整数规划及分支定界法概要
分支定界法
分支定界法第一篇：分支定界法整数线性规划之分支定界法摘要最优化理论和方法是在上世纪 40 年代末发展成为一门独立的学科。
1947年，Dantaig 首先提出求解一般线性规划问题的方法，即单纯形算法，随后随着工业革命、计算机技术的巨大发展，以及信息革命的不断深化，到现在的几十年时间里，它有了很快的发展。
目前，求解各种最优化问题的理论研究发展迅速，例如线性规划、非线性规划以及随机规划、非光滑规划、多目标规划、几何规划、整数规划等，各种新的方法也不断涌现，并且在军事、经济、科学技术等方面应用广泛，成为一门十分活跃的学科。
整数规划（integer programming）是一类要求要求部分或全部决策变量取整数值的数学规划，实际问题中有很多决策变量是必须取整数的。
本文主要介绍求解整数线性规划问题的分支定界法及其算法的matlb实现。
关键词：整数线性规划；分支定界法；matlb程序；1．引言1.1优化问题发展现状最优化理论与算法是一个重要的数学分支，它所讨论的问题是怎样在众多的方案中找到一个最优的方案.例如，在工程设计中，选择怎样的设计参数，才能使设计方案既满足要求又能降低成本；在资源分配中，资源有限时怎样分配，才能使分配方案既可以满足各方面的要求，又可以获得最多的收益；在生产计划安排中，怎样设计生产方案才能提高产值和利润；在军事指挥中，确定怎样的最佳作战方案，才能使自己的损失最小，伤敌最多，取得战争的胜利；在我们的生活中，诸如此类问题，到处可见.最优化作为数学的一个分支，为这些问题的解决提供了一些理论基础和求解方法.最优化是个古老的课题.长期以来，人们一直对最优化问题进行着探讨和研究.在二十世纪四十年代末，Dantzig 提出了单纯形法，有效地解决了线性规划问题，从而最优化成为了一门独立的学科。
目前，有关线性规划方面的理论和算法发展得相当完善,但是关于非线性规划问题的理论和算法还有待进一步的研究，实际应用中还有待进一步的完善。
整数规划 割平面法 分枝定界法
用图解法求得可行域D及最优解点A，见下图：
x2
A（3/4，7/4） 由标准化的约束方程组可得
-x1+x2=1
1
D B（1，1）
x3 =1+x1-x2 x4=4 -3x1-x2 代入切割方程 得
-1 0
3x1+x2=4
3（1+x1-x2）+（4-3x1-x2）≥3
下面以实例来说明算法的步骤。
例2 求解下面整数规划
x2
maxZ=40x1+90x2
⑴8
9x1+ 7x2≤56 7x1+20x2≤70 xx11,,xx22≥0整数
⑵
⑶ ⑷
4
⑸
解：先不考虑条件⑸，求解相 0
应的线性规划问题L，得最优解
x1=4.81，x2=1.82，Z0=356（见图） 该解不是整数解。选择其中一个
整个分枝定界过程如下图所示：
问题L
Z0=356 x1=4.81x2=1.82
Z 0,Z 356
x1≤4
问题L1 Z1=349 x1=4.00，x2=2.10
x2≤2 问题L3 Z3=340 x1=4.00 x2=2.00
Z※=340
x2≥3
问题L4 Z4=327 x1=1.42 x2=3.00
×
x1≥5
运筹学
整数线性规划
§1 整数规划问题
在前面的线性规划问题中，它的解都假设为可以取连续数值。 但是在许多实际问题中，决策变量仅仅取整数值时才有意义，比如 变量表示的是工人的人数、机器的台数、货物的箱数、装货的车皮 数等等。为了满足整数解的要求，比较自然的简便方法似乎就是把 用线性规划方法所求得的非整数解进行“四舍五入”取整或“舍尾 取整”处理。当然，这样做有时确实也是有效的，可以取得与整数 最优解相近的可行整数解，因此它是实际工作中经常采用的方法。 但是实际问题中并不都是如此，有时这样处理得到的解可能不是原 问题的可行解，有的虽是原问题的可行解，但却不是整数最优解。 （详见后面例1）。因而有必要专门研究只取整数解的线性规划的 解法问题。
milp优化问题的典型求解方法
Milp（Mixed Integer Linear Programming）是一类线性规划问题，其变量包括整数型和实数型变量。
对于Milp优化问题，常见的求解方法包括整数规划分支定界法、整数规划切割平面法、启发式算法等。
本文将着重介绍Milp优化问题的典型求解方法，以便读者更好地理解和应用这些方法。
一、整数规划分支定界法1. 整数规划分支定界法是一种常用的Milp求解方法，其基本思想是通过不断地分支和界定变量取值范围来逐步逼近最优解。
具体步骤包括：（1）初始化线性规划问题，将整数变量约束为取值范围。
（2）求解线性松弛问题，得到最优解和最优目标值。
（3）检查最优解中的整数变量是否满足整数条件，若满足则更新最优解和目标值，否则进行分支操作。
（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。
二、整数规划切割平面法2. 整数规划切割平面法是另一种常用的Milp求解方法，其核心思想是通过不断添加约束条件来逼近最优解。
具体步骤包括：（1）初始化线性规划问题，将整数变量约束为取值范围。
（2）求解线性松弛问题，得到最优解和最优目标值。
（3）检查最优解中的整数变量是否满足整数条件，若满足则更新最优解和目标值，否则添加约束条件。
（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。
三、启发式算法3. 启发式算法是一类常用的Milp求解方法，其特点是通过启发式策略来搜索最优解。
常见的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索算法等。
这些算法通过不断地迭代和搜索来寻找最优解，其求解步骤包括：（1）初始化种群或解空间。
（2）根据指定策略进行选择、交叉和变异操作。
（3）更新种群或解空间，并计算适应度值。
（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。
四、优化问题的特点及应用4. Milp优化问题的求解方法在实际应用中具有广泛的适用性，常见的应用领域包括生产调度、物流规划、网络设计等。
由于Milp问题的复杂性和求解困难性，对于实际问题的建模和求解需要充分考虑问题特点和求解方法的选择。
1整数规划的基本特点§2分枝定界法§3割平面法§4分配问题及其解法
将松弛变量加到G1中得到LP问题G2:
G2： max z 3x1 2 x 2 2 x1 3x 2 x3 14 2 x1 x 2 x 4 9 1 1 1 s.t. x3 x 4 x5 2 2 2 1 1 x5 x 6 2 2 x j 0( j 1,,6)
第一步：把问题中所有约束条件的系数均化 为整数，若不考虑变量的整数约束，可写出一般 的线性规划问题G0：
G 0： max z 3 x1 2 x 2 2 x1 3 x 2 14 s.t. 2 x1 x 2 9 x1 , x 2 0
用单纯形法求得上述问题的最终单纯形表如下：
第5章 整数规划
§1 §2 §3 §4 §5 整数规划的基本特点 分枝定界法 割平面法 分配问题及其解法 整数规划的应用举例
§3 割平面法
• 这是求解整数规划问题最早提出的一种方法， 1958年由Gomory提出。 • 他的基本思想是在整数规划问题的松弛问题中 依次引进线性约束条件，是可行域逐步缩小。 但每次切割只割去问题的部分非整数解，直到 使问题的目标函数值达到最优的整数点成为缩 小后可行域的一个顶点，这样即可用线性规划 问题的方法找出这个最优解。 • 具体步骤如下：
迭代 基变 次数 量 CB x2 x1 2 3 Cj-Zj
x1 3 0 1 0
x2 2 1 0 0
x3 0 1/2 -1/4 -1/4
x4 0 -1/2 3/4 -5/4 b 5/2 13/4
比值 bi/aij
第二步：找出非整数解变量中分数部分最大的一个基变量， 并写下这一行的约束 1 1 1 x3 x4 2 2 2 2 将上式中所有常数写成整数与一个正分数值之和得 x2 1 1 1 x2 (0 ) x3 (1 ) x4 (2 ) 2 2 2 分数项移到等式右端，整数项移到等式左端得到 1 1 1 x2 x4 2 x3 x4 2 2 2 右端也必须取整数值，又因x2 , x4 0，因此有 1 1 1 x3 x4 0 2 2 2 加上松弛变量后得Gomory约束 1 1 1 x3 x4 x5 0 2 2 2
基于分支定界法的整数规划问题研究与应用
基于分支定界法的整数规划问题研究与应用1. 引言1.1 整数规划概述整数规划是运筹学中的一种重要问题求解方法，它主要关注于在一组约束条件下，寻找使某个目标函数取得最优值的整数决策变量。
与线性规划相比，整数规划问题更为复杂和困难，因为整数规划要求决策变量取值必须为整数。
这使得整数规划问题在实际应用中更具挑战性。
整数规划可以广泛应用于资源分配、生产调度、网络设计等领域，例如在生产调度中，整数规划可以帮助厂商合理安排生产计划，最大限度地提高生产效率；在网络设计中，整数规划可以帮助网络规划者确定最优的网络拓扑结构，以实现网络资源最大化利用。
整数规划在实际问题中具有重要的应用价值。
为了解决整数规划问题，研究人员提出了各种求解方法，其中一种常用的方法就是分支定界法。
下面将介绍分支定界法的原理和步骤，以及其在整数规划中的应用实例和优缺点。
【2000字】1.2 分支定界法简介分支定界法是一种解决整数规划问题的有效方法，它可以帮助我们在有限的时间内找到最优解。
这种方法通过将问题分解为子问题并逐步缩小搜索范围来提高求解效率。
分支定界法的基本思想是通过逐步分支和缩小搜索范围来逼近最优解。
在每一步中，我们选择一个变量，并将其分支为两个子问题，一个子问题包含该变量的上界，另一个子问题包含该变量的下界。
然后，我们对这两个子问题进行求解，直到找到最优解或确定该子问题无解。
分支定界法的优点是可以确保找到最优解，因为它逐步缩小搜索范围直到找到最优解为止。
该方法在实际应用中具有较高的效率，可以解决许多复杂的整数规划问题。
分支定界法也存在一些缺点，例如在处理大规模问题时可能会遇到指数级的计算复杂性。
为了提高效率，我们需要不断优化算法，并结合其他启发式方法来提高求解速度。
分支定界法是一种强大的方法，可以应用于各种整数规划问题中。
通过不断改进和优化算法，我们可以进一步提高求解效率，实现更多实际应用场景中的最优解。
2. 正文2.1 分支定界法的原理分支定界法的原理是一种用于解决整数规划问题的有效方法。
求解整数规划问题的分支定界法
求解整数规划问题的分支定界法整数规划问题是运筹学和数学中非常重要的一个分支，它本身又有着非常广泛的应用，例如资源分配、制造流程规划等等。
但是，由于整数规划问题的复杂性，导致绝大部分问题都是NP困难问题，即使运用最先进的算法，也很难找到一个高效的解决方案。
然而，分支定界法就是其中一种能够求解整数规划问题的有效方法。
一、什么是整数规划整数规划是指在线性规划（LP）问题的基础上，需要将变量的取值限制为整数类型（不是实数类型），其数学描述如下所示：$$\begin{aligned} \max \ \ & c^Tx \\s.t. \ \ & Ax \leq b\\& x_i\in\mathbb{Z} \ \ (i=1,2,...,n)\end{aligned}$$其中$c,x, b$以及 $A$分别是问题中的参数，表示目标函数的系数、变量向量、约束条件以及约束矩阵。
二、什么是分支定界法分支定界法，又被称为分支剪枝法，是求解整数规划问题的一个常用方法。
它的核心思想在于，将整数规划问题分解为多个子问题，并通过将问题空间不断地分割，不断缩小问题的范围，从而找到最优解。
分支定界法大致分为以下几个步骤：（1）确定目标函数与约束条件，即整数规划问题的数学模型；（2）运用松弛法将整数规划问题转化为线性规划问题，从而求解该线性规划问题及其最优解；（3）根据最优解的情况，判断该最优解是否为整数解，如果不是，则选择其中一个变量进行分支（通常是将其约束为下取整和上取整）；（4）根据变量的分支，得到两个新的整数规划问题，需要分别对其进行求解；（5）执行步骤（3）和（4），直到分支出的所有问题均已求解完毕，即得到原问题的最优解。
三、分支定界法的优缺点分支定界法虽然是一种有效的求解整数规划问题的方法，但是也有其优点和缺点。
优点：（1）能够精确求解整数规划问题。
（2）适用于各种规模的整数规划问题，虽然时间复杂度大，但是运作效率相对较高。
求解整数规划的方法
求解整数规划的方法整数规划是一种最优化问题，其解决方案限制了决策变量必须取整数值。
整数规划的应用非常广泛，涉及到许多实际问题，如制造业生产调度、物流优化、资源分配等。
在本文中，我们将介绍几种常用的整数规划方法。
一、分支定界法分支定界法是一种常用的整数规划求解方法，它通过不断将解空间分割为子问题并求解这些子问题，最终找到整数规划的最优解。
具体步骤如下：1. 初始时，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并求解线性规划问题的松弛解。
2. 如果松弛解满足整数约束条件，则找到一个整数解，更新当前最优解。
3. 如果松弛解不满足整数约束条件，则选择一个变量将其分割为两个子问题，并分别求解这两个子问题。
4. 对每个子问题，递归地应用上述步骤，直到找到一个整数解或者确定当前子问题的上界小于当前最优解。
5. 最终，得到整数规划的最优解。
分支定界法的优点是能够保证找到最优解，但其缺点是计算复杂度较高，特别是在问题规模较大时，会导致计算时间过长。
二、整数规划的近似算法当整数规划问题规模较大时，找到精确解的计算复杂度可能变得非常高，此时可以考虑使用近似算法来求解。
近似算法的思想是通过放松整数约束条件，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并对线性规划问题进行求解。
然后，根据线性规划问题的解，对整数规划问题进行修正，得到整数规划问题的一个近似解。
三、割平面法割平面法是一种常用的整数规划求解方法，它通过添加一系列线性不等式（割平面）来逐步减小可行解空间，最终找到整数规划的最优解。
具体步骤如下：1. 初始时，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并求解线性规划问题的松弛解。
2. 如果松弛解满足整数约束条件，则找到一个整数解，更新当前最优解。
3. 如果松弛解不满足整数约束条件，则根据当前松弛解所对应的目标函数值，添加一系列线性不等式（割平面）来限制可行解空间。
4. 对添加了割平面约束的线性规划问题，继续求解，并更新最优解。
5. 重复以上步骤，直到找到一个整数解或者确定当前问题的上界小于当前最优解。
线性整数规划分支定界法并行化研究
线性整数规划分支定界法并行化研究作者：李平风刘海峰来源：《电脑知识与技术》2016年第24期摘要：规划中的变量（全部或部分）限制为整数，称为整数规划。
若在线性模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
分支定界算法是解决整数规划的一个重要方法，然而算法的效率却有待提高。
该文先对分支定界法解决线性整数规划问题的步骤进行阐述，再通过使用matlab提供的并行化的支持来实现对于分支定界法的并行化，并将算法并行前和并行后的运行时间进行分析，来研究并行化对于算法效率的提高。
关键词：线性整数规划；分支定界；matlab；算法效率；并行化处理中图分类号：O246 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2016）24-0028-03Abstact： Variables （all or part） is limited to an integer， called integer programming. If the linear model， limited to an integer variable， is called linear integer programming. Branch and bound algorithm is an important method to solve integer programming. However， the efficiency of the algorithm needs to be improved. The paper elaborates the steps of solving linear integer programming problem by the method of branch and bound， then through then achieve branch and bound method for parallelization of algorithms in the use of parallelism supported by matlab. Analysis the running time of both before and after parallel to study the parallelization algorithms for efficiency.Key words： linear integer programming； branch and bound； matlab； algorithm efficiency； parallel processing1 分支定界法简介在线性规划问题中，有些最优解可能是分数或小数，但对于某些具体问题，常常会遇到一些变量的解必须是整数。
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x1
假如把可行域分解成五个互不相交的子问题P1 P2 P3 P4 P5之和, P3 P5的定义域都是空集,而放弃 整数要求后P1最优解I(2,4),Z1=58 P2最优解 (6,3),Z2=57 P4最优解(98/11,2),Z4=52(8/11)
x2 5 4 3 2 P1 P2 P4 5 6 7 A8 9 10 x1 1 O 1 2 3 4
D
I(2,4)
B(9.2,2.4)
X1 2 X2 3 X1 6 P X2
P2 P3
X1
3
X1
X2 2
4
P4
7
X2
3
P5
假如放弃整数要求后，用单纯形法 求得最优解，恰好满足整数性要求， 则此解也是原整数规划的最优解。 以上描述了目前解整数规划问题的 两种基本途径。
分枝定界解法 （Branch and Bound Method) 原问题的松驰问题：任何整数规划 （IP），凡放弃某些约束条件（如整数 要求）后，所得到的问题（P） 都称为 （IP）的松驰问题。
x1,x2 0,且取整数值
可行域OABD内整数点，放弃整数要求后，最 优解B(9.2,2.4) Z0=58.8，而原整数规划最 优解I(2,4) Z0=58，实际上B附近四个整点 (9,2)(10,2)(9,3)(10,3)都不是原规划最优解。
x2 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 7 A8 9 10 x1 I(2,4)
D
B(9.2,2.4)
假如能求出可行域的“整点凸包”（包 含所有整点的最小多边形OEFGHIJ），则 可在此凸包上求线性规划的解，即为原问 题的解。但求“整点凸包”十分困难。
x2 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5
D J I
I(2,4)
H
G F 6 E 7 A8 9
B(9.2,2.4)
10
定界：把满足整数条件各分枝的最优目 标函数值作为上（max）（下(min)）界， 用它来判断分枝是保留还是剪枝。 剪枝：把那些子问题的最优值与界值比 较，凡不优或不能更优的分枝全剪掉， 直到每个分枝都查清为止。
例5-6 用分枝定界法求解：
Max Z=4x1+3x2
s.t. 3x1+4x2 12
例3-2 背包问题( Knapsack Problem) 一个旅行者,为了准备旅行的必须用品,要 在背包内装一些最有用的东西,但有个数限 制,最多只能装b公斤的物品,而每件物品只 能整个携带,这样旅行者给每件物品规定了 一个“价值”以表示其有用的程度,如果共 有n件物品,第j件物品aj公斤,其价值为cj.问 题变成:在携带的物品总重量不超过b公斤 条件下,携带哪些物品,可使总价值最大?
例 3-1 ：一登山队员做登山准备， 他需要携带的物品有：食品，氧 气，冰镐，绳索，帐篷，照相机 和通讯设备，每种物品的重要性 系数和重量如下：假定登山队员 可携带最大重量为25公斤。
序号
1
2
3
4
5
6
7
物品 食品 氧气 冰镐 绳索 帐篷 相机 设备 重量 重要 系数 5 20 5 15 2 18 6 14 12 8 2 4 4 10
最通常的松驰问题是放弃变量 的整数性要求后，（P）为线性规 划问题。
分枝定界法步骤
一般求解对应的松驰问题，可能 会出现下面几种情况： 若所得的最优解的各分量恰好是 整数，则这个解也是原整数规划 的最优解，计算结束。
若松驰问题无可行解，则原整数 规划问题也无可行解，计算结束。
若松驰问题有最优解，但其各分量不全 是整数，则这个解不是原整数规划的最 优解，转下一步。 从不满足整数条件的基变量中任选 一 个xl进行分枝，它必须满足xl [xl ] 或xl [xl ] +1中的一个，把这两个约束条件加 进原问题中，形成两个互不相容的子问 题（两分法）。
解：如果令xi=1表示登山队员携 带物品i，xi=0表示登山队员不携 带物品i，则问题表示成0-1规划:
Max Z= 20x1+15x2 +18x3 +14x4 +8x5 +4x6 +10x7
s.t. 5x1 + 5x2 +2x3 +6x4 +12x5 +2x6 +4x7 25 xi=1或xi=0 i=1,2,….7
解：如果令xj=1表示携带物品j， xj=0表示不携带物品j，则问题表 示成0-1规划:
Max Z = Σcjxj s.t. Σajxj b
xj=0 或1
数学模型 整数规划(IP)的一般数学模型: Max (min) Z = Σcjxj
s.t. Σaijxj bi(i=1,2,…m)
xj 0且部分或全部是整数
4x1+2x2 9 x1,x2 0 且为整数
用单纯形法可解得相应的松驰问题的最 优解（6/5，21/10），Z=111/10为各 分枝的上界。
分枝：X1 1,x1 2
x2 4 3 2
P1
1 0
1
P2 2
3
4
x1
两个子问题：
（P1）Max Z=4x1+3x2
先放弃变量的整数性要求，解一 个线性规划问题，然后用“四舍五 入”法取整数解，这种方法，只有 在变量的取值很大时，才有成功的 可能性，而当变量的取值较小时， 特别是0-1规划时，往往不能成功。
例3-3 求下列问题：
Max Z=3x1+13x2
s.t.2x1+9x2 40 11x1-8x2 82
解法概述
当人们开始接触整数规划问题时， 常会有如下两种初始想法： 因为可行方案数目有限，因此经过 一一比较后，总能求出最好方案， 例如，背包问题充其量有2n-1种方式； 连线问题充其量有n!种方式；实际 上这种方法是不可行。
设想计算机每秒能比较 1000000个方式，那么要比 较完20!（大于2*1018）种 方式，大约需要800年。比 较完260种方式，大约需要 360世纪。
第三章
整数规划
3-1 整数规划问题 整数规划是一类要求变量取整数值 的数学规划，可分成线性和非线性 两类。 根据变量的取值性质，又可以分 为全整数规划，混合整数规划，01整数规划等。
整数规划是数学规划中一 个较弱的分支，目前只能解 中等规模的线性整数规划问 题，而非线性整数规划问题， 还没有好的办法。