第3讲、直线与方程
直线与方程讲义
直线与方程【考点审视】关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，两点间距离公式，点到直线的距离公式，夹角与到角公式，两直线的垂直、平行关系等知识的试题，都属于基本要求，既有选择题、填空题，也有解答题，一般涉及到两个以上的知识点，这些仍将是今后高考考查的热点。
考查通常分为三个层次：层次一：考查与直线有关的基本概念、公式；层次二：考查不同条件下的直线方程的求法；层次三：考查直线与其它知识的综合。
解决问题的基本方法和途径：数形结合法、分类讨论法、待定系数法。
【疑难点拔】直线的斜率及直线方程的几种形式是本章的重点，本章的难点是倾斜角及直线方程的概念，突破难点的方法之一是运用数形结合，要注意直线方程几种形式的适用性和局限性，【知识网络】一、回顾与复习：思考1：倾斜角（0°≤α<180°），斜率（α =90°时不存在），截距（注意为0 的情形，曲线与x、y轴的交点（a，0），（0，b）其中a叫曲线在x轴上的截距；b 叫曲线在y 轴上的截距。
截距和距离不同，截距的值有正、负、零。
距离的值是非负数。
截距是实数，不是“距离”，可正可负）。
知识点梳理：1.倾斜角： X 轴正向与直线 L 向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。
2. 斜率： k tany 2 y 1 x 2 x 1斜率 k 与倾斜角 之间的关系：a 0 k tan0 0 0 a 90 k tana 0a 90 tana （ 不存在 ） k 不存在 90 a 180 k tana 0又回到原来的位置，那么直线 l 的斜率是11 B 3 C 33直线 x=3 的倾斜角是（直线的方程 ：（1）点斜式 ：已知直线过点 （x 0,y 0）斜率为 k ，则直线方程为 y y 0 k （x x 0 ）,它不包括垂 直于 x 轴的直线。
（2）斜截式 ：已知直线在 y 轴上的截距为 b 和斜率 k ，则直线方程为 y kx b ,它不包括垂 直于 x 轴的直线。
直线与方程(讲义)
直线与方程（讲义）一、基础知识梳理1、直线方程的几种形式2、两条直线的位置关系3、两条直线的交角①直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ. ②两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当 90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ. 4、距离问题5、对称问题题型总结一、直线方程1、直线过原点且倾角的正弦值是54，则直线方程为 2、直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ）A.213, B.--213, C.--123, D.－2，－3 3、求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。
4、若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )A. ab ＞0，bc ＞0B. ab ＞0，bc ＜0C. ab ＜0，bc ＞0D. ab ＜0，bc ＜0二、垂直与平行1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（ ）A.x-2y-1=0B. x-2y+1=0C. 2x+y-2=0D. x+2y-1=02. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A. 012=-+y xB. 052=-+y x3、(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（ ） A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=04、（上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ）A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或25、（05北京卷）“m =21”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的( )（A ）充分必要条件 （B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件三、直线系问题（1）过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x =（2）与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠）（3）与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+=（4）过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为：()()1112220a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2l ）1、求通过两条直线3100x y +-=和30x y -=的交点，且到原点距离为1；2、经过点()3,2A ，且与直线420x y +-=平行；3、经过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直.4、求通过两条直线3100x y +-=和30x y -=的交点，250x y +-=平行5、经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A （3，－2），B （－1，6）等距离的直线的方程是6、求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程.四、对称问题点关于点的对称问题1、求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.点关于直线的对称问题1、求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标2、在直线y =－2上有一点P ，它到点A (－3, 1)和点B (5, －1)的距离之和最小，则点P 的坐标为3、已知点A (1, 3), B (5, －2)，在x 轴上取点P ，使||P A |－|PB ||最大，则点P 坐标为 .4、从点P (3, －2)发出的光线，经过直线l 1: x －y －2=0反射，若反射光线恰好通过点Q (5, 1)，则光线l 所在的直线方程是 .5、（06湖北联考）一条光线经过点()2,3P ，射在直线l ：10x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q .()1求入射光线的方程；直线关于某点对称的问题1、求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.直线关于直线的对称问题1、求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.2、求直线a ：2x +y －4=0关于直线l ：3x +4y －1=0对称的直线b 的方程.3、求直线1l ：23y x =+关于直线l ：1y x =+对称的直线2l 的方程.五、最值问题1.设－π≤α≤π，点P (1, 1)到直线x cosα+y sinα=2的最大距离是（A ）2－2 （B ）2+2 （C ）2 （D ）22．点P 为直线x －y +4=0上任意一点，O 为原点，则|OP |的最小值为（A ）6 （B ）10 （C ）22 （D ）23．已知两点P (cosα, sinα), Q (cosβ, sinβ)，则|PQ |的最大值为（A ）2 （B ）2 （C ）4 （D ）不存在4．过点(1, 2)且与原点距离最大的直线方程是（A ）x +2y －5=0 （B ）2x +y －4=0 （C ）x +3y －7=0 （D ）x －2y +3=05．已知P (－2, －2), Q (0, 1), R (2, m )，若|PR |+|RQ |最小，则m 的值为（A ）21 （B ）0 （C ）－1 （D ）－34 6．已知A (8, 6), B (2, －2)，在直线3x －y +2=0上有点P ，可使|P A |+|PB |最小，则点P 坐标为（A ）(2, 0) （B ）(－4, －10) （C ）(－10, －4) （D ）(0, 2)7．已知点A(1, 3), B(5, －2)，在x轴上取点P，使||P A|－|PB||最大，则点P坐标为.。
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【知识点一：倾斜角与斜率】 （1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。
②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00 ③倾斜角α的范围000180α≤< （2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在. 记作tan k α=0(90)α≠⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k ==⑵当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在.②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=-③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.（3）求斜率的一般方法：①已知直线上两点，根据斜率公式212121()y y k x x x x -=≠-求斜率；②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； （4）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直. 【知识点三：直线的方程】 名称 方程的形式 已知条件 局限性①点斜式11()y y k x x -=-11(,)x y 为直线上一定点， k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线②斜截式 y kx b =+ k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线知能梳理问题：过两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线是否一定可用两点式方程表示？ 【不一定】 (1)若1212x x y y =≠且，直线垂直于x 轴,方程为1x x =； (2)若1212x x y y ≠=且，直线垂直于y 轴,方程为12y y =； (3)若1212x x y y ≠≠且，直线方程可用两点式表示直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式； 利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：方程的条件限制为0,0a b ≠≠，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度.截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。
直线与方程
直线与方程引言直线与方程是初等数学中的重要概念，它们在几何图形的研究以及实际问题的解决中起着至关重要的作用。
本文将深入探讨直线的定义、直线的方程及其应用等相关内容，帮助读者全面理解和运用直线与方程的知识。
直线的定义直线是平面上两点之间所有点的集合。
在几何上，直线被认为是没有宽度和厚度的，只有长度的对象。
直线可以用于描述空间中的路径、距离等概念，是几何中最基本的图形之一。
直线的方程直线的方程是用代数符号和式子来表示直线的特征和性质的数学表达式。
直线的方程有多种表示形式，其中常见的有： - 一般式方程：Ax+By+C=0； - 截距式方程：y=mx+c； - 斜截式方程：y=mx+b。
一般式方程一般式方程是直线的一种标准表示形式，在几何上可用于描述直线的位置和方向。
其一般形式为Ax+By+C=0，其中A、B、C是实数常数，并且A和B不同时为0。
截距式方程截距式方程是直线的另一种常见表示形式，利用直线在坐标轴上的截距来表示直线的特征。
截距式方程的形式为y=mx+c，其中m为直线的斜率，c为直线与y轴的截距。
斜截式方程斜截式方程是直线的一种特殊形式，利用直线的斜率和与y轴的截距来表示直线的特征。
斜截式方程的形式为y=mx+b，其中m为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
直线方程的求解在实际问题中，我们经常需要求解直线的方程以解决相关的几何或物理问题。
根据直线经过的已知点及其斜率等条件，我们可以通过以下方法求解直线的方程： 1. 已知两点求解方程： - 设已知直线上两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)； - 计； - 将斜率m和任意一个已知点的坐标代入斜截式方程算直线的斜率m=y2−y1x2−x1y=mx+b中，解得截距b； - 得到直线的斜截式方程y=mx+b。
2.已知点斜式求解方程：–设已知直线上一点的坐标为(x1,y1)，斜率为m；–将已知点和斜率代入斜截式方程y=mx+b中，解得截距b；–得到直线的斜截式方程y=mx+b。
专题课件：直线与方程、圆与方程
高频考点
类型一 直线的倾斜角与斜率 【例 1】 已知直线 2xsinα＋2y－5＝0，则该直线 的倾斜角的变化范围是___________是认为直线斜率 k ＝tanβ 在[0，π)上是单调函数．当已知直线斜率 k 的取值 范围求直线倾斜角的取值范围时，一定要正确利用正切函 数的单调性．正切函数 k＝tanβ 在[0，π)上并不是单调的 函数，因此当 k 的取值连续时，直线倾斜角的取值范围有 时却是断开的，如本题就是．
考情分析
函数知识的综合应用，故对圆的两类方程及直线与圆的 位置关系的考查将是今后一段时间平面解析几何的命题 方向．
要点串讲
1. 直 线 的 倾 斜 角 和 斜 率 的 大 小 反 映 了 直 线 的 倾 斜 程 度．任何直线都有倾斜角，但只有倾斜角不等于 90°的直线 才有斜率；根据定义可知直线的倾斜角 α 的取值范围是[0°， 180°)．已知倾斜角 α，则斜率 k＝不tan存α在α≠α9＝0°90° ；直线 的斜率也可以用一直线上的两点坐标来表示，即 k＝yx22－－yx11 (x1≠x2)．
2．直线方程的 5 种形式分别为：(1)点斜式：y－y0 ＝k(x－x0)；(2)斜截式：y＝kx＋b；(3)截距式：xa＋yb＝1； (4)两点式：yy2－－yy11＝xx2－－xx11；(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A， B 不全为 0)．
其中，只有一般式可以表示所有的直线．在利用直线 方程的不同形式解题时，一定要注意它们表示直线的局限 性．比如，根据“在两坐标轴上的截距相等”这个条件设 方程一定不要忽略过原点的特殊情况．而题中给出直线方 程的一般式，我们通常先把它转化为斜截式再进行处理．
5．若点 P(a，b)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 的对称 点为 Q(x0，y0)，则 l 是线段 PQ 的垂直平分线．即
直线和方程讲义
直线与方程讲义教学过程（内容）备注一．直线的倾斜角与斜率1.当直线与轴相交时，我们把轴正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.则直线的倾斜角的范围是.2.倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即.特别地是，当，时，直线与x轴垂直，斜率不存在；当，时，直线与轴垂直，斜率注意：当直线与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°，斜率当直线与y轴平行或者重合时，.直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，当时， 斜率，随着α的增大，斜率也增大；当时，斜率，随着α的增大，斜率也增大.如果知道直线上两点，则有斜率公式.三点共线的充要条件是练习1．直线的倾斜角和斜率分别是（）A． B． C．，不存在 D．，不存在1．若三点共线 则的值为_____________2．如果直线沿轴负方向平移个单位再沿轴正方向平移个单位后，又回到原来的位置，那么直线 的斜率是_____________________3．已知点，若直线过点与线段相交，求直线的斜率的取值范围3．若过点的直线与过点的直线平行，则= .两点式：截距式：一般式：，注意A、B不同时为0.直线一般式方程化为斜截式方程，表示斜率为，y轴上截距为的直线.例：在方程中，A,B,C为何值时，方程表示的直线：（1）过原点（2）与轴重合？（3）平行于轴？练习1．已知点，则线段的垂直平分线的方程是______________2．已知，则直线通过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限3．直线，当变动时，所有直线都通过定点（）A． B． C． D．3．已知直线过点，求过点P且与直线所夹的锐角为的直线的方程。
4．过点作一直线，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积．四．两条直线的平行与垂直1．对于两条直线：（1）（2）2.对于两条直线：（1）（2）3.与直线平行的直线可设为。
直线与方程讲义
地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）直线与方程讲义【学习目标】1在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3能根据斜率判定两条直线平行或垂直.4根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系.5能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.6探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.【学习流程】一、知识归类1.直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是 （)900≠α.（2）直线倾斜角的范围是 .（3）直线过))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠两点的斜率公式为：=k .2.两直线垂直与平行的判定（1）对于不重合的两条直线21,l l ，其斜率分别为21,k k ，，则有：⇔21//l l ；⇔⊥21l l .（2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 ；当一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两条直线 .3.直线方程的几种形式 名称 方程形式 适用条件点斜式不表示 的直线地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）斜截式不表示 的直线 两点式不表示 的直线 截距式不表示 和 的直线一般式 )0(022≠+=++B A c By Ax 注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式.4.几个距离公式（1）两点),(),,(222111y x P y x P 之间的距离公式是：=||21P P .（2）点),(00y x P 到直线0:=++c By Ax l 的距离公式是：=d .（3）两条平行线0:,0:21=++=++c By Ax l c By Ax l 间的距离公式是：=d .二、典型例题题型一：直线的倾斜角与斜率问题例1 已知坐标平面内三点)13,2(),1,1(),1,1(+-C B A .（1）求直线AC BC AB 、、的斜率和倾斜角.（2）若D 为ABC ∆的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围.地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）题型二：直线的平行与垂直问题例2 已知直线l 的方程为01243=-+y x ，求下列直线l '的方程,l '满足（1）过点)3,1(-，且与l 平行；（2）过)3,1(-，且与l 垂直.题型三：直线的交点、距离问题例 3 已知直线l 经过点A )4,2(,且被平行直线01:01:21=--=+-y x l y x l 与所截得的线段的中点M 在直线03=-+y x 上，求直线l 的方程.题型四：直线方程的应用例4 已知直线0355:=+--a y ax l .（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围.【检测反馈】地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）1.若直线过点),32,4(),2,1(+则此直线的倾斜角是（ ）.（A ）030 （B ）045（C ）060 （D ） 0902.过点)1,1(E 和)0,1(-F 的直线与过点)0,2(k M -和点)4,0(k N 直线的位置关系是（ ） （A ）平行（B ）重合（C ）平行或重合（D ）相交或重合3.过点)3,1(-且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）.(A)012=-+y x (B) 052=-+y x (C) 052=-+y x (D) 072=+-y x4.已知点),1,3(),2,1(B A 则到B A ,两点距离相等的点的坐标满足的条件是（ ）.（A ）524=+y x （B ）524=-y x （C ）52=+y x （D ）52=-y x5.直线),0,0(0:,0:21b a b a a y bx l b y ax l ≠≠≠=+-=+-在同一直角坐标系中的图形大致是（ ）.6.直线l 被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是原点O ，则直线l 的方程为 .7.已知,0>a 若平面内三点),3(),,2(),,1(32a C a B a A -共线，则a = .8.过点),4,1(A 且纵、横截距的绝对值相等的直线共有（ ）.（A ）1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条9.已知直线l 过点)1,1(P ，且被平行直线01343=--y x 与0743=+-y x 截得的线段长为24，求直线l 的方程.A O O x y 1l 2l 2l 1l x yB O x y 1l 2lC y xO 2l 1l D。
空间直线及其方程【高等数学PPT课件】
一、直线方程
1
1. 一般式方程
A1 x
B1
y
C1z
D1
0,
2
其中
A2 n1
x B2 y C2z ( A1, B1,C1 )与
D 2 n2
0, ( A2
,
L
B2 ,C2 )
不平行.
2. 对称式、参数式方程
平行于直线l的非零向量 称为直线的方向向量,
x y
x0 y0
0 0
s 的方向余弦称为直线 l 的方向余弦.
若令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
则
x y
x0 mt y0 nt
——直线的参数式方程
z z0 pt
t 为参数
例1 求过点 M0(2,6,3) 且平行于 (2,1,3)
过直线 l 的平面有无穷多个，称为过l 的平面束,
其方程为:
A1 x B1 y C1z D1 m( A2 x B2 y C2z D2 ) 0
其中m为待定参数.
例3
求直线l:
x y z 1 0 在平面 x yz10
x y z 0 上的投影直线方程.
n ( A, B,C )
若直线与平面斜交, 则该直线与它在平面上的
投影的夹角 (0 f π ) 称为
直线与平面的夹角. 2
设 n与 s的夹角为 , 则 或
2
n
2
l
2
2
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第3讲：直线与方程一、知识点：（一）. 倾斜角：0απ≤<.（二）. 斜率：tan k θ=. 直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121y y k x x -=-. 每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率； （三）、两三角公式与特殊角的正切值：)180tan(tan 18090o ααα--=<<o o 时，；α190tano -=+）（ 规律：0tan 900>=<<k 时，且递增；0tan 18090<=<<k 时，且递增；（四）、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l ⇔12k k =；（2）12l l ⊥⇔121k k ⋅=-. 特例：两条直线中斜率都不存在时，则它们平行；一个不存在，另一个存在且为0，则它们垂直. （五）、直线的方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--。
4. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=.特殊情形：直线垂直x 轴时的直线方程为00x x -=，或0x x =. 直线垂直y 轴时的直线方程为00y y -=，或0y y =. 5、一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0.直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A C y x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为CB -的直线.6、已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）11112222//A B C l l A B C ⇔=≠； （2）1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；（3）1l 与2l 相交1122A BA B ⇔≠. （4）1212120l l A A B B ⊥⇔+=（六）重点公式1、线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. 2、交点坐标：将两条直线的方程联立，11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩ 0000x x x y y y =⎧⇒⇒⎨=⎩交点（，）3、两点间的距离：两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12||PP 特别：原点(0,0)O 与任一点(,)Px y 的距离||OP =当直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-； 当与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；4、点到直线的距离：点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =5、两平行线距离 两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d =注: 1、求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；2、求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。
二、典型题目：1.过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（ ）A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D. x+2y-1=02.过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A. 012=-+y xB.052=-+y xC.052=-+y xD.072=+-y x 3.已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ） A. 0 B. 8- C. 2 D. 104.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、23- D 、325.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）A 2 B 21 C 1 D 276.直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是（ ）A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）7.已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ） A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或28、若图中的直线l 1,l 2,l 3,l 4的斜率分别为K 1、K 2、K 3、K 4则（ ）A 、K 1>K 2>K 3>K 4B 、K 2>K 1>K 3>K 4C 、K 2>K 1>K 4>K 3D 、K 1>K 2>K 4>K 39、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）10. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )A. ab ＞0，bc ＞0B. ab ＞0，bc ＜0C. ab ＜0，bc ＞0D. ab ＜0，bc ＜011. 如果直线 l 经过两直线2x - 3y + 1 = 0和3x - y - 2 = 0的交点，且与直线y = x 垂直，则原点到直线 l 的距离是( )A. 2 B. 1 C.2 D.2212. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54- B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- 13、已知，，直线l 过原点O 且与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A B C D14. 点M （4，m ）关于点N （n, -3）的对称点为P （6，-9），则（ ） A.m=-3,n=10 B. m=3,n=10 C.m=-3,n=5 D.m=3,n=515.以A （1，3），B （-5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ）A 3x-y-8=0B 3x+y+4=0C 3x-y+6=0D 3x+y+2=016.过点Ｍ（２,１）的直线与x 轴，y 轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜,则l 的方程是（ ） A x-2y+3=0 B 2x-y-3=0C 2x+y-5=0 D x+2y-4=017. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是（） （A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交但不垂直 （D ）不能确定18.已知A （1，2）、B （-1，4）、C （5，2），则ΔABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为（ ） （A ）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=019．若1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --三点共线 则m 的值为（ ）Ａ．21 Ｂ． 21- Ｃ．2- Ｄ．2 20．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ）A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1)21．直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们的距离为（ ）A ．4 BC D22．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．34k ≥B ．324k ≤≤C ．324k k ≥≤或 D ．2k ≤ 23．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23 B ．32 C ．32- D ． 23- 24．△ABC 中，点(4,1)A -,AB 的中点为(3,2)M ,重心为(4,2)P ，则边BC 的长为（）A ．5B ．4C ．10D ．825、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（ ） A. a =2,b=5; B. a =2,b=-5; C. a =-2,b=5; D. a =-2,b=-5. 26.已知点()1,2A ，()3,1B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是 （ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x二、填空题27．过点P(1,2)且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程是 ；截距相反的直线方程是 。
28、经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A （3，－2），B （－1，6）等距离的直线的方程是 。
29．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为 ；若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为 ；若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为 . 30、点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________. 31、与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是____________。
32、将一张坐标纸折叠，使点(0,2)与点(4,0)重合，且点(7,3)与点(,)m n 重合，则n m +的值是___________。
33、点(1,1)P -到直线y=2x+1的距离是________________.34、两直线2x+3y －k=0和x －ky+12=0的交点在y 轴上，则k 的值是35、两平行直线y x y x 69243-==+与的距离是 。
36、已知直线,32:1+=x y l 2l 与1l 关于直线x y -=对称，直线3l ⊥2l ，则3l 的斜率是______.37、直线10x y -+=上点P 的横坐标是3，若该直线绕P 逆时针旋转090得直线l ，则直线l 的方程是 ． 38、一直线过点(3,4)M -，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是__________．三、解答题39．一直线被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是P 点，当P 点分别为(0,0)，(0,1)时，求此直线方程。
40. ①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的距离是7的直线的方程;②求垂直于直线x+3y-5=0, 且与点P(-1,0)的距离是1053的直线的方程.41.直线x+m 2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0没有公共点，求实数m 的值.42．求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程。