG＝∠DFC， AF＝DF，
∴△AFG≌△DFC(AAS)， ∴CF＝GF， AG＝CD， ∵CE⊥AB，∴EF＝GF，∴∠AEF＝∠G，
∵AB＝5，BC＝10，点 F 是 AD 的中点，∴AG 1 1 ＝5，AF＝ AD＝ BC＝5，∴AG＝AF，∴∠AFG＝ 2 2 ∠G， 在△EFG 中，∠EFC＝∠AEF＋∠G＝2∠AEF， 又∵∠CFD＝∠AFG，∴∠CFD＝∠AEF，∴∠EFD ＝∠EFC＋∠CFD＝2∠AEF＋∠AEF＝3∠AEF，因 此，存在正整数 k＝3，使得∠EFD＝3∠AEF；
②设 BE＝x，∵AG＝CD＝AB＝5，∴EG＝AE ＋AG＝5－x＋5＝10－x， 在 Rt△BCE 中，CE2＝BC2－BE2＝100－x2， 在 Rt△CEG 中， 2＝EG2＋CE2＝(10－x)2＋100 CG －x2＝200－20x， ∵CF＝GF(①中已证)， 1 1 2 1 2 2 ∴CF ＝( CG) ＝ CG ＝ (200－20x)＝50－5x， 2 4 4
【点拨】猜想：BF＝AE， 根据已知及矩形的性质利用 AAS 判定△AEB≌△FBC，从 而得到 BF＝AE.
【解答】结论：BF＝AE. 证明： ∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC，∠A ＝90° ，∴∠AEB＝∠CBF.又∵CF⊥BE，∴∠BFC＝ 90° ，∴∠A＝∠BFC.
∠A＝∠BFC， 在△AEB 和△FBC 中，∠AEB＝∠CBF， BE＝CB，
考点训练
一、选择题(每小题 4 分，共 20 分) 1．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长 为 2，宽为 1，A、B 两点在网格格点上，若点 C 也在 网格格点上， A、 C 为顶点的三角形的面积为 2， 以 B、 则满足条件的点 C 的个数是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】如图，根据三角形的面积公式可知，欲 使△ABC 的面积为 2，且顶点 C 也在网格格点上，那 么，此三角形的底边、高的值应该分别为 4、1 或 2、 2，结合题目所给图形，可以找到符合条件的点共有 4 个．
【答案】C
2．已知⊙O1、⊙O2 的半径分别是 r1＝2、r2＝4， 若两圆相交，则圆心距 O1O2 可能的取值是( ) A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
3 ． 如 图 ， 已 知 ∠1 ＝ ∠2 ， 则 不 一 定 能 使 △ABD≌△ACD 的条件是( ) A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA
解：(1)证明：①∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60° . ∵四边形 ADEF 为菱形，∴AD＝AF. ∵∠BAC＝∠DAF＝60° ， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAF－∠DAC， 即∠BAD＝∠CAF. ∴△ABD≌△ACF.∴BD＝CF. ②∵AC＝BC＝BD＋CD，且由①BD＝CF， ∴AC＝CF＋CD.
例 1 (2012· 潍坊)如图所示，AB＝DB，∠ABD＝ ∠CBE，请你添加一个适当的条件____________．使 △ABC≌△DBE(只需添加一个条件即可)．
【 点 拨 】 根 据 ∠ABD ＝ ∠CBE 可 以 证 明 得 到 ∠ABC＝∠DBE， 然后利用证明方法 “SAS”、 “ASA”、 “AAS”，分别写出第三个条件即可．
4． 探究问题在中考中常以压轴题出现， 它的基本 类型一般包括存在型、规律型、决策型等． (1)解答存在型问题的一般思路 先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下 进行演绎推理，若推出矛盾即可否定假设；若推出合 理结论，则可肯定假设． (2)解答规律型问题的一般思路 通过对所给的具体的结论进行全面而细致的观 察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜出 一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用．
解：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝60° . ∵四边形 ACDE 是等腰梯形，∠EAC＝60° ， ∴AE＝CD，∠ACD＝∠CAE＝60° . ∴∠BAC＋∠CAE＝120° ＝∠BCA＋∠ACD， 即∠BAE＝∠BCD.
AB＝CB， 在△ABE 和△BCD 中，∠BAE＝∠BCD， AEC 的延长线上且其他条件不 变时， 结论 AC＝CF＋CD 是否成立？若不成立， 请写出 AC、 CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图③， 当点 D 在边 CB 的延长线上且其他条件不变 时，补全图形，并直接写出 AC、CF、CD 之间存在的数量 关系．
a －2a＋1 1－a 解 ： 原 式 ＝ ÷ 2 ＝ a a ＋a a－12 aa＋1 ＝1－a.a 可取－1,1,0 以外的任何 a · 1－a1＋a 数，计算正确即可．
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12．(16 分)如图是小红设计的钻石形商标，△ABC 是边 长为 2 的等边三角形， 四边形 ACDE 是等腰梯形， AC∥ED， ∠EAC＝60° ，AE＝1. (1)证明：△ABE≌△CBD； (2)图中存在多对相似三角形， 请你找出 一对进行证明， 并求出其相似比(不添加辅助 线，不找全等的相似三角形)； (3)小红发现 AM＝MN＝NC，请证明此结论； (4)求线段 BD 的长．
【解答】∠BDE＝∠BAC 或 BE＝BC 或∠DEB ＝∠ACB(答案不唯一，写一个即可) ∵∠ABD＝ ∠CBE，∴∠ABD＋∠ABE＝∠CBE＋∠ABE， ∴∠ABC＝∠DBE，又∵AB＝DB，∴可以添加 ∠BDE＝∠BAC 或 BE＝BC 或∠DEB＝∠ACB， 使得 △ABC≌△DBE.
例 2 (2012· 新疆)在矩形 ABCD 中， 以点 B 为圆心， BC 长为半径画弧，交 AD 边于点 E，连接 BE，过 C 点作 CF⊥BE，垂足为 F，猜想线段 BF 与图中现有 的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下 面 的 横 线 上 ， 然 后 再 加 以 证 明 ． 结 论 ： BF ＝ ____________.
7．如图，已知 AC＝FE，BC＝DE，点 A、D、B、 F 在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一 个条件， 这个条件可以是∠C＝∠E 或 AB＝FD 或 AD ＝FB(答案不唯一)． 8．一个 y 关于 x 的函数同时 满足两个条件：①图象过(2,1)点； ②当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减 2 小． 这个函数的解析式为如： x， y＝ y＝－x＋3，y＝－x2＋5 等(写出一个即可)．