关于线性二层规划分枝定界方法的探讨

第15卷　第5期运　筹　与　管　理Vol.15,No.52006年6月OPERA TIONS RESEARCH AND MANA GEMEN T SCIENCE Oct.2006 收稿日期:2005212211基金项目:国家自然科学基金资助项目(70371032,50479039)作者简介:吕一兵(19792),男,博士生,从事最优化方面研究。

关于线性二层规划分枝定界方法的探讨吕一兵1,　万仲平2,　胡铁松1,　王广民1(11武汉大学系统工程研究所,湖北武汉430072;21武汉大学数学与统计学院,湖北武汉430072)摘　要:对求解线性二层规划的分枝定界方法进行了探讨.给出的一个例子表明,目前的分枝定界方法不能很好地解决上层带有任意线性形式约束的线性二层规划问题,进而在线性二层规划新定义的基础上提出了求解线性二层规划的扩展分枝定界方法.算例表明扩展分枝定界方法可以有效解决原分枝定界方法的不足。

关键词:线性二层规划;分枝定界法;最优解中图分类号:O221.1 文章标识码:A 文章编号:100723221(2006)0520024205A Discussion on the branch 2and 2bound Approach toLinear Bilevel ProgrammingL U Y i 2bing 1,HU Tie 2song 1,WAN Zhong 2ping 2,WAN G Guang 2min 1(11Instit ute of S ystems Engi neeri ng ,W uhan U niversity ,W uhan 430072,Chi na ;21School of M athem atics and S tatistics ,W uhan U niversity ,W uhan 430072,Chi na )Abstract :This paper gives an analysis of the branch 2and 2bound approach to linear bilevel programming.A de 2signed example shows that the current branch 2and 2bound approach can ’t deal with a linear bilevel program 2ming problem well when the constraint functions at the upper 2level are of arbitrary linear form.Then based on the new definition of linear bilevel programming solution ,this paper gives an extended branch 2and 2bound ap 2proach to the linear bilevel programming.The numerical results show that the extended branch 2and 2bound ap 2proach can solve the deficiency efficiently.Key words :linear bilevel programming ;branch 2and 2bound approach ;optimal solution0　引言二层规划是二层决策问题的数学模型,它是一种具有二层递阶结构的系统优化问题.在二层规划模型中,上层问题和下层问题都有各自的目标函数和约束条件。

上层问题的目标函数和约束条件不仅与上层决策变量有关,而且还依赖于下层问题的最优解,而下层问题的最优解又受到上层决策变量的影响。

由于二层规划问题具有极其复杂的几何性质,是N P —难问题[1]。

人们对二层规划的研究大多数还局限于线性二层规划问题。

在求解线性二层规划的算法中,分枝定界法已被证明是最有效的方法之一。

然而,它的缺陷是不能很好地解决具有任意形式上层约束的线性二层规划问题。

Chenggen Shi [2]给出了有关线性二层规划最优解的一种新定义。

同时证明在新定义下,只要线性二层规划的诱导域非空,那么线性二层规划必定存在最优解。

在此基础上笔者考虑将原分枝定界方法进行扩展,以解决原分枝定界方法在求解具有任意上层线性约束的线性二层规划问题时存在的缺陷。

在本文的第1节将给出Bard [3]提出的求解线性二层规划的原分枝定界方法及其存在的缺陷,在接下来的内容中将给出扩展的分枝定界方法及其收敛性。

最后对本文进行了小结。

1　分枝定界方法及其缺陷假设:x ∈X <R n ,y ∈Y <R m ,F :X ×Y →R 1,f :X ×Y →R 1,Bard [3]给出了线性二层规划的一般数学模型:min x ∈XF (x ,y )=c 1x +d 1y s.t A 1x +B 1y ≤b 1min y ∈Yf (x ,y )=c 2x +d 2y s.t A 2x +B 2y ≤b 2(1)其中:c 1,c 2∈R n ,d 1,d 2∈R m ,b 1∈R p ,b 2∈R q ,A 1∈R p ×n ,B 1∈R p ×m ,A 2∈R q ×n ,B 2∈R q ×m 。

对于一般的线性二层规划问题(1),Bard [3]给出了如下定义:定义1(a )线性二层规划的约束域:S ={(x ,y ):x ∈X ,y ∈Y ,A 1x +B 1y ≤b 1,A 2x +B 2y ≤b 2}(b )对每个固定的x ∈X ,下层问题的可行解集:S (x )={y ∈Y :B 2y ≤b 2-A 2x}(c )线性二层规划问题的约束域S 在上层决策空间中的投影:S (X )={x ∈X :ϖy ∈Y ,A 1x +B 1y ≤b 1,A 2x +B 2y ≤b 2}(d )对于x ∈S (X ),下层问题的合理反应集:P (x )={y ∈Y :y ∈argmin [f (x ,y ):y ∈S (x )]}(e )线性二层规划的诱导域:IR ={(x ,y ):(x ,y )∈S ,y ∈P (x )}对于线性二层规划问题(1),以下层问题的K T 最优性条件来代替下层问题,可以得到相应的单层规划并且有如下定理:定理1[4]　在线性二层规划(1)中,(x 3,y 3)∈S 是问题(1)的最优解的充要条件是:存在行向量u 3∈R q ,v 3∈R m 使得(x 3,y 3,u 3,v 3)是如下问题的最优解min c 1x +d 1ys.t .　A 1x +B 1y ≤b 1A 2x +B 2y ≤b 2(2)uB 2-v =-d 2u (b 2-A 2x -B 2y )+vy =0x ≥0,y ≥0,u ≥0,v ≥0利用线性二层规划(1)与规划(2)的等价性,可以得到求解(2)的分枝定界方法。

为方便起见,首先介绍一些有用的记号。

令W ={1,…,q +m}, F 为上层目标函数的上界,在搜索的第k 层,定义指标集W k <W ,同时定义P k 为搜索路径。

令S +k ={i :i ∈W k 且u i =0}S -k ={i :i ∈W k 且g i =0}(g i 表示定义1下下层问题的约束条件)S 0k ={i :i ∈/W k }分枝定界算法[3]的具体步骤是:步0　令k =0,S +k =Φ(空集),S -k =Φ,S 0k ={1,…,q +m},F =∞;步1　对于i ∈S +k ,令u i =0,同时对i ∈S -k ,令g i =0求解问题(2)中省去互补松弛条件后得到的线性子规划问题,如果线性子规划问题不可行,转步5;否则,置k ←k +1,得到解(x k ,y k ,u k );步2　如果F (x k ,y k )≥ F ,转步5;步3　如果u k i g i (x k ,y k )=0,i =1,…,q +m ,转步4;否则,选择使得u k i g i (x k ,y k )最大的指标i ,同时将其记为i 1,令S +k =S +k ∪{i 1},S 0k =S 0k \{i 1},S -k =S -k ,将i 1加入到P k ,转步1;步4　令 F =F (x k ,y k );步5　如果没有可分节点存在,转步6;否则分枝到新的顶点,同时更新S +k ,S -k ,S 0k 以及P k ,转步1;步6　如果 F =∞,则线性二层规划(1)不存在可行点,否则与 F 相关的(x k ,y k )为线性二层规划的全52第5期 吕一兵,等:关于线性二层规划分枝定界方法的探讨局最优解。

关于该分枝定界算法的收敛性,Bard [3]给出了如下定理:定理2　假设对于x ∈S (X ),P (x )的元素唯一,则该分枝定界算法终止于线性二层规划(1)的全局最优解。

然而下面的例子表明,对有些线性二层规划问题即使定理2的条件得到满足,分枝定界方法也不会终止于线性二层规划的全局最优解。

例1　考虑如下问题:其中x ∈R 1,y ∈R 1,X ={x |x ≥0},Y ={y |y ≥0}。

min x ≥0F (x ,y )=x -4y s.t.-x -y ≤-33x -2y ≤4min y ≥0f (y )=-x +y s.t .2x +y ≤12-2x +y ≤0(3)根据定理1,我们可以得到如下与问题(3)等价的规划问题:min F (x ,y )=x -4ys.t.-x -y ≤-33x -2y ≤42x +y ≤12-2x +y ≤0u 1+u 2-u 3=-1u 1(2x -y )=0u 2(12-2x -y )=0u 3y =0x ≥0,y ≥0u 1≥0,u 2≥0,u 3≥0(4)令W ={1,2,3},S +k =Φ,S -k =Φ,S 0k ={1,2,3},F =∞。

在问题(4)中求解省去互补松弛条件后得到的线性子问题,可以得到:x 1=3,y 1=6,u 1=(0,0,1)。

检验知其不满足互补松弛条件,由步3,选择u 3为分枝变量,同时记S +1={3},S 01+{1,2},S -1=Φ,P 1=(3)。

转步1;由步1,令u 3=0,求解如下问题:min F (x ,y )=x -4s.t.-x -y ≤-33x -2y ≤42x +y ≤12-2x +y ≤0u 1+u 2=-1x ≥0,y ≥0u 1≥0,u 2≥0(5)由单纯形法可以得到(5)没有可行解,转步5;由步5,令S +2=Φ,S -2={3},S 02={1,2},P 1=(3),转步1;由步1,令g 3=0,求解如下问题:min F (x ,y )=x -4ys.t.-x -y ≤-33x -2y ≤42x +y ≤12-2x +y ≤0u 1+u 2-u 3=-1y =0x ≥0,y ≥0,u 1≥0,u 2≥0,u 3≥0(6)由单纯形方法可以得到(6)没有可行解,由步5和步6可知 F =∞,则问题(3)没有最优解。