2019_2020学年高中数学课时分层作业1正弦定理(含解析)新人教B版必修5
新教材高中数学课时素养评价一正弦定理新人教B版必修第四册
新教材高中数学：课时素养评价一正弦定理(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)在△ABC中,若a=,b=,B=,则A的可能取值为( )A. B. C. D.【解析】选AD.由正弦定理得sin A===,又A∈(0,π),a>b,所以A>B,所以A=或.2.在△ABC中,若=,则C的值为( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选B.由正弦定理得==,则cos C=sin C,即C=45°.3.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=1,b=,B=60°,则△ABC的面积为( )A. B. C.1 D.【解析】选B.因为a=1,b=,B=60°,所以由正弦定理可得:sin A===,因为a<b,A<60°,所以A=30°,C=180°-A-B=90°,所以S△ABC=ab=×1×=.4.在△ABC中,若a=2bsin A,则B= ( )A. B.C.或D.或【解析】选C.由正弦定理得×2Rsin A=2×2Rsin Bsin A,所以sin B=.又因为B∈(0,π),所以B=或.二、填空题(每小题4分,共8分)5.(2019·宜春高一检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=________.【解析】由正弦定理得sin B===,结合b<c得B=45°,则A=180°-B-C=75°.答案:75°6.在△ABC中,若(sin A+sin B)(sin A-sin B)=sin2C,则△ABC的形状是________.【解析】由已知得sin2A-sin2B=sin2C,根据正弦定理知sin A=,sin B=,sin C=,所以-=,即a2-b2=c2,故b2+c2=a2.所以△ABC是直角三角形.答案:直角三角形三、解答题(共26分)7.(12分)(2020·蚌埠高二检测)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=10,A=45°,C=30°,求a,b和B.【解析】因为=,所以a===10.B=180°-(A+C)=180°-(45°+30°)=105°.又因为=,所以b===20sin 75°=20×=5.8.(14分)在△ABC中,已知a=2,A=30°,B=45°,解三角形. 世纪【解析】因为==,所以b====4.所以C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°,所以c====4sin(30°+45°)=2+2.(15分钟·30分)1.(4分)在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cos B等于 ( )A.-B.C.-D.【解析】选D.由正弦定理得=,所以sin B===.因为a>b,所以A>B,又因为A=60°,所以B为锐角.所以cos B===.2.(4分)(2019·大同高二检测)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C 等于( )A. B.- C.± D.【解析】选A.方法一:因为在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,所以8sinB=5sin C=5sin2B=10sin Bcos B,所以cos B=,又因为B为三角形内角,所以sin B==.所以sin C=sin 2B=2××=.又因为cos B>cos 45°,所以B<45°,C=2B<90°,cosC==.方法二:因为8b=5c,所以8sin B=5sin C,即sin B=sin C,因为C=2B,所以cos C=cos2B=1-2sin2B=1-2,即25cos2C-32cos C+7=0.解得cos C=或cos C=1(舍去).3.(4分)在△ABC中,A=60°,B=45°,a+b=12,则a=________.【解析】因为=,所以=,所以b=a,①又因为a+b=12,②由①②可知a=12(3-).答案:12(3-)【加练·固】在△ABC中,若A=120°,AB=5,BC=7,则sin B=________.【解析】由正弦定理得=,即sin C===.可知C为锐角,所以cos C==.所以sin B=sin(180°-120°-C)=sin(60°-C)=sin 60°·cos C-cos 60°·sin C=.答案:4.(4分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足B=60°,c=2的三角形有两解,则b的取值范围为________. 世纪【解析】在△ABC中,B=60°,c=2,由正弦定理可得=,得c=.若此三角形有两解,则必须满足的条件为c>b>csin B,即2>b>.答案:(,2)5.(14分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A-C=90°,a+c=b,求C.世纪【解析】由A-C=90°,得A为钝角且sin A=cos C,利用正弦定理,a+c=b可变形为sin A+sin C=sin B,又因为sin A=cos C,所以sin A+sin C=cos C+sin C=sin(C+45°)=sin B,又A,B,C是△ABC的内角,故C+45°=B或(C+45°)+B=180°(舍去),所以A+B+C=(90°+C)+(C+45°)+C=180°.所以C=15°.1.(2019·济南高二检测)在△ABC中,若b=5,B=,tan A=2,则sin A=________,a=________.世纪【解析】由tan A=2,得sin A=2cos A,由sin2A+cos2A=1及0<A<π,得sin A=,因为b=5,B=,由正弦定理=,得a===2.答案:22.如图所示,D是Rt△ABC的斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.(1)求证:sin α+cos2β=0.(2)若AC=DC,求β的值. 世纪【解析】(1)在Rt△ABC中,因为AB=AD,所以∠ADB=∠ABC=β.因为α=-∠BAD=-(π-2β)=2β-,所以sin α=sin,即sin α=-sin.所以sin α=-cos2β,所以sin α+cos2β=0.(2)在△ADC中,根据正弦定理,=.又AC=DC,∠ADC=π-β,所以=,所以sin β=sin α.由(1)知:sin α=-cos2β,所以sin β=-cos2β.所以2sin2β-sin β-=0,解得sin β=或-. 因为0<β<,所以sin β=,所以β=.。
高中数学人教B版必修5学业分层测评1 正弦定理 Word版含解析
学业分层测评(一) 正弦定理(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．在△中，＝，＝°，＝°，则边的值为( )＋．＋．．＋【解析】由已知及正弦定理，得°)＝°)，∴＝° °)＝＝.【答案】．在△中，∠＝°，＝，＝，则∠等于( )．°或°．°．°．以上答案都不对【解析】∵＝)＝＝，∴∠＝°或°.但当∠＝°时，不符合题意，所以∠＝°，故选.【答案】．若三角形三个内角之比为∶∶，则这个三角形三边之比是( ) 【导学号：】．∶∶．∶∶．∶∶∶∶【解析】设三角形内角∠、∠、∠分别为，则＋＋＝°，∴＝°.由正弦定理)＝)＝)，可知∶∶＝∶∶，∴∶∶＝°∶°∶°＝∶∶＝∶∶.【答案】．在△中，若＝，＝，则△形状为( )．直角三角形．等腰三角形．等边三角形．等腰直角三角形【解析】由正弦定理知＝·，＝·，则＝·可化为：＝·.∵°<∠<°，∴≠，∴＝，∴∠＝°或°，又＝，∴∠＝∠，∴∠＝°，∴△为等边三角形．【答案】二、填空题．在△中，＝°，＝°，＝，则最短边的边长等于．【解析】由三角形内角和定理知：＝°，由边角关系知所对的边为最小边，由正弦定理)＝)得＝)＝＝.【答案】．(·广东高考)设△的内角，，的对边分别为，，.若＝，＝，＝，则＝.【解析】在△中，∵＝，<<π，∴＝或＝π.又∵＋<π，＝，∴＝，∴＝π－－＝π.∵)＝)，∴＝)＝.【答案】．在△中，若＝，则＝.【解析】由正弦定理得＝·，。
高中数学 同步练习 课时分层作业1 正弦定理(1)
课时分层作业(一) 正弦定理(1)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．在△ABC 中,a ＝4,A ＝45°,B ＝60°,则边b 的值为( )A.3＋1B ．23＋1C ．2 6D ．2＋2 3C [由已知及正弦定理,得4sin 45°＝b sin 60°, ∴b＝4sin 60°sin 45°＝4×3222＝2 6.] 2．在△ABC 中,A ＝60°,a ＝43,b ＝42,则B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对C [∵sin B＝bsin A a ＝42×3243＝22, ∴B＝45°或135°.但当B ＝135°时,不符合题意,∴B＝45°,故选C.]3．在△ABC 中,A>B,则下列不等式中不一定正确的是( )A ．sin A>sin BB ．cos A<cos BC ．sin 2A>sin 2BD ．cos 2A<cos 2BC [A>B ⇔a>b ⇔sin A>sin B,A 正确．由于(0,π)上,y ＝cos x 单调递减,∴cos A<cos B ,B 正确．cos 2A ＝1－2sin 2A.∵sin A>sin B>0,∴sin 2A>sin 2B,∴cos 2A<cos 2B ,D 正确．]4．在△ABC 中,A∶B∶C＝4∶1∶1,则a∶b∶c 等于( )A ．4∶1∶1B ．2∶1∶1 C.2∶1∶1 D.3∶1∶1 D [∵A＋B ＋C ＝180°,A∶B∶C＝4∶1∶1,∴A＝120°,B ＝30°,C ＝30°.由正弦定理的变形公式得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 120°∶sin 30°∶sin 30°＝32∶12∶12＝3∶1∶1.] 5．在△ABC 中,a ＝bsin A,则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形B [∵a＝bsin A,∴a b ＝sin A ＝sin A sin B,∴sin B＝1, 又∵B∈(0,π),∴B＝π2,即△ABC 为直角三角形．] 二、填空题6．在△ABC 中,B ＝45°,C ＝60°,c ＝1,则最短边的边长等于________． 63 [由三角形内角和定理知：A ＝75°,由边角关系知B 所对的边b 为最小边,由正弦定理b sin B＝c sin C 得b ＝csin B sin C ＝1×2232＝63.] 7．设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a ＝3,sin B ＝12,C ＝π6,则b ＝________. 1 [在△ABC 中,∵sin B＝12,0<B<π,∴B＝π6或B ＝56π. 又∵B＋C<π,C ＝π6,∴B＝π6, ∴A＝π－π6－π6＝23π. ∵a sin A ＝b sin B ,∴b＝asin B sin A＝1.] 8．在△ABC 中,AB ＝6,∠A＝75°,∠B＝45°,则AC ＝________.2 [由正弦定理可知AB sin[180°－(75°＋45°)]＝AC sin 45°,即6sin 60°＝AC sin 45°,解得AC ＝2.] 三、解答题9．在△ABC 中,A ＝60°,sin B ＝12,a ＝3,求三角形中其它边与角的大小． [解] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B,即b ＝a·sin B sin A ＝3×12sin 60°＝ 3.由于A ＝60°,则B<120°,即B ＝30°,则C ＝90°, ∴c＝a 2＋b 2＝9＋3＝2 3.综上,b ＝3,c ＝23,B ＝30°,C ＝90°.10．在△ABC 中,已知a cos A ＝b cos B ＝c cos C ,试判断△ABC 的形状．[解] 令a sin A ＝k,由正弦定理得a ＝ksin A,b ＝ksin B,c ＝ksin C.代入已知条件,得sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C ,即tan A ＝tan B ＝tan C.又A,B,C∈(0,π),∴A＝B ＝C,∴△ABC 为等边三角形．[能力提升练]1．在△ABC 中,已知B ＝60°,最大边与最小边的比为3＋12,则三角形的最大角为() A ．60° B ．75°C ．90°D ．115°B [不妨设a 为最大边,c 为最小边,由题意有a c ＝sin Asin C ＝3＋12,即sin A sin (120°－A )＝3＋12.整理得(3－3)sin A ＝(3＋3)cos A.∴tan A＝2＋ 3.又∵A∈(0°,120°),∴A＝75°,故选B.]2．在△ABC 中,a ＝4,b ＝52,5cos(B ＋C)＋3＝0,则B 的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.56πA [由5cos(B ＋C)＋3＝0得cos A ＝35, ∵A∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,∴sin A＝45, 由正弦定理得445＝52sin B ,∴sin B＝12. 又∵a>b ,∴A>B ,且A∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2, ∴B 必为锐角,∴B＝π6.] 3．已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a ＝52b,A ＝2B,则cos B ＝________. 54 [在△ABC 中,因为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝52b ，A ＝2B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin A ＝52sin B ，sin A ＝sin 2B ＝2sin Bcos B ，所以cos B ＝54.] 4．已知在△ABC 中,A∶B∶C＝1∶2∶3,a ＝1,则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C＝________. 2 [∵A∶B∶C＝1∶2∶3,∴A＝30°,B ＝60°,C ＝90°. ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝1sin 30°＝2, ∴a＝2sin A,b ＝2sin B,c ＝2sin C,∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C＝2.] 5．已知△ABC 中角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且acos C ＋32c ＝b. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1,b ＝3,求c 的值．[解] (1)由acos C ＋32c ＝b,得sin Acos C ＋32sin C ＝sin B. 因为sin B ＝sin(A ＋C)＝sin Acos C ＋cos Asin C,所以32sin C ＝cos Asin C. 因为sin C≠0,所以cos A ＝32. 因为0＜A ＜π,所以A ＝π6. (2)由正弦定理,得sin B ＝bsin A a ＝32. 所以B ＝π3或2π3. ①当B ＝π3时,由A ＝π6,得C ＝π2,所以c ＝2； ②当B ＝2π3时,由A ＝π6,得C ＝π6,所以c ＝a ＝1. 综上可得c ＝1或2.。
高中数学新教材人教B版必修第一册课时分层作业集合 Word版含解析
课时分层作业(一) 集合(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列各组对象不能构成集合的是( ) A ．关于x 的方程x 2－1＝0的实数解 B ．2020年高考数学难题 C ．所有有理数 D ．小于π的正整数B [B 选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，所以选B.]2．集合M 是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是( ) A ．5∈M B ．0M C ．1∈MD ．－π2∈MD [5>1，故A 错；－2<0<1，故B 错；1不小于1，故C 错；－2<－π2<1，故D 正确．]3．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A ．3.14 B ．－5 C ．37D ．7D [由题意知a 应为无理数，故a 可以为7.]4．已知集合Ω中的三个元素l ，m ，n 分别是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形D [因为集合中的元素是互异的，所以l ，m ，n 互不相等，即△ABC 不可能是等腰三角形，故选D.]5．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集A[由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A.]二、填空题6．给出下列说法：①0∈；②如果a，b∈Z，则a－b∈Z；③所有正方形构成的集合是有限集；④如果a∈N，则－a N.其中正确的是________．(填序号)②[0，故①错；②正确；③是无限集；当a＝0时－a＝0∈N，④错误．]7．设集合A是由1，k2为元素构成的集合，则实数k的取值范围是________．{k|k≠±1}[∵1∈A，k2∈A，结合集合中元素的互异性可知k2≠1，解得k≠±1.]8．用符号“∈”或“”填空：(1)设集合B是小于11的所有实数的集合，则23________B，1＋2 ________B；(2)设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C，5________C；(3)设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1________D，(－1，1)________D.(1)∈(2)∈(3)∈[(1)∵23＝12>11，∴23B；∵(1＋2)2＝3＋22<3＋2×4＝11，∴1＋2<11，∴1＋2∈B.(2)∵n是正整数，∴n2＋1≠3，∴3C；当n＝2时，n2＋1＝5，∴5∈C.(3)∵集合D中的元素是有序实数对(x，y)，而－1是数，∴－1D；又(－1)2＝1，∴(－1，1)∈D.]三、解答题9．设A是由满足不等式x<6的自然数构成的集合，若a∈A且3a∈A，求a 的值．[解]∵a∈A且3a∈A，∴⎩⎨⎧a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ， ∴a ＝0或1.10．已知集合M 是由三个元素－2，3x 2＋3x －4，x 2＋x －4组成的，若2∈M ，求x .[解] 当3x 2＋3x －4＝2，即x 2＋x －2＝0时，得x ＝－2，或x ＝1，经检验，x ＝－2，x ＝1均不符合题意．当x 2＋x －4＝2，即x 2＋x －6＝0时，得x ＝－3或x ＝2. 经检验，x ＝－3或x ＝2均符合题意． ∴x ＝－3或x ＝2.11．(多选题)已知集合M 是方程x 2－x ＋m ＝0的解组成的集合，若2∈M ，则下列判断正确的是( )A ．1∈MB ．0MC ．－1∈MD ．－2∈MBC [由2∈M 知2为方程x 2－x ＋m ＝0的一个解，所以22－2＋m ＝0，解得m ＝－2.所以方程为x 2－x －2＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝2. 故方程的另一根为－1.]12．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含元素( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个A [当x >0时，x ＝|x |＝x 2，－3x 3＝－x <0，此时集合共有2个元素， 当x ＝0时，x ＝|x |＝x 2＝－3x 3＝－x ＝0，此时集合共有1个元素， 当x <0时，x 2＝|x |＝－x ，－3x 3＝－x ，此时集合共有2个元素，综上，此集合最多有2个元素，故选A.]13．(一题两空)已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________，集合P 中的元素分别是________．6 3，4，5 [∵x ∈N ，2<x <a ，且集合P 中恰有三个元素，∴结合数轴(图略)知a ＝6，此时集合P 中的元素是3，4，5.]14．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b 的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．3 [当a ，b 同正时，|a |a ＋|b |b ＝a a ＋bb ＝1＋1＝2； 当a ，b 同负时，|a |a ＋|b |b ＝－a a ＋－bb ＝－1－1＝－2； 当a ，b 异号时，|a |a ＋|b |b ＝0.∴|a |a ＋|b |b 的可能取值所组成的集合中元素共有3个．]15．已知数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)，如果a ＝2，试求出A 中的所有元素．[解] 根据题意，由2∈A 可知，11－2＝－1∈A ； 由－1∈A 可知，11－（－1）＝12∈A ；由12∈A 可知，11－12＝2∈A . 故集合A 中共有3个元素，它们分别是－1，12，2.。
2019-2020学年高中数学课时分层作业11正弦定理
课时分层作业(十一)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B ＝( ) A ．π3B ．π6C ．π3或2π3D ．π6或5π6C [由正弦定理，得3sin A ＝2sin B sin A ，所以sin A (2sin B －3)＝0.因为0<A <π，0<B <π，所以sin A ≠0，sin B ＝32，所以B ＝π3或2π3.] 2．已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a ∶b ∶c 等于( )A ．3∶2∶1B ．3∶2∶1C ．3∶2∶1D ．2∶3∶1D [因为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°， 所以a ∶b ∶c ＝si n 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶32∶12＝2∶3∶1.] 3．符合下列条件的△ABC 有且只有一个的是( ) A ．a ＝1，b ＝2，A ＝30° B ．a ＝1，b ＝2，c ＝3 C ．b ＝c ＝1，B ＝45° D ．a ＝1，b ＝2，A ＝100° C [对于A ，由正弦定理得1sin 30°＝2sin B ，所以sin B ＝22.又a <b ，所以B ＝45°或135°，所以满足条件的三角形有两个．对于B ，a ＋b ＝c ，构不成三角形．对于C ，b ＝c ＝1，所以B ＝C ＝45°，A ＝90°，所以满足条件的三角形只有一个．对于D ，a <b ，所以A <B ，而A ＝100°，所以没有满足条件的三角形．]4．已知△ABC 中，AB →·AC →＜0，S △ABC ＝154，|AB →|＝3，|AC →|＝5，则∠BAC ＝( )A ．30°B ．120°C ．150°D ．30°或150°C [由S △ABC ＝154，得12×3×5sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12，又由AB →·AC →<0，得∠BAC >90°，∴∠BAC ＝150°.]5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形D [∵a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，故由正弦定理得，sin A cos B ＋sin A cos C ＝sin B ＋sin C ＝sin(A ＋C )＋sin(A ＋B )， 化简得：cos A (sin B ＋sin C )＝0，又sin B ＋sin C ＞0， ∴cos A ＝0，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．]二、填空题6．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝4b sin A ，则cos B ＝________. 154 [由a ＝4b sin A 得a sin A ＝4b ，故sin B ＝14，又△ABC 是锐角三角形，故cos B ＝154.] 7．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于________．63[由三角形内角和定理知：A ＝75°，由边角关系知B 所对的边b 为最小边，由正弦定理b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C＝1×2232＝63.] 8．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 2 [由于S △ABC ＝3，BC ＝2，C ＝60°， ∴3＝12×2·AC ·32，∴AC ＝2，∴△ABC 为正三角形，∴AB ＝2.] 三、解答题9．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，求b .[解] 在△ABC 中，∵sin B ＝12，0＜B ＜π，∴B ＝π6或B ＝5π6.又∵B ＋C ＜π，C ＝π6，∴B ＝π6，∴A ＝2π3.∵asin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin Bsin A＝1. 10．在△ABC 中，已知a ＝10，B ＝75°，C ＝60°，试求c 及△ABC 的外接圆半径R . [解] ∵A ＋B ＋C ＝180°，∴A ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，得asin A＝csin C＝2R ，∴c ＝a ·sin Csin A＝10×3222＝56，∴2R ＝a sin A ＝1022＝102，∴R ＝5 2.[能力提升练]1．在△ABC 中，AB ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝( ) A ．3－ 3 B ． 2 C ．2D ．3＋ 3A [∵AB ＝3，A ＝45°，C ＝75°，由正弦定理得：BC sin A ＝AB sin C ⇒BCsin 45°＝ABsin 75°＝36＋24，∴BC ＝3－ 3.]2．在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝23，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C等于( )A ．1B ．2 3C ．4D ．4 3C [a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝23sin 60°＝4，所以a ＝4 sin A ，b ＝4sin B ，c ＝4 sin C ，所以a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝4(sin A ＋sin B ＋sin C )sin A ＋sin B ＋sin C＝4.故选C ．]3．已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是________． (2,22) [要使三角形有两解，则a sin B <b <a ，即⎩⎪⎨⎪⎧x <b sin B ＝2sin 45°＝22，x >b ＝2，所以2<x <2 2.]4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B ，C 为钝角，则c b的取值范围是________．(2,3) [由题意知90°<C <180°，0°<A ＋B <90°，因为A ＝2B ，所以0°<3B <90°，0°<B <30°，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－3B ，由正弦定理b sin B ＝csin C，得c b ＝sin C sin B ＝sin (180°－3B )sin B＝sin 3Bsin B＝sin 2B ·cos B ＋cos 2B ·sin Bsin B＝2sin B ·cos 2B ＋cos 2B ·sin B sin B＝2cos 2B ＋cos 2B ＝4cos 2B －1， 因为32<cos B <1， 所以2<4cos 2B －1<3， 即2<c b<3.]5．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．[解] (1)由C －A ＝π2和A ＋B ＋C ＝π，得2A ＝π2－B,0＜A ＜π4.故cos 2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，sin A ＝33.(2)由(1)得cos A ＝63. 又由正弦定理，得BC sin A ＝AC sin B ，BC ＝sin Asin BAC＝32，又C ＝π2＋A ，∴sin C ＝cos A ＝63.所以S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12AC ·BC ·cos A ＝3 2.。
2019-2020学年度最新高中数学(人教B版)必修五学案：第一章 1-1-1 正弦定理(一) Word版含答案
1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理(一)[学习目标] 1.通过对任意三角形边角关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．[知识链接]下列说法中，正确的有________．(1)在直角三角形中，若C 为直角，则sin A ＝a c .(2)在△ABC 中，若a ＞b ，则A ＞B .(3)在△ABC 中，C ＝π－A －B .(4)利用AAS 、SSA 都可以证明三角形全等．(5)在△ABC 中，若sin B ＝22，则B ＝π4. 答案 (1)(2)(3)解析 根据三角函数的定义，(1)正确；在三角形中，大边对大角，大角对大边，(2)正确；三角形的内角和为π，(3)正确；AAS 可以证明三角形全等，SSA 不能证明，(4)不正确；若sin B ＝22，则B ＝π4或3π4，(5)不正确，故(1)(2)(3)正确． [预习导引]1．在Rt △ABC 中的有关定理在Rt △ABC 中，C ＝90°，则有：(1)A ＋B ＝90°，0°<A <90°，0°<B <90°；(2)a 2＋b 2＝c 2(勾股定理)；(3)a sin A ＝c ；b sin B ＝c ；c sin C＝c .2．正弦定理在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C，这个比值是其外接圆的直径2R .3．解三角形 一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．要点一 正弦定理的推导与证明例1 在锐角△ABC 中，证明：a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 证明 如图，在锐角△ABC 中，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，有CD b ＝sin A ，CD a ＝sin B .∴CD ＝b sin A ＝a sin B ．∴a sin A ＝b sin B. 同理，b sin B ＝c sin C .∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C成立． 规律方法 从正弦定理可以推出它的常用变形有：(1)a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝c sin C. (2)a b ＝sin A sin B ，a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C. (3)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B .(4)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .跟踪演练1 在钝角△ABC 中，如何证明a sin A ＝b sin B ＝c sin C仍然成立？证明 如图，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ，则CD b ＝sin A ，即CD ＝b sin A ；CD a ＝sin(180°－B )＝sin B ，即CD ＝a sin B .因此b sin A ＝a sin B ，即a sin A ＝b sin B. 同理可证，b sin B ＝c sin C .因此a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 要点二 已知两角及一边解三角形例2 已知△ABC ，根据下列条件，解三角形：(1)a ＝20，A ＝30°，C ＝45°；(2)a ＝8，B ＝60°，C ＝75°.解 (1)∵A ＝30°，C ＝45°；∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝20sin 105°sin 30°＝40sin(45°＋60°) ＝10(6＋2)；c ＝a sin C sin A ＝20sin 45°sin 30°＝202， ∴B ＝105°，b ＝10(6＋2)，c ＝20 2.(2)A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°，由正弦定理b sin B ＝a sin A， 得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46， 由正弦定理a sin A ＝c sin C， 得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)． ∴A ＝45°，b ＝46，c ＝4(3＋1)．规律方法 已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．跟踪演练2 在△ABC 中，a ＝5，B ＝45°，C ＝105°，求边c .解 由三角形内角和定理知A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝c sin C， 得c ＝a ·sin C sin A ＝5·sin 105°sin 30°＝5·sin (60°＋45°)sin 30°＝5·sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°＝52(6＋2)． 要点三 已知两边及一边的对角解三角形例3 在△ABC 中，分别根据下列条件解三角形：(1)a ＝1，b ＝3，A ＝30°；(2)a ＝3，b ＝1，B ＝120°.解 (1)根据正弦定理，sin B ＝b sin A a ＝3sin 30°1＝32. ∵b >a ，∴B >A ＝30°，∴B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴c ＝b sin C sin B ＝3sin 60°＝2； 当B ＝120°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋120°)＝30°＝A ，∴c ＝a ＝1.(2)根据正弦定理，sin A ＝a sin B b ＝3sin 120°1＝32>1. 因为sin A ≤1.所以A 不存在，即无解．规律方法 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法：(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．跟踪演练3 已知△ABC ，根据下列条件，解三角形：(1)a ＝2，c ＝6，C ＝π3； (2)a ＝2，c ＝6，A ＝π4. 解 (1)∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝22. ∵c >a ，∴C >A .∴A ＝π4. ∴B ＝5π12，b ＝c sin B sin C ＝6·sin 5π12sin π3＝3＋1. (2)∵a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝32. 又∵a <c ，∴C ＝π3或2π3. 当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝a sin B sin A＝3＋1. 当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝a sin B sin A＝3－1.1．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( )A ．A >BB ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定 答案 A解析 由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔a >b ⇔A >B .2．在△ABC 中，一定成立的等式是( )A ．a sin A ＝b sin BB ．a cos A ＝b cos BC ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b sin A 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B，得a sin B ＝b sin A ，故选C. 3．在△ABC 中，已知A ＝150°，a ＝3，则其外接圆的半径R 的值为( )A ．3B. 3 C ．2D ．不确定答案 A解析 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝3sin 150°＝6＝2R ，∴R ＝3. 4．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形答案 B解析 由sin A ＝sin C 知a ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形．5．在△ABC 中，已知a ＝5，sin C ＝2sin A ，则c ＝________.答案 2 5解析 由正弦定理，得c ＝a sin C sin A＝2a ＝2 5.1．正弦定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)． 2．正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．3．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．。
课时分层作业1 正弦定理(1)
课时分层作业(一)(建议用时：45分钟)[学业达标练]一、填空题1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ∶sin B 的值是________．[解析] 由正弦定理可知，sin A ∶sin B ＝a ∶b ＝5∶3.[答案] 5∶32．在△ABC 中，若A ＝75°，B ＝60°，c ＝2，则b ＝________.[解析] 在△ABC 中，C ＝180°－A －B ＝45°，∴b ＝c sin B sin C ＝2sin 60°sin 45°＝ 6.[答案] 63．在△ABC 中，若sin A a ＝cos C c ，则C 的值为________．[解析] 由正弦定理可知，sin A a ＝sin C c， 又sin A a ＝cos C c ，∴sin C c ＝cos C c ，即tan C ＝1,0°<C <180°，∴C ＝45°.[答案] 45°⎝ ⎛⎭⎪⎫或π4 4．在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为________．[解析] 由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin A ＝45，由正弦定理得445＝52sin B ，∴sin B ＝12.又∵a >b ，∴A >B ，且A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴B 必为锐角，∴B ＝π6.[答案] π65．在△ABC 中，已知a ＝43，b ＝42，A ＝60°，则c ＝________.【导学号：57452019】[解析] 由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b a sin A ＝4243×32＝22. ∵b <a ，∴B ＝45°，C ＝180°－A －B ＝75°，∴c ＝a sin C sin A ＝43×sin 75°sin 60°＝2(2＋6)．[答案] 2(2＋6)6．在△ABC 中，已知a ＝18，b ＝16，A ＝150°，则满足条件的三角形有________个．[解析] A ＝150°>90°，∵a >b ，∴满足条件的三角形有1个．[答案] 17．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的长为________.【导学号：57452019】[解析] 易得A ＝75°，∴B 为最小角，即b 为最短边，∴由c sin C ＝b sin B ，得b ＝63.[答案]6 38．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝2，则C＝________[解析]因为a＝2，c＝2，所以由正弦定理可知，2sin A＝2sin C，故sin A＝2sin C.又B＝π－(A＋C)，故sin B＋sin A(sin C－cos C)＝sin(A＋C)＋sin A sin C－sin A cos C＝sin A cos C＋cos A sin C＋sin A sin C－sin A cos C ＝(sin A＋cos A)sin C＝0.又C为△ABC的内角，故sin C≠0，则sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝3π4.从而sin C＝12sin A＝22×22＝12.由A＝3π4知C为锐角，故C＝π6.[答案]π6二、解答题9．在△ABC中，若a＝23，A＝30°，讨论当b为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？[解]当a<b sin 30°，即b>43时，无解；当a≥b或a＝b sin A，即b≤23或b＝43时，有一解；当b sin A<a<b，即23<b<43时，有两解．10．在△ABC中，b＝2a，B＝A＋60°，求角A.[解]根据正弦定理asin A＝bsin B，把b＝2a代入得asin A＝2asin B，∴sin B＝2sin A.又∵B＝A＋60°，∴sin(A＋60°)＝2sin A，展开得－32sin A＋32cos A＝0，∴sin(A－30°)＝0，解得A＝30°.[冲A挑战练]1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝3b，则角A等于________．[解析]由正弦定理可得，2a sin B＝3b可化为2sin A sin B＝3sin B，又sinB≠0，即sin A＝32，又△ABC为锐角三角形，得A＝π3.[答案]π32．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知b cos C＋c cosB＝2b，则ab＝________.[解析]因为b cos C＋c cos B＝2b，所以sin B cos C＋sin C cos B＝2sin B，故sin(B＋C)＝2sin B.故sin A＝2sin B，则a＝2b，即ab＝2.[答案] 23．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是____________.【导学号：57452019】[解析]因为三角形有两解，所以a sin B<b<a，即22x<2<x，∴2<x<2 2.[答案](2,22)4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝2b，求C.[解]由A－C＝90°，得A为钝角且sin A＝cos C，利用正弦定理，a＋c＝2 b可变形为sin A＋sin C＝2sin B，又∵sin A＝cos C，∴sin A＋sin C＝cos C＋sin C＝2sin (C＋45°)＝2sin B，又A，B，C是△ABC 的内角，故C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去)，所以A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°.所以C＝15°.。
高中数学人教B版必修5分层测评试题1正弦定理含解析
学业分层测评 (一 )正弦定理(建议用时： 45 分钟 )[ 学业达标 ]一、选择题1．在△ ABC 中， a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边 b 的值为 ( )A. 3＋1 B ．2 3＋1 C ．2 6D ． 2＋2 3【分析】由已知及正弦定理，得4b，sin 45 ＝°sin 60 °4× 3∴b ＝4sin 60 °26.sin 45 ＝＝2°22【答案】C2．在△ ABC 中，∠ A ＝60°， a ＝ 4 3，b ＝4 2，则∠ B 等于 ( )A ．45°或 135°B ． 135°C ．45°D ．以上答案都不对4 2×3bsin A2 2【分析】∵sin B ＝ a＝4 3 ＝ 2 ，∴∠B ＝45 °或 135 °.但当∠B ＝ 135 时°，不切合题意，因此∠B ＝ 45 °，应选 C.【答案】C3．若三角形三个内角之比为 1∶2∶3，则这个三角形三边之比是 () 【导学号： 33300004】A ．1∶2∶3B ．1∶ 3∶2C ．2∶ 3∶1D. 3∶1∶2【分析】设三角形内角∠ A 、∠B 、∠C 分别为 x,2x,3x ，则 x ＋ 2x ＋3x ＝ 180 ，°∴x ＝30 °.a b c 由正弦定理sin A＝sin B＝sin C，可知 a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，∴a ∶b ∶c ＝sin 30 ∶sin ° 60 ∶sin ° 90°13＝2∶ 2 ∶1＝1∶ 3∶2.【答案】B4．在△ ABC 中，若 3b ＝2 3asin B ，cos A ＝cos C ，则△ ABC 形状为 ()A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【分析】由正弦定理知 b ＝ 2R ·sin B ， a ＝ 2R ·sin A ，则 3b ＝2 3a ·sin B 可化为：3sin B ＝ 2 3sin A ·sin B.∵0 °<∠B<180 ，°∴sin B ≠0，3∴sin A ＝ 2 ，∴∠A ＝60 °或 120 °，又 cos A ＝cos C ，∴∠A ＝∠C ，∴∠A ＝60 °，∴△ABC 为等边三角形．【答案】C二、填空题5．在△ ABC 中， B ＝45°，C ＝60°， c ＝ 1，则最短边的边长等于 ________．【分析】由三角形内角和定理知： A ＝75°，由边角关系知 B 所对的边 b2bccsin B1× 26为最小边，由正弦定理 sin B ＝sin C 得 b ＝ sin C ＝3 ＝ 3 .2【答案】6 36．(2015 ·广东高考 )设△ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c.若 a ＝，1π＝ ，C ＝ ，则 b ＝________.3 sin B 26【分析】在△ABC 中，∵sin B ＝1，π B＝5π.2 0<B<B 6 6π π π π2又∵B ＋C<π，C ＝6，∴B ＝6，∴A ＝π－6－6＝3π.a ＝b asin B ＝1.∵ ，∴b ＝ sin Asin A sin B 【答案】17．在△ ABC 中，若 3a ＝2bsin A ，则 B ＝________. 【分析】由正弦定理得3sin A ＝2sin B ·sin A ，3∵sin A ≠0，∴sin B ＝ 2 .又 0<B<180 ，°∴B ＝60 °或 120 .°【答案】60°或 120°三、解答题ab c8．在△ ABC 中，已知 cos A ＝cos B ＝cos C ，试判断△ ABC 的形状．a【解】令 sin A ＝ k ，由正弦定理得 a ＝ksin A ， b ＝ ksin B ，c ＝ksin C.sin A sin B sin C代入已知条件，得＝＝，即 tan A ＝ tan B ＝ tan C.又 A ， B ，C ∈(0，π)，∴A ＝B ＝C ，∴△ABC 为等边三角形．19．在△ ABC 中，∠ A ＝ 60°， sin B ＝2，a ＝3，求三角形中其余边与角的大小 . 【导学号： 33300005】ab【解】由正弦定理得 sin A ＝sin B ，1即 b ＝ a ·sin B ＝3×2 ＝ 3. sinA sin 60 °因为∠A ＝ 60 °，则∠B<120 ，°1又 sin B ＝ 2，asin C∴∠B ＝30 °，则∠C ＝ 90 °，则 c ＝ sin A ＝2 3.[ 能力提高 ]1．(2014 ·西高考江 )在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c.2sin 2B －sin 2A若 3a ＝ 2b ，则sin 2A的值为()1 1 A.9B.37C ．1D.2【分析】∵absin A＝sin B，sin B b∴ ＝ .sin Aab 3∵3a ＝ 2b ，∴a ＝2.sin B3 ∴ ＝ .sin A22sin 2B － sin 2A sinB 2 3 2∴sin 2A＝ 2sin A －1＝2× 2 －1 9 7＝2－1＝2.【答案】D2．在△ ABC 中，以下关系中必定建立的是 ()A ．a>bsin AB ． a ＝ bsin AC ．a<bsin AD ． a ≥ bsin Aab【分析】由正弦定理 sin A ＝sin B ，∴asin B ＝ bsin A ，在△ABC 中， 0<sinB ≤1，故 asin B ≤ a ，∴a ≥bsin A ．应选 D.【答案】D3．有一道解三角形的题目，因纸张损坏有一个条件模糊不清，详细以下：π“在△ ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知 a ＝ 3，B ＝4，________，π求角 A.”经推测， 损坏处的条件为三角形一边的长度， 且答案提示 A ＝6.(试在横线大将条件增补完好 )【分析】 分两种状况：(1)若损坏处的条件为边 b 的长度，则由 a ＝ b，sin A sin Bπ asin B 3sin 4得 b ＝ sin A ＝π ＝ 6；(2)若损坏处的条件为边 c 的长度，由 A ＋B ＋C ＝π，sin 6ππ7π3 2＋ 6B ＝4，A ＝6，知C ＝12，再运用正弦定理，得 c ＝2.【答案】 b ＝ 6或 c ＝ 3 2＋ 62．已知方程 2－bcos Ax ＋acos B ＝0 的两根之积等于两根之和，且a ，b 为4x△ ABC 的两边，∠ A 、∠ B 为 a 、 b 的对角，试判断△ ABC 的形状 . 【导学号：33300006】5＝ acos B，由题意得 bcos A＝acos B.由正弦定理得 2Rsin Bcos A＝2Rsin Acos B.∴sin Acos B－ cos Asin B＝ 0，即 sin(A－B)＝0.在△ABC 中， 0<∠A<π，0<∠B<π，－π<∠A－∠B<π.∴∠A－∠B＝0 即∠A＝∠B，∴△ABC 为等腰三角形 .。
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课时分层作业(一) 正弦定理
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．在△ABC 中，a ＝4，∠A ＝45°，∠B ＝60°，则边b 的值为( ) A ．3＋1 B ．23＋1 C ．2 6
D ．2＋2 3
C [由已知及正弦定理，得
4sin 45°＝b
sin 60°
，
∴b ＝4sin 60°
sin 45°＝4×
322
2
＝2 6.]
2．在△ABC 中，若a ＝2，b ＝23，∠A ＝30°，则∠B ＝( ) A ．60° B ．60°或120° C ．30° D ．30°或150°
B [由
a sin A ＝b
sin B
，得sin B ＝b sin A a ＝23sin 30°2＝3
2
.因为b ＞a ，所以∠B ＞∠A ，所以∠B ＝60°或∠B ＝120°.]
3．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
B [由题意有a sin A ＝b ＝b
sin B ，则sin B ＝1，即∠B 为直角，故△ABC 是直角三角形．]
4．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C ． 3
D ．32
2
B [在△AB
C 中，由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A ，所以AC ＝BC ·sin B
sin A
＝
32×
22
32＝2 3.]
5．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，∠A ＝60°，则cos B 等于( ) A ．－22
3
B ．223
C ．－
63
D ．
63
D [由正弦定理得15sin 60°＝10
sin B ，
∴sin B ＝10sin 60°15＝10×
3215＝3
3.
∵a >b ，∠A ＝60°，∴∠B 为锐角． ∴cos B ＝1－sin 2
B ＝1－⎝
⎛⎭
⎪⎫332
＝63.] 二、填空题
6．在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°，∠B ＝60°，则BC ＝_____. 3－ 3 [利用正弦定理BC sin A ＝AB
sin C ，
而∠C ＝180°－(∠A ＋∠B )＝75°， 故BC ＝
AB sin A sin C ＝3sin 45°
sin 75°
＝3－ 3.] 7．设△ABC 的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，C ．若a ＝3，sin B ＝12，∠C ＝π
6，
则b ＝________.
1 [在△ABC 中，∵sin B ＝1
2，0<∠B <π，
∴∠B ＝π6或∠B ＝5
6
π.
又∵∠B ＋∠C <π，∠C ＝π6，∴∠B ＝π6，∴∠A ＝π－π6－π6＝2
3π.
∵
a
sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B
sin A
＝1.] 8．在△ABC 中，若(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝sin 2
C ，则△ABC 的形状是________． 直角三角形 [由已知得sin 2
A －sin 2
B ＝sin 2
C ，根据正弦定理知sin A ＝a 2R ，sin B ＝b
2R ，
sin C ＝c
2R
，
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫c 2R 2
，
即a 2
－b 2
＝c 2
，故b 2
＋c 2
＝a 2.所以△ABC 是直角三角形．] 三、解答题
9．在△ABC 中，a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，判断△ABC 的形状． [解] 法一：∵a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b ·cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B ．
由正弦定理，得a ·a 2R ＝b ·b
2R ， ∴a 2
＝b 2
，∴a ＝b ， ∴△ABC 为等腰三角形．
法二：∵a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B ．
由正弦定理，得2R sin 2
A ＝2R sin 2
B ，即sin A ＝sin B ， ∴A ＝B (A ＋B ＝π不合题意，舍去)． 故△AB
C 为等腰三角形．
10．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长． [解] 设△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°， 则∠C ＝180°－(∠A ＋∠B )＝75°. 因为∠C >∠B >∠A ，所以最小边为A ． 又因为c ＝1，由正弦定理得，a ＝c sin A sin C ＝1×sin 45°
sin 75°
＝3－1， 所以最小边长为3－1.
[能力提升练]
1．在△ABC 中，下列关系一定成立的是( ) A ．a >b sin A B ．a ＝b sin A C ．a <b sin A
D ．a ≥b sin A
D [由正弦定理a sin A ＝b
sin B
，∴a sin B ＝b sin A ，在△ABC 中，0<sin B ≤1，故a sin
B ≤a ，∴a ≥b sin A ．故选D ．]
2．在△ABC 中，若3b ＝23a sin B ，cos A ＝cos C ，则△ABC 形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
C [由正弦定理知b ＝2R ·sin B ，a ＝2R ·sin A ， 则3b ＝23a ·sin B 可化为： 3sin B ＝23sin A ·sin B ．
∵0°<∠B <180°，∴sin B ≠0， ∴sin A ＝
32
， ∴∠A ＝60°或120°， 又cos A ＝cos C ， ∴∠A ＝∠C ，∴∠A ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．]
3．在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π
4
，tan A ＝2，则a ＝________.
210 [由tan A ＝2，得sin A ＝2cos A ．又由sin 2A ＋cos 2
A ＝1，得sin A ＝255.因为b
＝5，∠B ＝π4，根据a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin A sin B ＝25
2
2
＝210.]
4．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π
3，则∠C ＝________.
π2 [由正弦定理得：3sin
π3＝3sin B
， 所以sin B ＝1
2.
又a >b ，所以∠A >∠B ， 所以∠B ＝π
6
，
所以∠C ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝π
2
.]
5．已知△ABC 的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠A －∠C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求∠C ．
[解] 由∠A －∠C ＝90°，得∠A 为钝角且sin A ＝cos C ，利用正弦定理，a ＋c ＝2b 可变形为sin A ＋sin C ＝2sin B ，
又∵sin A ＝cos C ，
∴sin A ＋sin C ＝cos C ＋sin C ＝2sin(C ＋45°)＝2sin B ，又∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的内角，
故∠C ＋45°＝∠B 或(∠C ＋45°)＋∠B ＝180°(舍去)， 所以∠A ＋∠B ＋∠C ＝(90°＋∠C )＋(∠C ＋45°)＋∠C ＝180°. 所以∠C ＝15°.。