备战高考黄金100题解读与扩展系列之平面向量专题四 平面向量的平行问题 Word版含解析
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
备战2019高考数学黄金100题解读与扩展系列之平面向量：专题二平面向量的模的问题(含解析)
I .题源探究•黄金母题【例1】已知心卜巧，|6|=2,五与6的夹角为30。
，求|3+b|^ |a-b| 【眸析】v|fi+S|a.\|3-6|=1.II.考场精彩•真题回放【例2】【2019年四川高考卷】在平面内，定点A B, C, D 满足|DC |,DA DB = DB DC =DC DA=- 2,动点P, M 满足阿卜1, 的最大值是（）434937+ 6石 37-2>/33A.彳B. 71C. 彳D.彳【答案】B 【解析】由己知易得ZADC = ZADB = ZBDC = 120°，网T 55卜风卜？.以°为原点,直线为x 轴建立平而直角坐标系，则A （2,0）,B （-l,-^）,C （-l,V3） P （x,y ）,由已知仗-2『+ 丁=1 PM = MC=|a|2H-2^-Scos30°*|J|2■13, /.|5+J|=-^3 .=|5|-2^.ScosW+|^|2它表示圆(x-2)2 + y 2=l 卜占(x y)耳占(-1,-3^)£ 距离平方的7,・・・点P 的坐标为2°),则卩人+ +卩°的域人值为()A. 6B. 7C. 8D. 9 【答案】B【解析】由题意，得AC 为圆的直径，故可设A(m,n)，C(-m,-ii),B(x,y),则 PA= (m- 2』) PR = (x-2,y) PC = (-m-2,-n)所以PA+PB+PC = (x-6,y)于是 |PA+ PB+PC| = {(xrr + y 2 ,其最大值为圆疋+于=1上的动点到定———点(6°)距离的最犬值，从而根据图形特征知当I" °时，PA+PB + PC 的最犬值为7, 故选B.【例41(2019年浙江高考文科)己知©是平面单位向量，且勺'3.若平面向量比满 足「叮 g",则b =2的【答案】3BM 2 =(x-l)3 + (y+3>/3)故选【例31(2019年C 在圆X +【解折】不妨勺=亿0"则由G 召二亍可得 又设八（“）,贝莎a51，且 “寺諾日，联立解得X 半’则 da.半）•所以仰三尼二攀. 直 P cosa =【例5】（2019年江西高考文科）已知单位向量，知勺的夹角为°,且 项向量3=3^-2e 2 贝yla |= _________【答案】3【解析】由题意,得1讦=(塢-2@$ =9頁--12頁$ + 4b = 9-12xcosQ + 4 =Z X P,所以陆3【例5] [2019湖南高考卷】）己知氣6是单位向量，a b = 0.若向量'满足Ic- 则21的取值范闱是（）A [72-1,72 4-1]B [x/2-l,V2 + 2]-b|=lc [1,72+1] D . I】'运+ 2]【答案】A【解析】因为a，b 是单位向量，a b = 0,所以I a+b 1= Jl a F + |6 F +2a li = >/2设向最a + B 与c的夹角为0,于是由|c —a —B|=l,两边平方，得 | c|2 +1 a |2 + |b|2 -2(a + b)-c + 2a b = l 叩 | C |~ +1 + 1 ~ 2'yJ^ | C | COS & = 1 p 卩>0|c|2 -2>/2 |c|+l <1^ 解得V2-l^c|<72+l t 故选人 精彩解读【试题來源】人教版A 版必修四第119页复习参考题A 组第13题.【母题评析】本题中3山是利用两个己知向量的模及它们夹角，求由它们线性关系构造出的两 个新向最的模，求解时通常直接利用模的公式\^\=^=^可直接解决.高考命题常 常以此题为母题加以改编，结合平面图形计算两个向最的模.【思路方法】求由两个己知的模及夹角的两个向量通过线性运算构造出的两个新向量的模， 通常利用模的公式I a|= 倆7=丁爲 结合乘法法则展开，然后利用两个己知向量模与夹角 进行求解.【命题意图】本类题主要考査平面向最的模的求法.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或 较小.也有时可能与三角函数、解三角形等知识交汇，渗透于解答题中. 【难点中心】（1）利用模公式|a|=JTF=>/n 转化后，如何求新的向量式的值，是一个难点：（2）在平面几何图中进 fj 向量数量积的计算通常要选择两个向量为基底，相对较困难，选择基底时通常选择的两个 向量的模及夹角是已知的.川•理论基础•解题原理 考点一向量模的定义 向量晶的人小，也就是向量AE ；的长度（或称模），记作|AB|长度为°的向量叫做零向 量，长度等于1的向量叫做单位向量.cos 6 =I 讦+1 2^2 | c||讦+12>/2 |c|<1考点二向呈模的计算公式（2）坐标形式：若a =（x ，y ），则I a 1= Jx' + y 2.考点三向屋模的性质（2）|a-b|£a| + |b|,当且仅当a,b 异向共线时，等号成立.【考试方向】这类试题在考査题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏卜，有时也会 与三角函数、解三角形等知识交汇. 【技能方法】（1） 求已知向量的模，通常直接利用公式进行计算即可：（2）根据向最的模的大小求解相关的参数及其它问题，解答时通常是利用平面向量模的公式 建立方程（组）来解决，主要步骤分为三步：①简化向量的表达式：②利用向量的模的公式 建立方程（组）：③解方程（组）求得参数： 【易错指导】（1） 不能正确将非坐标形式的向量利用公式进行转化：（2） 错误利用向量模的性质，特别是性质不等式中，在什么情况等号成立易出现错误. V.举一反三•触类旁通 考向1求向量的模【例1X2019黑龙江哈尔滨六中高三下期中］igxG R ,a = （x,l ） #b = a,-2）且a 丄6,=（ ）B.応C. 2“D. 10Bv alb. A a b=x-2 = 0, x=2,则 a + 6=（3,-l ）,所以俪，故选B.i 1【例2】［2019山东寿光现代中学高三下开学检测】平面向量°与b 的夹角为（1）ih|a + 6 凶訂+当II 仅当仏b 同向共线时，等号成立;a +b【答案】 【解析】 A. 2\H B . ° C ・ &D. 【答案】D【解析】堀意，得|刁=何而=2,所叫:一聊=[+ 4匸—曲=|显44向y 亍崗心彳= 22 + 4xL a -4x2xlxl = 4,所叫:胡=2,故选D.【归纳总结】求两个向最的模主要有两种题型：(1)求给出坐标的向最a =(耳y)的模，利用 公式|a|=X+ y2求解：(2)求非坐标形式的向量的模，利用公式l a l=7^F=^"求解.【答案】2考向2根据平面向最的模求解参数问题【例2] [2019宁夏六盘山高中高三下第二次月考】已知向= (^,1),6= (2+2,1) 若 3 + 6= 3_6,则实数久的值为()A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】C【解析】阳)04■耳一耳丄匚 ^ = a.l)-U+2.1> = 0=>^(l+2)+l=0,得乂 术值为一 1,枚选c.【名师点睛】根据向量的模的大小，或几何向最的模司关系等求相关参数的值或取值范I 韦I, 解答此类问题通常要建立方程(组)来解决.■■e【跟踪训练】已知平面向量* = (0,-1), b=(2,l)> |^a+b|=2f 则兄的值为() A. 1 + V? B. V^-l c . 2 D ・ 1【答案】D[解析]因为加*+6=(2,1-/0,所以|^a + b|2=22 + (l-A)2 = 4 又A>0,解得2 = 1, 故选D. 考向3求向量的模的般值或取值范閑【例3] [2019浙江嘉兴-中高三期中】己知平面向/满足k 卜的“与弓+ 4 = 12 a =22 ,解得【跟踪训练】己知平面向量a a + 2b 卜2y/3的两边同时平方可得,a +与6的夹角为亍，且【 解 ma + (l -n) " f« (+1 臥「0一押 J (1-m)~ |/?-a" + 2(l-m)x 7J x ]='a( 1+ 可 &(2 4 )ni L a )/2<7(1-m)' \p-ct n& + （l-m ）【跟踪训练】在平面若点p （M ）,则脚 + BP +OP I 的取值范围是（）A. [5,6]B. [6,7]C. [6刃D.〔切 【答案】D【解祈】假设*（co“Q"（0,為0）, G F [0.2町，冋乔=（1 一ros0O ）.丽=（0,护-吊0）, =所以有2?十丽十°?=（3-8S &3P §一血叭,阿十丽十闵 =7（3_8s&〕2+（3辰站询2 _切-6COS&-"血0 =（37- 12（cos0-.因为•■e一匚 a =] — — 已知向量a*满足-,a 与b 的夹b则的取值范闱是（）-l ＜（c O s t?-^【例4] [2019n 角为亍，若xa + 2b > a + bA.卄) C •山+°°)D ・(h+s )的夹角如0。
高考数学专题训练：平面向量基本定理含详解
高考数学专题训练：平面向量基本定理一、单选题1．在ABCD 中，点N 为对角线AC 上靠近A 点的三等分点，连结BN 并延长交AD 于M ，则MN = （）A ．1136AB AD -+ B ．1136AB AD -C ．1344AB AD-D ．3144AB AD-2．如图，在66⨯的方格中，已知向量,,a b c的起点和终点均在格点，且满足向量(),a xb yc x y R =+∈r r r，那么x y -=（）．A ．0B ．2-C ．1D ．23．如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=-，则λμ+=（）A ．43B ．53C ．1D ．24．若a ，b 是两个不共线的向量，已知2MN a b =- ，2PN a kb =+ ，3PQ a b =-，若M ，N ，Q 三点共线，则k =（）A ．1-B ．1C ．32D ．25．如图所示，M ，N 分别是ABC 的边AB ，AC 上的点，且2AM MB = ，2NC AN =，则向量MN =（）．A ．1233AB AC - B ．1233AB AC +C ．1233AC AB-D ．1233AC AB+6．如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M 、N ，若12AB AM = ，AC nAN =，则n =（）A ．1B ．32C ．2D ．37．如图所示，在ABC 中，2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，25AM AD = ；若AM AB BC λμ=+，则λμ+的值为（）A ．43B ．815C ．23D ．4158．如图，在ABC 中，点M 是AB 上的点且满足3AM MB =，P 是CM 上的点，且15MP MC = ，设,AB a AC b == ，则AP = （）A ．1124a b+ B ．3155a b+ C ．1142a b+ D ．33105a b + 9．如图，ABC 中，D 为AB 上靠近B 的三等分点，点F 在线段CD 上，设AB a = ，AC b =，AF xa yb =+ ，则21x y+的最小值为（）A ．6B ．7C ．4+D ．4+10．在ABC 中，90ACB ∠= ，CB a = ，CA b =，点D 是ABC 的外心，E 是AC 的中点，则CD ＋BE＝（）A ．1122a b- B ．12a b -- C ．123a b- D ．12a b-+ 11．在等边△ABC 中，D 为BC 的中点，点P 为△ACD 内一点（含边界），若14AP AB AC λ→→→=+，则λ的取值（）A ．13,44⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题12．在下列向量组中，可以把向量()3,2a →=表示出来的是（）A ．()()120,0,1,2e e →→==B ．()()121,2,5,2e e →→=-=-C ．()()123,5,6,10e e →→==D ．()()122,3,2,3e e →→=-=13．四边形ABCD 中，//AB CD ，90A ∠=︒，22AB AD DC ==，3BC EC = ，2AE AF =，则下列表示错误的是（）A ．12CB AB AD=-+B ．1133AF AB AD=+C ．1263CF AB AD =- D ．2133BF AB AD =-+ 14．如图，在OACB 中，E 是AC 的中点，F 是BC 上的一点，且4BC BF =，若OC mOE nOF =+uuu r uu u r uu u r，其中m ，n R ∈，则（）A ．107m n +=B ．2-7m n =C ．23m n =D ．32m n=15．如图所示的各个向量中，下列结论不正确的是（）A ．3322PQ a b=+ B ．3322PT a b=--C ．3122PS a b =- D ．32PR a b =+ 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、双空题16．如图，在OCB 中，点A 是BC 的中点，点D 是靠近点B 将OB 分成2:1的一个分点，DC 和OA 交于点E ，设OA a =，OB b= （1）用a ，b表示向量DC =u u u r __________；（2）若OE OA λ=，则λ=__________17．如图，在ABC 中，13BD BC =，点E 在线段AD 上移动（不含端点），若AE AB AC λμ=+ ，则λμ=___________，2λμ-的最小值为___________.18．如图，3AB AD = ，4AC AE = ，BE 与CD 交于P 点，若AP m AB n AC =+，则m =______，n =______．四、填空题19．如图，在ABC 中，13AN NC →→=，P 是BN 上的一点，若311AP AB AC m →→→=+，则实数m 的值为________.20．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC AE AF λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+=________.五、解答题21．如图，ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，设,BA a BC c ==.（1）用a ，c 表示向量A E；（2）若点F 在AC 上，且1455BF a c =+，求:AF CF .22．如图，在平行四边形ABCD 中，2BE EC = ，3CF FD =，BF 与DE 交于点G ．(1)用AB ，AD 表示EF ；(2)用AB ，AD 表示AG ．23．如图所示，ABC 中，AB a = ，AC b =，D 为AB 的中点，E 为CD 上的一点，且4DC EC =，AE 的延长线与BC 的交点为F .(1)用向量a ，b 表示A E；(2)用向量a ，b 表示AF，并求出:AE EF 和:BF FC 的值.参考答案：1．B 【解析】【分析】把向量,AB AD作为基底，根据题意可得M 为AD 的中点，然后根据向量的加减法法则和平面向量基本定理求解即可【详解】解：因为点N 为对角线AC 上靠近A 点的三等分点，所以2CN AN =，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，所以2BC CNAM AN ==，所以12AM BC =，所以12AM AD =，MN AN AM=- 1132AC AD =- 11()32AB AD AD =+-1136AB AD =-,故选：B2．A 【解析】【分析】先设出水平向右的单位向量m 和水平向上的单位向量n，用单位向量表示题中的,,a b c ，结合(),a xb yc x y R =+∈r r r代入化简后联立方程组求解得到,x y 的值相减即可.【详解】设m 为水平向右的单位向量，n为水平向上的单位向量.则2a m n =- ，22b m n =+ ，24c m n =- .因为a xb yc =+ ，所以()()22224m n x m n y m n -=++- ，即()()22224m n x y m x y n -=++- .所以222241x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以11022x y -=-=.故选:A 3．C 【解析】【分析】根据向量的线性运算和平面向量基本定理得到()1 2AC AB AD λμλμ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭,再与AC AB AD =+对比,得到λμ+=1即可.【详解】因为AC AB AD =+ ，12AM AB BM AB AD =+=+ ， BD AD AB=-所以()()1122AC AM BD AB AD AD AB AB AD λμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫=-=+--=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以λμ+=1.故选:C.4．B 【解析】【分析】利用向量的减法以及向量共线定理即可求解.【详解】由题意知，()1NQ PQ PN a k b =-=-+，因为M ，N ，Q 三点共线，故MN NQ λ=，即()21a b λa k b ⎡⎤-=-+⎣⎦ ，解得1λ=，1k =，5．C 【解析】根据平面向量基本定理，由平面向量的线性运算，利用题中条件直接计算，即可得出结果.【详解】因为2AM MB = ，2NC AN =，所以1233MN AN AM AC AB =-=- .故选：C.6．B 【解析】【分析】根据向量的共线定理可得解.【详解】连接AO ，由点O 是BC 的中点，则1122AO AB AC =+，又12AB AM = ，AC nAN = ，则1112242n AO AB AC AM =+=+ ，又O ，M ，N 三点共线，则1142n+=，解得32n =，故选：B.7．B【分析】根据题意求得1BD =，化简得到22515AM AB BC =+ ，结合AM AB BC λμ=+，求得,λμ的值，即可求解.【详解】在ABC 中，2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，可得cos 601BD AB == ，由222122()()5553515AM AD AB BD AB BC AB BC==+=+=+又因为AM AB BC λμ=+ ，所以22,515λμ==，所以815λμ+=.故选：B.8．B 【解析】【分析】先将AP 用AM ，MP 表示，然后AM ，MP 再用,a b表示即可.【详解】3313133()445455AM MB AM AB AP AM MP AB MC AB AC AM AB =⇒==+=+=+-=+，131555AC a b =+.故选：B 9．D 【解析】【分析】由题意,用向量,AD AC 表示出向量AF ,根据点F 在线段CD 上可得到312x y +=，再根据基本不等式即可求得答案.【详解】由于D 为AB 上靠近B 的三等分点，故23AD AB = ,所以32x AF xa yb x AB y AC AD y AC =+=+=+ ,又因为点F 在线段CD 上，所以312x y +=，故2121332()()422x x yy x y x y y x+=++=++，由题意可知0,0x y >>，故2132442x yx y y x+=++≥+当且仅当322x y y x =时，即1132x y -=-=时，等号取得，故选：D.10．D 【解析】【分析】根据题意得点D 是Rt ACB 的斜边AB 的中点，进而根据向量加减法运算求解即可.【详解】解：因为点D 是ABC 的外心，且90ACB ∠= ，所以点D 是Rt ACB 的斜边AB 的中点，所以()111222CD CB CA a b =+=+.又E 是AC 的中点，所以12BE BC CE a b =+=-+，所以12CD BE a b +=-+ .故选：D.11．D 【解析】【分析】过AB 靠近A 的四等分点作AC 的平行线分别交AD ，BC 于点E ，F ，过E ，F 分别作AB 的平行线交AC 于M ，N ，求出min 14λ=，max 34λ=，即得解.【详解】解；过AB 靠近A 的四等分点作AC 的平行线分别交AD ，BC 于点E ，F ，由题意知，点P 在线段EF 上，过E ，F 分别作AB 的平行线交AC 于M ，N （如图所示），由题得13,44AM AC AN AC →→→→==，即min 14λ=，max 34λ=.所以1344λ≤≤.故选：D.12．BD 【解析】【分析】根据12a e e λμ→→→=+，选项A ：无解，故选项A 不能；选项B ：解得2λ=，1μ=，故选项B 能．选项C ：无解，故选项C 不能．选项D ：解得513==1212λμ，，故选项D 能．【详解】解：根据12a e e λμ→→→=+，选项A ：(3，2)(0λ=，0)(1μ+，2)，则3μ=，22μ=，无解，故选项A 不能；选项B ：(3，2)(1λ=-，2)(5μ+，2)-，则35λμ=-+，222λμ=-，解得，2λ=，1μ=，故选项B 能．选项C ：(3，2)(3λ=，5)(6μ+，10)，则336λμ=+，2510λμ=+，无解，故选项C 不能．选项D ：(3，2)(2λ=，3)(2μ-+，3)，则322λμ=+，233λμ=-+，解得513==1212λμ，，故选项D 能．故选：BD 13．AC 【解析】【分析】利用向量的线性运算将CB ,,,AF CF BF 用基底AB 和AD表示，与选项比较即可得正确选项.【详解】对于选项A ：1122CB CD DA AB AB DA AB AB DA =++=-++=+，故选项A 不正确；()11121122112223223333AF AE AB BE AB AB DA AB DA AB AD ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=-+=-=+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选项B 正确；1111223363CF CD DA AF AB AD AB AD AB AD =++=--++=--，故选项C 不正确，11213333BF AF AB AB AD AB AB AD =-=+-=-+，故选项D 正确；故选：AC.14．ABC 【解析】【分析】根据向量的线性运算法则及平面向量的基本定理，可得12OE OA OB =+ ，14OF OB OA =+，又OC OA OB =+，根据题意，化简计算，可得m ，n 的值，逐一分析选项，即可得答案.【详解】在平行四边形中OA BC = ，OB AC = ，OC OA OB =+，因为E 是AC 中点，所以1122AE AC OB ==，所以12OE OA AE OA OB =+=+ ，因为4BC BF =，所以11 44BF BC OA == ，所以14OF OB BF OB OA =+=+ ，因为OC mOE nOF =+uuu r uu u r uuu r ，所以1142OC m n OA m n OB ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以114112m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得6747m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以107m n +=，27m n -=，23m n =，故选：ABC ．15．BD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，可得向量(1,1),(1,1)a b ==- ,由此以向量(1,1),(1,1)a b ==-为基底分别表示PQ ，,,PT PS PR，由向量的坐标运算判断选项A,B,C,D,可得正确答案.【详解】如图，建立空间直角坐标系：则(1,1),(1,1)a b ==-，故3333(0,3)(1,1)(1,1)2222PQ a b ==+-=+，A 选项正确，3333(3,0)(1,1)(1,1)2222PT a b ==--=-，B 选项错误，3131(2,1)(1,1)(1,1)2222PS a b ==--=-，C 选项正确，3131(1,2)(1,1)(1,1)2222PR a b ==+-=+，D 选项错误，故选：BD.16．523a b-r r 45【解析】（1）由22=-=- OC OA OB a b ，2233OD ==，再结合DC OC OD =- ，即可得出答案；（2）由C ，E ，D 三点共线，可知存在实数μ，使得EC DC μ=，进而由又()2EC OC OE a b a λ=-=-- ，523=- DC a b ，可建立等式关系，从而得22513λμμ-=⎧⎪⎨=⎪⎩，求解即可.【详解】（1）因为点A 是BC 的中点，所以()12OA OB OC =+，所以22=-=- OC OA OB a b ，又点D 是靠近点B 将OB 分成2:1的一个分点，所以23OD OB = ，所以()252233DC OC OD a b b a b =-=--=- .（2）因为C ，E ，D 三点共线，所以存在实数μ，使得EC DC μ=，又()()22EC OC OE a b a a b λλ=-=--=-- ，523=-DC a b ，所以()5223a b a b λμ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ ，又a ，b不共线，则22513λμμ-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得45λ=.故答案为：（1）523a b -r r ；（2）45.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，考查数学转化思想和计算能力，属于基础题.17．2116-【解析】【分析】先得出2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，设出(01)AE x AD x =<<得出233x x AE AB AC =+ ，则2=,33x xλμ=，两问分别代入计算即可.【详解】因为在ABC 中，13BD BC =，所以1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+,即2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r .因为点E 在线段AD 上移动（不含端点），所以设(01)AE x AD x =<<.所以233x x AE AB AC =+ ，对比AE AB AC λμ=+ 可得2=,33x x λμ=.代入2=,33x x λμ=，得2323xx λμ==；代入2=,33x x λμ=可得22224=33(0931)x x x x x λμ⎛⎫--=- <⎝<⎪⎭，根据二次函数性质知当1334829x -=-=⨯时，()22min 43131=983816λμ⎛⎫--⨯=- ⎪⎝⎭.故答案为：12;16-18．311211【解析】【分析】通过向量三点共线定理，以及基底转化的方法，将AP 用,AB AC表示，根据平面向量基本定理，可以得到,m n 的值【详解】设1BP BE λ= ，2CP CD λ= ，可得()1114AP AB AC λλ=-+ ，()2213AP AC AB λλ=-+，所以2113λλ-=且2214λλ=-，可得1811λ=，2911λ=，代入上式从而可得()13111m λ=-=，12411n λ==．另外，也可用梅涅劳斯定理．由梅涅劳斯定理可知1CE AB DP EA BD PC⋅⋅=，因为3CE EA =，32=AB BD ，所以，29DP PC =，则923211111111AP AD AC AB AC =+=+ ，故311m =，211n =．故答案为;311，211．19．211【解析】【分析】解法1：先根据13AN NC →→=得到4AC AN →→=，从而可得3411AP AB N m A →→→=+，再根据三点共线定理，即可得到m 的值.解法2：根据图形和向量的转化用同一组基底AB AC →→，去表示AP →，根据图形可得：AP AB BP →→→=+，设BP BN λ→→=，通过向量线性运算可得：()14AP AB AC λλ→→→=-+，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得m 的值.【详解】解法1：因为13AN NC →→=，所以4AC AN →→=，又311AP AB AC m →→→=+，所以3411AP AB N m A →→→=+因为点,,P B N 三点共线，所以3+4111m =，解得：211m =.解法2：因为AP AB BP →→→=+，设BP BN λ→→=，所以AP AB BN λ→→→=+，因为13AN NC →→=，所以14AN AC →→=，又BN AN AB →→→=-，所以14BN AC AB →→→=-，所以()=4141AP AB AC AB AB AC λλλ→→→→→→⎛⎫=+-+ ⎝-⎪⎭，又311AP AB AC m →→→=+，所以31114m λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：8=11211m λ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以211m =.故答案为：211.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、三点共线定理，平面向量基本定理的运用，属于基础题.20．43【解析】【分析】设,AB a AD b ==，根据题意得到11,22AE a b AF a b =+=+ ，得到2()3AC AE AF =+ ，进而得到23λμ==，即可求解.【详解】设,AB a AD b ==，因为E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，可得11,22AE a b AF a b =+=+,又因为AC a b =+，所以2()3AC AE AF =+ ，因为AC AE AF λμ=+ ，所以23λμ==，所以43λμ+=.故答案为：43.21．（1）1344AE c a =-；（2）:4:1AF CF =.【解析】【分析】（1）由于点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，所以12AD AC = ，1()2AE AB AD =+，而AC BC BA c a =-=-，从而可求得结果，（2）设AF AC λ= ，从而可得BF BA AF BA AC λ=+=+ ，再用a ，c表示，然后结合1455BF a c =+，可求得λ的值，从而可求得:AF CF 的值【详解】（1）因为AC BC BA c a =-=-，点D 是AC 的中点，所以11()22AD AC c a ==- ，因为点E 是BD 的中点，所以1111113()()2222444AE AB AD AB AD a c a c a =+=+=-+-=-.（2）设AF AC λ=，所以()(1)BF BA AF BA AC a c a a c λλλλ=+=+=+-=-+ .又1455BF a c =+ ，所以45λ=，所以45AF AC =，所以:4:1AF CF =.22．(1)3143EF AB AD =-+ (2)1839AG AB AD=+ 【解析】【分析】（1）利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可，（2）过E 作EH ∥BF ，交CD 于H ，则由平行线分线段成比例结合已知条件可得3FB HE =，13FG HE = ，从而可得83GB HE = ，再将HE 用AB ，AD表示，代入化简可得结果(1)因为在平行四边形ABCD 中，2BE EC = ，3CF FD =，所以1133CE CB AD ==- ，3344CF CD AB ==- ，所以3143EF CF CE AB AD=-=-+(2)过E 作EH ∥BF ，交CD 于H ，因为2BE EC = ，所以12CH FH =，因为3CF FD = ，所以3CFFD=,所以::1:2:1DF FH HC =,因为EH ∥BF ，2BE EC =，所以13EH CE FB CB ==，所以3FB HE = 因为12DF FH =,EH ∥BF ，所以13FG DF HE DH ==，所以13FG HE = ，所以18333GB FB FG HE HE HE =-=-= ,因为11113434HE CE CH CB CD AD AB =-=-=-+ ，所以8118233493GB AD AB AD AB ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，所以28183939AG AB BG AB GB AB AB AD AB AD=+=-=-+=+ 23．(1)1384AE a b=+(2)1677AF a b =+，7，6【解析】【分析】（1）由已知得()4AC AD AC AE -=- ，3144AE AC AD =+，D 为AB 的中点，可得答案；（2）设BF t BC =，得()1AF tb t a =+- ，设AF AE λ= ，可得1384AE a b =+ ，即384AF a b λλ=+ ，由a ，b不共线和平面向量基本定理求得λ、t ，可得答案.(1)答案第15页，共15页根据题意因为：4DC EC = ，所以()4AC AD AC AE -=- ，所以3144AE AC AD =+ ，D 为AB 的中点，AB a = ，AC b = ，所以12AD a = ，1384AE a b =+ .(2)因为B ，F ，C 三点共线，设BF t BC = ，所以()1AF t AB t AC =-+ ，即()1AF tb t a =+- ，A ，F ，E 三点共线，设AF AE λ=，由（1）可知1384AE a b =+ ，即384AF a b λλ=+ ，a ，b 不共线，由平面向量基本定理，所以1834t t λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以87λ=，67t =，所以87AF AE = ，67BF BC = ，则:AE EF 的值为7，:BF FC 的值为6.。
平面向量知识点+例题+练习+答案
五、平面向量1．向量的概念①向量 既有大小又有方向的量。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。
由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。
(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
高考数学中等生百日捷进提升系列专题05平面向量(含解析)【含答案】
第五章 平面向量平面向量的线性运算和坐标运算【背一背重点知识】1. 向量加法：利用“平行四边形法则”或“三角形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量.2. 向量的减法：用“三角形法则”，要注意：减向量与被减向量的起点相同.3. 向量平移具有坐标不变性，相等向量的坐标是一样的.4. 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等.5. 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合.6. 平行向量无“传递性”（因为有0).7. 三点A 、B 、C 共线⇔ ,AB AC 共线.8. 当判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况： (1)零向量的方向及与其他向量的关系； (2)单位向量的长度及方向．9.已知1122()()a x y b x y ＝，，＝，，判断两向量平行和垂直的充要条件容易混淆.应为a b ⊥⇔ 12120x x y y ＋＝，//a b ⇔ 12210x y x y －＝，使用时要注意区分清楚．【讲一讲提高技能】1.必备技能：（1）向量的基本概念是向量的基础，学习时应注意不要把向量与实数盲目类比；向量的运算包括两种形式：(1)向量式；(2)坐标式；在学习时要学会灵活选用，解题时应善于将向量用一组基底（不共线向量）来表示，要会应用向量共线、垂直的充要条件来解题. （2）平面向量基本定理是向量坐标形式表示的理论基础，平面向量的坐标运算是高考的重点，通常考查两个向量平行、垂直的位置关系；另外平面向量的坐标运算，在解析几何、三角函数中出现较多. （3）在中，当M 为BC 中点时，1()2AM AB AC =+应作为公式记住． （4） 在一般向量的线性运算中，只要把其中的一个向量当作一个字母看待即可．其运算方法类似于合并同类项，在计算时可进行类比．2.典型例题：例1．设P 是ABC ∆所在平面内一点，2BC BA BP +=则 A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．0PC PA += D ．0PA PB PC ++= 【答案】C 【解析】试题分析：因为P 是ABC ∆所在平面内一点， 2BC BA BP +=，所以P 是AC 的中点，则0PC PA +=.例2下列各组平面向量中，可以作为基底的是（ ） （A ）()()120,0,1,2e e ==- （B ）()()121,2,5,7e e =-= （C ）()()123,5,6,10e e == （D ）()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】例3在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈. （1）若23mn ==，求||OP ； （2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.分析：（1）由(,)OP mAB nAC m n R =+∈，且23m n ==，即可求出P 点的坐标，继而求出||OP 的值；（2）因为OP mAB nAC =+，所以(,)(2,2)x y m n m n =++，即22x m ny m n =+⎧⎨=+⎩，两式相减得：m n y x -=-令y x t -=，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1. 【解析】：x【练一练提升能力】1.向量a b c ，，在正方形网格中的位置如图所示，若c a b λμ=＋ (R λμ∈，)，则λμ= .【答案】4【解析】 以向量a b ，的交点为原点，建立直角坐标系， 则()1,1a =-，()()6,2 1,3b c ==--，，由c a b λμ=＋，得，即解得，.2.已知点A(1,3),B(4,1)-,则与向量AB 同方向的单位向量为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】A3. 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4)AB =，(1,3)AC =，则DA ＝（ ） A ．（2,4） B ．（3,5） C ．（1，1） D ．（－1，－1） 【答案】C ． 【解析】试题分析：()(1,1)DA AD AC AB =-=--=．平面向量的数量积 【背一背重点知识】1. 数量积是一个实数，不再是一个向量.2.向量数量积与实数相关概念的区别：(1)表示方法的区别:数量积的记号是a b ⋅，不能写成a b ⨯，也不能写成ab . (2)相关概念及运算的区别：①若a b ，为实数，且0ab =，则有0a ＝或0b ＝，但0a b ⋅=却不能得出0a =或0b =.③若a b c ∈R ，，，则()()a b c a b c ＝(结合律)成立，但对于向量,,a b c ，向量的数量积是不满足结合律．④若a b ∈R ，，则||··a b a b ＝，但对于向量,a b ，却有||··a b a b ≤，等号当且仅当//a b 时成立．3.设两个非零向量，，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥⇔∙=；②当a ，b 同向时，a ∙b ＝a b ，特别地，222,a a a a a a =∙==；当a 与b 反向时，a ∙b ＝－a b ；当θ为锐角时，a ∙b ＞0，且 a b 、不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，∙＜0，且 a b 、不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件；4.数量积的运算要注意：（1）0a =时，0a b ⋅=，但0a b ⋅=时不能得得到0a =或0b =，因为a b ⊥时，也有0a b ⋅=.（2）若a b c ∈R ，，，则()0ab ac b c a ⇒≠＝＝；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量,,a b c 满足··a b a c = (0a ≠)，则不一定有b c =，即等式两边不能同时约去一个向量．（3）平面向量的数量积有定义式和坐标运算，应注意灵活选择计算方法. 【讲一讲提高技能】1.必备技能：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()a b c a b c ⋅≠⋅. （3）已知非零向量1122()()a x y b x y ＝，，＝，，则有1212||||·00a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⇔+-⇔＝＝＋＝，是非常重要的性质，它是解决平面几何中有关垂直问题的有力工具，应熟练掌握． 2.典型例题：例1如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .分析：利用平面向量的线性运算法则，及3,2CP PD AP BP =⋅=，建立AB AD ⋅的方程，进一步求解.解析：由题意，14AP AD DP AD AB =+=+，3344BP BC CP BC CD AD AB =+=+=-，所以13()()44AP BP AD AB AD AB ⋅=+⋅-2213216AD AD AB AB =-⋅-， 即1322564216AD AB =-⋅-⨯，解得22AD AB ⋅=．例2在边长为1的等边ABC ∆中，,D E 分别在边BC 与AC 上，且BD DC =，2AE EC = 则AD BE ⋅=（ ） A ．12-B ． 13-C ．14-D ．16- 【答案】A 【解析】例3已知向量与的夹角为，且，若，且，则实数的值为_____.ADCBP分析：注意到题目中给出了向量与的夹角为，且，所以应注意应用平面向量数量积的定义式，并应用向量垂直的充要条件. 把转化为的形式，为应用及提供了熟悉的解题途径.解析：由得所以【练一练提升能力】1.已知向量, ), ,2( ),3 ,5(b a x b x a⊥=-=且则=xA ．2或3B ．－1或6C ．6D ．2 【答案】D 【解析】试题分析：由a b ⊥得()025302a b x x x =∴-+=∴=2. 设向量b a ,满足10||=+b a ，6||=-b a，则=⋅b a （ ）A. 1B. 2C. 3D. 5 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得，44a b ⋅=，故1a b ⋅=．平面向量的长度与角度问题【背一背重点知识】1.在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围是[0,π]．2.·a b 的几何意义：·a b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. b 在a 方向上的投影是一个数量|b |cos θ，它可以为正，可以为负，也可以为0.3.在ABC ∆中，AB 与BC 的夹角不是ABC ∠而是其补角． 【讲一讲提高技能】1.必备技能：（1）利用数量积求解长度与角度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： 设1212()()a a a b b b ＝，，＝，，基本公式为： |a |cos 〈,a b 〉＝||||a ba b ⋅=⋅.另外2||a a a =⋅=2a ，2222a b a a b b ±±⋅＝+，是实现向量运算与实数运算相互转化的有力工具.（2）已知a 与b 为不共线向量，且a 与b 的夹角为θ，则 ① a ·b 0>⇔090θ︒<<︒； ② a ·b 0=⇔90θ=︒； ③ a ·b 0<⇔90180θ︒<<︒.特别的：在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范围时，要注意两向量是否共线． 2.典型例题：例1若平面向量a ，b 满足a 2=b ，()-⊥a b a ，则a 与b 的夹角是 （ ） A ．125π B ．3π C．6π D ．4π【答案】D 【解析】例2平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = .分析：利用公式cos 〈,a b 〉＝||||a ba b ⋅⋅，将c 与a 、 c 与b 的夹角余弦用m 表示出来，建立方程即得.解析：由题意得：25c a c b c a c b m c ac bab⋅⋅⋅⋅=⇒=⇒=⇒=⋅⋅【练一练提升能力】1.已知非零向量,=，且)2(+⊥，则与的夹角是（ ） A 、3π B 、2π C 、23π D 、56π 【答案】C 【解析】试题分析：因为)2(+⊥，所以()2220a a b a a b ⋅+=+⋅=，所以2cos 2a b aθ=-，=，所以12cos 23πθθ=-∴=，故选C. 2. 已知向量()1,3a =，()3,b m =.若向量,a b 的夹角为π6，则实数m =（ ） （A）（B（C ）0 （D ）【答案】B【解析】因为cos ,,||||a b a b a b ⋅<>=⋅所以cos 6π=解得m ，故选B .（一）选择题（12*5=60分）1.已知点P 为ABC ∆所在平面内一点，边AB 的中点为D ，若2(1)P D P A C B λ=-+，其中R λ∈，则P 点一定在（ ）A ．AB 边所在的直线上 B ．BC 边所在的直线上 C ．AC 边所在的直线上 D ．ABC ∆的内部 【答案】C 【解析】2.已知i 与j 为互相垂直的单位向量，2a i j =-，b i j λ=+且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 （ ）A ．1(,2)(2,)2-∞--B ．1(,)2+∞C ．22(2,)(,)33-+∞D ．1(,)2-∞【答案】 A【解析】需满足：0a b ⋅>且a b 、不共线.由10(1,2)(1,)1202a b λλλ⋅>⇒-⋅=->⇒<；当a b 、共线时得2λ=-，因此1(,2)(2,)2λ∈-∞--.3.已知向量()2,8a b +=-，()8,16a b -=-，则a 与b 夹角的余弦值为( ) A ．6365 B ．6365- C ．6365± D ．513【答案】B【解析】由()()2,88,16a b a b ⎧+=-⎪⎨-=-⎪⎩，解得()()3,45,12a b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以5a =，13b =，63a b ⋅=-，所以63cos ,65a b a b a b⋅〈〉==-. 4.已知平面向量1)3(2,a m ＝＋，()2b m ＝，，且a b ∥，则实数m 的值等于（ ） A ．2或32-C ．－2或32 B ．32D ．27- 【答案】B 【解析】试题分析：因为a b ∥，则()2160m m +-=，解得2m =-或32，故选B ． 5.设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a b a b +=成立的是（ ） A ．13a b =- B ．//a b C ．2a b = D ．a b ⊥ 【答案】A6.已知向量()()1,2,23,2a a b =+=，则（ ）A ．()1,2b =-B ．()1,2b =C ．()5,6b =D ．()2,0b = 【答案】A 【解析】试题分析：设),(y x =．因为()23,2a b +=，所以由向量的加法及数乘运算的坐标表示可得2342x y +=⎧⎨+=⎩，解得21-==y x ,．故选A ．7.设311(2sin ,),(,cos )264a xb x ==,且//a b ,则锐角x 为 A ．6πB ．3πC ．4π D ．512π 【答案】C.【解析】因为//a b .所以1312sin cos 0426x x ⋅-⨯=.即sin 21x =.又因为x 为锐角.所以22x π=.所以4x π=.本题主要考察向量的平行知识，通过向量平行的坐标公式来求解.本提较基础.8.函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅＝（ ）A ．6-B ．6C ．4-D ．4 【答案】B 【解析】9.正三角形ABC 内一点M 满足,45CM mCA nCB MCA =+∠=，则mn的值为（ ）A 1B 1CD 【答案】D 【解析】10.若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足0)2()(=-+⋅-，则△ABC 的形状为（ ）A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】因为()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，即()0,()()0,||||CB AB AC AB AC AB AC AB AC ⋅+=-⋅+==， 所以ABC ∆是等腰三角形，选C.11.已知O 为ABC ∆内一点，满足0OA OB OC ++=, 2AB AC ⋅=,且3BAC π∠=,则OBC ∆的面积为（ ）A ．12 B C ．23【答案】B 【解析】试题分析：0O AO B O C O ++=∴为三角形的重心，由2A BA C ⋅=得4bc =1sin 2ABC S bc A ∆∴==所以OBC ∆12.在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D（二）填空题（4*5=20分）13.已知向量(1,2)a =-，(2,3)b =，若m a b λ=+与n a b =-共线，则实数λ的值是 ． 【答案】1- 【解析】试题分析：m a b λ=+(2,23)λλ=-++， n a b =-(3,1)=--，又m n 与共线，则(2)λ--+3+0)32(=+λ,即：1-=λ；14.在四边形ABCD 中， ()1,1==→→DC AB ，+→→BABA =→→BCBC →→BDBD 3，则四边形ABCD 的面积是__________． 【答案】3 【解析】15.在ABC ∆中，3BC BD =，AD AB ⊥，1AD =，则AC AD ⋅= .【解析】3BC BD =，即()3A C A B A D A B -=-，所以()313AC AD AB =+-，AC AD ∴⋅()2213333AB AD AD AD ⎤=+-⋅===⎦16.已知ABC ∆中4,2AC AB ==，若G 为ABC ∆的重心，则AG BC ⋅= ． 【答案】4【解析】∵ABC ∆中4,2AC AB ==，∴||4||2AC AB ==，，∵G 为ABC ∆的重心，∴13AG AC AB =+（），又∵ BC AC AB =-，∴221111644333AG BC AC AB AC AB AC AB ⋅=+⋅-=-=-=（）（）（）（）， 故答案为4.。
(完整版)高三一轮复习平面向量知识点整理,推荐文档
（答： 2 2 ）；
（3）已知作用在点
A(1,1)
的三个力
F1
(3, 4), F2
(2, 5), F3
(3,1)
，则合力
F F1 F2 F3 的终点坐标是
（答：（9,1））
4⑴、实向数量数与乘向运量算a：的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a ．
①
a
a
；
②当
0
时，
a
的方向与
（答：2）；
（2）已知 a (1,1),b (4, x) ， u a 2b ， v 2a b ，且 u // v ，则 x＝______
6、向量垂直： a b a b 0 | a b || a b | x1x2 y1 y2 0 .
（答：4）；
【例题】(1)已知 OA (1, 2),OB (3, m) ，若 OA OB ，则 m
1、已知向量 a = 2，4，，b = 11 ．若向量 b (a + b) ，则实数 的值是
．
2、若向量
a，b
的夹角为
60
，
a
b
1，则 aA a b
．
3、在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的对角线 OB 的两端点分别为 O(0，0) ， B(1，1) ，
则 ABAAC
．
三、解答题：
1、已知 ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3，4)、B(0，0)、C( c ，0)．
(1)若 ABAAC 0 ，求 c 的值；
(2)若 c 5 ，求 sin∠A 的值
2、在 △ABC 中，角 A，B， C 的对边分别为 a，b，，c tan C 3 7 ．
（1）求 cos C ；
2021高考数学黄金专题100讲 第44讲 平面向量在解析几何中的应用
2021高考数学黄金专题100讲第44讲平面向量在解析几何中的应用2021高考数学黄金专题100讲第44讲平面向量在解析几何中的应用i、探索黄金主题第44讲平面向量在解析几何中的应用精彩的诠释【试题来源】2021届福建省闽侯x2y2【例1】如图，已知椭圆c：2?2?1,(a?b?0)的左、右焦点为f1、f2，AB第六中学高三最后一学期期末考试。
它的顶点是a，知道吗？F1af2是边长为2的等边三角形。
（1）求出椭圆C的方程；（2）过点q(?4,0)任作一动直线l交椭圆c于m,n两点，在线段mn上取一【motif分析】本主题探讨轨迹方程的解和三点共线的证明，并考察考生分析、解决、转换和转换问题的能力点r,使得mqqn？Mrrn，当直线L移动时，试着判断点R是否在某条直线上【思路方法】利用向量共线可以将解析几何中的三点共线或者平行问题代数化，利用向量相等的充要条件是联系的桥梁，同时要注意设而不求技巧的体现．运动如果要求校准，如果没有，请解释原因【分析】由已知条件得q、m、n三点共线，r、m、n三点共线，由mqqn？Mrrn，所以可以设置MQ问：先生？RN，其中m和N是两点x2y2??1的交点，所以设是直线y?k(x?4)与椭圆43m(x1,y1),n(x2,y2)，考虑根与系数关系，设r(x0,y0)，带入向量式，利利用向量相等的充要条件，得到其坐标之间的关系，以及x0°？？1.因此，点R位于固定线x？？1起32k264k212144(14k)0,x1x2,x1x2，由题意可设223?4k3?4k2先生rn，mq QN，通过MQ QN？4.x1？？（x2？4）故x1?4．设点r的坐标为(x0,y0)，则由mrrn得x2?4x0?x1(x2?x0)，解得x1？x1？4.x2x2？42xx？4（x1？x2）？12．x1?4(x1?x2)?81?x2?4x0?x1??x2?1??64k2?12?32k2?24?4??又2x1x2?4(x1?x2)?2?，2223?4k3?4k3?4k?32k224(x1?x2)?8??8?，3.4k23？4k2×0？2x1x2？4（x1？x2）？？1.因此，点R位于固定线x？？1起(x1?x2)?8二、在考场播放精彩而真实的问题【例2】【2021高考北京文12】已知点p在圆x2?y2=1上，点a的坐标为(-2，【命题意图】这类题主要考查平0)，o为原点，则ao?ap的最大值为_________．【答案】6【解析】在解析几何中应用面向量的基本定理、向量共线性和向量量积，可以更好地检验考生的分析问题ao?ap?|ao|?|ap|cos??|ao|?|ap|?2?(2?1)?6.所以最解决问题的能力以及基本计算能武力等【考试方向】这类试题在考查题型上，若以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易；若以解答题的形式出现，则难度较大．【难点中心】向量在解析几何中的作用（1）向量的作用：向量出现在解析几何中，主要用于“包装”。
高中数学必修二第六章 平面向量的概念 知识点总结及练习
名称定义向量既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度(或称模) 零向量长度为零的向量叫作零向量，其方向是任意的，零向量记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这两个向量叫作平行向量，平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量易误提醒1．对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任一向量平行．(2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．2．单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制．[自测练习]1．若向量a与b不相等，则a与b一定( )A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量解析：若a与b都是零向量，则a＝b，故选项C正确．答案：C2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k( )A．共线B．不共线C．共线且同向D．不一定共线解析：可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A，B，C选项都不正确，故D 正确．答案：D向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律： (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫作a 与b 的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb易误提醒1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点． 2．数乘向量仍为向量只是模与方向发生变化，易认为数乘向量为实数．[自测练习]3．已知在△ABC 中，D 是BC 的中点，那么下列各式中正确的是( ) A.AB →＋AC →＝BC →B.AB →＝12BC →＋DA →C.AD →－DC →＝AC → D ．2CD →＋BA →＝CA →解析：本题考查向量的线性运算．A 错，应为AB →＋AC →＝2AD →；B 错，应为12BC →＋DA →＝BD →＋DA →＝BA →；C 错，应为AC →＝AD →＋DC →；D 正确，2CD →＋BA →＝CB →＋BA →＝CA →，故选D.答案：D知识点三 共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 易误提醒1．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 2．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． 必记结论 三点共线等价关系：A ，P ，B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．[自测练习]4．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－13考点一 向量的基本概念|1．已知a ，b ，c 是任意向量，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ∥b ，则a ，b 方向相同或相反； ③若a ＝－b ，则|a |＝|b |；④若a ，b 不共线，则a ，b 中至少有一个为零向量，其中正确命题的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：按照平面向量的概念逐一判断．若b ＝0，则①②都错误；若a ＝－b ，则|a |＝|b |，③正确；若a ，b 不共线，则a ，b 中一定没有零向量，④错误，所以正确命题只有1个．答案：D2．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( ) A ．a ＝2b B ．a ∥b C ．a ＝－13bD ．a ⊥b解析：由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b|b |·|a |≠0，则a ，b 共线且方向相反，因此当向量a ，b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b|b |＝0成立．对照各个选项可知，选项A中向量a ，b 的方向相同，选项B 中向量a ，b 共线，方向相同或相反，选项C 中向量a ，b 的方向相反，选项D 中向量a ，b 互相垂直，故选C.答案：C解决向量的概念问题应关注五点(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(5)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是a 方向上的单位向量．考点二 平面向量的线性运算|(1)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →[解析] 由题意得AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →，故选A.[答案] A(2)(2015·东北三校联考(二))已知在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________. [解析] 因为AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB→－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.[答案]3平面向量线性运算问题的两种类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合平行四边形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．1．设O 为△ABC 内部的一点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为( )A.32 B.53 C ．2D ．1解析：取AB 的中点E ，连接OE ，则有OA →＋OB →＋2OC →＝2(OE →＋OC →)＝0，OE →＋OC →＝0，所以E ，O ，C 三点共线，所以有△AEO 与△BEO 面积相等，因此△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为1，故选D.答案：D考点三 共线向量定理的应用|设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. [解析] 由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0，因为向量a ，b 不平行，所以λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12.[答案]21．共线向量定理的应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB→＝λAC→，则A、B、C三点共线．2．设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；(2)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，AF→＝3e1－k e2，且A，C，F三点共线，求k的值．解：(1)证明：AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，∴AC→＝AB→＋BC→＝4e1＋e2，又CD→＝－8e1－2e2，∴CD→＝－2AC→，∴AC→与CD→共线．又∵AC→与CD→有公共点C，∴A，C，D三点共线．(2)∵AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，∴AC→＝AB→＋BC→＝3e1－2e2.∵A，C，F三点共线．∴AC →∥AF →，从而存在实数λ，使得AC →＝λAF →. ∴3e 1－2e 2＝3λe 1－λk e 2， 又e 1，e 2是不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，－2＝－λk ，因此k ＝2.∴实数k 的值为2.13.方程思想在平面向量呈线性运算中的应用【典例】 如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.[思路点拨] (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．(2)既然OM →能用a ，b 表示，那我们不妨设出OM →＝m a ＋n b . (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解． [解] 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋m b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .又∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C ，M ，B 三点共线， ∴CM →与CB →共线．∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .[方法点评] (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A ，M ，D 三点共线和B ，M ，C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．[跟踪练习] 如图，△ABC 中，GA →＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP →＝m a ，CQ →＝n b ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，则1m ＋1n＝________.解析：由GA →＋GB →＋GC →＝0，知G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D (图略)，则CH →＝12CG→＝13CD →＝16(CA →＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n ＝6.答案：6课时跟踪检测 A 组 考点能力演练1．关于平面向量，下列说法正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．平面内的单位向量是唯一的C ．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D ．共线向量就是相等向量解析：对于A ，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 不正确；对于B ，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B 不正确；对于C ，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C 正确；对于D ，由共线向量和相等向量的定义可知D 不正确，故选C.答案：C2．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC →＋CB →＝0，则向量OC →等于( ) A.23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA →－OB →D ．－OA →＋2OB →解析：因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →，故选C.答案：C3．已知在△ABC 中，M 是BC 的中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( ) A.12a －b B.12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12b解析：AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a .答案：A4.(2015·海淀期中)如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋32BD →＝AB →＋32(AD →－AB →)＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n＝32，所以m －n ＝－2. 答案：B5．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 的起点相同，已知a ，t b ，13(a ＋b )三个向量的终点在同一条直线上，则t ＝( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2 解析：设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，则AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t a －a .要使A ，B ，C 三点共线，只需AC →＝λAB →，即－23a ＋13b ＝λt b －λa 即可，又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12，∴当三个向量的终点在同一条直线上时，t ＝12.答案：A6．(2016·长沙一模)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示)解析：在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC→＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2)．答案：12(5e 1＋3e 2)7．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________.解析：因为a 与b 共线，所以a ＝x b ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，λx ＝－1，故λ＝－12.答案：－128.已知点G 是△ABC 的外心，GA →，GB →，GC →是三个单位向量，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，如图所示，△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，O 是坐标原点，则|OA →|的最大值为________．解析：因为点G 是△ABC 的外心，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，所以点G 是BC 的中点，△ABC 是直角三角形，且∠BAC 是直角．又GA →，GB →，GC →是三个单位向量，所以BC ＝2，又△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，所以点G 的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧．又|GA →|＝1，所以当OA 经过BC 的中点G 时，|OA →|取得最大值，且最大值为2|GA →|＝2.答案：29．已知a ，b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．10．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点： ①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心；④△ABC 的垂心． 解：如图，记AM →＝AB→|AB→|，AN →＝AC→|AC→|，则AM →，AN →都是单位向量，∴|AM →|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形，∴AQ 平分∠BAC . ∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →， ∴AP →＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．B 组 高考题型专练1．)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.BC →B.12AD →C.AD →D.12BC → 解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD →，故选C. 答案：C2．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．|a ·b |≤|a ||b |B ．|a －b |≤||a |－|b ||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2解析：对于A 选项，设向量a ，b 的夹角为θ，∵|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a ，b 反向时，|a －b |≥||a |－|b ||，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，故D 选项正确，综上选B.答案：B3．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案：124．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →.解析：∵AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，∴a ＝12AB →，b ＝BC →，又△ABC 是边长为2的等边三角形，∴|a |＝1，|b |＝2，故①正确，②错误，③错误；由b ＝BC →，知b ∥BC →，故④正确；∵4a ＋b ＝2AB →＋BC →＝AB →＋AC →，∴(4a ＋b )·BC →＝(AB →＋AC →)·BC →＝－2＋2＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确．答案为①④⑤.答案：①④⑤。
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．题源探究·黄金母题
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，且错误！未指定书签。
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所以错误！未指定书签。
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．考场精彩·真题回放
【例】（全国新课程Ⅱ卷）已知向量错误！未指定书签。
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，则错误！未指定书签。
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【解析】因为错误！未指定书签。
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．【例】【全国Ⅱ卷文】设向量错误！未指定书签。
，错误！未指定书签。
不平行，向量错误！未指定书签。
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平行，则实数错误！未指定书签。
．
【答案】错误！未指定书签。
【解析】因为向量错误！未指定书签。
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平行，所以
错误！未指定书签。
，即错误！未指定书签。
，于是错误！未指定书签。
所以错误！未指定书签。
．
【例】【福建高考理】在下列向量组中，可以把向量错误！未指定书签。
表示出来的是（）．错误！未指定书签。
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【答案】
【解析】能否把向量错误！未指定书签。
表示出来，关键是看和选项错误！未指定书签。
是否是非零不共线向量．中错误！未指定书签。
，不能为基底；中不存在错误！未指定书签。
，使错误！未指定书签。
成立；中错误！未指定书签。
，错误！未指定书签。
共线，不能为基底；中错误！未指定书签。
，错误！未指定书签。
共线，不能为基底，故选．
【例】【辽宁高考卷】已知点错误！未指定书签。
、错误！未指定书签。
，则与向量错误！未指定书签。
同方向的单位向量为（）
．错误！未指定书签。
．错误！未指定书签。
．错误！未指定书签。
．错误！未指定书签。
【答案】
精彩解读
【试题来源】人教版版必修四第页例
【母题评析】本题根据向量平行求所涉及到的参数的值，主要考查向量平行的充要条件的应用.本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，.
【思路方法】根据垂直关系求参数的值主要是利用平行垂直的充要条件建立方程或方程组来解，体现方程思想的应用、逆向思维的应用．
【命题意图】本类题通常主要考查平面向量平行的充要条件的应用、方程思想的应用．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，如果与函数、三角函数、解三角形有联系，会出现在解答题中．
【难点中心】（）平面向量平行有坐标形式与非坐标两种形式，解答时注意分析条件，选择适宜的形式；（）利用向量平行的坐标形式充要条件公式时注意坐标相乘的对应关系，特别是注意不要与平面向量垂直的坐标形式相混淆．。