2012届高考数学一轮复习教案：9.7 空间向量及其坐标运算(B)
《新高考》理科数学高考大一轮总复习课件：第9章 第7讲 空间向量的应用(一)——证明平行与垂直
间直角坐标系．设正方体的棱长为 1，
则可得 M(0,1，12)，N(21，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)．
于是
uuuur MN
＝(21，0，21)，
uuuur DA1
＝(1,0,1)，
uuuur DB1
＝(1,1,0)．
设平面 A1BD 的法向量是 n＝(x，y，z)．
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(2)由 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥CD，又 AD⊥CD，所以 CD⊥平面 PAD，
又 AF⊂平面 PAD，所以 CD⊥AF， 又△PAD 为等腰直角三角形，F 为 PD 中点， 所以 AF⊥PD，所以 AF⊥平面 PCD. 由(1)EG∥AF，所以 EG⊥平面 PCD， 又 EG⊂平面 PEC，所以，平面 PCD⊥平面 PEC.
则 λ 等于( B )
2
9
A.3
B.2
C．－29
D．－32
5
解析：因为 a∥b，所以－13＝－λ32＝－25125，
解得 λ＝92，故选 B.
6
3.若直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，能使
l∥α 的是( D )
A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
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【温馨提示】 证明线面平行和垂直问题，可以用几何 法，也可以用空间向量法．用向量法的关键在于构造向量， 再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定 理，对于易建立空间直角坐标系的题，这种方法很方便．
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【跟踪训练 2】 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 4， E，F 分别是 BC，CD 上的点，且 BE＝CF＝3.
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案空间向量及其运算1
第六节空间向量及其运算空间向量及其应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量．(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．知识点一空间向量的有关概念1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫作空间向量，其大小叫作向量的长度或模．(2)相等向量：方向相同且模相等的向量．(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量，a平行于b记作a∥b.(4)共面向量：平行于同一平面的向量叫作共面向量．2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一x，y，z使得p＝x a＋y b＋z c.其中{a，b，c}叫作空间的一个基底．个唯一的有序实数组{}3．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.易误提醒(1)共线向量与共面向量区别时注意，平行于同一平面的向量才能为共面向量．(2)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．(3)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量． (4)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．[自测练习]1．已知空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →＝( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －12cD.23a ＋23b －12c 解析：如图所示， MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝13OA →＋(OB →－OA →)＋12BC → ＝OB →－23OA →＋12(OC →－OB →)＝12OB →－23OA →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .答案：B2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2解析：∵a ∥b ，∴b ＝k a ，即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝k (λ＋1)，2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.答案：A知识点二 空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示 坐标表示 数量积 a ·b a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模 |a |a 21＋a 22＋a 23夹角 〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23易误提醒 (1)空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简．(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算． 必备方法 用空间向量解决几何问题的一般步骤： (1)适当的选取基底{a ，b ，c }． (2)用a ，b ，c 表示相关向量． (3)通过运算完成证明或计算问题．[自测练习]3．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________．解析：设M (0，y,0)，由|MA |＝|MB |得(1－0)2＋(0－y )2＋(2－0)2＝(1－0)2＋(－3－y )2＋(1－0)2，解得y ＝－1.∴M (0，－1,0)．答案：(0，－1,0)考点一 空间向量的线性运算|1．设三棱锥O -ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，G 是△ABC 的重心，则OG →等于( ) A ．a ＋b －c B ．a ＋b ＋c C.12(a ＋b ＋c ) D.13(a ＋b ＋c )解析：如图所示，OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AB →＋AC →)＝OA →＋13(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝13(a ＋b ＋c )．答案：D2.如图所示，已知空间四边形O -ABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为________．解析：∵OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋23ON →－23OM →＝12OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23×12OA →＝16OA →＋13OB →＋13OC →，又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →， 根据空间向量的基本定理，x ＝16，y ＝z ＝13.答案：16，13，13(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．(2)空间向量问题实质上是转化为平面向量问题来解决的，即把空间向量转化到某一个平面上，利用三角形法则或平行四边形法则来解决．考点二 共线向量与共面向量定理的应用|已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 中边AB ，BC ，CD ，DA 的中点． (1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．[证明] (1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .(3)任取一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG . 由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH →＝FG →，即EH 綊FG ， 所以四边形EFGH 是平行四边形， 所以EG ，FH 被点M 平分．故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG →＝12⎣⎡⎦⎤12(OA →＋OB →)＋12⎣⎡⎦⎤12(OC →＋OD →)＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P ，A ，B ，C 四点共面，只要能证明P A →＝xPB →＋yPC →或对空间任一点O ，有OA →＝OP →＋xPB →＋yPC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．1．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB→＋OC →)．(1)判断MA →、MB →、MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 解：(1)由已知OA →＋OB →＋OC →＝3 OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， 即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知MA →，MB →，MC →共面且过同一点M ，所以四点M ，A ，B ，C 共面，从而点M 在平面ABC 内．考点三 利用空间向量证明平行、垂直|如图所示的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．(1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：OD 1⊥平面AB 1C .[证明] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)，D 1(0,0，2)， ∴OD 1→＝(－1，－1，2)， 又点B (2,2,0)，M (1,1，2)， ∴BM →＝(－1，－1，2)，∴OD 1→＝BM →.又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .∵OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连接OB 1，点B 1(2,2，2)，A (2,0,0)，C (0,2,0)， ∵OD 1→·OB 1→＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0， OD 1→·AC →＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴OD 1→⊥OB 1→， OD 1→⊥AC →，即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ， 又OB 1∩AC ＝O ，∴OD 1⊥平面AB 1C .(1)设直线l 1的方向向量为v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量为v 2＝(a 2，b 2，c 2)，则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v ⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0，l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．(3)设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.2.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．(1)求证：CE ∥平面C 1E 1F ； (2)求证：平面C 1E 1F ⊥平面CEF .证明：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D -xyz ，设BC ＝1，则C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，F (1,1,1)，E 1⎝⎛⎭⎫1，12，2.(1)设平面C 1E 1F 的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵C 1E 1→＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0，FC 1→＝(－1，0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12y ＝0，－x ＋z ＝0.令x ＝1，得n ＝(1,2,1)．∵CE →＝(1，－1,1)，n ·CE →＝1－2＋1＝0， ∴CE ⊥n .又∵CE ⊄平面C 1E 1F ， ∴CE ∥平面C 1E 1F .(2)设平面EFC 的法向量为m ＝(a ，b ，c )， 由EF →＝(0,1,0)，FC →＝(－1,0，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·EF →＝0，m ·FC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，－a －c ＝0.令a ＝－1，得m ＝(－1,0,1)．∵m ·n ＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0， ∴平面C 1E 1F ⊥平面CEF .16.混淆空间“向量平行”与“向量同向”致错【典例】 已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，则x ，y 的值分别为________．[解析] 由题意知a ∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y 3，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x 2＋y －2＝2x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－6.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－6，时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，所以a ，b 两向量反向，不符合题意，舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，时，b ＝(1,2,3)＝a ，a 与b 同向，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. [答案] x ＝1，y ＝3[易误点评] 只考虑a ∥b ，忽视了同向导致求解多解．[防范措施] 两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况，两向量同向能推出两向量平行，但反之不成立，也就是说两向量同向是两向量平行的充分不必要条件．[跟踪练习] (2015·成都模拟)已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2u －1,2λ)，若a ∥b ，则λ与u 的值可以是( )A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2解析：由a ∥b 验证当λ＝2，u ＝12时成立．答案：AA 组 考点能力演练1．(2015·深圳模拟)已知三棱锥O -ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示MN →，则MN →等于( )A.12(b ＋c －a ) B.12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D.12(c －a －b ) 解析：MN →＝MA →＋AO →＋ON →＝12(c －a －b )．答案：D2．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为( )A ．平行四边形B ．梯形C ．长方形D ．空间四边形解析：由AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，知该四边形一定不是平面图形，故选D.答案：D3．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)．若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.607D.657解析：由题意得c ＝t a ＋μb ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ.∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.答案：D4．(2016·东营质检)已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66B.66C ．－66D ．±6解析：OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)， cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意，舍去，∴λ＝－66. 答案：C5．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，AB 的中点为M ，则|CM |等于( ) A.534 B.532 C.532D.132解析：设M (x ，y ，z )，则x ＝3＋12＝2，y ＝3＋02＝32，z ＝1＋52＝3，即M ⎝⎛⎭⎫2，32，3，|CM |＝(2－0)2＋⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－0)2＝532.故选C. 答案：C6．(2016·合肥模拟)向量a ＝(2,0,5)，b ＝(3,1，－2)，c ＝(－1,4,0)，则a ＋6b －8c ＝________. 解析：由a ＝(2,0,5)，b ＝(3,1，－2)，c ＝(－1,4,0)，∴a ＋6b －8c ＝(28，－26，－7)． 答案：(28，－26，－7)7．已知向量a ，b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则a 与b 的夹角为________．解析：由于a 与2b －a 互相垂直，则a ·(2b －a )＝0，即2a·b －|a |2＝0，所以2|a ||b |cos a ，b －|a |2＝0，则42cosa ，b －4＝0，则cos a ，b＝22，所以a 与b 的夹角为45°. 答案：45°8．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos OA →，BC →的值为________．解析：OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos OA →，OC→－|OA →||OB→|·cos OA →，OB →．∵OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，∴OA →·BC →＝0，即OA →⊥BC →，∴cos OA →，BC →＝0.答案：09．(2016·唐山模拟)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1，1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b＝AC →.(1)求a 和b 夹角的余弦值．(2)设|c |＝3，c ∥BC →，求c 的坐标．解：(1)因为AB →＝(1,1,0)，AC →＝(－1,0,2)，所以a ·b ＝－1＋0＋0＝－1，|a |＝2，|b |＝ 5.所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12×5＝－1010. (2)BC →＝(－2，－1,2)．设c ＝(x ，y ，z )，因为|c |＝3，c ∥BC →，所以x 2＋y 2＋z 2＝3，存在实数λ使得c ＝λBC →，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2λ，y ＝－λ，z ＝2λ联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－1，z ＝2，λ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，z ＝－2，λ＝－1，所以c ＝±(－2，－1,2)．10．(2016·太原模拟)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN →的模．(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值．(3)求证：A 1B ⊥C 1M .解：如图，建立空间直角坐标系．(1)依题意得B (0,1,0)，N (1，0,1)，所以|BN →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝ 3.(2)依题意得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)．所以BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)，BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝11030. (3)依题意，得C 1(0,0,2)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，A 1B →＝(－1,1，－2)，C 1M →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0. 所以A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0， 所以A 1B →⊥C 1M →.所以A 1B ⊥C 1M .B 组 高考题型专练1．(2014·高考广东卷)已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( )A ．(－1,1,0)B ．(1，－1,0)C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)解析：经检验，选项B 中向量(1，－1,0)与向量a ＝(1,0，－1)的夹角的余弦值为12，即它们的夹角为60°，故选B.答案：B2．(2014·高考江西卷)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝11，AD ＝7，AA 1＝12.一质点从顶点A 射向点E (4,3,12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i －1次到第i 次反射点之间的线段记为L i (i ＝2,3,4)，L 1＝AE ，将线段L 1，L 2，L 3，L 4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( )解析：由对称性知质点经点E 反射到平面ABCD 的点E 1(8,6,0)处．在坐标平面xAy 中，直线AE 1的方程为y ＝34x ，与直线DC 的方程y ＝7联立得F ⎝⎛⎭⎫283，7，0.由两点间的距离公式得E 1F ＝53， ∵tan ∠E 2E 1F ＝tan ∠EAE 1＝125，∴E 2F ＝E 1F ·tan ∠E 2E 1F ＝4.∴E 2F 1＝12－4＝8.∴L 3L 4＝E 1E 2E 2E 3＝E 2F E 2F 1＝48＝12.故选C.答案：C3．(2015·高考浙江卷)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.解析：∵e 1，e 2是单位向量，e 1·e 2＝12，∴cos 〈e 1，e 2〉＝12，又∵0°≤〈e 1，e 2〉≤180°，∴〈e 1，e 2〉＝60°.不妨把e 1，e 2放到空间直角坐标系O -xyz 的平面xOy 中，设e 1＝(1,0,0)，则e 2＝⎝⎛⎭⎫12，32，0，再设OB →＝b ＝(m ，n ，r )，由b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，得m ＝2，n ＝3，则b ＝(2，3，r )．而x e 1＋y e 2是平面xOy 上任一向量，由|b －(x e 1＋y e 2)|≥1知点B (2，3，r )到平面xOy 的距离为1，故可得r ＝1.则b ＝(2，3，1)，∴|b |＝2 2.又由|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1知x 0e 1＋y 0e 2＝(2，3，0)，解得x 0＝1，y 0＝2. 答案：1,2,22。
空间向量及其坐标运算
高三第一轮复习数学---空间向量的坐标运算一、教学目标：：向量的坐标运算和建系意识． 二、教学重点：向量的坐标运算 三、教学过程：（一）主要知识： 1．空间直角坐标在空间选定一点O 和一个单位正交基底{ī，j ，k }，以点O 为原点，分别以ī，j ，k 的正方向建立三条坐标轴： x 轴，y 轴，z 轴，使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°，就建立了一个空间直角坐标系O-xyz 。
点O 叫原点，ī，j ，k 叫坐标向量，一般作右手直角坐标系。
任一点A 对应一个向量OA ，存在唯一的实数组x 、y 、z. =OA x ī+y j+z k . 记为A （x 、y 、z ）,叫空间直角坐标系中的坐标。
其中x 叫点A 的横坐标，y 叫点A 的纵坐标，z 叫点A 的竖坐标2．向量的直角坐标运算 （1）设a=（a 1，a 2，a 3），b=（b 1，b 2，b 3）则a+b =( a 1 +b 1 ，a 2 +b 2，a 3+b 3) a-b =( a 1 -b 1 ，a 2 -b 2，a 3-b 3) λa=（λa 1，λa 2，λa 3）（λ∈R ） a·b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3a ∥b ↔ a 1 =λb 1 ，a 2=λb 2，a 3=λb 3（λ∈R ） a ⊥b ↔ a 1b 1+ a 2b 2 +a 3b 3=0 （2）设A （a 1，a 2，a 3），B （b 1，b 2，b 3）则=-=OA OB AB （b 1，b 2，b 3）-（a 1，a 2，a 3）=( b 1 -a 1 ，b 2-a 2，b 3-a 3)。
即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
3．夹角和距离公式设a=（a 1，a 2，a 3），b=（b 1，b 2，b 3）则232221a a a a a a ++=⋅=232221b b b b b b ++=⋅=a·b = a 1b 1+a 2 b 2+a 3b 3 232221232221332211b a b a b a cosbb b a a a ba ++⋅++++=⋅已知),,(111z y x A ，),,(222z y x B 则()()()221221221z z y y x x -+-+-==空间两点间距离公式4．如果表示向量a 的有向线段所在的直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记为α⊥a 如果α⊥a ，那么向量a 叫做平面α的法向量 5. 设A （a 1，a 2，a 3），B （b 1，b 2，b 3）则AB 中点坐标为)2,2,2(332211b a b a b a +++6.向量位置与立体几何中位置对照:⑴AB//CD CD AB CD AB λ=⇔⇔// ⑵0=⋅⇔⊥CD AB CD AB⑶证A 、B 、C 、D 四点共面可通过证1=++++=+=r q p OD r OC q OB p OA AD y AC x AB 且或⑷AB ==⑸线线角即为两向量的夹角或其补角⑹线面角即为线所在向量与面的法向量的夹角的余角或再减90⑺面面角即为两面的法向量的夹角或其补角 ⑻距离可通过求在法向量上投影的长度得到（二）例题分析：例1（1） 已知直角坐标系内三点A （2，4，1），B （3，7，5），C （4，10，9），判断A 、B 、C 三点是否共线？（2）已知直角坐标系内四点A （2，3，1），B （4，1，-2），C （6，3，7），D （-5，4，8），判断A 、B 、C 、D 四点是否共线？解：（1）),8,6,2(),4,3,1(==AC AB 可见AB AC AB AC 和故,2=共线，即A,B,C 三点共线。
高考一轮复习 空间向量运算 知识点+例题+练习
1．空间向量的有关概念及定理(1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向________且模________的向量．(3)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是________________________．(4)共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b ，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O 有，OP →＝________________或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOM →，其中x ＋y ＋z ＝____.(5)空间向量基本定理如果三个向量e 1，e 2，e 3不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝________________________，把{e 1，e 2，e 3}叫做空间的一个基底．2．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝__________________________________________________________________.(2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，若b ≠0，则a ∥b ⇔________⇔__________，________，______________，a ⊥b ⇔__________⇔________________________(a ，b 均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝________________________________，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝______________________________________________________. 若A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则|AB →|＝______________________________.3．利用空间向量证明空间中的位置关系若直线l ，l 1，l 2的方向向量分别为v ，v 1，v 2，平面α，β的法向量分别为n 1，n 2，利用向量证明空间中平行关系与垂直关系的基本方法列表如下： 平行 垂直直线 与直线 l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔v 1＝λv 2(λ为非零实数)l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0 直线 与平面 ①l ∥α⇔v ⊥n 1⇔v ·n 1＝0②l ∥α⇔v ＝x v 1＋y v 2其中v 1，v 2为平面α内不共线向量，x ， y 均为实数l ⊥α⇔v ∥n 1⇔v ＝λn 1(λ为非零实数)平面 与平面 α∥β⇔n 1∥n 2⇔n 1＝λn 2(λ为非零实数)α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0自我检测1．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a ∥b ，则x ＝______________________，y ＝________.2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →用a ，b ，c 表示为________．3．在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，已知∠BAD ＝∠A ′AB ＝∠A ′AD ＝60°，AB ＝3，AD ＝4，AA ′＝5，则|AC ′→|＝________.4．下列4个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a 、b 共面；②若p 与a 、b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面；④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →.其中真命题是________(填序号)．5．A (1,0,1)，B (4,4,6)，C (2,2,3)，D (10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).探究点一 空间基向量的应用例1 已知空间四边形OABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，P 为OA 的中点，Q 为OB 的中点，若AB ＝OC ，求证：PM ⊥QN .变式迁移1如图，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________．探究点二利用向量法判断平行或垂直例2两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，点M、N分别在BD、AE上，且AN＝DM.(1)求证：MN∥平面EBC；(2)求MN长度的最小值．变式迁移2如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥面BDF.探究点三利用向量法解探索性问题例3如图，平面P AC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为P A，PB，AC的中点，AC＝16，P A＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；(2)在△AOB内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE？若存在，求出点M到OA，OB的距离；若不存在，说明理由．变式迁移3已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点．(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值；(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由．探究点三 利用向量法求二面角例3 如图，ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝BC ＝BA ＝1，AD ＝12，求面SCD 与面SBA 所成角的余弦值大小．变式迁移3 如图，在三棱锥S —ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 中点．(1)证明：SO ⊥平面ABC ；(2)求二面角A —SC —B 的余弦值．探究点四综合应用例4如图所示，在三棱锥A—BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD＝3，BD＝CD＝1，另一个侧面ABC是正三角形．(1)求证：AD⊥BC；(2)求二面角B－AC－D的余弦值；(3)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．变式迁移4 (2011·山东，19)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF.(1)若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；(2)若AC＝BC＝2AE，求二面角A－BF－C的大小．1、如图所示，已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1.2、如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点．(1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；(2)在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由．3、如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．4、如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8.BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD.(1)求二面角B－AD－F的大小；(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值．。
2010高三数学高考第一轮复习向量复习教案：空间向量及其运算
第十三章空间向量与立体几何一、知识网络：二．考纲要求：（1）空间向量及其运算① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
（2）空间向量的应用① 理解直线的方向向量与平面的法向量；② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
三、命题走向本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。
本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。
预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。
第一课时 空间向量及其运算一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。
学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。
（二）、知识梳理，方法定位。
（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。
2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第47讲
→ → → 解析：如图所示.AF＝AD＋DF，
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高考总复习（ 高考总复习（文、理）
→ → → ∴DF＝xAB＋yAA′， → → 1 → ∴ DC′ ＝xAB＋yAA′， 2 → → → 1 → → ＝xAB＋yBB′， ∴ AB′＝xAB＋yAA′ 2 → → 1→ 1 → ∴ AB＋ BB′＝xAB＋yBB′， 2 2 1 ∴x＝y＝ ，x－y＝0. 2
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高考总复习（ 高考总复习（文、理）
4．两个向量的数量积 (1)向量a、b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)向量的数量积的性质： ①a·e＝|a|cos〈a，e〉(e是单位向量)； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③|a|2＝a·a. (3)向量的数量积满足如下运算律 ①(λ·a)·b＝λ(a·b)； ②a·b＝b·a(交换律)； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
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高考总复习（ 高考总复习（文、理）
解析：A错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间 任两向量均共面． B错．因为|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关． → → C错．空间任两向量不研究大小关系，因此也就没有 AB > CD 这种写法． → → → → D对，∵AB＋CD ＝0，∴AB＝－CD ， → → → → ∴AB与CD 共线，故AB∥CD 正确．
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高考总复习（ 高考总复习（文、理）
2．共线向量与共面向量 (1)如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些 向量叫共线向量或平行向量． (2)平行于同一平面的向量叫做共面向量．空间任意两个向量总是 共面的． (3)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条 件是存在实数λ，使a＝λb.
高三数学一轮复习精品教案1：空间向量及其运算(理)教学设计
第6节空间向量及其运算和空间位置关系1．空间向量及其有关概念 语言描述共线向量 (平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一平面的向量共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b≠0)，a ∥b ⇔存在λ∈R ，使a ＝λb 共面向量定理若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝xa ＋yb空间向量 基本定理定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }使得p ＝x a ＋y b ＋z c推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对平面ABC 内任一点P 都存在唯一的三个有序实数x 、y 、z ，使OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC 且x ＋y ＋z ＝12．数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积： ①a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉；②a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)； ③|a |2＝a 2，|a |＝x 2＋y 2＋z 2. (2)向量的坐标运算：a＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3) 向量和 a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) 向量差 a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数量积 a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3共线 a ∥b ⇒a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R ，b ≠0)垂直 a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 夹角 公式cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 231．共线向量定理中a ∥b ⇔存在λ∈R ，使a ＝λb 易忽视b ≠0. 2．共面向量定理中，注意有序实数对(x ，y )是唯一存在的．3．一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量，不要误为是共面向量． 『试一试』1．有以下命题：①如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a ，b 的关系是不共线；②O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA ―→，OB ―→，OC ―→不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；③已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，则向量a ＋b ，a －b ，c 也是空间的一个基底．其中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．『解析』对于①，“如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a ，b 的关系一定是共线”，所以①错误．②③正确．『答案』②③ 2．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝xa ＋yb ＋zc .其中正确命题的个数是________．『解析』a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；据空间向量的意义知，a ，b 所在直线异面，则a ，b 必共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任两个一定共面，但它们却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ，故④不正确．综上可知四个命题中正确的个数为0.『答案』01．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB ―→为直线l 的方向向量，与AB ―→平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·b ＝0.2．建立空间直角坐标系的原则：(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直； (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上．3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法：用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．『练一练』1．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P 的坐标是(x,0，y )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标是________．『解析』PA ＝(－x,1，－y )，AB ＝(－1，－1，－1)，AC ＝(2,0,1)，∵P A ⊥平面ABC ， ∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，即PA ·AB ＝x ＋y －1＝0，PA ·AC ＝2x ＋y ＝0， ∴x ＝－1，y ＝2，故P 点的坐标是(－1,0,2)． 『答案』(－1,0,2)2．已知a ＝(cos θ，1，sin θ)，b ＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是________． 『解析』∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2 ＝(cos 2θ＋1＋sin 2θ)－(sin 2θ＋1＋cos 2θ)＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )，即向量a ＋b 与a －b 的夹角为90°. 『答案』90°3．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是________．『解析』建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0，1)，M ⎝⎛⎭⎫0，12，0，N ⎝⎛⎭⎫0，1，12，则1A M ＝⎝⎛⎭⎫－1，12，－1，DN ＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，所以cos 〈1A M ，DN 〉＝1A M ·DN|1A M |·|DN |＝0，所以1A M ⊥DN ，故异面直线A 1M 与DN 所成角的大小为90°.『答案』90°考点一空间向量的线性运算1．在四面体O ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝________(用a ，b ，c 表示)．『解析』OE ＝12(OD ＋OA )＝12⎣⎡⎦⎤12OC ＋OB＋OA＝12a ＋14b ＋14c . 『答案』12a ＋14b ＋14c2.如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点． (1)化简1A O －12AB －12AD ＝________；(2)用AB ，AD ，1AA 表示1OC ，则1OC ＝________. 『解析』(1) 1A O －12AB －12AD ＝1A O －12(AB ＋AD )＝1A O －AO ＝1A O ＋OA ＝1A A . (2)OC ＝12AC ＝12(AB ＋AD )，∴1OC ＝OC ＋1CC ＝12(AB ＋AD )＋1AA＝12AB ＋12AD ＋1AA . 『答案』(1)1A A (2)12AB ＋12AD ＋1AA『备课札记』2题中条件不变，结论改为：设E 是棱DD 1上的点，且DE ＝231DD ，若EO ＝x AB ＋y AD ＋z 1AA .试求x ，y ，z 的值. 『解』EO ＝ED ＋DO ＝－231DD ＋12(DA ＋DC )＝12AB －12AD －231AA ，由条件知，x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.考点二共线、共面向量定理的应用『典例』 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH . 『证明』 (1)连结BG ， 则EG ＝EB ＋BG ＝EB ＋12(BC ＋BD )＝EB ＋BF ＋EH ＝EF ＋EH ， 由共面向量定理知： E ，F ，G ，H 四点共面． (2)因为EH ＝AH －AE＝12AD －12AB ＝12(AD －AB )＝12BD ， 因为E ，H ，B ，D 四点不共线，所以EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .『备课札记』 『类题通法』1．将四点共面问题，转化为三个向量共面问题，利用共面向量定理来解决． 2．利用向量共线说明两线平行时注意说明四点不共线，否则不一定正确． 『针对训练』已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM ＝13(OA ＋OB＋OC )．(1)判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 『解』(1)由OA ＋OB ＋OC ＝3OM ， ∴OA －OM ＝(OM －OB )＋(OM －OC )即MA ＝BM ＋CM ＝－MB －MC ∴MA ，MB ，MC 共面． (2)由(1)知MA ，MB ，MC 共面，且共过同一点M ，∴四点M ，A ，B ，C 共面．从而点M 在平面ABC 内．考点三利用空间向量证明平行或垂直『典例』 (2014·汕头模拟)如图所示的长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．(1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：D 1O ⊥平面AB 1C ；『证明』 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)，D 1(0,0，2)，∴1OD ＝(－1，－1，2)． 又点B (2,2,0)，M (1,1，2)， ∴BM ＝(－1，－1，2)，∴1OD ＝BM .又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连结OB 1，点B 1(2,2，2)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，∵1OD ·1OB ＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD ·AC ＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴1OD ⊥1OB ，1OD ⊥AC ，即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ， 又OB 1∩AC ＝O ，∴D 1O ⊥平面AB 1C .『备课札记』 『类题通法』利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直(1)设直线l 1的方向向量v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量v 2＝(a 2，b 2，c 2)． 则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R)．l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)．(3)设平面α的法向量n 1＝(a 1，b 1，c 1)，β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.『针对训练』已知在正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AA 1＝2，点E 是CC 1的中点，点F 为BD 1的中点．(1)证明AC 1∥平面BDE ； (2)证明平面BDE ⊥平面AA 1C 1C . 证明：(1)以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz ，则B (0,1,0)，D (1,0,0)，D 1(1,0,2)，F (12，12，1)， C 1(0,0,2)，E (0,0,1)，A (1,1,0)． 则BD ＝(1，－1,0)，DE ＝(－1,0,1)， 设平面EBD 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，由⎩⎨⎧n ·BD ＝x －y ＝0，n ·DE ＝－x ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故平面EBD 的一个法向量为n ＝(1,1,1)． 又1AC ＝(－1，－1,2)，则1AC ·n ＝(－1，－1,2)·(1,1,1)＝－1－1＋2＝0，所以1AC ⊥n ，即直线AC 1的方向向量与平面BDE 的一个法向量垂直， 又AC 1不在平面BDE 内，故AC 1∥平面BDE .(2)由(1)知平面BDE 的一个法向量n ＝(1,1,1)，又BD 为平面AA 1C 1C 的一个法向量且BD ＝(1，－1,0)．又BD ·n ＝(1，－1,0)·(1,1,1)＝0，所以BD ⊥n ，即两个平面的法向量互相垂直． 所以平面BDE ⊥平面AA 1C 1C .『课堂练通考点』1．在空间四边形ABCD 中，AB ·CD ＋AC ·DB ＋AD ·BC ＝________. 『解析』如图，令AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ， 则AB ·CD ＋AC ·DB ＋AD ·BC ＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a ) ＝a·c －a·b ＋b·a －b·c ＋c·b －c·a ＝0 『答案』02．A ，B ，C ，D 是空间四点，有以下条件：①OD ＝OA ＋12OB ＋13OC ；②OD ＝12OA＋13OB ＋14OC ；③OD ＝12OA ＋13OB ＋15OC ；④OD ＝12OA ＋13OB ＋16OC .能使A ，B ，C ，D 四点一定共面的条件是________．(填序号)『解析』对于共面四点A ，B ，C ，D ，当能写成OD ＝x OA ＋y OB ＋z OC 时，应有x ＋y ＋z ＝1.经检验只有④满足．『答案』④3．(2014·上饶模拟)正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM ＝121MC ，N 为B 1B 的中点，则|MN |＝________.『解析』以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ， 则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝⎛⎭⎫a ，a ，a2.设M (x ，y ，z ) ∵点M 在AC 1上且AM ＝121MC ，∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a3.∴M ⎝⎛⎭⎫2a 3，a 3，a 3， ∴|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫a －23a 2＋⎝⎛⎭⎫a －a 32＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 32 ＝216a . 『答案』216a 4．在空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则AB ＋12(BD ＋BC )＝________.『解析』依题意有AB ＋12(BD ＋BC )＝AB ＋12×2BG ＝AB ＋BG ＝AG .『答案』AG5.如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值． 『解』∵BC ＝AC －AB ， ∴OA ·BC ＝OA ·(AC －AB ) ＝OA ·AC －OA ·AB＝|OA ||AC |cos 〈OA ，AC 〉－|OA ||AB |cos 〈OA ，AB 〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2. ∴cos 〈OA ，BC 〉＝OA ·BC |OA ||BC |＝24－1628×5＝3－225.故OA 与BC 夹角的余弦值为3－225，即直线OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.。
高三数学一轮复习精品教案3：空间向量及其运算(理)教学设计
第6课时 空间直角坐标系及空间向量1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置． 2．会推导空间两点间的距离公式．3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．『梳理自测』一、空间直角坐标系及空间向量的概念1．在空间直角坐标系O －xyz 中，点P (3,2，－1)关于x 轴的对称点的坐标为( ) A ．(3,2,1) B ．(－3,2,1) C ．(3，－2,1) D ．(－3，－2,1)2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12 B ．－13，12C ．－3,2D ．2,23．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c『答案』1.C 2.A 3.A◆以上题目主要考查了以下内容： (一)(1)空间直角坐标系：名称 内容空间直角坐标系 以空间一点O 为原点，具有相同的单位长度，给定正方向，建立三条两两垂直的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这时建立了一个空间直角坐标系O －xyz坐标原点 点O 坐标轴 x 轴、y 轴、z 轴 坐标平面通过每两个坐标轴的平面(2)空间中点M 的坐标：空间中点M 的坐标常用有序实数组(x ，y ，z )来表示，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标．建立了空间直角坐标系后，空间中的点M 和有序实数组(x ，y ，z )可建立一一对应的关系．(二)空间两点间的距离(1)设点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.特别地，点P (x ，y ，z )与坐标原点O 的距离为 |OP →|＝x 2＋y 2＋z 2.(2)设点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)是空间中两点，则线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.(三)空间向量的有关概念名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a ＝b 相反向量方向相反且模相等的向量a 的相反向量为－a共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a ∥b 共面向量平行于同一个平面的向量(四)空间向量的线性运算及运算律(1)定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ；BA →＝OA →－OB →＝a －b ；OP →＝λa (λ∈R )．(2)运算律：①加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ； ②加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )； ③数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb . (五)空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在实数x ，y 的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．二、空间向量的数量积及运算律1．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值为( ) A ．1 B.15C.35D.752．已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则(a ＋b )·(a －b )的值为________． 『答案』1.D 2.－13◆以上题目主要考查了以下内容： (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是『0，π』，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 垂直，记作a⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c .『指点迷津』1．一种方法用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是： (1)适当的选取基底{a ，b ，c }； (2)用a ，b ，c 表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题．2．二个原则——建立空间直角坐标系的原则 (1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直； (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上． 3．二个推论 ①共线向量定理推论若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP →＝λOA →＋μOB →且λ＋μ＝1. ②共面向量定理推论若OM →、OA →、OB →不共面，则P 、M 、A 、B 四点共面的充要条件是OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →且x ＋y ＋z ＝1.考向一 空间向量的线性运算如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→.『审题视点』 逐步用三角形法则及向量运算法则 『典例精讲』 (1)∵P 是C 1D 1的中点， ∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ， 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ， ∴MP →＋NC 1→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c . 『类题通法』 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．1．(2014·舟山月考)如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为________．『解析』连结ON ， OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →＝OM →＋23(ON →－OM →)＝13OM →＋23ON → ＝13OM →＋23×12(OB →＋OC →) ＝13×12OA →＋13OB →＋13OC → ＝16OA →＋13OB →＋13OC → x ＝16，y ＝13，z ＝13. 『答案』16，13，13考向二 共线、共面向量定理及应用(2014·上饶调研)已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．『审题视点』 (1)利用向量共面与点共面的关系证明．(2)根据向量共线的关系证．(3)根据向量运算求证．『典例精讲』 (1)连接BG ， 则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →， 由共面向量定理的推论知： E 、F 、G 、H 四点共面． (2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →， 所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .(3)找一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG . 由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH →＝FG →，即EH 綊FG ， 所以四边形EFGH 是平行四边形． 所以EG ，FH 交于一点M 且被M 平分． 故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG →＝12⎣⎡⎦⎤12OA →＋OB →＋12⎣⎡⎦⎤12OC →＋OD → ＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)． 『类题通法』 空间共线向量定理、共面向量定理的应用三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面P A →＝λPB →MP →＝xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB →对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB →2．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为BC 边上的中点，求证：A 1B ∥平面AC 1D .证明：设BA →＝a ，BB 1→＝c ，BC →＝b ， 则BA 1→＝BA →＋AA 1→＝BA →＋BB 1→ ＝a ＋c ，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝－a ＋12b ，AC 1→＝AC →＋CC 1→＝BC →－BA →＋BB 1→＝b －a ＋c ， BA 1→＝AC 1→－2AD →， ∵A 1B ⊄平面AC 1D ， ∴A 1B ∥平面AC 1D .考向三 空间向量数量积的应用已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以AB →，AC →为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，求向量a 的坐标．『审题视点』 ①利用向量夹角公式求sin 〈AB →，AC →〉，代入面积公式． ②向量垂直，数量积为0. 『典例精讲』 (1)由题意可得： AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝714＝12.∴sin 〈AB →，AC →〉＝32，∴以AB →，AC →为边的平行四边形的面积为 S ＝2×12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝14×32＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝3－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1，z ＝－1∴向量a 的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．『类题通法』 (1)当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用； (2)当异面直线所成的角为α时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算；(3)通过数量积可以求向量的模．3．已知空间四边形OABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，P 为OA 的中点，Q 为OB 的中点，若AB ＝OC ，求证：PM ⊥QN .证明：连结PB 、PC ∴PM →＝12PB →＋12PC →＝12(OB →－12OA →)＋12(OC →－12OA →)＝12OB →＋12OC →－12OA →QN →＝12QA →＋12QC →＝12(OA →－12OB →)＋12(OC →－12OB →) ＝12OA →＋12OC →－12OB → ∴PM →·QN →＝⎣⎡⎦⎤12OC →＋12OB →－OA →⎣⎡12OC →－⎦⎤12OB →－OA →＝14|OC →|2－14(OB →－OA →)2＝14|OC →|2－14|AB →|2＝0 ∴PM ⊥QN .空间“向量平行”与“向量同向”已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a 、b 同向，则x ，y 的值分别为________．『正解』 由题意知a ∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y 3.即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ， ①x 2＋y －2＝2x ， ② 把①代入②得x 2＋x －2＝0，(x ＋2)(x －1)＝0， 解得x ＝－2，或x ＝1.当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，两向量a ，b 反向，不符合题意，所以舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，a 与b 同向，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. 『答案』 1,3『易错点』 两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况．两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．错解就忽略了这一点．『警示』 a 与b 同向是a ∥b 的充分而不必要条件．a ∥b 是a 与b 同向的必要而不充分条件．1．(2013·高考全国新课标Ⅱ卷)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )『解析』选A.结合已知条件画出图形，然后按照要求作出正视图．根据已知条件作出图形：四面体C 1－A 1DB ，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图是正方形，如图(2)所示．故选A.2．(2014·辽宁大连一模)长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010 B.3010C.21510D.31010『解析』选B.建立坐标系如图，则A (1,0,0)，E (0,2,1)， B (1,2,0)，C 1(0,2,2)．BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)，cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→|·|AE →|＝3010. 所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010. 3．(2012·高考陕西卷)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( ) A.55 B.53C.255D.35『解析』选A.不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2.可得O (0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,1)， ∴BC 1→＝(0,2，－1)，AB 1→＝(－2,2,1)，∴cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→||AB 1→|＝4－15×9＝15＝55＞0.∴BC 1→与AB 1→的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角，∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55. 4．(2012·高考四川卷)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．『解析』以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为坐标轴建系，设A 1(1,0,1)，M (0，12，0)，N (0,1，12)， ∴DN →＝(0,1，12)，A 1M →＝(－1，12，－1)∴DN →·A 1M →＝0，∴A 1M ⊥DN . 『答案』90°。
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天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！9.7●知识梳理空间向量及其坐标运算（B）1.若 OP =xi+yj+zk，那么（x，y，z）叫做向量 OP 的坐标，也叫点 P 的坐标. ，b=（x2，y2，z2） ， 2.设 a=（x1，y1，z1） 那么 a±b=（x1±x2，y1±y2，z1±z2） ， a·b=x1x2+y1y2+z1z2， cos〈a，b〉=x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2 x1 + y1 + z12 2 2x2 + y 2 + z 22 2.23.设 M1（x1，y1，z1） 2（x2，y2，z2） ，M ， 则|M1M2|= ( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2 + ( z1 − z 2 ) 2 . 4.对非零向量 a 与 b，有 a∥b ⇔ a=kb；a⊥b ⇔ a·b=0. ●点击双基 1.若 a=（2x，1，3） ，b=（1，－2y，9） ，如果 a 与 b 为共线向量，则 A.x=1，y=1 B.x=1 1 ，y=－ 2 2C.x=1 3 ，y=－ 6 2D.x=－1 3 ，y= 6 2解析：∵a=（2x，1，3）与 b=（1，－2y，9）共线，故有2x 3 1 = = . 1 − 2y 91 3 ，y=－ .应选 C. 6 2 答案：C 2.在空间直角坐标系中，已知点 P（x，y，z） ，下列叙述中正确的个数是 ①点 P 关于 x 轴对称点的坐标是 P1（x，－y，z） ②点 P 关于 yOz 平面对称点的坐标 是 P2（x，－y，－z） ③点 P 关于 y 轴对称点的坐标是 P3（x，－y，z） ④点 P 关于原 点对称的点的坐标是 P4（－x，－y，－z） A.3 B.2 C.1 D.0 解析：P 关于 x 轴的对称点为 P1（x，－y，－z） ，关于 yOz 平面的对称点为 P2（－x，y， z） ，关于 y 轴的对称点为 P3（－x，y，－z）.故①②③错误. 答案：C 3.已知向量 a=（1，1，0） ，b=（－1，0，2） ，且 ka＋b 与 2a－b 互相垂直，则 k 值是 1 3 7 A.1 B. C. D. 5 5 5 解析：ka+b=k（1，1，0）＋（－1，0，2）=（k－1，k，2） ，2a－b=2（1，1，0）－ 7 （－1，0，2）=（3，2，－2）.∵两向量垂直，∴3（k－1）＋2k－2×2=0.∴k= . 5 答案：D∴x= 4.已知空间三点 A（1，1，1） 、B（－1，0，4） 、C（2，－2，3） ，则 AB 与 CA 的夹角θ的大小是_________.本卷第 1 页（共 12 页） 天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！解析： AB =（－2，－1，3） CA =（－1，3，－2） ， ， cos〈 AB ， CA 〉=(−2) × (−1) + (−1) × 3 + 3 × (−2) 14 ⋅ 14=−7 1 =－ ，∴θ=〈 AB ， CA 〉=120°. 14 2 答案：120°5.已知点 A（1，2，1） 、B（－1，3，4） 、D（1，1，1） ，若 AP =2 PB ，则| PD |的值是__________. 解析：设点 P（x，y，z） ，则由 AP =2 PB ，得（x－1，y－2，z－1）=2（－1－x，3－y，1 x = − 3 , x − 1 = −2 − 2 x, 8 1 8 77 . 4－z） ，即 y − 2 = 6 − 2 y , 解得 y = , 则| PD |= (− − 1) 2 + ( − 1) 2 + (3 − 1) 2 = 3 3 3 3 z − 1 = 8 − 2 z, z = 3, 77 3 ●典例剖析答案： 【例 1】 已知 AB =（2，2，1） AC =（4，5，3） ， ，求平面 ABC 的单位法向量. 解：设面 ABC 的法向量 n=（x，y，1） n⊥ AB 且 n⊥ AC ，即 n· AB =0，且 n· AC =0， ，则 即1 1 n 1 2 2 x = , 即 ，单位法向量 n0=± =±（ ，－ ， ）. 2 ∴n=（ ，－1，1） 2x+2y+1=0， 2 |n | 3 3 3 y = −1, 4x+5y+3=0，特别提示一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一 个自由度，可把 n 的某个坐标设为 1，再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量， 故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解. 【例 2】 在三棱锥 S—ABC 中， ∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°， AC=2， BC= 13 ， SB= 29 . （1）求证：SC⊥BC； （2）求 SC 与 AB 所成角的余弦值. 解法一： 如下图， A 为原点， 取 AB、 分别为 y、 轴建立空间直角坐标系， AS z 则有 AC=2， BC= 13 ，SB= 29 ，得 B（0， 17 ，0） 、S（0，0，2 3 ） 、C（213 4 ， ，0） SC = ， 17 17本卷第 2 页（共 12 页） 天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！（213 4 13 13 ， ，－2 3 ） CB =（－2 ， ， ，0）. 17 17 17 17z SA B x C y（1）∵ SC · CB =0，∴SC⊥BC. ∵ （0， 17 ， ，SC ·AB =4，SC || AB |=4 17 ， 0） | （2） SC 与 AB 所成的角为α， AB = 设17 ，即为所求. 17 解法二： （1）∵SA⊥面 ABC，AC⊥BC，AC 是斜线 SC 在平面 ABC 内的射影，∴SC⊥BC. （2）如下图，过点 C 作 CD∥AB，过点 A 作 AD∥BC 交 CD 于点 D，连结 SD、SC，∴cosα= 则∠SCD 为异面直线 SC 与 AB 所成的角.∵四边形 ABCD 是平行四边形， CD= 17 ， SA=2 3 ， SD= SA 2 + AD 2 = 12 + 13 =5， ∴在△SDC 中， 由余弦定理得 cos∠SCD=S17 ，即为所求. 17ABDC特别提示本题（1）采用的是“定量”与“定性”两种证法.题（2）的解法一应用向量的数量积 直接计算，避免了作辅助线、平移转化的麻烦，但需建立恰当的坐标系；解法二虽然避免了 建系，但要选点、平移、作辅助线、解三角形. 【例 3】 如下图，直棱柱 ABC—A1B1C1 的底面△ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=90°， 棱 AA1=2，M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点.z C1 B1MA1NC A xBy（1）求 BN 的长； （2）求 cos〈 BA1 ， CB1 〉的值； （3）求证：A1B⊥C1M. （1）解：依题意得 B（0，1，0） ，N（1，0，1） ， ∴｜ BN ｜= (1 − 0) 2 + (0 − 1) 2 + (1 − 0) 2 = 3 .本卷第 3 页（共 12 页） 天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！（2）解：A1（1，0，2） ，B（0，1，0） ，C（0，0，0） 1（0，1，2） ，B ， ， ， ∴ BA1 =（1，－1，2） CB1 =（0，1，2） BA1 ·CB1 =3，｜ BA1 ｜= 6 ，｜ CB1 ｜= 5 . ∴cos〈 BA1 ， CB1 〉=BA1 ⋅ CB1 | BA1 || CB1 |=30 . 10，M（ （3）证明：C1（0，0，2）1 1 ， ，2） ， 2 2 1 1 ， ，∴ A1 B · C1 M =0，∴A1B⊥C1M. A1 B =（－1，1，－2） C1 M =（ ， ，0） 2 2 深化拓展根据本题条件，还可以求直线 AC1 与平面 A1ABB1 所成的角.（答案是 arcsin10 ） 10【例 4】 如下图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、F 分别是 BB1、CD 的中点.D1 C1 B1 A1E D C F A B（1）证明 AD⊥D1F； （2）求 AE 与 D1F 所成的角； （3）证明面 AED⊥面 A1D1F. 解：取 D 为原点，DA、DC、DD1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，取正方体棱长 、D 、E（2，2，1） 、F（0，1，0）. 为 2，则 A（2，0，0） 1（2，0，2） 1（0，0，2） 、A （1）∵ DA · D1 F =（2，0，0）（0，1，－2）=0，∴AD⊥D1F. · （2）∵ AE · D1 F =（0，2，1）（0，1，－2）=0， · ∴AE⊥D1F，即 AE 与 D1F 成 90°角. （3）∵ DE · D1 F =（2，2，1）（0，1，－2）=0， · ∴DE⊥D1F.∵AE⊥D1F，∴D1F⊥面 AED. ∵D1F 面 A1D1F，∴面 AED⊥面 A1D1F.思考讨论本题是高考题，标准答案的解法较为复杂，而运用代数向量求解则轻而易举，充分显示 出代数化方法研究几何图形的优越性，这应作为立体几何复习的一个重点去掌握.通过坐标 法计算数量积去证垂直，求夹角、距离，是高考的重点. ●闯关训练 夯实基础 1.设 OABC 是四面体，G1 是△ABC 的重心，G 是 OG1 上一点，且 OG=3GG1，若 OG =本卷第 4 页（共 12 页） 天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！x OA +y OB +z OC ，则（x，y，z）为1 1 1 3 3 3 1 1 1 2 2 2 ， ， ） B.（ ， ， ） C.（ ， ， ） D.（ ， ， ） 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1 3 解析： OG = ∵ = · ［ （ AB + AC ） = OA + ］ OG1 = （ OA + AG1 ） OA + 4 4 4 4 3 2 4 1 1 1 1 ［ OB － OA ）+（ OC － OA ） （ ］= OA + OB + OC ，而 OG =x OA +y OB +z OC ， 4 4 4 4 1 1 1 ∴x= ，y= ，z= . 4 4 4 答案：A 2.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M、N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点，那么直 线 AM 与 CN 所成的角为A.（D1 C1 M A1 B1N D C A BA.arccos3 2B.arccos10 10C.arccos3 5D.arccos2 5解法一：∵ AM = AA1 + A1 M ， CN = CB + BN ，∴ AM · CN =（ AA1 + · A1 M ）（ CB + BN ）= AA1 · BN =1 . 21 5 = . 4 2而| AM |= ( AA1 + A1 M ) ⋅ ( AA1 + A1 M ) = | AA1 | 2 + | A1 M | 2 = 1 +5 .如令α为所求之角，则 2 1 2 AM ⋅ CN cosα= =2= ， | AM || CN | 5 5 4同理，| CN |= ∴α=arccos2 . 5解法二：建立如下图所示坐标系，把 D 点视作原点 O，分别沿 DA 、 DC 、 DD1 方向 为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，则 A（1，0，0） ，M（1，1 ，1） ，C（0，1，0） ，N（1，1， 21 ）. 2本卷第 5 页（共 12 页） 天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！z D1 M A1 B1 C1N D O A B x C y∴ AM =（1，1 1 ，1）－（1，0，0）=（0， ，1） ， 2 2 1 1 CN =（1，1， ）－（0，1，0）=（1，0， ）. 2 2 1 1 1 故 AM · CN =0×1+ ×0+1× = ， 2 2 2| AM |= 0 2 + ( ) 2 + 12 =1 21 AM ⋅ CN 5 5 ，| CN |= 12 + 0 2 + ( ) 2 = .∴cosα= = 2 2 2 | AM || CN |1 2=5 5 ⋅ 2 2 答案：D 3.命题：①若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线；②向量 a、b、c 共面，则它们 所在的直线也共面；③若 a 与 b 共线，则存在唯一的实数λ，使 b=λa；④若 A、B、C 三 1 1 1 OA + OB + OC ， 则点 M 一定在平面 ABC 点不共线， 是平面 ABC 外一点，OM = O 3 3 3 上，且在△ABC 内部. 上述命题中的真命题是_____________. 解法一：①中 b 为零向量时，a 与 c 可以不共线，故①是假命题；②中 a 所在的直线其 实不确定，故②是假命题；③中当 a=0，而 b≠0 时，则找不到实数λ，使 b=λa，故③是 假命题；④中 M 是△ABC 的重心，故 M 在平面 ABC 上且在△ABC 内，故④是真命题. 1 解法二：可以证明④中 A、B、C、M 四点共面.等式两边同加 MO ，则 （ MO + OA ） 3 1 1 + （ MO + OB ） （ MO + OC ） + =0， MA + MB + MC =0，MA =－ MB － MC ， MA 即 则 3 3与 MB 、 MC 共面，又 M 是三个有向线段的公共点，故 A、B、C、M 四点共面. 答案：④ 4.设点 C（2a+1，a+1，2）在点 P（2，0，0） 、A（1，－3，2） 、B（8，－1，4）确定 的平面上，求 a 的值. 解： PA =（－1，－3，2） PB =（6，－1，4）.根据共面向量定理，设 PC =x PA +y PB ， （x、y∈R） ，则（2a－1，a+1，2）=x（－1，－3，2）+y（6，－1，4）=（－x+6y，－3x－y，2 2 .∴α=arccos . 5 5 2a − 1 = − x + 6 y , 2x+4y） ，∴ a + 1 = −3 x − y, 解得 x=－7，y=4，a=16. 2 = 2 x + 4 y. 本卷第 6 页（共 12 页） 天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！5.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2， Q 分别是 BC、 上的动点， P、 CD 且|PQ|= 2 ， 建立如下图所示的坐标系.z A1 C1 B1 D1D A Q B P x C y（1）确定 P、Q 的位置，使得 B1Q⊥D1P； （2）当 B1Q⊥D1P 时，求二面角 C1—PQ—A 的大小. 解： （1）设 BP=t，则 CQ= 2 − (2 − t ) 2 ，DQ=2－ 2 − (2 − t ) 2 . ∴B1（2，0，2） 1（0，2，2） ，D ，P（2，t，0） ，Q（2－ 2 − (2 − t ) 2 ，2，0） ， ， ∴ QB1 =（ 2 − (2 − t ) 2 ，－2，2）PD1 =（－2，2－t，2）.∵B1Q⊥D1P 等价于 QB1 · PD1 =0， 即－2 2 − (2 − t ) 2 －2（2－t）+2×2=0， 整理得 2 − (2 − t ) 2 =t，解得 t=1. 此时，P、Q 分别是棱 BC、CD 的中点，即 P、Q 分别是棱 BC、CD 的中点时，B1Q⊥ D1P；z A1 C1 B1 D1D A E B P x C Q y（2）当 B1Q⊥D1P 时，由（1）知 P、Q 分别是棱 BC、CD 的中点. 在正方形 ABCD 中，PQ∥BD，且 AC⊥BD，故 AC⊥PQ. 设 AC 与 PQ 的交点为 E，连结 C1E. ∵在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，CC1⊥底面 ABCD，CE 是 C1E 在底面 ABCD 内的射 影，∴C1E⊥PQ， 即∠C1EC 是二面角 C1—PQ—C 的平面角，∠C1EA 是二面角 C1—PQ—A 的平面角. 在正方形 ABCD 中，CE=2 ， 2本卷第 7 页（共 12 页） 天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！在 Rt△C1EC 中，tan∠C1EC=2 2 2=2 2 ，∴∠C1EC=arctan2 2 ， ∠C1EA=π－arctan2 2 . ∴二面角 C1—PQ—A 的大小是π－arctan2 2 . 培养能力 6.已知三角形的顶点是 A（1，－1，1） ，B（2，1，－1） ，C（－1，－1，－2）.试求这 个三角形的面积. 解：S ∆ABC = S ∆ABC =1 |AB||AC|sinα，其中α是 AB 与 AC 这两条边的夹角.则 21 | AB || AC | 1 − cos 2 α 21− ( AB ⋅ AC | AB || AC | )2=1 | AB || AC | 21 2=| AB | 2 ⋅ | AC | 2 −( AB ⋅ AC ) 2 .， 在本题中， AB =（2，1，－1）－（1，－1，1）=（1，2，－2） AC =（－1，－1， －2）－（1，－1，1）=（－2，0，－3） ， ∴| AB |2=12+22+（－2）2=9， | AC |2=（－2）2+02+（－3）2=13， （－2）+2·0+（－2）（－3）=－2+6=4， · AB · AC =1·101 . 2 7.证明正三棱柱的两个侧面的异面对角线互相垂直的充要条件是它的底面边长与侧棱∴S ∆ABC =1 29 × 13 − 4 2 =长的比为 2 ∶1.z BAy O C x证明：如图，以正三棱柱的顶点 O 为原点，棱 OC、OB 为 y 轴、z 轴，建立空间直角坐 、B（0，0，b） 、C（0， 标系，设正三棱柱底面边长与棱长分别为 2a、b，则 A（ 3 a，a，b）本卷第 8 页（共 12 页） 天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！2a，0）.因为异面对角线 OA⊥BC ⇔ OA · BC =0 ⇔ （ 3 a，a，b）（0，2a，－b）=2a2 · －b2=0 ⇔ b= 2 a，即 2a∶b= 2 ∶1，所以 OA⊥BC 的充要条件是它的底面边长与侧棱长 的比为 2 ∶1. 探究创新 8.如图，ABCD 是边长为 a 的菱形，且∠BAD=60°，△PAD 为正三角形，且面 PAD⊥ 面 ABCD.PF A D E C B（1）求 cos〈 AB ， PD 〉的值； （2）若 E 为 AB 的中点，F 为 PD 的中点，求| EF |的值； （3）求二面角 P—BC—D 的大小. 解： （1）选取 AD 中点 O 为原点，OB、AD、OP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立 空间直角坐标系，则 A（0，－ 0）. ∴ AB =（a a 3 3 ，0） ，B（ a，0，0） ，P（0，0， a） ，D（0， ， 2 2 2 2a a 3 3 a， ，0） PD =（0， ，－ ， a） ， 2 2 2 2AB ⋅ PD | AB || PD |= 则 cos AB ，PD 〉 〈=3 a a 3 a × 0 + × + 0 × (− a) 2 2 2 2 ( 3 2 a a 3 2 a) + ( ) 2 + 0 2 × 0 2 + ( ) 2 + (− a) 2 2 2 2=1 . 4（2）∵E、F 分别为 AB、PD 的中点， ∴E（a a 3 3 a，－ ，0） ，F（0， ， a）. 4 4 4 43 a a 3 2 10 a − 0) 2 + (− − ) 2 + (0 − a) = a. 4 4 4 4 4则| EF |= (（3）∵面 PAD⊥面 ABCD，PO⊥AD， ∴PO⊥面 ABCD. ∵BO⊥AD，AD∥BC，∴BO⊥BC. 连结 PB，则 PB⊥BC， ∴∠PBO 为二面角 P—BC—D 的平面角. 在 Rt△PBO 中，PO=3 3 a，BO= a， 2 2本卷第 9 页（共 12 页） 天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！3 a PO ∴tan∠PBO= = 2 =1.则∠PBO=45°. BO 3 a 2 故二面角 P—BC—D 的大小为 45°. ●思悟小结 本节知识是代数化方法研究几何问题的基础， 向量运算分为向量法与坐标法两类， 以通 过向量运算推理，去研究几何元素的位置关系为重点.利用两个向量（非零）垂直 ⇔ 数量积 为零，可证明空间直线垂直；利用数量积可计算两异面直线的夹角，可求线段的长度；运用 共面向量定理可证点共面、线面平行等；利用向量的射影、平面的法向量，可求点面距、线 面角、异面直线的距离等. ●教师下载中心 教学点睛 1.要使学生理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、点乘的 坐标表示以及两点间的距离、夹角公式.通过解题，会应用空间向量的坐标运算解决立体几 何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题. 2.运用空间向量的坐标运算解决几何问题时，首先要恰当建立空间直角坐标系，计算出 相关点的坐标，进而写出向量的坐标，再结合公式进行论证、计算，最后转化为几何结论. 拓展题例 【例 1】 已知 A（3，2，1） 、B（1，0，4） ，求： （1）线段 AB 的中点坐标和长度； （2）到 A、B 两点距离相等的点 P（x，y，z）的坐标满足的条件. 1 1 解： （1）设 P（x，y，z）是 AB 的中点，则 OP = （ OA + OB ）= ［ （3，2，1）+ 2 2 5 5 （1， 4） = 0， ］ （2， 1， ） ∴点 P 的坐标是 ， （2， 1， ） dAB= (1 − 3) 2 + (0 − 2) 2 + (4 − 1) 2 = 17 . ， 2 2 （2）设点 P（x，y，z）到 A、B 的距离相等，则 ( x − 3) 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 1) 2 = ( x − 1) 2 + y 2 + ( z − 4) 2 . 化简得 4x+4y－6z+3=0，即为 P 的坐标应满足的条件. 评述： 空间两点 P1 1， 1， 1） P2 2， 2， 2） （x y z 、 （x y z 的中点为 （ 且|P1P2|= ( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2 + ( z1 − z 2 ) 2 . 【例 2】 棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，在棱 DD1 上是否存在点 P 使 B1D ⊥面 PAC？z D1 A1 P D A x B C y B1 C1x1 + x 2 y1 + y 2 z1 + z 2 ， ， ） ， 2 2 2解：以 D 为原点建立如图所示的坐标系，本卷第 10 页（共 12 页）设存在点P （0，0，z ）， AP =（－a ，0，z ）， AC =（－a ，a ，0）， 1DB =（a ，a ，a ）， ∵B 1D ⊥面P AC ，∴1DB ²AP =0，1DB ²AC =0.∴－a 2+az =0.∴z =a ，即点P 与D 1重合. ∴点P 与D 1重合时，DB 1⊥面P AC .【例3】 （2004年春季安徽）已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1中底面边长和侧棱长均为a ，侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，A 1B =26 a .（1）求异面直线AC 与BC 1所成角的余弦值； （2）求证：A 1B ⊥面AB 1C .解：过点B 作BO ⊥AC ，垂足为点O ，则BO ⊥侧面ACC 1A 1，连结A 1O ，在Rt △A 1BO 中，A 1B =26a ，BO =23a ，∴A 1O =23a .又AA 1=a ，AO =2a .∴△A 1AO 为直角三角形，A 1O ⊥AC ，A 1O ⊥底面ABC .解法一：（1）∵A 1C 1∥AC ，∴∠BC 1A 1为异面直线AC 与BC 1所成的角. ∵A 1O ⊥面ABC ，AC ⊥BO ，∴AC ⊥A 1B .∴A 1C 1⊥A 1B . 在Rt △A 1BC 1中，A 1B =26a ，A 1C 1=a ，∴BC 1=210 a .∴cos ∠BC 1A 1=510.∴异面直线AC 与BC 1所成角的余弦值为510.（2）设A 1B 与AB 1相交于点D ，∵ABB 1A 1为菱形，∴AB 1⊥A 1B .又A 1B ⊥AC ，AB 1与AC 是平面AB 1C 内两条相交直线，∴A 1B ⊥面AB 1C .解法二：（1）如图，建立坐标系，原点为BO ⊥AC 的垂足O .由题设条件可得B （23 a ，0，0），C 1（0，a ，23a ），A （0，－21a ，0），C （0，21a ，0），∴1BC =（－23a ，a ，23a ），AC =（0，a ，0）.设AC 与1BC 的夹角为θ，则cos θ11aa a ⋅2102=510，∴异面直线AC 与BC 1所成角的余弦值为510.（2）A 1（0，0，23a ），B （23a ，0，0），∴B A 1 =（23a ，0，－23a ），AC =（0，a ，0），B A 1²AC =0.∴A 1B ⊥AC .∵ABB 1A 1为菱形，∴A 1B ⊥AB 1.又∵AB 1与AC 为平面AB 1C 内两条相交直线，∴A 1B ⊥平面AB 1C .。