2013高考数学(理)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(八)(浙江省专用)
2013高考数学(理)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(二)B(浙江省专用)
专题限时集训(二)B[第2讲 函数、基本初等函数Ⅰ的图象与性质](时间：30分钟)1．函数y ＝log 13(2x2－3x ＋1)的递减区间为( ) A ．(1，＋∞)B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，12 2．已知函数y ＝sinax ＋b(a>0)的图象如图2－5所示，则函数y ＝loga(x ＋b)的图象可能是( )图2－5图2－63．为了得到函数y ＝log2x －1的图象，可将函数y ＝log2x 的图象上所有的点的( )A ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 B ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向左平移1个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度4．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2x ≥0 ，x2x <0，则f[f(x)]≥1的充要条件是( )A ．x ∈(－∞，－2)B ．x ∈[42，＋∞)C ．x ∈(－∞，－1]∪[42，＋∞)D ．x ∈(－∞，－2]∪[4，＋∞)5．已知函数f(x)＝log2|x|，g(x)＝－x2＋2，则f(x)·g(x)的图象只能是( )图2－7A ．①B ．②C ．③D ．④6．定义在R 上的函数y ＝f(x)，在(－∞，a)上是增函数，且函数y ＝f(x ＋a)是偶函数，当x1<a ，x2>a ，且|x1－a|<|x2－a|时，有( )A ．f(x1)>f(x2)B ．f(x1)≥f(x2)C ．f(x1)<f(x2)D ．f(x1)≤f(x2)7．函数y ＝x sinx，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是图2－8中的( )图2－88．设函数y ＝f(x)的定义域为D ，若对于任意x1，x2∈D 且x1＋x2＝2a ，恒有f(x1)＋f(x2)＝2b ，则称点(a ，b)为函数y ＝f(x)图象的对称中心．研究并利用函数f(x)＝x3－3x2－sinπx的对称中心，可得f ⎝⎛⎭⎫12 012＋f ⎝⎛⎭⎫22 012＋…＋f ⎝⎛⎭⎫4 0222 012＋f ⎝⎛⎭⎫4 0232 012＝( ) A ．4 023 B ．－4 023 C ．8 046 D ．－8 0469．设函数f1(x)＝x 12，f2(x)＝x －1，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2 013)))＝________. 10．设a ，b ∈R ，且a≠2，若定义在区间(－b ，b)内的函数f(x)＝lg 1＋ax 1＋2x是奇函数，则a ＋b 的取值范围为________________________________________________________________________．11．函数y ＝x2－2ax ，若x ∈[2,4]，则其最小值g(a)的表达式g(a)＝________________.12．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x2＋ax x ≤1 ，a2x －7a ＋14x >1，若存在x1，x2∈R ，且x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)，则实数a 的取值范围是________.专题限时集训(二)B【基础演练】1．A [解析] 必须是满足2x2－3x ＋1>0的函数y ＝2x2－3x ＋1的单调递增区间，即(1，＋∞)．2．C [解析] 由图象可知，b>0，因为T>2π，∴a<1，因此，答案为C.3．A [解析] y ＝log2x －1＝12log2(x －1)，因此只要把函数y ＝log2x 纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位长度即可．4．D [解析] 当x≥0时，f[f(x)]＝x 4≥1，所以x≥4；当x<0时，f[f(x)]＝x22≥1，所以x2≥2，x≥2(舍)或x≤－ 2.所以x ∈(－∞，－2]∪[4，＋∞)．故选D.【提升训练】5．C [解析] 由f(x)·g(x)为偶函数排除①④，当x→＋∞时，f(x)·g(x)→－∞，排除②，故为③.6．A [解析] 由于函数y ＝f(x ＋a)是偶函数，其图象关于y 轴对称，把这个函数图象平移|a|个单位(a<0左移、a>0右移)可得函数y ＝f(x)的图象，因此可得函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝a 对称，此时函数在(a ，＋∞)上是减函数，由于x1<a ，x2>a 且|x1－a|<|x2－a|，说明x1离对称轴的距离比x2离对称轴的距离小，故f(x1)>f(x2)．7．C [解析] 函数是偶函数，而且函数值为正值，在x→0时，x sinx →1，当x→π时，x sinx→＋∞，综合这些信息得只能是选项C 中的图象．8．D [解析] 如果x1＋x2＝2，则f(x1)＋f(x2)＝x31－3x21－sinπx1＋x32－3x22－sinπx2 ＝x31－3x21－sinπx1＋(2－x1)3－3(2－x1)2－sinπ(2－x1)＝－4.所以S ＝f ⎝⎛⎭⎫12 012＋f ⎝⎛⎭⎫22 012＋…＋f ⎝⎛⎭⎫4 0232 012， 又S ＝f ⎝⎛⎭⎫4 0232 012＋f ⎝⎛⎭⎫4 0222 012＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 012， 两式相加得2S ＝－4×4 023，所以S ＝－8 046.9.12 013 [解析] f1(f2(f3(2 013)))＝f1(f2(2 0132))＝f1((2 0132)－1)＝((2 0132)－1)12＝2 013－1.10.⎝⎛⎦⎤－2，－32 [解析] f(－x)＋f(x)＝lg 1－ax 1－2x ＋lg 1＋ax 1＋2x ＝lg 1－a2x21－4x2＝0，∴1－a2x21－4x2＝1， ∴(a2－4)x2＝0，∵x2不恒为0，∴a2＝4，又a≠2，故a ＝－2，∴f(x)＝lg1－2x 1＋2x ， 由1－2x 1＋2x>0，得：－12<x<12，由题意：(－b ，b)⊆⎝⎛⎭⎫－12，12，∴0<b≤12，故－2<a ＋b≤－32. 11.⎩⎪⎨⎪⎧ 4－4a a <2，－a2 2≤a≤4 ，16－8a a >4 [解析] ∵函数y ＝x2－2ax ＝(x －a)2－a2开口方向向上，对称轴为动直线x ＝a ，由对称轴与区间的位置关系，分三种情况讨论：当a<2时，函数在[2,4]上单调递增，则当x ＝2时，g(a)＝ymin ＝4－4a.当2≤a≤4时，函数在[2，a]上单调递减；在[a,4]上单调递增，则当x ＝a 时，g(a)＝ymin ＝－a2.当a>4时，函数在[2,4]上单调递减，则当x ＝4时，g(a)＝ymin ＝16－8a.综上所述，有g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4－4a a <2，－a2 2≤a≤4 ，16－8a a >4.12．(－∞，2)∪(3,5) [解析] ∃x1，x2∈R ，且x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)等价于函数f(x)不能在整个定义域上单调递增，显然当a 2<1，即a<2时满足要求，此时a ＝0也符合要求．当a 2≥1时，函数f(x)在x ＝1时，两端的端点值分别为－1＋a 和a2－7a ＋14，只要a2－7a ＋14<－1＋a 即可，即a2－8a ＋15<0，解得3<a<5.故a ∈(－∞，2)∪(3,5)．。
2013高考数学(理)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(九)(浙江省专用)
专题限时集训(九)[第9讲 数列的概念与表示、等差数列与等比数列](时间：45分钟)1．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d ＝( )A ．－2B ．－12C.12D ．2 2．若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则a b的值为( ) A ．±12 B.12C ．1D ．±13．设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，若a2＝1，a4＝5，则S5等于( )A ．7B ．15C ．30D ．314．已知各项均为正数的等比数列{an}，满足a1·a9＝16，则a 2·a5·a8的值为( )A ．16B ．32C ．48D ．645．已知x>0，y>0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b 2cd 的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．46．等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log257．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am ＝a1a2a3a4a5，则m ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．128．设等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若a3＝3S2＋1，a2＝3S1＋1，则公比q ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．89．已知数列{an}，{bn}满足a1＝12，an ＋bn ＝1，bn ＋1＝bn 1－a2n(n ∈N*)，则b2 012＝________. 11．数列{an}中，a1＝2，当n 为奇数时，an ＋1＝an ＋2；当n 为偶数时，an ＋1＝2an 则a9＝________.12．已知等比数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1，且S1,2S2,3S3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝an ＋n ，求数列{bn}的前n 项和Tn.13．等差数列{an}的各项均为正数，其前n 项和为Sn ，满足2S2＝a2(a2＋1)，且a1＝1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝2Sn ＋13n，求数列{bn}的最小值项．14．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，首项为1的等比数列{bn}的公比为q ，S2＝a3＝b3，且a1，a3，b4成等比数列．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn ＝k ＋an ＋log3bn(k ∈N*)，若1c1，1c2，1ct (t ≥3，t ∈N*)成等差数列，求k 和t 的值．专题限时集训(九)【基础演练】1．B [解析] a7－2a4＝－1，a3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋6d －2a 1＋3d ＝－1，a1＋2d ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝1，d ＝－12，2．D [解析] ∵2a ＝4，∴a ＝2，∵b2＝4，∴b ＝±2，∴a b ＝±1.3．B [解析] 由等差数列通项公式得：5＝1＋2d ，d ＝2，a1＝－1，S5＝15.4．D [解析] 等比数列{an}，a1·a9＝a2·a8＝a25＝16，各项均为正数，∴a5＝4，a2·a5·a8＝a35＝43＝64.即a2·a5·a8的值为64.【提升训练】5．D [解析] 易知，a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，因此a ＋b 2cd ＝x ＋y 2xy ＝x y ＋y x ＋2≥2＋2＝4.6．B [解析] log2(2a1·2a2·…·2a10)＝a1＋a2＋…＋a10＝5(a5＋a6)＝20.7．C [解析] 由am ＝a1a2a3a4a5得a1qm －1＝a53＝(a1q2)5，又a1＝1，所以qm －1＝q10，解得m ＝11，故选C.8．C [解析] 两式相减得a3－a2＝3a2，即a3＝4a2，所以q ＝a3a2＝4.9.2 0122 013 [解析] bn ＋1＝bn 1－a2n ＝bn 1－1－bn 2＝12－bn，b1＝12，b2＝23，b3＝34，…，b2012＝2 0122 013. 10．4 [解析] an ＝2n ，所以aan ＋1aa1·aa2·aa3·…·aan ＝2an ＋12a1＋a2＋…＋an ＝22n ＋122n ＋1－2＝22＝4. 11．92 [解析] 由题意，得a2＝a1＋2＝4，a3＝8，a4＝10，a5＝20，a6＝22，a7＝44，a8＝46，a9＝92.12．解：(1)设数列{an}的公比为q ，若q ＝1，则S1＝a1＝1,2S2＝4a1＝4,3S3＝9a1＝9，故S1＋3S3＝10≠2×2S2，与已知矛盾，故q ≠1，从而得Sn ＝a11－qn 1－q ＝1－qn 1－q， 由S1,2S2,3S3成等差数列，得S1＋3S3＝2×2S2，即1＋3×1－q31－q ＝4×1－q21－q， 解得q ＝13，所以an ＝a1·qn －1＝⎝⎛⎭⎫13n －1.(2)由(1)得，bn ＝an ＋n ＝13n －1＋n ，所以Tn ＝(a1＋1)＋(a2＋2)＋…＋(an ＋n)＝Sn ＋(1＋2＋…＋n)＝a11－qn 1－q＋1＋n n 2＝1－13n 1－13＋1＋n n 2＝3＋n ＋n2－31－n 2. 13．解：(1)由2S2＝a22＋a2，可得2(a1＋a1＋d)＝(a1＋d)2＋(a1＋d)．又a1＝1，可得d ＝1或d ＝－2(舍去)．故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，∴an ＝n.(2)根据(1)得Sn ＝n n ＋12， bn ＝2Sn ＋13n ＝n n ＋1＋13n ＝n ＋13n ＋1.由于函数f(x)＝x ＋13x(x>0)在(0，13)上单调递减， 在[13，＋∞)上单调递增，而3<13<4，且f(3)＝3＋133＝223＝8812，f(4)＝4＋134＝294＝8712， 所以当n ＝4时，bn 取得最小值，且最小值为294＋1＝334.即数列{bn}的最小值项是b4＝334. 14．解：(1)设等差数列{an}的公差为d ，由S2＝a3，得2a1＋d ＝a1＋2d ，故有a1＝d. 由a3＝b3，得a1＋2d ＝b1q2，故有3a1＝q2.①由a1，a3，b4成等比数列，得a23＝a1·b4，故有9a1＝q3.②由①②解得a1＝3，q ＝3.所以an ＝3＋(n －1)·3＝3n ，bn ＝3n －1.(2)因为cn ＝k ＋an ＋log3bn ，所以c1＝3＋k ，c2＝7＋k ，ct ＝4t ＋k －1.由1c1，1c2，1ct (t ≥3，t ∈N*)成等差数列，得2c2＝1c1＋1ct ，即有27＋k ＝13＋k ＋14t ＋k －1，得t ＝3＋8k －1. 因为t ≥3，t ∈N*，所以k －1必须是8的正约数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝2，t ＝11，或⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝3，t ＝7，或⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝5，t ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝9，t ＝4.。
2013年高考理科数学浙江卷word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(浙江卷)选择题部分(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013浙江，理1)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝()．A．－3＋i B．－1＋3iC．－3＋3i D．－1＋i答案：B解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i－i2＝－1＋3i，故选B．2．(2013浙江，理2)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(R S)∪T＝()．A．(－2,1] B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)答案：C解析：由题意得T＝{x|x2＋3x－4≤0}＝{x|－4≤x≤1}．又S＝{x|x＞－2}，∴(R S)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}，故选C．3．(2013浙江，理3)已知x，y为正实数，则()．A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg yC．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y答案：D解析：根据指数与对数的运算法则可知，2lg x＋lg y＝2lg x·2lg y，故A错，B错，C错；D中，2lg(xy)＝2lg x＋lg y＝2lg x·2lg y，故选D．4．(2013浙江，理4)已知函数f(x)＝A cos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“π2ϕ=”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：若f(x)是奇函数，则φ＝kπ＋π2，k∈Z；若π2ϕ=，则f(x)＝A cos(ωx＋φ)＝－A sin ωx，显然是奇函数．所以“f(x)是奇函数”是“π2ϕ=”的必要不充分条件．5．(2013浙江，理5)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则()．A ．a ＝4B ．a ＝5C ．a ＝6D ．a ＝7 答案：A解析：该程序框图的功能为计算1＋112⨯＋123⨯＋…＋11a a (+)＝2－11a +的值，由已知输出的值为95，可知当a ＝4时2－11a +＝95.故选A ．6．(2013浙江，理6)已知α∈R ，sin α＋2cos αtan 2α＝( )． A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 答案：C解析：由sin α＋2cos αsin α2cos α.①把①式代入sin 2α＋cos 2α＝1中可解出cos α＝10或10，当cos α＝10sin α＝10；当cos α时，sin α＝.∴tan α＝3或tan α＝13-，∴tan 2α＝34-.7．(2013浙江，理7)设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB ·PC ≥0P B ·0P C，则( )． A ．∠ABC ＝90° B ．∠BAC ＝90°C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC 答案：D解析：设PB ＝t AB(0≤t ≤1)，∴PC ＝PB ＋BC ＝t AB ＋BC，∴PB ·PC ＝(t AB )·(t AB ＋BC )＝t 22AB ＋t AB ·BC .由题意PB ·PC ≥0P B ·0P C， 即t 22AB ＋t AB ·BC ≥14AB 14AB BC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝214⎛⎫ ⎪⎝⎭2AB ＋14AB ·BC ，即当14t =时PB·PC 取得最小值． 由二次函数的性质可知：2142AB BC AB ⋅-=， 即：AB - ·BC＝122AB ， ∴AB ·12AB BC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝0.取AB 中点M ，则12AB ＋BC＝MB ＋BC ＝MC ，∴AB ·MC＝0，即AB ⊥MC ． ∴AC ＝BC ．故选D ．8．(2013浙江，理8)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( )．A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值 答案：C解析：当k ＝1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)，f ′(x )＝x e x －1， ∵f ′(1)＝e －1≠0，∴f (x )在x ＝1处不能取到极值；当k ＝2时，f (x )＝(e x －1)(x －1)2，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x －2)， 令H (x )＝x e x ＋e x －2，则H ′(x )＝x e x ＋2e x ＞0，x ∈(0，＋∞)． 说明H (x )在(0，＋∞)上为增函数， 且H (1)＝2e －2＞0，H (0)＝－1＜0，因此当x 0＜x ＜1(x 0为H (x )的零点)时，f ′(x )＜0，f (x )在(x 0,1)上为减函数． 当x ＞1时，f ′(x )＞0，f (x )在(1，＋∞)上是增函数． ∴x ＝1是f (x )的极小值点，故选C ．9．(2013浙江，理9)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：24x ＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )．A B C ．32D 答案：D解析：椭圆C 1中，|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝又因为四边形AF 1BF 2为矩形， 所以∠F 1AF 2＝90°.所以|AF 1|2＋|AF |2＝|F 1F 2|2，所以|AF 1|＝2|AF 2|＝2所以在双曲线C 2中，2c ＝2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝2e ==，故选D ． 10．(2013浙江，理10)在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记B ＝f π(A )．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，Q 1＝f β[f α(P )]，Q 2＝f α[f β(P )]，恒有PQ 1＝PQ 2，则( )．A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60° 答案：A非选择题部分(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．(2013浙江，理11)设二项式5的展开式中常数项为A ，则A ＝__________. 答案：－10解析：T r ＋1＝553255C C (1)rr rr r r r x x ---⎛⋅=⋅-⋅ ⎝＝515523655(1)C (1)C r rr rrrr xx----=-.令15－5r ＝0，得r ＝3， 所以A ＝(－1)335C ＝25C -＝－10.12．(2013浙江，理12)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于__________cm 3.答案：24解析：由三视图可知该几何体为如图所示的三棱柱割掉了一个三棱锥．11111111A EC ABC A B C ABC E A B C V V V ---=-＝12×3×4×5－13×12×3×4×3＝30－6＝24.13．(2013浙江，理13)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足20,240,240.x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若z 的最大值为12，则实数k ＝__________.答案：2解析：画出可行域如图所示．由可行域知，最优解可能在A (0,2)或C (4,4)处取得． 若在A (0,2)处取得不符合题意；若在C (4,4)处取得，则4k ＋4＝12，解得k ＝2，此时符合题意．14．(2013浙江，理14)将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有__________种(用数字作答)．答案：480解析：如图六个位置.若C 放在第一个位置，则满足条件的排法共有55A 种情况；若C 放在第2个位置，则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排A ，B ，再在余下的3个位置排D ，E ，F ，共24A ·33A 种排法；若C 放在第3个位置，则可在1,2两个位置排A ，B ，其余位置排D ，E ，F ，则共有22A ·33A 种排法或在4,5,6共3个位置中选2个位置排A ，B ，再在其余3个位置排D ，E ，F ，共有23A ·33A 种排法；若C 在第4个位置，则有22A 33A ＋23A 33A 种排法；若C 在第5个位置，则有24A 33A 种排法；若C 在第6个位置，则有55A 种排法．综上，共有2(55A ＋24A 33A ＋23A 33A ＋22A 33A )＝480(种)排法．15．(2013浙江，理15)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于__________．答案：±1解析：设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由24,1y x y k x ⎧=⎨=(+)⎩联立，得k 2x 2＋2(k 2－2)x＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝2222k k (-)-，∴212222212x x k k k +-=-=-+，1222y y k+=，即Q 2221,k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.又|FQ |＝2，F (1,0)，∴22222114k k ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得k ＝±1.16．(2013浙江，理16)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝__________.答案：3解析：如图以C 为原点建立平面直角坐标系，设A (0，b )，B (a,0)，则M ,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，AB ＝(a ，－b )，AM ＝,2a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，cos ∠MAB ＝AB AMAB AM ⋅22a b +.又sin ∠MAB ＝13，∴cos ∠MAB=.∴22222222894a b aa b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫(+)+ ⎪⎝⎭， 整理得a 4－4a 2b 2＋4b 4＝0，即a 2－2b 2＝0，∴a 2＝2b 2，sin ∠CAB3===. 17．(2013浙江，理17)设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则||||x b 的最大值等于__________．答案：2解析：|b |2＝(x e 1＋y e 2)2＝x 2＋y 2＋2xy e 1·e 2＝x 2＋y 2xy .∴||||x =b x ＝0时，||0||x =b ； 当x ≠0时，||2||x ==≤b .三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(2013浙江，理18)(本题满分14分)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 解：(1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2， 即d 2－3d －4＝0， 故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *. (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d ＜0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝212122n n -+. 当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝212122n n -＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝22121,11,22121110,12.22n n n n n n ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩19．(2013浙江，理19)(本题满分14分)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝59，求a ∶b ∶c . 解：(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6.故P (ξ＝2)＝331664⨯=⨯， P (ξ＝3)＝2321663⨯⨯=⨯，P (ξ＝4)＝2312256618⨯⨯+⨯=⨯，P (ξ＝5)＝2211669⨯⨯=⨯， P (ξ＝6)＝1116636⨯=⨯， 所以ξ的分布列为(2)由题意知η所以E (η)＝3a a b c a b c a b c ++=++++++，D (η)＝22255551233339a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅+-⋅+-⋅= ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得240,4110.a b c a b c --=⎧⎨+-=⎩解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.20．(2013浙江，理20)(本题满分15分)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC ．(1)证明：PQ ∥平面BCD ；(2)若二面角C －BM －D 的大小为60°，求∠BDC 的大小．方法一：(1)证明：取BD 的中点O ，在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC ，连结OP ，OF ，FQ ，因为AQ ＝3QC ，所以QF ∥AD ，且QF ＝14AD ．因为O ，P 分别为BD ，BM 的中点， 所以OP 是△BDM 的中位线， 所以OP ∥DM ，且OP ＝12DM .又点M 为AD 的中点，所以OP ∥AD ，且OP ＝14AD ． 从而OP ∥FQ ，且OP ＝FQ ，所以四边形OPQF 为平行四边形，故PQ ∥OF . 又PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ， 所以PQ ∥平面BCD ．(2)解：作CG ⊥BD 于点G ，作CH ⊥BM 于点H ，连结CH . 因为AD ⊥平面BCD ，CG ⊂平面BCD ， 所以AD ⊥CG ，又CG ⊥BD ，AD ∩BD ＝D ，故CG ⊥平面ABD ，又BM ⊂平面ABD ， 所以CG ⊥BM .又GH ⊥BM ，CG ∩GH ＝G ，故BM ⊥平面CGH ， 所以GH ⊥BM ，CH ⊥BM .所以∠CHG 为二面角C －BM －D 的平面角，即∠CHG ＝60°. 设∠BDC ＝θ.在Rt △BCD 中，CD ＝BD cos θ＝θ，CG ＝CD sin θ＝θsin θ，BG ＝BC sin θ＝2θ.在Rt △BDM 中，23BG DM HG BM θ⋅==.在Rt △CHG 中，tan ∠CHG ＝3cos sin CG HG θθ==所以tan θ从而θ＝60°.即∠BDC ＝60°.方法二：(1)证明：如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD ，OP 所在射线为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .由题意知A (0，2)，B (0，0)，D (00)． 设点C 的坐标为(x 0，y 0,0)．因为3AQ QC = ，所以Q 00331,,4442x y ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.因为M 为AD 的中点，故M (01)． 又P 为BM 的中点，故P 10,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以PQ ＝0033,044x y ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭. 又平面BCD 的一个法向量为u ＝(0,0,1)，故PQ·u ＝0. 又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD ．(2)解：设m ＝(x ，y ，z )为平面BMC 的一个法向量．由CM ＝(－x 00y ,1)，BM＝(0,1)，知000,0.x x y y z z ⎧-+)+=⎪⎨+=⎪⎩取y ＝－1，得m＝00,1,y x ⎛- ⎝. 又平面BDM 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，于是|cos 〈m ，n 〉|＝||1||||2⋅==m n m n，即200y x ⎛= ⎝⎭① 又BC ⊥CD ，所以CB ·CD＝0， 故(－x 0，0y ,0)·(－x 00y ,0)＝0，即x 02＋y 02＝2.②联立①，②，解得000,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(舍去)或0022x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以tan ∠BDC=又∠BDC 是锐角，所以∠BDC ＝60°.21．(2013浙江，理21)(本题满分15分)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径，l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D ．(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程． 解：(1)由题意得1,2.b a =⎧⎨=⎩所以椭圆C 的方程为24x ＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d =，所以||AB==.又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.由220,44,x ky kx y++=⎧⎨+=⎩消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故0284kx=-.所以|PD|＝24k+.设△ABD的面积为S，则S＝12|AB|·|PD|＝24k+，所以S＝32=当且仅当k=时取等号．所以所求直线l1的方程为y＝x－1.22．(2013浙江，理22)(本题满分14分)已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当x∈[0,2]时，求|f(x)|的最大值．解：(1)由题意f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3a－3.又f(1)＝1，所以所求的切线方程为y＝(3a－3)x－3a＋4.(2)由于f′(x)＝3(x－1)2＋3(a－1)，0≤x≤2，故①当a≤0时，有f′(x)≤0，此时f(x)在[0,2]上单调递减，故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3－3a.②当a≥1时，有f′(x)≥0，此时f(x)在[0,2]上单调递增，故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3a－1.③当0＜a＜1时，设x1＝1－x2＝1则0＜x1＜x2＜2，f′(x)＝3(x－x1)(x－x2)．由于f(故f(x1)＋f(x2)＝2＞0，f(x1)－f(x2)＝4(1－a0，从而f(x1)＞|f(x2)|.所以|f(x)|max＝max{f(0)，|f(2)|，f(x1)}．当0＜a＜23时，f(0)＞|f(2)|.又f(x1)－f(0)＝2(1－a(2－3a)2＞0，故|f(x)|max＝f(x1)＝1＋2(1－a当23≤a＜1时，|f(2)|＝f(2)，且f(2)≥f(0)．又f(x1)－|f(2)|＝2(1－a(3a－2)2，所以当23≤a＜34时，f(x1)＞|f(2)|.故f(x)max＝f(x1)＝1＋2(1－a当34≤a＜1时，f(x1)≤|f(2)|.故f(x)max＝|f(2)|＝3a－1. 综上所述，|f(x)|max＝33,0,3 121,4331,.4a aa aa a⎧⎪-≤⎪⎪+(-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩。
2013年浙江高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题1．已知i 是虚数单位，则(1i)(2i)-+-= （ ） A ．3i -+ B. 13i -+ C. 33i -+ D.1i -+ 【测量目标】复数代数形式的四则运算. 【考查方式】求两个复数相乘的结果 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】(-1+i)(2-i)=- 2+i+2i+1=-1+3i ，故选B.2．设集合2{|2},{|340}S x x T x x x =>-=+-…，则()S T =R ð （ ） A ．(2,1]- B.]4,(--∞ C.]1,(-∞ D.),1[+∞ 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】用描述法给出两个集合求补集的并. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】∵集合S ={x |x ＞-2}，∴S R ð={x |x …-2}，由2x +3x -4…0得：T={x |-4…x …1}，故(S R ð) T ={x |x …1}，故选C.3．已知y x ,为正实数，则 （ ）A.y x yx lg lg lg lg 222+=+ B.lg()lg lg 222x y x y += C.lg lg lg lg 222x yx y =+ D.lg()lg lg 222xy x y = 【测量目标】指数幂运算.【考查方式】给出指数型的函数，化简函数. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】因为s ta+=s a ta ，lg(xy )=lg x +lg y (x ，y 为正实数)，所以()lg 2xy =lg +lg 2x y=lg 2xlg 2y ，满足上述两个公式，故选D.4．已知函数()cos()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>>∈R ，则“)(x f 是奇函数”是π2ϕ=的（ ）A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【测量目标】三角函数的性质，三角函数的诱导公式.【考查方式】给出含参量的三角函数表达式，由函数是奇函数判断命题条件. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】若φ=π2，则f (x )=A cos(ωx +π2)⇒f (x )=-A sin(ωx )(A ＞0，ω＞0，x ∈R )是奇函数；若f (x )是奇函数⇒f (0)=0，∴f (0)=A cos(ω×0+φ)=A cos φ=0.∴φ=k π+π2，k ∈Z ，不一定有φ=π2，“f (x )是奇函数”是“φ=π2”必要不充分条件.故选B.5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则 （ ）A.4=aB.5=aC. 6=aD.7=a第5题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图的输出值求输入的值. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由已知可得该程序的功能是：计算并输出S =1+112⨯+…+1(1)a a +=1+1-11a +=2-11a +.若该程序运行后输出的值是95，则2-11a +=95.∴a =4，故选A.6．已知,sin 2cos 2ααα∈+=R ，则=α2tan （ ） A.34 B. 43 C.43- D.34-【测量目标】二倍角，三角函数的诱导公式.【考查方式】给出正弦和余弦的方程求解二倍角的正切. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】∵sin α+2cos α，又2sin α+2cos α=1，联立解得sin cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,故tan α=sin cos αα =13-或tan α=3，代入可得tan2α=22tan 1tan αα-=212()311()3⨯---=34-或tan2α=22tan 1tan αα-=22313⨯-=34-.故选C.7．设0,ABC P △是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC….则 （ ） A. 90ABC ∠= B. 90BAC ∠=C. AC AB =D.BC AC =【测量目标】平面向量的算量积运算，向量的坐标运算.【考查方式】在三角形中给出定点在三角形中的位置，求定点与各顶点所成向量数量积的大小.【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设AB =4，C (a ，b )，P (x ，0),则0BP =1，A (-2，0)，B (2，0)，0P (1，0),∴0P B =(1，0)，PB =(2-x ，0)，PC =(a -x ，b )，0PC =(a -1，b ),∵恒有PB PC ≥00P B PC ,∴(2-x )(a -x )≥a -1恒成立,整理可得2x - (a +2)x +a +1≥0恒成立,∴Δ=()22a +-4(a +1)≤0,即Δ=2a ≤0,∴a =0，即C 在AB 的垂直平分线上,∴AC =BC ,故△ABC 为等腰三角形,故选D.第7题图8．已知e 为自然对数的底数，设函数()(e 1)(1)(1,2)x k f x x k =--=，则 （ ） A ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值 B ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值C ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】给出含未知量的函数表达式，判断函数何时取得极值. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】当k =2时，函数f (x )=(e x-1)2(1)x -.求导函数可得()f x '=e x 2(1)x -+2(e x -1)(x -1)=(x -1)(x e x +e x -2)，∴当x =1，()f x '=0，且当x ＞1时，()f x '＞0，当12＜x ＜1时，()f x '＜0，故函数f (x )在(1，+∞)上是增函数；在(12，1)上是减函数，从而函数f (x )在x =1取得极小值.对照选项.故选C.第8题图9．如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是 （ ）第9题图A.2 B.3 C.23 D.26【测量目标】椭圆和双曲线的简单几何性质.【考查方式】椭圆和双曲线相交焦点和交点构成矩形，求双曲线的离心率. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】|1AF |=x ，|2AF |=y ，x y <∵点A 为椭圆1C ：24x +2y =1上的点，∴2a =4，b =1，c|1AF |+|2AF |=2a =4，即x +y =4①；又四边形12AF BF 为矩形，∴21AF +22AF =212F F ，即2x +2y =()22c=(2=12②，由①②得：22412x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得x =2-y2x y ==-，设双曲线2C 的实轴长为12a ，焦距为12c ，则12a =|2AF |-|1AF |=y -x12c=2C 的离心率e =11c a故选D. 10．在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记π()B f A =.设βα,是两个不同的平面，对空间任意一点P ，)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =，则（ ） A ．平面α与平面β垂直 B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为45C. 平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为60【测量目标】空间中点、线、面之间的位置关系，二面角. 【考查方式】给出两个平面判断面面之间的位置关系. 【难易程度】较难 【参考答案】A【试题解析】设1P =()f P α，则根据题意，得点1P 是过点P 作平面α垂线的垂足,∵1Q =()[]f f P βα=1()f P β，∴点1Q 是过点1P 作平面β垂线的垂足,同理，若2P =()f P β，得点2P 是过点P 作平面β垂线的垂足,因此2Q =()[]f f P αβ表示点2Q 是过点2P 作平面α垂线的垂足,∵对任意的点P ，恒有1PQ =2PQ ，∴点1Q 与2Q 重合于同一点,由此可得，四边形112PPQ P 为矩形，且∠112PQ P 是二面角α﹣l ﹣β的平面角,∵∠112PQ P 是直角，∴平面α与平面β垂直,故选A.第10 题图二、填空题 11．设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ，则=A ________. 【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出含根式的二项式，求解展开式中常数项的系数. 【难易程度】容易 【参考答案】-10【试题解析】二项式5的展开式的通项公式为 1r T +=5325C (1)rr r rx x --- =15565(1)C r rr x-- .令1556r-=0，解得r =3，故展开式的常数项为-35C =-10.故答案为-10.12．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于________3cm .第12题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积和体积. 【考查方式】给出几何体的三视图，求几何体的体积. 【难易程度】中等 【参考答案】24【试题解析】几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，棱柱的高为5，被截取的棱锥的高为3.如图：V =V 棱柱-V 三棱锥=12×3×4×5-13×12×3×4×3=24(3cm ),故答案为：24.第12题图13．设y kx z +=，其中实数y x ,满足20240240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩………，若z 的最大值为12，则实数=k ________.【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出可行域的不等式和目标函数的最大值，求目标函数中未知数的值. 【难易程度】中等 【参考答案】2【试题解析】可行域如图：由24=024=0x y x y -+⎧⎨--⎩得：A (4，4)，同样地，得B (0，2)，（步骤1）①当k ＞-12时，目标函数z =kx +y 在x =4，y =4时取最大值，即直线z =kx +y 在y 轴上的截距z 最大，此时，12=4k +4，故k =2. （步骤2） ②当k ≤-12时，目标函数z =kx +y 在x =0，y =2时取最大值，即直线z =kx +y 在y 轴上的截距z 最大，此时，12=0×k +2，故k 不存在.综上，k =2.故答案为：2. （步骤3）第13题图14．将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答） 【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】给出六个字母和限定条件求排法的种数. 【难易程度】中等 【参考答案】480【试题解析】按C 的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可. （步骤1）当C 在左边第1个位置时，有55A =120种，当C 在左边第2个位置时2343A A =72种，（步骤2）当C 在左边第3个位置时，有2333A A +2323A A =48种，共为240种，乘以2，得480.则不同的排法共有 480种.故答案为：480. （步骤3）15．设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,，点Q为线段AB 的中点，若2||=FQ ，则直线l 的斜率等于________. 【测量目标】直线与抛物线的位置关系.【考查方式】给出抛物线方程和直线过的定点和直线与抛物线交线的长度求直线斜率. 【难易程度】较难 【参考答案】不存在【试题解析】由题意设直线l 的方程为my =x +1，联立214my x y x=+⎧⎨=⎩得到2y -4my +4=0，（步骤1）Δ=162m -16=16(2m -1)＞0.设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，Q (0x ，0y ).∴1y +2y =4m ，∴0y =122y y +=2m ，（步骤2）∴0x =m 0y -1=22m -1.∴Q (22m -1，2m )，（步骤3）由抛物线C ：2y =4x 得焦点F (1，0).∵|QF |=2=2，化为2m =1，解得m =±1，不满足Δ＞0.故满足条件的直线l 不存在. （步骤4）故答案为不存在. 16.ABC △中，90C ∠= ,M 是BC 的中点，若31sin =∠BAM ，则=∠BAC sin ________. 【测量目标】正弦定理和余弦定理解三角形.【考查方式】直角三角形中直角边的中点，求三角形中角的正弦值. 【难易程度】较难【参考答案】3【试题解析】如图,设AC =b ，AB =c ，CM =MB =2a，∠MAC =β，在△ABM 中，由正弦定理可得2sin sin ac BAM AMB=∠∠，代入数据可得21sin 3a c AMB =∠，解得2sin 3c AMB a ∠=，（步骤1）故πcos cos 2AMC β⎛⎫=-∠ ⎪⎝⎭=sin AMC ∠=()2sin πsin 3c AMB AMB a -∠=∠=，而在Rt △ACM 中，cos β=AC AM =23ca =，化简可得a 4-4a 2b 2+4b 4=(a 2-2b 2)=0，解之可得a，（步骤2）再由勾股定理可得a 2+b 2=c 2，联立可得c，故在Rt △ABC 中，sin ∠BAC=BC a AB c ===骤3）第16题图17．设12,e e 为单位向量，非零向量12x y +b =e e ，,x y ∈R ，若12,e e 的夹角为π6，则||||x b 的最大值等于________.【测量目标】向量模的计算，向量的数量积，不等式性质. 【考查方式】给出单位向量和非零向量，求向量模的比值. 【难易程度】较难 【参考答案】2【试题解析】∵12,e e 为单位向量，1e 和2e 的夹角等于30°，（步骤1）∴12 e e =1×1×cos30°=2.∵非零向量12x y +b =e e ，（步骤2）∴===b （步骤3）∴x====b故当x y=x b取得最大值为2，故答案为 2. （步骤4） 三、解答题18．在公差为d 的等差数列}{n a 中，已知101=a ，且3215,22,a a a +成等比数列.（1）求n a d ,； （2）若0<d ，求.||||||||321n a a a a ++++【测量目标】等差数列的通项公式和.【考查方式】给出等比数列的首相和三项成等比数列，求通项公式，和前n 项绝对值和. 【难易程度】容易【试题解析】（Ⅰ）由已知得到：22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+224112122125253404611n n d d d d d d d a n a n==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨=+=-⎩⎩或；（步骤1）（Ⅱ）由（1）知，当0d <时，11n a n =-， ①当111n剟时，123123(1011)(21)0||||||||22n n n n n n n a a a a a a a a a +--∴++++=++++==…（步骤2）②当12n …时，1231231112132123111230||||||||()11(2111)(21)2ln 2202()()2222n n n n a a a a a a a a a a a a n n n a a a a a a a a ∴++++=++++-+++---+=++++-++++=⨯-=…所以，综上所述：1232(21),(111)2||||||||21220,(12)2n n n n a a a a n n n -⎧⎪⎪++++=⎨-+⎪⎪⎩ 剟…；（步骤3）19．设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分.（1）当1,2,3===c b a 时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，.求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若95,35==ηηD E ，求.::c b a 【测量目标】随机事件与概率，期望和方差.【考查方式】有放回取样的分布列和已知期望和方差求个数比. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时2ξ=，此时331(2)664P ξ⨯===⨯；（步骤1）当两次摸到的球分别是黄黄，红蓝，蓝红时4ξ=，此时2231135(4)66666618P ξ⨯⨯⨯==++=⨯⨯⨯；（步骤2）当两次摸到的球分别是红黄，黄红时(3)P ξ=，此时32231(3)66663P ξ⨯⨯==+=⨯⨯；（步骤3）当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时(5)P ξ=，此时12211(5)66669P ξ⨯⨯==+=⨯⨯；（步骤4）当两次摸到的球分别是蓝蓝时P (6ξ=)，此时111(6)P ξ⨯===；（步骤5）所以ξ的分布列是： 9所以：2225233555253(1)(2)(3)9333a b c E a b c a b c a b ca b c D a b c a b c a b c ηη⎧==++⎪⎪++++++⎨⎪==-⨯+-⨯+-⨯⎪++++++⎩，所以2,3::3:2:1b c a c a b c ==∴=.（步骤6）20．如图，在四面体BCD A -中，⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且QC AQ 3=.（1）证明：//PQ 平面BCD ；（2）若二面角D BM C --的大小为60，求BDC ∠的大小.第20题图【测量目标】空间直线与平面的位置关系，异面直线成角.【考查方式】给出四面体和直线间的位置和长度关系求解二面角大大小. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）方法一：如图，取MD 的中点F ，且M 是AD 中点，所以3AF FD =.因为P 是BM 中点，所以PF BD ；（步骤1）又因为3AQ QC =且3AF FD =，所以QF CD ，所以面PQF 面BDC ，且PQ ⊂面PQF ，所以PQ 面BDC ；（步骤2）第20题图方法二：如图所示，第20题图取BD 中点O ，且P 是BM 中点，所以12PO MD ；取CD 的三等分点H ，使3DH C H =，且3AQ QC =，所以1142QH AD MD，（步骤1）所以PO QH 四边形PQHO 是平行四边形PQ OH ∴ ，且OH BCD ⊂面，所以PQ 面BDC ；（步骤2） （Ⅱ）如图所示，第20题图由已知得到面ADB ⊥面BDC ，过C 作CG BD ⊥于G ，所以CG BMD ⊥面，过G 作GH BM ⊥于H ，连结CH ，所以CHG ∠就是C BM D --的二面角；（步骤3）由已知得到3BM ==，设BDC α∠=，所以cos ,sin ,sin ,,CD CG CBCD CG BC BD CD BDαααααα===⇒===，在Rt BCG △中，2s i ns i n BG BCG BG BCααα∠=∴=∴=，（步骤4）所以在Rt BHG △中，13HG =∴=，所以在Rt CHG △中tan tan 603CG CHG HG ∠==== （步骤5）tan (0,90)6060BDC ααα∴=∈∴=∴∠= ；（步骤6）21．如图，点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点，1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于两点，2l 交椭圆1C 于另一点D .（1）求椭圆1C 的方程； （2）求ABD △面积取最大值时直线1l 的方程.第21题图【测量目标】直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系.【考查方式】给出定点和圆的方程，由直线与椭圆、圆的位置关系求椭圆方程和直线方程. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由已知得到1b =，且242a a =∴=，所以椭圆的方程是2214x y +=；（步骤1）（Ⅱ）因为直线12l l ⊥，且都过点(0,1)P -，所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=，直线21:10l yx x k y k k=--⇒++=，所以圆心(0,0)到直线1:110l yk x k x y =-⇒--=的距离为d =，（步骤2）所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==；（步骤3）由2222248014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，（步骤4） 所以228||44D P k x x DP k k +=-∴==++，（步骤5）所以11||||22444313ABDS AB DP k k k ====++++△23232===…（步骤6）当2522k k =⇒=⇒=±时等号成立，此时直线1:1l y x =-（步骤7） 22．已知a ∈R ，函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f（1）求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）当]2,0[∈x 时，求|)(|x f 的最大值. 【测量目标】利用导数求函数的最值问题.【考查方式】给出含有未知量的函数求函数的最大值. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由已知得：2()363(1)33f x x x a f a ''=-+∴=-，且(1)13333f a a =-++-=，所以所求切线方程为：1(33)(1)y a x -=--，即为：3(1)430a x y a --+-=；（步骤1）（Ⅱ）由已知得到：2()3633[(2)]f x x x a x x a '=-+=-+，其中44a ∆=-，当[0,2]x ∈时，(2)0x x -…，（步骤2）（1）当0a …时，()0f x '…，所以()f x 在[0,2]x ∈上递减，所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =，（步骤3）因为max (0)3(1),(2)31(2)0(0)|()|(0)33f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-；（步骤4） （2）当440a ∆=-…，即1a …时，()0f x '…恒成立，所以()f x 在[0,2]x ∈上递增，所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =，（步骤5）因为max (0)3(1),(2)31(0)0(2)|()|(2)31f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-；（步骤6） （3）当440a ∆=->，即01a <<时，212()363011f x x x a x x '=-+=∴==+，且1202x x <<<，即所以12()12(1()12(1f x a f x a =+-=--，且31212()()20,()()14(1)0,f x f x f x f x a ∴+=>=--<12()()4(1f x f x a -=-，所以12()|()|f x f x >，（步骤7）所以max 1|()|max{(0),(2),()}f x f f f x =；（步骤8） 由2(0)(2)3331003f f a a a -=--+>∴<<，所以 （ⅰ）当203a <<时，(0)(2)f f >，所以(,1][,)x a ∈-∞+∞ 时，()y f x =递增，(1,)x a ∈时，()y f x =递减，所以max 1|()|max{(0),()}f x f f x =，（步骤9）因为21()(0)12(1332(1(23f x f a a a a -=+-+=--=，又因为203a <<，所以230,340a a ->->，所以1()(0)0f x f ->，所以m a x 1|()|()12(1f x f x a ==+-10）（ⅱ）当213a <…时，(2)0,(0)0f f ><，所以max 1|()|max{(2),()}f x f f x =，因为21()(2)12(1312(1(32)f x f a a a a -=+-+=--=，此时320a ->，当213a <<时，34a -是大于零还是小于零不确定，所以 ① 当2334a <<时，340a->，所以1()|(2)|f x f >，所以此时max 1|()|()12(1f x f x a ==+-（步骤11） ② 当314a <…时，340a-<，所以1()|(2)|f x f …，所以此时m a x|()|(2)31f x f a ==-（步骤12）综上所述：max 33,(0)3|()|12(1)4331,()4a a f x a a a a ⎧-⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-⎩…….（步骤13）。
(浙江专用)2013高考数学二轮复习专题限时集训(十九)B理(解析版)
专题限时集训(十九)B[第19讲 复数、算法与推理证明](时间：30分钟)1．复数z 满足等式(2－i)·z ＝i ，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．设z 1＝1＋i ，z 2＝1－i(i 是虚数单位)，则z 1z 2＋z 2z 1＝( ) A ．－i B ．i C ．0 D ．13．运行如图19－5所示的程序框图，则输出S 的值为( )图19－5A ．3B ．－2C ．4D ．84．设复数z 1＝1－3i ，z 2＝3－2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．复数z ＝x ＋3i1－i(x ∈R ，i 是虚数单位)是实数，则x 的值为( )A ．3B ．－3C ．0 D. 36．阅读如图19－6所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5图19－6 图19－77．算法程序框图如图19－7所示，其输出结果是( ) A ．124 B ．125 C ．126 D ．1278．通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R 2”，猜想关于球的相应命题为( )A ．半径为R 的球的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为2R 3B ．半径为R 的球的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为3R 3C ．半径为R 的球的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为439R 3D ．半径为R 的球的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为839R 39．设a ∈R ，且(a ＋i)2i 为正实数，则a 的值为________．10．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式．．．．．为________． 11．某程序框图如图19－8所示，现将输出的(x ，y )值依次记为：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，…；若程序运行中输出的一个数组是(x ，－10)，则数组中的x ＝________.图19－812．把正整数排列成如图19－9甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图19－9乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列{a n }，若a n ＝2 011，则n ＝________.图19－9专题限时集训(十九)B【基础演练】1．B [解析] z ＝i2－i ＝＋－＋＝－1＋2i 5＝－15＋25i ，所以复数z 对应的点位于复平面的第二象限．2．C [解析] 因为z 1＝1＋i ，z 2＝1－i(i 是虚数单位)，所以z 1z 2＋z 2z 1＝1＋i 1－i ＋1－i1＋i＝i ＋(－i)＝0.3．B [解析] S ＝1＋(－1)1×1＋(－1)2×2＋(－1)3×3＋(－1)4×4＋(－1)5×5＝－2. 4．D [解析] ∵z 1z 2＝－＋－＋＝9－7i 13，∴z 1z 2在复平面内对应的点在第四象限．【提升训练】 5．B [解析] z ＝x ＋3i1－i＝x ＋＋－＋＝x －＋＋x2＝x －32＋3＋x2i 是实数，∴3＋x2＝0⇒x ＝－3.6．C [解析] 由程序框图可知，该框图的功能是输出使和S ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋i ·2i>11时i 的值加1，因为1·21＋2·22＝10<11，1·21＋2·22＋3·23>11，所以当S >11时，计算i ＝3，故输出的i 是4，选C.7．D [解析] a 的取值依次构成一个数列，且满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则求第一个大于100的a n 值，写出这个数列1,3,7,15,31,63,127，…，故结果为127.8．D [解析] 正方形类比到空间的正方体，即“半径为R 的球的内接六面体中以正方体的体积为最大”，此时正方体的棱长a ＝2R 3，故其体积是⎝⎛⎭⎪⎫2R 33＝839R 3. 9．－1 [解析] (a ＋i)2i ＝(a 2－1＋2a i)i ＝－2a ＋(a 2－1)i>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－2a >0，a 2－1＝0.解得a ＝－1.10．13＋23＋33＋43＋53＋63＝212[解析] 观察可知，第n 个等式的左边是从1开始的连续n ＋1个自然数的立方和，而右边是这连续自然数和的平方，第5个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.11．32 [解析] 由程序框图可知，第一次运行时，输出(1,0)，n ＝3，x ＝2×1＝2，y ＝0－2＝－2；第二次运行时，输出(2，－2)，n ＝5，x ＝2×2＝4，y ＝－2－2＝－4；以此类推，x 每次乘以2，y 每次减小2，故后面输出依次是(4，－4)，(8，－6)，(16，－8)，(32，－10)．故所求的x ＝32.12．1 028 [解析] 每一行最后一个数是第n 行的平方，∴452＝2 025,442＝1 936，∴2 011在第45行，2011－1937＋22＝38，∴a n ＝2 011是第45行的第38个数，∴n ＝1＋2＋3＋…＋44＋38＝1 028.。
2013年高考真题理科数学(浙江卷)解析版含答案
解析：
22、已知 ，函数
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求 的最大值.
解析：
C.当 时， 在 处取得极小值
D.当 时， 在 处取得极大值
答案：C
解析：
考点定位：此题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性函数的极值；
9、如图， 是椭圆 与双曲线 的公共焦点， 分别是 ， 在第二、四象限的公共点。若四边形 为矩形，则 的离心率是
A. B. C. D.
答案：D
解析：由已知得： 由椭圆及双曲线的定义和已知得到：
15、设 为抛物线 的焦点，过点 的直线 交抛物线 于两点 ，点 为线段 的中点，若 ，则直线的斜率等于________。
答案：
解析：由
考点定位：
16、 中， , 是 的中点，若 ，则 ________。
答案：
解析：
解析：此题考查同角三角函数平方关系、余弦定理和锐角的三角函数的定义，考查学生的运算求解能力。
考点定位：此题考查椭圆和双曲线的定义、性质的应用；
10、在空间中，过点 作平面 的垂线，垂足为 ，记 。设 是两个不同的平面，对空间任意一点 ， ,恒有 ，则
A.平面 与平面 垂直B.平面 与平面 所成的（锐）二面角为
C.平面 与平面 平行D.平面 与平面 所成的（锐）二面角为
答案：A
解析：
考点定位：此题是信息类题目，考查线面垂直和面面垂直的知识点，考查学生的自学能力和运用所学知识解决问题的能力；
7、设 是边 上一定点，满足 ，且对于边 上任一点 ，恒有 。则
A. B. C. D.
答案：D
解析：利用特殊值法可以解决，如CP=AB或PB=PA即可求出答案，所以选D；
2013年高考全国Ⅱ理科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2013年全国Ⅱ，理1，5分】已知集合{}2|(1)4),M x x x R =-<∈，{}1,0,1,2,3N =-，则M N = （ ）（A ）{}0,1,2 （B ）{}1,0,1,2- （C ）{}1,0,2,3- （D ）{}0,1,2,3 【答案】A【解析】因为{}31|<<-=x x M ，{}3,2,1,0,1-=N ，所以{}0,1,2M N = ，故选A ． （2）【2013年全国Ⅱ，理2，5分】设复数z 满足(1i)2i z -=则z =（ ）（A ）1i -+ （B ）1i -- （C ）1i + （D ）1i - 【答案】A【解析】2i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)z +===-+--+，故选A ． （3）【2013年全国Ⅱ，理3，5分】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =（ ）（A ）13 （B ）13- （C ）19（D ）19-【答案】C【解析】设数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则由59a =，得19a =，此时327S =，而211099a a +=，不满足题意，因此1q ≠．∵1q ≠时，33111(1)·101a q qa a S q -=-=+，∴31101q q q -=+-，整理得29q =． ∵451·9a a q ==，即1819a =，∴119a =，故选C ．（4）【2013年全国Ⅱ，理4，5分】已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）（A ）//αβ且//l α （B ）αβ⊥且l β⊥ （C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l【答案】D【解析】因为m α⊥，l m ⊥，l α⊄，所以//l α．同理可得//l β．又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线，故选D ．（5）【2013年全国Ⅱ，理5，5分】已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数是5，则a =（ ）（A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）1- 【答案】D【解析】因为5(1)x +的二项展开式的通项为5C 0)5(r rr r x ≤≤∈Z ，，则含2x 的项为221552C C 105()x ax x a x +⋅=+，所以1055a +=，1a =-，故选D ． （6）【2013年全国Ⅱ，理6，5分】执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =（ ）（A ）1111+2310+++ （B ）1111+2!3!10!+++ （C ）1111+2311+++ （D ）1111+2!3!11!+++【答案】D【解析】由程序框图知，当1k =，0S =，1T =时，1T =，1S =；当2k =时，12T =，1=1+2S ；当3k =时，123T =⨯，111+223S =+⨯；当4k =时，1234T =⨯⨯，1111+223234S =++⨯⨯⨯；…； 当10k =时，123410T =⨯⨯⨯⨯ ，1111+2!3!10!S =+++ ，k 增加1变为11，满足k N >，输出S ，所以B 正确，故选D ．（7）【2013年全国Ⅱ，理7，5分】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()1,0,1，()1,1,0，()0,1,1，()0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系O xyz -的图像为下图：则它在平面zOx 上的投影即正视图为A 图形，故选A ．（8）【2013年全国Ⅱ，理8，5分】设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）a b C >> 【答案】D【解析】根据公式变形，lg 6lg 21lg3lg3a ==+，lg10lg 21lg 5lg 5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+，因为lg 7lg5lg3>>， 所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg5lg3<<，即c b a <<，故选D ． （9）【2013年全国Ⅱ，理9，5分】已知0a >，,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值是1，则a =（ ）（A ）14 （B ）12（C ）1 （D ）2【答案】B【解析】由题意作出13x x y ≥⎧⎨+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示，作直线21x y +=，因为直线21x y +=与直线1x =的交点坐标为(1)1-，，结合题意知直线()3y a x =-过点(1)1-，，代入得12a =，故选B ． （10）【2013年全国Ⅱ，理10，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）（A ）0x R ∃∈，0()0f x = （B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确．由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为0,0（），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间0,x -∞（）单调递减是错误的，D 正确，故选C ．（11）【2013年全国Ⅱ，理11，5分】设抛物线22(0)y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF为直径的圆过点0,2（），则C 的方程为（ ）（A ）24y x =或28y x = （B ）22y x =或28y x = （C ）24y x =或216y x = （D ）22y x =或216y x = 【答案】C【解析】设点M 的坐标为00()x y ，，由抛物线的定义，得052P MF x =+=，则052x p =-．又点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以以MF 为直径的圆的方程为()()0020p y y x x x y ⎛⎫- ⎭-⎪⎝-+=．将0x =，2y =代入得00840px y +-=，即0202480y y -+=，所以04y =．由0202y px =，得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解之得2p =，或8p =． 所以C 的方程为24y x =或216y x =，故选C ．（12）【2013年全国Ⅱ，理12，5分】已知1,0A -（），1,0B （），0,1C （），直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）（A ）0,1（） （B ）112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）113⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【答案】B第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上（13）【2013年全国Ⅱ，理13，5分】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=______． 【答案】2【解析】解法一：在正方形中，12AE AD DC =+ ,BD BA AD AD DC =+=-,所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯= ．解法二：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为()0,0，点B 的坐标为()2,0，点D 的坐标为()0,2，点E 的坐标为()1,2，则()1,2AE =，()2,2BD =-，所以2AE BD ⋅= ． （14）【2013年全国Ⅱ，理14，5分】从n 个正整数1,2,3,4,5，…，n 中任意取出两个不同的数，若其和为5的概率是114，则n =__ ____．【答案】8【解析】从1,2，…，n 中任取两个不同的数共有2C n种取法，两数之和为5的有()1,4，()2,3 2种，所以221C 14n=，即24111142n n n n ==(-)(-)，解得8n =．（15）【2013年全国Ⅱ，理15，5分】设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=_______．【答案】【解析】由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，得1t a n 3θ=-，即1s i n c o s 3θθ=-．将其代入22sin cos 1θθ+=，得210cos 19θ=．因为θ为第二象限角，所以cos θ=，sin θ=sin cos θθ+=． （16）【2013年全国Ⅱ，理16，5分】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为_______． 【答案】49-【解析】设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1101109S =10210450a a d d ⨯=+=＋，①115115141521510525d S a d a =+⨯==+．② 联立①②，得13a =-，23d =，所以2(1)211032333n n n n S n n --+⨯=-=．令()n f n nS =，则32110()33f n n n =-，220'()3f n n n =-．令()0f n '=，得0n =或203n =．当203n >时，()0f n '>,200<<3n 时，()0f n '<，所以当203n =时，()f n 取最小值，而n +∈N ，则()648f =-，()749f =-，所以当7n =时，()f n 取最小值49-．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）【2013年全国Ⅱ，理17，12分】ABC ∆的内角的对边分别为,,,a b c 已知cos cos a b C c B =+．（1）求B ；（2）若2b =，求ABC ∆的面积的最大值． 解：（1）由已知及正弦定理得sin sin cos sin sin A B C C B =+．① 又()A B C π=-+，故()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+．② 由①，②和0()C π∈，得sin cos B B =， 又0()B π∈，，所以π4B =． （2）ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==．由已知及余弦定理得22π2cos 44ac a c =+-． 又222a c ac +≥，故ac ≤a c =时，等号成立．因此ABC ∆．（18）【2013年全国Ⅱ，理18，12分】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点．1AA AC CB AB ===． （1）证明：1//BC 平面11A CD ；（2）求二面角1D ACE --的正弦值． 解：（1）连结1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则1//BC DF ． 因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ．（2）由AC CB AB ==得，AC BC ⊥．以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图 所示的空间直角坐标系C xyz -．设2CA =，则()1,1,0D ，()0,2,1E ，()12,0,2A ，()1,1,0CD =， ()0,2,1CE = ，()12,0,2CA =．设111()x y z =n ，，是平面1A CD 的法向量，则100CD CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即11110220x y x z +=⎧⎨+=⎩，可取11(1)=--n ，，．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量， 则10CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 可取2,1()2=-m ，．从而||||o c s ==n?m n n m m 〈，〉，故sin ,=n m 即二面角1D ACE --（19）【2013年全国Ⅱ，理19，12分】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t ，100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 （1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作1为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量[)100,110X ∈，则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[)100,110的频率)，求T 的数学期望．解：（1）当[)100,130X ∈时，()50030013080039000T X X X =--=-，当[]130,150X ∈时，50013065000T =⨯=． 所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩．（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤．由直方图知需求量[]120,150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7． （3）依题意可得T所以450000.1ET =⨯+（20）【2013年全国Ⅱ，理20，12分】平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：2222=1x y a b +(0a b >>)右焦点的直线0x y +交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12．（1）求M 的方程；（2）C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值．解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，00()P x y ，，则221122=1x y a b+，222222=1x y a b +，2121=1y y x x ---， 由此可得2212122121=1b x x y y a y y x x (+)-=-(+)-．因为1202x x x +=，1202y y y +=，0012y x =，所以222a b =． 又由题意知，M 的右焦点为)，故223ab -=．因此26a =，23b =．所以M 的方程为22=163x y +．（2）由220163x y xy⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩AB =CD 的方程为： y x n n ⎛=+<<⎝，设33()C x y ，，44()D x y ，．由22163y x nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2234260x nx n ++-=． 于是3,4x =CD 的斜率为1，所以43|x xCD -由已知，四边形ACBD 的面积1||||2S CD AB =⋅=． 当0n =时，S ．所以四边形ACBD ．（21）【2013年全国Ⅱ，理21，12分】已知函数()ln()x f x e x m =-+．（1）设0x =是()f x 的极值点，求m 并讨论()f x 的单调性； （2）当2m ≤时，证明()0f x >．解：（1）()1e x mf x x =-'+．由0x =是()f x 的极值点得()00f '=，所以1m =．于是()()e ln 1x f x x =-+，定义域为()1-+∞，，()1e 1x f x x =-+'．函数()1e 1x f x x =-+'在()1-+∞，单调递增，且()00f '=． 因此当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当0()x ∈+∞，时，()0f x '>．所以()f x 在()1,0-单调递减，在(0)+∞， 单调递增．（2）当2m ≤，()x m ∈-+∞，时，()()ln ln 2x m x +≤+，故只需证明当2m =时，()0f x >．当2m =时，函数()1e 2x f x x =-+'在()2-+∞，单调递增．又()10f '-<，()00f '>， 故()0f x '=在()2-+∞，有唯一实根0x ，且()01,0x ∈-．当02()x x ∈-，时，()0f x '<； 当0()x x ∈+∞，时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值．由()00f x '=得001e 2x x =+， ()00ln 2x x +=-，故()()20000011022f x x x x f x x (+)+=≥>++=．综上，当2m ≤时，()0f x >． 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请写清题号． （22）【2013年全国Ⅱ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且 ··BC AE DC AF =，B ，E ，F ，C 四点共圆． （1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；（2）若DB BE EA ==，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．解：（1）因为CD 为ABC ∆外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF ∆∆∽， 所以DBC EFA ∠=∠．因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒． 所以90CBA ∠=︒，因此CA 是ABC ∆外接圆的直径．（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由D B B E =，有C E D C =， 又22·2BC DB BA DB ==，所以222246CA DB BC DB =+=．而22·3DC DB DA DB ==，故过B ，E ，F ， C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值为12．（23）【2013年全国Ⅱ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知动点P Q 、都在曲线2cos :2sin x tC y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点． （1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2(2)2sin Q αα，，因此cos cos ()2sin sin2M αααα++，． M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，02απ<<)．（2）M点到坐标原点的距离)02d απ<<．当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（24）【2013年全国Ⅱ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（1）13ab bc ac ++≤；（2）2221a b c b c a ++≥．解：（1）由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，得222a b c ab bc ca ++≥++．由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c a b b c c a +++++=．()31ab bc ca ∴++≤，即13a b b c c a ++≤．（2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，故()222(2)a b ca abc c a b c b +≥++++++，即222a b c a b c b c a ≥++++．所以2221a b cb c a++≥．。
2013高考数学(文)二轮复习配套作业(解析版)：作业手册详答(浙江省专用)
2013高考数学（文）二轮复习配套作业（解析版）：作业手册详答（浙江省专用）专题限时集训(一)A【基础演练】1．A [解析] 依题意得P ＝{x ∈Z|x2<2}＝{－1，0，1}，故∁UP ＝{2}． 2．D [解析] 依题意得A ＝{－1，0，1}，因此集合A 的子集个数是23＝8.3．C [解析] 用数形结合的思想，函数y ＝2x 和y ＝x ＋2的图象可，有两个交点．故M∩N 有两个元素，子集的个数为4.4．B [解析] 因为当a·b>0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，所以命题p 是假命题；又命题q 是假命题，例如f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x≤0，－x ＋2，x>0.综上可知，“p 或q”是假命题．【提升训练】5．B [解析] 由x －2x ＋3<0得－3<x<2，即M ＝{x|－3<x<2}；由|x －1|≤2得－1≤x≤3，即N ＝{x|－1≤x≤3}．所以M∩N ＝[－1，2)．6．A [解析] f(x)＝log2(ax2＋ax ＋1)的定义域为R ，当a≠0时，a>0，Δ<0，则a2－4a<0，∴0<a<4；则当a ＝0时，也成立．故定义域为R 时，a ∈[0，4)，所以0<a<4是充分不必要条件．7．B [解析] 当c ＝－1时，由函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x≥1，x －1，x<1的图象可以得出其是增函数；反之，不一定成立，如取c ＝－2.所以“c ＝－1”是“f(x)在R 上单调递增”的充分不必要条件． 8．A [解析] 由“lgy 为lgx ，lgz 的等差中项”得2lgy ＝lgx ＋lgz ，则有y2＝xz(x>0，y>0，z>0)，y 是x ，z 的等比中项；反过来，由“y 是x ，z 的等比中项”不能得到“lgy 为lgx ，lgz 的等差中项”，例如y ＝1，x ＝z ＝－1.于是，“lgy 为lgx ，lgz 的等差中项”是“y 是x ，z 的等比中项”的充分不必要条件．9．C [解析] 命题p 等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a<－12；若p 假q 真，则－4<a<4.故实数a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．10．b ≤－4或b≥4 [解析] 因为值域为R ，所以真数的范围为(0，＋∞)，故Δ＝b2－16≥0，故b≤－4或b≥4.11．{5，6} [解析] 依题意作出满足条件的韦恩图，可得B ∩(∁UA)＝{5，6}．12．③ [解析] 对于①，注意到sin π6－2x ＝cos2x ＋π3，因此函数y ＝sin2x ＋π3sin π6－2x ＝sin2x ＋π3²cos2x ＋π3＝12sin4x ＋2π3，其最小正周期为2π4＝π2，所以①不正确；对于②，注意到命题“函数f(x)在x ＝x0处有极值，则f ′(x0)＝0”的否命题是“若函数f(x)在x ＝x0处无极值，则f ′(x0)≠0”，容易知该命题不正确，如取f(x)＝x3，f(x)无极值但当x0＝0时，f′(x0)＝0，故②不正确；对于③，依题意知，当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－2－x ，所以③正确．综上所述，其中正确的说法是③.专题限时集训(一)B【基础演练】1．C [解析] 依题意得∁RA ＝{x|－1≤x≤1}，B ＝{y|y≥0}，所以(∁R A)∩B ＝{x|0≤x≤1}． 2．A [解析] 依题意得M ＝{x|x≥－a}，N ＝{x|1<x<3}， 则∁UN ＝{x|x≤1，或x≥3}．又M∩(∁UN)＝{x|x ＝1，或x≥3}， 所以－a ＝1，求得a ＝－1.3．C [解析] 因为a2－a ＋1＝a －122＋34≥34>0，所以由a －1a2－a ＋1<0得a<1，不能得到|a|<1；反过来，由|a|<1得－1<a<1，所以a －1a2－a ＋1<0.因此“a －1a2－a ＋1<0”是“|a|<1”成立的必要不充分条件．4．A [解析] 1a >1b ⇔b －aab >0⇔ab(b －a)>0，而“a<b<0”只是满足这个等价条件的一种情况，故是充分不必要条件．【提升训练】5．A [解析] 依题意得A ＝{x|－5<x<6}．由cos πx 3＝12得πx 3＝2k π±π3，即x ＝6k±1，k ∈Z.令－5<6k ＋1<6得－1<k<56.又k ∈Z ，则k ＝0，故x ＝1；令－5<6k －1<6得－23<k<76，又k∈Z ，则k ＝0或k ＝1，故x ＝－1或x ＝5.于是，A∩B ＝{－1，1，5}．6．D [解析] 因为对任意x ∈R ，2x2＋2x ＋12＝2x ＋122≥0，所以p 为假命题；当x ＝3π4时，sin3π4－cos 3π4＝22＋22＝2，所以q 为真命题，则綈q 是假命题． 7．C [解析] 依题意得f(x)＝a2x2＋2(a·b)x ＋b2，由函数f(x)是偶函数，得a·b ＝0，又a ，b 为非零向量，所以a ⊥b ；反过来，由a ⊥b 得a·b ＝0，f(x)＝a2x2＋b2，函数f(x)是偶函数．综上所述，“函数f(x)＝(ax ＋b)2为偶函数”是“a ⊥b”的充要条件．8．B [解析] 注意到⊙O1与⊙O4无公共点，⊙O2与⊙O3无公共点，则满足题意的“有序集合对”(A ，B)的个数是4.9．C [解析] 依题意得f(4＋x)＝f(x)＝f(－x)，即函数f(x)是以4为周期的函数．因此，当f(0)<0时，不能得到函数f(x)在区间[0，6]上有3个零点；反过来，当函数f(x)在区间[0，6]上有3个零点时，结合该函数的性质分析其图象可知，此时f(0)<0.综上所述，f(0)<0是函数f(x)在区间[0，6]上有3个零点的必要不充分条件．10．ab ＝a2＋b2 [解析] 由A∩B 只有一个元素知，圆x2＋y2＝1与直线x a －yb ＝1相切，则1＝aba2＋b2，即ab ＝a2＋b2.11．必要不充分 [解析] 设向量a ，b 的夹角为θ，则由题意知，当a·b ＝|a|·|b|cos θ>0时，θ∈⎣⎡⎭⎫0，π2；若a 与b 的夹角为锐角，即θ∈0，π2.因为⎝⎛⎭⎫0，π2 ⎣⎡⎭⎫0，π2，所以p 是q 成立的必要不充分条件．12．(－∞，－1]∪[0，＋∞) [解析] 若对于任意实数x ，都有x2＋ax －4a>0，则Δ＝a2＋16a<0，即－16<a<0；若对于任意实数x ，都有x2－2ax ＋1>0，则Δ＝4a2－4<0，即－1<a<1.于是命题“对于任意实数x ，都有x2＋ax －4a>0且x2－2ax ＋1>0”是真命题时有a ∈(－1，0)，则命题“对于任意实数x ，都有x2＋ax －4a>0且x2－2ax ＋1>0”是假命题时a 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)． 专题限时集训(二)A 【基础演练】1．D [解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x>0，log3x ≠0，解得x>0且x≠1，故函数定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．2．C [解析] 函数是偶函数，只能是选项C 中的图象．3．C [解析] 依题意，因为5≥4，4≥4，所以f(5)＝f(5－1)＝f(4)＝f(4－1)＝f(3)，而3<4，所以f(3)＝23＝8.4．B [解析] 因为3a ＝5b ＝A ，所以a ＝log3A ，b ＝log5A ，且A>0，于是1a ＋1b ＝logA3＋logA5＝logA15＝2，所以A ＝15. 【提升训练】5．B [解析] 由loga2<0得0<a<1，f(x)＝loga(x ＋1)的图象是由函数y ＝logax 的图象向左平移1个单位得到的，故为选项B 中的图象．6．A [解析] 由条件知，0<a<1，b<－1，结合选项，函数g(x)＝ax ＋b 只有A 符合要求． 7．D [解析] 依题意得，方程f(x2－2x －1)＝f(x ＋1)等价于方程x2－2x －1＝x ＋1或x2－2x －1＝－x －1，即x2－3x －2＝0或x2－x ＝0，因此所有解之和为3＋1＝4. 8．A [解析] 依题意，f(27)＝11＋2713＝11＋3＝14，则f(f(27))＝f 14＝⎪⎪⎪⎪log414－1－2＝|－1－1|－2＝0.9．C [解析] 当x>0时，－x<0，f(－x)＋f(x)＝(2－x －1)＋(1－2－x)＝0；当x<0时，－x>0，f(－x)＋f(x)＝(1－2x)＋(2x －1)＝0；当x ＝0时，f(0)＝0.因此，对任意x ∈R ，均有f(－x)＋f(x)＝0，即函数f(x)是奇函数．当x>0，函数f(x)是增函数，因此函数f(x)单调递增． 10．D [解析] 作函数F(x)的图象，由方程f(x)＝g(x)得x ＝a ＋b －12，即交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b －12，⎝⎛⎭⎫b －a －122－a ，又函数F(x)＋x ＋a －b 有三个零点，即函数F(x)的图象与直线l ：y ＝－x ＋b －a 有三个不同的交点，由图象知P 在l 上，⎝⎛⎭⎫b －a －122－a ＝－a ＋b －12＋b －a ，即⎝⎛⎭⎫b －a －122＝b －a －12＋1，所以b －a ＝2±5，又b>a ，故b －a ＝2＋ 5.11．－12 [解析] 依题意，f(m)＝12，即em －1em ＋1＝12.所以f(－m)＝e －m －1e －m ＋1＝1－em 1＋em ＝－em －1em ＋1＝－12.12.⎣⎡⎭⎫32，3 [解析] 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3－a>0，a>1，（3－a ）·1－a≤loga1， 即⎩⎪⎨⎪⎧a<3，a>1，a≥32，解得32≤a<3.13．②③④ [解析] 根据单函数的定义可知命题②、④是真命题，①是假命题；根据一个命题与其逆否命题等价可知，命题③是真命题． 专题限时集训(二)B 【基础演练】1．C [解析] 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，1－lg （x ＋2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x ＋2≤10，解得－2<x≤8，故函数定义域为(－2，8]．2．B [解析] y ＝－1x 是奇函数，A 错误；y ＝e|x|是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，B 正确；y ＝－x2＋3是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，C 错误；y ＝cosx 是偶函数且在(0，＋∞)上有时递增，有时递减，D 错误．3．C [解析] 依题意，由f(2－x)＝f(x)得f(1－x)＝f(1＋x)， 即函数f(x)的对称轴为直线x ＝1，结合图形可知f 12<f 13<f(0)＝f(2)．4．C [解析] 由f(x)·g(x)为偶函数排除①④，当x→＋∞时，f(x)·g(x)→－∞，排除②，故为③. 【提升训练】5．C [解析] 将函数f(x)＝x|x|－2x 去掉绝对值，得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x ，x≥0，－x2－2x ，x<0，画出函数f(x)的图象，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．6．D [解析] 依题意得f(3)＝f(2)－f(1)＝[f(1)－f(0)]－f(1)＝－f(0)＝－log28＝－3.7．B [解析] 依题意，f(x)为定义在R 上的奇函数，则f(0)＝0，即30－2×0＋a ＝0，求得a ＝－1.又当x<0，－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－(3－x ＋2x ＋a)＝－3－x －2x ＋1，于是f(－2)＝－32－2×(－2)＋1＝－4.8．C [解析] 函数是偶函数，而且函数值为正值，在x→0时，x sinx 1，当x→π时，xsinx →＋∞，综合这些信息得只能是选项C 中的图象．9．D [解析] 依题意得，f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x≤0，－x ＋1，0<x<2，x －3，x≥2，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f(x －1)和y ＝t(|t|<1)的图象(如图)，由图象知方程f(x －1)＝t(|t|<1)所有根的和s 的取值范围是(2，4)．10．8 [解析] 依题意，若a>0，则f(a)＝log2a ＝3，求得a ＝8；若a≤0，则f(a)＝－2a ＝3，此时无解．于是a ＝8.11．－14 [解析] 由对任意t ∈R ，都有f(t)＝f(1－t)，可得f(－t)＝f(1＋t)，即f(t ＋1)＝－f(t)，进而得到f(t ＋2)＝－f(t ＋1)＝－[－f(t)]＝f(t)，即函数y ＝f(x)的一个周期为2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f －32＝f 12＝－14.所以f(3)＋f －32＝0＋－14＝－14.12．①②④ [解析] 依题意，令x ＝－2得f(2)＝f(－2)＋f(2)，又函数f(x)是偶函数，故f(2)＝0，所以①正确；根据①可得f(x ＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f(x)图象的一条对称轴，所以②正确；根据函数的周期性可知，函数f(x)在[8，10]上单调递减，所以③不正确；由于函数f(x)的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f(x)＝m 在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8，所以④正确． 13．②④ [解析] 对于①，结合函数f(x)的图象分析可知，不存在函数g(x)，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)不存在承托函数；对于②，注意到f(x)＝2－x>0，因此存在函数g(x)＝0，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)存在承托函数；对于③，结合函数f(x)的图象分析可知，不存在函数g(x)，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)不存在承托函数；对于④，注意到f(x)＝x ＋sinx ≥x －1，因此存在函数g(x)＝x －1，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)存在承托函数．综上所述，存在承托函数的f(x)的序号为②④. 专题限时集训(三) 【基础演练】1．B [解析] 依题意，因为f(1)＝log21－1＝－1<0，f(2)＝log22－121－12＝12>0，所以函数f(x)的零点x0∈(1，2)．2．B [解析] 依题意，由所给出的函数图象可求得函数解析式为h ＝20－5t(0≤t≤4)，对照选项可知图象应为B.故选B.3．C [解析] 将表中的数据代入各选项中的函数解析式验证，可知只有v ＝t2－12满足．故选C.4．B [解析] 在同一坐标系内画出函数y ＝3cos π2x 和y ＝log2x ＋12的图象，可得交点个数为3.【提升训练】5．B [解析] 当x≤0时，令x2＋2x －3＝0，解得x ＝－3；当x ＞0时，令－2＋lnx ＝0，解得x ＝e2，所以已知函数有2个零点，选B.6．B [解析] 记F(x)＝x3－12x －2，则F(0)＝0－12－2＝－4<0，F(1)＝1－12－1＝－1<0，F(2)＝8－120＝7>0，所以x0所在的区间是(1，2)．故选B.7．C [解析] 设CD ＝x ，依题意，得S ＝x(16－x)(4<x<16－a)，所以Smax ＝f(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧64（0<a≤8），a （16－a ）（8<a<12），对照图象知，C 符合函数模型对应的图象．故选C. 8．C [解析] 由已知f(2)＝2a ＋b ＝0，可得b ＝－2a ，则g(x)＝－2ax2－ax ，令g(x)＝0得x ＝0或x ＝－12，所以g(x)的零点是0或－12，故选C.9．D [解析] 由对任意的x ∈R 都有f(x ＋1)＝f(x －1)知f(x)＝f(x ＋2)，即函数y ＝f(x)的周期为2，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f(x)(x ∈[－1，3])和y ＝m(x ＋1)的图象(如图)，要使函数g(x)＝f(x)－mx －m 恰有四个不同零点，则0<m≤14.10．B [解析] ex 和sinx 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2上都是增函数，则f(x)在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2上也是增函数，x0是函数y ＝f(x)的零点，所以f(x0)＝0，当x0<t<0时，f(t)>0.11．3 [解析] 由题意知，f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4－2<0，所以该函数的零点在区间(3，4)内，由此可得k ＝3.故填3.12．(0，1) [解析] 画出函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x>0，－x2－2x ，x≤0的图象(如图)，由函数g(x)＝f(x)－m 有3个零点，结合图象得0<m<1.故填(0，1)．13．解：(1)条件说明抛物线f(x)＝x2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m<－12，m ∈R ，m<－12，m>－56.∴－56<m<－12.(2)抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m2－4（2m ＋1）≥0，f （0）＝2m ＋1>0，f （1）＝4m ＋2>0，0<－m<1，得－12<m≤1－2.(这里0<－m<1是因为对称轴x ＝－m 对应的－m 应在区间(0，1)内过) 14．解：(1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x≤24时，x ＋1x ≥2(当x ＝1时取等号)，∴t ＝x x2＋1＝1x ＋1x∈⎝⎛⎦⎤0，12，即t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. (2)当a ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，记g(t)＝|t －a|＋2a ＋23，则g(t)＝⎩⎨⎧－t ＋3a ＋23，0≤t≤a ，t ＋a ＋23，a<t≤12.∵g(t)在[0，a]上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a ，12上单调递增，且g(0)＝3a ＋23，g ⎝⎛⎭⎫12＝a ＋76，g(0)－g⎝⎛⎭⎫12＝2⎝⎛⎭⎫a －14.故M(a)＝⎩⎨⎧g ⎝⎛⎭⎫12，0≤a≤14g （0），14<a≤12，即M(a)＝⎩⎨⎧a ＋76，0≤a≤14，3a ＋23，14<a≤12.∴当且仅当a≤49M(a)≤2.故当0≤a≤49时不超标，当49<a ≤12时超标．15．解：(1)当m ＝2，x ∈[1，2]时， f(x)＝x·(x －1)＋2＝x2－x ＋2＝x －122＋74.∵函数y ＝f(x)在[1，2]上单调递增，∴f(x)max ＝f(2)＝4，即f(x)在[1，2]上的最大值为4.(2)函数p(x)的定义域为(0，＋∞)，函数p(x)有零点，即方程f(x)－g(x)＝x|x －1|－lnx ＋m ＝0有解，即m ＝lnx －x|x －1|有解，令h(x)＝lnx －x|x －1|. 当x ∈(0，1]时，h(x)＝x2－x ＋lnx.∵h ′(x)＝2x ＋1x －1≥22－1>0当且仅当2x ＝1x 时取“＝”，∴函数h(x)在(0，1]上是增函数，∴h(x)≤h(1)＝0.当x ∈(1，＋∞)时，h(x)＝－x2＋x ＋lnx.∵h ′(x)＝－2x ＋1x ＋1＝－2x2＋x ＋1x ＝－（x －1）（2x ＋1）x <0，∴函数h(x)在(1，＋∞)上是减函数，∴h(x)<h(1)＝0，∴方程m ＝lnx －x|x －1|有解时，m≤0，即函数p(x)有零点时，m 的取值范围为(－∞，0]． 专题限时集训(四)A 【基础演练】1．B [解析] 对于B ，由a3>b3知a>b ，而ab>0，由不等式的倒数法则知1a <1b .故选B.2．D [解析] 由1x <12，得1x －12<0，即2－x 2x <0，于是不等式转化为x(x －2)>0，解得x<0或x>2.故选D.3．B [解析] a·b ＝4x －4＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2，9x ＋3y ≥29x ²3y ＝232x ＋y ＝232＝6(当2x ＝y ＝1时取等号)．4．B [解析] 作出满足题设条件的可行域(如图)，则当直线y ＝－2x ＋z 经过点A(－2，2)时，截距z 取得最小值，即zmin ＝2³(－2)＋2＝－2.【提升训练】5．A [解析] 依题意，由a ＋d ＝b ＋c 得a2＋2ad ＋d2＝b2＋2bc ＋c2；由|a －d|<|b －c|得a2－2ad ＋d2<b2－2bc ＋c2.于是得bc<ad.故选A.6．C [解析] 依题意，当x>0时，不等式为lnx ≤1，解得0<x≤e ；当x≤0时，不等式为ex ≤1，解得x≤0.所以不等式的解集为(－∞，e]．故选C.7．A [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域，则此平面区域为△ABC ，且A(2，0)，B(0，1)，C(2，1)，于是，S ＝12³2³1＝1.故选A.8．B [解析] 由a>0，b>0且直线x －y ＝－1与2x －y ＝2的交点为(3，4)，得当x ＝3，y ＝4时，z 取得大值，3a ＋4b ＝7，所以3a ＋4b ＝3a ＋4b ²3a ＋4b 7＝97＋167＋127b a ＋a b ≥257＋127³2b a ²a b ＝257＋247＝7.9.12[解析] 不等式组表示的可行域为三角形ABC 的内部，x2＋y2表示原点到可行域的距离的平方，显然到直线AC ：x －y －1＝0距离d ＝|－1|1＋1＝22最小，故x2＋y2的最小值为12. 10．(1，＋∞) [解析] 依题意，当a ＝0时，不成立；当a≠0时，要使不等式ax2＋2x ＋a>0的解集为R ，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝4－4a2<0，解得a>1.故填(1，＋∞)．11．8 [解析] 依题意，设货车从A 市到B 市的时间为t ，则t ＝400v ＋16×v202v ＝400v ＋16v400≥2400v ²16v400＝216＝8.故填8. 12．8 [解析] 依题意，函数y ＝a2x －4＋1(a>0且a≠0)过定点A(2，2)，又A 在直线x m ＋y n ＝1，所以2m ＋2n ＝1.于是m ＋n＝2m ＋2n (m ＋n)＝4＋2n m ＋2mn≥4＋22n m ²2mn＝8. 13.⎣⎡⎦⎤34，43 [解析] 根据指数函数的性质，可知函数f(x)＝mx ＋1＋1(m>0，m≠1)恒过定点(－1，2)．将点(－1，2)代入2ax －by ＋14＝0，可得a ＋b ＝7.由于(－1，2)始终落在所给圆的内部或圆上，所以a2＋b2≤25.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝7，a2＋b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.这说明点(a ，b)在以A(3，4)和B(4，3)为端点的线段上运动，所以b a 的取值范围是34，43.专题限时集训(四)B【基础演练】1．D [解析] ∵y>x>0，且x ＋y ＝1，取特殊值：x ＝14，y ＝34，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x<2xy<x ＋y 2<y.故选D.2．D [解析] ∵am ＋bn ＋c<0，b<0，∴n>－a b m －cb ∴点P 所在的平面区域满足不等式y>－a b x －cb，a>0，b<0.∴－ab >0.故点P 在该直线的上侧，综上知，点P 在该直线的左上方．3．D [解析] 依题意，得a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，于是（a ＋b ）2cd ＝（x ＋y ）2xy ＝x2＋y2＋2xyxy≥2xy ＋2xyxy＝4.故选D. 4．D [解析] 依题意，不等式f(x0)>1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x0≤0，12x0>1或⎩⎨⎧x0>0，x0>1，解得x0<0或x0>1.故选D.【提升训练】5．C [解析] 因为0<x<1，所以1＋x>2x ＝4x>2x ，所以只需比较1＋x 与11－x的大小．因为1＋x －11－x ＝1－x2－11－x ＝x2x －1<0，所以1＋x<11－x.故选C. 6．B [解析] 依题意知，－12和13是一元二次方程ax2＋bx ＋2＝0的两根，且a<0，则⎩⎨⎧－12＋13＝－b a ，－12×13＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.于是，不等式2x2＋bx ＋a<0即是2x2－2x －12<0，解得－2<x<3.故选B.7．C [解析] 依题意，函数f(x)＝x ＋ax －2(x>2)的图象过点A(3，7)，则a ＝4.于是，f(x)＝x ＋4x －2＝(x －2)＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6.故选C. 8．A [解析] 作出满足条件的可行域，由图可知，当z ＝x ＋ay ，取得最大值的最优解有无数个时，－1a ＝－2，解得a ＝12.于是目标函数z ＝x ＋12y 经过点(1，2)时，z 得最小值为2.故选A.9．2π [解析] 在同一直角坐标系中作出可行域⎩⎨⎧（x ＋3y ）（3x －y ）≤0，x2＋y2≤4.由图形知，不等式组表示的平面区域的面积是二分之一的半径为2的圆面积，即S ＝12³π³22＝2π.10．k ≤2 [解析] 依题意，不等式x2－kx ＋k －1>0对x ∈(1，2)恒成立，则x2－1>k(x －1)对x ∈(1，2)恒成立，所以k<x ＋1对x ∈(1，2)恒成立，即k≤1＋1＝2.11．2 [解析] d ＝1＝|ab|a2＋b2，ab ＝a2＋b2≥2ab ，所以ab ≥2，即ab≥2.12．2＋22 [解析] 画出不等式组表示的平面区域，当t 最小时，所表示的区域为第一象限的一个等腰直角三角形．依题意，它有一个半径为1的内切圆，不妨设斜边|OB|＝t ，则两直角边长|AB|＝|OA|＝22t ，所以22t ＋22t －t2＝1，求得t ＝22－1＝22＋2，即 tmin ＝2＋2 2.专题限时集训(五)【基础演练】1．C [解析] 将点(2，3)分别代入曲线y ＝x3＋ax ＋1和直线y ＝kx ＋b ，得a ＝－3，2k ＋b＝3.又k ＝y′|x ＝2＝(3x2－3)|x ＝2＝9，所以b ＝3－2k ＝3－18＝－15.故选C.2．C [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝3x2＋2x ＋m ，因为f(x)是R 上的单调函数，二次项系数a ＝3>0，所以Δ＝4－12m≤0，解得m≥13.3．C [解析] 对f(x)求导得f ′(x)＝3x2－6x ＝3x(x －2)，则f(x)在区间[－1，0]上递增，在区间[0，1]上递减，因此函数f(x)的最大值为f(0)＝2.故选C. 4．A [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝x2＋c ＋(x －2)·2x.又因为f′(2)＝0，所以4＋c ＋(2－2)×4＝0，所以c ＝－4.于是f′(1)＝1－4＋(1－2)×2＝－5.故选A. 【提升训练】5．D [解析] ∵s(t)＝t2＋3t ，∴s′(t)＝2t －3t2，则机器人在t ＝2时的瞬时速度为s ′(2)＝2×2－322＝134(m/s)．故选D. 6．B [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝2ax ，因为f(x)在区间(－∞，0)内是减函数，则f ′(x)<0，求得a>0，且此时b ∈R.故选B.7．A [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝3x2－3≥－3， ∴f(x)上任意一点P 处的切线的斜率k≥－3，即tan α≥－3，∴0≤α<π2或2π3≤α<π.8．D [解析] 由于AB 的长度为定值，只要考虑点C 到直线AB 的距离的变化趋势即可．当x在区间[0，a]变化时，点C 到直线AB 的距离先是递增，然后递减，再递增，再递减，S′(x)的图象先是在x 轴上方，再到x 轴下方，再回到x 轴上方，再到x 轴下方，并且函数在直线AB 与函数图象的交点处间断，在这个间断点函数性质发生突然变化，所以选项D 中的图象符合要求．9．C [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝3mx2＋2nx.依题意⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝－m ＋n ＝2，①f′（－1）＝3m －2n ＝－3，②解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，所以f′(x)＝3x2＋6x ＝3x(x ＋2)．由此可知f(x)在[－2，0]上递减，又已知f(x)在[t ，t ＋1]上递减，所以[－2，0]⊇[t ，t ＋1]，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≥－2，t ＋1≤0，解得－2≤t≤－1.故选C.10．(1，e) [解析] 设切点坐标为(x0，y0)，对f(x)＝ex 求导，得f ′(x)＝ex ，所以f′(x 0)＝ex0＝e ，即x0＝1.又y0＝f(x0)＝ex0＝e ，所以切点坐标为(1，e)．11．－13 [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝－3x2＋2ax ，由函数在x ＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a ＝3.于是f(x)＝－x3＋3x2－4，f ′(x)＝－3x2＋6x ，由此可得f(x)在[－1，0)上单调递减，在(0，1]上单调递增，∴当m ∈[－1，1]时，f(m)min ＝f(0)＝－4.又∵f ′(x)＝－3x2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1，1]时，f′(n)min ＝f(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.12．－2，23[解析] ∵f ′(x)＝3x2＋1>0恒成立，∴f(x)是R 上的增函数．又f(－x)＝－f(x)，∴y ＝f(x)是奇函数．由f(mx －2)＋f(x)<0得f(mx －2)<－f(x)＝f(－x)，∴mx －2<－x ，即mx－2＋x<0在m ∈[－2，2]上恒成立．记g(m)＝xm －2＋x ，则⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）<0，g （2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2＋x<0，2x －2＋x<0，求得－2<x<2313．解：(1)f′(x)＝1k (x2－k2)e xk>0，当k>0时，f(x)的增区间为(－∞，－k)和(k ，＋∞)，f(x)的减区间为(－k ，k)，当k<0时，f(x)的增区间为(k ，－k)，f(x)的减区间为(－∞，k)和(－k ，＋∞)． (2)当k>0时，f(k ＋1)＝e k ＋1k >1e ，所以不会有∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e .当k<0时，由(1)有f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝4k2e ，所以∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e f(－k)＝4k2e ≤1e⇒－12≤k<0.综上，k 的范围为－12，0.14．解：(1)令f ′(x)＝1x －ax2＝0，得x ＝a.当a≥e 时，函数f(x)在区间(0，e]是减函数，f(x)min ＝ae；当0<a<e 时，函数f(x)在区间(0，a]是减函数，[a ，e]是增函数f(x)min ＝lna. 综上所述，当0<a<e 时，f(x)min ＝lna ；当a≥e 时，f(x)min ＝ae .(2)由(1)可知，a ＝1时，函数f(x)在x1∈(0，e)的最小值为0， 所以g(x)＝(x －b)2＋4－b2.当b≤1时，g(1)＝5－2b<0不成立； 当b≥3时，g(3)＝13－6b<0恒成立；当1<b<3时，g(b)＝4－b2<0，此时2<b<3.综上可知，满足条件的实数b 的取值范围为{b|b>2}． 15．解：(1)∵f(x)＝a x ＋lnx(a>0)，∴f′(x)＝－a x2＋1x ＝x －ax2.若0<a<e ，当x ∈(0，a)时f′(x)<0，函数f(x)在(0，a]上单调递减，当x ∈(a ，e]时f′(x)>0，函数f(x)在(a ，e]上单调递增， 若a≥e ，则f′(x)<0，函数f(x)在(0，e]上单调递减．(2)g(x)＝x3－a 2x2＋x2f ′(x)＝x3－a2x2＋x －a ，g′(x)＝3x2－ax ＋1.方法一：函数g(x)＝x3－a 2x2＋x2f ′(x)在区间⎝⎛⎭⎫12，3上存在极值，等价为关于x 的方程3x2－ax ＋1＝0在⎝⎛⎭⎫12，3上有变号实根，∵a ＝3x2＋1x，又a ＝3x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，33上单调递减，在⎝⎛⎭⎫333上单调递增，∴23≤a<283，当a ＝23时，g′(x)＝(3－1)2≥0，不存在极值， ∴23<a<283.专题限时集训(六)A 【基础演练】1．B [解析] 方法1：sin15°＋cos165°＝sin15°－cos15°＝2sin15°²cos45°－cos15°sin45°＝2sin(－30°)＝－22. 方法2：显然sin15°－cos15°<0，(sin15°－cos15°)2＝1－sin30°＝12，故sin15°－cos15°＝－22. 2．C [解析] 因为1－sin2x ＝（sinx －cosx ）2＝|sinx －cosx|，又1－sin2x ＝sinx －cosx ，所以|sinx －cosx|＝sinx －cosx ，则sinx －cosx ≥0，即sinx ≥cosx.又0≤x<2π，所以π4≤x ≤5π4. 3．D [解析] 由cos(x ＋y)sinx －sin(x ＋y)cosx ＝1213得sin[x －(x ＋y)]＝－siny ＝1213，所以siny ＝－1213.又y 是第四象限的角，所以cosy ＝513，于是tan y 2＝1－cosy siny ＝1－513－1213＝－23.故选D.4．－π6[解析] 由正弦函数的性质知，正弦函数图象的对称中心是其与x 轴的交点，∴y ＝2sin2x0＋π3＝0，又x0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴x0＝－π6.故填－π6. 【提升训练】5．A [解析] 由sin θ＋cos θ＝2，得θ＝2k π＋π4，所以tan θ＋π3＝tan π4＋π3＝1＋31－3＝－2－ 3.故选A.6．C [解析] 周期T ＝2πω＝5π6－－π6＝π，解得ω＝2，令2×－π6＋φ＝0，得φ＝π3.故选C.7．C [解析] f(x)＝sinx ²⎝⎛⎭⎫12sinx －32cosx ＝12－32sinxcosx ＝1－cos2x 4－3sin2x 4 ＝14－12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，最小正周期为π. 8．B [解析] 依题意得f(x)＝sinx ＋3cosx ＝2sinx ＋π3f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π6上单调递增，所以f π7<f π6，而c ＝f π3＝2sin 2π3＝2sin π3f(0)<f π7，所以c<a<b.9．B [解析] 因为f(x)＝sinx ＋acosx 的图象的一条对称轴直线是x ＝5π3，所以⎪⎪⎪⎪sin 5π3＋acos 5π3＝1＋a2，所以⎪⎪⎪⎪－32＋12＝1＋a2，即34a2＋32a ＋14＝0，求得a ＝－33.于是g(x)max ＝1＋a2＝1＋13＝233.故选B.10.13 [解析] 依题意由sin(x ＋y)＝1得x ＋y ＝2k π＋π2(k ∈Z)，所以y ＝2k π＋π2－x(k ∈Z)．于是sin(2y ＋x)＝sin ⎣⎡⎦⎤2k π＋π2＋y ＝sin π2＋y ＝cosy ＝cos2k π＋π2－x ＝cos π2－x ＝sinx ＝13.故填13.11.74[解析] 依题意，将函数y ＝sin ωx ＋5π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是y ＝sin ωx ＋5π6－π3ω(ω>0)，它的图象与函数y ＝sin ωx ＋π4的图象重合，所以5π6－π3ω＝π4＋2k π(k ∈Z)，解得ω＝74－6k(k ∈Z)，因为ω>0，所以ωmin ＝74.故填74.12．③④ [解析] 对f(x)＝cosxsinx ＝12sin2x ，画出函数的图象，分析知③④是正确的．故填③④.13．解：(1)因为f(x)＝32sin2x －12cos2x ＝sin2x －π6， 故f(x)的最小正周期为π. (2)当x ∈0，π2时，2x －π6∈－π6，5π6，所以f(x)∈－12，1，于是函数f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为－12，1.14．解：(1)依题意，得f(x)＝2sinxcos π6＋cosx ＋a ＝3sinx ＋cosx ＋a ＝2sinx ＋π6＋a. 所以函数f(x)的最小正周期T ＝2π. (2)因为x ∈－π2，π2，所以－π3≤x ＋π6≤2π3. 所以当x ＋π6＝－π3，即x ＝－π2时，f(x)min ＝f －π2＝－3＋a ； 当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，f(x)max ＝f π3＝2＋a. 由题意，有(－3＋a)＋(2＋a)＝3，解得a ＝3－1.15．解：(1)∵函数f(x)的最小正周期T ＝2πω＝π(ω>0)，∴ω＝2.∵fπ4＝cos2³π4＋φ＝cos π2φ＝－sin φ＝32，且－π2<φ<0，∴φ＝－π3. (2)由(1)知f(x)＝cos2x －π3，列表如下：(3)∵f(x)>22，即cos2x －π3>22， 得2k π－π4<2x －π3<2k π＋π4，k ∈Z ，即2k π＋π12<2x<2k π＋712π，k ∈Z ，即k π＋π24<x<k π＋724π，k ∈Z. ∴所求x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π24<x<k π＋724π，k ∈Z . 专题限时集训(六)B 【基础演练】1．B [解析] 因为sin α＝35α是第二象限的角，所以tan α＝－34.又因为tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，所以－34＋tan β1＋34β＝1，求得tan β＝7.故选B.2．D [解析] 因为y ＝sinx －cosx ＝2sinx －π4，令－π2≤x －π4≤π2，得－π4≤x ≤3π4，满足题意，所以f(x)可以是－cosx.3．B [解析] 依题意得点P 到坐标原点的距离为sin240°＋（1＋cos40°）2＝2＋2cos40°＝2＋2（2cos220°－1）＝2cos20°.由三角函数的定义可得cos α＝sin40°2cos20°＝2sin20°cos20°2cos20°＝sin20°＝cos70°，因为点P 在第一象限，且角α为锐角，所以α＝70°.故选B.4．B [解析] 由已知得y ＝cos2x －π4＝cos π2－2x ＝sin2x ，因此函数y ＝1－2sin2x －π4是最小正周期为π的奇函数．故选B. 【提升训练】5．A [解析] 依题意得cos θ＝±35.又因为sin θ－cos θ>1，所以cos θ＝－35，于是sin2θ＝2sin θcos θ＝2×45³－35＝－2425.6．D [解析] 平移后得到的函数图象的解析式是f(x)＝Acosx ²sin ωx ＋π6ω＋π6，这个函数是奇函数，由于y ＝cosx 是偶函数，故只要使得函数y ＝sin ωx ＋π6ω＋π6是奇函数即可，根据诱导公式和正弦函数性质，则只要π6ω＋π6k π(k ∈Z)即可，即ω＝6k －1(k ∈Z)，所以ω的可能值为5.7．B [解析] 设(x ，y)为g(x)的图象上任意一点，则其关于点π4，0对称的点为π2－x ，－y ，由题意知该点必在f(x)的图象上，所以－y ＝sin π2－x ，即g(x)＝－sin π2－x ＝－cosx.依题意得sinx ≤－cosx ，即sinx ＋cosx ＝2sinx ＋π4≤0.又x ∈[0，2π]，解得3π4≤x ≤7π4.故选B. 8．A [解析] 依题意，得f(x)＝sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＝2sin ωx ＋φ＋π4，由T ＝2πω＝π(ω>0)，得ω＝2.又f(－x)＝f(x)，所以φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π4(k ∈Z)．又|φ|<π2，所以φ＝π4.于是f(x)＝2cos2x ，它在0，π2上单调递减． 9．A [解析] 作出点P 在x 轴上的投影C ，因为函数周期为T ＝2ππ＝2，则|AC|＝14T ＝12，|PC|＝1.在Rt △APC 中，tan ∠APC ＝|AC||PC|＝12，同理tan ∠BPC ＝|BC||PC|＝32，所以tan ∠APB ＝tan(∠APC ＋∠BPC)＝12＋321－12×32＝8.故选A.10.13 [解析] 因为cos θ＝－35，且θ是第三象限角，所以sin θ＝－45.于是cos θsin θ－1＝－35－45－1＝13.故填13.11.36565 [解析] 由已知sin (α－β)＝513，cos (α＋β)＝－45，所以sin2α＝sin [(α＋β)＋(α－β)]＝sin (α＋β)cos(α－β)＋cos (α＋β)·sin (α－β)＝－35³1213＋－45³513＝－5665.则(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α＝1－5665＝965，当π2<α<3π4时，sin α＋cos α>0，即sin α＋cos α＝36565.12．①②③⑤ [解析] 由题意得f(x)＝m2＋n2sin(x ＋φ)其中tan φ＝nm .因为f π4是它的最大值，所以π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，φ＝2k π＋π4(k ∈Z)．所以f(x)＝m2＋n2sinx ＋2k π＋π4＝m2＋n2sinx ＋π4，且tan φ＝n m ＝tan2k π＋π4＝1，即nm ＝1，故f(x)＝2|m|sinx ＋π4. ①fx ＋π4＝2|m|sinx ＋π4＋π4＝2|m|cosx 为偶函数，所以①正确； ②当x ＝7π4时，f 7π4＝2|m|sin 7π4＋π4＝2|m|sin2π＝0，所以函数f(x)的图象关于点7π4，0对称，②正确；③f －3π4＝2|m|sin π4－3π4＝－2|m|sin π2＝－2|m|，f(x)取得最小值，所以③正确；④根据f(x)＝2|m|sinx ＋π4可得其最小正周期为2π，由题意可得P2与P4相差一个周期2π，即|P2P4|＝2π，所以④错误； ⑤由n m ＝1知，mn ＝1成立，所以⑤正确．故填①②③⑤.13．解：(1)∵f(x)＝2cosxcosx ＋sin2x －cos2x ＝sin2x ＋1， ∴f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin π4＋1＝22＋1. (2)f(ωx)＝sin2ωx ＋1，由2k π－π2≤2ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k πω－π4ω≤x ≤k πω＋π4ω，k ∈Z ， ∵y ＝f(ωx)在⎣⎡⎦⎤－π3，π4上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω≤－π3，π4ω≥π4，得⎩⎪⎨⎪⎧ω≤34，ω≤1，又ω>0，故0<ω≤34.14．解：(1)f(x)＝2sin2⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＋2cos2ωx ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π2＋1＋cos2ωx＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2， ∵函数f(x)的图象上两个相邻的最低点之间的距离为2π3，∴f(x)的最小正周期为2π3，∴2π2ω＝2π3(ω>0)，∴ω的值为32，∴函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＋2， ∴函数f(x)的最大值为2＋2，此时3x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝2k π3＋π12(k ∈Z)． (2)y ＝f(x)的图象向右平移π8个单位长度得h(x)＝2sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π8＋π4＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π8＋2，再沿y 轴对称后得到g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－3x －π8＋2＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π8＋2，函数g(x)的单调减区间，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π8单调递增区间． 由2k π－π2≤3x ＋π8≤2k π＋π2，解得23k π－5π24≤x ≤23k π＋π8(k ∈Z)．故y ＝g(x)的单调减区间为⎣⎡⎦⎤23π＋5π24，23k π＋π8(k ∈Z)．15．解：(1)f(x)＝2sinx ＋π3cosx ＋π3－23cos2x ＋π3＝sin2x ＋2π3－3⎣⎡⎦⎤cos2x ＋2π3＋1＝sin2x ＋2π3－3cos2x ＋2π3－ 3 ＝2sin2x ＋π3－ 3. ∵－1≤sin2x ＋π3≤1， ∴－2－3≤2sin2x ＋π3－3≤2－3， 又T ＝2π2＝π，即f(x)的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，23π，∴sin2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤32，1， 此时f(x)＋3＝2sin2x ＋π3∈[3，2]．由m[f(x)＋3]＋2＝0知，m≠0，且f(x)＋3＝－2m，∴3≤－2m ≤2，即⎩⎨⎧2m ＋3≤0，2m ＋2≥0，解得－233≤m ≤－1.即实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－233，－1.专题限时集训(七) 【基础演练】 1．A [解析] ∵a2＋c2－b22ac ＝cosB ＝32，又0<B<π，∴B ＝π6.2．A [解析] 根据正弦定理得，2sin45°＝2sinC，所以sinC ＝12，因为C ∈(0，π)，所以C ＝30°或150°.又因为A ＝45°，且AB<BC ，所以C ＝30°.3．D [解析] 根据三角形面积公式和正弦定理S ＝12absinC ＝122RsinA ²2RsinB ²sinC ＝2R2sinAsinBsinC ，将R ＝1和S ＝1代入得，sinAsinBsinC ＝12.4．D [解析] 设电视塔的高度为x ，则BC ＝x ，BD ＝3x.在△BCD 中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40xcos120°，即x2－20x －800＝0，解得x ＝－20(舍去)，或者x ＝40.故电视塔的高度为40 m. 【提升训练】5．D [解析] 根据余弦定理得b ＝32＋82－2×3×8cos60°＝7，根据正弦定理3sinA＝7sin60°，解得sinA ＝3314.6．C [解析] 由正弦定理得AB sinC ＝BCsinA，所以a ＝2sinA.而C ＝60°，所以0°<∠CAB<120°.又因为△ABC 有两个，所以asin60°<3<a ，即3<a<2. 7．B [解析] 由题意得b2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理得cosB ＝a2＋c2－b22ac ＝a2＋4a2－a×2a2a×2a＝34. 8．B [解析] b －12c ＝acosC ＝a a2＋b2－c22ab ＝a2＋b2－c22b ⇒b2＋c2－a2＝bc ，则cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝12，A ＝π3.9．－14 [解析] 由正弦定理a sinA ＝b sinB ＝c sinC a ∶b ∶c ＝sinA ∶sinB ∶sinC ＝2∶3∶4，由此设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k(k>0)．由余弦定理可得，cosC ＝a2＋b2－c22ab＝（2k ）2＋（3k ）2－（4k ）22³2k ³3k＝－14.10.6－1 [解析] 由题意可得，∠ACB ＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设BC ＝x ，则由余弦定理可得，AB2＝BC2＋AC2－2BC×ACcos120°，即32＝x2＋22－2×2xcos120°，整理得x2＋2x ＝5，解得x ＝6－1或x ＝－6－1(舍去)．故填6－1.11.233 [解析] 由△BCD 的面积为1，可得12³CD ³BC ³sin ∠DCB ＝1，即sin ∠DCB ＝55，所以cos ∠DCB ＝255.在△BCD 中，由余弦定理可知，cos ∠DCB ＝CD2＋BC2－BD22CD ³BC＝255，解得BD ＝2，所以cos ∠DBC ＝BD2＋BC2－CD22BD ³BC＝31010.由在△BCD 中，∠DBC 对应的边长最短，所以∠DBC 为锐角，所以sin ∠DBC ＝1010.在△ABC 中，由正弦定理BC sinA ＝AC sinB可得，AC ＝BC ²sinB sinA＝10³101032＝233. 12．解：(1)依题意，由正弦定理得sinCsinA ＝sinAcosC ， 在△ABC 中，因为sinA ≠0，所以sinC ＝cosC ，得C ＝π4(2)3sinA －cosB ＋π4＝3sinA －cos ⎣⎡π－（A ＋C ）＋π4＝3sinA －cos(π－A)＝3sinA ＋cosA ＝2sinA ＋π6. 因为A ∈0，3π4，所以A ＋π6∈π6，11π12， 于是，当sinA ＋π6＝1，A ＋π6＝π2，A ＝π3时， 3sinA －cosB ＋π4取得最大值2，此时B ＝5π12. 13．解：(1)∵(2b －3c)cosA ＝3acosC ，∴(2sinB －3sinC)cosA ＝3sinAcosC ， 即2sinBcosA ＝3sinAcosC ＋3sinCcosA ， ∴2sinBcosA ＝3sinB. ∵sinB ≠0，∴cosA ＝32， ∵0<A<π，∴A ＝π6. (2)由(1)知A ＝B ＝π6，所以AC ＝BC ，C ＝2π3，设AC ＝x ，则MC ＝12x.又AM ＝7，在△AMC 中，由余弦定理得 AC2＋MC2－2AC·MCcosC ＝AM2，即x2＋x 22－2x·x2²cos120°＝(7)2，解得x ＝2，故S △ABC ＝12x2sin 2π3＝ 3.14．解：(1)由已知点F(0，1)是线段MD 的中点．知A ＝2. S △DMN ＝12S △CDM ＝12MN ²A ＝T ²A 4＝π3，∴T ＝2π3，ω＝3. ∴f(x)＝2sin(3x ＋φ)．又由已知得点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－π12，0. ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－φ＝0，0<φ<π2，∴φ＝π4，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(2)证明：法一：在△CDM 中，由已知得tan α＝3tan β.即sin αcos β＝3cos αsin β，在△DMC 中，由正弦定理DM sinC ＝DCsin ∠DMC ，∴sinC ＝DM ²sin ∠DMC DC ＝12sin ∠DMC ，∴sinC ＝12sin ∠DMC ＝12sin (α＋β)＝12sin αcos β＋12cos αsin β＝2cos αsin β，∴sinC ＝2cos αsin β.法二：由题意，在△MNC 中，由正弦定理得MN sinC ＝NCsin β， 即sinC ＝MNNCsin β， 在△MND 中，cos α＝12MN MD ，也就是MNNC ＝2cos α，∴sinC ＝2cos αsin β.专题限时集训(八)【基础演练】1．C [解析] 依题意，由a ⊥b 得a·b ＝0，即3x ＋3＝0，解得x ＝－1.故选C. 2．B [解析] 依题意，得a·b ＝|a||b|cos30°＝2sin75°²4cos75°³32＝23sin150°＝ 3.故选B.3．A [解析] 由a ∥b 得2x ＝－4，∴x ＝－2，于是a·b ＝(1，2)·(－2，－4)＝－10.故选A. 4．D [解析] 由a·(a ＋b)＝0得a·a ＋a·b ＝0，即|a|2＋|a|·|b|cos 〈a ，b 〉＝0，将已知数据代入解得，cos 〈a ，b 〉＝－12，所以〈a ，b 〉＝120°.故选D.【提升训练】5．C [解析] 依题意a 在b 方向上的投影为|a|cos 〈a ，b 〉＝2cosπ3＝22.故选C. 6．C [解析] 因为∠C ＝60°，CA ＝2，CB ＝1，所以∠B ＝90°，以B 为原点，BC 为x 轴建立直角坐标系，C(1，0)，A(0，3)，M(0，23)，CM →²CA →＝(－1，23)·(－1，3)＝7.7．A [解析] 由题设知p·q ＝sinAsinB －cosAcosB ＝－cos(A ＋B)＝cosC.又△ABC 是锐角三角形，所以cosC>0，即p·q>0，所以p 与q 的夹角为锐角．故选A.8．C [解析] 取BC 边中点M ，由2OA →＋AB →＋AC →＝0，可得2AO →＝AB →＋AC →＝2AM →，则点M 与点O 重合．又由|OB →|＝|OC →|＝|OA →|＝|AB →|＝1，可得|AC|＝|BC|sin60°＝2×32＝3，则CA →²CB →＝|CA →|²|CB →|cosC ＝|CA →|2＝3.9．B [解析] 因为点G 是△ABC 的重心，所以AG →＝23³12(AB →＋AC →)＝13AB →＋13AC →.当点P 在线段BC 上运动时，λ＋μ＝1；当点P 在线段GB 、GC 上运动时，λ＋μ的最小值为23.又因为点P 是△GBC 内一点，所以23λ＋μ<1.故选B.10.324 [解析] 因为a ∥b ，所以12³1＝sinx ²cosx ，即sin2x ＝1.又因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＝π2，即x ＝π4.于是a·b ＝12sinx ＋cosx ＝12sin π4＋cos π4＝12³22＋22＝324. 11．8 [解析] 依题意得OA →2＝OB →2＝OC →2，由于AC →2＝(OC →－OA →)2＝OC →2＋OA →2－2OC →²OA →，所以OC →²OA →＝12(OC →2＋OA →2－AC →2)，同理OA →²OB →＝12(OA →2＋OB →2－AB →2)，所以AO →²BC →＝－OA →²(OC →－OB →)＝－OA →²OC →＋OA →²OB →＝－12(OA →2＋OC →2－AC →2)＋12(OA →2＋OB →2－AB →2)＝12(AC →2－AB →2)＝12(52－32)＝8. 12．1 [解析] 依题意，得|a|＝1，又△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则OA →⊥OB →，|OA →|＝|OB →|，则(a －b)·(a ＋b)＝|a|2－|b|2＝0，即|a|＝|b|.又|OA →|＝|OB →|，故|a －b|＝|a ＋b|，得a·b ＝0，则|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，所以|OA →|＝|OB →|＝ 2.于是S △AOB ＝12³2³2＝1.13．解：(1)由a·b ＝0得(sinB ＋cosB)sinC ＋cosC(sinB －cosB)＝0， 化简得sin(B ＋C)－cos(B ＋C)＝0， 即sinA ＋cosA ＝0，∴tanA ＝－1. 而A ∈(0，π)，∴A ＝34π.(2)∵a·b ＝－15，即sin(B ＋C)－cos(B ＋C)＝－15，sinA ＋cosA ＝－15.①对①平方得2sinAcosA ＝－2425∵－2425<0，∴A ∈π2，π，∴sinA －cosA ＝1－2sinAcosA ＝75.② 联立①②得sinA ＝35，cosA ＝－45，∴tanA ＝－34，于是，tan2A ＝2tanA 1－tan2A＝2³－341－－342＝－247.14．解：(1)∵f(x)＝32sin πx ＋12cos πx ＝sin πx ＋π6∵x ∈R ，∴－1≤sin πx ＋π6≤1， ∴函数f(x)的最大值和最小值分别为1，－1.(2)解法1：令f(x)＝sin πx ＋π6＝0得πx ＋π6＝k π，k ∈Z ，∵x ∈[－1，1]，∴x ＝－16或x ＝56，∴M －16，0，N 56，0，由sin πx ＋π6＝1，且x ∈[－1，1]得x ＝13，∴P 13，1， ∴PM →＝－12，－1，PN →＝12，－1，∴cos 〈PM →，PN →〉＝PM →²PN →|PM →|²|PN →|＝35.解法2：过点P 作PA ⊥x 轴于A ，则|PA|＝1， 由三角函数的性质知|MN|＝12T ＝1，|PM|＝|PN|＝12＋122＝52，由余弦定理得cos 〈PM →，PN →〉＝|PM|2＋|PN|2－|MN|22|PM|²|PN|＝54×2－12×54＝35.解法3：过点P 作PA ⊥x 轴于A ，则|PA|＝1， 由三角函数的性质知|MN|＝12T ＝1，|PM|＝|PN|＝12＋122＝52，在Rt △PAM 中，cos ∠MPA ＝|PA||PM|＝152＝255. ∵PA 平分∠MPN ，∴cos ∠MPN ＝cos2∠MPA ＝2cos2∠MPA －1＝2×2552－1＝35.。
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专题限时集训(八)
[第8讲 平面向量及向量的应用]
(时间：45分钟)
1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论正确的是( )
A ．|a|＝|b|
B ．a·b ＝22
C ．a ∥b
D ．a －b 与b 垂直
2．已知e1，e2是两夹角为120°的单位向量，a ＝3e1＋2e2，则|a|等于( )
A ．4 B.11
C ．3 D.7
3．△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA →＋AB →＋AC →＝0，|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →的
值是( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
4．已知P 是边长为2的正方形ABCD 及其内部一动点，若△PAB ，△PBC 面积均不大于1，则AP →·BP →的取值范围是( )
A.⎣⎡⎭⎫12，32 B ．(－1,2)
C.⎝⎛⎦
⎤0，12 D ．[－1,1]
5．定义：|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b ＝－6，则|a×b|等于( ) A ．－8 B ．8
C ．－8或8
D ．6
6．已知两点A(1,0)，B(1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝120°，设OC
→＝－2OA →＋λOB →(λ∈R)，则λ等于( )
A ．－1
B ．2
C ．1
D ．－2
7．两个非零向量OA →，OB →不共线，且OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →(m ，n>0)，直线PQ 过△OAB
的重心，则m ，n 满足( )
A ．m ＋n ＝32
B ．m ＝1，n ＝12
C.1m ＋1n ＝3 D ．以上全不对
8．设|AB →|＝1，若|CA →|＝2|CB →|，则CA →·CB →的最大值为( )
A.13 B ．4＋3 2 C.8＋529 D ．3
9．已知a ＝(－2,1)，b ＝(0,2)，若向量a ＋λb 与2a ＋b 垂直，则实数λ的值为________．
10．设i ，j 是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________．
11．向量a ，b ，c ，d 满足：|a|＝1，|b|＝2，b 在a 上的投影为12
，(a －c)·(b －c)＝0，|d －c|＝1，则|c|＋|d|的最大值是________．
12．已知向量a ＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b ＝(3，－1)．
(1)若a ⊥b ，求θ的值；
(2)若|2a －b|<m 恒成立，求实数m 的取值范围．
13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量p ＝1－sinA ，127，q ＝
(cos2A,2sinA)，且p ∥q.
(1)求sinA 的值；
(2)若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a.
14．设向量m ＝(cosx ，sinx)，x ∈(0，π)，n ＝(1，3)． (1)若|m －n|＝5，求x 的值；
(2)设f(x)＝(m ＋n)·n ，求函数f(x)的值域．
专题限时集训(八)
【基础演练】
1．D [解析] ||a ＝1，||b ＝22，A 不正确；a·b ＝12，B 不正确；a ＝λb 时可得1＝12λ且0＝12
λ，此方程组无解，C 不正确；(a －b)·b ＝12，－12·12，12
＝0，D 正确． 2．D [解析] ||a ＝9＋4＋2×3×2cos120°＝7.
3．A [解析] 由2OA →＋AB →＋AC →＝0，易得△ABC 为直角三角形，且A 为直角，又|OA →|＝|AB
→|，故C ＝30°.
由此|AC|＝3，|BC|＝2，CA →·CB →＝|CA|·|CB|·cos30°＝3. 4.
D [解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，由于△PAB ，△PBC 面积均不大于1，故点P
在图中的区域EFGB 的边界及其内部，设P(x ，y)，则AP →·BP →＝(x ，y)·(x －2，y)＝x2＋y2－
2x ＝(x －1)2＋y2－1，其中(x －1)2＋y2表示区域内的点到点(1,0)距离的平方，显然范围是
[0,2]，故AP →·BP →的取值范围是[－1,1]．
【提升训练】
5．B [解析] 由|a|＝2，|b|＝5，a·b ＝－6，得cosθ＝－35，sinθ＝45
，所以|a×b|＝|a|·|b|·sinθ＝2×5×45
＝8. 6．C [解析] OC →＝－2OA →＋λOB →＝－2(1,0)＋λ(1，3)＝(－2＋λ，3λ)．因为∠AOC ＝120°，
所以由tan120°＝3λ－2＋λ
＝－3，解得λ＝1. 7．C [解析] 设重心为点G ，且PG →＝tPQ →，
所以OG →＝OP →＋PG →＝mOA →＋tPQ →＝mOA →＋t ()
nOB →－mOA → ＝m(1－t)OA →＋ntOB →.
设OG 与AB 交于点D ，则点D 为AB 的中点．所以OG →＝23OD →＝13(OA →＋OB →)．
故⎩⎨⎧ m 1－t ＝13，
nt ＝13，消去t 得1m ＋1n
＝3.故选C. 8.
B [解析] 如图建系(以AB 中点O 为原点)，
则：A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B ⎝⎛⎭
⎫12，0， 设C(x ，y)，由|CA →|＝2|CB →|得：⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋122＋y2＝2⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋y2， 化简得：⎝⎛⎭
⎫x －322＋y2＝2， 显然C 的几何图形为以E ⎝⎛⎭
⎫32，0为圆心，2为半径的圆， 观察易得：当C 在D 点时，CA →·CB →最大，且为4＋3 2.
9．－32
[解析] 由题可得，(a ＋λb)·(2a ＋b)＝2a2＋(2λ＋1)a·b ＋λb2＝0.又a2＝5，b2＝4，a·b ＝2，则10＋2(2λ＋1)＋4λ＝0，解得λ＝－32
. 10．5 [解析] 由题可知|OA →|＝5，|OB →|＝5，OA →·OB →＝－5，所以cos 〈OA →，OB →〉＝－555
＝－15，sin 〈OA →，OB →〉＝25，所求面积为S ＝12×5×5×25＝5. 11．3＋2 [解析] 不妨设向量a ，b ，c ，d 有相同的起点O ，终点分别为A ，B ，C ，D ，由
b 在a 上的投影为12知a·b ＝12，由(a －c)·(b －c)＝0知：C 在以AB 为直径的圆上．故当向量
c 过AB 中点时，其模最大，此时|c|＝12(|a ＋b|＋|a －b|)＝1＋22，
由|d －c|＝1知，D 在以C 为圆心，1为半径的圆上，故当C ，D 共线时|d|最大，故(|c|＋|d|)max ＝2|c|max ＋1＝3＋ 2.
12．解：(1)∵a ⊥b ，∴3cosθ－sinθ＝0，得tanθ＝ 3.
又θ∈[0，π]，∴θ＝π3.
(2)∵2a －b ＝(2cosθ－3，2sinθ＋1)，
∴|2a －b|2＝(2cosθ－3)2＋(2sinθ＋1)2
＝8＋8⎝⎛⎭
⎫12sinθ－32cosθ＝8＋8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3. 又θ∈[0，π]，∴θ－π3∈－π3，2π3，
∴sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3∈－32
，1， ∴|2a －b|2的最大值为16，∴|2a －b|的最大值为4.
又|2a －b|<m 恒成立，∴m>4.
13．解：(1)∵p ∥q ，∴127
cos2A ＝(1－sinA)·2sinA ， ∴6(1－2sin2A)＝7sinA(1－sinA)，5sin2A ＋7sinA －6＝0，
∴sinA ＝35(sinA ＝－2舍)．
(2)由S △ABC ＝12bcsinA ＝3，b ＝2，得c ＝5，又cosA ＝±1－sin2A ＝±45
， ∴a2＝b2＋c2－2bccosA ＝4＋25－2×2×5cosA ＝29－20cosA ，
当cosA ＝45
时，a2＝13，a ＝13； 当cosA ＝－45
时，a2＝45，a ＝3 5. 14．解：(1)∵m －n ＝(cosx －1，sinx －3)，
由|m －n|＝5得cos2x －2cosx ＋1＋sin2x －23sinx ＋3＝5，
整理得cosx ＝－3sinx ，显然cosx≠0，∴tanx ＝－
33. ∵x ∈(0，π)，∴x ＝5π6
. (2)∵m ＋n ＝(cosx ＋1，sinx ＋3)，
∴f(x)＝(m ＋n)·n ＝(cosx ＋1，sinx ＋3)·(1，3)
＝cosx ＋1＋3sinx ＋3
＝232sinx ＋12cosx ＋4
＝2sinx ＋π6
＋4. ∵0<x<π，∴π6<x ＋π6<7π6. ∴－12<sinx ＋π6≤1⇒－1<2sinx ＋π6≤2，
∴3<2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π6＋4≤6， 即函数f(x)的值域为(3,6]．。