港澳台联招补习班内部资料：数学冲刺复习：平面向量不含答案

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平面向量
一、选择题：
1、若(3,5)AB = ，(1,7)AC = ,则BC = （
）
A ．（－2，－2）
B ．（－2，2）
C ．（4，12）
D ．（－4,－12）
2、已知平面向量→a ＝(1，1)，→b ＝(1，－1)，则向量12→a －32
→
b ＝()
A 、(－2，－1)
B 、(－2，1)
C 、(－1，0)
D 、(－1，2)3、设a =(1,－2)，b =(－3,4)，c =(3，2),，则(a －2b )·c =（）A.(10，－8)B 、0C 、1D 、（21，－20）
4、已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，
且2BC AD = ，则顶点D 的坐标为（）
A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，
B ．122⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，C ．(32)，D ．(13)，
5、已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+ 与a
垂直，则λ是（）A.－1 B.1 C.－2 D.2
6、若平面向量b 与向量a =（1，－2）的夹角是180°，且|b |=35，则b =（
）
A ．（－1，2）
B ．（－3，6）
C ．（3，－6）
D ．（－3，6）或（3，－6）
7、在ABC AB BC AB ABC ∆=+⋅∆则中，若,0是（
）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
8、在ABC ∆中，已知向量(0,2),(3,4)AB BC ==
，则三角形的AB 与BC 所成角α的余弦值等于（）
A.45-
B.45
C.35-
D.3
59、关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：
①若∙∙a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-．
③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60
．其中真命题的个数有（）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3
10、直角坐标平面内三点()()()1,23,29,7A B C -、、，若E F 、为线段BC 的三等分点，则AE ·AF ＝（）（A ）20
（B ）21
（C ）22
（D ）23
11、如图，在平行四边形ABCD 中，()()2,3,2,1-==BD AC ，
则=⋅（）（A ）1（B ）3（C ）5（D ）6
12、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若
a AC =,
b BD =,则=AF （）
A ．1142a b + B.2133a b + C.1124
a b
+ D.1233
a b
+
二、填空题
13、已知向量)3,(),2,4(x b a ==向量，且a ∥b ，则x =。

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14、a ，b 的夹角为120︒，1a = ，3b =
则3a b -= ．
15、定义*a b 是向量a 和b 的“向量积”，它的长度|*|||||sin ,a b a b θθ=⋅⋅
其中为向量a 和b
的夹角，若(2,0),(1,3),|*()|u u v u u v =-=-+
则=.
16、已知点O 在△ABC 内部，且有24OA OB OC ++=0
，则△OAB 与△OBC 的面积之比为＿＿＿．
三、解答题
17、已知向量(sin 3)a θ= ,(1,cos )b θ= ,(,22
ππ
θ∈-.(Ⅰ)若a b ⊥ ,求θ；(Ⅱ)求||a b + 的最大值.
18、已知A(3，0)，B(0，3)，C()sin ,cos αα.（1）若的值；求)4
sin(,1π
α+
-=⋅（2）O 为坐标原点，若
与，求且｜),0(,13|πα∈=-的夹角.19、已知向量3,cos ),(cos ,cos )a x x b x x == ,函数()21
f x a b =⋅-
(1)求()f x 的最小正周期;
(2)当[
, 62
x ππ
∈时,若()1,f x =求x 的值．
20、已知向量a =(cosx ，sinx )，b =(sin 2x ，1－cos 2x )，c =（0，1），x ∈（0，π）.
（1）向量，是否是共线？证明你的结论；
（2）若函数f (x )=||－(+)·，求f (x )的最小值，并指出取得最小值时的x 的值.
21、四边形ABCD 中，)3,2(),,(),1,6(--===CD y x BC AB （1）若DA BC //，试求x 与y 满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有BD AC ⊥，求y x ,的值及四边形ABCD 的面积。

22、已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量OA ，
OB ，OC 满足：0)1ln()]1(2[=++'+-OC x OB f y OA 。

（Ⅰ）求函数)(x f y =的表达式；（Ⅱ）若0>x ，证明：2
2)(+>x
x f ；（Ⅲ）若不等式
32)(2
1222
--+≤bm m x f x 时，]1,1[-∈x 及]1,1[-∈b 都恒成立，
求实数m 的取值范围．
参考答案
123456789101112B
D
C
A
A
B
B
A B
C
B
B
二、填空题13、614、3315、23
16、4∶1
三、解答题
17、解：(Ⅰ)θ=3
π
-(Ⅱ)||a b + 的最大值为3
18、解：（1）3
2)4sin(=+∴πα（2）6),0(π
θπθ=∴∈ 即为所求。

19、解：(1)2
()23cos 2cos 1f x x x x =+-32cos 2x x =
+2sin(2)6
x π
=+.T ＝π.
(2)由()1,f x =得1sin 262x π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭∵[,]62x ππ∈∴72[,]626x πππ+∈∴5266x ππ+=∴3x π=
20、解：（1）所以，a ∥b ，即向量a ，b 是共线的.
（2）f(x)取最小值－1.
21、（1）0
2=+y x （2）)1,6(++=+=y x BC AB AC ，)3,2(--=+=y x CD BC BD 又BD
AC ⊥则
0)3()1()2()6(=-⋅++-⋅+y y x x 化简有：
0152422=--++y x y x 联立
⎩⎨⎧=--++=+0
1524022
2y x y x y x 解得⎩⎨
⎧=-=3
6
y x 或⎩⎨
⎧-==1
2y x DA BC // BD AC ⊥则四边形ABCD 为对角线互相垂直的梯形
当⎩⎨
⎧=-=36y x )0,8()4,0(-==BD AC 此时162
1
==
BD AC S ABCD 当⎩⎨
⎧-==1
2y x )
4,0()0,8(-==BD AC 此时162
1
==
BD AC S ABCD 22、解：(Ⅰ)∵0)1ln()]1(2[=++'+-OC x OB f y OA ，∴OC x OB f y OA )1ln()]1(2[+-'+=，
由于A 、B 、C 三点共线
即1
)]1ln([)]1(2[=+-+'+x f y ，
∴)1(21)1ln()(f x x f y '-++==，11)(+=
'x x f ，∴2
1
)1(='f ，故)1ln()(+=x x f 。

（Ⅱ）令2)()(+-=x
x f x g ，由22)2(21)(++=+-+-+='x x x x g ，∵0>x ，∴0)(>'x g ，
∴)(x g 在(0，＋∞)上是增函数，故0)0()(=>g x g ，即2
2)(+>
x x
x f 。

（Ⅲ）不等式等价于
32)(21222--≤-bm m x f x ，令)1ln(21
)(21)(2222x x x f x x h +-=-=，由2
32112)(x
x x x x x x h +-=+-='，当]1,1[-∈x 时，0)(max =x h ，∴0322
≥--bm m ，令032)(2
≥--=bm m b u ，则⎪⎩⎪⎨⎧≥-+=-≥--=0
32)1(032)1(2
2
m m u m m u ，得3≥m 或3-≤m 。