江苏理数第七章不等式第二节二元一次不等式组与简单的线性规划问题

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二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(优秀经典专题及答案详解)

专题7 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题学习目标1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知识点一二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C＞0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分知识点二点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.知识点三简单的线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由变量x，y组成的一次不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【典例1】（山东烟台二中2019届模拟）(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( )A ．4B ．1C ．5D ．无穷大(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B ．(0,1]C.⎣⎡⎦⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞【答案】(1)B (2)D【解析】(1)作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，△ABC 的面积即所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2，2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A ⎝⎛⎭⎫23，23，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2，得B (1,0)．若原不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.【方法技巧】1．求平面区域面积的方法(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高．若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解．若为不规则四边形，可分割成几个规则图形分别求解再求和即可．2．平面区域的形状问题两种题型及解法(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．【变式1】（河南开封高级中学2019届模拟）若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋2≥0，2x －y －2≤0所表示的平面区域被直线l ：mx －y ＋m ＋1＝0分为面积相等的两部分，则m ＝( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2【答案】A【解析】由题意可画出可行域为△ABC 及其内部所表示的平面区域，如图所示．联立可行域边界所在直线方程，可得A (－1,1)，B ⎝⎛⎭⎫23，－23，C (4,6)．因为直线l ：y ＝m (x ＋1)＋1过定点A (－1,1)，直线l 将△ABC 分为面积相等的两部分，所以直线l 过边BC 的中点D ，易得D ⎝⎛⎭⎫73，83，代入mx －y ＋m ＋1＝0，得m ＝12，故选A.考点二求线性目标函数的最值【典例2】【2019年高考北京卷理数】若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为 A ．−7 B ．1C ．5D ．7【答案】C【解析】由题意1,11yy x y-≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-，当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时，z 取最大值5，故选C ．【方法技巧】线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以直接解出可行域的顶点，将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值。

[2020理数]第七章第二节二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题

[基本知识] 1．二元一次不等式(组)表示的平面区域以上简称为“直线定界,特殊点定域”．[基本能力]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( ) (2)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( )答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．在平面直角坐标系xOy 中,若点P (m,1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4,且点P (m,1)在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内,则m ＝________.答案：62．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域的面积为________．答案：363．观察如图所示的区域,它对应的不等式组是______________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋y －3≤0[典例感悟]1．(2019·贵阳期中)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <－3x ＋12，x <2y表示的平面区域为( )解析：选B 因为不等式组中两个不等式均未带等号,所以排除A,又不等式y <－3x ＋12表示的平面区域为直线y ＝－3x ＋12的左下方部分,不等式x <2y 表示的平面区域为直线x ＝2y 的左上方部分,所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <－3x ＋12，x <2y表示的平面区域为选项B 所表示的区域,故选B.2．(2019·河南豫北联考)关于x ,y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，x ＋y －4≤0表示的平面区域的面积为( )A ．3B ．52C ．2D ．32解析：选C 平面区域为一个直角三角形ABC ,其中A (3,1),B (2,0),C (1,3),所以面积为12|AB |·|AC |＝12×2×8＝2,故选C.3．(2019·清远质量检测)设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6，若满足条件的点P (x ,y )表示的平面区域为M ,则区域M 表示的几何图形的周长是( )A ．6 3B ．32＋10C ．2D ．9解析：选B 在坐标系中画出可行域△ABC ,A (2,0),B (1,1),C (3,3),用两点间距离公式可求得AB ＝2,AC ＝10,BC ＝22,则周长为32＋10,故选B.[方法技巧]解决求平面区域面积问题的方法步骤(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状,并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等,若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．[提醒]求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．突破点二简单的线性规划问题[基本知识]1．线性规划中的基本概念问题在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即[提醒] 求线性目标函数最值应注意的问题求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值,将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ,通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值,应注意以下两点：(1)若b >0,则截距z b 取最大值时,z 也取最大值；截距zb 取最小值时,z 也取最小值． (2)若b <0,则截距z b 取最大值时,z 取最小值；截距zb 取最小值时,z 取最大值．[基本能力]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )(2)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中,z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )答案：(1)√ (2)×二、填空题1．若实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则2x ＋y 的最小值为________．答案：－122．(2018·全国卷Ⅱ)若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．答案：93．(2019·北京朝阳区模拟)若实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．答案：12[全析考法]考法一线性目标函数的最值[例1] (1)(2018·全国卷Ⅰ)若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．(2)(2018·北京高考)若x ,y 满足x ＋1≤y ≤2x ,则2y －x 的最小值是________． [解析] (1)作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y ,得y ＝－32x ＋z 2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0,当直线y ＝－32x ＋z 2过点(2,0)时,z 取最大值,z max ＝3×2＋2×0＝6.(2)由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤y ，y ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．设z ＝2y －x ,即y ＝12x ＋12z ,作直线l 0：y ＝12x 并向上平移,显然当l 0过点A (1,2)时,z 取得最小值,z min ＝2×2－1＝3.[答案] (1)6 (2)3 [方法技巧]求解线性目标函数最值的常用方法线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,所以对于一般的线性规划问题,若可行域是一个封闭的图形,我们可以直接解出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值．考法二非线性目标函数的最值[例2] (1)(2019·江西五市联考)已知实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥2，x ＋y ≤4，若点P (2a ＋b,3a －b )在该不等式组所表示的平面区域内,则b ＋2a －1的取值范围是( )A ．[－12,－7]B ．⎣⎡⎦⎤－7，－92 C.⎣⎡⎦⎤－12，－92 D ．[－12,－2](2)(2019·唐山模拟)设实数x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －5≤0，x ＋y －4≤0，3x ＋y －10≥0，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．[解析] (1)因为点P (2a ＋b,3a －b )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥2，x ＋y ≤4所表示的平面区域内,所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ≥1，3a －b ≥2，2a ＋b ＋3a －b ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ≥1，3a －b ≥2，5a ≤4，其表示的平面区域是以A ⎝⎛⎭⎫45，－35,B ⎝⎛⎭⎫45，25,C ( 35,－15)为顶点的三角形区域(包括边界)．b ＋2a －1可看作是可行域内的点与点M (1,－2)连线的斜率, 所以k MB ≤b ＋2a －1≤k MC ,即－12≤b ＋2a －1≤－92.(2)作出不等式组表示的平面区域,如图所示．因为z ＝x 2＋y 2表示区域内的点到原点距离的平方,由图知,当区域内的点与原点的连线与直线3x ＋y －10＝0垂直时,z ＝x 2＋y 2取得最小值,所以z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|3×0＋0－10|32＋122＝10,垂足为点(3,1),在平面区域内,所以z ＝x 2＋y 2的最小值为10.[答案] (1)C (2)10 [方法技巧]非线性目标函数最值问题的常见类型及求法距离平方型目标函数为z ＝(x －a )2＋(y －b )2时,可转化为可行域内的点(x ,y )与点(a ,b )之间的距离的平方求解斜率型对形如z ＝ay ＋bcx ＋d (ac ≠0)型的目标函数,可利用斜率的几何意义来求最值,即先变形为z ＝a c ·y －⎝⎛⎭⎫－b a x －⎝⎛⎭⎫－d c 的形式,将问题化为求可行域内的点(x ,y )与点⎝⎛⎭⎫－d c ，－b a 连线的斜率的ac 倍的取值范围、最值等点到直线距离型对形如z ＝|Ax ＋By ＋C |型的目标函数,可先变形为z ＝A 2＋B 2·|Ax ＋By ＋C |A 2＋B 2的形式,将问题化为求可行域内的点(x ,y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍的最值考法三线性规划中的参数问题[例3] (1)(2019·合肥质检)已知实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－3≤3x －y ≤－1，－1≤x ＋y ≤1，若z ＝ax ＋y 有最大值52,则a 的值为( )A ．2B ．52C ．－2D ．－52(2)(2019·淮北月考)若实数x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，3x －y ≤3，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值,则实数a 的取值范围是( )A ．[－6,2]B ．(－6,2)C ．[－3,1]D ．(－3,1)[解析] (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－3≤3x －y ≤－1，－1≤x ＋y ≤1所表示的平面区域如图中阴影部分所示．z ＝ax ＋y 有最大值52,即直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距有最大值52,由图可知当直线y ＝－ax ＋z 经过点A 时,z 取得最大值52,由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝－3，x ＋y ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝32，所以A ⎝⎛⎭⎫－12，32,代入ax ＋y ＝52,得a ＝－2.故选C. (2)作出约束条件所表示的平面区域,如图所示．将z ＝ax ＋2y 化成y ＝－a 2x ＋z 2,当－1<－a 2<3时,直线y ＝－a 2x ＋z2的纵截距仅在点(1,0)处取得最小值,即目标函数z ＝ax ＋2y 在点(1,0)处取得最小值,解得－6<a <2,故选B.[答案] (1)C (2)B [方法技巧]求解线性规划中含参问题的2种基本方法(1)把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式求解参数的值或范围．(2)先分离含有参数的式子,通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数．[集训冲关]1.[考法一]若x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，x ＋y －4≥0，则x ＋2y 的最大值为( )A.132 B ．6 C ．11D ．10解析：选C 法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作直线x ＋2y ＝0,平移该直线,当直线经过点B (3,4)时,x ＋2y 取得最大值,即(x ＋2y )max ＝3＋2×4＝11,故选C.法二：设z ＝x ＋2y ,由题易知,目标函数z ＝x ＋2y 的最大值只能在可行域的三个顶点处取得,由题知三条直线的交点分别为⎝⎛⎭⎫32，52,(3,4),(2,2),当x ＝32,y ＝52时,z ＝132；当x ＝3,y ＝4时,z ＝11；当x ＝2,y ＝2时,z ＝6,所以z max ＝11,故选C.2.[考法二]已知变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则yx的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤95，6B ．⎝⎛⎭⎫－∞，95C ．(－∞,3]∪[6,＋∞)D ．(3,6]解析：选A 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易知可行域的三个顶点的坐标分别为(1,3),(1,6),⎝⎛⎭⎫52，92,yx 表示可行域内的点(x ,y )与原点连线的斜率,观察图象可知,当(x ,y )＝(1,6)时,y x 取得最大值,最大值为6,当(x ,y )＝⎝⎛⎭⎫52，92时,y x 取得最小值,最小值为95,故yx的取值范围是⎣⎡⎦⎤95，6,故选A.3.[考法三]如图,目标函数z ＝kx ＋y 的可行域为四边形OABC (含边界),A (1,0),C (0,1),若B ⎝⎛⎭⎫34，23为目标函数取得最大值的最优解,则k 的取值范围是________．解析：直线z ＝kx ＋y 的斜率为－k ,平移直线y ＝－kx ＋z ,因为B ⎝⎛⎭⎫34，23为目标函数z ＝kx ＋y 取得最大值的最优解,∴k AB ≤－k ≤k BC ,又∵k AB ＝－83,k BC ＝－49,∴－83≤－k ≤ －49⇒49≤k ≤83.答案：⎣⎡⎦⎤49，834.[考法三]若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤6，y ≥k ，且z ＝3x ＋y 的最小值为－8,则k ＝________.解析：目标函数z ＝3x ＋y 可化为y ＝－3x ＋z ,要使目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为－8,则平面区域位于直线y ＝－3x ＋z 的右上方,即3x ＋y ＝－8,作出不等式组对应的平面区域,如图,是一个封闭的三角形,则目标函数经过点A (k ,k )时,目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为－8,代入得－8＝4k ,解得k ＝－2.答案：－2突破点三线性规划的实际应用[典例] (2019·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克,每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元,公司在要求每天消耗A ,B 原料都不超过12千克的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为( )A ．1 800元B ．2 100元C ．2 400元D ．2 700元[解析] 设分别生产甲、乙两种产品为x 桶,y 桶,利润为z 元, 则根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ，y ≥0，x ，y ∈N ，z ＝300x ＋400y .作出不等式组表示的平面区域,如图所示,作直线L ：300x ＋400y ＝0,然后把直线向可行域平移,可得当x ＝0,y ＝6时,z 最大,其值为2 400,故选C.[答案] C [方法技巧]解线性规划应用题的一般步骤[针对训练](2019·衡水中学模拟)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨,现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨,在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料,产生的利润为12 000元；生产1车皮乙种肥料,产生的利润为7 000元．那么可产生最大的利润是________元．解析：设x ,y 分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0，工厂的总利润z ＝12 000x ＋7 000y .由约束条件得可行域如图所示,由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋y ＝10，18x ＋15y ＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以最优解为A (2,2),则当直线12 000x ＋7 000y －z ＝0过点A (2,2)时,z 取得最大值38 000,即生产甲、乙两种肥料各2车皮时可获得最大利润为38 000元．答案：38 000[课时跟踪检测][A 级基础题——基稳才能楼高]1．(2019·宝鸡期中)在3x ＋2y <6表示的平面区域内的一个点是( ) A ．(3,0) B ．(1,3) C ．(0,3)D ．(0,0)解析：选D 分别把四个选项的坐标代入3x ＋2y <6,经验证坐标(0,0)符合要求,故选D. 2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.结合图形可知选C.3．(2019·陕西部分学校摸底检测)若实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则2x ＋y 的最小值为( )A ．－12B ．0C ．1D ．32解析：选A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,令z ＝2x ＋y ,作出直线y ＝－2x ,平移该直线,当直线经过点A ⎝⎛⎭⎫－12，12时,z ＝2x ＋y 取得最小值,最小值为－12,故选A.4．(2019·合肥一中等六校联考)设实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥|x |，x －2y ＋4≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A.43 B ．－43C ．12D ．0解析：选C 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．作出直线2x ＋y ＝0,平移该直线,易得当该直线经过点A (4,4)时,2x ＋y 取得最大值,为12,故选C.5．(2019·西宁检测)设实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若目标函数z ＝x ＋y 的最大值为6,则z 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,当直线z ＝x ＋y 经过点A 时,z 取得最大值,此时A (k ,k ),所以2k ＝6,即k ＝3,所以B (－6,3),当直线z ＝x ＋y 经过点B 时,z 取得最小值,所以z 的最小值为－6＋3＝－3.[B 级保分题——准做快做达标]1．(2018·南昌调研)设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0，2x －y －2≤0，则z ＝3x －2y 的最大值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．4解析：选C 出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,作作出直线y ＝32x ,平移该直线,当直线经过C (1,0)时,在y 轴上的截距最小,z 最大,此时z＝3×1－0＝3,故选C.2．(2019·赤峰期末)已知变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －1≤0，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝2x ·4y 的最大值为( )A ．8B ．16C ．32D ．64解析：选C 由z ＝2x ·4y 得z ＝2x＋2y,设m ＝x ＋2y ,得y ＝－12x ＋12m ,平移直线y ＝－12x ＋12m ,由图象可知当直线y ＝－12x ＋12m 经过点A 时,直线y ＝－12x ＋12m 的截距最大,由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即A (3,1),此时m 最大,为m ＝3＋2＝5,此时z 也最大,为z ＝2x ＋2y＝25＝32,故选C.3．(2019·西安模拟)若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，则z ＝y －2x ＋3的最小值为( )A ．－2B ．－23C ．－125D ．2－47解析：选C 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当区域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3),即kx －y ＋3k ＋2＝0,则有|3k ＋2|k 2＋1＝2,解得k ＝－125或k ＝0(舍去),所以z min ＝－125,故选C. 4．(2019·嘉兴期末)已知点A (2,－1),点P (x ,y )满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，y －1≤0，x －2y ≤4，O 为坐标原点,那么OA ―→·OP ―→的最小值是( )A ．11B ．0C ．－1D ．－5解析：选D 画出满足约束条件的平面区域,如图所示．又由OA ―→·OP ―→＝(2,－1)·(x ,y )＝2x －y .令目标函数z ＝2x －y .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，y －1＝0，解得B (－2,1),z ＝2x －y 在点B 处取得最小值z min ＝2×(－2)－1＝－5,故选D.5．(2019·嘉兴第一中学模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，3x ＋y <3，x ＋y >a 表示的平面区域是一个三角形区域(不包括边界),则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，34 B ．⎝⎛⎭⎫34，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，32 D ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析：选C 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,要使可行域为三角形区域(不包括边界),则需点A 在直线x ＋y ＝a 的右上方．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，3x ＋y ＝3可得A ⎝⎛⎭⎫34，34,所以34＋34>a ,即a <32.故选C. 6．(2019·郑州模拟)已知直线y ＝k (x ＋1)与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，3x －y ≥0，x >0，y >0表示的平面区域有公共点,则k 的取值范围为( )A ．[0,＋∞)B ．⎣⎡⎦⎤0，32 C.⎝⎛⎦⎤0，32 D ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析：选C 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示(不包括直线y ＝0),直线y ＝k (x＋1)过定点(－1,0),由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，过点(－1,0)与(1,3)的直线的斜率是32,根据题意可知0<k ≤32,故选C.7．(2019·太原模拟)已知点M ,N 是平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4≤0，x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0内的两个动点,a ＝(1,2),则MN ―→·a 的最大值为( )A ．2 5B ．10C ．12D ．14解析：选B ⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4≤0，x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则MN ―→·a ＝(ON ―→－OM ―→)·a ＝ON ―→·a －OM ―→·a ＝x 2＋2y 2－(x 1＋2y 1),设z ＝x ＋2y ,平移直线x ＋2y ＝0,易知当直线经过点A (4,4)时,z 取得最大值,最大值是12,当直线经过点B (2,0)时,z 取得最小值,最小值为2,所以MN ―→·a 的最大值为10,故选B.8．(2019·石家庄模拟)实数x ,y 满足|x ＋1|≤y ≤－12x ＋1时,目标函数z ＝mx ＋y 的最大值等于5,则实数m 的值为( )A ．－1B ．－12C ．2D ．5解析：选B 实数x ,y 满足|x ＋1|≤y ≤－12x ＋1时,表示的平面区域如图中阴影部分所示,易得A (－1,0),B (0,1),由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －1，y ＝－12x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3， ∴C (－4,3)．目标函数z ＝mx ＋y ,∴y ＝－mx ＋z ,当m >12时,直线过点B 时,z 取得最大值5,不成立,舍去；当0<m <12时,直线过点C 时,z 取得最大值5,∴－4m ＋3＝5,∴m ＝－12不成立,舍去；当m ＝0或12时,易验证z 的最大值不可能等于5；当m <0时,直线过点C 时,z 取得最大值5,∴－4m ＋3＝5,∴m ＝－12成立．故选B.9．(2018·浙江高考)若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤6，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋3y 的最小值是________,最大值是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝6，x ＋y ＝2，解得A (4,－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x ＋y ＝6，解得B (2,2)．将函数y ＝－13x 的图象平移可知,当目标函数的图象经过A (4,－2)时,z min ＝4＋3×(－2)＝－2；当目标函数的图象经过B (2,2)时,z max ＝2＋3×2＝8. 答案：－2 810．(2019·林州一中调研)已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x 4＋y 4≤1，y ≥2－x 2，则z ＝⎝⎛⎭⎫122x －y的最小值为________．解析：作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x 4＋y 4≤1，y ≥2－x 2表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，y ＝x ＋2得点B (1,3)．作出直线2x －y ＝0,对该直线进行平移,可以发现当该直线经过点B 时,(2x －y )max ＝2×1－3＝－1,此时z min ＝2.答案：211．(2019·淮北十校联考)设实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0，x ＋2y －14≤0，2x ＋y －10≤0，则x 2＋y 2的最小值为________．解析：x 2＋y 2表示可行域内的点P (x ,y )到原点的距离的平方,作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,过点O 作OA 垂直直线x ＋y －6＝0,垂足为A ,易知点A 在可行域内,所以原点到直线x ＋y －6＝0的距离d ,就是点P (x ,y )到原点距离的最小值,由点到直线的距离公式可得d ＝612＋12＝32,所以x2＋y 2的最小值为d 2＝18. 答案：1812．(2019·湖南五市联考)某工厂制作木质的书桌和椅子,需要木工和漆工来完成两道工序,已知木工平均4个小时做一把椅子,8个小时做一张书桌,该工厂每星期木工最多有8 000 个工作时；漆工平均2个小时漆一把椅子,1个小时漆一张书桌,该工厂每星期漆工最多有1 300个工作时．若做一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元,根据以上条件,生产一个星期该工厂能获得的最大利润为________元．解析：设一个星期能生产椅子x 把,书桌y 张,利润为z 元,可得约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤8 000，2x ＋y ≤1 300，x ∈N ，y ∈N ，利润z ＝15x ＋20y ,画出不等式组所表示的平面区域(图略),可知在点(200,900)处z 取得最大值,此时z max ＝21 000元．答案：21 00013．制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,还要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划的投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问：投资人对甲、乙两个项目分别投资多少万元,才能使可能的盈利最大？最大盈利额是多少？解：设投资人对甲、乙两个项目分别投资x 万元、y 万元,盈利为z 万元,由题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，3x ＋y ≤18，z ＝x ＋0.5y .x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知,当直线y ＝－2x ＋2z 过点M 时,在y 轴上的截距最大,这时z 也取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝10，3x ＋y ＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，即M (4,6), z max ＝1×4＋0.5×6＝7.故投资人投资甲项目4万元,投资乙项目6万元,才能使可能的盈利最大,最大盈利额为7万元．14．某人有一套房子,室内面积共计180 m 2,拟分隔成两类房间作为旅游客房,大房间每间面积为18 m 2,可住游客5名,每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15 m 2,可住游客3名,每名游客每天住宿费50元．装修大房间每间需要1 000元,装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8 000元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少间,每天才能获得最大的房租收益？解：设隔出大房间x 间,小房间y 间,获得的收益为z 元, 则⎩⎪⎨⎪⎧18x ＋15y ≤180，1 000x ＋600y ≤8 000，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ，y ∈N ，目标函数为z ＝200x ＋150y ,作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分(包含边界)内的整点所示．由图可知,当直线z ＝200x ＋150y 过点A ⎝⎛⎭⎫207，607时,z 取得最大值, ∵A 点的坐标不是整数,而x ,y ∈N,∴点A 不是最优解．由图可知,使目标函数取得最大值的整数点一定分布在可行域的右上侧,这些整数点有(0,12),(1,10),(2,9),(3,8),(4,6),(5,5),(6,3),(7,1),(8,0),分别代入z ＝200x ＋150y ,逐一验证,可得取整数点(0,12)和(3,8)时,z max ＝1 800,∴应隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间,才能获得最大收益．。

高考数学理科一轮复习第七章第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题完美

[全练题点]
x≥1， 1．已知约束条件 x＋y－4≤0，
kx－y≤0
表示面积为1的直角三角形
区域，则实数k的值为
()
A．1
B．－1
C．0
D．－2
解析：先作出不等式组
x≥1， x＋y≤4，
对应的平
面区域，如图．要使阴影部分为直角三角
形，当k＝0时，此时三角形的面积为
1 2
×3×3
表示的平面区域为一个锐角
三角形及其内部，则实数k的取值范围是________．
答案：(0,1)
讲练区研透高考·完成情况
[全析考法]
二元一次不等式(组)表示的平面区域
y≤－x＋2， [典例] (1)(2018·泰安模拟)不等式组 y≤x－1，
y≥0
所表示
的平面区域的面积为
()
A．1
B．12
第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
本节主要包括3个知识点：
1.二元一次不等式组表示的平面区域；
2.简单的线性规划问题；3.线性规 Nhomakorabea的实际应用.
01 突破点(一) 二元一次不等式(组)表示的平面区域
02 03 04 05
突破点(二) 简单的线性规划问题突破点(三) 线性规划的实际应用全国卷5年真题集中演练——明规律
＝
9 2
≠1，所以不成立．当k＝－1或－2时，不
能构成直角三角形区域．当k＝1时，由图可知，可构成直角
三角区域且面积为1，故选A.
答案：A
x－y≥0， 2．若满足条件x＋y－2≤0，
y≥a
的整点(x，y)恰有9个，其中整
点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为 ( )

高考数学总复习第7单元第2节一元二次不等式(组)与简单线性规划问题课件文苏教

点的集合，x－y－1≤0
表示直线x－y－1＝0上及左上方的点的集合，x＋2≥0表示直线x＋2＝0上及右方的点的集合，故原不等式组所表示
的平面区域即为图示的三角形区域．
(2)由直线x＋2y－4＝0与直线x－y－1＝0可求得交点 A(2,1)，同理可求得B(－2,3)，C(－2，－3)，所以△ABC 的面积为S＝×6×4＝12.
(3)由(1)(2)可得x，y的取值范围分别为：[－2，2]，[－3,3]． (4)由(2)可得x，y能同时取到最小值，但不能同时取到最大值．
变式1－1
双曲线x2－y2＝4的两条渐近线与直线x＝3围成一个三角形
区域，表示该区域的不等式组是________.
解析：双曲线x2－y2＝4的两条渐近线方程为y＝±x，两者
为2×＝4.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？
解：方法一：设为该儿童分别预订x，y个单位的午餐和晚餐，共花费z元，则z＝2.5x＋4y.可行域为
x 0,y 0, x 0,y 0, 162xx++68yy4624,,即3xx++2yy71,6, 6x+10y 54, 3x+5y 27.
的不等式组
关于x，y的函数__解___析__式_，如z＝2x ＋3y等
关于x，y的___一___次__解析式
续表名称可行解可行域
最优解
线性规划问题
意义
满足线性约束条件的____解__(_x_，y)
所有可行解组成的_____集__合_ 使目标函数取得__最___大__值_或___最___小__值的
让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z ＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值．

高考数学一轮复习第七章不等式7-2二元一次不等式组与简单的线性规划问题学案理

【2019最新】精选高考数学一轮复习第七章不等式7-2二元一次不等式组与简单的线性规划问题学案理考纲展示► 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．考点1 二元一次不等式(组)表示平面区域二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)________边界直线，把边界直线画成虚线；不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)________边界直线，把边界直线画成实线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足Ax＋By＋C＞0，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足________．(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的________就可以判断Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的区域．(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的________．答案：(1)不包括包括(2)Ax＋By＋C＜0 (3)符号(4)公共部分(1)[教材习题改编]不等式组表示的平面区域是( )A BC D答案：C(2)[教材习题改编]已知x，y满足则z＝－3x＋y的最小值为________．答案：0不等式表示平面区域的易错点：方程Ax ＋By ＋C ＝0中Ax ＋By ＋C 的符号与不等式表示的平面区域的关系．(1)不等式2x －y －3＞0表示的平面区域是________．答案：直线2x －y －3＝0的右下方(不包括边界)解析：将原点(0,0)代入2x －y －3，得2×0－0－3＝－3＜0，所以不等式2x －y －3＞0表示直线2x －y －3＝0的右下方(不包括边界)，如图所示． (2)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0表示的平面区域是________．答案：直线x －2y ＋1＝0与x ＋y －3＝0之间的上、下两部分(包括边界)解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.在平面直角坐标系中作出不等式组和所表示的平面区域．故不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0表示的平面区域如图中的阴影部分所示． [典题1] (1)[2017·山东青岛月考]若实数x ，y 满足不等式组则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3 B. C ．2D ．22[答案] C[解析]因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)，故|AB|＝，|AC|＝2，其面积为×|AB|×|AC|＝2. (2)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.D ．3[答案] B[解析] 如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m ＜2，则m ＞－1.由解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A(1－m,1＋m)．由解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23－43m ，y ＝23＋23m ，即B ，所围成的区域为△ABC，则S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝(2＋2m)(1＋m)－(2＋2m)·(1＋m)＝(1＋m)2＝，解得m ＝－3(舍去)或m ＝1.故选B.[点石成金] 确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(2)当不等式中带等号时，边界应画成实线；不带等号时，边界应画成虚线，特殊点常取原点．考点2 求目标函数的最值(1)[教材习题改编]已知变量x ，y 满足约束条件则z ＝3x ＋y 的最大值为________．答案：11解析：由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，解方程组得即A(3,2)．当直线y ＝－3x ＋z 经过点(3,2)时，z 取得最大值，即zmax ＝3×3＋2＝11. (2)[教材习题改编]投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为________．(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数)答案：⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y≤1 400，2x ＋y≤900，x≥0，y≥0解析：生产A 产品x 吨，生产B 产品y 吨，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y≤1 400，2x ＋y≤900，x≥0，y≥0.[考情聚焦] 线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．主要有以下几个命题角度：角度一转化为截距(形如z ＝ax ＋by)[典题2] [2017·山东荣成六中高三月考]若变量x ，y 满足条件则z ＝x ＋y 的最大值是( )A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] A[解析] 可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A(1,0)，B(3,0)，C(－1,1)，所以直线z ＝x ＋y 过点B 时取最大值3，故选A.角度二转化为距离[形如z ＝(x －a)2＋(y －b)2或z ＝|Ax ＋By ＋c|][典题3] [2017·河南开封模拟]设变量x ，y 满足约束条件则目标函数z ＝x2＋y2的取值范围为( )A ．[2,8]B ．[4,13]C ．[2,13]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，13 [答案] C[解析] 作出可行域，如图中阴影部分所示，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方，从而可得zmin ＝|OA|2＝2＝2，zmax ＝|OB|2＝32＋22＝13. 故z 的取值范围为[2,13]．角度三转化为斜率⎣⎢⎡⎦⎥⎤形如z ＝ay ＋bcx ＋d[典题4] [2015·新课标全国卷Ⅰ]若x ，y 满足约束条件则的最大值为________． [答案] 3[解析]画出可行域如图中阴影部分所示，∵表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x，y)在点A处时最大．由得∴ A(1,3)．∴的最大值为3.角度四线性规划中的参数问题[典题5] (1)[2015·山东卷]已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝( )A．3B．2D．－3C．－2[答案] B[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，若z＝ax＋y的最大值为4，则最优解为x＝1，y＝1或x＝2，y＝0，经检验知，x＝2，y＝0符合题意，∴2a＋0＝4，此时a＝2，故选B.(2)已知x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a＝( )B．2或1A.或－12C．2或1D．2或－1[答案] D[解析] 由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A(0,2)，B(2,0)，C(－2，－2)，则zA＝2，zB＝－2a，zC＝2a－2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zA＝zB>zC或zA＝zC>zB或zB＝zC>zA，解得a＝－1或a＝2.[点石成金] 1.求目标函数最值的三个步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线l.(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置．(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．2．常见的三类目标函数(1)截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝.[提醒] 注意转化的等价性及几何意义．考点3 线性规划的实际应用[典题6] [2016·新课标全国卷Ⅰ]某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．[答案] 216 000[解析] 由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件，利润z ＝2 100x ＋900y ，线性约束条件为作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以zmax ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．[点石成金] 1.解线性规划应用题的三个步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题．(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题．(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．2．求解线性规划应用题的三个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式.某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元答案：C解析：设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y≥900，y －x≤7，y ＋x≤21，x ，y∈N，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值zmin ＝36 800(元).[方法技巧] 1.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．2．点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax ＋By ＋C ＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.[易错防范] 1.在画平面区域时，要注意实虚线．2．在通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z 也取最大值，截距取最小值时，z 也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，z 取最小值，截距取最小值时，z 取最大值．真题演练集训1．[2016·山东卷]若变量x ，y 满足则x2＋y2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12答案：C解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P(x ，y)为平面区域内任意一点，则x2＋y2表示|OP|2.显然，当点P 与点A重合时，x2＋y2取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9，解得故A(3，－1)．所以x2＋y2的最大值为32＋(－1)2＝10.故选C.2．[2016·北京卷]若x ，y 满足则2x ＋y 的最大值为( ) A ．0 B ．3 C ．4D ．5答案：C解析：不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由解得故当目标函数z ＝2x ＋y 经过点A(1,2)时，z 取得最大值，zmax ＝2×1＋2＝4.故选C.3．[2015·陕西卷]某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 C ．17万元D ．18万元答案：D解析：设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y≤12，x ＋2y≤8，x≥0，y≥0，目标函数为z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图中阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A(2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18(万元)．4．[2014·新课标全国卷Ⅰ]不等式组的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中的真命题是( )B．p1，p4A．p2，p3D．p1，p3C．p1，p2答案：C解析：作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由得交点A(2，－1)．目标函数的斜率k＝－>－1，观察直线x＋y＝1与直线x＋2y＝0的倾斜程度，可知u＝x＋2y过点A时取得最小值0.结合题意知p1，p2正确．5．[2016·新课标全国卷Ⅲ]若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．答案：32解析：约束条件对应的平面区域是以点，(0,1)和(－2，－1)为顶点的三角形，当目标函数y＝－x＋z经过点时，z取得最大值.课外拓展阅读非线性目标函数最值的求解类型1 斜率型非线性规划问题的最值(值域)目标函数形式一般为z＝(ac≠0)，求解步骤为(1)需先弄清其几何意义，z＝·表示的是可行域内的点(x，y)与点所连直线的斜率的倍．(2)数形结合，确定定点，观察可行域的范围．(3)确定可行域内的点(x ，y)，看(x ，y)取何值时，斜率最大(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最大值)；(x ，y)取何值时，斜率最小(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最小值)；通常在三角形或四边形的边界交点处取得最值．[典例1] 已知变量x ，y 满足约束条件则f(x ，y)＝的取值范围是________．[思路分析][解析]作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，f(x ，y)＝x ＋2y2x ＋y＝.令＝k ，则g(k)＝＝2－.而k ＝表示可行域内的点P(x ，y)与坐标原点O 的连线的斜率，观察图形可知，kOA≤k≤kOB，而kOA ＝＝，kOB ＝＝3，所以≤k≤3，即≤f(x，y)≤.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤57，75 类型2 距离型非线性规划问题的最值(值域)1．目标函数形式为z ＝(x －a)2＋(y －b)2时，求解步骤为：(1)其表示的是可行域内的点(x ，y)与点(a ，b)之间的距离的平方．(2)数形结合，确定定点(a，b)，观察可行域的范围．(3)确定可行域内的点(x，y)，看(x，y)取何值时，距离最大(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最大值)；(x，y)取何值时，距离最小(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最小值)；通常在三角形、四边形的边界交点处或定点(a，b)到可行域边界直线的垂足处取得．2．目标函数形如z＝|Ax＋By＋C|时，一般步骤为：(1)将z＝|Ax＋By＋C|＝·，问题转化为求可行域内的点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍的最值．(2)确定可行域，通过数形结合的方法求出所求的最值．[典例2] 设x，y满足约束条件则z＝(x＋1)2＋y2的最大值为( )B．45A．80D.17C．252[思路分析]作出可行域→→数形结合，求得z的最大值[解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x＋1)2＋y2可看作点(x，y)到点P(－1,0)的距离的平方，由图可知，可行域内的点A到点P(－1,0)的距离最大．解方程组得点A的坐标为(3,8)，代入z＝(x＋1)2＋y2，得zmax＝(3＋1)2＋82＝80.[答案] A [典例3]实数x，y满足不等式组则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．[思路分析] [解析] 解法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝|x＋2y－4|＝·，即其几何意义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．由得点B的坐标为(7,9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.解法二：由图可知，阴影区域内的点都在直线x＋2y－4＝0的上方，显然此时有x＋2y－4>0，于是目标函数等价于z＝x＋2y－4，即转化为简单的线性规划问题，显然当直线经过点B时，目标函数取得最大值，zmax＝21.[答案] 21技巧点拨解决这类问题时，需充分把握好目标函数的几何意义，在几何意义的基础上加以处理．。

第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考试要求1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．[知识排查·微点淘金]知识点1 二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax ＋By ＋C ＞0 直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线 Ax ＋By ＋C ≥0 包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分名称意义约束条件由变量x ，y 组成的不等式(组) 线性约束条件由变量x ，y 组成的一次不等式(组)目标函数关于x ，y 的函数解析式，线性目标函数关于x ，y 的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)中z 的几何意义，z 的最值与b 的符号的关系？提示：目标函数z ＝ax ＋by 可转化为y ＝－a b x ＋z b ，其中z b 是直线y ＝－a b x ＋zb 的纵截距．当b ＞0时，截距z b 取最大值时，z 也取得最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值；当b ＜0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．[微提醒]如果目标函数存在一个最优解，那么最优解通常在可行域的边界交点处取得；如果目标函数存在多个最优解，那么最优解一般在可行域的边界上取得．常用结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证．[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．(×) (2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．(×) (3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．(√)(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．(√)(5)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．(×)2．(链接教材必修5 P 86练习T 3)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )解析：选B x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分，x －y ＋2<0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B ．3．(链接教材必修5 P 91练习T 1(1))已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y ＋1的最大值、最小值分别是( )A ．3，－3B ．2，－4C ．4，－2D ．4，－4解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图所示，其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C ⎝⎛⎭⎫12，12，画直线l 0：y ＝－2x ，平移l 0过点B 时，z max ＝4，平移l 0过点A 时，z min ＝－2.故选C ．4．(对最优解个数无数理解不透)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值时的点(x ，y )有无数个，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选A 先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，所以－a ＝k AB ＝1，所以a ＝－1.5．(目标函数的几何意义弄不清)已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝y －1x ＋3的最大值为．解析：作出不等式组所表示的可行域如图，问题转化为区域上哪一点与点M (－3，1)连线斜率最大，观察知点A ⎝⎛⎭⎫－52，52，使k MA 最大，z max ＝3.答案：3一、基础探究点——二元一次不等式(组)表示的平面区域(题组练透)1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( )A ．4B ．1C ．5D ．无穷大解析：选B 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，△ABC 的面积即为所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1，2)，B (2，2)，C (3，0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，2x ＋y <6所表示的平面区域内的整点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 由不等式2x ＋y <6得y <6－2x ，又x >0，y >0，∴当x ＝1时，0<y <4，则y ＝1，2，3，此时整点有(1，1)，(1，2)，(1，3)；当x ＝2时，0<y <2，则y ＝1，此时整点有(2，1)；当x ＝3时，y 无解．故平面区域内的整点个数为4.3．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥43解析：选D不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0所表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A ⎝⎛⎭⎫23，23；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2，得B (1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组) 表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(2)当不等式中有等号时，边界为实线；没有等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．二、综合探究点——线性目标函数中的最值问题(多向思维)[典例剖析]思维点1 求线性目标函数的最值[例1] (2021·全国乙卷)[一题多解]若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥4，x －y ≤2，y ≤3，则z ＝3x ＋y 的最小值为( )A ．18B ．10C ．6D ．4解析：解法一(数形结合法)：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－3x ，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A 时，直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上的截距最小，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3即点A 的坐标为(1，3)．从而z ＝3x ＋y 的最小值为3×1＋3＝6.故选C ．解法二(比较法)：画图易知，题设不等式组对应的可行域是封闭的三角形区域，所以只需要比较三角形区域三个顶点处的z 的大小即可．易知直线x ＋y ＝4与y ＝3的交点坐标为(1，3)，直线x ＋y ＝4与x －y ＝2的交点坐标为(3，1)，直线x －y ＝2与y ＝3的交点坐标为(5，3)，将这三个顶点的坐标分别代入z ＝3x ＋y 可得z 的值分别为6，10，18，所以比较可知z min ＝6，故选C ．解法三(巧用不等式的性质)：因为x ＋y ≥4，所以3x ＋3y ≥12. ① 因为y ≤3，所以－2y ≥－6. ②于是，由①＋②可得3x ＋3y ＋(－2y )≥12＋(－6)，即3x ＋y ≥6，当且仅当x ＋y ＝4且y ＝3，即x ＝1，y ＝3时不等式取等号，易知此时不等式x －y ≤2成立．故选C ．答案：C利用线性规划求目标函数最值的步骤(1)画出约束条件对应的可行域；(2)将目标函数视为动直线，并将其平移经过可行域，找到最优解对应的点； (3)将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值．思维点2 求非线性目标函数的最值[例2] 设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝yx的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤13，2 B ．⎣⎡⎦⎤13，12 C ．⎣⎡⎦⎤12，2D ．⎣⎡⎦⎤2，52 解析：在坐标平面上作出点(x ，y )所表示的区域如图所示，根据几何意义，u 的值即为区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然k OA 最小，k OB 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝0，x －y －2＝0，得点A (3，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝0，y ＝2，得点B (1，2)，故13≤u ≤2. 答案：A [拓展变式]1．[变结论]若本例“u ＝y x ”变为“u ＝yx －1”，试求u 的最小值．解：u ＝yx －1，即转化为动点(x ，y )与定点P (1，0)连线的斜率问题，由条件知u min ＝k P A＝1－03－1＝12. 2．[变结论]若本例“u ＝yx ”变为“u ＝x 2＋y 2”，试求u 的取值范围．解：由条件知u max ＝|OC |2，u min ＝|OB |2， ∵C (4，2)，故u max ＝20，u min ＝5.常见的两种非线性目标函数及其定义(1)点到点的距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，表示区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方．(2)斜率型：形如z ＝y －bx －a ，表示区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率．思维点3 线性规划中的参数问题[例3] 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －m ≥0，x －3≤0，若z ＝2x －3y 的最大值为9，则正实数m的值为．解析：作出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －m ≥0，x －3≤0，表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知z ＝2x －3y 在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －m ＝0，x ＝3解得A (3，m －3)，由z max ＝2×3－3(m －3)＝9，解得m ＝2. 答案：2求解线性规划中含参数问题的基本方法(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围．(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．[学会用活]1．(2021·浙江卷)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －y ≤0，2x ＋3y －1≤0，则z ＝x －12y 的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－12D ．110解析：选B 作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝2x 并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A 时z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，所以A (－1，1)，z min ＝－1－12×1＝－32.故选B ．2．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0，且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为( )A ．13B ．23C ．1D ．2解析：选D 若z ＝3x －y 的最大值为2，则此时目标函数为y ＝3x －2，直线y ＝3x －2与3x －2y ＋2＝0和x ＋y ＝1分别交于A (2，4)，B ⎝⎛⎭⎫34，14，直线mx －y ＝0经过其中一点，所以m ＝2或m ＝13.当m ＝13时，经检验不符合题意，舍去，故m ＝2.3．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由题意可知点P (－2，－3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为⎝⎛⎭⎫322＝92.答案：92三、应用探究点——线性规划的实际应用(思维创新)[典例剖析][例4] [生活情境]某共享汽车品牌在某市投放1500辆宝马轿车，为人们的出行提供了一种新的交通方式．该市的市民小王喜欢自驾游，他在该市通过网络组织了一场“周日租车游”活动，招募了30名自驾游爱好者租车旅游，他们计划租用A ，B 两种型号的宝马轿车，已知A ，B 两种型号的宝马轿车每辆的载客量都是5人，每天的租金分别为600元/辆和1000元/辆，根据要求租车总数不超过12辆且不少于6辆，且A ，B 两种型号的宝马轿车至少各租用1辆，则租车所需的租金最少为元．解析：设分别租用A ，B 两种型号的宝马轿车x 辆、y 辆，所需的总租金为z 元，则z ＝600x ＋1000y ，其中x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋5y ≥30，6≤x ＋y ≤12，x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N *，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，x ＋y ≤12，x ≥1，y ≥1所表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数可化为y ＝－35x ＋z 1000，由图可知当直线y ＝－35x ＋z1000过点C 时，目标函数z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，y ＝1，解得C (5，1)．所以z ＝600×5＋1000×1＝4000，即租车所需租金最少为4000元．答案：4000求解线性规划应用题的注意点1．明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号． 2．注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否为整数、是否为非负数等．3．正确写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[学会用活]4．(实验情境)某中学生在制作纸模过程中需要A 、B 两种规格的小卡纸，现有甲、乙两种大小不同的卡纸可供选择，每张卡纸可同时截得A 、B 两种规格的小卡纸的块数如下表，现需A 、B 两种规格的小卡纸分别为4、7块，所需甲、乙两种大小不同的卡纸的张数分别为m 、n (m 、n 为整数)，则m ＋n 的最小值为( )A 规格B 规格甲种卡纸21乙种卡纸1 3A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ≥4，m ＋3n ≥7，m ≥0，n ≥0，m ，n ∈N又不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ≥4，m ＋3n ≥7，m ≥0，n ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，可得目标函数z ＝m ＋n 在点(1，2)处取得最小值3，故选B ．限时规范训练基础夯实练1．(2021·陕西百校联考)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤1，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．9解析：选A 解法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋2y ＝0并平移，由图知当直线3x ＋2y －z ＝0经过点A (0，2)时，z ＝3x ＋2y 取得最小值，即z min ＝3×0＋2×2＝4，故选A ．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，此时z ＝4；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，此时z ＝5；由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，此时z ＝9.综上所述，z ＝3x ＋2y 的最小值为4，故选A ．2．(2021·云南期末)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．－3B ．0C ．1D ．3解析：选D由x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥－1，作出可行域，如图中阴影部分所示．由图得，C (2，－1)．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，则z 表示直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距．由图可知，当直线y ＝－2x ＋z 过点C 时，z 取得最大值，所以z 的最大值z max ＝2×2－1＝3，故选D ．3．(2021·四川绵阳南山中学开学考试)设约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≤－x ＋5，y ≥－12x ＋2，则y ＋1x 的最大值为( )A ．12B ．1C ．2D ．4解析：选D 画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≤－x ＋5，y ≥－12x ＋2，所表示的可行域，如图中阴影部分所示．设目标函数y ＋1x ＝y ＋1x －0，则y ＋1x －0表示可行域内一动点到定点M (0，－1)连线的斜率．结合图象可得，当点A 与点M 相连时，斜率最大，即z 取得最大值．又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝－12x ＋2，解得A ⎝⎛⎭⎫23，53，所以y ＋1x 的最大值为53＋123－0＝4.故选D ． 4．(2021·江西景德镇期末)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，x －y －1≥0，x ＋y ≤3，则x 2＋(y －2)2的最小值为( )A ．12B ．45C ．92D ．419解析：选C 作出题中约束条件所表示的可行域，如图中△ABC 内部(含边界)所示．x 2＋(y －2)2表示可行域内点P (x ，y )与定点M (0，2)的距离的平方．由图可知|PM |min ＝|0－2－1|2＝322，即点M 到直线x －y －1＝0的距离，所以x 2＋(y －2)2的最小值为⎝⎛⎭⎫3222＝92.故选C ．5．(2021·浙江百校联考)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，x ＋y ＋4≥0，x －y ＋2≥0，则当z ＝2x ＋y 取最小值时，x ＝( )A ．－7B ．－5C ．－3D ．－1解析：选C由实数x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，x ＋y ＋4≥0，x －y ＋2≥0，作出可行域，如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋4＝0，x －y ＋2＝0，解得A (－3，－1)．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，z 表示直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距．由可行域可知，当直线y ＝－2x ＋z 过点A (－3，－1)时，直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距最小，所以当z ＝2x ＋y 取最小值时，x ＝－3，故选C ．6．(2021·黑龙江省六校阶段联考)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，4x －y ≥0，x ＋y ≤5，则z ＝x ＋2y ＋5的最大值为( )A ．14B ．10C ．9D ．7解析：选A 作出可行域如图中阴影部分所示．作出直线x ＋2y ＝0，平行移动直线x＋2y ＝0，当平移到过点A 时，z ＝x ＋2y ＋5取得最大值．联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝0，x ＋y ＝5，得A (1，4)，将A (1，4)代入目标函数z ＝x ＋2y ＋5，则z max ＝1＋2×4＋5＝14，故选A ．7．(2021·南昌市高三测试)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y －3≥0，z ＝y －x ，则z max －z min＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝x 并平移，由图可知，目标函数z ＝y －x 在点(1，2)处取得最大值，z max ＝2－1＝1，在点(2，1)处取得最小值，z min ＝1－2＝－1.所以z max －z min ＝1－(－1)＝2.故选C ．8．(2021·河南洛阳市统考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋3≥0，x ＋y －3≤0，3x －5y －9≤0，则z ＝2x－2y的最大值为( )A ．32B ．16C ．8D ．4解析：选B 解法一：令u ＝x －2y .作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．作出直线x －2y ＝0并平移，由图知，当目标函数u ＝x －2y 的图象经过点A (－2，－3)时，u 取得最大值，即u max ＝－2－2×(－3)＝4.又函数f (u )＝2u 在定义域内单调递增，所以z max ＝(2x －2y )max ＝24＝16，故选B ．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋3＝0，3x －5y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－3，此时z ＝24＝16；由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋3＝0，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3，此时z ＝2－6＝164；由⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y －9＝0，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，此时z ＝23＝8. 所以z ＝2x －2y 的最大值为16，故选B ．9．(2021·江西红色七校联考)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥4，x －y ≥0，x ≤4，则（x ＋1）2＋y 2的最小值为．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，（x ＋1）2＋y 2的几何意义为可行域内的点(x ，y )到定点P (－1，0)的距离，由图知，点P (－1，0)与点M (2，2)之间的距离最小，所以(（x ＋1）2＋y 2)min ＝（2＋1）2＋22＝13.答案：1310．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x <2，则z ＝2x －y 的取值范围是．解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x －y ＝0，平移可知直线2x －y ＝z 过点C 时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝13，y ＝23，即C ⎝⎛⎭⎫13，23，所以z min ＝2×13－23＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，即B (2，－1)，将直线2x －y ＝0往右下方平移的过程中，z 的值逐渐增大，所以z max <2×2－(－1)＝5.所以z 的取值范围是[0，5)．答案：[0，5)综合提升练11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －y ≤2，1≤x ≤m ，且z ＝y －2x 的最小值为－6，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选C 由实数x ，y 满足的约束条件作出所表示的可行域，如图中阴影部分所示．由图可得，当z ＝y －2x 经过点P 时，z 取得最小值－6.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝x －2，得P (m ，m －2)，将其代入z ＝y －2x 得，m －2－2m ＝－6，解得m ＝4，故选C ．12．(2021·上海闵行中学期末)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋3y ≤4，x ≥－2，则z ＝|x －3y |的最大值为( )A ．10B ．8C ．6D ．4解析：选B 作出变量x ，y 满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示．由图可得，直线x －3y ＝m 过点B (－2，－2)时取得最大值4，过点A (－2，2)时取得最小值－8，因此z ＝|x －3y |的最大值为8，故选B ．13．(2021·山西大同市调研)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x －2≤0，x ＋y －2≥0，则y ＋1x ＋2的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤12，32B ．⎣⎡⎦⎤14，12 C ．⎣⎡⎦⎤14，23D ．⎣⎡⎦⎤14，32解析：选D 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则y ＋1x ＋2的几何意义为过P (x ，y )与A (－2，－1)两点的直线的斜率．从图中可知当点P (x ，y )为点B (2，0)时，y ＋1x ＋2的值最小，为14；当点P (x ，y )为点D (0，2)时，y ＋1x ＋2的值最大，为32.所以y ＋1x ＋2的取值范围为⎣⎡⎦⎤14，32，故选D ．14．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( )A ．－16B ．－6C ．－83D ．6解析：选B 解法一：由题意知k <0，在平面直角坐标系中，画出x ，y 满足的不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数z ＝x ＋3y 可变形为y ＝－13x ＋13z ，由图可知，当直线y ＝－13x ＋13z 经过阴影区域中的点A 时，在y 轴上截距最大．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＋k ＝0，得x ＝y ＝－k 3，即A ⎝⎛⎭⎫－k 3，－k 3，则z max ＝－k 3＋3·⎝⎛⎭⎫－k 3＝－4k 3＝8，解得k ＝－6.故所求实数k 的值为－6.故选B ．解法二：由于目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以直线y ＝x 与直线8＝x ＋3y 的交点(2，2)在直线2x ＋y ＋k ＝0上，将x ＝2，y ＝2代入2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.故所求实数k 的值为－6.故选B ．创新应用练15．(2021·云南模拟)某校同时提供A ，B 两类线上选修课程：A 类选修课每次观看线上直播40分钟，并完成课后作业20分钟，可获得积分5分；B 类选修课每次观看线上直播30分钟，并完成课后作业30分钟，可获得积分4分．每周开设2次选修课程，共开设20周，每次均为独立内容，每次只能选择A 类、B 类课程中的一类学习．当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得总积分分．如果规定学生观看直播总时间不得少于1200分钟，课后作业总时间不得少于900分钟，则通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分分．解析：根据题意知，当选择A 类课程20次，B 类课程20次时可获得总积分5×20＋4×20＝180(分)．设学生选择A 类选修课x (x ∈N )次，B 类选修课y (y ∈N )次，则x ，y 所满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋30y ≥1200，20x ＋30y ≥900，x ＋y ≤40，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ≥120，2x ＋3y ≥90，x ＋y ≤40，x ∈N ，y ∈N ，总积分为z ＝5x ＋4y .作出约束条件对应的可行域，如图中的阴影部分中的整点所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝40，2x ＋3y ＝90，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30，y ＝10，可得M (30，10)，平移直线5x ＋4y ＝0，当直线z ＝5x ＋4y 经过可行域的顶点M 时，直线z ＝5x ＋4y 在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值，即z max ＝5×30＋4×10＝190.因此，通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分190分．答案：180 190。

苏教版高三数学上册知识点：二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

苏教版高三数学上册知识点：二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题知足二元一次不等式(组 )的 x 和 y 的取值构成有序数对(x ，y) ，全部这样的有序数对(x，y)构成的会合称为二元一次不等式 (组 )的解集。

下边是苏教版高三数学上册知识点：二元一次不等式 (组 ) 与简单的线性规划问题。

1.?知足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序数对(x ，y)，称为二元一次不等式(组 )的一个解，全部这样的有序数对(x， y) 构成的会合称为二元一次不等式(组)的解集。

2.?二元一次不等式(组 )的每一个解 (x ，y) 作为点的坐标对应平面上的一个点，二元一次不等式(组 )的解集对应平面直角坐标系中的一个半平面(平面地区 )。

3.?直线 l ：Ax+By+C=0(A 、B 不全为零 )把坐标平面区分红两部分，此中一部分(半个平面 )对应二元一次不等式Ax+By+C>0( 或≥0)，另一部分对应二元一次不等式Ax+By+C0 所表示的平面地区时，应把界限画成虚线。

8.?若点 P(x0 ，y0) 与点 P1(x1， y1)在直线 l： Ax+By+C=0 的同侧，则Ax0+By0+C 与Ax1+Byl+C 符号同样;若点P(x0，y0)与点 P1(x1，y1) 在直线 l： Ax+By+C=0 的双侧，则Ax0+By0+C 与 Ax1+Byl+C符号相反。

9.?从实质问题中抽象出二元一次不等式(组 )的步骤是：教师范读的是阅读教课中不行缺乏的部分，我常采纳范读，第1页/共2页1 / 2让少儿学习、模拟。

如领读，我读一句，让少儿读一句，边读边记；第二通读，我高声读，我高声读，少儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗诵磁带，一边放录音，一边少儿频频聆听，在频频聆听中体验、品尝。

(1)依据题意，设出变量 ;(2)剖析问题中的变量，并依据各个不等关系列出常量与变量x， y 之间的不等式;(3)把各个不等式连同变量x，y 存心义的实质范围合在一同，构成不等式组。

高考数学一轮复习第七章不等式7.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题理

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第七章不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题理1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念3.(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；②当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． (3)最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( √ )(3)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × )(4)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( √ )1．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0解析两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0，又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是________．答案 ③解析用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为③.3．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是________．答案 2解析因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)，故AB ＝2，AC ＝22，其面积为12×AB ×AC ＝2.4．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为________．答案 2解析可行域如图所示．目标函数化为y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (0,1)时，z 取得最大值2.5．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0解析用表格列出各数据所以不难看出，x ≥0，y题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1 不含参数的平面区域问题例1 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的________．(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于________．答案 (1)③ (2)43解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有③符合题意．(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A (0，43)，B (1,1)，C (0,4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.命题点2 含参数的平面区域问题例2 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________________________________________________________________．答案 73解析不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.思维升华 (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为________．(2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为________．答案 (1)[3，＋∞) (2)1解析 (1)直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝2－－1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．(2)由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，所以只有可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与kx －y ＝0垂直．①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求．题型二求目标函数的最值问题命题点1 求线性目标函数的最值例3 (2014·广东)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝________. 答案 6解析画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6.命题点2 求非线性目标函数的最值例4 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．解由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此y x的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)，∴k OB ＝21＝2，即z min ＝2，∴z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x 2＋y 2的值最小为OA 2(取不到)，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)，∴OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5， ∴z 的取值范围是(1,5]．引申探究 1．若z ＝y －1x －1，求z 的取值范围．解 z ＝y －1x －1可以看作过点P (1,1)及(x ，y )两点的直线的斜率． ∴z 的取值范围是(－∞，0)．2．若z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3.求z 的最大值、最小值．解 z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方，(PQ 2)max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，(PQ 2)min ＝(|1－1＋1|12＋－2)2＝12， ∴z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.命题点3 求线性规划的参数例5 已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a＝________. 答案 12解析作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝ax －，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值． (2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有：①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，x －a2＋y －b2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；②y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件．(1)在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为________．(2) x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________．答案 (1)1 (2)2或－1解析 (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝＋t ＋t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)．(2)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 题型三线性规划的实际应用例6 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．思维升华解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答．(2015·陕西改编)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.答案 18解析设每天甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3)．则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．8．含参数的线性规划问题的易错点典例已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.易错分析题目给出的区域边界“两静一动”，可先画出已知边界表示的区域，分析动直线的位置时容易出错，没有抓住直线x ＋y ＝m 和直线y ＝－x 平行这个特点；另外在寻找最优点时也容易找错区域的顶点．解析显然，当m <2时，不等式组表示的平面区域是空集；当m ＝2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A (1,1)．此时z min ＝1－1＝0≠－1. 显然都不符合题意．故必有m >2，此时不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m所表示的平面区域如图所示，平面区域为一个三角形区域，其顶点为A (1,1)，B (m －1,1)，C (m ＋13，2m －13)．由图可知，当直线y ＝x －z 经过点C 时，z 取得最小值，最小值为m ＋13－2m －13＝2－m3.由题意，得2－m3＝－1，解得m ＝5.答案 5温馨提醒 (1)当约束条件含有参数时，要注意根据题目条件，画出符合条件的可行域．本题因含有变化的参数，可能导致可行域画不出来． (2)应注意直线y ＝x －z 经过的特殊点．[方法与技巧]1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．2．求最值：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b ，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得． 3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．4．利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题． [失误与防范]1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z b取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距zb取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．A 组专项基础训练 (时间：30分钟)1．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有________个．答案 1解析由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且其斜率k ＝－2<k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z＝x ＋6y 的最大值为________．答案 18解析画出约束条件的可行域如图阴影，作直线l ：x ＋6y ＝0，平移直线l 可知，直线l 过点A 时，目标函数z ＝x ＋6y 取得最大值，易得A (0,3)，所以z max ＝0＋6×3＝18.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．答案 3解析由线性约束条件画出可行域(如图所示)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距，要使z最小，需使12z 最小，易知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (1,1)时，z 最小，最小值为3.4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是______________．答案 (0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求得A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________元．答案 2 800解析设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x 、y 的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元，则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图．画直线l ：300x ＋400y ＝0，即3x ＋4y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时，目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4,4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)．6．若函数y ＝2x图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为________．答案 1解析在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.7．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是________．答案 1解析作出不等式组对应的平面区域如图，ω＝y ＋1x的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1.8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是__________．答案 [－53，5)解析画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是[－53，5)．9．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如表：某冶炼厂至少要生产2)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．答案 15解析设购买铁矿石A 、B 分别为x 万吨，y 万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝3x ＋6y ，由⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ＝1.9，x ＋0.5y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.记P (1,2)，画出可行域可知，当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P (1,2)时，z 取到最小值15. 10．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为10，则a 2＋b 2的最小值为________．答案2513解析因为a >0，b >0，所以由可行域得，如图，当目标函数过点(4,6)时z 取最大值，∴4a ＋6b ＝10.a 2＋b 2的几何意义是直线4a ＋6b ＝10上任意一点到点(0,0)的距离的平方，那么其最小值是点(0,0)到直线4a ＋6b ＝10距离的平方，则a 2＋b 2的最小值是2513.B 组专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值范围是__________．答案 (－103，－2)解析作出可行域，如图所示，则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1，在点(－1,1)处取得最小值－3， ∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3,1)上有两个不同实数解．令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f －，f ，－3<k2<1，Δ＝k 2－4>0⇒－103<k <－2.12．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →|的最小值为________．答案55解析在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →，则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →| ＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →|，其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图．因为|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，因此|OP →＋OQ →|min ＝55.13．设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )·(y －1x)≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为________．答案π2解析平面点集A 表示的平面区域就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥0，y －1x≥0与⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x≤0表示的两块平面区域，而平面点集B 表示的平面区域为以点(1,1)为圆心，以1为半径的圆及圆的内部，作出它们表示的平面区域如图所示，图中的阴影部分就是A ∩B 所表示的平面图形．由于圆和曲线y ＝1x关于直线y ＝x 对称，因此，阴影部分所表示的图形面积为圆面积的12，即为π2.14．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为________．答案 37解析由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界． ∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6. ∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.15．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．答案 1 解析 ∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋y ＋x ＋1的最小值为32，∴y ＋1x ＋1的最小值为14，而y ＋1x ＋1表示点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，易知a >0， ∴可行域如图中阴影部分所示，∴(y ＋1x ＋1)min ＝0－－3a －－＝13a ＋1＝14，∴a ＝1.16．(2015·浙江)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________．答案 3解析满足x 2＋y 2≤1的实数x ，y 表示的点(x ，y )构成的区域是单位圆及其内部．f (x ，y )＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x －2y ，y ≥－2x ＋2，8－3x －4y ，y <－2x ＋2.直线y ＝－2x ＋2与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，如图所示，易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45.设z 1＝4＋x －2y ，z 2＝8－3x －4y ，分别作直线y ＝12x和y ＝－34x 并平移，则z 1＝4＋x －2y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，z 2＝8－3x －4y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，所以|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是3.。

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可行域最优解
集合所有可行解组成的____ 最大值或最小值使目标函数取得______ ______的可行解
最大在线性约束条件下求线性目标函数的____ 线性规划问题值 __或最小值 ______问题
[小题体验]
1．若点(1,3)和(－4，－2)在直线 2x＋y＋m＝0 的两侧，则 m 的取值范围是________．
2．线性规划中的基本概念
名称
约束条件
意义不等式(组) 由变量x，y组成的__________
一次不等式(或方程)组成的不等由x，y的_____ 线性约束条件式 (组 ) 解析式，如z＝2x＋3y等目标函数关于x，y的函数_______ 一次解析式线性目标函数关于x，y的_____ (x，y) 可行解满足线性约束条件的解______
2x－y≤0， 3．(2016· 北京高考)若x，y满足 x＋y≤3， x≥0，大值为________．
解析：根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y＝－2x，当直线平移到过点A时，目标函数取得最大值，由
2x－y＝0， x＋y＝3，
则2x＋y的最
可得A(1,2)，
的整点(x，y)恰有 9 个，其
中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数 a＝______.
解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当 a＝0 时，只有 4 个整点(1,1)， (0,0)，(1,0)，(2,0)；当 a＝－1 时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共 5 个整点．答案：－1
此时2x＋y取最大值为2×1＋2＝4．答案：4

1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为 ax＋by＋c>0(a>0)． 2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有． z 3．在通过求直线的截距b的最值间接求出 z 的最值时，要注意： z z 当 b>0 时，截距b取最大值时，z 也取最大值；截距b取最小值 z 时，z 也取最小值；当 b<0 时，截距b取最大值时，z 取最小值； z 截距b取最小值时，z 取最大值．
[小题纠偏]
1．若用阴影表示不等示组
－x＋y≤0， 3x－y≤0
所形成的平面区
域，则该平面区域中的夹角的大小为________．
答案：15°
y≤x， 2．(2017· 兰州诊断)已知实数x，y满足 x＋y≤1， y≥－1，标函数z＝2x－y的最大值为________．
x≥0， 3．(2017· 广州五校联考)设不等式组 x＋2y≥4， 2x＋y≤4 面区域为D，则区域D的面积为________．
所表示的平
解析：如图，画出可行域．易得
4 4 A 3，3 ，
1 B(0,2) ， C(0,4) ，所以可行域 D 的面积为 2 4 4 × 2× ＝． 3 3 答案： 4 3
则目
解析：画出平面区域如图所示，目标函数可变为y＝2x－z，将直线y＝2x 进行平移可得在点(2，－1)处截距最小，所以此时z最大，最大值为5．答案：5
考点一
二元一次不等式组表示平面区域
[题组练透]
x≥1， 1．已知约束条件x＋y－4≤0， kx－y≤0 形区域，则实数 k＝________.
解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y＝ 2 5 z － x＋＋过点A时，z取得最小值，联立 3 3 3 2x－y＋1＝0，解得A(－1，－1)，即zmin x － 2 y － 1 ＝ 0 ，＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．答案：－10
解析：由题意可得 (2×1 ＋ 3 ＋ m)[2× ( － 4) － 2 ＋ m]<0，即(m＋5)(m－10)<0，所以－5<m<10. 答案：(－5,10)
2.如图所示的平面区域(阴影部分)满足的不等式为______．
x y 解析：平面区域的边界线方程为＋＝1，即 x＋y－1＝0. 1 1 所以平面区域满足不等式是 x＋y－1>0. 答案：x＋y－1>0
第三节
二元一次不等式组与简单的线性规划问题
1．一元二次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域一侧的所有点组成的平面区域
边界直线 Ax＋By＋C＞0 直线Ax＋By＋C＝0某不包括________
Ax＋By＋C≥0 不等式组
边界直线包括________
公共部分各个不等式所表示平面区域的________
表示面积为 1 的直角三角
解析：先作出不等式组
x≥1， x＋y≤4，
对应的平面区域，如图．要使阴影部分为直角三角形， 1 9 当 k＝0 时，此时三角形的面积为 ×3×3＝ ≠1，所以不成立． 2 2 当 k＝1 时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为 1. 答案：1
x－y≥0， 2．(易错题)若满足条件x＋y－2≤0， y≥a
考点二
求目标函数的最值
[锁定考向]
线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．常见的命题角度有： (1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标函数的最值； (3)线性规划中的参数问题．
[题点全练] 角度一：求线性目标函数的最值 2x－y＋1≥0， 1．(2016· 全国丙卷)设 x，y 满足约束条件x－2y－1≤0， x≤1，＝2x＋3y－5 的最小值为________．则z
[谨记通法] 确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法 (1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．如“题组练透”第 2 题易忽视边界． (2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．