数列与极限部分复习讲义
高一数学第四章知识点全部
高一数学第四章知识点全部高一数学第四章主要学习了数列与数列的极限，这是一个非常重要的数学概念。
通过学习数列与极限，我们可以更好地理解数学中的序列与函数，从而为后续高中数学的学习打下坚实的基础。
在数列这一部分，我们主要学习了数列的概念、特征以及不同类型的数列。
数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的，例如1，2，3，4，5，...就是一个数列。
我们可以根据数列中的规律来计算数列的前n项和，求出数列的通项公式等。
在数列的特征这一部分，我们学习了数列的有界性、递增性与递减性。
有界性是指数列的数值在一定的范围内，不会无限制地递增或递减；递增性与递减性是指数列中的数值随着项数的增加而逐渐递增或递减。
通过研究数列的特征，我们可以更好地理解数列的性质与规律。
在数列的类型这一部分，我们学习了常见的数列形式，如等差数列与等比数列。
等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列，例如1，3，5，7，9，...就是一个等差数列；等比数列是指数列中每一项与前一项之比都相等的数列，例如1，2，4，8，16，...就是一个等比数列。
这些常见的数列形式在实际生活中有广泛的应用，比如在金融领域中的利息计算等。
除了数列的学习，我们还学习了数列的极限。
数列的极限是指数列中数值随着项数的增加无限接近于一个定值的概念。
通过数列的极限，我们可以研究数列的趋势与发展，从而更好地理解数学中的序列与函数的性质。
数列的极限也有一定的计算方法与技巧，如夹逼定理、等价无穷小等。
通过对高一数学第四章知识点的学习，我们可以更加系统地认识数列与数列的极限，并且能够合理运用这些概念与方法解决实际问题。
数列与数列的极限是数学中深入研究的核心内容，也是后续高中数学学习的基础。
掌握了数列与极限的知识，我们可以更好地理解数学的抽象性质与逻辑思维，提升自己的数学素养与解决问题的能力。
在实际应用方面，数列与数列的极限可以用来描述自然界中的各种变化规律，如人口增长、物种进化等。
数列的极限知识点归纳总结
数列的极限知识点归纳总结数列的极限是高中数学中重要的概念之一，它在解析几何、微积分等数学领域中起着重要的作用。
本文将对数列的极限进行知识点归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、定义和概念1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一组数的集合。
数列可以用公式表示，常用的表示方式为{an}或{an}∞n=1。
2. 数列的极限定义：对于数列{an}，如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有|an - a| < ε，那么称数列{an}的极限为a。
3. 数列的收敛和发散：如果数列{an}存在极限，称该数列收敛；否则，称该数列发散。
二、极限的性质1. 极限唯一性：如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。
2. 有界性：对于收敛数列{an}，存在一个正数M，使得对于任意的n，有|an| ≤ M。
3. 夹逼定理：如果{an} ≤ {bn} ≤ {cn}，并且lim an = lim cn = a，那么lim bn = a。
4. 四则运算法则：若数列{an}和{bn}收敛，并且lim an = a，lim bn = b，则有以下运算结果：- lim(an ± bn) = a ± b- lim(an · bn) = a · b- lim(an / bn) = a / b (b ≠ 0)三、重要的数列极限1. 常数数列：对于常数c，数列{an} = c（n为正整数）的极限为c。
2. 等差数列：对于等差数列{an} = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，极限为lim an = a1。
3. 等比数列：对于等比数列{an} = a1 · q^(n - 1)，其中a1为首项，q为公比，当|q| < 1时，极限为lim an = 0；当|q| > 1时，极限不存在。
4. 幂函数数列：对于幂函数数列{an} = n^p，其中p为实数，当p >0时，极限为正无穷大；当p < 0时，极限为0。
数列极限知识点归纳总结
数列极限知识点归纳总结数列是数学中的一个重要概念，由一系列有序的数字组成。
数列极限是数列在无穷项处的趋势或趋近的值。
在数学分析中，数列极限是一个基本的概念，具有广泛的应用。
本文将对数列极限的相关知识进行归纳总结，并以此为标题。
一、数列的定义和性质1. 数列的定义：数列是按照一定的规律排列的一系列数字。
2. 数列的通项公式：数列中的每一项可以用一个公式来表示，这个公式称为数列的通项公式。
3. 数列的性质：数列可以是有界的或无界的，可以是递增的或递减的，还可以是周期性的或非周期性的。
二、数列的极限1. 数列的极限定义：对于一个数列，如果随着项数的增加，数列中的元素逐渐接近一个确定的值，那么这个确定的值就是数列的极限。
2. 数列极限的表示：数列极限常用符号lim表示，写作lim(an)=a，其中an为数列的第n项，a为数列的极限。
3. 数列极限的存在性：数列的极限可能存在，也可能不存在。
如果数列极限存在，则称数列收敛；如果数列极限不存在，则称数列发散。
三、数列极限的计算方法1. 直接计算法：对于一些简单的数列，可以通过对数列的通项公式进行计算，得到数列的极限。
2. 套路法：对于一些特殊的数列，可以利用一些已知的极限结果和数列运算的性质，通过一些套路求得数列的极限。
3. 夹逼准则：对于一些复杂的数列，可以通过夹逼准则来求得数列的极限。
夹逼准则指的是如果数列a(n)≤b(n)≤c(n)，且lim(a(n))=lim(c(n))=a，那么lim(b(n))=a。
四、数列极限的性质1. 唯一性：如果数列极限存在，则极限值唯一。
2. 保号性：如果数列的极限为正数（负数），那么数列的项数足够大时，数列的元素大于（小于）零。
3. 有界性：如果数列的极限存在，则数列有界。
五、数列极限的应用1. 函数极限：函数极限是数列极限的推广，通过将自变量取为数列，将函数值作为数列的项，就可以研究函数的极限。
2. 数列极限在微积分中的应用：数列极限在微积分中有广泛的应用，如计算导数、积分等。
数列与数列极限的知识点总结
数列与数列极限的知识点总结数列是由一系列按照某种规律排列的数所组成的序列。
在数学中，数列以及数列的极限是重要的概念，对于理解数学和解决实际问题有着重要的作用。
本文将对数列与数列极限的知识点进行总结。
一、数列的定义与性质数列由一系列按照某种规律排列的数构成，可以用通项公式来表示。
通项公式的一般形式为an = f(n)，其中an表示数列的第n项，f(n)表示与项号n有关的函数。
在数列的研究中，有以下一些常见的性质和概念：1. 公差：对于等差数列，相邻两项之差的固定值称为公差，通常用d表示。
2. 公比：对于等比数列，相邻两项之比的固定值称为公比，通常用r表示。
3. 有界数列：如果数列的所有项都被某个常数M限制，即|an| ≤ M，那么称该数列为有界数列。
4. 单调数列：如果数列的项随着n的增长而递增或递减，那么称该数列为单调数列。
单调递增的数列称为递增数列，单调递减的数列称为递减数列。
二、数列极限的概念数列极限描述了数列中的项随着项号无限增大时的趋势。
若某个数列an当n趋近于无穷大时有一个确定的常数L与之对应，即lim(n->∞)an = L，那么该数列的极限存在。
数列极限的定义可以通过数列和与极限之间的误差来表达。
对于任意一个正数ε，当项号大于某个正整数N时，数列的项与极限之间的误差都小于ε，即|an - L| < ε，成立。
三、数列极限的性质1. 唯一性：若数列的极限存在，则数列的极限唯一。
2. 有界性：若数列的极限存在，则该数列一定是有界数列。
3. 夹逼定理：若数列bn满足bn ≤ an ≤ cn且lim(n->∞)bn = lim(n->∞)cn = L，那么对于lim(n->∞)an也有lim(n->∞)an = L。
4. 四则运算：对于已知数列an和bn，若它们的极限分别为lim(n->∞)an = A和lim(n->∞)bn = B，那么有以下结论：a) lim(n->∞)(an ± bn) = A ± B；b) lim(n->∞)(an * bn) = A * B；c) lim(n->∞)(an / bn) = A / B（当B≠0）。
数学《数列极限》讲义
第二章数列极限1. 教学框架与内容教学目标①掌握数列极限概念，学会证明数列极限的基本方法．②掌握数列极限的主要性质，学会利用数列极限的性质求数列的极限．③掌握单调有界定理；理解柯西收敛准则．教学内容①数列极限的分析定义，数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念与几何意义；利用放缩法证明数列收敛或发散.②数列极限性质（唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则）的证明与应用，数列的子列及有关子列收敛的定理．③单调有界定理的证明及应用；柯西收敛准则，用柯西收敛准则判别数列的敛散性．2. 重点和难点①数列极限的Nε-语言，数列极限证明中N的存在性.②数列极限性质的分析证明, 数列极限性质的应用．③数列单调有界定理的证明和应用，利用柯西收敛准则判别数列的敛散性．3. 研究性学习选题● 数列极限证明的技巧将书后习题分类，首先自己总结数列极限证明的技巧，然后进行小组交流和讨论.● 如何利用单调有界原理求迭代数列的极限课后自己总结单调有界原理求极限的方法与步骤，选用经典习题小组讨论，进行讲解并评分.4. 综合性选题，尝试写小论文：★不等式技巧在数列极限证明中的应用.★数列极限存在的常用结论.5. 评价方法◎课后作业，计20分.◎研究性学习选题计30分.◎小论文计20分.◎小测验计30分§1数列极限概念一、数列若函数f 的定义域为全体正整数集合Z +(或N )，则称:f N R → 或()f n n N ∈为数列. 通常记为()n a f n =.或 12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ .数列表示法：通项、递推公式、1{}n n a ∞=或0{}n n a ∞=.特殊数列：常数数列、单调数列、有界数列、等比数列、等差数列. 二、数列极限------反映变量在某个变化过程中的变化趋势 [作图]1{}n、(1){}n n -、 {}n 、{(1)}n -、 {(1)}n n - 变化趋势： 1) 有一定的变化趋势; 无限接近于某数a ----收敛;震荡、无限增大、无限减小----定向发散;2) 无一定变化趋势----不定向发散.数列{}n a 收敛于a ，||0n a a -→(n a 与a 的距离越来越接近). 1、定义下面我们首先给出数列收敛及其极限的精确定义.定义1 ()N ε- 设{}n a 为数列, a 为一定数, 若对任给的正数0ε>，总存在 正整数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ，而a 称为{}n a 的极限. 记作 lim n n a a →∞= 或 n a a →(n →∞).若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛或发散, 也称{}n a 为发散数列.例1验证下列极限:1) 1lim 0n n →∞=;2) 1lim 02n n →∞=;3) lim 0n n q →∞=, ||1q <;4) 223lim 33n n n →∞=-.注1 ε的任意性.ε的作用在于刻画数列{}n a 与定数a 之间的接近程度.ε越小表示接近度越好，而正数ε—可任意小说明n a 与a 可以无限接近，ε虽具有任意性， 但一经给出，就可看作暂时固定的数,并由此确定N ,从而N 与ε有关系. 同时，ε主要用于刻画n a 与a 的逼近程度，因而n a a ε-<中的ε可用22εε,2,εk ε(0k >常数)等代替，同时n a a ε-<可改写成n a a ε-≤.注 2 N 的相应性. 前面说过N 与ε有关，可记作()N ε但并不意味着N 由ε唯一确定. 这里我们主要强调N 的存在性(一般来说,ε愈小,相应的N 越大)，同时n N ≥时(对大于N 的任一n )有n a a ε-<.如对11,1000n a n ε==，相应的1001, 1002N =都可.例2 1) 0n →∞=;2) 1(1)n a =>;3) 1n =;4) 2lim 04n n n →∞=.思考 考虑1n =, 3lim 04n n n →∞=?2、几何意义 当n N >时,n a a ε-<d⇔所有下标大于N 的项n a 都落在a 的 邻域(,)U a ε内，而在(,)U a ε之外，数列{}n a 至多只有有限项(至多N 项). 定义1’任给0ε>，若在(,)U a ε之外{}n a 至多只有有限项，则称{}n a 收敛于a . 例3 改变或去掉数列的有限项，不改变数列的敛散性.例4 设n a a →,则n k a a +→. 这里k 为某固定的正整数.例5 设lim lim n n n n x y a →∞→∞==， 作数列{}n z 1122,,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅验证: lim n n z a →∞=. 思考 用N ε-定义如何证明?3、收敛的否定n a a →0, , ||dn N n N a a εε⇔∀>∃∀>-<：;0, (,)U a εε⇔∀>之外至多有{}n a 的有限项.n a →a 00000,, ||n N n N a a εε⇔∃>∀∃>-≥：; ⇔存在某00ε>,使数列{}n a 有无穷多项落在邻域0(,)U a ε之外.{}n a 收敛, 0, , ||n a R N n N a a εε⇔∃∈∀>∃∀>-<：. {}n a 发散0000, 0, , ||n a R N n N a a εε⇔∀∈∃>∀∃>-≥：.例6 验证 1) lim 01n nn →∞≠+;2) 2{}, {}n n (-1)为发散数列.4、N ε-定义的一些等价形式(变形)1D ：20,, , (n N n N a a k εεε∀>∃≥-<：或. (k 为常数)2D ：0(),, n c N n N a a εεε∀><∃>-<：. 3D ：0,, n N n N a a εε∀>∃>-<有理数：. 4D ：1,, n m N N n N a a m∀∈∃>-<：. 5、无穷小数列定义 若lim 0n n a →∞=，则称{}n a 为无穷小数列.定理 n a a →{}n a a ⇔-为无穷小数列.注 3 ||00n n a a →⇔→.例7 证明: 若lim n n a a →∞=，则lim ||||n n a a →∞=. 但反之未必成立，即||||n a a →⇒n a a →.习 题1. 用N -ε定义验证1) lim 12n nn →∞=+; 2) 2233lim 212n n n n →∞-=+;3) !lim 0n n n n →∞=; 4) limsin 0n nπ→∞=;5) lim cos1n nπ→∞=; 6) lim02nn n→∞=;2. 指出下列数列哪些是无穷小数列.; ; 11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭; 32n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭; {}n n q α(,||1)R q α∈<.3. 证明：若a a n n =∞→lim ，则对任一正整数k , 有a a k n n =+∞→lim .4. 试用定义1'证明：1) 数列}1{n不以1为极限； 2) 数列}{)1(n n -发散.§2 收敛数列的性质一、收敛数列的性质1、唯一性 若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限.2、有界性 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列. 即0, , n M n N a M ∃>∀∈≤使得. (画图分析) 推论 无界数列必发散.注 1 有界数列未必是收敛的(定理2.3的逆未必成立).3、保号性 若lim 0 (0)n n a a →∞=><或，则对任何(0,)r a ∈(,0))a ∈（或r ， 存在N ，使得n N >时，0 0n n a r a r >><<（或）.推论 若lim 0n n a a →∞=>，则存在N ，n N >时，0n a > (保符号).若lim 0n n a a →∞=≠，则存在N ，n N >时，||||02n a a >>. 注 2 由lim 0n n a →∞≥不能推出 , , 0n N n N a ∃>≥.4、保不等式性 设{}n a 和{}n b 为收敛数列，若存在,,N n N >使得时n n a b ≤，则lim lim n n n n a b →∞→∞≤. [直接证明或反证法]定理 设lim , lim , n n n n a a b b a b →∞→∞==>, 则存在N ,n N >时，n n a b >.注 3 在定理2.5中，不等式若为n n a b <, 则不能推出a b <.例1 设0, 1,2,n a n ≥=⋅⋅⋅. 若n a a →.5、迫敛性 若数列{}n a 、{}n b 和{}n c 满足n n n a c b ≤≤,n N ∀∈,, n n a a b a →→, 则n c a →.注 4 用得较多的是0, 0 0n n n n c b b c ≤≤→⇒→.例2 1) 1lim sin 0n n n →∞=2) lim 3n →∞= .... 一般形式?思考 上述定理中若{},{}n n a b 均发散, 能否推出{}n c 发散? 6、四则运算定理 若, n n a a b b →→，则1) n n a b a b +→+， 2) n n a b a b ⋅→⋅，3) 若还有0,0n b b ≠≠,则n n a ab b→.思考 若{},{}n n a b 均发散或其中之一发散, 上述结论又如何?例3 求 11101110lim , , 0, 0m m m m m k k k n k k a n a n a n a m k a b b n b n b n b ---→∞-++⋅⋅⋅++≤≠≠++⋅⋅⋅++.例4 求 lim 1nn n a a →∞+ (1a ≠-).例5 求 1) (31)(5)lim (12)(25)n n n n n →∞++-+;2) 268n ;3) n .例6 求1) 21)sin(21)n n →∞+;2) 1lim nn i →∞=;3)1)21n n →∞⋅⋅⋅++.二、子列的收敛性定义(子列) 设{}n a 为一数列，{}k n N ⊂为无限子集，且12k n n n <<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅， 则数列 12,,,,k n n n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 称为数列{}n a 的一个子列，记作{}k n a .注 5 {}k n a 选自{}n a 中且保持{}n a 中的顺序不变, 注意k n a 为{}k n a 中的第k 项， 是{}n a 的第k n 项，故k n k ≥. 注意子列的子列仍为子列. 例 7 数列{(1)}n -，奇子列21{}k a +与偶子列2{}k a .注 6 平凡子列是指数列{}n a 本身或者去掉有限项得到的数列,易见平凡子列与 数列{}n a 本身的性质(态)完全一样.定理 数列{}n a 收敛⇔{}n a 的任一子列(非平凡子列)均收敛.⇔{}n a 的任一子列(非平凡子列)均收敛于同一个数.注 7 我们通常用上述定理来证明数列{}n a 不收敛，只需找到某个发散子列或某两个子列收敛但极限不同. 如{(1)}n -. 三、利用上述性质讨论极限*例8 证明: 数列2(1){}31n n nn +-⋅+发散.例9 1) 22231lim(12...)n n n→∞+++; 2) n ;3) n 11lim ()n nn n n a b a b a b++→∞+≠-+.例10 1) 1321lim 242n n n →∞-⋅⋅⋅⋅⋅⋅; 2) lim[(1)]n n n αα→∞+- 01α<<;3) 22lim(1)(1)(1)nn ααα→∞++⋅⋅⋅+ 1α<.例11 设1,...,m a a 为m个正数，则1max{,,}m n a a =⋅⋅⋅.例12 设lim nn na b →∞存在，则若0n b →，必有0n a →.例13 若1||||n n a q a +≤，01q <<，则lim 0n n a →∞=.例14 若0n a >，1lim1nn n a L a →∞+=>，则lim 0n n a →∞=, 并利用其求2lim 4n n n →∞, 3lim n n n q →∞以及213lim 22n →∞+ 212n n -+⋅⋅⋅+. 一般常用结论: 若1lim ||1n n na l a +→∞=<, 则lim 0n n a →∞=.习题1. 求下列数列的极限1) limn→∞(n2) limn→∞3) limn→∞(1n4) limn→∞11(2)3(2)3n nn n++-+-+5) limn→∞212232n nnn++++6) limn→∞12()22n nn+++-+7)limn→∞8) limn→∞11(1)nkk k=+∑2. 设{}n a为无穷小数列, {}n b为有界数列, 证明: {}n na b⋅为无穷小数列.3. 求下列极限1)122lim(2sin cos)nnn n→+∞+2)1lim(arctan)nnn→+∞3) 11lim(1)n n n→∞- 4) 22)nn →∞⋅5) 1!2!!lim!n n n →∞+++ 6) 1321lim 242n n n→∞-⋅⋅⋅4. 说明下列数列发散1) (1)1nn n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭ 2) {}(1)n n- 3) sin 4n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭5. 证明: 若0>n a , 且1lim 1>=+∞→l a a n nn , 则.0lim =∞→n n a6．设a a n n =∞→lim , 证明:1) a nna n n =∞→][lim;2) 若0,0>>n a a , 则1lim =∞→n n n a .§3 数列极限存在条件考察数列极限问题，首先应考察其极限是否存在 (极限存在性问题)， 若极限存在，则应考虑如何求极限值(极限的计算问题). 一、单调有界原理 (充分条件)定理 (单调有界定理) 有界的单调数列必有极限.[上(下)有界的单调递增(递减)数列必有极限且极限为其上(下)确界] 例1 设111123n a nααα=+++⋅⋅⋅+, (2)α≥, 证明: {}n a 收敛.例2 设12,n a a a ==⋅⋅⋅=n 重根号)， 证明：{}n a 单调有界, 并求其极限.注 1 在具递推关系式的数列{}n a 中，如1()n n a f a +=，若要求其极限，则我们可首先假定极限存在设为a ,则有()a f a =.由此方程解出a (此值一般即为极限), 其次一方面可考察n a a -(考虑用N ε-定义);另一方面,可考察是否有n a a ≤ (或n a a ≥)? 若n a a ≤，则一般证n a 递增(如n a a ≥，则证n a 递减)，此时应考察1n n a a +-的符号(或1n na a +与“1”的大小关系).例3 设1, 0a x >，11()2n n nax x x +=+，n N ∈, 求证: {}n x 收敛,并求其极限.例4 证明: 极限1lim (1)n n n→+∞+存在，并利用其来求下列极限1) 1lim (1)n k n n +→+∞+ 2) 31lim (1)2n n n →+∞+3) 1lim (1)n n n -→+∞- 4) 1lim (1)n n n →-∞+5) 3lim ()2n n n n →+∞++ 6) 31lim (1)2n n n→+∞-.二、Cauchy 准则定义 (Cauchy 列) 如果数列{}n a 满足：0,,,:m n N m n N a a εε∀>∃>-<，则称 数列{}n a 为Cauchy 列或基本列.注 2 {}n a 为Cauchy 列0,,,:dn p n N n N p N a a εε+⇔∀>∃∀>∀∈-<. 定理 (Cauchy 准则) {}n a 收敛⇔{}n a 为Cauchy 列.注 3 Cauchy 准则方便之处在于无需知道具体极限值的情况下，就可以直接 判断{}n a 是否收敛.例6 利用Cauchy 准则证明：{}n a 收敛, 其中22211112n a n =++⋅⋅⋅+.例7 利用Cauchy 准则叙述{}n a 发散的条件, 并证明1112n a n =++⋅⋅⋅+发散.例8 利用Cauchy 准则证明limsin n n →∞不存在.三、邻域的语言*a R ∈,a 的邻域，(,)U a a εε=-+; ∞的邻域，(,)M -∞-⋃(,)M +∞，0M ∀>+∞的邻域, (,)M +∞,0M ∀> -∞的邻域，(,)M -∞-,0M ∀>lim n n a a →∞=0,,:n N n N a a εε⇔∀>∃>-<.⇔对a 的任一邻域U ，∃+∞的邻域V ，:n n N V a U ∀∈⋂∈.lim n n a →∞=+∞0,,:n M N N n N a M ⇔∀>∃∈>>.⇔对+∞的任一邻域U ，∃+∞的邻域V ，:n n N V a U ∀∈⋂∈.lim n n a →∞=-∞⇔……记*{,}R R =⋃-∞+∞，*a R ∈.*lim n n a a R →∞=∈⇔对a 的任一邻域U ，存在+∞的邻域V ，:n n N V a U ∀∈⋂∈.习 题1. 证明}{n a 收敛，并求其极限，，其中11n a a +==1,2,n =.2. 设c a =1)0(>c , 11,2...n a n +==, 证明数列}{n a 极限存在并求其值.3. 求下列极限1) 1lim(1)nn n→∞-; 2) 21lim(1)n n n →∞+; 3) 241lim ()2n n n n +→+∞++.4. 证明: 若单调数列}{n a 含有一个收敛子列, 则}{n a 收敛.5. 证明: 若}{n a 为递增(递减)有界数列, 则{}{}).(inf sup lim n n n n a a a =∞→又问逆命题成立否?7. 应用Cauchy 准则证明{}n x 收敛，其中 1) 2sin1sin 2sin 222n n nx =++⋅⋅⋅+2) 0.90.090.0009n x =++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅（n 个0）8. 利用Cauchy 准则叙述数列}{n a 发散的充要条件,并用它证明下列}{n a 发散:1) n a nn )1(-=; 2) 2sinπn a n =.习题课一、知识复习1、n a a →d⇔0,,:n N n N a a εε∀>∃>-< ⇔{}n a 的任一子列均收敛于a ⇔{}n a 的奇偶子列均收敛于a . n a a →⇔2、 {}n a 收敛 ⇔{}n a 的任一子列均收敛⇔{}n a 的任一子列均收敛并且收敛于同一个数.⇔0,,,:n m N m n N a a εε∀>∃>-<. {}n a 发散⇔3、单调有界数列必收敛 1lim(1)n n e n →∞+=.4、n a a →的几何意义.5、收敛数列的性质及其证明. 二、典型方法 1、求极限的方法 1) 利用定义a) 观察确定极限值，利用定义验证.b) 对递推数列，可先假定极限存在，利用递推关系，求得极限，再用定义验证.2) 利用10nα→ (0)α>，0n a → (1)a <, 1(0)a →>,1及四则运算法则.3) 利用已知极限，如1lim(1)n n e n →∞+=.4) 利用单调有界原理(如何求极限).5) 利用适当的变换或变形(拆项、插项、裂项).2、证明极限存在方法 1) 用定义(先求极限值). 2) 利用单调有界原理. 3) 利用Cauchy 准则.3、证明极限不存在的方法 1) 定义.2) 找一个发散子列或两个收敛子列但极限不等. 3) 利用Cauchy 准则.4、一些常用结论1) lim 0n n a →∞=，{}n b 有界，则lim 0n n n a b →∞=.2) limnn na b →∞存在，且lim 0n n b →∞=，则lim 0n n a →∞=. 3) 设1lim ||1n n na l a +→∞=<，则lim 0n n a →∞=.4) 若数列满足{}n a 满足1n n a a q a a +-≤-, 01q <<，则lim n n a a →∞=.5) 若{}n x 满足11n n n n x x q x x +--≤- 01q <<，则{}n x 收敛. 6) 1,...,m a a 为m个正数，则1lim max{,,}m n a a =⋅⋅⋅.思考: 设{}n a为有界正数列，则?n =. 7) 设n n x a y ≤≤，0n n x y -→，则,n n x a y a →→.8) 设{}n x ↑，{}n y ↓, 0n n x y -→, 则{},{}n n x y 均收敛,且极限相同. 9) 0,n n a a b b →>→，则n b b n a a →.10) , n n a a b b →→，则max{,}max{,}n n a b a b →, min{,}min{,}n n a b a b →. 11) 设lim n n a a →∞=，则i) 12limnn a a a a n→∞++⋅⋅⋅+=，ii) 若0n a >，则n a =.并考察下列极限(教材43页第四题)(1)1112n n ++⋅⋅⋅+(2) 0)a >(3)……12) (Stolz 定理) 设{},{}n n x y 满足i) 1n n y y +>， ii) lim n n y →∞=+∞，iii)11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，(l 为有限数)， 则lim n n nxl y →∞=.并利用Stolz 定理求下列极限 i) 设n x a →，求1222limnn x x nx n →∞++⋅⋅⋅+.ii) 112lim p p pp n n n +→∞++⋅⋅⋅+ (0)p >.iii)113(21)lim p p pp n n n+→∞++⋅⋅⋅+- (0)p >.利用单调有界原理或Cauchy 准则考察下列命题.13) 设10x >，13(1)3n n n x x x ++=+，证明: lim n n x →∞存在并求极限.14) 证明: 若}{n a 为递增数列，}{n b 为递减数列，且0)(lim =-∞→n n n b a ， 则n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 都存在且相等.15) 设011>>b a , 记 211--+=n n n b a a , 11112----+=n n n n n b a b a b .,3,2 =n 证明: 数列}{n a 与}{n b 的极限都存在且等于11b a .16) 给定正数1a 与)(111b a b >,作出等差中项2112b a a +=与等比中项112b a b =, 一般地令 21n n n b a a +=+, n n n b a b =+1, ,2,1=n . 证明: n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 皆存在且相等.17) 设0,0>>σa ,1111(), (), 1,2,.22n n n n a a a a n a a σσ+=+=+=证明: 数列}{n a 收敛, 且其极限为σ.18) 设数列}{n a 满足: 存在正数M , 对一切n 有 .12312M a a a a a a A n n n ≤-++-+-=-证明: 数列}{n a 与}{n A 都收敛.19) 若单调数列有一子列收敛，则该数列收敛.20) 若S 为有界集，则存在数列{}n x S ⊂，使得sup n x S →.21) 若S 为有界集，如果sup S S ∉，那么存在严格递增数列{}n x S ⊂，使得sup n x S →.22) 设S 为无界集，则存在{}n x S ⊂,使得n x →∞23) 若S 为无上界集, 则存在严格增的{},n n x S x ⊂→+∞.24) 证明: 任一数列必有单调子列.25) 证明: 任一有界数列必有收敛子列.。
数列极限的知识点总结
数列极限的知识点总结一、数列极限的定义1.1 数列首先要了解数列的概念。
数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。
数列通常用符号{an}表示，其中an代表数列的第n个元素。
数列是数学中一种基本的数学概念，它在许多数学问题中都起着重要的作用。
1.2 数列极限接着要了解数列的极限。
数列{an}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的元素an的值趋近于一个常数L，即lim(an) = L。
如果这样一个数L存在，那么我们就说数列{an}收敛，并且把L称为数列的极限，记作lim(an) = L。
如果这样一个数L不存在，那么我们就说数列{an}发散。
1.3 数列极限的形式化定义对于给定的数ε，如果存在一个正整数N，使得当n大于N时，|an - L| < ε恒成立，那么称L是数列{an}的极限。
这样的N存在的话，就称这N是数L和ε的函数。
1.4 无穷大数列如果数列{an}中的元素an当n趋向于无穷大时，它的绝对值|an|趋向于无穷大，那么就称数列{an}是无穷大的。
对于无穷大数列，我们通常用符号lim(an) = ±∞来表示。
1.5 注意事项在讨论数列极限的问题时，需要注意以下几点：1) 数列的极限可能是一个有限的常数，也可能是无穷大。
2) 一般来说，数列的极限不一定存在，也可能有多个极限（一般在不同n的取值范围内）。
3) 要特别注意当n趋于无穷大时，数列中的元素an的绝对值的行为，关系到数列是否是无穷大数列。
以上是数列极限的基本概念和定义，下面我们将介绍数列极限的相关性质。
二、数列极限的相关性质2.1 唯一性如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。
换句话说，如果lim(an) = L1和lim(an) = L2，那么L1 = L2。
2.2 有界性如果数列{an}收敛，那么它一定是有界的，即存在一个正实数M，使得|an| < M（n∈N）。
2.3 保号性如果数列{an}收敛到一个有限的极限L，那么当n充分大时，数列{an}的元素和L有相同的正负号。
2022年高考数学强基计划讲义 专题10：数列与极限【解析版】-2022年高考数学尖子生强基校考讲义
2022年高考数学尖子生强基计划专题10数列与极限一、真题特点分析：【2020武大6】两个半径为r 实心球体，它们的球心相距d .设包含这两个实心球体的最小实心球的体积为()V d ，则3()limd V d d→+∞=（）A.π8B.π6C.πD.4π3二、知识要点拓展一．数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a ，那么就说数列{}n a 以a 为极限.注：a 不一定是{}n a 中的项.二．几个常用的极限：（1）lim n C C →∞=（C 为常数）;（2）1lim0n n→∞=（3）lim 0n n q →∞=（1q ＜）.（4）∞→n lim k k an b acn d c+=+（*k N ∈，a b c d R ∈、、、且0c ≠）（5）1lim 01n nn nn a b a b a b a b a b →∞⎧>-⎪==⎨+⎪-<⎩， ， ， 三．数列极限的四则运算法则：设数列{}n a 、{}n b ，当lim n n a a →∞=,lim n n b b →∞=时：lim()n n n a b a b→∞+=+lim()n n n a b a b →∞⋅=⋅limn n na ab b →∞=（0b ≠）四．无穷等比数列：若无穷等比数列11,,,1n a aq aq q -< 有，其所有项的和（各项的和）为：1lim 1n n a S S q→∞==-．五．常见的数列极限可以归纳为两大类:第一类是两个关于自然数n 的多项式的商的极限:)0,0,,(.0;,*01110111lim ≠≠∈⎪⎩⎪⎨⎧>==++++++++----∞→l k l l l l k k k k n b a N l k k l k l b ab n b n b n b a n a n a n a 时，当时当 当l k >时,上述极限不存在.第二类是关于n 的指数式的极限:⎩⎨⎧=<=∞→时，当时；当111||,0lim q q q nn 当1||>q 或1-=q 时,上述极限不存在.一．特殊数列的极限：11nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11nn a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）1lim 0(0,a n a a n →∞=>是常数）；（2）lim 0(0)!n n a a n →∞=>；（3）lim 0kn n n a→∞=（1a ＞，k 为常数）；（4）1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．下面证明第四个公式证明：令11nM n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，取自然对数得到1ln ln 1M n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1x n =，得ln(1)ln x M x+=，由洛比达法则得00ln(1)1limlim()11x x x x x →→+==+，即0lim ln 1x M →=所以：lim ln 1n M →∞=，则lim n M e →∞=，即1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．另外，数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是单调递增的，理由如下：由11(1n n G A n ++≤+个正实数的几何平均数≤它们的算术平均数）有1111111111n n n n n n ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭===++++，所以111111n n n n +⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭。
数列极限知识点总结
数列极限知识点总结一、数列的极限定义数列是一系列按照一定次序排列的数的集合，通常表示为{an}，其中an表示数列的第n 个元素。
数列的极限是数列中的元素随着n的增大而逐渐接近某个值L，当n趋于无穷大时，数列的所有元素都逼近于L。
我们用极限符号lim(n→∞)an=L来表示数列{an}的极限为L。
对于一个给定的数列{an}，如果它的极限存在且为L，我们称{an}收敛于L，记作lim(n→∞)an=L。
如果数列的极限不存在，我们称数列发散。
二、数列极限的性质1. 唯一性：数列的极限值是唯一的，即如果数列{an}收敛于L1和L2，那么L1=L2。
2. 有界性：收敛数列是有界的，即存在一个实数M，使得对于所有的n，有|an|<M。
3. 保号性：如果数列{an}收敛于L>0，那么存在一个正整数N，使得当n>N时，an>0；如果数列{an}收敛于L<0，那么存在一个正整数N，使得当n>N时，an<0。
三、数列极限的收敛定理1. 夹逼定理：设{an}、{bn}、{cn}是三个数列，如果存在一个正整数N，使得当n>N时，有an≤bn≤cn，并且lim(n→∞)an=lim(n→∞)cn=L，那么数列{bn}也收敛于L。
2. 复合函数极限定理：设{an}是一个数列，f(x)是一个定义在R上的函数，如果lim(n→∞)an=a存在，f(x)在x=a周围有定义，并且lim(x→a)f(x)=L存在，那么lim(n→∞)f(an)=L。
3. 唯一性定理：如果一个数列存在极限，那么它的极限是唯一的。
四、数列极限的经典例题1. 例题一：计算数列lim(n→∞)(1+1/n)n。
解析：利用自然对数的极限定义可得lim(n→∞)(1+1/n)n=e。
2. 例题二：利用夹逼定理证明数列lim(n→∞)(1/n)=0。
解析：由于-1/n≤1/n≤1/n，且lim(n→∞)(-1/n)=lim(n→∞)(1/n)=0，根据夹逼定理可得lim(n→∞)(1/n)=0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数列与极限部分复习讲义上南中学 欧阳民一、复习目标定位1 ．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项2 ．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题3 ．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，井能解决简单的实际问题4 .会应用归纳法的原理进行归纳和猜想，知道数学归纳法的原理，理解数学归纳法的两个步骤，掌握数学归纳法的步骤，会用数学归纳法证明有关自然数的命题.5 .理解直观描述的数列极限的意义，掌握数列极限的四则运算法则；会求无穷等比数列各项的和，会用数列知识解决简单的实际问题；通过数列概念的建立及其应用，提高数学抽象能力，发展数学建模能力.二、知识点归纳 1 一般数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 2 等差数列的通项公式：()d n a a n 11-+=，()d k n a a k n -+=(其中1a 为首项、k a 为已知的第k 项) 当0≠d 时，n a 是关于n 的一次式；当0=d 时，n a 是一个常数 3 等差数列的前n 项和公式：1(1)2n n n S na d -=+，1()2n n n a a S += 当0≠d 时，n S 是关于n 的二次式且常数项为0；当0=d 时（0≠n a ），1na S n =是关于n 的正比例式 4 等差数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：1212-=-n S a n n 5 等差中项公式：2b a A += （有唯一的值） 6 等比数列的通项公式：11-=n n q a a ，k n k n q a a -=(其中1a 为首项、k a 为已知的第k 项，0≠n a ) 7 等比数列的前n 项和公式：当1=q 时，1na S n = (是关于n 的正比例式)；当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1=q q a a n --11 8 等比中项公式：ab G ±= （0>ab ，有两个值） 9 等差数列{}n a 的任意连续n 项的和构成的数列n S 、n n S S -2、n n S S 23-、…… 仍为等差数列 10 等差数列{}n a 中，若q p n m +=+则q p n m a a a a +=+ 11 等比数列{}n a 中，若q p n m +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅12 等比数列{}n a 的任意连续n 项的和构成的数列n S 、n n S S -2、n n S S 23-、…… 仍为等比数列（当n 为偶数且公比为1-的情况除外） 13 两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n b a +、{}n n b a -仍为等差数列 14 两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n b a ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列 15 等差数列{}n a 的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列 16 等比数列{}n a 的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列 17 三个数成等差的设法：d a a d a +-,,；四个数成等差的设法：d a d a d a d a 3,,,3++--。
18 三个数成等比的设法：aq a q a ,,；四个数成等比的错误设法：33,,,aq aq qa q a 。
(因为其公比为2q >0,对于公比为负的情况不能包括) 19 {}n a 为等差数列，则{}na c (0>c )是等比数列 20 {}nb （0>n b ）是等比数列，则{}nc b log (0>c 且1≠c ) 是等差数列21 .研究一个数列的极限，关注的是数列“后面”无限项的数值问题，改变该数列“前面”任何项的值，都不会影响这个数列的极限．22 .数列前n 项和n S 不同于无穷数列各项和，前者n S 表示有穷项和，后者lim n n S →∞表示无穷项和（所有项和），两者表述的项数范围不同．23 .归纳法属特殊到一般的数学思想方法，用它推断出的结论有时正确有时不一定正确（除完全归纳法推出的结论是正确外）.这种推理虽然不严谨，有时会推测错误的结论，但它却是探索新问题、学习新知识、发现新规律的重要途径．24 .数学归纳法的适用范围，仅限于有关自然数（N 或#N ）的命题.整数、有理数和实数等都是无限集，它们有关的命题用数学归纳法是不适用的。
三、复习教学点睛 1 数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同。
因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性； 2 数列{}n a 前n 项和n S 与通项n a 的关系式 ⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n S a n n n ； 3 求通项常用方法；① 作新数列法：作等差数列与等比数列② 累差叠加法最基本形式是 ()()()112211a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---③ 归纳、猜想法 4 数列前n 项和常用求法；① 重要公式()12121+=+++n n n ()()1216121222++=+++n n n n ② 等差数列中mnd S S S n m n m ++=+③ 裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即()()n f n f a n -+=1，然后累加时抵消中间的许多项 应掌握以下常见的裂项 等)!1(1!1)!1(1,C C C ,2cot cot 2sin 1,!)!1(!,111)1(111+-=+-=-=-+=⋅+-=++-n n n n n n n n n n n r n r n n n ααα ④ 错项相消法 ⑤ 并项求和法数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法5 ．求数列{}n a 的最大、最小项的方法；① =-+n n a a 1……⎪⎩⎪⎨⎧<=>000如32922-+-=n n a n② 1111n n a a +⎧⎪⎨⎪⎩>==< ()0>n a ，如9(1)10n n n n a += ③ ()n f a n =研究函数()n f 的增减性 如2n n a =6 . 数列极限的理解 ；7 . 等比数列的各项和及其应用 ；8 . 数学归纳法及应用 。
四、题型、方法 1、等差数列{n a }中，通项b dn a n +=，前n 项和cn n d S n +=22（d 为公差，#N n ∈）.证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：n n a a -+1是常数)(#N n ∈(1n na a +=常数，#N n ∈)，也可以证明连续三项成等差（比）数列.即对于任意的自然数n 有：n n n n a a a a -=-+++112（n n n n a a a a 112+++=）。
［例］数列}{n a 满足：.()#1122,1N n a a a a n n n ∈+==+ （1）求证：数列}1{na 是等差数列；（2）求}{n a 的通项公式。
分析：注意证明数列}1{n a 是等差数列，则要证明n n a a 111-+是常数，而nnn a a a 2211+=+，所以21111=-+n n a a ，即数列}1{n a 是等差数列。
又111=a ，则21)1(2111+=-+=n n a n ，所以12+=n a n 。
2、等差数列前n 项和、次n 项和、再后n 项和（即连续相等项的和）仍成等差数列；等比数列前n 项和（和不为0）、次n 项和、再后n 项和仍成等比数列.类比还可以得出：等比数列的前n 项的积、次n 项的积、再后n 项的积仍成等比数列。
［例1］已知数列}{n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，20,884==S S ，则=12S ＿；分析：注意到812484,,S S S S S --是等差数列的连续4项的和，它们成等差数列，可以得到16812=-S S ，所以3612=S 。
［例2］已知数列}{n a 是等比数列，n T 是其前n 项的积，20,584==T T ，则=12T ＿。
分析：由812484,,T T T T T 成等比，则8124248)(T T T T T ⋅=，所以64)(34812==T T T 。
3、在等差数列}{n a 中，若),,,(#N q p n m q p n m ∈+=+，则q p n m a a a a +=+；在等比数列}{n a 中，若),,,(#N q p n m q p n m ∈+=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅等差（等比）数列中简化运算的技巧多源于这条性质。
［例］数列}{n a 是等比数列，124,5128374=+-=⋅a a a a ，且公比q 为整数，则10a 的值为＿＿＿＿＿＿＿。
分析：由8374a a a a ⋅=⋅得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=⋅=+4128512124838383a a a a a a 或⎩⎨⎧=-=128483a a ，又此数列的公比为整数，所以⎩⎨⎧=-=128483a a 公比2-=q ，则5122810==q a a 。
4、等差数列当首项01>a 且公差0<d ，前n 项和存在最大值.当首项01<a 且公差0>d ，前n 项和存在最小值，求等差数列前n 项和的最值可以利用不等式组⎩⎨⎧≥≤≤≥+)0(0)0(01n n a a 来确定n 的值；也可以利用等差数列的前n 项的和是n 的二次函数（常数项为0）转化成函数问题来求解。
［例1］若}{n a 是等差数列，首项0,0,020072006200720061<⋅>+>a a a a a ，则（1）使前n 项和n S 最大的自然数n 是＿＿；（2）使前n 项和0>n S 的最大自然数=n ； 分析：由条件可以看出0,020072006<>a a ，可知2006S 最大，则使n S 最大的自然数为2006；由020072006>+a a 知040121>+a a ，02)(4012401214012>+=a a S ，200740134013a S ⋅=，所以04013<S ，则使0>n S 的最大自然数为4012。
［例2］在等差数列}{n a 中，满足7473a a =且n S a ,01>是数列前n 项的和，若n S 取得最大值，则=n ＿＿＿＿＿。