北京市丰台区高三数学统一练习(一)(文)
北京市丰台区高三一模数学（文）试卷及答案
ABC D O EA 1B 1C 1D 1开始 输入a S =0，n =1 n = n +1 S = S +a n n ≤ 否是丰台区高三年级第二学期统一练习（一）数 学（文科）.3一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合U =R ，2{560}A x x x =-+≥，那么UA =(A) {2x x <或3}x > (B) {23}x x << (C) {2x x ≤或3}x ≥(D) {23}x x ≤≤2．“a =2”是“直线ax +2y =0与直线x +y +1=0平行”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件3．已知平面向量a ，b 的夹角为60°，||4=a ，||3=b ，则||+a b 等于(A) 3737(C) 13134．记集合22{(,)4}A x y x y =+≤和集合{(,)|20,0,0}B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2内的概率为 (A)21π(B)1π(C)41 (D)π-24π5．如图所示，O 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1对角线A 1C 与AC 1的交点，E 为棱BB 1的中点，则空间四边形OEC 1D 1在正方体各面上的正投影不可能．．．是6．程序框图如图所示，若输入a 的值是虚数单位i ，则输出的结果是(A) -1 (B) i -1 (C) 0(D) - i7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：① 若m β⊂，αβ⊥，则m α⊥； ② 若α//β，m α⊂，则m //β；(A) (B) (C) (D)③ 若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥； ④ 若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥． 其中正确命题的序号是 (A) ①③ (B) ①②(C) ③④ (D) ②③8．若函数()f x 满足条件：当12, [1,1]x x ∈-时，有1212|()()|3||f x f x x x -≤-成立，则称()f x ∈Ω．对于函数3()g x x =，1()2h x x =+，有 (A) ()g x ∈Ω且()h x ∉Ω (B) ()g x ∉Ω且()h x ∈Ω (C) ()g x ∈Ω且()h x ∈Ω (D) ()g x ∉Ω且()h x ∉Ω二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知抛物线24y x =上一点P (3，y )，则点P 到抛物线焦点的距离为 ． 10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 2=1，S 5=10，则S 7= ．11．已知函数1,0,()(2),<0.x e x f x f x x ⎧-≥=⎨+⎩ 则(1)f -= ．12．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点 A ，点A 的纵坐标为45，则cos α= ． 13．某路段检查站监控录像显示，在某段时间内有2000辆车通过该站，现随机抽取其中的200辆进行车速分析，分析结果表示为如图所示的频率分布直方图．则图中a = ，估计在这段时间内通过该站的汽车中速度不小于90km/h 的约有 辆． 14．用[x ]表示不超过x 的最大整数，如[1.8]=1．对于下面关于函数2()([])f x x x =-的四个命题：①函数()y f x =的定义域为R ，值域为[0,1]； ②函数()y f x =的图象关于y 轴对称； ③函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1； ④函数()y f x =在(0,1)上是增函数．其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）AαxyO三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 满足b 2+c 2-a 2=bc ． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=，求)(B f 的最大值．16．（本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，BC =12AD ，PA =PD ，Q 为AD 的中点． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBQ ；（Ⅱ）若点M 在棱PC 上，设PM =tMC ，试确定t 的值，使得PA //平面BMQ ．17．（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且312n n S a =-*()n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列{}n b 中，15b =，1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式．PABCD QM18．（本小题共14分）已知椭圆E 的焦点在x 轴上，离心率为12，对称轴为坐标轴，且经过点3(1,)2． (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)直线2y kx =-与椭圆E 相交于A ，B 两点，在OA 上存在一点M ，OB 上存在一点N ，使得12MN AB =，若原点O 在以MN 为直径的圆上，求直线斜率k 的值．19．（本小题共14分）已知函数32()4f x x ax bx =+++在(,0)-∞上是增函数，在(0,1)上是减函数． （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）当0x ≥时，曲线()y f x =总在直线24y a x =-上方，求a 的取值范围．20．（本小题共13分）已知123{(,,,,)n n S A A a a a a ==，0i a =或1，1,2,,}i n =(2)n ≥，对于,n U V S ∈，(,)d U V 表示U 和V 中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）如果(0,0,0,0)U =，存在m 个4V S ∈，使得(,)2d U V =，写出m 的值； （Ⅱ）如果0(0,0,0,,0)n W =个，,n U V S ∈，求证：(,)(,)(,)d U W d V W d U V +≥．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区高三年级第二学期统一练习（一）数 学（文科）参考答案.3题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案B C B A A A DC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．4 10．21 11．e -112．35- 13．0.02，600 14． ③④（写对一个给2分，多写不给分）注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 满足b 2+c 2-a 2=bc ． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=，求)(B f 的最大值．解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc ，由余弦定理 a 2= b 2+c 2-2bc cos A 可得cos A =12．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分∵ 0<A <π （或写成A 是三角形内角） ……………………4分∴3A π=． ……………………5分 （Ⅱ）2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=311cos 22x x =++ ……………………7分 1sin()62x π=++， ……………………9分∵3A π= ∴2(0,)3B π∈ ∴5666B πππ<+< （没讨论，扣1分）…………………10分∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是23． ……………………13分16．（本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，BC =12AD ，PA =PD ，Q 为AD 的中点． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBQ ；（Ⅱ）若点M 在棱PC 上，设PM =tMC ，试确定t 的值，使得PA //平面BMQ ． 证明：（Ⅰ）AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点， ∴ 四边形BCDQ 为平行四边形， ……………………2分 ∴CD // BQ ． ∵ ∠ADC =90° ，∴∠AQB =90° ， 即QB ⊥AD ． ……………………3分 ∵ PA =PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ． ……………………4分 ∵ PQ ∩BQ =Q ， ……………………5分∴AD ⊥平面PBQ ． ……………………6分（Ⅱ）当1t =时，PA //平面BMQ ． （没写结论扣2分） ……………………8分连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ． ∵BC //12DQ ， ∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点， ……………………9分 ∵点M 是线段PC 的中点，∴ MN // PA ． ……………………10分∵ MN ⊂平面BMQ ，PA ⊄平面BMQ ， ……………………11分 ∴ PA // 平面BMQ ． ……………………13分17．（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且312n n S a =-*()n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列{}n b 中，15b =，1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式． 解：（I ）当n =1时，11312a a =-， ∴ a 1=2． ……………………2分 ABC DQMN当2n ≥时， ∵312n n S a =- ① 1131(2)2n n S a n --=-≥ ② ①-②得：133(1)(1)22n n n a a a -=---，即13n n a a -=， (3)分∴ 数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列． ……………………4分∴123n n a -=⋅． ……………………6分（II ）∵1n n n b b a +=+，∴当2n ≥时，2123n n n b b --=+⋅……13223b b =+⋅02123b b =+⋅ ……………………8分相加得12111132(333)53413n n n n b b ----=+⋅+++=+=+-． ……………………11分（相加1分，求和1分，结果1分） 当n =1时，111345b -+==， ……………………12分∴ 134n n b -=+． ……………………13分18．（本小题共14分）已知椭圆E 的焦点在x 轴上，离心率为12，对称轴为坐标轴，且经过点3(1,)2． (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)直线2y kx =-与椭圆E 相交于A ，B 两点，在OA 上存在一点M ，OB 上存在一点N ，使得12MN AB =，若原点O 在以MN 为直径的圆上，求直线斜率k 的值．解：(Ⅰ)依题意，可设椭圆E的方程为22221(0)x y a b a b +=>>． ……………………1分 ∵12c a =， ∴2a c=，22223b a c c =-=． ……………………3分∵ 椭圆经过点3(1,)2， ∴椭圆的方程为22143x y +=． ……………………5分 (Ⅱ) 记,A B 两点坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，222143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y ，得22(43)1640k x kx +-+=． ……………………7分∵ 直线与椭圆有两个交点， ∴ 24(16)16(43)0k k ∆=-+>， ∴214k >． ……………………9分由韦达定理 1221643k x x k +=+，122443x x k =+． ∵ 原点O 在以MN 为直径的圆上， ∴ OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=． ∵ 12MN AB =，M 在OA 上，N 在OB 上 ∴0OA OB ⋅=， ……………………10分又11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，∴ OA OB ⋅=12121212(2)(2)x x y y x x kx kx +=+--21212(1)2(+)+4k x x k x x =+-222416(1)2+4=04343kk k k k =+-++．∴241=32k >， ……………………13分∴23=k ……………………14分19．（本小题共14分）已知函数32()4f x x ax bx =+++在(,0)-∞上是增函数，在(0,1)上是减函数． （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）当0x ≥时，曲线()y f x =总在直线24y a x =-上方，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）∵32()4f x x ax bx =+++，∴2'()32f x x ax b =++． (2)分∵()f x 在(,0)-∞上是增函数，在(0,1)上是减函数， ∴当x =时，()f x 有极大值，即'(0)0f =， ……………………4分∴0b =． ……………………6分 （Ⅱ）2'()32(32)f x x ax x x a =+=+，∵ ()f x 在(,0)-∞上是增函数，在(0,1)上是减函数， ∴213a -≥，即32a ≤-． ……………………8分∵曲线()y f x =在直线24y a x =-的上方，设322()(4)(4)g x x ax a x =++--， (9)分∴在[0,)x ∈+∞时，()0g x ≥恒成立． ∵ 22'()32(3)()g x x ax a x a x a =+-=-+， 令'()0g x =，两个根为a-，3a ，且03aa <<-， ……………………10分 x (0,)a - a -(,)a -+∞ '()g x － 0 ＋()g x 极小值∴当x a=-时，()g x 有最小值()g a -． ……………………12分令333()(4)(4)0g a a a a -=-++--->， ∴38a >-，由32a ≤-， ∴ 322a -<≤-. ……………………14分 另解：32()4f x x ax =++，2'()32(32)f x x ax x x a =+=+当a =0时，3()4f x x =+，2'()30f x x =≥，函数()f x 在定义域上为增函数，与已知矛盾，舍；……………………7分当a >0时，由（Ⅰ）知，'()(32)f x x x a =+， 函数()f x 在2(,)3a -∞-上为增函数，在2(,0)3a-上为减函数，与已知矛盾，舍； ……………………8分当a <0时，'()(32)f x x x a =+，由已知可得213a<-，∴32a ≤- ……………………9分设322()(4)(4)g x x ax a x =++--， ……………………10分∴ 22'()32(3)()g x x ax a x a x a =+-=-+。
数学高三一模2019~2020试卷丰台区 含答案
丰台区2019—2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 2020.04 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则AB =（A ）{0} （B ）{01}， （C ）{012}，，（D ）{1012}-，，，2． 已知向量(2)(21)x ==-,,,a b ，满足a b ‖，则x =（A ）1 （B ）1-（C ）4（D ）4-3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限4． 圆22(1)2x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（A ）2（B（C ）1（D）25． 已知132a =，123b =，31log 2c =，则 （A ）a b c >> （B ）a c b >>（C ）b a c >> （D ） b c a >>6． “1a >”是“11a<”成立的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．的有8. 过抛物线22(0)C y px p =>：的焦点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线C 交于两个不同的点A B ，（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个（D ）4个俯视图左视图（点A 在x 轴上方），则AF BF的值为（A ）13（B ）43（C（D ）39. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是（A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为910. 已知函数()e 100.x f x x k x x =⎧-≥⎨<⎩,,, 若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（A ）1()-∞-,（B ）1(]-∞-,（C ）(10)-,（D ）10[)-,第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =- ，则5S = ． 12. 若1x >，则函数1()1f x x x =+-的最小值为 ，此时x = ．13. 已知平面α和三条不同的直线m n l ，，.给出下列六个论断：①m α⊥；②m α‖；③m l ‖；④n α⊥；⑤n α‖；⑥n l ‖.以其中两个论断作为条件，使得m n ‖成立.这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）14． 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换. 有下列3种变换：① 对A ⊆R ，变换：求集合A 的补集； ② 对任意z ∈C ，变换：求z 的共轭复数；③ 对任意x ∈R ，变换：x kx b →+（k b ，均为非零实数）.其中是“回归”变换的是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.15． 已知双曲线2213y M x -=：的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA OC ,所在直线．若椭圆 22221(0)x y N a b a b+=>>：经过A C ,两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a = . 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，π3A =.（Ⅰ）当2b =时，求a ；（Ⅱ）求sin 3cos B C -的取值范围.17.（本小题共14分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB CD ‖，90ADC BM C ∠=∠=，M B MC =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ‖平面ABM ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面BCM ；（Ⅲ）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4？若存在，求出AE AM的值；若不存在，请说明理由．18.（本小题共14分）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：社区 社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传 心理咨询A 100 303020 20B 120 40 35 20 25 C15050403030（Ⅰ）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率；（Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布列； （Ⅲ）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，“1A ξ=,1B ξ=,1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，“0A ξ=,0B ξ=,0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()AD ξ，()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）19.（本小题共15分）已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当0a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1)+∞,上存在极值点，求实数a 的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：2，点(10)P ,在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A B ,.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线PA ，PB 分别交y 轴于M N ,两点，问：轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本小题共14分）已知有穷数列A ：*12(k n a a a a n ∈N ,,,,,且3)n ≥.定义数列A 的“伴生数列”B ：12k n b b b b ,,,,,，其中111110k k k k k a a b a a -+-+≠==⎧⎨⎩，，，(12)k n =,,,，规定011n n a a a a +==,. （Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：① 1，2，3，4，5； ② 1，−1，1，−1，1.（Ⅱ）已知数列B 的“伴生数列”C ：12k n c c c c ,,,,,，且满足1(12)k k b k n c ==+,,,.x（i）若数列B中存在相邻两项为1，求证：数列B中的每一项均为1；（ⅱ）求数列C所有项的和.丰台区2019~2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案及评分参考2020．04二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．25 12．3 ；2 13．①④（或③⑥）14. ①② 2三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π24224cos3a =+-⨯⨯⋅12=.所以a = …………6分 （Ⅱ） 由π3A =可知，2π3B C +=，即2π3B C =-.2πsin sin()3B C C C =-1sin 22C C C =+-1sin cos 22C C =-πsin()3C =-.因为2π3B C +=，所以2π(0,)3C ∈. 故πππ(,)333C -∈-.因此π33sin()()322C -∈-,. 于是33sin 3cos (,)22B C -∈-. …………14分17.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为AB CD ‖， AB ⊂平面ABM ， CD ⊄平面ABM ，所以CD ‖平面ABM . …………3分（Ⅱ）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中，易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥. 在Rt △CNB 中，由勾股定理得2BC =. 在△ACB 中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM . …………7分 （Ⅲ）取BC 的中点O ，连接OM ，ON .所以ON AC ‖， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(001)M ,,，(010)B ,,，(010)C ,-,，(210)A -,,， =(211)AM -,,，=(020)BC -,,，=(220)BA -,,.易知平面BCM 的一个法向量为(100)=,,m .假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4.不妨设(01)AE AM λλ=≤≤，所以(222)BE BA AE λλλ=+=--,,， 设()x y z =,,n 为平面BCE 的一个法向量，则00BC BE ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩,,n n 即20(22)0y x z λλ-=-+=⎧⎨⎩,,令x λ=，22z λ=-，所以(22)λλ=-,0,n .从而2cos 2m n m n⋅<>==⋅,m n .解得23λ=或2λ=.因为01λ≤≤，所以23λ=.由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4，此时23AE AM=. …………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，303()10012015037P D ==++. 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. …………4分 （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为3111033，，.X 的所有可能取值为0，1，2，3.7222814(0)10339045P X ==⨯⨯== ,322712721404(1)103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==,31232171119(2)10331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,31131(3)10339030P X ==⨯⨯==. X…………11分（Ⅲ）()()()A C B D D D ξξξ>> …………14分19.（本小题共15分）解：（Ⅰ）因为()()ln 1f x x a x x =+-+，所以'()ln a f x x x=+.由题知'(e)ln e 1ea f =+=，解得0a =. …………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以'()ln f x x =.当(01)x ∈,时，'()0f x <，()f x 在区间(01),上单调递减；当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增； 所以(1)0f =是()f x 在区间(0)∞,+上的最小值.所以()0f x ≥. …………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥，则当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增，此时无极值.若0a <，令()'()g x f x =， 则21'()=a g x xx-.因为当(1)x ∈∞,+时，'()0g x >，所以()g x 在(1)∞,+上单调递增. 因为(1)0g a =<，而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->，所以存在0(1e )ax -∈,，使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值0()f x .综上，a 的取值范围是0()-∞,. …………15分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意2222112.bc a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩, 解得2221a b ==,.所以椭圆C 的方程为2212y x +=. …………5分（Ⅱ) 假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(0)Q m ,，因为2OQN OQM π∠+∠=,所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQOM=，所以OM ON OQ =2.因为直线0y y =交椭圆C 于A B ，两点，则A B ，两点关于y 轴对称.设0000()()A x y B x y -,,,0(1)x ≠±，因为(10)P ,，则直线PA 的方程为：)1(100--=x x y y .令0=x ，得100--=x y y M .直线PB 的方程为：)1(10-+-=x x y y .令0=x ，得10+=x y y N . 因为OM ON OQ =2， 所以12022-=x y m .又因为点00()A x y ,在椭圆C 上，所以22002(1)y x =-. 所以220202(1)21x m x -==-.即m =所以存在点(0)Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立.…………14分21．（本小题共14分）解: （Ⅰ）① 1，1，1，1，1；② 1，0，0，0，1.…………4分 （Ⅱ）（i ）由题意，存在{}121k n ∈-,,,，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==.于是21311n b b b b ====,.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===.依次类推可得11k k b b +==(231)k n =-,,,.所以1k b =(12)k n =,,,.若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==.于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==. 依次类推可得121b b ==. 所以1k b =(12)k n =,,,. 综上可知，数列B 中的每一项均为1. …………8分 （ⅱ）首先证明不可能存在{}21k n ∈-,,使得110k k k b b b -+===. 若存在{}21k n ∈-,,使得110k k k b b b -+===， 则111k k k c c c -+===. 又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾. 所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}21k n ∈-,,. 由此及(ⅱ)得数列{}n b 的前三项123b b b ，，的可能情况如下： (1)1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =(12)k n =,,,. 于是0k c =(12)k n =,,,. 所以所有项的和0S =. (2)123101b b b ===,,时，20c =， 此时220b c +=与已知矛盾.(3) 123100b b b ===,,时，123011c c c ===,,. 于是22401n b b b b ==≠=,. 故4531,0,0n c c b b ==== 于是1156010n b b c b -≠===,,， 于是142536b b b b b b ===,,，且21100n n n b b b --===,,. 依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233n n S n =-= . 同理可得123010b b b ===,,及123001b b b ===,,时，当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意.此时所有项的和23nS = .综上，所有项的和0S =或23n S =（n 是3的倍数）. …………14分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
北京市丰台区2022届高三一模数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 若满足不等式，则函数的值域是（ ）A．B．C．D．2. 已知实数a ，b ，c 满足，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A．B．C．D．3.已知圆锥的高为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（ ）A．B．C．D．4. 若函数在上的值域为，则称函数为“和谐函数”．下列函数中：①；②；③；④．“和谐函数”的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5. 已知函数的图象与直线恰有四个公共点，其中，则（）A．B ．0C ．1D．6. 已知抛物线的焦点为，双曲线的左焦点为，直线与在第二象限的部分交于点.若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ）.A．B．C．D．7.已知函数在处的切线与直线垂直，则a 的值为（ ）A．B．C ．1D ．28. 已知AB 是圆的任意一条直径，点P 在直线上运动，若的最小值为4，则实数a 的值为A ．2B ．4C ．5D ．69. 的展开式中，下列说法正确的是（ ）A ．所有项系数和为64B ．常数项为第4项C ．整式共有3项D ．项的系数10. 已知函数，则（ ）A．的一个周期为2B ．的定义域是C．的图象关于点对称D．在区间上单调递增11.［多选题］已知函数的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：123456北京市丰台区2022届高三一模数学试题(1)北京市丰台区2022届高三一模数学试题(1)三、填空题四、解答题124.43324.5则函数在区间上的零点可能有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个12. 在棱长为1的正方体中，已知为线段的中点，点和点分别满足，，其中，，，则（ ）A．当时，三棱锥的体积为定值B．当时，四棱锥的外接球的表面积是C ．若直线与平面所成角的正弦值为，则D ．存在唯一的实数对，使得平面13. 已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，则展开式中系数最大的项为______.（不用计算，写出表达式即可）14.关于函数，有下列命题：①由可得必是的整数倍；②的表达式可改写为；③的图象关于点对称；④的图象关于直线对称．其中正确的命题的序号是_____________．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）15. 已知集合,,则________．16. 设抛物线的焦点为F ，准线为l ，，以M 为圆心的圆M 与l 相切于点Q ，Q 的纵坐标为，是圆M 与x 轴的不同于F 的一个交点．(1)求抛物线C 与圆M 的方程；(2)过F 且斜率为的直线n 与C 交于A ，B 两点，求△ABQ 的面积．17. 中国茶文化源远流长，历久弥新，生生不息，某学校高中一年级某社团为了解人们喝茶习惯，利用课余时间随机对400个人进行了调查了解，得到如下列联表：不经常喝茶经常喝茶合计男50200250女50100150合计100300400(1)通过计算判断，有没有99%的把握认为是否“经常喝茶”与性别有关系？(2)中国茶叶种类繁多，按照茶的色泽与加工方法，通常可分为红茶、绿茶、青茶、黄茶、黑茶、白茶六大茶类，每个茶类包括较多品种，现分别在绿茶与青茶中各选取了2个品种茶，甲在仅知道其所属茶类的情况下，品茶并识别茶叶具体品种，已知甲准确说出绿茶各品种的概率为，准确说出青茶各品种的概率为，品鉴每个品种的结果互不影响．记“甲准确说出茶叶品种数”为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．附表及公式：0.150.100.050.0100.0050.0012.0722.7063.8416.6357.87910.828其中，．18. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，，垂足为.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面的夹角.19. 已知抛物线：的准线为，（1）求抛物线的方程；（2）已知点，点，点为抛物线上一点，直线交抛物线于另一点，且点在线段上，直线交抛物线于另一点，求的内切圆半径的取值范围．20. 椭圆：过点，且右焦点为，过的直线与椭圆相交于、两点．设点，记、的斜率分别为和．（1）求椭圆的方程；（2）如果直线的斜率等于，求出的值；（3）探讨是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出的取值范围.21. 已知数列的首项为0，.（1）证明数列是等差数列，并求出数列的通项公式；（2）已知数列的前项和为，且数列满足，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.。
北京市高三数学下学期(3月)统一练习(一)(丰台一模)文
- 1 -丰台区2013年高三年级第二学期统一练习（一）数学（文科）一、选择题 1. 复数z=1i i-在复平面内对应的点位于 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 2.若集合A={sin ,}y y x x R =∈,B={-2,-1,0,1,2},则集合(R A ð)B I 等于 (A) {-2,-1} (B) {-2,-1,0,1,2} (C) {-2,-1,2} (D) {2,2}-3. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则31Sa （ ）(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 4.执行右边的程序框图所得的结果是 （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ） 6 5. 已知椭圆22212x ya +=的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则该椭圆的离心率是 （A ）32 （B ）233 （C ） 22 （D ） 636.已知命题p:(0,),32xxx ∀∈+∞>,命题q:(,0),32x x x ∃∈-∞>,则下列命题为真命题的是(A) p q ∧ (B) ()p q ∧⌝ (C) ()p q ⌝∧ (D) ()()p q ⌝∧⌝7．某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是(A) 2 (B) 4 (C) 25+ (D) 425+8.如果函数y =f (x )图像上任意一点的坐标（x,y ）都满足方程 lg()lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是结束 否是 0,1b k ==2()3k a k =⋅1k k =+b a = 1?ba≥ 开始 输出k- 2 - (A) y =f(x)是区间（0，+∞）上的减函数，且x +y 4≤ (B) y =f(x)是区间（1，+∞）上的增函数，且x +y 4≥ (C) y =f(x)是区间（1，+∞）上的减函数，且x +y 4≥ (D) y =f(x)是区间（1，+∞）上的减函数，且x +y 4≤ 二．填空题 9. 若3cos ,tan 05x x =<，则sin x = 。
2019丰台区高三一模试卷及答案(数学文)
北京丰台区2019年高三年级第二学期统一练习（一）数 学 试 题（文）注意事项：1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2．本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
作图题用2B 铅笔作图，要求线条、图形清晰。
3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题、草稿纸上答题无效。
4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合2{|9},{|1}A x x B x x =≤=<，则A B = （ ） A ．{|3}x x ≤B ．{|31}x x -<<C ．{|31}x x -≤<D ．{|33}x x -≤≤2．设 4.20.60.60.6,7,log 7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是 （ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c << 3．若变量x ，y 满足条件0,21,43,y x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则35z x y =+的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．[8,3]- C ．(],9-∞ D ．[8,9]-4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．202π-B ．2203π-C ．2403π-D ．4403π- 5．已知向量(1,2),(1,0)a b ==-，若()a mb a +⊥，则实数m 等于（ ） A ．-5 B ．52 C ．0 D ．56．若函数1(),0,()2,0,x x f x x a x ⎧≤⎪=⎨⎪-+>⎩则"1"a =是“函数()y f x =在R 上的单调递减的”（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且2342,,2a S a +成等差数列，则数列2{}n a 的前5项和为（ ） A ．341 B ．10003 C ．1023 D ．10248．已知定义在R 上的函数()y f x =满足(2)()f x f x +=，当11x -<≤时，3()f x x =，若函数()()log ||a g x f x x =-至少有6个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．（1，5）B ．[)1(0,)5,5+∞C ．[)10,5,5⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,11,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市丰台区高三数学下学期统一练习试题(一)文
丰台区2015—2016学年度第二学期统一练习（一）高三数学（文科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合()U AB ð=（A ）{}3,6 （B ）{}2,5 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8 2. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（A ）3y x = （B ）1y x =-（C ）tan y x = （D ）(0),(0).x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩3. 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用茎叶图表示，如图，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为（A ） 20、18 （B ）13、19 （C ）19、13 （D ）18、204. 已知直线,m n 和平面α，m α⊄，n ∥a ,那么“n α⊂”是“m ∥α”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5.已知双曲线的一个焦点F ，点P 在双曲线的一条渐近线上，点O 为双曲线的对称中心， 若△OFP 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（A （B （C ）2 （D 6. 已知等比数列{n a }中11a =，且4581258a a a a a a ++=++，那么5S 的值是（A ）15 （B ）31 （C ）63 （D ）647. 如图，已知三棱锥P ABC -的底面是等腰直角三角形，且∠ACB =90O，侧面PAB ⊥底面ABC ，AB =PA =PB =4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x ,y ,z 分别是（A）2 （B ）4,2, （C），2 （D）8. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格(自变量)，用横轴表示产品数量（因变量）．某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P 1低于均衡价格P 0时，则需求量大于供应量，价格会上升为P 2；当产品价格P 2高于均衡价格P 0时，则供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此继续波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格P 0．能正确表示上述供求关系的图形是（A ） （B ）（C ） （D ）P P PP P B侧视图第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ,b ,c ，若2s i n b a B =，则 ∠A =_________．10.已知△ABC 中，AB =4，AC =3，∠CAB=90o，则BA BC ⋅=___________．11.已知圆22:(1)(2)2C x y -+-=，则圆C 被动直线:20l kx y k -+-=所截得的弦长__________．12.已知1x >，则函数11y x x =+-的最小值为________． 13. 已知,x y 满足,2,3,y x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩目标函数z mx y =+的最大值为5，则m 的值为 ．14.函数()cos 22()x x f x x b b R -=---∈． ① 当b =0时，函数f(x)的零点个数_______；② 若函数f(x)有两个不同的零点，则b 的取值范围________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数21()cos sin 2f x x x x =+-． (Ⅰ)求函数)(x f 的最小正周期；(Ⅱ)求)(x f 在区间[,]42ππ上的最大值和最小值.16. （本小题共13分）下图是根据某行业网站统计的某一年1月到12月（共12个月）的山地自行车销售量（1k 代表1000辆）折线图，其中横轴代表月份，纵轴代表销售量，由折线图提供的数据回答下列问题：（Ⅰ）在一年中随机取一个月的销售量，估计销售量不足200k 的概率；（Ⅱ）在一年中随机取连续两个月的销售量，估计这连续两个月销售量递增（如2月到3月递增）的概率；（Ⅲ）根据折线图，估计年平均销售量在哪两条相邻水平平行线线之间（只写出结果，不要过程）.17. （本小题共14分）已知在△ABC 中，∠B =90o，D ，E 分别为边BC ，AC 的中点，将△CDE 沿DE 翻折后，使之成为四棱锥'C ABDE -（如图）. （Ⅰ）求证：DE ⊥平面'BC D ； （Ⅱ）设平面'C DE平面'ABC l =，求证：AB ∥l ；（Ⅲ）若'C D BD ⊥，2AB =，3BD =，F 为棱'BC 上一点，设'BFFC λ=，当λ为何值时，三棱锥'C ADF -的体积是1？ABEDCC'DEFBA18. （本小题共13分）已知函数21()x f x x +=，数列{}n a 满足：1112,()()n na a f n N a *+==∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .19 . （本小题共14分）已知函数2()ln 2m f x x x x =--． （Ⅰ）求曲线:()C y f x =在1x =处的切线l 的方程；（Ⅱ）若函数()f x 在定义域内是单调函数，求m 的取值范围；（Ⅲ）当1m >-时，（Ⅰ）中的直线l 与曲线:()C y f x =有且只有一个公共点，求m 的取值范围.20. （本小题共13分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>过点A （2，0），离心率12e =，斜率为(01)k k <≤直线l 过点M （0，2），与椭圆C 交于G ，H 两点（G 在M ，H 之间），与x 轴交于点B . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）P 为x 轴上不同于点B 的一点，Q 为线段GH 的中点，设△HPG 的面积为1S ，BPQ ∆ 面积为2S ，求12S S 的取值范围.丰台区2016年高三年级第二学期数学统一练习（一）数 学（文科）参考答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.6π 10.16 11. 3 13. 7314 . 0 ；-1b < 注：14题第一空2分，第二空3分。
北京市丰台区统一练习高三数学文科试卷一(丰台区一模试卷)人教版 试题
2006年北京市丰台区统一练习高三数学文科试卷一(丰台区一模试卷)2006．4本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题 ：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)抛物线2x y 2－=的准线方程为(A) x=－1 (B) x=1 (C) 21x －= (D) 21x =(2) 已知全集U=R,集合{},2 x ,2y y B ,2 x x,log y y A x 21>==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>==B)(A C U 则(A)］，－4 (∞ (B)[－1，4] (C) (－1,4) (D) ) 1 [∞+， (3) 函数1x 12x lgf(x)+=－的定义域是 (A)⎭⎬⎫⎩⎨⎧><21x 1x x 或－ (B) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21x x (C) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x 1x － (D) {}1x x －>(4)已知函数(x) f 的导数为(x)f '，若(x)f '<0（a <x <b ）且0(b) f >，则在(a ,b)内必有 (A)(x) f =0 (B)(x) f <0 (C) (x) f >0 (D) 不能确定 (5) 下面有四个命题：① 若直线a,b 不相交，则直线a,b 为异面直线；②若直线a 垂直于平面β内无数条直线，则直线a 垂直于平面β； ③若直线a 垂直于直线b 在平面β内的射影，则直线a 垂直于直线b ； ④若直线a 平行于平面β内的一条直线，则直线a 平行于平面β。
其中不正确的命题的个数是(A)1 (B)2 (C) 3 (D)4(6) 设的最大值则－－满足下列条件式中变量－ z 0,2y 0,42y x 0,1y x y x,2x,y z ⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥+=是(A)10 (B) 0 (C) 3 (D) 4 (7)已知数列{}n a 满足1a 33a a 0,a n n 1n 1+==+－（n=1,2,3,…），则100a 等于(A)0 (B) 3 (C) －3 (D) 2(8) 已知双曲线0)b 0,1(a by a x 2222>>=－的离心率为2，点A(a , 0) , B(0 , －b), 若原点到直线AB 的距离为23，则该双曲线两准线间的距离等于 (A) 21 (B) 41(C) 1 (D) 2第Ⅱ卷（ 共110分）二、填空题 ：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市丰台区高三一模(数学文)
北京市丰台区2008—2009学年度高三统一练习（一）数学试题（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分。
考试时间120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．函数)52sin(π-=x y 的最小正周期是（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π2．已知全集R U =，集合{}22≤≤-=y y A ，集合{}x y y B 2==，那么集合)(B C A U 等于（ ）A ．{}02≤≤-y yB ．{}20≤≤y yC ．{}2-≥y yD ．{}0≤y y3．已知直线m ⊂平面α ，直线n ⊂平面α ，“直线c ⊥m ，直线c ⊥n ”是“直线c ⊥平面α”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．函数)8131(log 3<<=x x y 的反函数的定义域为（ ）A ．),0(+∞B ．)81,31(C ．)4,1(D ．)4,1(-5．以双曲线1322=-x y 的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是 （ ）A ．2)2(22=-+y xB ．4)2(22=+-y xC ．4)2(22=-+y xD ．2)2(22=+-y x6．若向量,的夹角为120°，)(,2||||-⋅==则等于 （ ）A ．324+B ．2C ． 324-D ．67．北京奥运会乒球男团比赛规则如下：每队3名队员，两队之间共需进行五场比赛，其中一场双打，四场单打，每名队员都需比赛两场（双打需两名队员同时上场比赛），要求双打比赛必须在第三场进行，若打满五场，则三名队员不同的出赛顺序安排共有（ ） A ．144 B ．72 C ．36 D ．18 8．已知)(x f ，)(x g 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①)(x f =x a ·)(x g （1,0≠>a a ）；②)(x g 0≠；③)()()()(x g x f x g x f ⋅'>'⋅；若25)1()1()1()1(=--+g f g f ，则a 等于 （ ）A ．21B ．2C ．45D ．2或21第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
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北京市丰台区2009年高三统一练习（一）数学（文科）2009年3月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共40分）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.函数)52sin(π-=x y 的最小正周期是（A ）2π（B ） π（C ）2π （D ） 4π2. 已知全集R U =，集合{}22≤≤-=y y A ，集合{}x y y B 2==，那么集合)(B C A U 等于 （A ）{}02≤≤-y y （B ）{}20≤≤y y （C ）{}2-≥y y （D ）{}0≤y y3. 已知直线m ⊂平面α ，直线n ⊂平面α ，“直线c ⊥m ，直线c ⊥n ”是“直线c ⊥平面α”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 4. 函数)8131(log 3≤≤=x x y 的反函数的定义域为（A ）),0(+∞ （B ）)81,31( （C ）)4,1( （D ）)4,1(-5. 以双曲线1322=-x y 的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是 （A ）2)2(22=-+y x (B ) 4)2(22=+-y x(C ) 4)2(22=-+y x (D ) 2)2(22=+-y x6. 若向量a → ,b → 的夹角为120°，│a → │＝│a → │＝2，则a → ·（a → －b →）等于（A ）324+ （B ）2 （C ） 324- （D ）67. 北京奥运会乒球男团比赛规则如下：每队3名队员，两队之间共需进行五场比赛，其中一场双打，四场单打，每名队员都需比赛两场（双打需两名队员同时上场比赛），要求双打比赛必须在第三场进行，若打满五场，则三名队员不同的出赛顺序安排共有 （A ）144 （B ）72 （C ）36 （D ）188. 已知)(x f ，)(x g 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①)(x f =x a ·)(x g （0,0≠>a a ）；②)(x g 0≠；若25)1()1()1()1(=--+g f g f ，则a 等于 （A ）21（B ）2 （C ）45 （D ）2或21丰台区2008年高三统一练习（一）数学 （文科）第Ⅱ卷 （非选择题 共110分） 注意事项：1. 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题 号二三总 分1516 17 18 19 20 分 数得 分 评卷人 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。
把答案填写在题中横线上。
9.不等式021>-x的解集是 。
10. 若n x )2(+展开式的二项式系数之和等于64，则第三项是 。
11. 设=∈++++=+S N n S n 则),(3931*2 。
12. 在长方体1111D C B A ABCD -中，10,13,511===AB AD AC ，则长方体的对角线长为 。
13. 在平面直角坐标系xOy 中,已知△ABC 顶点C B ,分别为椭圆1121622=+y x 的两个焦点，顶点A 在该椭圆上，则ACB sin sin sin +＝ 。
14. 对于函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。
函数2+=x y 的零点是 ；若函数)(x f y =和)(x g 均是定义在R 上的连续函数，且部分函数值分别由下表给出：则X1 2 3 4X1 2 3 4)(x f 352－1)(x g42131A 1N A当x= 时，函数))((x g f 在区间)1,(+x x 上必有零点。
三、解答题： 本大题共6个小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
得 分 评卷人 15. （本小题共13分）已知函数.cos )42cos(21)(xx x f π-+=（Ⅰ）求函数)(x f 的定义域； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间)2,4[ππ-上的最值。
得 分 评卷人 16. （本小题共13分）已知数列{}n a 中，211=a ，点（1，0）在函数x a x a x f n n 1221)(+-=的图像上。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）设122log -=n n a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
得 分 评卷人 17. （本小题共14分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，2,41==AB AA ,M 是AC 的中点，点N 在1AA 上，41=AN 。
（Ⅰ）求111A ACC BC 与侧面所成角的大小； （Ⅱ）求二面角C BM C --1的正切值；(Ⅲ) 证明1BC MN ⊥.得 分 评卷人 18. （本小题共14分）某校高二年级开设《几何证明选讲》及《数学史》两个模块的选修科目。
每名学生至多选修一个模块，32的学生选修过《几何证明选讲》，41的学生选修过《数学史》，假设各人的选择相互之间没有影响。
(Ⅰ)任选一名学生，求该生没有选修过任何一个模块的概率； (Ⅱ)任选4名学生，求至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率。
已知函数)0()23()(23>+--++=a d x b a c bx ax x f 的 图像如图所示。
(Ⅰ)求d c ,的值；(Ⅱ)若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；（Ⅲ）若0x =5，方程a x f 8)(=有三个不同的根，求实数a 的取值范围。
得 分 评卷人 20. （本小题共14分）已知21,F F 分别为椭圆12322=+y x 的左、右焦点，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l ，垂足为D ，线段2DF 的垂直平分线交2l 于点M 。
(Ⅰ)求动点M 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)过点1F 作直线交曲线C 于两个不同的点P 和Q ，设F 1P → ＝λF 1Q → ，若λ∈[2，3]，求F 2P → ∙F 2Q →的取值范围。
得 分 评卷人 19. （本小题共13分）丰台区2009年高三统一练习（一）数学（文）参考答案与评分标准一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BABDCDCD二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分9．)21,0( 10. 604x 11.2133-+n 12.14 13. 2 14. -2；1三、解答题： 本大题共6个小题，共80分。
15. （本小题共13分）已知函数.cos )42cos(21)(xx x f π-+=（Ⅰ）求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间)2,4[ππ-上的最值。
解：（Ⅰ）由题意 0cos ≠x ⇒ Z k k x ∈+≠,2ππ所求定义域为 {Z k k x x ∈+≠,2|ππ} …………4分（Ⅱ）xx x x x x f cos 2sin 2cos 1cos )42cos(21)(++=-+=πx x x x cos cos sin 2cos 22+=x x sin 2cos 2+=)4sin(22π+=x …………9分由)2,4[ππ-∈x 知 )43,0[4ππ∈+x ，1A 1N A 所以当4π=x 时，)(x f 取得最大值为22； …………11分当4π-=x 时，)(x f 取得最小值为0 。
…………13分16. （本小题共13分）已知数列{}n a 中，211=a ，点（1，0）在函数x a x a x f n n 1221)(+-=的图像上。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）设122log -=n n a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
解：(Ⅰ)由已知 n n a a f 210)1(1=⇒=+ 又 0211≠=a …………3分 所以 数列{}n a 是公比为21的等比数列 所以 n n a 21= …………6分（Ⅱ） 由 n a b n n 21log 122-==- …………9分 所以 2)21()5()3()1(n n T n -=-++-+-+-= …………13分 17. （本小题共14分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，2,41==AB AA ,M 是AC 的中点，点N 在1AA 上，41=AN 。
（Ⅰ）求111A ACC BC 与侧面所成角的大小； （Ⅱ）求二面角C BM C --1的正切值； (Ⅲ) 证明1BC MN ⊥.解：（Ⅰ）在正三棱柱111C B A ABC -中， ABC CC 平面⊥1∴BM CC ⊥1又 M 是正△ABC AC 边的中点，∴AC BM ⊥C AC CC = 1∴11A ACC BM 平面⊥ …………3分 ∴∠M BC 1为111A ACC BC 与侧面所成角又 52,31==BC BM ∴sin ∠M BC 1=1015…………5分所以111A ACC BC 与侧面所成角为1015arcsin（1751arctan ） （Ⅱ） 由已知得 BM M C BM CM ABC CC ⊥⊥⊥11,,所以又底面∠MC C 1为二面角C BM C --1的平面角， 所以 4tan 1=∠MC C …………9分 (Ⅲ)证明: 依题意 得 417=MN ，171=M C ，4171=N C 因为 21212N C M C MN =+ ∴⊥MN M C 1 …………11分 又由（Ⅰ）中11A ACC BM 平面⊥ 知MN BM ⊥，且M C 1M BM = ，∴M BC MN 1平面⊥ 1BC MN ⊥ …………14分18. （本小题共13分）某校高二年级开设《几何证明选讲》及《数学史》两个模块的选修科目。
每名学生至多选修一个模块，32的学生选修过《几何证明选讲》，41的学生选修过《数学史》，假设各人的选择相互之间没有影响。
(Ⅰ)任选1名学生，求该生没有选修过任何一个模块的概率； (Ⅱ)任选4名学生，求至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率。
解：(Ⅰ)设该生参加过《几何证明选讲》的选修为事件A ，参加过《数学史》的选修为事件B ， 该生没有选修过任何一个模块的概率为P ， 则121)4132(1)(1=+-=+-=B A P P 所以 该生没有选修过任何一个模块的概率为121…………6分 (Ⅱ)至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率为2716)32(31)32(444334=+=C C W 所以至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率为2716…………13分 19. （本小题共13分）已知函数)0()23()(23>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图像如图所示。