2012【优化方案】精品练湘教数学选修1—1第1章1.1.3知能优化训练
1．(2011年东城区高三质检)“x ＝π4
”是“函数y ＝sin2x 取得最大值”的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.当x ＝π4时，函数y ＝sin2x ＝sin π2
＝1取得最大值；反过来，当函数y ＝sin2x 取得最大值时，不能推出x ＝π4，如x ＝5π4
时，函数y ＝sin2x 也可取得最大值．综上所述，“x ＝π4
”是“函数y ＝sin2x 取得最大值”的充分不必要条件，选A. 2．(2010年高考陕西卷)“a >0”是“|a |>0”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.若a >0，则|a |>0，所以“a >0”是“|a |>0”的充分条件；若|a |>0则a >0或a <0，所以“a >0”不是“|a |>0”的必要条件．
3．已知p ，q ，r 是三个命题，若p 是r 的充要条件且q 是r 的必要条件，那么q 是p 的( )
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B.p 是r 的充要条件且q 是r 的必要条件，故有p ⇔r ⇒q ，即p ⇒q ，q p ，所以q 是p 的必要条件．
4．直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1平行的充要条件是m ＝________.
解析：由题意，得23＝m －1≠1－1，∴m ＝－23
. 答案：－23
一、选择题
1．(2010年高考福建卷)若向量a ＝(x,3)(x ∈R)，则“x ＝4”是“|a |＝5”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
解析：选A.由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；反之，由|a |＝x 2＋32＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件，故选A.
2．(2011年厦门市高三质检)若集合A ＝{3，a 2}，B ＝{2,4}，则“a ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．既是充分条件，又是必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.若a ＝2，则A ＝{3,4}，可得A ∩B ＝{4}；若A ∩B ＝{4}，则a 2＝4，可得a ＝±2，所以“a ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．
3．(2011年高考天津卷)设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y
≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选A.∵x≥2，且y≥2，∴x2＋y2≥4，∴x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分条件；而x2＋y2≥4不一定得出x≥2且y≥2，例如当x≤－2且y≤－2时，x2＋y2≥4亦成立，故x≥2且y≥2不是x2＋y2≥4的必要条件．
4．(2011年高考福建卷)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
解析：选A.由a＝2能得到(a－1)(a－2)＝0，但由(a－1)·(a－2)＝0得到a＝1或a＝2，而不是a＝2，所以a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分而不必要条件．
5．(2011年高考大纲全国卷)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是() A．a>b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2D．a3>b3
解析：选A.要求a>b成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出a>b，而由a>b推不出选项．在选项A中，a>b＋1能使a>b成立，而a>b时a>b＋1不一定成立，故A正确；在选项B中，a>b－1时a>b不一定成立，故B错误；在选项C中，a2>b2时a>b也不一定成立，因为a，b不一定均为正值，故C错误；在选项D中，a3>b3是a>b成立的充要条件，故D也错误．
6．在下列四个结论中，正确的有()
①x2＞4是x3＜－8的必要不充分条件；
②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；
③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为0”的充要条件；
④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．
A．①②B．③④
C．①④D．②③
解析：选C.对于结论①，由x3＜－8⇒x＜－2⇒x2＞4；但是x2＞4⇒x＜－2或x＞2⇒x3＜－8或x3＞8，不一定有x3＜－8.故x3＜－8⇒x2＞4，但x2＞4A⇒\x3＜－8.所以①正确．
对于结论②，在“△ABC为直角三角形”中没有明确哪个顶点为直角顶点，因此就不一定有“AB2＋AC2＝BC2”成立．故“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．
对于结论④，由“a2＋b2≠0”⇒“a，b不全为0”，反之也成立，因此④正确，③错误．二、填空题
7．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是________．
解析：x2－3x＋2<0⇔(x－1)(x－2)<0⇔1<x<2.
答案：1<x<2
8．在△ABC中，“sin A＝sin B”是“a＝b”的________条件．
解析：在△ABC中，由正弦定理及sin A＝sin B可得2R sin A＝2R sin B，即a＝b；反之也成立．
答案：充要
9．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中，可以是x2<1的一个充分条件的所有序号为________．
解析：由于x2<1即－1<x<1，①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意．
答案：②③④
三、解答题
10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．
解：(1)∵|x|＝|y|x＝y，
但x＝y⇒|x|＝|y|，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
(2)△ABC 是直角三角形 △ABC 是等腰三角形．
△ABC 是等腰三角形 △ABC 是直角三角形．
∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．
(3)四边形的对角线互相平分 四边形是矩形． 四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．
∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．
11．证明：一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充要条件是b ＝0. 证明：(1)必要性：∵f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数，
∴f (－x )＝－f (x )，即k (－x )＋b ＝－(kx ＋b )．∴b ＝0.
(2)充分性：如果b ＝0，那么f (x )＝kx ，此时f (x )为奇函数．
∴一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充要条件是b ＝0.
12．已知条件p ：－1≤x ≤10，q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0(m >0)不变，若 p 是 q 的必要而不充分条件，如何求实数m 的取值范围？
解：p ：－1≤x ≤10.
q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0
⇔[x －(2－m )][x －(2＋m )]≤0(m >0)
⇔2－m ≤x ≤2＋m (m >0)．
因为 p 是 q 的必要而不充分条件，
所以p 是q 的充分不必要条件，
即{x |－1≤x ≤10} {x |2－m ≤x ≤2＋m }，
故有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m ≤－12＋m >10或⎩
⎪⎨⎪⎧
2－m <－12＋m ≥10， 解得m ≥8.
所以实数m 的范围为{m |m ≥8}．
高.考≦试﹥题∷库。
高中数学 第1章1.1.1知能优化训练 湘教版必修1
高中数学 第1章1.1.1知能优化训练 湘教版必修11．集合{x |－3≤x ≤3，x ∈N}用列举法表示应是( )A ．{1,2,3}B ．{0,1,2,3}C ．{－2，－1,0,1,2}D ．{－3，－2，－1,0,1,2,3}解析：选B.{x |－3≤x ≤3，x ∈N}表示－3到3的所有自然数．2．下列集合为∅的是( )A ．{0}B ．{x |x 2＋1＝0}C ．{x |x 2－1＝0}D ．{x |x <0}解析：选B.集合{0}中有一个元素0；集合{x |x 2－1＝0}表示方程x 2－1＝0的解集；集合{x |x <0}表示小于0的实数组成的集合；集合{x |x 2＋1＝0}表示方程x 2＋1＝0的解集，而方程x 2＋1＝0无解，解集是空集．故选B.3．下列几个说法中正确的个数是( )①集合N 中的最小数为1 ②若a ∈N ，则－a ∉N ③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2 ④所有小的正数组成一个集合．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A.①中应为0；②中a ＝0时，－a ∈N ；③中最小值应为0；④中“小的正数”不确定，因此全不对．4．若集合A ＝{1,2,3,4}，集合B ＝{y |y ＝x －1，x ∈A }，将集合B 用列举法表示为________． 解析：x ＝1时，y ＝0；x ＝2时，y ＝1；x ＝3时，y ＝2；x ＝4时，y ＝3.答案：{0,1,2,3}5．用适当的符号填空： (1)π________Q；(2)0________Z ；(3)0________N ＋；(4)2________Q ；(5)2________R.答案：(1)∉ (2)∈ (3)∉ (4)∉ (5)∈一、选择题1．若P ＝{(0,2)，(1,2)}，则集合P 中元素的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.(0,2)为一个元素，不是两个元素．2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x －y ＝0的解构成的集合是( ) A ．{(1,1)} B ．{1,1}C ．(1,1)D ．{1}解析：选A.方程组的解是有序实数对．3．已知集合S ＝{a ，b ，c }，以它的三个元素为边长构成一个三角形，那么这个三角形一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选D.由集合中元素的互异性知a ≠b ≠c ，故选D.4．给出以下几个对象，其中能构成集合的有( )①某中学的年轻教师；②你所在班中身高超过1.80米的同学；③2011年深圳大运会的比赛项目；④1,3,5.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C.因为未规定年轻的标准，所以①不能构成集合，由于②③④中的对象具备确定性，所以②③④能构成集合．5．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的一个是( )A ．{x |x 是小于18的正奇数}B ．{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k ＜5}C ．{x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5}D ．{x |x ＝4s －3，s ∈N ＋，且s ≤5}解析：选D.A 中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3,7,11,15；B 中k 取负数时，多了若干元素；C 中t ＝0时会多了－3这个元素，只有D 是正确的．6．设x ＝13－52，y ＝3＋2π，集合M ＝{m |m ＝a ＋2b ，a ∈Q ，b ∈Q}，那么x ，y 与集合M 的关系是( )A ．x ∈M ，y ∈MB ．x ∈M ，y ∉MC ．x ∉M ，y ∈MD ．x ∉M ，y ∉M解析：选B.∵x ＝13－52＝－341－541 2.y ＝3＋2π中π是无理数，而集合M 中，b ∈Q ，得x ∈M ，y ∉M .二、填空题7．若[a,2a ]为一确定区间，则a ∈________.解析：∵[a,2a ]为一确定区间，∴2a ＞a ，∴a ＞0.答案：(0，＋∞)8．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：分四种情况：①a ＞0，b ＞0；②a ＜0，b ＜0；③a ＞0，b ＜0；④a ＜0，b ＞0. 答案：39．设－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2＋ax ＋3＝0}中所有元素之和为________．解析：由题意得(－5)2－a ·(－5)－5＝0，∴a ＝－4，由x 2＋ax ＋3＝0得x 2－4x ＋3＝0，∴(x －1)(x －3)＝0，∴x ＝1或x ＝3，∴{x |x 2＋ax ＋3＝0}＝{1,3}，∴所有元素之和为1＋3＝4.答案：4三、解答题10．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}中仅有一个元素1，求a ，b 的值，并用列举法表示A .解：集合A 表示方程x 2＋ax ＋b ＝0的解集，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4b ＝01＋a ＋b ＝0， 解得a ＝－2，b ＝1.由题意知A ＝{1}．11．设A ＝{x －2,2x 2＋5x,12}，若－3∈A ，求实数x 的值．解：∵－3∈A ，∴x －2＝－3或2x 2＋5x ＝－3.若x －2＝－3，则x ＝－1，此时2x 2＋5x 的值为－3，集合A ＝{－3，－3,12}，不满足集合中元素的互异性，故x ≠－1；若2x 2＋5x ＝－3，则x ＝－32或x ＝－1. 而当x ＝－1时，上面已验知不合要求；当x ＝－32时，A ＝{－72，－3,12}满足要求． ∴x ＝－32. 12．下面三个集合：A ＝{x |y ＝x 2＋1}；B ＝{y |y ＝x 2＋1}；C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．问：(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？解：(1)在A 、B 、C 三个集合中，虽然代表元素满足的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合．(2)集合A 的代表元素是x ，满足y ＝x 2＋1，故A ＝{x |y ＝x 2＋1}＝R.集合B 的代表元素是y ，满足y ＝x 2＋1的y ≥1，故B ＝{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}．集合C 的代表元素是(x ，y )，满足条件y ＝x 2＋1，即表示满足y ＝x 2＋1的实数对(x ，y )；也可认为是满足条件y ＝x 2＋1的坐标平面上的点．因此，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}＝{点P ∈平面α|P 是抛物线y ＝x 2＋1上的点}．。
【苏教版】数学《优化方案》选修1-1测试第1章1.2知能优化训练
1．分别用“p或q”“p且q”“非p”填空．(1)命题“15能被3或5整除”是________形式；(2)“3.5不是有理数”是________形式；(3)命题“李强是高一学生，也是共青团员”是________形式．答案：(1)p或q(2)非p(3)p且q2．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：a∈A∪B，则命题“非p”是________．解析：命题“p或q”的否定为“非p且非q”，所以a∉A∪B⇔a∈∁U B∩∁U A.答案：a∈∁U B∩∁U A3．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是________．①p∧q②p∨q③p④p∧q解析：因命题p真，命题q假，所以“p∨q”为真．答案：②4．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么________．(填序号)①命题p不一定是假命题②命题q一定是真命题③命题q不一定是真命题④命题p与命题q的真假相同解析：∵“p或q”为真，∴p与q至少有一个为真，又命题“非p”为真，∴p为假，故q一定为真．答案：②一、填空题1．由下列各组构成的命题中，p或q为真，p且q为假，非p为真命题的是________．①p：3＋2＝6；q：5>3；②p：3是偶数；q：4是奇数；③p：a∈{a，b}；q：{a {a，b}；④p：Z R；q：N＝N.解析：①中p假q真；②中p假q假；③中p真q真；④中p真q真．答案：①2．若p、q是两个命题，且“p或q”的否定是真命题，则p、q的真假性是________．解析：由p或q的否定是真命题，即p且q是真命题，因此p、q均为真命题，即p、q为假命题．答案：p假q假3．命题“若x＝3，则|x|＝3”的否定是________．答案：如果x＝3，则|x|≠34．由命题p：6是12或24的约数，q：6是24的约数，构成的“p∨q”形式的命题是________，“p∧q”形式的命题是________，“p”形式的命题是________．答案：6是12或24的约数6是12的约数，也是24的约数6不是12且也不是24的约数5．命题p：0不是自然数，命题q：π是无理数，在命题“p∧q”“p∨q”“p”“q”中，假命题是________，真命题是________．解析：因为命题p假，命题q真，所以“p∧q”假，“p∨q”真，“p”真，“q”假．答案：“p∧q”“q”“p∨q”“p”6．下列各命题中，满足p∨q真，p∧q假，p真的个数是________．①p：0＝∅；q：0∈∅②p：在△ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；q：y＝sin x在第一象限是增函数③p：a＋b≥2ab(a，b∈R)；q：不等式|x|>x的解集为(－∞，0)解析：①中p 假q 假；②中p 真q 真；③中p 假q 真，∴p ∨q 真，p ∧q 假， p 真的只有③.答案：17．已知命题p ：集合{x |x ＝(－1)n ，n ∈N }只有3个真子集，q ：集合{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }与集合{x |y ＝x ＋1}相等．则下列新命题：①p 或q ；②p 且q ；③非p ；④非q .其中真命题的个数为________．解析：命题p 的集合为{－1,1}，只有2个元集，有3个真子集，故p 为真；q 中的两个集合不相等，故q 为假，因此有2个新命题为真．答案：28．若命题p ：不等式4x ＋6>0的解集为{x |x >－32}，命题q ：关于x 的不等式(x －4)(x －6)<0的解集为{x |4<x <6}，则“p 且q ”，“p 或q ”，“ p”形式的复合命题中的真命题是________．解析：因命题p 为真命题，q 为真命题，所以“ p ”为假命题，“p 或q ”，“p且q ”为真命题．答案：“p 或q ”，“p 且q ” 二、解答题9．分别指出下列各组命题构成的“p ∧q ”“p ∨q ”“ p”形式的命题的真假． (1)p ：6<6.q ：6＝6.(2)p ：梯形的对角线相等．q ：梯形的对角线互相平分． (3)p ：函数y ＝x 2＋x ＋2的图象与x 轴没有公共点． q ：不等式x 2＋x ＋2<0无解． (4)p ：函数y ＝cos x 是周期函数． q ：函数y ＝cos x 是奇函数．解：(1)∵p 为假命题，q 为真命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题， p 为真命题．(2)∵p 为假命题，q 为假命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为假命题， p 为真命题．(3)∵p 是真命题，q 为真命题，∴p ∧q 为真命题，p ∨q 为真命题， p 为假命题．(4)∵p 为真命题，q 为假命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题， p 为假命题．10．已知p ：{x |x ＋2≥0且x －10≤0}，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}；若 p是 q 的必要条件，求实数m 的取值范围．解：法一：p 即{x |－2≤x ≤10}， 然后由 p ：A ＝{x |x <2或x >10}， q ：B ＝{x |x <1－m 或x >1＋m ，m >0}．因为 p 是 q 的必要不充分条件，所以 q ⇒ p ， p q .所以B A ，画数轴分析知，B A 的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤2，1＋m >10；或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <2，1＋m ≥10.解得m ≥9，即m 的取值范围是{m |m ≥9}．法二：因为 p 是 q 的必要不充分条件，即 q ⇒ p ，所以p ⇒q ，所以p 是q 的充分不必要条件， 而p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}． q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． 所以PQ ，即得⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10；或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10.解得m ≥9.即m 的取值范围是{m |m ≥9}．11．设命题p ：函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增；命题q ：关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 32＝0的解集只有一个子集．若p 或q 为真， p 或 q 也为真，求实数a 的取值范围．解：当命题p 是真命题时，应有a >1；当命题q 是真命题时，关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 32＝0无解，所以Δ＝4－4log a 32<0，解得1<a <32.由于p 或q 为真，所以p 或q 中至少有一个为真，又 p 或 q 也为真，所以 p和 q 中至少有一个为真，即p 和q 中至少有一个为假，故p 和q 中一真一假．p 假q 真时，a 无解；p 真q 假时，a ≥32.综上所述，实数a 的取值范围是a ≥32.高≌考﹥试я题╚库。
【优化方案】2012高中数学 第1章1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示同步课件 新人教B版必修3
S8 若e≥88，则执行 ，否则执行 ≥ ，则执行S9，否则执行S10； ； S9 输出“该学生获得学 输出“ 习优良奖” 习优良奖”； S10 输出“该学生没获 输出“ 得学习优良奖” 得学习优良奖”． 根据上述算法， 根据上述算法，其程序框 图如图所示： 图如图所示：
名师点评】 【 名师点评 】
3． 循环结构是指根据指定条件决定是否重 ． 一条或多条指令 复 执 行 ___________________ 的 控 制 结 构 称为循环结构．即从算法某处开始， 称为循环结构 ． 即从算法某处开始 ， 按照一 定条件重复执行某一处理过程． 定条件重复执行某一处理过程． 思考感悟 2．循环结构一定包含条件分支结构吗？ ．循环结构一定包含条件分支结构吗？ 提示：在循环结构中需要判断是否继续循环， 提示：在循环结构中需要判断是否继续循环， 因此，循环结构一定包含条件分支结构． 因此，循环结构一定包含条件分支结构．
解：设住户的人数为 x 个，收取的卫生费为 y 元，依题意 有： 5 (x≤3) ≤ ) y＝ . ＝ ( － ) ＞ ) ＋ 5＋1.2(x－3) ( x＞3) 这是一个分段函数求值问题， 可用条件分支结构实现算法． 这是一个分段函数求值问题， 可用条件分支结构实现算法． 算法过程如下： 算法过程如下： S1 输入 x； ； S2 若 x≤3，则 y＝5；否则， ≤ ， ＝ ；否则， y＝5＋1.2(x－3)； ＝ ＋ － ； S3 输出 y. 程序框图如图所示． 程序框图如图所示．
【解】 算法如下： 算法如下： S1 S＝1； ＝ ； S2 i＝3； ＝ ； S3 如果 ≤5000，那么 如果S≤ ， S＝S×i，i＝i＋2，重复 ＝ ×，＝＋ ， S3，否则，执行S4； S3，否则，执行S4； S4 i＝i－2； ＝－ ； S5 输出 输出i. 程序框图如图所示． 程序框图如图所示． 名师点评】 【名师点评】 对具有规 律性的重复计算， 律性的重复计算，常用循 环结构． 环结构．
【优化方案】2012高中数学 第1章1.2.3第一课时线线垂直、线面垂直课件 新人教B版必修2
点评】 【 点评 】
只有当直线平行于平面时， 只有当直线平行于平面时 ， 才存在直
【证明】 (1)∵SA⊥平面 ，BC⊂平面 ， 证明】 ∵ ⊥平面AC， ⊂平面AC， ∴SA⊥BC， ⊥ ， 四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC. 为矩形， ∵四边形 为矩形 ⊥ ∴BC⊥平面 ⊥平面SAB，∴BC⊥AE. ， ⊥ 又SB⊥AE，∴AE⊥平面 ⊥ ， ⊥平面SBC， ， ∴AE⊥SC. ⊥ 又EF⊥SC，∴SC⊥平面 ⊥ ， ⊥平面AEF. ∴AF⊥SC. ⊥ (2)∵SA⊥平面 ，∴SA⊥DC. ∵ ⊥平面AC， ⊥ 又AD⊥DC，∴DC⊥平面 ⊥ ， ⊥平面SAD.∴DC⊥AG. ∴ ⊥ 又由(1)有 ⊥平面AEF，AG⊂面AEF， 又由 有SC⊥平面 ， ⊂ ， ∴SC⊥AG，∴AG⊥平面 ⊥ ， ⊥平面SDC，∴AG⊥SD. ， ⊥
1．2.3 ．
空间中的垂直关系
第一课时 线线垂直、线面垂直 线线垂直、
学习目标 1.理解线线垂直 、 线面垂直的概念并能画出它们 理解线线垂直、 理解线线垂直 的直观图． 的直观图． 2． 掌握线线垂直、 线面垂直的判定定理， 并能 ． 掌握线线垂直 、 线面垂直的判定定理 ， 作出正确的判定，会求其距离． 作出正确的判定，会求其距离． 3． 掌握线面垂直的性质定理 ， 并能应用该定理 ． 掌握线面垂直的性质定理， 证明空间位置关系． 证明空间位置关系．
2 2 2
【点评】 点评】
把线面垂直的证明，转化为线线垂直， 把线面垂直的证明，转化为线线垂直，
其中勾股定理是证明线线垂直的重要方法． 其中勾股定理是证明线线垂直的重要方法． 跟踪训练1 跟踪训练 正方体A1B1C1D1－ABCD中，E、F分 正方体 中 、 分
别是棱AB、 BC的中点， O是下底面 、 的中点， 是下底面 是下底面ABCD的中心， 的中心， 别是棱 的中点 的中心 求证： ⊥平面BB 求证：EF⊥平面 1O.
【优化方案】精品课件数学湘教版选修1-1第1章本章优化总结
【解析】 若一元二次方程 x2＋x＋m＝ 0 有实数解， 1 则 Δ＝1－4m≥0，因此 m≤ . 4 1 故 m< 是方程 x2＋x＋m＝0 有实数解的 4 充分非必要条件．
【答案】 A
逻辑联结词 判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是 对逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含 义的理解，应根据组成各个复合命题的语句 中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假 的判断．
如果 p ， q 是两个简单命题，试列出下 列九个命题的真值表：
例1
(1) 非 p ； (2) 非 q ； (3)p 或 q ； (4)p 且 q ； (5)“p 或 q”的否定；(6)“p且 q”的否定；(7)“非 p 或非 q”； (8)“非 p 且非 q”； (9)“非‘非 p’”． 【思路点拨】 利用真值表判断出最简单的 “非p”、“p或q”、“p且q”，再进一步 利用真值表判断其它命题．
【解析】 “p∧q”为真，则“p∨q”为真 ，反之不一定，①真；如p真，q假时，p∧q 假，但p∨q真，故②假； p为假时，p真 ，所以p∨q真，反之不一定对，故③真；若 p 为真，则 p 假，所以 p ∧ q 假，因此④错 误． 【答案】 B
等价转化思想 等价转化思想是本章常用的数学思想方法， 命题的真假可转化为集合间的包含关系，原 命题与其逆否命题的等价转化，p是q的充分 条件等价于q是p的必要条件．等价转化是解 决问题常用的方法．
ห้องสมุดไป่ตู้
【名师点评】 有关不等式的“充要条件” 问题，一般是转化为集合之间的包含关系加 以解决．
章末综合检测
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例3
在下列各结论中，正确的是(
【优化方案】2012高中数学 第1章1.1.1第二课时课件 新人教B版必修5
义域)的确定，关系到我们能否正确获得所求
最值，应引起我们足够的重视．
方法感悟 正弦定理的四种证明方法 教材中对定理的证明是分锐角三角形和钝角三 角形两种情形来证明的，若利用向量知识和平 面几何知识，又该如何证明呢？ 1．利用向量知识证明正弦定理
当△ABC是锐角三角形时，过A点作单位向量i 垂直于AB，如图．
【点评】 三角形面积公式较多，解题时要
选择尽可能多地利用已知条件的公式．
自我挑战 1 在△ABC 中， 已知 tanB＝ 3， cosC 1 ＝ ，AC＝3 6，求△ABC 的面积． 3
解：设 AB、BC、CA 的长分别为 c、a、b， 3 1 由 tanB＝ 3，得 B＝60° ，∴sinB＝ ，cosB＝ . 2 2 2 2 2 又 sinC＝ 1－cos C＝ ，应用正弦定理，得 3 bsinC 3 6×2 2 c＝ ＝ ＝8. sinB 3 3× 2
∴c＝2RsinC.
若C是直角，由Rt△ABC(如图丙)，得
c＝2R＝2Rsin90°＝2RsinC.
因此，不论 C 是锐角、钝角还是直角，都有 c ＝2RsinC. 同样可以证明： a＝2RsinA，b＝2RsinB. a b c 由此可得 ＝2R， ＝2R， ＝2R， sinA sinB sinC a b c ∴ ＝ ＝ ＝2R. sinA sinB sinC
自我挑战 3 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边 分别为 a、b、c. a －b sinA－B 求证： 2 ＝ . c sinC
a sinA b sinB 证明：由正弦定理，有c＝ ， ＝ ， sinC c sinC a －b sin A－sin B ∴ 2 ＝ . c sin2C
2012数学第1章1.2.1知能优化训练(湘教版选修1-1)
1．若命题p∧q为假，且p为假，则()A．p∨q为假B．q为假C．q为真D．不能判断答案：B2．命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是()A．简单命题B．“p或q”形式的复合命题C．“p且q”形式的复合命题D．“非p”形式的复合命题答案：C3．对于命题p和q，下列结论中正确的是()A．p真，则p∧q一定真B．p假，则p∧q不一定假C．p∧q真，则p一定真D．p∧q假，则p一定假答案：C4．判断下列命题的形式(从“p∨q”、“p∧q”中选填一种)：(1)6≤8：________；(2)集合中的元素是确定的且是无序的：________.答案：p∨q p∧q一、选择题1．如果命题“p∨q”与命题“p”都是真命题，那么()A．命题p不一定是假命题B．命题q一定为真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真假相同解析：选B.“p∨q”为真，则p、q至少有一个为真．p为真，则p为假，∴q是真命题．2．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是()A．p∧q B．p∨qC．p D．( p)∧( q)解析：选B.∵p是真命题，q是假命题，∴“p∨q”是真命题．3．命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)；命题q：a2＋b2≥0(a，b∈R)，则下列结论中正确的是() A．“p∨q”为真B．“p∧q”为真C．“p”为假D．“q”为真解析：选A.∵p为假命题，q为真命题，∴“p∨q”为真命题．4．若命题p：2m－1(m∈Z)是奇数，命题q：2n＋1(n∈Z)是偶数，则下列说法正确的是() A．p∨q为真B．p∧q为真C．p为真D．q为假解析：选A.命题p：“2m－1(m∈Z)是奇数”是真命题，而命题q：“2n＋1(n∈Z)是偶数”是假命题，所以p∨q为真．5．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是()A．( p)∨q B．p∧qC．( p)∧( q) D．( p)∨( q)解析：选D.p为真，q为假，所以q为真，( p)∨( q)为真．6．给出两个命题：p ：函数y ＝x 2－x －1有两个不同的零点；q ：若1x<1，则x >1，那么在下列四个命题中，真命题是( )A ．( p )∨qB ．p ∧qC ．( p )∧( q )D ．( p )∨( q )解析：选D.对于p ，函数对应的方程x 2－x －1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×(－1)＝5>0.可知函数有两个不同的零点，故p 为真．当x <0时，不等式1x<1恒成立； 当x >0时，不等式的解为x >1.故不等式1x <1的解为x <0或x >1.故命题q 为假命题．所以只有( p )∨( q)为真．故选D. 二、填空题7．用“或”、“且”、“非”填空，使命题成为真命题：(1)若x ∈A ∪B ，则x ∈A ________x ∈B ；(2)若x ∈A ∩B ，则x ∈A ________x ∈B ；(3)若ab ＝0，则a ＝0________b ＝0；(4)a ，b ∈R ，若a ＞0________b ＞0，则ab ＞0.答案：(1)或 (2)且 (3)或 (4)且8．设命题p ：2x ＋y ＝3；q ：x －y ＝6.若p ∧q 为真命题，则x ＝________，y ＝________. 解析：若p ∧q 为真命题，则p ，q 均为真命题，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝3，x －y ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－3.答案：3 －39．命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为________，命题的否定为________．解析：命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为“若a ≥b ，则2a ≥2b ”，命题的否定为“若a <b ，则2a ≥2b ”．答案：若a ≥b ，则2a ≥2b 若a <b ，则2a ≥2b三、解答题10．指出下列命题的形式及构成它们的简单命题：(1)方程x 2－3＝0没有有理根；(2)不等式x 2－x －2>0的解集是{x |x >2或x <－1}．解：(1)这个命题是“ p ”的形式，其中p ：方程x 2－3＝0有有理根．(2)这个命题是“p 或q ”的形式，其中p ：不等式x 2－x －2>0的解集是{x |x >2}，q ：不等式x 2－x －2>0的解集是{x |x <－1}．11．判断由下列命题构成的p ∨q ，p ∧q ， p形式的命题的真假： (1)p ：负数的平方是正数，q ：有理数是实数；(2)p ：2≤3，q ：3<2；(3)p ：35是5的倍数，q ：41是7的倍数．解：(1)p 真，q 真，∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题， p为假命题； (2)p 真，q 假，∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题， p为假命题； (3)p 真，q 假，∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题， p为假命题． 12．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2) p 是 q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0.又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时， 实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤x ≤3，x <－4或x >2，即2<x ≤3. 所以q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1<x <32<x ≤3⇔2<x <3， 所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2) p 是 q 的充分不必要条件，即 p ⇒ q 且 q p . 设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}，则A B . 所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2.所以实数a 的取值范围是(1,2]．。
高中数学 第1章1.2.2知能优化训练 湘教选修1-1
知能优化训练1．下列含有存在量词的命题，真命题个数是( )①存在一个实数a ，使a 为正整数；②存在一个实数x ，使10x 为正整数；③存在一个实数y ，使11y 为整数．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D.对于①，当a ＝4时，a ＝2为正整数；对于②，当x ＝1时，10x ＝1为正整数；对于③，当y ＝1时，11y ＝1为整数，故选D.2．下列命题，真命题的个数为( )①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③正四面体中两侧面的夹角相等．A ．1B ．2C ．3D ．0解析：选C.用偶数的定义判断①正确；用角平分线的性质判定②正确；用正四面体的概念及二面角的定义判断③正确．3．命题“一次函数都是单调函数”的否定是( )A ．一次函数都不是单调函数B ．非一次函数都不是单调函数C ．有些一次函数是单调函数D ．有些一次函数不是单调函数解析：选D.命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．4．(1)用符号“∀”表示命题“不论m 取什么实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实根”为________________________________________________________________________；(2)用符号“∃”表示命题“存在实数x ，使sin x >tan x ”为________________________________________________________________________．答案：(1)∀m ∈R ，x 2＋x －m ＝0有实根(2)∃x 0∈R ，sin x 0>tan x 0一、选择题1．下列命题中，假命题的个数是( )①∀x ∈R ，x 2＋1≥1；②∃x 0∈R,2x 0＋1＝3；③∃x 0∈Z ，x 0能被2和3整除；④∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0.A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B.①②③都是真命题，而④为假命题．2．(2010年高考湖南卷)下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x >0解析：选C.对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R,2x >0，正确．3．下列命题的否定是假命题的是( )A ．p ：能被3整除的整数是奇数； p：存在一个能被3整除的整数不是奇数 B ．p ：每一个四边形的四个顶点共圆； p：存在一个四边形的四个顶点不共圆 C ．p ：有的三角形为正三角形； p：所有的三角形不都是正三角形 D ．p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0； p ：∀x ∈R ，都有x 2＋2x ＋2>0 解析：选C.p 为真命题，则 p 为假命题．4．(2011年高考辽宁卷)已知命题p ：∃n ∈N,2n >1000，则 p 为( )A ．∀n ∈N,2n ≤1000B ．∀n ∈N,2n >1000C ．∃n ∈N,2n ≤1000D ．∃n ∈N,2n <1000解析：选A.“∃x ∈I ，p (x )”的否定是“∀x ∈I ，p (x )” ∴ p 为∀n ∈N,2n ≤1000.5．(2011年高考山东卷)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3解析：选A.由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若a ＋b＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3”．6．(2011年高考安徽卷)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数解析：选D.“∀x ∈I ，p (x )”的否定是“∃x ∈I ，p (x )”； “∃x ∈I ，p (x )”的否定是“∀x ∈I ，p (x )”． 故“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的整数不是偶数”．二、填空题7．(2010年高考安徽卷)命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________． 答案：存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤38．下列命题：①存在x 0<0，使|x 0|>x 0；②对于一切x <0，都有|x |>x ；③已知a n ＝2n ，b n ＝3n ，对于任意n ∈N ＋，都有a n ≠b n ；④已知A ＝{a |a ＝2n }，B ＝{b |b ＝3n }，对于任意n ∈N ＋，都有A ∩B ＝∅.其中，所有正确命题的序号为________．解析：命题①②显然为真命题；③由于a n －b n ＝2n －3n ＝－n <0，对于任意n ∈N ＋，都有a n <b n ，即a n ≠b n ，故为真命题；④已知A ＝{a |a ＝2n }，B ＝{b |b ＝3n }，例如n ＝1,2,3时，A ∩B ＝{6}，故为假命题．答案：①②③9．若对任意x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1恒成立，则a 的取值范围是________．解析：这是一个全称命题，只须：(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，借助二次函数图象可知只须⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0Δ＝16－a －a ＋成立． ∴a ≥2即为所求．答案：a ≥2三、解答题10．将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示，并判断真假．(1)实数的平方是非负数；(2)整数中1最小；(3)方程ax 2＋2x ＋1＝0(a <1)至少存在一个负根；(4)对于某些实数x ，有2x ＋1>0；(5)若直线l 垂直于平面α内的任一直线，则l ⊥α.解：(1)∀x ∈R ，x 2≥0，真．(2)∀x ∈Z ，x ≥1，假．(3)∃x 0<0，有ax 20＋2x 0＋1＝0(a <1)，真．(4)∃x 0∈R ，有2x 0＋1>0，真．(5)若∀a ⊂α，l ⊥a ，则l ⊥α，真．11．写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q ：存在x 0＞1，使x 20－2x 0－3＝0；(3)r ：等圆的面积相等，周长相等；(4)s ：对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.解：(1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0都有实数根”，其否定形式是：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”．注意到当Δ＝1＋4m ＜0时，即m＜－14时，一元二次方程没有实数根，所以它是真命题． (2)这一命题的否定是：“对任意x ＞1，都有x 2－2x －3≠0”．是假命题．(3)这一命题的否定形式是：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”．由平面几何知识知，这是一个假命题．(4)这一命题的否定形式是：“存在一个角α，使sin 2α＋cos 2α≠1”．由于命题s 是真命题，所以它是假命题．12．命题p ：“对f (x )的定义域内的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)成立，则函数f (x )是增函数”．(由定义可知，此命题为真命题)(1)写出命题p 中的全称量词；(2)若f (x )＝x ＋4x，写出命题p ，并判断命题p 的真假． 解：(1)命题p 中的全称量词是：(定义域内的)“任意”(两个自变量的值)．(2)命题p ：“对f (x )＝x ＋4x的定义域内的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)成立”．取x 1＝－2，x 2＝－13，则f (x 1)＝－4，f (x 2)＝－1213， 由x 1＜x 2，得f (x 1)＞f (x 2)，与f (x 1)＜f (x 2)矛盾，所以命题p 为假命题．。
【优化方案】2012高中数学 第1章章末综合检测 湘教版选修1-1
(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“x>3”是“|x|>3”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析：选A.|x|>3⇔x>3或x<－3，故x>3⇒|x|>3，但|x|>3⇒\ x>3，∴x>3是|x|>3的充分不必要条件．2．(2011年高考北京卷)若p是真命题，q是假命题，则( )A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．p是真命题D．q是真命题解析：选D.根据“且”“或”“非”命题的真假判定法可知D正确．3．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．0 B．2C．3 D．4解析：选B.原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真．故共有2个真命题．4．若命题p：x＝2且y＝3，则p为( )A．x≠2或y≠3 B．x≠2且y≠3C．x＝2或y≠3 D．x≠2或y＝3解析：选A.由于“且”的否定为“或”，所以p：x≠2或y≠3.故选A.5．命题“若a>b，则a－5>b－5”的逆否命题是( )A．若a<b，则a－5<b－ 5B．若a－5>b－5，则a>bC．若a≤b，则a－5≤b－ 5D．若a－5≤b－5，则a≤b解析：选D.逆否命题是把原命题条件的否定作为结论，把原命题结论的否定作为条件而构成的．6．下列命题中假命题的个数是( )①2x＋1是整数(x∈R) ②对所有的x∈R，x>3 ③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.对于①，当x＝14时，2x＋1＝32不是整数，假命题．对于②，当x＝0时，0<3，假命题．对于③，当x∈Z时，2x2是偶数，进而2x2＋1是奇数，所以①②是假命题，故选C. 7．(2011年高考天津卷)设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.A＝{x|x－2>0}＝{x|x>2}＝(2，＋∞)，B＝{x|x<0}＝(－∞，0)，∴A∪B＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x<0或x>2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，A∪B＝C.∴“x∈A∪B”是“x ∈C”的充要条件．8．(2010年高考天津卷)下列命题中，真命题是( )A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R)是偶函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R)是奇函数C ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R)都是偶函数D ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R)都是奇函数解析：选A.对于选项A ，∃m ∈R ，即当m ＝0时，f (x )＝x 2＋mx ＝x 2是偶函数．故A 正确．9．已知p ：x ＝1， q：x 2＋8x －9＝0，则下列为真命题的是( ) A ．若p ，则q B ．若 q，则p C ．若q ，则 p D ．若 p，则q 解析：选C.p ：x ＝1，q ：x ≠1且x ≠－9，易判断A 、B 为假命题，∵x 2＋8x －9≠0⇒x ≠1，∴选项C 正确．10．已知命题p ：存在x ∈R ，使tan x ＝22，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，则下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且 q ”是假命题；③命题“ p 或q ”是真命题；④命题“ p 或 q ”是假命题，其中正确的是( ) A ．②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．①②③④ 解析：选D.∵p 、q 都是真命题，∴①②③④均正确．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在题中横线上)11．命题p ：内接于圆的四边形的对角互补，则p 的否命题是________．非p 是________． 答案：不内接于圆的四边形的对角不互补 内接于圆的四边形的对角不互补12．用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题： (1)凸n 边形的外角和等于2π：________；(2)存在一个有理数x 0，使得x 20＝8：________. 答案：(1)∀x ∈{凸n 边形}，x 的外角和等于2π(2)∃x 0∈Q ，x 20＝813．a ＝3是“直线l 1：ax ＋2y ＋3a ＝0和直线l 2：3x ＋(a －1)y ＝a －7平行且不重合”的________条件．解析：当a ＝3时，l 1：3x ＋2y ＋9＝0， l 2：3x ＋2y ＋4＝0，∴l 1∥l 2.反之，若l 1∥l 2，则a (a －1)＝6，即a ＝3或a ＝－2， 但a ＝－2时，l 1与l 2重合． 答案：充要 14．已知p ：3×3＝6，q ：3＋3＝6，判断下列复合命题的真假：p 或q ________，p 且q ________，p ________.解析：因为p 假，q 真，所以“p 或q ”真，“p 且q ”假，“ p ”真． 答案：真 假 真 15．给出下列命题：①已知a ＝(3,4)，b ＝(0，－1)，则a 在b 方向上的投影为－4；②函数y ＝tan(x ＋π3)的图象关于点(π6，0)成中心对称；③若a ≠0，则a ·b ＝a ·c 是b ＝c 成立的必要不充分条件．其中正确命题的序号是________．(将所有正确命题的序号都填上) 解析：①∵|a |＝5，|b |＝1，a ·b ＝－4，∴cos 〈a ，b 〉＝－45，∴a 在b 方向上的投影为|a |·cos〈a ，b 〉＝－4，①正确．②当x ＝π6时，tan(x ＋π3)无意义，由正切函数y ＝tan x 的图象的性质知，②正确．③当a≠0，b＝c时，a·b＝a·c成立．(当a≠0，a·b＝a·c时不一定有b＝c.)∴③正确．答案：①②③三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分13分)已知命题p：∀非零向量a、b、c，若a·(b－c)＝0，则b＝c.写出其否定和否命题，并说明真假．解：p：∃非零向量a、b、c，若a·(b－c)＝0，则b≠c. p为真命题．否命题：∀非零向量a、b、c，若a·(b－c)≠0，则b≠c.否命题为真命题．17．(本小题满分13分)指出下列命题中，p是q的什么条件：(1)p：{x|x>－2或x<3}；q：{x|x2－x－6<0}；(2)p：a与b都是奇数；q：a＋b是偶数．解：(1)∵p＝{x|x>－2或x<3}，q＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3}，∴{x|x>－2或x<3}⇒\{x|－2<x<3}，而{x|－2<x<3}⇒{x|x>－2或x<3}．∴p是q的必要不充分条件．(2)∵a、b都是奇数⇒a＋b为偶数，而a＋b为偶数a、b都是奇数，∴p是q的充分不必要条件．18．(本小题满分13分)根据条件，判断“p∨q”，“p∧q”，“p”的真假：(1)p：9是144的约数，q：9是225的约数；(2)p：不等式x2－2x＋1>0的解集为R，q：不等式x2－2x＋1≤0的解集为∅.解：(1)p∨q：9是144或225的约数．p∧q：9是144与225的公约数．p：9不是144的约数．∵p真，q真，∴p∨q为真，p∧q为真，而p为假．(2)p∨q：不等式x2－2x＋1>0的解集为R或不等式x2－2x＋1≤0的解集为∅.p∧q：不等式x2－2x＋1>0的解集为R且不等式x2－2x＋1≤0的解集为∅.p：不等式x2－2x＋1>0的解集不为R.∵p假，q假，∴p∨q为假，p∧q为假，而p为真．19．(本小题满分12分)证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.证明：“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a ＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0，∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．20．(本小题满分12分)已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若p∧q和q都是假命题，求x的值．解：∵p∧q为假命题，∴p、q至少有一个为假．∵q为假，∴q为真，即p假q真，∴x2－x<6且x∈Z，∴－2<x<3且x∈Z，即x＝－1,0,1,2.21．(本小题满分12分)π是圆周率，a、b、c、d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c且b＝d.(1)写出p 的逆命题、否命题及逆否命题并判断真假；(2)判断“a ＝c 且b ＝d ”是“a π＋b ＝c π＋d ”的什么条件？ 解：(1)逆命题：若a ＝c 且b ＝d ， 则a π＋b ＝c π＋d ，真命题． 逆否命题：若a ≠c 或b ≠d ， 则a π＋b ≠c π＋d ，真命题． 否命题：若a π＋b ≠c π＋d ， 则a ≠c 或b ≠d ，真命题．(2)“a ＝c 且b ＝d ”是“a π＋b ＝c π＋d ”的充要条件．充分性：⎭⎪⎬⎪⎫a ＝c ⇒a π＝c π b ＝d ⇒a π＋b ＝c π＋d ； 必要性：a π＋b ＝c π＋d ⇒(a －c )π＝d －b ，∵d －b ∈Q ，∴a －c ＝0，d －b ＝0，即a ＝c 且b ＝d .。
【优化方案】2012高中数学 第2章2.4知能优化训练 湘教版选修1-1
[学生用书 P 33]1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的集合是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线 D ．一条射线解析：选D.F 1、F 2是两定点，|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．2．若△ABC 的两个顶点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) 解析：选A.因为|AB |＝8，|CA |＋|CB |＝18－8＝10，所以顶点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(去掉长轴的两个端点)．又因为2a ＝10,2c ＝8，所以b 2＝9.所以顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)． 3.如图所示，南北方向的公路l ，A 地在公路的正东2 km 处，B 地在A 地东偏北30°方向2 3 km 处，河流沿岸PQ (曲线)上任一点到公路l 和A 地距离相等，现要在曲线PQ 上任选一处M 建一座码头，向A 、B 两地转运货物，经测算从M 到A 、从M 到B 修建公路的费用均为a 万元/千米，那么修建这条公路的总费用最低为( ) A ．(2＋3)a 万元 B ．2(3＋1)a 万元 C ．5a 万元 D ．6a 万元 解析：选C.如图，分别过M 、B 、A 作直线MM ′⊥l ，BB ′⊥l ，AA 1⊥l ，垂足分别为M ′、B ′、A 1，过点B 作BB 1⊥AA 1，垂足为B 1，连接A 、B 两点，由已知可得，|AB 1|＝|AB |cos30°＝23×32＝3.又|AA 1|＝2，可得|BB ′|＝3＋2＝5.由抛物线定义可得|AM |＝|MM ′|.∴修路费用为(|AM |＋|MB |)a ＝(|MM ′|＋|MB |)a ≥|BB ′|a ＝5a (万元)．故选C.4．2008年9月，我国载人航天飞船“神七”飞行获得圆满成功．已知“神七”飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200 km ，350 km.设地球半径为R km ，则飞船轨道的离心率是________(结果用R 的式子表示)． 解析：由题意知a －c ＝200＋R ，a ＋c ＝350＋R ，求得：a ＝275＋R ，c ＝75，所以离心率e ＝c a＝75275＋R. 答案：75275＋R一、选择题 1.卫星顺利进入周期为3.5小时的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度由8600公里降至1700公里，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200公里，月球的半径约是1800公里，且近月点、远月点、月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是( ) A.311 B.35 C.511 D.322 解析：选A.由题意知a ＋c ＝1700＋1800＝3500① a －c ＝200＋1800＝2000② ①＋②得2a ＝5500， ①－②得2c ＝1500，∴e ＝2c 2a ＝311.2．如图所示，图中的多边形均为正多边形，M 、N 是所在边的中点，双曲线均以图中F 1、F 2为焦点，设图中双曲线的离心率分别为e 1、e 2、e 3，则e 1、e 2、e 3三者之间的大小关系为( )A ．e 1>e 2>e 3B ．e 3>e 2>e 1C ．e 2>e 1＝e 3D ．e 1＝e 3>e 2解析：选D.建立以F 1F 2的中点为原点，F 1F 2所在直线为x 轴的直角坐标系，由双曲线的定义知|MF 2|－|MF 1|＝2a ，设各正多边形的边长均为2，则图(1)中2a ＝3－1,2c ＝2，e 1＝3＋1；图(2)中，2a ＝5－1,2c ＝22，e 2＝10＋22；图(3)中，2a ＝23－2,2c ＝4，e 3＝3＋1，∴e 1＝e 3>e 2.3．炮弹运行的轨道是抛物线，现测得我炮位A 与目标B 的水平距离为6000 m ，而当射程是6000 m 时，炮弹运行轨道的最大高度是1200 m ，在A ，B 间距A 点500 m 处有一高度达350 m 的障碍物，则炮弹( ) A ．不可以越过障碍物 B ．可以越过障碍物C ．是否可以越过障碍物不确定D ．以上说法均不对 解析：选A.以A 为坐标原点，AB 为x 轴建立坐标系(如图所示)，最高点坐标为O ′(3000，1200)、B (6000,0)．设抛物线的方程为y －1200＝m (x －3000)2，将B 点的坐标代入，得m ＝－17500，所以抛物线方程y －1200＝－17500(x －3000)2，将x ＝500代入，得y ＝11003.即离炮位于500 m 处炮弹高度为11003m ，大于350 m ，∴炮弹能越过障碍物． 4.如图所示，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流的沿岸PQ (曲线)上任一点到A 的距离比到B 的距离远2 km.试确定河流为何种圆锥曲线，则其标准方程为( ) A ．y 2－x 23＝1B ．y 2－x 23＝1(y ≥1)C ．x 2－y 23＝1(x ≥1)D ．x 2－y 23＝1解析：选C.以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系如图，则A (－2,0)，B (2,0)，根据题意，知|MA |－|MB |＝2，于是PQ 为以A 、B 为焦点的双曲线的右支.2a ＝2，∴a ＝1，c ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3.其方程为x 2－y 23＝1(x ≥1)．5．我国自行研制的“中星20号”通信卫星，于2003年11月15日开始精确地进入预定轨道．这颗卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点与地球表面的距离为212 km ，远地点与地球表面的距离为41981 km.已知地球半径约为6371 km ，则这颗卫星运行轨道的近似方程为(长、短半轴的长精确到0.1 km)( ) A.x 227467.52＋y 217841.02＝1 B.y 227467.52＋x 217841.02＝1C.x 227467.52－y 217841.02＝1 D.y 227467.52－x 217841.02＝1解析：选A.以卫星运行的椭圆形轨道的中心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，使地球中心F 在x 轴上．点F (c ，0)是椭圆的一个焦点，椭圆与x 轴的交点A 、B 分别是近地点、远地点．设所求的卫星运行轨道的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由已知得a －c ＝FA ＝6371＋212＝6583，a ＋c ＝FB ＝6371＋41981＝48352，解得a ＝27467.5.b ＝a 2－c 2＝a ＋c a －c＝48352×6583≈17841.0.因此，所求的卫星运行轨道的近似方程为x 227467.52＋y 217841.02＝1.6．喷灌的喷头装在直立管柱OA 的顶部A 处，喷出的水流的最高点为B ，距地面5 m ，且与管柱OA 相距4 m ，水流落在以O 为圆心，半径为9 m 的圆上，则管柱OA 的长为( ) A ．0.9 m B ．1.2 m C ．1.5 m D ．1.8 m 解析：选D.如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)．又点C (5，－5)在抛物线上，∴25＝－2p ·(－5)，2p ＝5，即x 2＝－5y . 点A (－4，y 0)在抛物线上，∴16＝－5y 0，y 0＝－165＝－3.2，∴|OA |＝5－3.2＝1.8(m)，即管柱OA 的长是1.8 m. 二、填空题7．某卫星的运行轨道是以地球的中心F 为左焦点的椭圆，测得该卫星的近地点A 距地面r 1千米，远地点B 距地面r 2千米，地球半径为R 千米，则关于该运行轨道有以下三种说法：①焦距长为r 2－r 1；②短轴长为r 1＋R r 2＋R ；③离心率e ＝r 2－r 1r 1＋r 2＋2R，以上说法正确的是________．解析：设椭圆轨道的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则a ＋c ＝r 2＋R ，a －c ＝r 1＋R .∴a ＝r 1＋r 2＋2R 2，c ＝r 2－r 12.∴b ＝a 2－c 2＝R ＋r 1R ＋r 2.∴e ＝c a ＝r 2－r 1r 1＋r 2＋2R.答案：①③8．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是________．(填写所有正确选项的序号)①菱形；②有三条边相等的四边形；③梯形；④平行四边形；⑤有一组对角相等的四边形． 解析：结合图形将各种情况逐一探究，综合应用抛物线的性质．如图(1)，任作一组斜率为k (k ≠0)的直线AB 、CD ，使AB ∥CD 且均与抛物线有两个交点，则ABCD 构成四边形．由于AB ∥CD ，结合抛物线性质知AC 与BD 不平行，故ABCD 不可能为平行四边形，同时也不可能为菱形，但可以为梯形，故①④不可能是，而③可以是．由图(1)知，当边CD 确定时，过点C 总可以作弦CA ，使CD ＝AC ，同理可作出DC ＝DB ，故可以有三边相等的四边形，故②可能是．再如图(2)，作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，作弦AB 的垂直平分线交抛物线于C 、D 两点，连接AC 、BC 、AD 、BD ，根据中垂线的性质，AC ＝BC ，且AD ＝BD ，∴△ACD ≌△BCD ，∴∠CAD ＝∠CBD .即四边形ABCD 有一组对角相等，故⑤可能是． 答案：②③⑤9．汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm ，灯深10 cm ，那么灯泡与反射镜顶点(即截得抛物线顶点)间的距离是________cm. 解析：取反光镜的轴即抛物线的对称轴为x 轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy ，如图所示．因灯口直径|AB |＝24，灯深|OP |＝10， 所以点A 的坐标是(10,12)．设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．由点A (10,12)在抛物线上，得122＝2p ×10，所以p ＝7.2. 所以抛物线的焦点F 的坐标为(3.6,0)． 因此灯泡与反光镜顶点间的距离是3.6 cm. 答案：3.6 三、解答题10．彗星“紫金山一号”是南京天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点距太阳中心1.486天文单位，远日点距太阳中心5.563天文单位(1天文单位是太阳到地球的平均距离，约1.5×108km)，近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，求轨道的方程．解：设太阳中心、近日点、远日点分别为F 2、A 、B ，如图所示，建立直角坐标系，则椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由a－c＝|AF2|＝1.486，a＋c＝|BF2|＝5.563.解得a＝3.5245，c＝2.0385. ∴b＝a2－c2＝a＋c a－c＝ 5.563×1.486≈2.8752.因此，所求轨道的方程为x23.52452＋y22.87522＝1.11.如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计多少m？(精确到整数位)解：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，依题意有P′(1，－1)，在此抛物线上，代入得p＝12，故得抛物线方程为x2＝－y.又B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线方程得x＝2，即|AB|＝2，则水池半径应为|AB|＋1＝2＋1，因此所求水池的直径为2(1＋2)，约为5 m，即水池的直径至少应设计为5 m.12.某农场在P处有一堆肥，今要把这堆肥沿道路PA或PB送到田地ABCD中，已知PA＝100 m，PB＝150 m，∠APB＝60°.请你在田地中选择一界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近，而另一侧的点沿PB送肥较近，并说明是什么界线，求出它的方程．解：设M为界线上任一点，则|AM|＋|AP|＝|BM|＋|BP|，∴|AM |－|BM |＝|BP |－|AP |＝50，可见，点M 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的右支的一半．设点M 的轨迹方程为x 2a 2－y 2b2＝1(x >0，y ≥0)，则2a ＝50，a ＝25.∵∠APB ＝60°，∴|AB |2＝|AP |2＋|BP |2－2|AP |·|BP |cos60°＝2500×7，∴2c ＝507，c ＝257，b 2＝c 2－a 2＝3750. 故界线方程为x 2625－y 23750＝1(x >0，y ≥0)．。