2012【优化方案】精品练湘教数学选修1—1第1章1.1.3知能优化训练

1．(2011年东城区高三质检)“x ＝π4
”是“函数y ＝sin2x 取得最大值”的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.当x ＝π4时，函数y ＝sin2x ＝sin π2
＝1取得最大值；反过来，当函数y ＝sin2x 取得最大值时，不能推出x ＝π4，如x ＝5π4
时，函数y ＝sin2x 也可取得最大值．综上所述，“x ＝π4
”是“函数y ＝sin2x 取得最大值”的充分不必要条件，选A. 2．(2010年高考陕西卷)“a >0”是“|a |>0”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.若a >0，则|a |>0，所以“a >0”是“|a |>0”的充分条件；若|a |>0则a >0或a <0，所以“a >0”不是“|a |>0”的必要条件．
3．已知p ，q ，r 是三个命题，若p 是r 的充要条件且q 是r 的必要条件，那么q 是p 的( )
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B.p 是r 的充要条件且q 是r 的必要条件，故有p ⇔r ⇒q ，即p ⇒q ，q p ，所以q 是p 的必要条件．
4．直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1平行的充要条件是m ＝________.
解析：由题意，得23＝m －1≠1－1，∴m ＝－23
. 答案：－23
一、选择题
1．(2010年高考福建卷)若向量a ＝(x,3)(x ∈R)，则“x ＝4”是“|a |＝5”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
解析：选A.由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；反之，由|a |＝x 2＋32＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件，故选A.
2．(2011年厦门市高三质检)若集合A ＝{3，a 2}，B ＝{2,4}，则“a ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．既是充分条件，又是必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.若a ＝2，则A ＝{3,4}，可得A ∩B ＝{4}；若A ∩B ＝{4}，则a 2＝4，可得a ＝±2，所以“a ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．
3．(2011年高考天津卷)设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y
≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选A.∵x≥2，且y≥2，∴x2＋y2≥4，∴x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分条件；而x2＋y2≥4不一定得出x≥2且y≥2，例如当x≤－2且y≤－2时，x2＋y2≥4亦成立，故x≥2且y≥2不是x2＋y2≥4的必要条件．
4．(2011年高考福建卷)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
解析：选A.由a＝2能得到(a－1)(a－2)＝0，但由(a－1)·(a－2)＝0得到a＝1或a＝2，而不是a＝2，所以a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分而不必要条件．
5．(2011年高考大纲全国卷)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是() A．a>b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2D．a3>b3
解析：选A.要求a>b成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出a>b，而由a>b推不出选项．在选项A中，a>b＋1能使a>b成立，而a>b时a>b＋1不一定成立，故A正确；在选项B中，a>b－1时a>b不一定成立，故B错误；在选项C中，a2>b2时a>b也不一定成立，因为a，b不一定均为正值，故C错误；在选项D中，a3>b3是a>b成立的充要条件，故D也错误．
6．在下列四个结论中，正确的有()
①x2＞4是x3＜－8的必要不充分条件；
②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；
③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为0”的充要条件；
④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．
A．①②B．③④
C．①④D．②③
解析：选C.对于结论①，由x3＜－8⇒x＜－2⇒x2＞4；但是x2＞4⇒x＜－2或x＞2⇒x3＜－8或x3＞8，不一定有x3＜－8.故x3＜－8⇒x2＞4，但x2＞4A⇒\x3＜－8.所以①正确．
对于结论②，在“△ABC为直角三角形”中没有明确哪个顶点为直角顶点，因此就不一定有“AB2＋AC2＝BC2”成立．故“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．
对于结论④，由“a2＋b2≠0”⇒“a，b不全为0”，反之也成立，因此④正确，③错误．二、填空题
7．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是________．
解析：x2－3x＋2<0⇔(x－1)(x－2)<0⇔1<x<2.
答案：1<x<2
8．在△ABC中，“sin A＝sin B”是“a＝b”的________条件．
解析：在△ABC中，由正弦定理及sin A＝sin B可得2R sin A＝2R sin B，即a＝b；反之也成立．
答案：充要
9．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中，可以是x2<1的一个充分条件的所有序号为________．
解析：由于x2<1即－1<x<1，①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意．
答案：②③④
三、解答题
10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．
解：(1)∵|x|＝|y|x＝y，
但x＝y⇒|x|＝|y|，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
(2)△ABC 是直角三角形 △ABC 是等腰三角形．
△ABC 是等腰三角形 △ABC 是直角三角形．
∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．
(3)四边形的对角线互相平分 四边形是矩形． 四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．
∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．
11．证明：一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充要条件是b ＝0. 证明：(1)必要性：∵f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数，
∴f (－x )＝－f (x )，即k (－x )＋b ＝－(kx ＋b )．∴b ＝0.
(2)充分性：如果b ＝0，那么f (x )＝kx ，此时f (x )为奇函数．
∴一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充要条件是b ＝0.
12．已知条件p ：－1≤x ≤10，q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0(m >0)不变，若 p 是 q 的必要而不充分条件，如何求实数m 的取值范围？
解：p ：－1≤x ≤10.
q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0
⇔[x －(2－m )][x －(2＋m )]≤0(m >0)
⇔2－m ≤x ≤2＋m (m >0)．
因为 p 是 q 的必要而不充分条件，
所以p 是q 的充分不必要条件，
即{x |－1≤x ≤10} {x |2－m ≤x ≤2＋m }，
故有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m ≤－12＋m >10或⎩
⎪⎨⎪⎧
2－m <－12＋m ≥10， 解得m ≥8.
所以实数m 的范围为{m |m ≥8}．
高.考≦试﹥题∷库。