电磁学13-磁场能,电感

– 一般的，对每个载流线圈，其磁通的正方向规定为和 线圈中电流的正方向成右手螺旋关系。若来自其他线 圈的磁场的正方向与此正向相符，则M>0;反之，M<0
图中标示的 是正方向
Ψ 1
Ψ2
Ψ 1
Ψ2
i1 线圈1 i2 线圈2 M >0
i1 线圈1
线圈2 i2
M <0
互感磁能
• 相邻线圈中的电流在由零增加到恒定值的过程中 电源反抗互感电动势做的功转化成为两线圈公有 的磁场能，称互感磁能。
Ψ = ∑ϕi
i =1 N
电源
• 将自感磁链表示为电流的线性函数： Ψ = LI
– L称线圈的自感系数（注意其中包含了匝数的影响）
• 自感电动势：
d （设L不随 ε = − (LI) dt 时间变化）
dI ε = −L dt
ε和I参考的
正方向相同！
例：密绕螺线管的自感系数
• 设密绕螺线管长为l，截面积为S，单位长度线 匝数为n
R + Ke
L ; 称RL电路的 R 时间常数) (τ =
t = 0; i (0) = 0
iL (t ) =
(1 − e τ )
−
u L (t ) = ε e
u L (t )
−
t
τ
iL (t )
ε
R
ε
0
t
0
t
电感的充放电过程(2)
(2)待电路稳定后将开关从1拨向2，开始放电过程 （线圈中存储的磁场能转化成电能）:
ε
v B
i R
ε i ( t ) dt + ε i ( t ) i ( t ) dt = [i ( t ) ]2 Rdt 静电场对电荷
感应电动势是负的，对电荷做负 功即电源克服感应电动势做功 做功；电势能 转化为热能
dwi = ε i idt dϕ =− idt = −idϕ dt
电源做功效果是克服感应电流的阻碍，使线 圈中的磁场从无到有增强；则合理的解释是 这部分功所消耗的电源能量转移到了磁场 中，形成“磁场能”
r j
i = jh
•
味着磁场能量增加 h 2h μ0 I 2S B2Sh – I为0时磁场能量为0是合理 Wm = −wi = = 2h 2μ0 的假设，以Wm表示磁场能量： – 据对称性，可认为磁场能均匀分布在无限长柱体内 （因柱外无磁场），如上所得磁场能应等于小圆柱 体内磁场的能量，得磁场的能量体密度： Wm B2 wm = = 磁场能量密度公式： V 2μ0 B2 适用于恒定和 wm = 非恒定情况 2μ0
0
wi = −∫
0
idi = −
0
<0
§4.6 电感器件
• 自感和互感基本特性 • 自感和互感电路方程 • 自感和互感磁能
自
感
• 自感现象：自感磁通发生变化，在自身回路中 激发感生电动势的现象。
– 自感磁通：回路电流的磁场在自身回路中的磁通量 – 根据毕萨定律，在线圈不变的情况下，线圈中的磁 场决定于线圈电流，自感磁通量应和导线中电流大 小成正比。
互
感
• 互感现象：另一个电路、线圈的磁场在本 电路回路、线圈中激发感生电动势的现象。
– 另一个电路、线圈电流的磁场对本回路、线 圈中的磁通或磁链称为互感磁通或互感磁链。 – 线圈1中由线圈2激发的互感磁链，表示为线 圈2的电流的线性函数：
Ψ12 = M 12 I 2
线圈1
线圈2
– 存在互感下情况线圈的总磁通：
– 假定螺线管长度比宽度大很多， 近似用无限长螺线管模型分析其磁场， 则内部存在沿轴线的均匀磁场，磁感应强度大小为 B = μ 0 nI – 穿过每匝线圈的磁通量相等，所以，线圈的总磁链 为 2
ψ = nl ⋅ μ 0 nI ⋅ S = μ 0 In lS
– 根据定义可的线圈的自感系数为： L = – 可见线圈越密、长度越长，面积越大 自感系数越大。
– 电流由零增加到I0自感电动势做的总功： I0 1 2 wi = ∫ dwi = −∫ LIdI = − LI0 0 2 – 自感磁能可以看作是自感电动势做功的负值,则：
1 Wm = LI 2 2
dI dwi = εi Idt = −L ⋅ Idt = −LI ⋅ dI dt
所以自感是存储磁能的元件
• 自感系数：将回路自感磁通量表示为电流的线性 函数，系数L称自感系数，简称自感。
Φ = LI
– L取决于回路大小形状和线圈匝数，是回路的特性。 – 单位:亨利(亨)(H) (1H=1Wb/A)，毫亨(mH)微亨(μH) – 该式中的磁通和电流的正方向满足右手螺旋法则。
线圈的自感
• 多匝线圈的全磁通(又称，磁通匝链数，磁链)： 定义为每匝线圈磁通的和。
Ψ1 = L1 I1 + M 12 I 2
Ψ2 = L2 I 2 + M 21 I1
互感系数
• 互感系数：实验和理论可以证明M12=M21=M， 称其为两个线圈间的互感系数
– 互感系数和两线圈的大小、形状、匝数、相互位置有 关。 – 互感系数自感系数的单位相同，其单位也是亨利（H）
• 互感系数可正可负，取决于两线圈之间的位置和 电流环绕的正方向
磁场能量密度
i – 截取高h的小段柱面，面电流密度为j, 面内B：B = μ0 j = μ0 h S μ Si v – 感应电动势dt时间做功为： dwi = −iS ⋅ dB = − 0 di B – 电流由零变化到I，总功为 h h I μ S μ I 2S 感应电动势做负功意
• 无限长柱面环流为例，验证磁场能量密度公式：
N2
N2
M 12 M 21 = L1 L2
M = L1 L2
K称耦合系数，K ≤ 1
互感器的电路方程
• 互感器：用于电路中的互感元件。
– 理想互感器模型：只有自感和互感效应而没 有电阻、电容效应的互感器。只考虑互感器 中线圈之间的互感，而不考虑电路其他部分 对互感器的电磁感应。
• 在电路中，互感器是四端元件，其电路 方程为
§4.6 电磁感应中的能量转化与磁场能
• 安培力做功 • 磁场能
安培力做功
• 安培力可以做功，能量转化有多种模式。
M
ε
v B
N
r F安培 在均匀磁场B中受安培力F，动能增加。
如图，可沿导轨移动的导体MN中有电流I， MN的移动导致动生电动势。电源克服动生 电动势做功， MN的动能来自电源的能量。 如图，外力维持磁铁向上运动，闭合线圈中 出现感生电流而受磁场安培力，动能增加。 磁铁受到感生电流磁场的阻力，线圈的动能 来自维持磁铁运动的外力克服阻力做功。
i1
u1
L1
L2
i2
u2
di2 (t ) di1 (t ) +M u1 (t ) = L1 dt dt di1 (t ) di2 (t ) +M u 2 (t ) = L2 dt dt
M
互感的符号表示
– 比如两个临近线圈；线圈1先通有恒定电流I1；线圈2 不通电。线圈2的电流从0增加到I2，在此过程中同时 调节电源维持线圈1的电流不变，则线圈2中无互感电 动势，线圈1的电源反抗线圈2的互感电动势做功： I2 di2 (t ) )I1dt = M12I1 ∫ di2 (t ) = M12I1I 2 wi1 = −∫ (−M12 0 dt
I
v F安培
感应电流 I
I的磁场
N
• 注意，安培力做功，能量来源有多种可能。
Ｓ
v v
Ｎ
磁场的能量
• 线圈接通电流的瞬态过程中，电流从零开始增加，引 起线圈中磁场的变化，线圈中出现感生电动势。 • 问题：在此过程中电源反抗感生电动势做的功转变成 了哪种能量？
– 如图取含电阻R的含电源ε的电路 – 假设似稳条件成立，考虑感应电动势εi（正方向与电路正向 相同），有电路方程：ε + ε i (t ) = i (t ) R ，乘以i(t)dt则有： 电源电动势对 电荷做功；化 学能转化为电 势能
反抗
兼论：互感系数的证明
– 同理，若对线圈1,2的充电顺序反过来，则 wi 2 = M21I1I2 – 互感磁能是做线圈1,2的的相互作用能。这个能量显然 不依赖于电流建立的过程，所以必有： M12 = M21 = M – 两线圈的互感磁能为： Wm = MI1I2
感生电动势
线圈的总磁能
• 两个临近线圈的总磁能：
u L (t ) + u R (t ) = 0
ε
2 1Biblioteka R LiR (t ) = iL (t )
di (t ) L + R ⋅ i (t ) = 0 dt
R − t L
微分方程的解 i (t ) = Ke L 考虑初条件 t = 0; i(0) = i0
(本例中，i0 =
t
ε
R
)
iL (t ) =
iL (t )
ε
R
ε
R
e
−
t
τ
u L (t ) = −ε e
u L (t )
−
τ
L ; 称RL电路的 R 时间常数) (τ =
0
t
t
0
−ε
自感磁能
• 自感磁能：回路在电流由零增加到恒定值I的过 程中，电源反抗自感电动势做功，转化为线圈 的磁场能。
– 即回路电流产生的磁场所具有的总的磁场能。 – 自感电动势做功的微分：
V
•
μ0
互感系数和自感系数的关系
• 无漏磁理想条件：线圈的产生的磁通量 全部穿过此线圈和另一线圈的每一匝。形象 的说就是没有磁场线“泄漏”。
– 如图示的结构更容易接近无漏磁条件。为了较好的满足无 漏磁条件，往往需要使用铁芯。