袁统计学 概率习题答案
袁卫《统计学》(第3版)课后习题-概率、概率分布与抽样分布(圣才出品)
5．离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布的描述有哪些不同？连续型随机变量
的概率密度与分布函数之间是什么关系？
答：（1）离散型随机变量 X 只取有限个可能的值 x1，x2，…， xn ，而且是以确定的概
率取这些值，即
P（X=xi）=pi（ i =1，2，…，n）。因此，可以列出 X 的所有可能取值 x1，x2，…， xn ，以 及取每个值的概率 p1，p2，…， pn ，将它们用表格的形式表现出来，就是离散型随机变量
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（3）主观概率
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古典概率和统计概率都属于客观概率，它们的确定完全取决于对客观条件的理论分析或
是大量重复试验的事实，不以个人的意志为转移。而有些事件，特别是未来的某一事件，既
不能通过等可能事件个数来计算，也不能根据大量重复试验的频率来估计，但决策者又必须
，
对于连续型随机变量，其均值和方差分别为：
= E(X ) = xf (x)dx， 2 = E(X 2) − E2(X ) = − x2 f (x)dx
−
−
7．二项分布与超几何分布的适用场合有什么不同？它们的均值和方差有什么区别？
答：（1）从理论上讲，二项分布只适合于重复抽样（即从总体中抽出一个个体观察完后
对其进行估计从而作出相应的决策，那就需要应用主观概率。
主观概率需要人们根据经验、专业知识、对事件发生的众多条件或影响因素进行分析，
以此确定主观概率。
3．概率密度函数和分布函数的联系与区别表现在哪些方面？ 答：（1）区别 概率密度函数只是给出了连续型随机变量某一特定值的函数值，这一函数值不是真正意 义上的取值概率，连续型随机变量在给定区间内取值的概率对应的是概率密度函数 f（x）曲 线（或直线）在该区间上围成的面积，这一特征恰恰意味着连续型随机变量在某一点的概率 值为 0，因为它对应的面积为 0。而分布函数 F 在 x 处的取值，就是随机变量 X 的取值落在 区间（-∞，x）的概率。 （2）联系
统计学习题答案(袁卫主编第三版)
为大家谋福利，低价供应第1章绪论1．什么是统计学?怎样理解统计学与统计数据的关系?2．试举出日常生活或工作中统计数据及其规律性的例子。
3．．一家大型油漆零售商收到了客户关于油漆罐分量不足的许多抱怨。
因此，他们开始检查供货商的集装箱，有问题的将其退回。
最近的一个集装箱装的是2 440加仑的油漆罐。
这家零售商抽查了50罐油漆，每一罐的质量精确到4位小数。
装满的油漆罐应为4.536 kg。
要求：(1)描述总体；(2)描述研究变量；(3)描述样本；(4)描述推断。
答：(1)总体：最近的一个集装箱内的全部油漆；(2)研究变量：装满的油漆罐的质量；(3)样本：最近的一个集装箱内的50罐油漆；(4)推断：50罐油漆的质量应为4.536×50＝226.8 kg。
4．“可乐战”是描述市场上“可口可乐”与“百事可乐”激烈竞争的一个流行术语。
这场战役因影视明星、运动员的参与以及消费者对品尝试验优先权的抱怨而颇具特色。
假定作为百事可乐营销战役的一部分，选择了1000名消费者进行匿名性质的品尝试验(即在品尝试验中，两个品牌不做外观标记)，请每一名被测试者说出A品牌或B品牌中哪个口味更好。
要求：(1)描述总体；(2)描述研究变量；(3)描述样本；(4)一描述推断。
答：(1)总体：市场上的“可口可乐”与“百事可乐”(2)研究变量：更好口味的品牌名称；(3)样本：1000名消费者品尝的两个品牌(4)推断：两个品牌中哪个口味更好。
第2章统计数据的描述——练习题●1.为评价家电行业售后服务的质量，随机抽取了由100家庭构成的一个样本。
服务质量的等级分别表示为：A.好；B.较好；C.一般；D.差；E.较差。
调查结果如下：C B C ED B C C B C(1) 指出上面的数据属于什么类型；用Excel制作一张频数分布表；(3) 绘制一张条形图，反映评价等级的分布。
解：（1）由于表2.21中的数据为服务质量的等级，可以进行优劣等级比较，但不能计算差异大小，属于顺序数据。
袁卫统计学(第二版)习题答案
袁卫统计学（第二版）习题答案答案属于顺序数据。
频数分布表如下：服务质量等级评价的频数分布服务质量等级A B C D E 合计家庭数14 21 32 18 15 100频率% 14 21 32 18 15 100条形图频数分布表如下：40个企业按产品销售收入分组表按销售收入分组企业数频率向上累积企业数频率 100以下 100～110 110～1xx年龄的分布为右偏。
茎叶图如下： A班数据个数树叶树茎树叶 B班数据个数 0 3 59 2 1 2 11 23 7 6 0 4 97 97665332110 98877766555554443332100 6655xx 年组身高的离散系数：幼儿组身高的离散系数：；；于幼儿组身高的离散系数大于成年组身高的离散系数，说明幼儿组身高的离散程度相对较大。
表给出了一些主要描述统计量，请读者自己分析。
方法 A 平均中位数众数标准偏差极差最小值最大值165 164 8 162 170 方法B 平均中位数众数标准偏差极差最小值最大值 129 128 7 125 132 方法C 平均中位数众数标准偏差极差最小值最大值 126 126 12 116 128 方差或标准差；商业类股票；。
答案设A＝女性，B＝工程师，AB＝女工程师，A+B＝女性或工程师 P(A)＝4/12＝1/3 P(B)＝4/12＝1/3 P(AB)＝2/12＝1/6P(A+B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝1/3＋1/3－1/6＝1/2 求这种零件的次品率，等于计算“任取一个零件为次品”的概率考虑逆事件。
“任取一个零件为正品”，表示通过三道工序都合格。
据题意，有：于是设A表示“合格”，B表示“优秀”。
于B＝AB，于是＝×＝设A＝第1发命中。
B＝命中碟靶。
求命中概率是一个全概率的计算问题。
再利用对立事件的概率即可求得脱靶的概率。
＝×1＋×＝脱靶的概率＝1－＝或：P(脱靶)＝P(第1次脱靶)×P(第2次脱靶)＝×＝设A＝活到55岁，B＝活到70岁。
袁卫《统计学》配套题库【章节练习】(概率、概率分布与抽样分布)【圣才出品】
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【解析】重复抽样下的抽样标准误差为 ，不重复抽样下的标准误差为
n
N n2 N 1 n
。
10．设X、Y、Z表示3个随机事件，则X∪Y∪Z表示（ ）。[浙江工商大学2017研] A．X、Y、Z全部发生 B．X、Y、Z中恰有一个发生 C．X、Y、Z中至少发生一个 D．X、Y、Z都不发生 【答案】C 【解析】事件 X∪Y∪Z 表示 X 发生或 Y 发生或 Z 发生，即 X、Y、Z 中至少有一个发 生。
有 0≤F（x）≤1，故 AC 两项错误。D 项，若 X 的分布函数存在，则有 F（＋∞）＝1。
8．设 X 服从参数为 λ 的泊松分布，已知 P（X＝1）＝1/2×P（X＝2），则 λ＝（ ）。 [山东大学 2017 研]
A．2 B．1 C．4 D．0.25 【答案】C 【解析】由泊松分布概率公式
P( X k) k e
因此S不是σ的无偏估计，A项错误；但是随着样本容量的扩大，样本与总体逐渐接近， 样本标准差也与总体标准差逐渐接近，所以S是σ的一致估计。由于随机变量分布函数形式 未知，所以无法知道S是否是σ的最大似然估计，B项错误。
5．对于任意二事件 A 和 B，则（ ）。[山东大学 2017 研] A．若 AB≠∅，则 A，B 一定独立 B．若 AB≠∅，则 A，B 有可能独立 C．若 AB＝∅，则 A，B 一定独立 D．若 AB＝∅，则 A，B 一定不独立 【答案】B 【解析】事件A与事件B独立等价于P（AB）＝P（A）P（B）。事件AB是否为空集与事 件A、事件B的独立条件无关，无法推出事件A与事件B的独立性，只有B项正确。
【解析】随机变量的概率密度函数应满足 f（x）≥0，且 f (x) dx 1 ；其分布
概率论第3章习题解答 袁德美
概率教材第三章勘误说明：红线为要纠正的部分.（一）70页习题3.2答案：1a b +=且0,0a b ≥≥. （二）76页例3.6(2) ()(),d d x yP X Y f x y x y >>=∫∫10041d d d d 42Gxx y xy x xy y ===∫∫∫∫.（三）77页例3.7()||1000P X Y ≤−()||1000,d d x y f x y x y −≤=∫∫61d d 610Hx y =×∫∫400010006200030001d d 610x x y +=×∫∫ 1.3= （四）79页习题3.13（2）答案应为0.3 . （五）84习题3.18 单位:千小时.第3章 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布习题3.13.1比较二维随机变量与一维随机变量的分布函数的性质有何异同？3.2 设1(,)F x y 和2(,)F x y 都是联合分布函数，试问常数a ，b 满足什么条件时，12(,)(,)aF x y bF x y +也是联合分布函数？解：因为1(,)F x y 和2(,)F x y 都是联合分布函数，有1(, )1F ∞∞=，2(, )1F ∞∞=.若12(,)(,)aF x y bF x y +也是联合分布函数，则12(, )(, )1aF bF ∞∞+∞∞=，即1a b +=.又因为联合分布函数12(,)(,)aF x y bF x y +满足单调性,所以0,0a b ≥≥.可以验证,当0,0a b ≥≥且1a b +=时, 12(,)(,)aF x y bF x y +是联合分布函数.3.3 设二维随机变量1+, 0,0,(,)~(,) 0, x y x y xy e e e x y X Y F x y −−−−− −−≥≥=其它. 求：（1）()0.5,0.3P X Y ≤≤；（2）()0.5,0.3 1.3P X Y ≤<≤；（3）()10, 12P X Y −<≤<≤.解: (1)()0.50.30.950.5,0.3(0.5,0.3)1P X Y F ee e −−−≤≤==−−+;（2）()()()0.5,0.3 1.30.5, 1.30.5,0.3P X Y P X Y P X Y ≤<≤=≤≤−≤≤(0.5,1.3)(0.5,0.3)F F =−0.3 2.45 1.30.95e e e e −−−−=+−−;（3）()10, 12(0,2)(1,1)(0,1)(1,2)P X Y F F F F −<≤<≤=+−−−− 00000=+−−=.*3.4 设()10,00,0.1, 01,01,,0.5, 01,11,01,1,x y x y F x y x y x y << ≤<≤<= ≤<≥≥≤<其它或或 和()20, 00,0.2, 01,01,,0.5, 01,11,01,1,x y x y F x y x y x y << ≤<≤<= ≤<≥≥≤< 其它或或是两个不同的分布函数，验证它们关于X 和关于Y 的边缘分布函数相同.解: 当 0x <时, ()1,0F x y =,有1(,)0F x ∞=.当01x ≤<时,()10, 0,,0.1,01,0.5, 1.y F x y y y <=≤< ≥ 有1(,)0.5F x ∞=.当1x ≥时,()10, 0,,0.5,01,1, 1.y F x y y y <=≤< ≥有1(,)1F x ∞=.因此()1,F x y 关于X 的边缘分布函数为10,0,(,)0.5, 01,1,x F x x <∞=≤< 其它.类似可求()1,F x y 关于Y 的边缘分布函数为10,0,(,)0.5, 01,1,y F y y <∞=≤< 其它.()2,F x y 关于X 和关于Y 的边缘分布函数为20, 0,(,)0.5, 01,1,x F x x < ∞=≤< 其它 与 20,0,(,)0.5, 01,1,y F y y <∞=≤<其它.因此它们关于X 和关于Y 的边缘分布函数相同.习题3.23.5 盒子里装有2只白球，2只红球，3只黑球，在其中任取4只球，以X 表示取到白球的只数，以Y 表示取到黑球的只数，求(,)X Y 的联合分布列及边缘分布列.解: 按古典概率计算,从7只球中取4只球,共有4735C =种取法.在4只球中,白球有i 只,黑球有j 只(剩下4i j −−只红球)的取法数为: 4232iji j C C C −−种. 因此 (,)X Y 的联合分布列为423247(,)ij i jC C C P X i Y j C −−===,0,1,2i =,0,1,2,3j =,24i j ≤+≤. 于是2232473(0,2)35C C P X Y C ====, 3132472(0,3)35C C P X Y C ====, 112232476(1,1)35C C C P X Y C ====, 1212324712(1,2)35C C C P X Y C ====, 1323472(1,3)35C C P X Y C ====, 2222471(2,0)35C C P X Y C ====,211232476(2,1)35C C C P X Y C ====, 2223473(2,2)35C C P X Y C ====, (,)X Y 的联合分布列与边缘分布列为3.6 一批产品工有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件. 从这批产品中有放回的任取3件，以X 和Y 分别表示取出的3件产品中一等品、二等品的件数，求:(1) (,)X Y 的联合分布列；(2) (1,2)P X Y ≤≤.解: (1) 因为X 和Y 的可能取值为0,1,2,3, 事件{,}X i Y j ==表示取出的3件产品中一等品有i 件、二等品有j 件(三等品有3i j −−件)的取法, 取法总数为3!!!(3)!i j i j −−种,而对于每种取法的概率为 3631101010ij i j−−,因此(,)X Y 的联合分布列为33!631(,)!!(3)!101010iji jP X i Y j i j i j −−===−− ， ,0,1,2,3i j =,3i j +≤.(,)X Y 的联合分布列与边缘分布列为(2)(1,2)(0,0)(0,1)(0,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ≤≤===+==+==(1,0)(1,1)(1,2)0.325P X Y P X Y P X Y +==+==+===.3.7 设事件A ，B 满足1()4P A =，1(|)(|)2P B A P A B ==. 记 1, 0 A X A =若发生，，若不发生, 1, 0 B Y B =若发生，，若不发生. 求,)X Y (的联合分布列及边缘分布列.解（1）由于()111()()428P AB P A P B A ==×=，()()181()124P AB P B P A B ===， 所以，1(1,1)()8P X Y P AB ====，1(1,0)(()()8P X Y P AB P A P AB ====−=， 1(0,1)()()(),8P X Y P AB P B P AB ====−=(0,0)()1()P X Y P AB P A B ====−U =51()()()8P A P B P AB −−+=,所以(,)X Y 的联合分布列及边缘分布列为3.8 (,)X Y 的联合分布列为求：(1) (0)P X =；(2) (2)P Y ≤；(3) (1,2)P X Y <≤.解 (1) (0)(0,1)(0,2)(0,3)P X P X Y P X Y P X Y ====+==+==0.10.10.30.5=++=；(2) (2)1(3)1(0,3)(1,3)P Y P Y P X Y P X Y ≤=−==−==−==10.30.250.45=−−=；(3)(1,2)(0,1)(0,2)0.10.10.2P X Y P X Y P X Y <≤===+===+=.习题3.33.9 设二维随机变量()35(1)(1), 0,0,,~(,)0, x y e e x y X Y F x y −− −−≥≥= 其它.试求,)X Y (的联合概率密度(, )f x y .解 当0,0x y >>时,35(,)(1)(1)x y F x y e e −−=−−.对(, )F x y 求二阶偏导，得(, )X Y 的联合概率密度为()2,(,)F x y f x y x y∂=∂∂(35)15x y e −+=.当0x <或0y <时, (,)0F x y =, ()2,(,)0F x y f x y x y∂==∂∂.于是,)X Y (的联合概率密度(35)15, 0,0,(, )0, x y e x y f x y −+ ≥≥= 其他.3.1010 设二维随机变量()22,(,),(1)(1)AX Y f x y x y =++ 求：(1)常数A ；(2)联合分布函数(,)F x y ；(3) 概率()(),P X Y D ∈，其中D 是以(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)为顶点的正方形区域.解 (1)由联合概率密度(,)f x y 的正则性，221(,)d d d d (1)(1)A f x y x y x y x y +∞+∞+∞+∞−∞−∞−∞−∞==++∫∫∫∫2π1A ==, 得21πA =. (2) 2221(,)(,)d d d d (1)(1)x yxyF x y f s t s t s t s t π−∞−∞−∞−∞==++∫∫∫∫21(arctan )(arctan 22x y πππ=++. (3)()(),(1,1)(0,0)(0,1)(1,0)PX Y D F F F F ∈=+−−913311648816=+−−=. 3.1.111设二维随机变量(),(,)X Y f x y ，则(1)P X >等于 (A) 1d (,)d x f x y y ∞−∞−∞∫∫. (B) 1d (,)d x f x y y ∞∞−∞∫∫.(C)1(,)d f x y x −∞∫. (D)1(,)d f x y x ∞∫.解 选(B).因为1(1)(1,)d (,)d P X P X Y x f x y y ∞∞−∞>=<<∞−∞<<∞=∫∫.3.12 设二维随机变量() (6), 02,24,,~(,)0, k x y x y X Y f x y −−<<<< =其它. 求：(1) 常数k ；(2) (1,3)P X Y <<；(3) ( 1.5)P X <；(4) (4)P X Y +<.解（1）由于联合概率密度(,)f x y 满足正则性,于是2421(,)d d d (6)d 8f x y x y x k x y y k +∞+∞−∞−∞==−−=∫∫∫∫所以81=k . （2）130213(1,3)d (6)d 88P X Y x x y y <<=−−=∫∫. （3） 1.5402127( 1.5)( 1.5,)d (6)d 832P X P X Y x x y y <=<<∞=−−=∫∫.（4）(,)f x y 的非零区域与{4}x y +<的交集{(,)|02,24}G x y x y x =<<<<−.()24024112(4),d d (6)d d d (6)d 883x x y GP X Y f x y x y x y x y x x y y −+<+<==−−=−−=∫∫∫∫∫∫.3.13 设二维随机变量()(2),01,0,,~(,)0,cy x x y x X Y f x y −≤≤≤≤ =其它. 求：(1)常数c ；(2)(1)P X Y +≤；(3)边缘概率密度.解（1）由于联合概率密度(,)f x y 满足正则性,于是1051(,)d d d (2)d 24xf x y x y x cy x y c +∞+∞−∞−∞==−=∫∫∫∫， 所以 4.8c =.（2）(,)f x y 的非零区域与{1}x y +≤的交集1{(,)|1,0}2G x y y x y y =≤≤−≤≤.()11201(1),d d 4.8(2)d d d 4.8(2)d 0.3y yx y GP X Y f x y x y y x x y y y x x −+≤+≤==−=−=∫∫∫∫∫∫.(3) , X Y （）关于X 的边缘密度函数204.8(2) 2.4(2)01()(,)0x X y x dy x x x f x f x y dy +∞−∞−=−≤≤== ∫∫其它.关于Y 的边缘密度函数124.8(2) 2.4(34)01()(,)0y Y y x dx y y y y f y f x y dx +∞−∞−=−+≤≤== ∫∫其它.3.14 设二维随机变量(,)X Y 在由x 轴、y 轴及直线22x y +=所围成的三角形区域上D 服从均匀分布，求边缘概率密度()X f x 和()Y f y .解 区域}01,0{(,)|22x y D x y x ≤≤≤≤=−的面积为1(22)d 1S x x =−=∫.因此(,)X Y 的联合概率密度为01,0122(,)0x y x f x y ≤≤≤≤− = ， ，，其他．, X Y （）关于X 的边缘密度函数220d 22, 01()(,)d 0, xX y x x f x f x y y −+∞−∞=−≤≤== ∫∫其它.关于Y 的边缘密度函数220d 1, 02()(,)d 20, y Y yx y f y f x y x −+∞−∞=−≤≤ ==∫∫其它. 3.15设(,)X Y 的联合概率密度分别为(1) 4,01,01,(,)0,xy x y f x y ≤≤≤≤ =其它.(2) 21, 01,02,(,)30, x xy x y f x y +<<<< = 其它.(3) , 0,(,) 0, y e x y f x y − <<= 其它.试分别求, X Y （）的边缘概率密度.解 (1) 因为, X Y （）关于X 的边缘密度函数14d 2, 01()(,)d 0, X xy y x x f x f x y y +∞−∞=≤≤ == ∫∫其它.关于Y 的边缘密度函数104d 2,01,()(,)d 0, ,Y xy x y y f y f x y x +∞−∞=≤≤==∫∫其它(2) 因为, X Y （）关于X 的边缘密度函数222012()d 2, 01()(,)d 330, X x xy y x x x f x f x y y +∞−∞+=+<< == ∫∫其它.关于Y 的边缘密度函数120111()d ,02,()(,)d 3360, .Y x xy x y y f y f x y x +∞−∞+=+<< ==∫∫其它 (3) 因为, X Y （）关于X 的边缘密度函数≤>===∫∫+∞−−∞+∞−0,00,),()(x x e dy e dy y x f x f xx y X 关于Y 的边缘密度函数≤>===∫∫−−∞+∞−,0,0,0,),()(0y y ye dx e dx y x f y f y y y Y习题3.43.16 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X 与Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求(,)X Y 的联合分布列及边缘分布列.解 甲命中次数(2.0.2)X B ,乙命中次数(2,0.5)Y B ,且X 与Y 相互独立,于是(,)X Y 的联合分布列为2222(,)()()0.20.80.50.5ii i j j j P X i Y j P X i P Y j C C −−======,(,0,1,2)i j =.因此(,)X Y 的联合分布列及边缘分布列为3.17 [1999[1999年1]1]设随机变量X 与Y 相互独立，试完成下表：1x a 1/8 b g 2x 1/8 c d h j p g1/6ef1解 设表中空格数据为由11211p p p +=g ，即1186p +=，得1124p =； 由于X 与Y 相互独立，有1111p p p =?g g ，即111246p =?g ，得114p =g ；由1112131p p p p ++=g ，即131112484p ++=，得13112p =；由1221p p p =?g g ，即21184p =?g ，得212p =g ；由12222p p p +=g ，即221182p +=，得2238p =；由1231p p p ++=g g g ，即311162p ++=g ，得313p =g ；由13233p p p +=g ，即2311123p +=，得2314p =；由121p p +=g g ，即2114p +=g ，得234p =g .填表如下：3.18 [1990年3]一电子仪器由两个部件构成，随机变量X 与Y 分别表示这两个部件的寿命(单位：千小时) ，已知()2221, 0,0,,~(,) 0, x y x y e e e x y X Y F x y +−−− −−+≥≥= 其它.(1) 问X 与Y 是否相互独立？(2) 求这两个部件的寿命都超过100小时的概率.解（1）(, )X Y 关于X 的边缘分布函数为()()0.51,0,,0,0,x X e x F x F x x − −≥=∞=< (, )X Y 关于Y 的边缘分布函数为()()0.51,0,,0,0,y Y e y F y F y y − −≥=∞=<因为()()(),X Y F x y F x F y =，故X 与Y 相互独立．（2）()()()()()()()0.10.1,0.10.10.110.110.1X Y P X Y P X P Y F F e−>>=>>=−−=．3.19 设X 与Y 独立同均匀分布[1,3]U ，并且13a <<，记事件{}A X a =≤，{}B Y a =≥，且()7/9P A B =U ，求常数a .解 因为X 与Y 相互独立,所以事件A 与事件B 也相互独立. 因此111()()d 22aa P A P X a x −=≤==∫,313()()d 22a aP B P Y a x −=≥==∫, ()(1)(3)()()4a a P AB P A P B −−==.于是()()()()13(1)(3)72249a a a a P A B P A P B P AB −−−−=+−=+−=U ,解得53a =或73.3.2020 某码头只能容纳一只船，现预知某日将有两只船独立来到，且在24小时内各时刻来到的可能性相等，如果它们需要停靠的时间分别为3小时及4小时，试求有一只船要在江中等待的概率．解 设X ，Y 分别表示此二船到达码头的时间，则X , Y 的概率密度函数分别为1,024()240, ,X x f x ≤< = ，其它 1,024()240, ,Y y f x ≤< = ，其它则X 与Y 相互独立，其联合概率密度为()21,024,024,,()()240,X Y x y f x y f x f y ≤<≤<== 其他, 于是按题意，所求概率为(34).P Y X −≤−≤ 区域{(,)|024,024,34}G x y X Y Y X =≤≤≤≤−≤−≤ 所求概率为(34)P Y X −≤−≤21(,)d d 24Gf x y x y G ==×∫∫的面积3110.271152==. 3.21 设X 与Y 独立同均匀分布[0,1]U ，求方程20t Xt Y ++=有实根的概率. 解 X , Y 的概率密度分别为1, 01()0, ,X x f x << = ，其它 1, 01()0, ,Y y f x << =，其它由于X 与Y 相互独立，其联合概率密度为()1,01,01,,()()0,X Y x y f x y f x f y <<<< ==其他. 方程20t Xt Y ++=有实根的充要条件是判别式240X Y ∆=−≥,概率22211240401(40)(,)d d d d d 412x x y x P X Y f x y x y x y x −≥−≥====∫∫∫∫∫. 3.22二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布，求边缘概率密度()X f x ,()Y f y ,并判断X 和Y 是否相互独立.（1）{(,)|01,23}D x y x y =≤≤≤≤；（2）22{(,)|1}4y D x y x =+≤；（3）22{(,)|2}D x y x y y =+≤.解（1）因为区域D 的面积1,D S = , X Y （）的联合概率密度1, (,),(,)0, .x y D f x y ∈ = 其他因为, X Y （）关于X 的边缘密度函数32d 1, 01()(,)d 0, X y x f x f x y y +∞−∞=≤≤ == ∫∫其他.关于Y 的边缘密度函数10d 1, 23,()(,)d 0, ,Y x y f y f x y x +∞−∞=≤≤==∫∫其他所以，对任意实数x ，y 均有(,)()(),X Y f x y f x f y =故X 与Y 是相互独立的. （2）因为区域D 的面积2π,D S = , X Y （）的联合概率密度1, (,),(,)2π0, .x y D f x y ∈ = 其他 因为, X Y （）关于X 的边缘密度函数1()(,)d 0, X y x f x f x y y +∞−−∞=≤ ==∫∫其它. 关于Y 的边缘密度函数2()(,)d 0 Y y f y f x y x +∞−∞≤== ∫，，其它； 所以，对任意实数x ，y 均有(,)()(),X Y f x y f x f y ≠故X 与Y 是相互独立的.（3）因为区域D 的面积π,D S = , X Y （）的联合概率密度1, (,),(,)π0, .x y D f x y ∈ = 其他因为, X Y （）关于X 的边缘密度函数111d 1()(,)d 0, X y x f x f x y y π+∞−∞=≤ ==∫∫其它.关于Y 的边缘密度函数02()(,)d 0 Y y f y f x y x +∞−∞≤≤== ∫，，其它； 所以，对任意实数x ，y 均有(,)()(),X Y f x y f x f y ≠故X 与Y 是相互独立的.习题3.53.23 设(,)X Y 的联合分布列为求在1X =条件下，Y 的条件分布列.解 (1)(1,0)(1,1)(1,2)P X P X Y P X Y P X Y ====+==+==0.20.10.10.4=++= 在1X =条件下，Y 的条件分布列为(1,0)0.21(0|1)(1)0.42P X Y P Y X P X ========，(1,1)0.11(1|1)(1)0.44P X Y P Y X P X ========，(1,2)0.11(2|1)(1)0.44P X Y P Y X P X ========.或写成0 1 2111(1)24|4Y P Y k X ==.3.24 设二维随机变量(),X Y 的概率分布表为求：(1) (),X Y 关于X 的边缘分布列；(2) ()2P X Y +≤；(3)()00P Y X ==. 解 (1)(),X Y 关于X 的边缘分布列为0 20.3 0.7X P ；(2) ()()212,110.30.7P X Y P X Y +≤=−===−=.(3)()()()0,00.220000.33P X Y P Y X P X ========. 3.25 设二维随机变量 ()3, 0,0,,~(,)2 0, x xyx ex y X Y f x y −− >> =其它. 求：(1)边缘概率密度()X f x ；(2) 条件概率密度|(|)Y X f y x . 解 (1) 因为, X Y （）关于X 的边缘密度函数320d , 0,()(,)d 220, x xy xX x x e y e x f x f x y y ∞−−−∞−∞=>==∫∫其它. (2) 当0>x 时,条件概率密度|, 0,(,)(|)()0, 0.xy Y X X xe y f x y f y x f x y − >== ≤(3) 当12X =时,条件概率密度 2|11, 0,(|)220, 0.yY X e y f y y − > =≤ 3.26 设直线1x =，0y =以及曲线2y x =所围区域为G ， (,)X Y 在区域G 上服从二维均匀分布，试求：(1) (,)X Y 的联合概率密度(,)f x y ；(2) 条件概率密度|(|)Y X f y x 及|(|)X Y f x y ；(3) |(|1)Y X f y 及()|1/9X Y f x .解(1) 如图,区域2}01,0{(,)|x y x G x y <<<<=的面积为1201d 3S x x ==∫因此(,)X Y 的联合概率密度为201,03(,)0x y x f x y <<<< =， ，，其他．(2) , X Y （）关于X 的边缘密度函数 例3.26插图220 3 d 3, 01()(,)d 0, x X y x x f x f x y y +∞−∞=<<== ∫∫其它.关于Y 的边缘密度函数13(1 01()(,)d 0, Y x y f y f x y x +∞−∞=<<== ∫其它.当01x <<时，条件概率密度|(|)Y X f y x22|2031(,)(|)3() 0Y X X y x f x y f y x x xf x << ===， ，，其他． 当01y <<时，条件概率密度|(|)X Y f x y1(,)(|)() 0X Y Y x f x y f x y f y <<== ，，其他． (3) 当1x =时，条件概率密度|101(|1)0Y X y f y << =， ，，其他．当19y =时，条件概率密度|3111(|2390X Y x f x << =， ，，其他． 习题3.63.27 有一本100页的书，每页错别字数服从参数为0.01的泊松分布，假定各页错别字数相互独立，求这本书上错别字总数的概率分布. 解 设i X 表示此书第i 页上的错别字数, 则(0.01)i X P , 其中1,2,,100i =L .因为相互独立的泊松随机变量的和仍服从泊松分布,因此这本书上错别字总数1001()ii XP λ=∑ , 其中1000.011λ=×=.3.23.288设两个随机变量X 和Y 相互独立且同分布：()()111/2P X P Y =−==−=，()()111/2P X P Y ====，则下列各式成立的是（A）()12P X Y ==．（B）()1P X Y ==．（C）()104P X Y +==．（C）()114P XY ==． 解 因为X 与Y 相互独立，由边缘分布列可得联合分布列..111111442111144211122i jY p X p −− 由此得()()()1111,11,1442P X Y P X Y P X Y ===−=−+===+=，故（A）正确，（B）错误．另外，由()()()11101,11,1442P X Y P X Y P X Y +===−=+==−=+=知（C）错误，由{}00P XY ==知（D）错误．*3.29 设随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，Y 服从二项分布(,)B m p ，且X 与Y 相互独立，证明X Y +服从二项分布(,)B n m p +. 证: 因(,)X B n p ,(,)Y B m p ,所以()(1)k kn k n P X k C p p −==−，0,1,2,,.k n =L ()(1)k k m k m P Y k C p p −==−，0,1,2,,.k m =L而X Y +可能取值为0,1,2,,n m +L ,且X 与Y 相互独立,由卷积公式有00()()()= (1)(1)iik k n k i k i km i k n m k k P X Y i P X k P Y i k C p p C p p −−−−+==+====−−−∑∑= (1)= (1)ik i k i n m i i i n m in m n m k C C p p C p p −+−+−+=−−∑,0,1,2,,i n m =+L . 注:由超几何分布列的正则性可知,01k i k in m ik n mC C C −=+=∑.因此0ik i k in m n m k C C C −+==∑. 3.30设X 与Y 独立同分布，X 的分布列为1{}2k P X k ==，1,2,k =L .试求：(1)Z X Y =+的分布列；(2) min{,}Z X Y =的分布列.解 (1)Z X Y =+可能取值为2,3,L ,且X 与Y 相互独立,由卷积公式有1111()()()()= 222nnk n k nk k nP Z n P X Y n P X k P Y n k −====+====−=∑∑,2,3,n =L . (2)min{,}Z X Y =可能取值为1,2,3,L ,且X 与Y 相互独立,()(min{,})P Z n P X Y n ===11(,)(,)(,)k n k n P X n Y n P X n Y k P X k Y n ∞∞=+=+===+==+==∑∑11()()()()()()k n k n P X n P Y n P X n P Y k P X k P Y n ∞∞=+=+===+==+==∑∑12211111111322122222412n n n k n n n k n ∞+−=+=+=+=−∑’ 即min{,}Z X Y =的分布列为3()4n P Z n ==,1,2,n =L .3.31设X 与Y 相互独立，X 服从均匀分布[0,1]U ，Y 服从参数为2的指数分布，求： （1）,X Y （）的联合概率密度；（2）(1)P X Y +≤.解 (1)X 与Y 的概率密度分别为()1, 01,0, X x f x ≤≤ = 其他 与 ()22e , 00, 0y Y y f y y − = ≤ ＞由于X 与Y 独立，因此,X Y （）的联合概率密度为()()()22e ,01,0,0, .y X Y x y f x y f x f y − ≤≤== ＞, 其他（2）()11122220111(1), d d d 2e d (1e )d 22xy x x y P X Y f x y x y x y x e−−−+≤+≤===−=+∫∫∫∫∫. 3.32 设X 与Y 独立同均匀分布[0,1]U ，求Z X Y =+的概率密度. 解 Z X Y =+的概率密度1()()()d ()d Z X Y Y f z f x f z x x f z x x ∞−∞=−=−∫∫作变量变换, 令t z x =−,得1()()d zZ Y z f z f t t −=∫当0z <时, ()0Z f z =. 当 01z ≤<时, 1()()d d zzZ Y z f z f t t t z −===∫∫.当 011z ≤−<时, 即 12z ≤<时, 1111()()d d 2Z Y z z f z f t t t z −−===−∫∫.当11z −≥时, 即 2z ≥时, 11()()d 0Z Y z f z f t t −==∫.于是Z X Y =+的概率密度为, 01,()2, 12,0, Z z z f z z z <≤=−<≤当当其他.*3.33 设()(2)2,0,0,,~(,) 0, x y e x y X Y f x y −+ >>= 其它.求随机变量2Z X Y =+的分布函数.解 随机变量2Z X Y =+取值为(0,)∞当0z ≤时, ()()(2)0Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤=; 当0z >时, 设区域{(,)|0,0,2}G x y x y x y z =>>+≤,(){}{}2Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤()()22,2x y x y zf x y dxdy edxdy −++≤==∫∫∫∫G220d 2d 1z xzx y z z e x e y e ze −−−−−==−−∫∫.于是，随机变量Y X Z 2+=的分布函数为()1,00,0z z Z e ze z F z z −− −−≥= <．★可进一步求得随机变量Z 的密度函数为(),00,0z Z ze z f z z − ≥= <．*3.34设X 与Y 独立同标准正态分布(0,1)N ，随机变量Z =,验证Z 的概率密度为()2/2, 0,0,z z ze z f z − ≥ = 其它， 称Z 服从瑞利（Rayleigh）分布.解 已知X 、Y 的分布密度分别为22()xXf x−=，22()yYf y−=,由相互独立性得X与Y的联合密度函数为221()21(,)()()2x yX Yf x y f x f y eπ−+=⋅=由于0Z=≥,知当0z<时, ()()0ZF z P Z z=≤=;当0z≥时, ()222())()ZF z P Z z P z P X Y z=≤=≤=+≤222222221()21(,)d d d d2x yx y z x y zf x y x y e x yπ−++≤+≤==∫∫∫∫22222220011d d2[]122r r zz ze r r e eπθπππ−−−=−=−∫∫极坐标.将()ZF z关于z求导数,得Z的概率密度为()2/2,0,0,zzze zf z−≥=其它.3.35 对某种电子装置的输出测量了5次，得到的观察值为12345,,,,X X X X X. 设它们独立同分布，概率密度为2/8,0,()40,xxe xf x−>=其它.求：（1）12345max{,,,,}Z X X X X X=的分布函数；（2）{4}P Z>.解（1）设12345,,,,X X X X X的分布函数为()XF x,则当0x≤时, ()0XF x=.当0x>时, 有()22x/8/8d14x xXxF x e x e−−−∞==−∫.即2/81,0,()0,xXe xF x−−>=其它.因此12345max{,,,,}Z X X X X X=的分布函数25851,0,()()(())0,.zZ Xe zF Z P Z z F z−−>=≤==其他25(2)(4)1(4)1(4)1(1)0.5167.z P Z P Z F e −>=−≤=−=−−=3.36 设随机变量,X Y （）的联合分布列为求：(1) =max(,)U X Y 的分布列；(2) =min(,)V X Y 的分布列；(3) =W X Y +的分布列；(4) (1|2)P X Y ==,(3|0)P Y X ==.解 (1)由X ，Y 的可能取值知=max(,)U X Y 的可能值为：0，1，2，3. 且有 (0)(1,0)(0,0)0.150.060.21P Z P X Y P X Y ===−=+===+=，(1)(1,1)(0,1)(1,1)(1,0)P Z P X Y P X Y P X Y P X Y ===−=+==+==+==0.020.050.150.10.32=+++=，(2)(1,2)(0,2)(1,2)P Z P X Y P X Y P X Y ===−=+==+==0.150.020.050.22=++=,(3)1(0)(1)(2)10.310.320.220.15P Z P Z P Z P Z ==−=−=−==−−−=. 所以=max(,)U X Y 的分布列 0 1 2 3 0.21 0.32 0.22 0.15U P (2由X ，Y 的可能取值知=min(,)V X Y 的可能值为：-1,0,1. 且有(1)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)P Z P X Y P X Y P X Y P X Y =−==−=+=−=+=−=+=−=0.150.020.150.070.39=+++=，(0)(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)P Z P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+==(1,0)0.060.050.020.030.10.26P X Y +===++++=,(1)1(1)(0)10.390.260.35P Z P Z P Z ==−=−−==−−=.所以=min(,)V X Y 的分布列为 1 0 1 0.39 0.26 0.35V P − (3) 由X ，Y 的可能取值知=W X Y +的可能值为：-1, 0，1，2，3, 4. 且有 (1)(1,0)0.15P W P X Y =−==−==，(0)(1,1)(0,0)0.020.060.08P W P X Y P X Y ===−=+===+=,(1)(1,2)(0,1)(1,2)P W P X Y P X Y P X Y ===−=+==+==0.150.050.10.3=++=，(2)(1,3)(0,2)(1,1)P W P X Y P X Y P X Y ===−=+==+==0.070.020.150.24=++=,(3)(0,3)(1,2)0.030.050.08P W P X Y P X Y ====+===+=,(4)(1,3)0.15P W P X Y =====.所以=W X Y +的分布列为1 0 1234 0.15 0.08 0.3 0.24 0.08 0.15W P −. (4) (2)(1,2)(0,2)(1,2)P Y P X Y P X Y P X Y ===−=+==+==0.150.020.050.22=++=,(0)(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)P X P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+== 0.060.050.020.030.16=+++=,(1,2)0.055(1|2)(2)0.2222P X Y P X Y P Y ========, (0,3)0.033(3|0)(0)0.1616P X Y P Y X P X ========.。
袁卫统计学(第二版)习题答案
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根据上面的数据进行适当的分组，编制频数分布表，并绘制直方图。
2.4为了确定灯泡的使用寿命（小时），在一批灯泡中随机抽取100只进行测试，所得结果如下：
向下累积
企业数
频率
企业数
频率
100以下
100～110
110～120
120～130
130～140
140以上
5
9
12
7
4
3
12.5
22.5
30.0
17.5
10.0
7.5
5
14
26
33
37
40
12.5
35.0
65.0
82.5
92.5
100.0
40
35
26
14
7
3
100.0
87.5
65.0
35.0
17.5
7.5
694
690
736
689
696
651
673
749
708
727
688
689
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概率统计第二章习题答案.docx
第二章习题答案1、 P{Y 詡=(1-0.4尸 x0.4 k=l,2,…2、 用4表示第i 个阀门开P{X = 0} = P (A (X U 4))= p (A )(p (A ；)+ p (4)- P (石)P (忑))=0.2(0.2 + 0.2 - 0.2 x 0.2) = 0.072P{X =1} = P[A,(兀 U 石)U A^A 2A 3] = 0.8(0.2 + 0.2 - 0.04) + 0.2 x 0.82-0.416P{X =2} = P(A 1A 2A 3) = 0.83 = 0.512 3、 X~b(15,0.2)P{X =k} = C^0.2k xO.815-' k=0,l,2,……,15 (1) P{X = 3} =0.23 x 0.812 = 0.2501(2) >2}-l-C° 0.2° x0.815 -C ：0.2x0.814 = 0.8329(3)P{1 < X <3} = Q50.21 x0.814 + C ；50.22 x0.813 + Cf 50.23 x0.812 =0.61295(4) P{X 〉5} = 1 —工生0.2* x0.8z =0.0611R=04、用X 表示5个元件中正常工作的个数P(X > 3) = Cf 0.93 x 0.12 + C" 0.94 x 0.1 + 0.95 =0.9914 5、设 X=(8000#产品的次品数｝则 X~b(8000,0.001)近似地由于n 很大，P 很小，所以利用X 〜”⑻6、(l)X~n(10)15 [0*0-10P{X 〉15}=1-P{X V15} = 1-工 ------------ = 1-0.9513 = 0.0487*=o kl(2) V X~n( X).-.| = p{x >O } = I -P {X =0} = l-^-P{X<7} =工*=0 8。
高等教育出版社,袁德美主编的概率论与数理统计习答案
1
2
E( X E( X ) ) E( X 1) x 1 f ( x)dx
(1 x) x dx
0 1 2 1
1 ( x 1) (2 x) dx 3
4.13 设 (X, Y ) 的联合概率密度是
y
12 y 2 , 0 y x 1 f ( x, y ) 其他 0 , 求(1)E(X),E(Y);(2)E(XY);(3)E(X2＋Y2)
4.19 设 X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每 次命中目标的概率为0.4,则E(X2)=( A )
(A)18.4
解
(B)24
(C)16
(D)12
X
B(10, 0.4)
E ( X ) np 4
D( X ) npq 2.4
又D( X ) E ( X ) [ E ( X )]
Cov( X , Y ) E( XY ) E( X ) E(Y ) 0
XY
Cov( X , Y ) 0 D( X ) D(Y )
1 解 又P( X 1, Y 1) 8 3 3 P ( X 1) , P (Y 1) 8 8
但P( X 1, Y 1) P( X 1) P(Y 1)
2 2
xyf ( x, y) dxdy dx
0
1 xy 12 y dy 2
(3) E ( X Y )
1
x
( x 2 y 2 ) f ( x, y ) dxdy
2 2 2
16 dx ( x y ) 12 y dy 0 0 15
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第2章统计数据的描述2.1 （1）属于顺序数据。
（2）频数分布表如下：服务质量等级评价的频数分布服务质量等级家庭数（频率）频率%A 14 14B 21 21C 32 32D 18 18E 15 15合计100 100 （3）条形图（略）2.2 （1）频数分布表如下：（2）某管理局下属40个企分组表按销售收入分组（万元）企业数（个）频率（%）先进企业良好企业一般企业落后企业11119927.527.522.522.5合计40 100.0 2.3 频数分布表如下：某百货公司日商品销售额分组表按销售额分组（万元）频数（天）频率（%）25～30 30～35 35～40 40～45 45～5046159610.015.037.522.515.0合计40 100.0 直方图（略）。
2.4 （1）排序略。
（2）频数分布表如下：100只灯泡使用寿命非频数分布按使用寿命分组（小时）灯泡个数（只）频率（%）650~660 2 2660~670 5 5670~680 6 6680~690 14 14690~700 26 26700~710 18 18710~720 13 13720~730 10 10730~740 3 3740~750 3 3合计100 100 直方图（略）。
2.5 （1）属于数值型数据。
（2）分组结果如下：分组天数（天）-25~-20 6-20~-15 8-15~-10 10-10~-5 13-5~0 120~5 45~10 7合计60（3）直方图（略）。
2.6 （1）直方图（略）。
（2）自学考试人员年龄的分布为右偏。
（2）A 班考试成绩的分布比较集中，且平均分数较高；B 班考试成绩的分布比A 班分散，且平均成绩较A 班低。
2.82.9 （1）=274.1（万元）；Me =272.5 ；Q L =260.25；Q U =291.25。
（2）17.21=s（万元）。
2.10 （1）甲企业平均成本＝19.41（元），乙企业平均成本＝18.29（元）；原因：尽管两个企业的单位成本相同，但单位成本较低的产品在乙企业的产量中所占比重较大，因此拉低了总平均成本。
2.11x =426.67（万元）；48.116=s （万元）。
2.12 （1）（2）两位调查人员所得到的平均身高和标准差应该差不多相同，因为均值和标准差的大小基本上不受样本大小的影响。
（3）具有较大样本的调查人员有更大的机会取到最高或最低者，因为样本越大，变化的范围就可能越大。
2.13 （1）女生的体重差异大，因为女生其中的离散系数为0.1大于男生体重的离散系数0.08。
（2） 男生：x =27.27（磅），27.2=s（磅）； 女生：x =22.73（磅），27.2=s （磅）；（3）68%；（4）95%。
2.14 （1）离散系数，因为它消除了不同组数据水平高地的影响。
（2）成年组身高的离散系数：024.01.1722.4==s v ； 幼儿组身高的离散系数：032.03.713.2==s v ；由于幼儿组身高的离散系数大于成年组身高的离散系数，说明幼儿组身高的离散程度相对较大。
2.152.16 （1）方差或标准差；（2）商业类股票；（3）（略）。
2.17 （略）。
第3章 概率与概率分布3.1设A ＝女性，B ＝工程师，AB ＝女工程师，A+B ＝女性或工程师 （1）P(A)＝4/12＝1/3 （2）P(B)＝4/12＝1/3 （3）P(AB)＝2/12＝1/6（4）P(A+B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝1/3＋1/3－1/6＝1/23.2求这种零件的次品率，等于计算“任取一个零件为次品”（记为A ）的概率()P A 。
考虑逆事件A =“任取一个零件为正品”，表示通过三道工序都合格。
据题意，有：()(10.2)(10.1)(10.1)0.648P A =---=于是 ()1()10.6480.352P A P A =-=-=3.3设A 表示“合格”，B 表示“优秀”。
由于B ＝AB ，于是)|()()(A B P A P B P ＝＝0.8×0.15＝0.123.4 设A ＝第1发命中。
B ＝命中碟靶。
求命中概率是一个全概率的计算问题。
再利用对立事件的概率即可求得脱靶的概率。
)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +＝＝0.8×1＋0.2×0.5＝0.9 脱靶的概率＝1－0.9＝0.1或（解法二）：P (脱靶)＝P (第1次脱靶)×P(第2次脱靶)＝0.2×0.5＝0.1 3.5 设A ＝活到55岁，B ＝活到70岁。
所求概率为：()()0.63(|)0.75()()0.84P AB P B P B A P A P A ＝＝＝＝3.6这是一个计算后验概率的问题。
设A ＝优质率达95％，A ＝优质率为80％，B ＝试验所生产的5件全部优质。
P(A)＝0.4，P (A )＝0.6，P (B|A )=0.955， P(B |A )=0.85，所求概率为：6115.050612.030951.0)|()()|()()|()()|(＝＝＝A B P A P A B P A P A B P A P B A P +决策者会倾向于采用新的生产管理流程。
3.7 令A 1、A 2、A 3分别代表从甲、乙、丙企业采购产品，B 表示次品。
由题意得：P (A 1)＝0.25，P (A 2)＝0.30， P (A 3)＝0.45；P (B |A 1)＝0.04，P (B |A 2)＝0.05，P (B |A 3)＝0.03；因此，所求概率分别为：（1）)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++＝＝0.25×0.04＋0.30×0.05＋0.45×0.03＝0.0385 （2）3506.00385.00135.00.030.450.050.300.040.2503.045.0)|(3＝＝＋＋＝⨯⨯⨯⨯B A P3.8据题意，在每个路口遇到红灯的概率是p ＝24/(24+36)＝0.4。
设途中遇到红灯的次数＝X ，因此，X ～B (3，0.4)。
其概率分布如下表：3.9 设被保险人死亡数＝X ，X ～B (20000，0.0005)。
（1）收入＝20000×50（元）＝100万元。
要获利至少50万元，则赔付保险金额应该不超过50万元，等价于被保险人死亡数不超过10人。
所求概率为：P(X ≤10)＝0.58304。
（2）当被保险人死亡数超过20人时，保险公司就要亏本。
所求概率为： P(X >20)＝1－P(X ≤20)＝1－0.99842＝0.00158 （3）支付保险金额的均值＝50000×E (X ) ＝50000×20000×0.0005（元）＝50（万元） 支付保险金额的标准差＝50000×σ(X )＝50000×(20000×0.0005×0.9995)1/2＝158074（元）3.10 （1）可以。
当n 很大而p 很小时，二项分布可以利用泊松分布来近似计算。
本例中，λ= np =20000×0.0005=10，即有X ～P (10)。
计算结果与二项分布所得结果几乎完全一致。
（2）也可以。
尽管p 很小，但由于n 非常大，np 和np(1-p)都大于5，二项分布也可以利用正态分布来近似计算。
本例中，np =20000×0.0005=10，np (1-p )=20000×0.0005×(1-0.0005)=9.995， 即有X ～N (10,9.995)。
相应的概率为： P (X ≤10.5)＝0.51995，P(X ≤20.5)＝0.853262。
可见误差比较大（这是由于P 太小，二项分布偏斜太严重）。
【注】由于二项分布是离散型分布，而正态分布是连续性分布，所以，用正态分布来近似计算二项分布的概率时，通常在二项分布的变量值基础上加减0.5作为正态分布对应的区间点，这就是所谓的“连续性校正”。
（3）由于p ＝0.0005，假如n =5000，则np ＝2.5<5，二项分布呈明显的偏态，用正态分布来计算就会出现非常大的误差。
此时宜用泊松分布去近似。
3.11（1）)6667.1()30200150()150(-<-<=<Z P Z P X P ＝＝0.04779合格率为1-0.04779＝0.95221或95.221％。
(2) 设所求值为K ，满足电池寿命在200±K 小时范围内的概率不小于0.9，即有：|200|(|200|){||}0.93030X KP X K P Z --<=<≥＝即：{}0.9530KP Z <≥，K /30≥1.64485,故K ≥49.3456。
3.12设X ＝同一时刻需用咨询服务的商品种数，由题意有X ～B(6,0.2)（1）X 的最可能值为：X 0＝[(n+1)p]＝[7×0.2]＝1 （取整数）（2）∑=--=≤-=>2668.02.01)2(1)2(k k k k C X P X P＝1-0.9011＝0.0989第4章 抽样与抽样分布4.1 ⑴ 20, 2； ⑵ 近似正态； ⑶ -2.25； ⑷ 1.50。
4.2 ⑴ 0.0228； ⑵ 0.0668； ⑶ 0.0062； ⑷ 0.8185； ⑸ 0.0013。
4.3 ⑴ 0.8944； ⑵ 0.0228； ⑶ 0.1292； ⑷ 0.9699。
4.4 ⑴ 101, 99 ⑵ 1 ； ⑶ 不必。
4.5 趋向正态。
4.6 ⑴ 正态分布, 213, 4.5918； ⑵ 0.5, 0.031, 0.938。
4.7 ⑴ 406, 1.68, 正态分布； ⑵ 0.001； ⑶是，因为小概率出现了。
4.8 ⑴ 增加； ⑵ 减少。
4.9 ⑴ 正态； ⑵ 约等于0； ⑶ 不正常； ⑷ 正态, 0.06。
4.10 ⑴ 0.015； ⑵ 0.0026； ⑶ 0.1587。
4.11 ⑴ (0.012, 0.028)； ⑵ 0.6553, 0.7278。
4.12 ⑴ 0.05； ⑵ 1 ； ⑶ 0.000625。
第5章 参数估计5.1 （1）79.0=x σ；（2）E =1.55。
5.2 （1）14.2=x σ；（2）E =4.2；（3）（115.8,124.2）。
5.3 （2.88,3.76）；(2.80,3.84)；(2.63,4.01)。