2006年高考第一轮复习数学：101分类计数原理、分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理分类计数原理和分步计数原理是组合数学中常用的两种计数方法，它们在解决排列组合问题时起着至关重要的作用。
本文将分别介绍这两种计数原理的概念、应用和相关实例，帮助读者更好地理解和掌握这两种计数方法。
一、分类计数原理。
分类计数原理是指将一个计数问题分解为若干个子问题，然后将各个子问题的计数结果相加，从而得到原问题的计数结果的方法。
通常适用于问题的解决方法可以分为几种不同情况的情况。
例如，某班有5个男生和3个女生，要从中选出3名学生组成一个学习小组，其中至少有一名女生。
我们可以分别计算选出1名女生、2名女生和3名女生的情况，然后将它们的计数结果相加，即可得到最终的结果。
二、分步计数原理。
分步计数原理是指将一个计数问题分解为若干个步骤，分别计算每个步骤的计数结果，然后将各个步骤的计数结果相乘，从而得到原问题的计数结果的方法。
通常适用于问题的解决方法可以分为几个步骤的情况。
例如，某班有5个男生和3个女生，要从中选出3名学生组成一个学习小组，其中至少有一名女生。
我们可以分别计算选出第一名学生、第二名学生和第三名学生的情况，然后将它们的计数结果相乘，即可得到最终的结果。
三、应用实例。
下面我们通过具体的实例来说明分类计数原理和分步计数原理的应用。
实例1，某班有5个男生和3个女生，要从中选出3名学生组成一个学习小组，其中至少有一名女生。
采用分类计数原理，我们可以分别计算选出1名女生、2名女生和3名女生的情况，然后将它们的计数结果相加，即可得到最终的结果。
实例2，某班有5个男生和3个女生，要从中选出3名学生组成一个学习小组，其中至少有一名女生。
采用分步计数原理，我们可以分别计算选出第一名学生、第二名学生和第三名学生的情况，然后将它们的计数结果相乘，即可得到最终的结果。
四、总结。
分类计数原理和分步计数原理是解决排列组合问题的两种常用方法，它们在实际问题中有着广泛的应用。
在使用这两种计数原理时，我们需要根据具体的问题特点选择合适的方法，并且要注意计数过程中的细节，以确保得到正确的计数结果。
分类和分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理一、分类加法计数原理：完成一件事情可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法注：在分类计数原理中，n 类办法中相互独立，无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事. 例1. 一个书包内有7本不同的小说，另一个书包内有5本不同的教科书，从两个书包中任取一本书的取法有多少种？例2. 在所有的两位数中个位数字比十位数字大的两位数有多少个？（合理分类）二、分步乘法计数原理：完成一件事情需要n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的办法……，做第n 步有m n 种不同的办法，那么完成这件事共有N 种不同的方法.N=n m m m ⨯⨯⨯ 21 注：分步计数原理各步骤相互依存，只有各步骤都完成才能做完这件事.例1. 用0，1，2，3，4排成可以重复的5位数，若中间的三位数字各不相同，首末两位数字相同，这样的5位数共有多少个？例2. （1）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本有多少种不同的分法？（2）若将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？若3位旅客到4个旅馆住宿，又是多少种住宿方法？ 例3. 将红、黄、绿、黑四种颜色涂入图中的五个区域，要求相邻的区域不同色，问有多少种不同的涂色方法？变式训练：1、如图，用6种不同的颜色把图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，若相邻区域 不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有多少种？2、如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有多少种？三、计数原理综合应用作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成” 方法：（1）列举数数法：就是完成一件事方法不是很多，一一列举出来，然后一种一种地数，这种方法适用于：数目较少的问题.（2）字典排序法：把所有的字母或数字或其它，按照顺序依次排出来，所有的字母或数字或其它排完后结束.（3）模型法：根据题意构建相关的图形，利用图形构建两个原理的模型.AB C D典型例题分析（先分类再分步.）【例1】 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同.（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？变式训练1 在夏季，一个女孩有红、绿、黄、白4件上衣，红、绿、黄、白、黑5条裙子，3双不同鞋子，3双不同丝袜，这位女孩夏季某一天去学校上学，有多少种不同的穿法?变式训练2 有不同的中文书7本，不同的英文书5本，不同的法文书3本，若从中选出不属于同一种文字的2本书，共有多少种选法？【例2】 有四位同学参加三项不同的竞赛.(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同结果？变式训练1 火车上有十名乘客，沿途有五个车站，乘客下车的可能方式有多少种？变式训练2 有4种不同溶液倒入5只不同的量杯,如果溶液足够多,每只量杯只能倒入一种溶液,有几种不同倒法?【例3】电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？【例4】d c b a ,,,排成一行，其中a 不排第一，b 不排第二，c 不排第三，d 不排第四的不同排法共有多少种？【例5】 甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？变式训练1 甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，各取1张，其中甲、乙、丙不能取自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？变式训练2 设有编号①，②，③，④，⑤的5个球和编号为1，2，3，4，5的5个盒子，现将这5个球投入这5个盒子内，要求每个盒子内投入一个球，并且恰好有2个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法总数为多少【例6】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种.（以数字作答） 654321四、课堂练习1.一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有_______________种.若是选取两本书且它们不相同则有_______________种2.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有______种不同的选法.3.一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有__________种.4.从分别写有1，2，3，……，9的九张数字卡片中，抽出两张数字和为奇数的卡片，共有_______种不同的抽法.5.从0，1，2，…，9这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法有______种。
分类计数原理与分步计数原理
高中数学《分类计数原理与分步计数原理》说课稿设计
高中数学《分类计数原理与分步计数原理》说课稿设计各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢“分类计数原理与分步计数原理”的说课提纲各位领导、老师，你们好！我说课的内容是“分类计数原理与分步计数原理”。
一、本节内容的地位与重要性“分类计数原理与分步计数原理”是《高中数学》一节独特内容。
这一节课与排列、组合的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解分类计数原理与分步计数原理，还为日后排列、组合和二项式定理的教学做好准备,起到奠基的重要作用。
二、关于教学目标的确定根据两个基本原理的地位和作用，我认为本节课的教学目标是：（1）使学生正确理解两个基本原理的概念；（2）使学生能够正确运用两个基本原理分析、解决一些简单问题；（3）提高分析、解决问题的能力（4）使学生树立“由个别到一般，由一般到个别”的认识事物的辩证唯物主义哲学思想观点。
三、关于教学重点、难点的选择和处理中学数学课程中引进的关于排列、组合的计算公式都是以两个计数原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本原理，所以正确理解两个基本原理并能解决实际问题是学习本章的重点内容。
正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件．而原理中提到的分步和分类，学生不是一下子就能理解深刻的，面对复杂的事物和现象学生对分类和分步的选择容易产生错误的认识，所以分类计数原理和分步计数原理的准确应用是本节课的教学难点。
必需使学生认清两个基本原理的实质就是完成一件事需要分类还是分步，才能使学生接受概念并对如何运用这两个基本原理有正确清楚的认识。
教学中两个基本问题的引用及引伸，就是为突破难点做准备。
四、关于教学方法和教学手段的选用根据本节课的内容及学生的实际水平，我采取启发引导式教学方法并充分发挥电脑多媒体的辅助教学作用。
启发引导式作为一种启发式教学方法，体现了认知心理学的基本理论。
符合教学论中的自觉性和积极性、巩固性、可接受性、教学与发展相结合、教师的主导作用与学生的主体地位相统一等原则，教学过程中，教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。
分类计数原理和分步计数原理
拓展应用：离散数学、计算机科学
离散数学
分类计数和分步计数原理在离散数学中被广泛应用 于组合问题、图论、递归和算法等领域。
计算机科学
分类计数和分步计数原理在计算机科学中被用于解 决计算复杂性、优化问题和算法设计等。
总结和应用建议
分类计数原理和分步计数原理是数学和计算机科学中重要的计数方法。了解 它们的定义、应用和联系，可以帮助我们解决各种计数问题。
2 区别
分类计数原理是将问题分为不同的分类进行计数，而分步计数原理是将问题分解为多个 步骤进行计数。
实例应用：组合、排列、二项式定理等
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
组合
通过分类计数，可以计算出从给定集合
排列
2
中选择不同元素的组合数。
使用分步计数，可以计算出在给定元素
集合中选择和排序元素的排列数。
3
二项式定理
通过应用分步计数原理，可以推导出二 项式定理，用于展开二次方和三次方的 多项式。
分类计数原理的定义和应用
分类计数原理是一种通过将问题分成不同分类的方式来计数。它在组合数学、离散数学和计算机科学中被广泛 应用。
分步计数原理的定义和应用
分步计数原理是一种通过将问题分解为多个步骤来计数的方法。它通常在组合数学和排列问题中使用。
分类计数原理和分步计数原理的联系 和区别
1 联系
两种原理都可以用于解决计数问题，但是采用不同的分解方式。
分类计数原理和分步计数 原理
本演示将介绍分类计数原理和分步计数原理。了解基本概念、定义、应用、 联系和区别，并深入探讨实例应用以及拓展领域。最后进行总结和应用建议。
基本概念
分类计数原理
通过将问题分解为各个独立分类，然后对每个 分类进行计数，得到最终的计数结果。
高考数学第一轮复习_分类分步计数原理(例题解析含答案)
分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础梳理1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事情共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．两个原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类，简单的说分类的标准是“不重不漏，一步完成”．而分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这件事的一种方法，简单的说步与步之间的方法“相互独立，多步完成”．双基自测1．(人教A版教材习题改编)由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有()．A．238个B．232个C．174个D．168个解析可用排除法由0,1,2,3可组成的四位数共有3×43＝192(个)，其中无重复的数字的四位数共有3A33＝18(个)，故共有192－18＝174(个)．答案 C2．(2010·广州模拟)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}．现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成多少个集合()．A．24个B．36个C．26个D．27个解析C14C13＋C14C12＋C13C12＝26，故选C.答案 C3．(2012·滨州调研)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()．A．6种B．12种C．24种D．30种解析分步完成．首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24(种)，故选C.4．(2010·湖南)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()．A．10 B．11 C．12 D．15解析若4个位置的数字都不同的信息个数为1；若恰有3个位置的数字不同的信息个数为C34；若恰有2个位置上的数字不同的信息个数为C24，由分类计数原理知满足条件的信息个数为1＋C34＋C24＝11.5．某电子元件是由3个电阻组成的回路，其中有4个焊点A、B、C、D，若某个焊点脱落，整个电路就不通，现在发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况共有________种．解析法一当线路不通时焊点脱落的可能情况共有2×2×2×2－1＝15(种)．法二恰有i个焊点脱落的可能情况为C i4(i＝1,2,3,4)种，由分类计数原理，当电路不通时焊点脱落的可能情况共C14＋C24＋C34＋C44＝15(种)．考向一分类加法计数原理【例1】►(2011·全国)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有()．A．4种B．10种C．18种D．20种[审题视点] 由于是两类不同的书本，故用分类加法计数原理．解析赠送一本画册，3本集邮册，共4种方法；赠送2本画册，2本集邮册共C24种方法，由分类计数原理知不同的赠送方法共4＋C24＝10(种)．【训练1】如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．解析把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)；第二类，有两条公共边的三角形共有8(个)．由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．考向二分步乘法计数原理【例2】►(2011·北京)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个(用数字作答)．[审题视点] 组成这个四位数须分4步完成，故用分步乘法计数原理．解析法一用2,3组成四位数共有2×2×2×2＝16(个)，其中不出现2或不出现3的共2个，因此满足条件的四位数共有16－2＝14(个)．法二满足条件的四位数可分为三类：第一类含有一个2，三个3，共有4个；第二类含有三个2，一个3共有4个；第三类含有二个2，二个3共有C24＝6(个)，因此满足条件的四位数共有2×4＋C24＝14(个)．考向三涂色问题【例3】►如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？[审题视点] 根据乘法原理逐块涂色，要注意在不相邻的区域内可使用同一种颜色．解法一如题图分四个步骤来完成涂色这件事：涂A有5种涂法；涂B有4种方法；涂C有3种方法；涂D有3种方法(还可以使用涂A的颜色)．根据分步计数原理共有5×4×3×3＝180种涂色方法．法二由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同，共有A35＝60种涂法；又D 与B、C相邻、因此D有3种涂法；由分步计数原理知共有60×3＝180种涂法．【训练3】如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．解法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论．由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法．当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法，若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420(种)．法二以S、A、B、C、D顺序分步染色第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)．规范解答20——如何解决涂色问题【问题研究】涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为新课标高考的命题热点. 【解决方案】涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法.【示例】►(本小题满分12分)用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？[解答示范] 如图所示，将4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．(2分)①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有A24＝12种不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法．由分步计数原理可知，有5×12×3＝180种不同的涂法；(6分)②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻西格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步计数原理可知．有5×4×4＝80种不同的涂法．由分类加法计数原理可得，共有180＋80＝260种不同的涂法．(12分)。
【名师一号】高考数学一轮总复习 10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件
知识点二
分步乘法计数原理
完成一件事情需要分成 n 个不同的步骤，完成第一步有 m1 种不同的方法，完成第二步有 m2 种不同的方法，…，完成第 n 步 有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N＝ m1×m2×…×mn 种不同的方法.
知识点三
两个原理的区别与联系
分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及 完成一件事情 的不同方法的种数． 它们的区别在于： 分类加法计数原理与分类 有 关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事； 分步乘法计数原理与 分步 有关，各个步骤 相互依存 各个步骤都完成了，这件事才算完成． ，只有
解析 当 x＝1,2,3,4,5 时，y 值依次有 5,4,3,2,1 个，由分类加
法计数原理，不同的数据对(x，y)共有 5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．
答案 15
知识点二 3.判一判
分步乘法计数原理
(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法 是各不相同的．( )
(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何 一个单独的步骤都能完成这件事．( )
对 点 自 测 知识点一 1.判一判 (1) 在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相 同．( ) 分类加法计数原理
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成 这件事．( )
答案 (1)× (2)√
2 ．若 x， y∈ N*，且 x ＋ y≤6 ，则有序自然数对 (x， y) 共有 __________个．
备考知考情 独立考查两个计数原理的题目出现的较少， 但有时也会出现， 重点考查两个计数原理的应用，有时会利用分类讨论思想进行讨 论求解.
J 基础回扣· 自主学习
高考数学第一轮复习学案---计数原理
⾼考数学第⼀轮复习学案---计数原理第⼀课时：两个基本原理、排列组合的基本知识考纲要求：①理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理；理解排列、组合的概念；②能利⽤计数原理推导排列数公式、组合数公式；③会⽤以上原理和概念解决⼀些简单的实际问题. ⼀、两个基本原理：1、分类加法计数原理：做⼀件事，完成它可以有n 类办法，在第⼀类办法中有m 1种不同的办法；在第⼆类办法中有m 2种不同的办法……在第n 类办法中有m n 种不同的办法，那么完成这件事共有N=m 1+m 2+…..+ m n 种不同的办法.2、分步乘法计数原理：做⼀件事，完成它需要分成n 个步骤，做第⼀步有m 1种不同的办法；做第⼆步有m 2种不同的办法……做第n 步有m n 种不同的办法,那么完成这件事共有N=m 1*m 2*…..* m n 种不同的办法.3、两个原理的共同点和不同点共同点：都是有关做⼀件事的不同⽅法的种数问题；不同点：（1）分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种⽅法相互独⽴，⽤其中任何⼀种⽅法都可以做完这件事；（2）分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的⽅法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事.▲要注意“类”和“类”的独⽴性，“步”与“步”的连续性. ⼆、排列1、排列的概念：⼀般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素，按照⼀定的顺序排成⼀列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的⼀个排列.2、排列数：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的排列数，记作m n A .3、排列数公式：（1）(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+ （,,m n N m n *∈≤）▲(1)(2)321!n n A n n n n =--??= ▲0!1= （2）)!(!m n n A mn -==nnn mn mA A -- （,,m n N m n *∈≤）三、组合1、组合的概念：从n 个不同元素中,任取m(m ≤n)个元素并成⼀组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的⼀个组合.2、组合数：从n 个不同元素中取出m 个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，记作mn C .3、排列与组合的区别和联系：相同点：不同点：两者的联系：从n 个不同元素中取出m 个元素的⼀个排列可以看成先从n 个不同元素中取出m 个元素的⼀4、组合数公式：（1）!)1()2)(1(m m n n n n C mn +---=▲1n n C =； 01n C =（2）组合数性质:① =mn C mn n C -②=+mn C 1+mn C 1-m nC③1121++++++=++++m n m mn m mm mm mm C C C C C 例题与练习：1、（2010湖北⽂6）现有6名同学旁听同时进⾏的5个课外知识讲座，每名同学可⾃由选择其中的⼀个讲座，不同选法的种数是（）AABCDEF（补充题）GA ．45 B. 56 C.5654322D.6543????23、（2010全国卷2理6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡⽚放⼊3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡⽚放⼊同⼀信封，则不同的⽅法共有（）B （A ）12种（B ）18种（C ）36种（D ）54种4、（2010湖南理数7）在某种信息传输过程中，⽤4个数字的⼀个排列（数字允许重复）表⽰⼀个信息，不同排列表⽰不同信息，若所⽤数字只有0和1，则与信息0110⾄多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( ) BA.10B.11C.12D.155、（2010四川⽂9）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（）A （A ）36 （B ）32（C ）28 （D ）246、（2009⼴东7）2010年⼴州亚运会组委会要从⼩张、⼩赵、⼩李、⼩罗、⼩王五名志愿者中选派四⼈分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同⼯作，若其中⼩张和⼩赵只能从事前两项⼯作，其余三⼈均能从事这四项⼯作，则不同的选派⽅案共有( )AＡ．36种Ｂ．12种Ｃ．18种Ｄ．48种7、（2007⼴东12）如果⼀个凸多⾯体是n 棱锥，那么这个凸多⾯体的所有顶点所确定的直线共有条，这些直线中共有()f n 对异⾯直线，则(4)f = ；()f n = ．：(1)2n n +;8;n(n-2)（答案⽤数字或n 的解析式表⽰）8、（2010全国卷2⽂9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡⽚放⼊3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡⽚放⼊同⼀信封，则不同的⽅法共有( )B（A ） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种9、（2010湖北理8）现安排甲、⼄、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每⼈从事翻译、导游、礼仪、司机四项⼯作之⼀，每项⼯作⾄少有⼀⼈参加.甲、⼄不会开车但能从事其他三项⼯作，丙丁戌都能胜任四项⼯作，则不同安排⽅案的种数是（）B A ．152 B.126 C.90 D.54 作业：《⼗年》P213 Ex1-15补充题: （14分）如图，已知四边形ABCD 为矩形，A D ⊥平⾯ABE ，AE =EB =BC =2,F 为CE 上的点，且BF ⊥平⾯ACE .（1）求证：AE //平⾯BDF ；（2）求三棱锥D －ACE 的体积.（34）题7第⼆课时：⼆项式定理考纲要求：①能⽤计数原理证明⼆项式定理；②会⽤⼆项式定理解决与⼆项式展开式有关的简单问题.⼀、⼆项式定理：当n ∈N *时，nr r n r n n n n n n n b b a C b a C b a C a b a ++++++=+---......)(22211b a n ++与整体展开式⼀样，但展开式的通项不⼀样：)(b a n +的通项是b r ar n C r n T r ?-?=+1；n a b )(+的通项是.'1a r b r n C r n T r ?-?=+ 1、通项公式：第r+1项为.1r b r n ar n C r T -=+ 2、⼆项式的性质：（1）⼆项式系数的对称性在⼆项展开式中，与⾸末两端“等距离”的两项的⼆项式系数相等. （2）⼆项式系数的⼤⼩规律如果⼆项式的幂指数是偶数，中间⼀项即12+n T 的⼆项式系数最⼤；如果⼆项式的幂指数是奇数，中间两项即21+n T 与121++n T 的⼆项式系数最⼤；（3）⼆项式系数和nn n n n C C C 210=+++ ； 1422-=+++n n n n C C C ； 15312-=+++n n n n C C C ；.11--=?r n r n nCC r(1)121++++++=++++m n m mn m mm mm mm C C C C C mn m mm n n n n C C C C C 1221...+++++=++++3、⼆项式系数与项的系数的区别如n bx a )(+的展开式中，第r+1项的⼆项式系数为r n C ；第r+1项的系数为.rb r n a r n C - 4、求展开式的各项系数之和 5、最⼤系数及最⼤项的求法例题1、在2nx- 的展开式中，只有第5项的⼆项式系数最⼤，则展开式中常数项是________.72、（2010四川理13）6(2-的展开式中的第四项是 .－160x3、（2010全国卷2理14）若9()a x x-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ． 14、（2010湖北⽂11）在210(1)x -的展开中， 4x 的系数为______. 455、（2006江苏）10)31(xx -的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( )B（A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）66、（2006江西）在（x2006 的⼆项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当xS 等于7、(2007江西⽂5）11112210102)2()2()2(+++++++=+x a x a x a a x x ，则=++++11211a a a a ________-2 8、（2010湖北理11）在（x+）20的展开式中，系数为有理数的项共有_______项. 6【解析】⼆项式展开式的通项公式为202012020)(020)rrr r r rrr T C x C xy r --+==≤≤要使系数为有理数，则r 必为4的倍数，所以r 可为0.、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项. 9、（2005⼴东13）已知5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数与4)45(+x 的展开式中x 3的系数相等，则θcos = . 22±作业：1、（2010全国卷1⽂5）43(1)(1x --的展开式中2x 的系数是（）A(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)331+x x 的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有（C ） A.3项 B.4项 C.5项 D.6项3、（2010辽宁理13）261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为_________. -54、（2010江西理6）(82-展开式中不含．．4x 项的系数的和为（）BA.-1B.0C.1D.2 5、（2010安徽理12）6)(xy yx -展开式中，3x 的系数等于__________. 156、（2010全国卷1理5）35(1(1+-的展开式中x 的系数是（）C (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 47、已知2012(1)n nn x a a x a x a x -=++++ ，若12520a a +=，则0123(1)nn a a a a a -+-++-= ________.64补充题： (06辽宁22)已知0(),n11()()(1)k k k f x f x f --=,其中(,)k n n k N +≤∈,设02122201()()()...()...()knn n n k n n F x C f x C f x C f x C f x =+++++,[]1,1x ∈-. (I) 写出(1)k f ;(II) (▲思考)证明:对任意的[]12,1,1x x ∈-,恒有112()()2(2)1n F x F x n n --≤+--.【解析】(I)由已知推得()(1)n kk f x n k x -=-+,从⽽有(1)1k f n k =-+(II)当11x -≤≤时,212(1)22(2)2()12()(1)...(1)...21nn n kn k n n n n nF x xnC xn C xn k C x C x ----=++-+-++++当x>0时, ()0F x '>,所以()F x 在[0,1]上为增函数因函数()F x 为偶函数，所以()F x 在[-1,0]上为减函数所以对任意的[]12,1,1x x ∈-12()()(1)(0)F x F x F F -≤-0121(1)(0)(1)...(1)...2k n n n n n nF F C nC n C n k C C --=++-+-+++211(1)(0)23......k n n n nnn F F C C kC nC C ---=++++++所以12112[(1)(0)](2)[......]2k n n n n nn F F n C C C C C ---=+++++++121112(1)(0)[......]22(22)12(2)12k n n n nn nnn n F F C C C C C n n n ---+-=+++++++=-+=+--因此结论成⽴.《⼗年》P215-216： Ex2、4、6、7、9、12、15、24、29、31第三课时：排列组合的⽅法（1）⼀、特殊（元素或位置）优先法例1、（2006年上海春）电视台连续播放6个⼴告，其中含4个不同的商业⼴告和2个不同的公益⼴告，要求⾸尾必须播放公益⼴告，则共有 48 种不同的播放⽅式（结果⽤数值表⽰）. 例2、（2010重庆理9）某单位安排7位员⼯在10⽉1⽇⾄7⽇值班，每天1⼈，每⼈值班1天，若7位员⼯中的甲、⼄排在相邻两天，丙不排在10⽉1⽇，丁不排在10⽉7⽇，则不同的安排⽅案共有（）C A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种解析：分两类：甲⼄排1、2号或6、7号共有4414222A A A ?种⽅法；甲⼄排中间,丙排7号或不排7号，共有)(43313134422A A A A A +种⽅法；故共有1008种不同的排法⼆、合理分类、准确分步例3、安排5名歌⼿的演出顺序时，要求某名歌⼿不第⼀个出场，另⼀名歌⼿不最后⼀个出场，不同排法的总数是 .(78)例4、（2006年辽宁卷）5名乒乓球队员中,有2名⽼队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体⽐赛,则⼊选的3名队员中⾄少有⼀名⽼队员,且1、2号中⾄少有1名新队员的排法有____种.(48)例5、（2010浙江理17）有4位同学在同⼀天的上、下午参加“⾝⾼与体重”、“⽴定跳远”、“肺活量”、“握⼒”、“台阶”五个项⽬的下午测试握⼒，则其余三⼈对应三个项⽬且不重复，只有2种⽅法，⽽若A 下午不测试握⼒，则握⼒测试有BCD3个⼈选，其余三个项⽬有3种⽅案，故共有24（2+3×3）=264种安排.例6、（2010四川理10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（）C （A ）72（B ）96 （C ） 108 （D ）144 解析：先选⼀个偶数字排个位，有3种选法①若5在⼗位或⼗万位，则1、3有三个位置可排，32232A A ＝24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222A A ＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个答案：C三、相邻（捆绑法）与不相邻（插空法）问题例7、有8本互不相同的书，其中数学书3本，外⽂书2本，其他书3本，若将这些书排成⼀列放在书架上，则数学书恰好排在⼀起、外⽂书也恰好排在⼀起的排法共有_____种. 1440.例8、（2010北京理4）8名学⽣和2位⽼师站成⼀排合影，2位⽼师不相邻的排法种数为( )A （A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C例9、⾼三（⼀）班学要安排毕业晚会的4各⾳乐节⽬，2个舞蹈节⽬和1个曲艺节⽬的演出顺序，要求两个舞蹈节⽬不连排，则不同排法的种数是（）B 5256A A ＝3600（A ）1800 （B ）3600 （C ）4320 （D ）5040 例10、在数字1,2，3与符号“＋”，“－”五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（）B A ．6 B . 12 C. 18 D . 24 四、先选后排法例11、某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区⽀教(每地1⼈)，其中甲和⼄不同去，则不同的选派⽅案共有种．解析：可以分情况讨论，①甲去，则⼄不去，有3464C A ?=480种选法；②甲不去，⼄去，有3464C A ?=480种选法；③甲、⼄都不去，有46A =360种选法；共有1320种不同的选派⽅案．五、定序均分问题先排后除法例12、（2006年湖北）某⼯程队有6项⼯程需要先后单独完成，其中⼯程⼄必须在⼯程甲完成后才能进⾏，⼯程丙必须在⼯3320A A =例13、（2006年江苏）今有2个红球、3个黄球、4个⽩球，同⾊球不加以区分，将这9个球排成⼀列有_______种不同的⽅法.992342341260A A A A =,本题主要考查不全相异元素的全排列作业：《⼗年》P213 16-29第四课时：排列组合的⽅法（2）六、先分组后分配法（平均分组与不平均分组）例1、某校安排5个班到4个⼯⼚进⾏社会实践，每个班去⼀个⼯⼚，每个⼯⼚⾄少安排⼀个班，不同的安排⽅法共有______种．（240）例2、5名志愿者分到3所学校⽀教，每个学校⾄少去⼀名志愿者，则不同的分派⽅法共有( ). A （A ）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种解：⼈数分配上有1,2,2与1,1,3两种⽅式，若是1,2,2，则有3113521322C C C A A ?＝60种，若是1,1,3，则有1223542322C C C A A ?＝90种，所以共有150种，选A例3、（2010江西理14）将6位志愿者分成4组，其中两个各2⼈，另两个组各1⼈，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配⽅案有种. 1080【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识，重点考查化归转化和应⽤知识的意识.先分组，考虑到有2个是平均分组，得22116421222C C C C A A 两个两⼈组两个⼀⼈组，再全排列得：221146421422221080C C C C A A A ??= 七、相同元素分配的隔板法例4、将⾃主招⽣的10个名额分配给7所学校，每校⾄少1名，则名额的分配⽅式有_________种.84解：问题等价于在10个相同元素的9个间隔（除去两端）中插⼊6块隔板隔成7份，共有8469=C 种. 例5、⽅程x+y+z=8（x 、y 、z 都是⾮负整数）有________组解. 45210=C例6、将⾃主招⽣的10个名额分配给3所学校，每校⾄少2名，则名额的分配⽅式有_________种.1526=C⼋、等价转化法：正难则反、分排问题连排处理等例7、从4名男⽣和3名⼥⽣中选出3⼈，分别从事三项不同的⼯作，若这3⼈中⾄少有1名⼥⽣，则选派⽅案共有（）解析：从全部⽅案中减去只选派男⽣的⽅案数，共有3374A A -=186种，选B.（A ）108种（B ）186种（C ）216种（D ）270种例8、有两排座位，前排10个座位，后排11个座位，现安排两⼈就座，如果因故后排中间3个座位不能坐，并且这2⼈不能左右相邻，那么不同排法的种数是________.2218215A A -=276例9、（2006年全国卷I ）设集合{}1,2,3,4,5I =.选择I 的两个⾮空⼦集A 和B ，要使B 中最⼩的数⼤于A 中最⼤的数，则不同的选择⽅法共有( )种.B A ．50 B ．49 C ．48 D ．47 解析：显然A B =? ，设A B C = ，则C 是I 的⾮空⼦集，且C 中元素不少于2个（当然，也不多于5个）；另⼀⽅⾯，对I 的任何⼀个k （25k ≤≤）元⼦集C ，我们可以将C 中元素从⼩到⼤排列，排好后，相邻数据间共有k -1个空档，在任意⼀个空挡间插⼊⼀个隔板，隔板前的元素组成集合A ，隔板后元素组成集合B . 这样的A 、B ⼀定符合条件，且集合对{A ，B }⽆重复.综上，所求为：213141515152535449C C C C C C C C +++=例10、8⼈排成前后两排，每排4⼈，其中有2个⼥⽣要排在前排，另有2个个⼦⾼的要排在后排，共有_____种不同的排法. =??442424A A A 3456九、染⾊、⼏何计数问题例11、某城市在中⼼⼴场建造⼀个扇环形花圃，花圃分为6个部分，如图，现要栽种4种不同颜⾊的花，每⼀部分栽种⼀种且相邻部分不能栽种同样颜⾊的花，有______种不同的栽种⽅法.120例12、⼀个地区分为5个⾏政区域，如右上图，现给地图着⾊，要求相邻区域不得使⽤同⼀种颜⾊.现有四种颜⾊可供选择，则不同的着⾊⽅法共有种.72例13、将⼀个四棱锥的每个顶点染上⼀种颜⾊，并使同⼀条棱上的两端异⾊，如果只有5种颜⾊可供使⽤，求不同的涂⾊⽅法总数．420例14、现⽤4种颜⾊给三棱柱的6个顶点涂⾊，要求同⼀条棱的两端点的颜⾊不同，4种颜⾊全部⽤上，有_________种不同的涂⾊⽅案.216例15、（2010天津理10）如图，⽤四种不同颜⾊给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂⾊，要求每个点涂⼀种颜⾊，且图中每条线段的两个端点涂不同颜⾊，则不同的涂⾊⽅法⽤（） B （A ）288种（B ）264种（C ）240种（D ）168种【解析】(1)B,D,E,F ⽤四种颜⾊，则有441124A ??=种涂⾊⽅法；(2)B,D,E,F ⽤三种颜⾊，则有334422212192A A ??+=种涂⾊⽅法；(3)B,D,E,F ⽤两种颜⾊，则有242248A ??=种涂⾊⽅法；共有24+192+48=264种不同的涂⾊⽅法.例13、( 2006年湖南卷）过平⾏六⾯体ABCD-A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线,其中与平⾯DBB 1D 1平⾏的直线共有 ( ) D A.4条 B.6条 C.8条 D.12条例14、（2006年上海卷）如果⼀条直线与⼀个平⾯垂直，那么，称此直线与平⾯构成⼀个“正交线⾯对”．在⼀个正⽅体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平⾯构成的“正交线⾯对”的个数是．36 作业：《⼗年》P213 Ex30-45第五课时：习题课题组⼀ (排队问题、相邻、不相邻、特殊位置、特殊元素、定序、分排等)1、从8⼈中选5⼈排成⼀排照相，每次拍照时甲或⼄两⼈中要有⼀⼈排在正中间，有____种不同的排法.( 1680247=A )2、从8⼈中选5⼈排成⼀排照相，若选到甲或⼄，他们两⼈都不能排在正中间，有____种不同的排法.( 47583624461456250402A A A A A C A -==++)3、4名男⽣和5名⼥⽣排成⼀横队，其中甲、⼄都不能排在两端，有______种不同的排法.（7727A A ）4、4名男⽣和5名⼥⽣排成⼀横队，任何两个男⽣不能连排在⼀起，有______种不同的排法.（4655A A ）5、4名男⽣和5名⼥⽣排成⼀横队，男⼥⽣相间，有______种不同的排法.（5544A A ）6、4名男⽣和5名⼥⽣排成⼀横队，男⽣不能都排在⼀起，有______种不同的排法.（664499A A A -）7、4名男⽣和5名⼥⽣排成⼀横队，男、⼥⽣各在⼀边，有______种不同的排法.（55442A A ）8、4名男⽣和5名⼥⽣排成⼀横队，其中甲在⼄的左边，丙在⼄的右边，有______种不同的排法.（3399A A ）9、4名男⽣和5名⼥⽣排成前后两⾏，男、⼥⽣各在⼀⾏，有______种不同的排法.（55442A A ）题组⼆（分组分配问题、区分均匀与⾮均匀分组）1、有6本不同的书，甲⼄丙3⼈每⼈2本，有_____种不同的分法.( 222426C C C )2、有6本不同的书，分给甲⼄丙3⼈，⼀⼈1本，⼀⼈2本，⼀⼈3本，有_____种不同的分法.(3 3332516A C C C )3、有6本不同的书，分给甲1本，⼄2本，丙3本，有_____种不同的分法.( 332516C C C )4、有6本不同的书，分成3堆，每堆2本，有_____种不同的分法.(33222426A C C C )5、有6本不同的书，分成3堆，⼀堆1本，⼀堆2本，⼀堆3本，有_____种不同的分法.(332516C C C ) 6、有6本不同的书，分成3堆，有2堆各1本，另⼀堆4本，有_____种不同的分法.(22441516A C C C )7、有6本不同的书，分给甲⼄丙3⼈，其中甲、⼄各1本，丙4本，有_____种不同的分法.(441516C C C ) 8、有6本不同的书，分给甲⼄丙3⼈，其中两⼈各1本，另⼀⼈4本，有_____种不同的分法.( 332244151C C C )题组三(排列有序、组合⽆序、排列组合不能重复选取，能重复选取为次幂问题，相同元素的隔板模型) 1、3个不同的⼩球放进4个不同的盒⼦，有_______种放法.34=642、3个不同的⼩球放进4个不同的盒⼦，不同的⼩球必须放进不同的盒⼦，有_______种放法.34A =243、3个相同的⼩球放进4个不同的盒⼦，有_______种放法. 142434C A C ++=204、3个相同的⼩球放进4个不同的盒⼦，每个盒⼦放不超过1个⼩球，有_______种放法. 34C =45、4个不同的⼩球放进3个不同的盒⼦，每个盒⼦⾄少放⼊⼀个⼩球，有_______种放法. 3324A C =366、4个相同的⼩球放进3个不同的盒⼦，每个盒⼦⾄少放⼊⼀个⼩球，有_______种放法. 13C =3 7、4个不同的⼩球放进3个相同的盒⼦，每个盒⼦⾄少放⼊⼀个⼩球，有_______种放法. 24C =6 8、4个不同的⼩球放进3个相同的盒⼦，有_______种放法. 44142224242C C C C C+++=149、12个相同的⼩球放进编号为1、2、3、4的盒⼦中，要求每个盒⼦中的⼩球个数不⼩于其编号数，有_______种不同的放法. （转化为隔板模型1035=C ）题组四1、8个⼈分配到4辆车上⼯作，每车两⼈，若车不相同，车上⼯种相同，有_____种不同的分配⽅法.2、8个⼈分配到4辆车上⼯作，每车两⼈，若车不相同，车上⼯种不同，有_____种不同的分配⽅法.3、8个⼈分配到4辆车上⼯作，每车两⼈，若车相同，车上⼯种相同，有_____种不同的分配⽅法.4、8个⼈分配到4辆车上⼯作，每车两⼈，若车相同，车上⼯种不同，有_____种不同的分配⽅法.1、22242628CC C C2、88A 3、22242628AC C C C 4、42244222426284488)(A AC C C C AA 或作业：《备考指南练习册》P203-204补充：设函数()f x 是定义在[1,0)(0,1]- 上的奇函数，当[1,0)x ∈-时，21()2f x a x x=+(a 为实数）（1）当(0,1]()x f x ∈时，求的解析式；21()2f x a x x=-（2）若()f x 在]1,0(上为增函数，求a 的取值范围. 1a ≥-。
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第十章 排列、组合和二项式定理●网络体系总览计数原理排列数公式二项式定理组合数公式 通项公式二项式系数性质排列组合 排列与组合组合数性质●考点目标定位1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.2.理解排列与组合的意义，掌握排列数与组合数的计算公式，掌握组合数的两个性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.3.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题. ●复习方略指南排列与组合是高中数学中，从内容到方法都比较独特的一部分.其重点是在熟练应用公式的基础上，运用两个基本原理，解决计数应用题.二项式定理的重点是二项展开式及通项公式的联系和应用.本章内容高考所占比重不大，经常以选择题、填空题的形式出现，但对思维能力要求较高，在复习中，要注意通过典型例题，掌握分析问题的方法，总结解题规律.10.1 分类计数原理、分步计数原理●知识梳理分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，它贯穿于全章学习的始终，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决，是本章学习的重点.特别提示 正确区分和使用两个原理是学好本章的关键，其核心是“完成一件事”是“分类”完成，还是“分步”完成.●点击双基1.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有_____________种行车路线. A.24 B.16 C.12 D.10解析：起点为C 14种可能性，终点为C 13种可能性，因此，行车路线共有C 14×C 13=12种.答案：C2.（2002年全国）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 A.8种 B.12种 C.16种 D.20种解析：有2个面不相邻即有一组对面，所以选法为C 13·C 14=12种.答案：B3.某城市的电话号码，由六位升为七位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是A.9×8×7×6×5×4×3B.8×96C.9×106D.81×105解析：电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9×105部，同理升为七位时为9×106.∴可增加的电话部数是9×106－9×105=81×105.答案：D4.72的正约数（包括1和72）共有__________个.解析：72=23×32.∴2m·3n（0≤m≤3，0≤n≤2，m，n∈N）都是72的正约数.m的取法有4种，n的取法有3种，由分步计数原理共3×4个.答案：125.（2005年春季北京，13）从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有_____________个，其中不同的偶函数共有_____________个.（用数字作答）解析：一个二次函数对应着a、b、c（a≠0）的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步计数原理，知共有二次函数3×3×2=18个.若二次函数为偶函数，则b=0.同上共有3×2=6个.答案：18 6●典例剖析【例1】电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？解：分两类：（1）幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有30×29×20=17400种结果；（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11400种结果.因此共有17400+11400=28800种不同结果.评述：在综合运用两个原理时，既要合理分类，又要合理分步，一般情况是先分类再分步.思考讨论本题为什么要先分类？由于幸运之星在哪个信箱产生对幸运伙伴的产生有影响，分步计数原理中步与步间要独立.【例2】从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?解：和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数.而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2=25=32.评述：解本题的关键是找出和为11的5组数，然后再用分步计数原理求解.深化拓展上例中选出5个数组成子集改为选出4个数呢?·24=80个.答案：C45【例3】（2003年新课程卷）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种.（以数字作答）123456解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求.（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N 1=4×3×2×2×1=48种； （2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N 2=4×3×2×2×1=48种； （3）②与④且③与⑥同色，则共有N 3=4×3×2×1=24种. 所以，共有N =N 1+N 2+N 3=48+48+24=120种.解法二：记颜色为A 、B 、C 、D 四色，先安排1、2、3有A 34种不同的栽法，不妨设1、2、3已分别栽种A 、B 、C ，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见.456C C CC DD D D DBB根据分步计数原理，不同栽种方法有N =A 34×5=120.答案：120评述：解法一是常规解法，解法二安排4、5、6时又用了分类和列举的方法. ●闯关训练 夯实基础1.（2004年全国，文5）从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，则nm等于 A.0B.41 C.21 D.43 解析：n =C 34=4，在“1、2、3、4”这四条线段中，由三角形的性质“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”知可组成三角形的有“2、3、4”，m =1.∴nm= 41. 答案：B2.（2004年黄冈检测题）某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为A.504B.210C.336D.120 解析：三个新节目一个一个插入节目单中，分别有7、8、9种方法.∴插法种数为7×8×9=504或A 99÷A 66=504.答案：A3.从1到10的正整数中，任意抽取两个相加，所得和为奇数的不同情形有__________种.解析：当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有5×5=25种. 答案：254.从图中的12个点中任取3个点作为一组，其中可构成三角形的组数是A.208B.204C.200D.196解析：在12个点中任取3个点的组合数为C 312，在同一直线上的3点的组数为20，则可构成三角形的组数为C 312－20=200.答案：C5.4棵柳树和4棵杨树栽成一行，柳树、杨树逐一相间的栽法有_____________种.解析：2A 44·A 44=1152种.答案：11526.（2001年上海）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2菜2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种_____________种.（结果用数值表示）解析：设素菜n 种，则C 25·C 2n ≥200 n （n －1）≥40，所以n 的最小值为7.答案：7 培养能力7.（2003年全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____________种.（以数字作答）①②③④⑤解析：依次染①、②、③、④、⑤.故有C 14·C 13·C 12·C 13·C 11=72种.答案：728.（理）设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子.现将这五个球投放入这五个盒子内，要求每个盒子内投放一球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法有多少种?分析：五个球分别投放到五个盒子内，恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则其他三个球必不能投放到与球的编号相同的盒子内，此时，这三个球与对应的三个盒子，就成了受限的特殊元素与特殊位置.解：先在五个球中任选两个球投放到与球编号相同的盒子内，有C 25种；剩下的三个球，不失一般性，不妨设编号为3，4，5，投放3号球的方法数为C 12，则投放4，5号球的方法只有一种，根据分步计数原理共有C 25·C 12=20种.评述：本题投放球有两种方法，一种是投入到与编号相同的盒子内，另一种是投入到与编号不同的盒子内，故应分步完成.（文）在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?分析：在0~9这10个数字中，按照题目要求组成的两位数中，个位数字不能为0和1，十位数字不能为0和9.也就是说组成两位数的数字可按个位分类或按十位分类来计算.解法一：按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个.则共有1+2+3+4+…+7+8=36（个）.解法二：按十位数字是1，2，3，4，5，6，7，8分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.则共有8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）.评述：在具体分类或分步时，常遇到困难，要多练习，多积累经验，掌握思维方法，逐步做到恰当分类，合理分步.9.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件.故报名方法种数为4×4×4×4×4=45种.（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种.故有n=5×５×５×５=54种.探究创新10.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少?解：设较小的两边长为x、y且x≤y，则x≤y≤11，x+y>11，x、y∈N*.当x=1时，y=11；当x=2时，y=10，11；当x=3时，y=9，10，11；当x=4时，y=8，9，10，11；当x=5时，y=7，8，9，10，11；当x=6时，y=6，7，8，9，10，11；当x=7时，y=7，8，9，10，11；……当x=11时，y=11.所以不同三角形的个数为1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36.评述：本题关键是列出约束条件，然后寻找x=1，2，…，11时，y的取值个数的规律，再用分类计数原理求解.●思悟小结1.分类计数原理和分步计数原理是解决排列、组合问题的理论基础.这两个原理的本质区别在于分类与分步，分类用分类计数原理，分步用分步计数原理.2.元素能重复的问题往往用计数原理.●教师下载中心教学点睛弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件.这两个原理都是指完成一件事而言的.其区别在于：（1）分类计数原理是“分类”，分步计数原理是“分步”；（2）分类计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事，分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事.拓展题例【例1】 关于正整数2160，求： （1）它有多少个不同的正因数？ （2）它的所有正因数的和是多少？ 解：（1）∵N =2160=24×33×5，∴2160的正因数为P =2α×3β×5γ，其中α=0，1，2，3，4，β=0，1，2，3，γ=0，1. ∴2160的正因数共有5×4×2=40个.（2）式子（20+21+22+23+24）×（30+31+32+33）×（50+51）的展开式就是40个正因数. ∴正因数之和为31×40×6=7440.【例2】 球台上有4个黄球，6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分，欲将此十球中的4球击入袋中，但总分不低于5分，击球方法有几种？解：设击入黄球x 个，红球y 个符合要求， 则有 x +y =4，2x +y ≥5（x 、y ∈N ），得1≤x ≤4.∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,4;1,3;2,2;3,1y x y x y x y x 相应每组解（x ，y ），击球方法数分别为C 14C 36，C 24C 26，C 34C 16，C 44C 06. 共有不同击球方法数为C 14C 36+C 24C 26+C 34C 16+C 44C 06=195.。