高二下数学同步测试(13)-互斥事件相互独立事件的概率
高二下学期数学期末复习(8) 互斥事件,相互独立事件的概率
高二下学期数学期末复习（8）互斥事件，相互独立事件的概率一．复习目标：理解互斥事件，相互独立事件的概念，能求互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验的概率．二．知识结构：1．事件的和：设,A B 是两个事件，那么A B +表示这样一个事件：在同一试验下，A 或B 中至少有一个 发生就表示它发生.它可以进一步推广，12n A A A +++表示这样一个事件，在同一试验中， 12,,,n A A A 中至少有一个发生就表示它发生.2．互斥事件与彼此互斥：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，其中必有一个发生的两个互斥事件叫对立事件. 一般地，如果事件12,,,n A A A 中任何两个都是互斥事件，那么说事件12,,,n A A A 彼此互斥.3．互斥事件有一个发生的概率：如果事件,A B 互斥，那么事件A B +发生的概率，等于事件,A B 分别发生的概率的和即 ()()()P A B P A P B +=+ .如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么事件12n A A A +++发生的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和.即 122()()()()n n P A A A P A P A P A +++=+++. 对立事件,A A 的和事件A A +是必然事件.即 ()()()1P A P A P A A +=+=.4．相互独立事件事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立 事件.设,A B 是两个事件，那么A B ⋅表示这样一个事件，它的发生表示A 与B 同时发生.5．相互独立事件发生的概率两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积.()()()P A BP A P B ⋅=⋅. 公式进一步推广：即122()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=.即：如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积.说明：①事件A 与B (不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算：()()()()P A B P A P B P A B +=+-⋅.②事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率 没有影响.6．独立重复试验.独立重复试验，是在同样的条件下重复地，各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某种事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.一般地，如果在一次试验中某件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为()(1)k k n k n n P k C P P -=-，()(1)k k n k n n P k C P P -=-可以看成二项式 [(1)]n P P -+的展开式中的第1k +项.三．基础训练：1．下列正确的说法是（ ） ()A 互斥事件是独立事件；()B 独立事件是互斥事件；()C 两个非不可能事件不能同时互斥与独立； ()D 若事件A 与B 互斥，则A 与B 独立.2．10张奖券中含有3张中奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率是（ ）()A 32100.70.3C ⨯⨯ ()B 1230.70.3C ⨯⨯()C 310 ()D 21733103A A A 3．某小组有成员3人，每人在一个星期中参加一天劳动，如果劳动日期可随机安排，则3人 在不同的3天参加劳动的概率为 （ ） ()A 73 ()B 353 ()C 4930 ()D 701 4．两个抽屉，各存放五个零件，使用时从任一抽屉中取一个，问过一段时间后第一个抽屉已 用完，则第二个抽屉还剩两个的概率是 ．四．例题分析：例1．证明“五局三胜”制(即比赛五局，先胜三局者为优胜者)是公平的比赛制度，即如果比 赛双方赢得每局是等可能的，各局比赛是独立进行的，则双方获胜的概率相同.例2．设一台机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，一周5 个工作日里无故障可获利润10万元，发生一次故障可获利5万元，发生两次故障没有利润，发生三次或三次以上故障就亏损2万元，求一周内平均获利多少？例3．一场篮球比赛到了最后5分钟，甲队比乙队少得5分．如果甲队全投3分球，则有8 次投篮机会．如果甲队全投2分球，则有3次投篮机会．假设甲队队员投3分球的命中率均为0.6，投2分球的命中率均为0.8，并且甲队加强防守，不给乙队投篮机会．问全投3分球与全投2分球这两种方案中选择哪一种甲队获胜的概率较大？五．课后作业： 班级 学号 姓名1．某地区的年降水量，在100～150毫米范围内的概率是0.15，在150～200毫米范围内的概 率是0.24，在200～250毫米范围内的概率是0.20，在250～300毫米范围内的概率是0.17， 则年降水量在200～300毫米范围内的概率是（ ） ()A 0.17 ()B 0.20 ()C 0.56 ()D 0.372．一批零件共100个，其中有95件合格品，5件次品，每次任取1个零件装配机器，若第2次 取到合格品的概率是2P ，第3次取到合格品的概率是3P ，则（ ） ()A 23P P > ()B 23P P = ()C 23P P < ()D 不能确定3．甲袋中装有白球3个，黑球5个，乙袋内装有白球4个，黑球6个，现从甲袋内随机抽取一 个球放入乙袋，充分掺混后再从乙袋内随机抽取一球放入甲袋，则甲袋中的白球没有减少的 概率为（ ） ()A 1437 ()B 4435 ()C 4425 ()D 449 4．推毁敌人一个工事，要命中三发炮弹才行，我炮兵射击的命中率是0.8.为了有95%的把握 摧毁工事，至少需要发射炮弹的个数是（ ） ()A 6 ()B 5 ()C 4()D 35．某气象局预报天气情况的准确率为0.9，那么一周内有五天准确的概率为 .6．10颗骰子同时掷出，共掷5次，至少有一次全部出现一个点的概率为 ．7．每周甲去某地的概率是41，乙去某地的概率是51，假定两人的行动之间没有影响，分别求下列事件发生的概率：(1)一周内甲、乙同去某地的概率；(2)一月内(以四周计)甲去某地的概率.8．甲、乙两人进行五打三胜制的象棋赛，若甲每盘胜率为53，乙每盘胜率为52(和棋不算)， 求：（1）比赛以甲比乙为3比0胜出的概率？（2）比赛以甲比乙为3比2胜出的概率？（3）比赛以乙比甲为3比1胜出的概率？。
高中数学条件概率和相互独立精选题目(附解析)
高中数学条件概率和相互独立精选题目（附解析）(1)条件概率的定义一般地，设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．(2)条件概率的性质①任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1.②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．(3)相互独立事件的概念设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．(4)相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．一、利用条件概率公式求条件概率1．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝A26＝30.根据分步乘法计数原理，有n(A)＝A14A15＝20，所以P(A)＝n(A)n(Ω)＝2030＝23.(2)因为n(AB)＝A24＝12，所以P(AB)＝n(AB)n(Ω)＝1230＝25.(3)法一：由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)＝P(AB)P(A)＝2523＝35.法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝n(AB)n(A)＝1220＝35.注:1．在题目条件中，若出现“在……发生的条件下……发生的概率”时，一般可认为是条件概率．2．条件概率的两种计算方法：(1)在原样本空间中，先计算P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝P(AB)P(A)计算求得P(B|A)；(2)若事件为古典概型，可利用公式P(B|A)＝n(AB)n(A)，即在缩小后的样本空间中计算事件B发生的概率．2．某个班级共有学生40人，其中团员有15人．全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员有4人．如果要在班内任选1人当学生代表．(1)求这个代表恰好在第一小组的概率；(2)求这个代表恰好是团员代表的概率；(3)求这个代表恰好是第一小组团员的概率；(4)现在要在班内任选1个团员代表，问这个代表恰好在第一小组的概率．解：设A＝{在班内任选1名学生，该学生属于第一小组}，B＝{在班内任选1名学生，该学生是团员}．(1)P(A)＝1040＝14.(2)P(B)＝1540＝38.(3)P(AB)＝440＝110.(4)法一：P (A |B )＝P (AB )P (B )＝11038＝415. 法二：P (A |B )＝n (AB )n (B )＝415. 3．某地区气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为( )A.8225B.12C.38D.34解析：选C 设A 为下雨，B 为刮风，由题意知P (A )＝415，P (B )＝215，P (AB )＝110，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝110415＝38.故选C. 4．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%，已知一学生数学不及格，则他的语文也不及格的概率是( )A.15B.310C.12D.13解析：选A 设A 为事件“数学不及格”，B 为事件“语文不及格”，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.030.15＝15，所以当数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为15. 5．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，另一个也是女孩的概率是( )A.14B.23C.12D.13解析：选D 一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．记事件A 为“其中一个是女孩”，事件B 为“另一个是女孩”，则A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB ＝{(女，女)}．于是可知，P(A)＝34，P(AB)＝14.问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P(B|A)，由条件概率公式，得P(B|A)＝P(AB)P(A)＝1434＝13.6．从写着数字0,1,2,3,4,5的六张卡片中抽取两张，则在其中一张是写着数字0的卡片的条件下，另一张写着数字为偶数的概率为________．解析：一张写着数字0的卡片的抽取情况为：(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，故另一张写着数字为偶数的概率为P＝2 5.答案：2 57.如图，一个正方形被平均分成9部分，向大正方形区域随机地投掷一点(每一次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P(A|B)，P(AB)．解：用μ(B)表示事件B所包含区域的面积，μ(Ω)表示大正方形区域的面积，由题意可知，P(AB)＝μ(AB)μ(Ω)＝19，P(B)＝μ(B)μ(Ω)＝49，P(A|B)＝P(AB)P(B)＝14.二、求互斥事件的条件概率1．在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次不放回地摸2个球，求在第一个球是红球的事件下，第二个球是黄球或黑球的概率．解：分别求出第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球和第二个球是黑球的概率．再用互斥事件概率公式得概率，也可用古典概型求概率．法一：设“摸出的第一个球是红球”是事件A，“摸出的第二个球是黄球”是事件B，“摸出的第二个球是黑球”是事件C，则P(A)＝1 10，P(AB)＝1×210×9＝145，P(AC)＝1×310×9＝130.∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝145110＝1045＝29，P(C|A)＝P(AC)P(A)＝130110＝13.∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝29＋13＝59.∴所求的条件概率为5 9.法二：∵n(A)＝1×C19＝9，n[(B∪C)∩A]＝C12＋C13＝5，∴P(B∪C|A)＝59.∴所求的条件概率为59.注：当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些较简单事件的概率，再利用P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得所求事件的概率，但应注意这个公式在“B与C互斥”这一前提下才成立．2．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为()A．0.72B．0.8C．0.9D．0.5解析：选A在种子发芽的条件下，成长为幼苗，所以为条件概率问题．设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗(发芽，又成活为幼苗)”为事件AB，则发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.根据条件概率公式得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.3．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________．解析：记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5.所以P (AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，即这个选手过关的概率为0.4.答案：0.44．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A.18 B.14 C.25 D.12解析：选B P(A)＝C23＋C22C25＝25，P(AB)＝C22C25＝110，由条件概率的计算公式得P(B|A)＝P(AB)P(A)＝11025＝14.故选B.5．从编号为1,2，…，10的10个大小、颜色、材质均相同的球中任取4个，在选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．解析：令事件A＝{选出的4个球中含4号球}，B＝{选出的4个球中最大号码为6}．依题意，知P(A)＝C39C410，P(AB)＝C24C410，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝C24C39＝114.答案：1 146．抛掷红、蓝两枚骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两枚骰子的点数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，两枚骰子的点数之和大于8的概率为多少？解：(1)设x为掷红骰子得到的点数，y为掷蓝骰子得到的点数，则所有可能的事件与点(x，y)一一对应，由题意作图(如图)．显然P(A)＝1236＝13，P(B)＝1036＝518，P(AB)＝536.(2)法一：P(B|A)＝n(AB)n(A)＝512.法二：P(B|A)＝P(AB)P(A)＝53613＝512.7．坛子里放着5个相同大小、相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．解：设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB.(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个鸭蛋的基本事件数为n(Ω)＝A25＝20.又n(A)＝A13×A14＝12.于是P(A)＝n(A)n(Ω)＝1220＝35.(2)因为n(AB)＝A23＝6，所以P(AB)＝n(AB)n(Ω)＝620＝310.(3)由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝31035＝12.三、事件相互独立性的判断1．下列每对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？(1)1 000张有奖销售的奖券中某张奖券是一等奖与该张奖券是二等奖；(2)甲，乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张，甲中奖与乙中奖；(3)甲组3名男生、2名女生，乙组2名男生、3名女生，现从甲，乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(4)容器内盛有5个白球和3个黄球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．解：(1)一张奖券不可能既是一等奖又是二等奖，即这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥事件．(2)由双色球的中奖规则可知，甲是否中奖对乙是否中奖没有影响，反之亦然，故它们是相互独立事件．(3)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，反之亦然，所以它们是相互独立事件．(4)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若前一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件，也不是互斥事件．注：(1)利用相互独立事件的定义(即P(AB)＝P(A)P(B))可以准确地判定两个事件是否相互独立；(2)判定两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件．2．从一副扑克牌(52张)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得红牌”，记事件C为“抽到J”．判断下列每对事件是否相互独立？为什么？(1)A与B；(2)C与A.解：(1)P(A)＝452＝113，P(B)＝2652＝12，事件AB即为“既抽得K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃K或方块K”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此事件A 与B 相互独立．(2) 事件A 与事件C 是互斥的，因此事件A 与C 不是相互独立事件．3．下列事件A ，B 是相互独立事件的是( )A ．一枚硬币掷两次，A ＝“第一次为正面”，B ＝“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A ＝“第一次摸到白球”，B ＝“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，A ＝“出现点数为奇数”，B ＝“出现点数为偶数”D ．A ＝“一个灯泡能用1 000小时”，B ＝“一个灯泡能用2 000小时” 解析：选A 把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A 是相互独立事件；B 中是不放回地摸球，显然A 事件与B 事件不相互独立；对于C ，其结果具有唯一性，A ，B 应为互斥事件；D 中事件B 受事件A 的影响．故选A.4．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A 1表示第一次取得白球，A 2表示第二次取得白球，则A 1和A 2是( )A ．互斥的事件B ．相互独立的事件C ．对立的事件D ．不相互独立的事件解析：选D P (A 1)＝35，若A 1发生，则P (A 2)＝24＝12；若A 1不发生，则P (A 2)＝34，即A 1发生的结果对A 2发生的结果有影响，故A 1与A 2不是相互独立事件．故选D.四、相互独立事件同时发生的概率1．甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14.求：(1)两人都能破译的概率；(2)两人都不能破译的概率；(3)恰有一人能破译的概率；(4)至多有一人能够破译的概率．解:设“甲能破译”为事件A ，“乙能破译”为事件B ，则A 、B 相互独立，从而A 与B －、A －与B 、A －与B －均相互独立．(1)“两人都能破译”为事件AB ，则P (AB )＝P (A )P (B )＝13×14＝112.(2)“两人都不能破译”为事件A －B －，则P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝12. (3)“恰有一人能破译”为事件(A B －)∪(A －B )，又A B －与A －B 互斥，所以P [(A B －)∪(A －B )]＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝512. (4)“至多一人能破译”为事件(A B －)∪(A －B )∪(A －B －)，且A B －、A －B 、A －B －互斥，故P [(A B －)∪(A －B )∪(A －B －)]＝P (A B －)＋P (A －B )＋P (A －B －)＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＋P (A －)P (B －)＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝1112.注：1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤：(1)首先确定各事件是相互独立的；(2)再确定各事件会同时发生；(3)先求每个事件发生的概率，再求其积．2．公式P (AB )＝P (A )P (B )可推广到一般情形，即如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．2．要制造一种机器零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05，从它们制造的产品中，各任意抽取一件，求：(1)其中至少有一件废品的概率；(2)其中恰有一件废品的概率； (3)其中至多有一件废品的概率； (4)其中没有废品的概率； (5)其中都是废品的概率．解：这两个机床的生产是相互独立的．设A ＝“从甲机床抽得的一件是废品”，B ＝“从乙机床抽得的一件是废品”，则P (A )＝0.04，P (A －)＝0.96，P (B )＝0.05，P (B －)＝0.95.由题意可知A 与B ，A 与B －，A －与B ，A －与B －都是相互独立的． (1)1－P (A －B －)＝1－P (A －)P (B －)＝1－0.96×0.95＝0.088.(2)P [(A －B )∪(A B －)]＝P (A －B )＋P (A B －)＝P (A －)P (B )＋P (A )P (B －)＝0.96×0.05＋0.04×0.95＝0.048＋0.038＝0.086.(3)法一：P [(A B －)∪(A －B )∪(A －B －)]＝P (A B －)＋P (A －B )＋P (A －B －)＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＋P (A －)P (B －)＝0.04×0.95＋0.96×0.05＋0.96×0.95＝0.998.法二：1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1－0.04×0.05＝0.998. (4)P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝0.96×0.95＝0.912. (5)P (AB )＝P (A )P (B )＝0.04×0.05＝0.002.3．从甲袋中模出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则23等于( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率解析：选C 分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A ，B ，则P (A )＝13，P (B )＝12，由于A ，B 相互独立，所以1－P (A －)P (B －)＝1－23×12＝23.根据互斥事件可知C 正确．4．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A.49B.29C.23D.13解析：选A “左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A ，则P (A )＝46＝23，“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事件B ，则P (B )＝46＝23，事件A 、B 相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49，故选A.5．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．解析：甲、乙两人都未能解决的概率为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝12×23＝13， 问题得到解决就是至少有1人能解决问题， ∴P ＝1－13＝23. 答案：13 236．甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)用X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的分布列．解：(1)令A 1表示第2局结果为甲获胜，A 2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判．则A＝A1·A2，P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝1 4.(2)X的所有可能取值为0,1,2.B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，则P(X＝0)＝P(B1B2B－3)＝P(B1)P(B2)P(B－3)＝1 8，P(X＝2)＝P(B－1B3)＝P(B－1)P(B3)＝1 4，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝5 8.故X的分布列为五、相互独立事件的综合应用1．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响．(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．(3)用X表示甲、乙、丙三人在计算机考试后获合格证书的人数，求X的分布列．解：(1)设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则P(A)＝45×12＝25，P(B)＝34×23＝12，P(C)＝23×56＝59.因为P (C )>P (B )>P (A )，所以丙获得合格证书的可能性最大． (2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，则 P (D )＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC ) ＝25×12×49＋25×12×59＋35×12×59＝1130. (3)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝35×12×49＝215，P (X ＝2)＝P (D )＝1130， P (X ＝3)＝25×12×59＝19，P (X ＝1)＝25×12×49＋35×12×49＋35×12×59＝718. 所以X 的分布列为注：求某些事件的概率时，应首先确定事件之间的关系，即两事件是互斥事件或对立事件，还是相互独立事件，然后再判断事件发生的情况，最后确定是利用和事件概率公式还是积事件概率公式进行概率计算．2．甲、乙两名篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116.(1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．解：(1)设“甲投一次球命中”为事件A ，“乙投一次球命中”为事件B .由题意得P (B －)P (B －)＝116，解得P (B －)＝14或P (B －)＝－14(舍去)，故p ＝1－P (B －)＝34，所以乙投球的命中率为34.(2)法一：由题设知，P (A )＝12，P (A －)＝12，故甲投球2次，至少命中1次的概率为1－P (A －·A －)＝1－P (A －)P (A －)＝34. 法二：由题设知，P (A )＝12，P (A －)＝12，故甲投球2次，至少命中1次的概率为2P (A )P (A －)＋P (A )P (A )＝34. 3．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，灯亮的概率为( )A.316B.34C.1316D.14解析：选C 记A ，B ，C ，D 这4个开关闭合分别为事件A ，B ，C ，D ，又记A 与B 至少有一个不闭合为事件E －，则P (E －)＝P (A B －)＋P (A －B )＋P (A －B －)＝34，则灯亮的概率为P ＝1－P (E －C －D －)＝1－P (E －)P (C －)P (D －)＝1－316＝1316.4．已知甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球．现从两袋中各取2个球，则取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为________．解析：记“从甲袋中取得2个白球”为事件A ，“从乙袋中取得1个黑球和1个白球”为事件B ，则P (AB )＝P (A )P (B )＝C 23C 27·C 15C 14C 29＝563.记“从甲袋中取得1个黑球和1个白球”为事件C ，“从乙袋中取得2个白球”为事件D ，则P (CD )＝P (C )P (D )＝C 13C 14C 27·C 25C 29＝1063.所以取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为563＋1063＝1563＝521.答案：5215．设两个相互独立事件A 与B ，若事件A 发生的概率为p ，B 发生的概率为1－p ，则A 与B 同时发生的概率的最大值________．解析：事件A 与B 同时发生的概率为p (1－p )＝p －p 2(p ∈[0,1])，当p ＝12时，最大值为14.答案：146．某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率； (2)求这名同学至少得300分的概率．解：记“这名同学答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.7，P (A 3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率P 1＝P (A 1A －2A 3)＋P (A －1A 2A 3)＝P (A 1)P (A －2)P (A 3)＋P (A －1)P (A 2)P (A 3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.(2)这名同学至少得300分的概率P 2＝P 1＋P (A 1A 2A 3)＝0.228＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.巩固练习:1．下列说法正确的是( ) A ．P (B |A )＜P (AB ) B ．P (B |A )＝P (B )P (A )是可能的 C ．0＜P (B |A )＜1 D ．P (A |A )＝0 解析：选B 由条件概率公式P (B |A )＝P (AB )P (A )及0＜P (A )≤1知P (B |A )≥P (AB )，故A 错误；当事件A 包含事件B 时，有P (AB )＝P (B )，此时P (B |A )＝P (B )P (A )，故B 正确；由于0≤P (B |A )≤1，P (A |A )＝1，故C ，D 错误，故选B.2．某个班级共有学生40人，其中有团员15人．全班共分成4个小组，第一小组有学生10人，其中团员x 人，如果要在班内选一人当学生代表，在已知该代表是团员的条件下，这个代表恰好在第一小组内的概率是415，则x 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 设A ＝{在班内任选一个学生，该学生属于第一小组}，B ＝{在班内任选一个学生，该学生是团员}．则由已知P (AB )＝x 40，P (B )＝1540，P (A |B )＝P (AB )P (B )＝415.所以x401540＝415.所以x ＝4.3．在区间(0,1)内随机投掷一个点M (其坐标为x )，若A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |14＜x ＜34，则P (B |A )等于( )A.12B.14C.13D.34解析：选A P (A )＝121＝12.因为A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |14＜x ＜12，所以P (AB )＝141＝14，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12. 4．设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为15，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为13，则事件A 发生的概率为________．解析：∵P (AB )＝15，P (B |A )＝13，∴P (A )＝P (AB )P (B |A )＝1513＝35.答案：355．高三毕业时，小红、小鑫、小芸等五位同学站成一排合影留念，已知小红、小鑫二人相邻，则小鑫、小芸相邻的概率是________．解析：设“小红、小鑫二人相邻”为事件A ，“小鑫、小芸二人相邻”为事件B ，则所求概率为P (B |A )，而P (A )＝2A 44A 55＝25，AB 表示事件“小鑫与小红、小芸都相邻”，故P (AB )＝2A 33A 55＝110，于是P (B |A )＝11025＝14.答案：146．将三颗骰子各掷一次，记事件A 表示“三个点数都不相同”，事件B 表示“至少出现一个2点”，则P (A |B )＝________.解析：由题意，得P (B )＝1－5×5×56×6×6＝91216，P (AB )＝5×4×C 136×6×6＝518，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝6091. 答案：60917．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为79.(1)求白球的个数；(2)现从中不放回地取球，每次取1个球，取2次，已知第1次取得白球，求第2次取得黑球的概率．解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A ，记袋中白球个数为x .则P (A )＝1－C 210－xC 210＝79，解得x ＝5，即白球的个数为5.(2)记“第1次取得白球”为事件B ，“第2次取得黑球”为事件C ，则P (BC )＝C 15C 110×C 15C 19＝2590＝518，P (B )＝C 15C 15＋C 15C 14C 110C 19＝25＋2090＝12.P (C |B )＝P (BC )P (B )＝51812＝59.8．任意向x 轴上(0,1)这一区间内掷一个点． (1)该点落在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13内的概率是多少？ (2)在(1)的条件下，求该点落在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫15，1内的概率．解：(1)记“该点落在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13内”为事件A ，由几何概型的概率计算公式，可知P (A )＝131＝13.(2)记“该点落在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫15，1内”为事件B ，则P (AB )＝13－151＝215， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝21513＝25，故在(1)的条件下，该点落在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫15，1内的概率为25.9.如图所示，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576解析：选B 法一：由题意知，K ，A 1，A 2正常工作的概率分别为P (K )＝0.9，P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.8.因为K ，A 1，A 2相互独立，所以A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为P (A －1A 2)＋P (A 1A －2)＋P (A 1A 2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96，所以系统正常工作的概率为P (K )[P (A －1A 2)＋P (A 1A －2)＋P (A 1A 2)]＝0.9×0.96＝0.864.故选B. 法二：A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为 1－P (A －1A －2)＝1－(1－0.8)×(1－0.8)＝0.96.所以系统正常工作的概率为P (K )[1－P (A －1A －2)]＝0.9×0.96＝0.864.故选B. 10．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，则他第3次拨号才接通电话的概率为( )A.114B.79C.110D.29解析：选C 设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1,2,3，第3次拨号才接通电话可表示为A －1A －2A 3，显然，A －1，A －2，A 3相互独立，所以P (A －1A －2A 3)＝910×89×18＝110.11．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( )A.19B.16C.13D.718解析：选D 设汽车在甲、乙、丙三处通行分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝23.停车一次即为事件A －BC ＋A B －C ＋AB C －，故其概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12×23＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×23＋13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝718.12.在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片跳到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 片上，则跳三次之后停在A 片上的概率是( )A.13B.29C.49D.827解析：选A 由题意知逆时针方向跳的概率为23，顺时针方向跳的概率为13，青蛙跳三次要回到A 只有两条途径：第一条，按A →B →C →A ，P 1＝23×23×23＝827；第二条，按A →C →B →A ，P 2＝13×13×13＝127，所以跳三次之后停在A 上的概率为P 1＋P 2＝827＋127＝13.13．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗卫星预报准确的概率是________．解析：设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A ，B ，C ，不准确记为事件A －，B －，C －，则P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.9，P (A －)＝0.2，P (B －)＝0.3，P (C －)＝0.1，至少两颗卫星预报准确的事件有AB C －，A B －C ，A －BC ，ABC ，这四个事件两两互斥．∴至少两颗卫星预报准确的概率为P ＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＋P (ABC )＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.答案：0.90214．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．解析：由已知条件知，第2个问题答错，第3、4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A ，则P (A )＝0.8，故P ＝P [(A ＋A －)A －AA ]＝[1－P (A )]·P (A )P (A )＝0.128.答案：0.12815．已知A ，B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A 有效的白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A 有效的概率为23，服用B 有效的概率为12.(1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率．解：(1)设A i 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0,1,2.B i 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0,1,2.据题意有：P (A 1)＝2×13×23＝49，P (A 2)＝23×23＝49，P (B 0)＝12×12＝14，P (B 1)＝2×12×12＝12.所求概率为P (B 0A 1)＋P (B 0A 2)＋P (B 1A 2)＝14×49＋14×49＋12×49＝49.(2)所求概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－493＝604729. 16．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门课的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．(1)求学生小张选修甲的概率；(2)记“函数f (x )＝x 2＋ξx 为R 上偶函数”为事件A ，求事件A 的概率；(3)求ξ的分布列．解：(1)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x ，y ，z ，则⎩⎨⎧ x (1－y )(1－z )＝0.08，xy (1－z )＝0.12，(1－x )(1－y )(1－z )＝0.12，解得⎩⎨⎧ x ＝0.4，y ＝0.6，z ＝0.5.所以学生小张选修甲的概率为0.4.(2)若函数f (x )＝x 2＋ξx 为R 上的偶函数，则ξ＝0.当ξ＝0时，表示小张选修三门课或三门课都不选，所以P (A )＝P (ξ＝0)＝xzy ＋(1－x )(1－y )(1－z )＝0.4×0.6×0.5＋(1－0.4)(1－0.6)(1－0.5)＝0.24，即事件A 的概率为0.24.(3)根据题意，知ξ可能的取值为0,2，P (ξ＝0)＝0.24.根据分布列的性质，知P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)＝0.76.所以ξ的分布列为。
相互独立事件的概率-学易试题君之每日一题君2018学年下学期高二数学(理)人教版(课堂同步系列二)
1 5月10日 相互独立事件的概率
高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆
现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，小明同学从中任取3道题解答．
（Ⅰ）求小明同学至少取到1道乙类题的概率；学=科网
（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．若小明同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45
，且各题答对与否相互独立．求小明同学至少答对2道题的概率． 【参考答案】(Ⅰ) ()56P A =
；(Ⅱ) ()()()93223125P X P X P X ≥==+==. 【试题解析】(Ⅰ)记“小明同学至少取到1道乙类题”为事件A ， 则()()36310C 511C 6
P A P A =-=-=. 则小明同学至少取到1道乙类题的概率为56
.
【解题必备】事件的相互独立性是高考考查的重点．解题时应注意：
（1）需分清事件与事件之间的关联，判断事件是否相互独立；
（2）熟记“A ，B 中至少有一个发生的事件为A
B ；都发生的事件为AB ；都不发生的事件为AB ；恰有一个发生的事件为(AB )(AB )；至多有一个发生的事件为(AB )(AB )()AB ；。
互斥事件、相互独立事件的概率单元练习题
§11.2 互斥事件、相互独立事件的概率一、选择题：一、选择题：1．若1)(=+B A P ，则事件A A 与与B B 的关系是（的关系是（的关系是（ ））A ．A A 、、B B 是互斥事件是互斥事件是互斥事件 B B B．．A A 、、B B 是对立事件是对立事件是对立事件C ．A A 、、B B 不是互斥事件不是互斥事件不是互斥事件D D D．以上都不对．以上都不对．以上都不对2．两个事件对立是这两个事件互斥的（ ））A ．充分但不是必要条件．充分但不是必要条件B B．必要但不是充分条件．必要但不是充分条件．必要但不是充分条件C ．充分必要条件．充分必要条件D D．既不充分又不必要条件．既不充分又不必要条件．既不充分又不必要条件3．今有光盘驱动器50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为（现二级品的概率为（ ））A ．35035C CB B．．350352515C C C C ++ C C．．3503451C C -D D．．3501452524515C C C C C + 4．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射一个目标，则他们都中靶的概率是（一个目标，则他们都中靶的概率是（ ））A ．1514B B．．2512C C．．43D D．．53 5．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品若生产中出现乙级品的概率为0.030.03，，丙级品的概率为0.010.01，，则对成品抽查一件抽得正品的概率为（ ））A ．0.99B B．．0.98C ．0.97D D．．0.966．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A 型的，乙盒中有240个上螺母，其中有180个A 型的，现从甲、乙两盒中各任取一个，则能配成A 型的螺栓概率为（ ））． A ．201 B.1615 C C．．53 D ．2019 7．流星穿过大气层落在地面上的概率为0.0020.002，则流星数量为，则流星数量为10个的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率约为（个落在地面上的概率约为（ ））A ．51032.3-´B ．81032.3-´C ．51064.6-´D ．81064.6-´8．有10门炮同时向目标各发射一发炮弹，如果每门炮的命中率都是0.10.1，则目，则目标被击中的概率约为（标被击中的概率约为（ ））. 则乘客期待电车首先停靠的概率等于 .18.A 、B 、C 、D 、E 五人分四本不同的书，每人至多分一本，求：（1）A 不分甲书,B 不分乙书的概率. （2）甲书不分给A 、B ，乙书不分给C 的概率. 19.19.从从1，2，3，…，，…，100100这100个数中，随机取出两个数，求其积是3的倍数的概率概率2020．两台机床加工同样的零件，第一台出废品的概率是．两台机床加工同样的零件，第一台出废品的概率是0.03 0.03 ，第二台出废品的，第二台出废品的概率是0.02 0.02 ．加工出来的零件堆放在一起．若第一台加工的零件是第二台加工．加工出来的零件堆放在一起．若第一台加工的零件是第二台加工的零件的2倍，求任意取出的零件是合格品的概率．21.21.学校文艺队每个成员，唱歌、跳舞至少会一门．已知会唱歌的有学校文艺队每个成员，唱歌、跳舞至少会一门．已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人现从中选3人，至少要有一人既会唱歌又会跳舞的概率是2116 ，求该队的人数．队的人数．22.22.对贮油器进行对贮油器进行8次独立射击，若第一次命中只能使汽油流出而不燃烧，第二次命中才能使汽油燃烧起来．每次射击命中目标的概率为0.20.2，求汽油燃烧起来，求汽油燃烧起来的概率．的概率．某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买 0 元 元的概率 43，甲、丙，甲、丙 两人都做错的概率是1，乙、丙两人都做对的概率是1。
高中数学同步练习 事件的独立性
第二章 2.2 2.2.2A 级 基础巩固一、选择题1．如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( A )A ．49 B ．29 C ．23D ．13[解析] 设A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”,则P(A)＝23,B 表示“第二个圆盘的指针落在奇数据在的区域”,则P(B)＝23.故P(AB)＝P(A)·P(B)＝23×23＝49．2．张老师上数学课时,给班里同学出了两道选择题,他预估做对第一道题的概率是0.80,做对两道题的概率是0.60,则预估计做对第二道题的概率是( B )A ．0.80B ．0.75C ．0.60D ．0.48[解析] 设事件A i (i ＝1,2)表示“做对第i 道题”,A 1,A 2相互独立,由已知得：P(A 1)＝0.8,P(A 1A 2)＝0.6,由P(A 1A 2)＝P(A 1)·P (A 2)＝0.8P(A 2)＝0.6, 解得：P(A 2)＝0.60.8＝0.75．3．如图,用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时,系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为( B )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576[解析] P ＝0.9×[1－(1－0.8)2]＝0.864．4．甲射手击中靶心的概率为13,乙射手击中靶心的概率为12,甲、乙两人各射一次,那么56等于( D )A ．甲、乙都击中靶心的概率B ．甲、乙恰好有一人击中靶心的概率C ．甲、乙至少有一人击中靶心的概率D ．甲、乙不全击中靶心的概率[解析] 设“甲、乙两人都击中靶心”为事件A,则P(A)＝13×12＝16,甲、乙不全击中靶心的概率为P(A )＝1－P(A)＝56．5．甲、乙两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( B )A ．12B ．512C ．14D ．16[解析] 所求概率为23×14＋13×34＝512或P ＝1－23×34－13×14＝512．6．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学,每天上课后独立完成6道自我检测题,甲及格的概率为45,乙及格的概率为35,丙及格的概率为710,三人各答一次,则三人中只有一人及格的概率为( C ) A ．320 B ．42135 C ．47250D ．1735[解析] 利用相互独立事件同时发生及互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率为：45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×710＝47250.故选C ． 二、填空题7．在某道路A 、B 、C 三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这个道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为__35192__．[解析] 由题意知每个交通灯开放绿灯的概率分别为512、712、34． ∴所求概率P ＝512×712×34＝35192．8．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型,在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个,能配成A 型螺栓的概率为__35__．[解析] 从甲盒内取一个A 型螺杆记为事件M,从乙盒内取一个A 型螺母记为事件N,因事件M,N 相互独立,则能配成A 型螺栓(即一个A 型螺杆与一个A 型螺母)的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝160200×180240＝35．9．同学甲参加某科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5,且各题答对与否相互之间没有影响,则同学甲得分不低于300分的概率是__0.46__．[解析] 设“同学甲答对第i 个题”为事件A i (i ＝1,2,3),则P(A 1)＝0.8,P(A 2)＝0.6,P(A 3)＝0.5,且A 1,A 2,A 3相互独立,同学甲得分不低于300分对应事件A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3发生,故所求概率为P ＝P(A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3)＝P(A 1A 2A 3)＋P(A 1A 2A 3)＋P(A 1A 2A 3)＝P(A 1)P(A 2)P(A 3)＋P(A 1)P(A2)P(A 3)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46． 三、解答题10．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112.甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29．(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率．[解析] (1)设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．由题设条件有⎩⎪⎨⎪⎧ P (A B )＝14，P (B C )＝112，P (AC )＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧P (A )·[1－P (B )]＝14， ①P (B )·[1－P (C )]＝112， ②P (A )·P (C )＝29. ③由①、③得P(B)＝1－98P(C),代入②得27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0． 解得P(C)＝23或 119(舍去)．将P(C)＝23分别代入③、②可得P(A)＝13、P(B)＝14,即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13、14、23．(2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的事件,则P(D)＝1－P(D )＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的概率为56．B 级 素养提升一、选择题1．荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一片荷叶跳到另一个荷叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示．假设现在青蛙在A 荷叶上,则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是( A )A ．13B ．29C ．49D ．827[解析] 由已知逆时针跳一次的概率为23,顺时针跳一次的概率为13.则逆时针跳三次停在A 上的概率为P 1＝23×23×23＝827,顺时针跳三次停在A 上的概率为P 2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 上的概率为P＝P 1＋P 2＝827＋127＝13．2．甲、乙两人独立地解决同一个问题,甲能解决这个问题的概率是P 1,乙能解决这个问题的概率是P 2,那么至少有一人能解决这个问题的概率是( D )A ．P 1＋P 2B ．P 1P 2C ．1－P 1P 2D ．1－(1－P 1)(1－P 2)[解析] 甲能解决这个问题的概率是P 1,乙能解决这个问题的概率是P 2, 则甲不能解决这个问题的概率是1－P 1,乙不能解决这个问题的概率是1－P 2,则甲、乙都不能解决这个问题的概率是(1－P 1)(1－P 2),则至少有一人能解决这个问题的概率是1－(1－P 1)(1－P 2),故选D ．二、填空题3．本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算),有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14,12,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12,14；两人租车时间都不会超过四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为__516__ ． [解析] 由题意得,甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14,14．设甲,乙两人所付的租车费用相同为事件A, 则P(A)＝14×12＋12×14＋14×14＝516,即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516．4．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1,x 2,x 3,其概率依次成等差数列,则公差d 的取值范围是__⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13__．[解析] 由条件知,⎩⎪⎨⎪⎧P (ξ＝x 3)＋P (ξ＝x 1)＝2P (ξ＝x 2)P (ξ＝x 1)＋P (ξ＝x 2)＋P (ξ＝x 3)＝1,∴P(ξ＝x 2)＝13,∵P(ξ＝x i )≥0,∴公差d 取值满足－13≤d≤13．三、解答题5．某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6、0.4、0.5、0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手被淘汰的概率；(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率． [解析] 记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件A i (i ＝1,2,3,4),则P(A 1)＝0.6, P(A 2)＝0.4,P(A 3)＝0.5, P(A 4)＝0.2．(1)解法一：该选手被淘汰的概率：P ＝P(A 1∪A 1A 2∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3A 4)＝P(A 1)＋P(A 1)P(A 2)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)P(A 4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976．解法二：P ＝1－P(A 1A 2A 3A 4)＝1－P(A 1)P(A 2)P(A 3)·P(A 4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976．(2)解法一：P ＝P(A 1A2∪A 1A 2A3∪A 1A 2A 3A 4)＝P(A 1)·P(A 2)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)P(A 4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576．解法二：P ＝1－P(A 1)－P(A 1A 2A 3A 4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576．6．甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6道题,乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试,至少答对2道题才算合格．(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．[解析] (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B,则P(A)＝C 26C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23, P(B)＝C 28C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415． (2)解法一：因为事件A 、B 相互独立,所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P ＝P(A B )＋P(A B)＋P(AB)＝P(A)·P(B )＋P(A )·P(B)＋P(A)·P(B)＝23×115＋13×1415＋23×1415＝4445． 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445．解法二：因为事件A 、B 相互独立,所以甲、乙两人考试均不合格的概率为P(A B )＝P(A )·P(B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1415＝145．所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ＝1－P(A B )＝1－145＝4445．答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445．。
第48讲 互斥与独立事件的概率、条件概率(原卷+解析)-高考数学二轮复习
第48讲 互斥与独立事件的概率、条件概率一、知识与方法1 互斥事件不可能同时发生的两个事件叫互斥事件(互斥事件也叫作互不相容事件); 从集合角度来看, ,A B 两个事件互斥,则表示,A B 这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集. 2 互圧事件的概率加法公式若事件 ,A B 互斥,则和事件“A B ⋃”发生的概率等于事件,A B 分别发生的概率之和, 即 ()()()P AB P A P B =+. 概率的加法公式可以推广到有限个事件的情形,若事件12,,,nA A A两两互斥,则有公式()()()()1212:.n n P A A A P A P A P A =+++3 相互独立事件事件A 或B 是否发生,它们相互之间没有影响,那么称事件A 和B 相互独立,把这样的两个事件叫作相互独立事件. 4 相互独立事件的概率乘法公式若事件,A B 相互独立,则积事件“A B ⋅” 发生的概率等于事件A B 、分别发生的概率之积, 即 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅.概率的乘法公式也可以推广到有限个事件的情形,若事件 12,,,n A A A 两两相互独立,则有公式:()()()()()123123n n P A A A A P A P A P A P A ⋅=⋅5 条件概率对于任何两个事件A 和B ,在已知事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率叫作条件概率,用符号()|P B A 来表示. 6 条件概率公式()()()|P A B P B A P A =, 其中 ()0,P A >AB 称为事件A 与B 的交(或积).7 独立重复试验将只有两种可能性的试验独立地重复n 次, 叫作独立重复试验,独立重复试验中,每次试验的结果与其他各次试验的结果无关, 即事件A 发生的概率()P A 在整个系列试验中一直保持不变.8 独立重复试验的概率如果在一次试验中,事件A 发生的概率为p ,事件A 不发生的概率为1p -, 那么在n 次独立重复试验中事件A 发生r 次的概率为()C (1).rn rn n p r p p -='- 这个概率也称为二项概率, 因为C (1)r n n p p -'-恰好是二项式()[1]n p p +-中含 rp 的项.二、典型例题【例1】 掷红、蓝两颗骰子,观察出现的点数,求至少有一颗骰子出现偶数点的概率.【例2】设b 和c 分别是先后拋掷一枚骨子得到的点数,用随机变量ξ表示方程2x bx ++0c =实根的个数(重根按一个计).(1)求方程20x bx c ++=有实根的概率;(2) 求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下,方程20x bx c ++=有实根的 概率.n且n∈N)和 5 个白球,一次摸奖从中摸 2 个球,2 【例3】一个口袋中装有n个红球(5个球颜色不同则为中奖.(1) 试用n表示一次摸奖中奖的概率p；n=,求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率;(2) 若5(3) 记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为p,当n取多大时, p最大?三、易错警示【例】袋中有4 个球,包括2 个红球,1个黄球和 1 个白球,每次任取1 个球,有放回地取4 次,求无红球或无黄球的概率.四、难题攻略【例】甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是23和34, 假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响.(1) 求甲射击4 次,至少有1 次未击中目标的概率;(2) 求两人各射击4 次,甲恰好击中目标2 次且乙恰好击中目标3 次的概率;（3）假设某人连续2 次未击中目标,则终止其射击,问:乙恰好射击5 次后,被终止射击的概率是多少?五、强化训练1 11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分, 当某局打成 10:10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束,甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4, 各球的结果相互独立,在某局双方10:10 平后, 甲先发球, 两人又打了x 个球,该局比赛结束. (1) 求()2P x =;(2) 求事件“4x =且甲获胜”的概率.2 如图 74,EFGH -是以O 为圆心,半径为1的圆的内接正方形, 将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”,B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分) 内”, 则 ()|P B A = ____________.图 74-3 A B 、两人拿两颗骰子做抛掷游戏,规则如下:若掷出的点数之和是3的倍数,则由原掷骰子的人继续掷;若掷出的点数之和不是3的倍数,就由对方接着掷,第一次由A 开始掷,设第n 次由A 掷的概率为n P , 求n P 的表达式(用 n 表示).第48讲 互斥与独立事件的概率、条件概率一、知识与方法1 互斥事件不可能同时发生的两个事件叫互斥事件(互斥事件也叫作互不相容事件); 从集合角度来看, ,A B 两个事件互斥,则表示,A B 这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集. 2 互圧事件的概率加法公式若事件 ,A B 互斥,则和事件“A B ⋃”发生的概率等于事件,A B 分别发生的概率之和, 即 ()()()P AB P A P B =+. 概率的加法公式可以推广到有限个事件的情形,若事件12,,,nA A A两两互斥,则有公式()()()()1212:.n n P A A A P A P A P A =+++3 相互独立事件事件A 或B 是否发生,它们相互之间没有影响,那么称事件A 和B 相互独立,把这样的两个事件叫作相互独立事件. 4 相互独立事件的概率乘法公式若事件,A B 相互独立,则积事件“A B ⋅” 发生的概率等于事件A B 、分别发生的概率之积, 即 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅.概率的乘法公式也可以推广到有限个事件的情形,若事件 12,,,n A A A 两两相互独立,则有公式:()()()()()123123n n P A A A A P A P A P A P A ⋅=⋅5 条件概率对于任何两个事件A 和B ,在已知事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率叫作条件概率,用符号()|P B A 来表示. 6 条件概率公式()()()|P A B P B A P A =, 其中 ()0,P A >AB 称为事件A 与B 的交(或积).7 独立重复试验将只有两种可能性的试验独立地重复n 次, 叫作独立重复试验,独立重复试验中,每次试验的结果与其他各次试验的结果无关, 即事件A 发生的概率()P A 在整个系列试验中一直保持不变.8 独立重复试验的概率如果在一次试验中,事件A 发生的概率为p ,事件A 不发生的概率为1p -, 那么在n 次独立重复试验中事件A 发生r 次的概率为()C (1).rn rn n p r p p -='- 这个概率也称为二项概率, 因为C (1)r n n p p -'-恰好是二项式()[1]n p p +-中含 rp 的项.二、典型例题【例1】 掷红、蓝两颗骰子,观察出现的点数,求至少有一颗骰子出现偶数点的概率. 【分析】()P A B +即事件A B 、至少有一个发生的概率.在A 与B 互斥时, ()()()P A B P A P B =+;在A 与B 相互独立时, ()()()()P AB P A P B P A B =+-= ()()()()P A P B P A P B +-.【解析】设事件A 为“红骰子出现偶数点”,事件B 为“蓝骰子出现偶数点”,事件C 为“至少一颗骰子出现偶数点”.显然,事件A 与B 不是互斥的,设事件D 为“两颗骰子同时出现偶数点”,则D A B =.掷两颗骰子出现点数总的结果是1166C C 36.=“红骰子出现偶数点”的结果是1136C C 18=,()1836P A =; “蓝骰子出现偶数点”的结果是1136C C 18=,()1836P B =;“两颗骰子都出现偶数点”的结果是1133C C 9=,()936P D =.“至少一颗骰子出现偶数点”的结果是 ()()()()P C P A P B P A B =+-18189273.363636364=+-==【例2】设b 和c 分别是先后拋掷一枚骨子得到的点数,用随机变量ξ表示方程2x bx ++0c =实根的个数(重根按一个计).(1)求方程20x bx c ++=有实根的概率;(2) 求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下,方程20x bx c ++=有实根的 概率. 【分析】必须注意鉴别概率模型：“点数"为离散型,故原则上是古典概型. 对于第(1)问, 可分解成互斥事件概率;对于第 (2)问, 显然可归结为条件概率模型. 【解析】(1) 由题意知 : 设基本事件空间为Ω, 记“方程 20x bx c ++= 没有实根”为事件A , "方程20x bx c ++=有且仅有一个实根”为事件B ,“方程20x bx c ++=有两个相异实根"为事件C , 则(){}Ω,,1,2,,6b c b c ==∣,(){}2,40,,1,2,,6A b c b c b c =-<=∣, (){}2,40,,1,2,,6B b c b c b c =-==∣, (){}2,40,,1,2,,6.C b c b c b c =->=∣Ω∴中的基本事件总数为 36 个, A 中的基本事件总数为17个, B 中的基本事件总数为 2个, C 中的基本事件总数为 17 个.又B ,C 是互斥事件,故所求概率为()()21719363636P P B P C =+=+=. （2）记“先后两次出现的点数中有 5 ”为事件D ,“方程20x bx c ++=有实根”为事件E , 由上面分析得()1136P D =，()736P D E =，()()()7|11P D E P E D P D ∴==. 【例3】一个口袋中装有n 个红球 (5n 且n ∈N )和 5 个白球,一次摸奖从中摸 2 个球,2 个球颜色不同则为中奖.(1) 试用n 表示一次摸奖中奖的概率 p ；(2) 若5n =,求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率;(3) 记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为p ,当n 取多大时, p 最大? 【分析】本例是独立重复试验,注意第(2)、第(3)问中“每次摸奖后放回"的情 况. 第(3)问可考虑运用基本不等式求最值. 【解析】（1）一次摸奖从5n +个球中任选两个,有25C n +种, 其中两球不同色有115C C n 种.一次摸奖中奖的概率()()11525C C 10.C 54n n np n n +==++(2) 若5n =,一次摸奖中奖的概率5.9p =三次摸奖是独立重复试验,三次摸奖(每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是()1233801C (1)243p p p =-=.（3）设每次摸奖中奖的概率为(01)p p <<, 则三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为()()()()()31233211111C (1)211663p p p P P p p p p p ⎡⎤+-+-==-=⨯--⎢⎥⎣⎦. 当且仅当21p p =-，即13p =时，P 取得最大值.又()()101543n p n n ==++时， 解得20n =，即20n =时，max 481P =.三、易错警示【例】袋中有 4 个球,包括 2 个红球,1个黄球和 1 个白球,每次任取 1 个球,有放回地取 4 次,求无红球或无黄球的概率. 【错解】记“有红球"为事件A ,“有黄球”为事件B ,则“无红球或无黄球"为事件AB .()4111216A P ⎫⎛=-= ⎪⎝⎭，()41811.4256P B ⎫⎛=-= ⎪⎝⎭因此, 所求的概率为 ()()()18197:.16256256P AB P A P B =+=+= 【评析与正解】 加法公式()()()P AB P A P B =+成立的条件是A 和B 是两个斥事件,而题设中“无红球”与“无黄球”不是互斥事件, 因为每次任取 1 个球, 有放回地取 4 次, 可能取出的都是白球,这样 A 与 B 同时发生,它们不互斥. 【正确的解法】如下： 在求()P AB 时,还应该减去取出的可能都是白球, 即AB 的情形, 因此,所求概率为:()()()()41811963:1625642568P AB P A P B P AB ⎫⎛=+-=+-== ⎪⎝⎭.四、难题攻略【例】甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是23和34, 假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响. (1) 求甲射击 4 次,至少有 1 次未击中目标的概率;(2) 求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率;（3）假设某人连续 2 次未击中目标,则终止其射击,问:乙恰好射击 5 次后,被终止射击的概率是多少? 【分析】本例是独立重复试验, n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率求法为C (1)k k n kn p p --. 第(1)问,至少有 1 次末击中，包含情况多,可求其对立事件的概率;第(2)问, 甲恰好击中目标 2 次与乙恰好击中目标 3次相互独立;第(3)问,乙恰好射击 5 次被终止,相当于前 2 次射击,至少有一次击中,第 3 次击中,第 4 次、第 5 次未击中. 【解析】(1）记“甲连续射击 4 次, 至少有 1 次末击中目标”为事件1A . 由题意知,射击 4 次相当于做 4 次独立重复试验故()()41126511381P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.所以甲连续射击 4 次,至少有一次末击中目标的概率为6581. (2) 记“甲射击 4 次,恰好有 2 次击中目标”为事件2A , “乙射击 4 次,恰好有 3 次击中目标”为事件2B .则 ()24222422813327P A C -⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()34332433144P B C -⎛⎫⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2764=.由于甲、乙射击相互独立, 故()()()2222827127648P A B P A P B ==⨯=. 所以两人各射击 4 次,甲恰有 2 次击中目标且乙恰有 3 次击中目标的概率为18. （3）记“乙恰好射击 5 次后,被终止射击"为事件3A , "乙第 t 次射击未击中"为事件 t D()1,2,3,4,5t =, 则()3543212121A D D D D D D D D D =, 且 ()21.4P D =由于各事件相互独立.故 ()()()()()3543212121P A P D P D P D P D D D D D D =++11311451444441024⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭. 所以乙恰好射击 5 次后,被终止射击的概率为451024. 五、强化训练1 11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分, 当某局打成 10:10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束,甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4, 各球的结果相互独立,在某局双方10:10 平后, 甲先发球, 两人又打了x 个球,该局比赛结束. (1) 求()2P x =;(2) 求事件“4x =且甲获胜”的概率.【解析】(1)2x =就是10:10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此(2)0.50.4(10.5)(10.4)0.5P x ==⨯+-⨯-=(2)要使4x =且甲获胜,则10:10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5(10.4)(10.5)0.4]0.50.40.1P =⨯-+-⨯⨯⨯=.2 如图 74,EFGH -是以O 为圆心,半径为1的圆的内接正方形, 将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”,B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分) 内”, 则 ()|P B A = ____________.图 74-【解析】本题为几何概型,也是条件概率.圆的半径是1,所以圆的面积是π,正方形面积是2,扇形面积是4π. 由几何概型概率计算公式可得2()S P A S ==正圆π由条件概率的计算公式可得21()14(|)2()4P AB P B A P A ππ⨯===.3 A B 、两人拿两颗骰子做抛掷游戏,规则如下:若掷出的点数之和是3的倍数,则由原掷骰子的人继续掷;若掷出的点数之和不是3的倍数,就由对方接着掷,第一次由A 开始掷,设第n 次由A 掷的概率为n P , 求n P 的表达式(用 n 表示).【解析】第n 次由A 掷骰子有两种情况.一是第1n -次由A 掷,第n 次继续由A 掷,此时概率为11236n P -; 二是第1n -次由B 掷,第n 次由A 掷,此时概率为()1121136n P -⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 由于这两种情况是互斥的,因此()111212113636n n n P P P --⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭即()1112133n n n P P P --=+- (其中)2n ,变形整理得1111232n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.又11P =, 所以数列12n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以11122P -=为首项,以13-为公比的等比数列, 因此易得 n P = ()1111223n n -+⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭N。
随机事件的互斥事件和独立事件
随机事件的互斥事件和独立事件1. 互斥事件1.1 定义互斥事件（Mutually Exclusive Events）指的是两个事件不可能同时发生。
用数学符号表示为：A ∩ B = ∅，即事件A和事件B的交集为空集。
1.2 性质（1）完备性：对于任意事件A，有P(A) = P(A ∩ B’) + P(A ∩ B)，其中B’为事件B的补集。
（2）互斥事件的概率公式：若A1, A2, …, An为互斥事件，则P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)。
1.3 应用互斥事件在实际生活中有很多应用，如在抽奖活动中，中奖和不中奖这两个事件就是互斥的。
在统计分析中，也可以利用互斥事件来计算概率。
2. 独立事件2.1 定义独立事件（Independent Events）指的是两个事件的发生与否互不影响。
用数学符号表示为：P(A ∩ B) = P(A)P(B)。
2.2 性质（1）组合性：对于任意事件A和B，有P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)。
（2）独立事件的乘法公式：若A1, A2, …, An和B1, B2, …, Bm为独立事件，则P(A1 ∩ B1 ∩ … ∩ An ∩ Bm) = P(A1)P(B1) … P(An)P(Bm)。
2.3 应用独立事件在实际生活中也有很多应用，如在投掷两个骰子的情况下，第一个骰子出现1点，第二个骰子出现2点的概率就是独立事件。
在统计分析中，独立事件可以用来计算联合概率。
3. 互斥事件与独立事件的区别与联系3.1 区别（1）定义不同：互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，而独立事件指的是两个事件的发生与否互不影响。
（2）概率公式不同：互斥事件的概率公式为P(A ∩ B’) + P(A ∩ B)，独立事件的概率公式为P(A)P(B)。
3.2 联系（1）互补事件：互斥事件和独立事件都可以看作是互补事件。
高二数学相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验试题
高二数学互相HY事件同时发生的概率、HY重复试验制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日一. 本周教学内容：互相HY事件同时发生的概率、HY重复试验二. 重点、难点1.互相HY事件：事件A(或者B)是否发生对事件B(或者A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做互相HY事件。
设A、B是两个事件，那么A·B表示这样一个事件，它的发生表示A与B同时发生，它可以推广到有限多个事件的积。
2.互相HY事件发生的概率：两个互相HY事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
P(A·B)＝P(A)·P(B)假如事件A1，A2，…，A n互相HY，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积. P(A1A2……A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)值得注意的是：①事件A与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算：P(A+B)＝P(A)+P(B)-P(AB)特别地，当事件A与B互斥时，P(AB)＝0，于是上式变为P(A+B)＝P(A)+P(B)②事件间的“互斥〞与“互相HY〞是两个不同的概念，两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件互相HY是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响。
3.HY重复试验.HY重复试验，又叫贝努里试验，是在同样的条件下重复地，各次之间互相HY地进展的一种试验。
在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某种事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。
一般地，假如在一次试验中某件事发生的概率是P ，那么在n 次HY 重复试验中这个事件恰好发生K 次的概率 P n (k)＝C n k P k (1-P)n-kP n (k)＝C n k P k (1-P)n-k 可以看成二项式［(1-P)+P ］n 展开式中的第k+1项.【典型例题】例1. 工人看管3台机床，在1小时内，3台机床正常工作(不需要照顾)的概率分别是0.9，0.8，0.85，求在任一小时内.(1)3台机床都不需要照顾的概率.(2)3台机床中至少有一台不需要工人照顾的概率.解：(1)可以认为机床的工作是互相HY 的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高二下数学同步测试（13）——互斥事件相互独立事件的概率一、选择题：1．从装有黑球和白球各2个的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ( )A ．至少有1个黑球，至少有1个白球B ．恰有一个黑球，恰有2个白球C ．至少有一个黑球，都是黑球D ．至少有1个黑球，都是白球2．设某种产品分两道独立工序生产，第一道工序的次品率为10%，第二道工序的次品率为3%，生产这种产品只要有一道工序出次品就将生产次品，则该产品的次品率是 （ ）． A ．0.873 Ｂ．0.13 Ｃ．0.127 Ｄ．0.033．一批零件共100个，其中有95件合格品，5件次品，每次任取1个零件装配机器，若第2次取到合格品的概率是2p ，第3次取到合格品的概率是3p ，则 （ ） A ． 2p >3pB ． 2p =3pC ． 2p <3pD ．不能确定4．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 （ ） A ．5/126 B ．25/216 C ．31/216 D ．91/2165．甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为51，31，41，则此密码能译出的概率是（ ）A ．1/60B ．2/5C ．3/5D ．59/606．停车场可把12辆车停放在一排上，当有8辆车已停放后，而恰有4个空位连在一起，这样的事件发生的概率为 （ ）A ．8127/CB ．8128/C C ． 8129/C D ．81210/C 7．商场开展促销抽奖活动，摇奖器摇出的一组中奖号码是6，5，2，9，0，4.参抽奖的每位顾客从0，1…，9这十个号码中抽出六个组成一组.如果顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖，某位顾客可能获奖的概率为 （ ） A ．1/42 B ．1/30 C ．4/35 D ．5/428．进入世界前8名的乒乓球女子单打选手中有4名中国选手，抽签后平均分成甲、乙两组进行比赛，则四名中国选手不都分在同一组的概率为 （ ） A ．33/35 B ．17/18 C ．34/35 D ． 8/99．对一同目标进行三次射击，第一、二、三次射击命中目标的概率分别为0.4，0.5和0.7，则三次射击中恰有一次命中目标的概率是 （ ） A ．0.36 B ．0.64 C ．0.74 D ．0.6310．某品牌产品，在男士中有10%使用过，女士中有40%的人使用过，若从男女人数相等的人群中任取一人，恰好使用过该产品，则此人是位女士的概率是 （ ） A ．1/5 B ． 2/5 C ． 3/5 D ． 4/5 二、填空题11．2个篮球运动员在罚球时命中概率分别是0.7和0.6，每个投篮3次，则2人都恰好进2球的概率是_____． 12．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）13．一个口袋中共有10个红、绿两种颜色小球，不放回地每次从口袋中摸出一球，若第三次摸到红球的概率为54，则袋中红球有 个.14．4个人中，至少有2人的生日是同一个月的概率是 ． 三、解答题15． 袋中有红、白两种颜色的球，作无放回的抽样试验，连抽3次，每次抽一球。
设i A =“第i 次抽到红球”，（i =1, 2, 3）。
试用i A 及i A 表示下列事件：（1）前2次都抽到红球；（2）至少有一次抽到红球；（3）到第2次才抽到白球；（4）恰有两次抽到红球；（5）后两次中至少有一次抽到红球。
16． 设一台机器在一天内发生故障的概率为0．2，机器发生故障时全天停止工作，一周5个工作日里无故障可获利润10万元，发生一次故障可获利5万元，发生两次故障没有利润，发生三次或三次以上故障就亏损2万元，求一周内平均获利多少？17． 有一电路如图，共有1号、2号、3号、4号、5号、6号六个开关，若每个开关闭合的概率都是32，且互相独立，求电路被接通的概率？2 31 64 518． 有九件电子产品，其中有5件是正品，4件是次品． （1）一次取出3件测试，求至少抽到两件正品的概率； （2）不放回一个一个测试，求五次测试恰好全部抽到正品的概率；（3）不放回一个一个测试，求经过五次测试恰好将4个次品全部找出的概率．19．甲、乙两人进行五次比赛，如果甲或乙无论谁胜了三次，比赛宣告结束．假定甲获胜的概率是23，乙获胜的概率是13，试求下列概率．（1）比赛以甲3胜1败而结束的概率； （2）比赛以乙3胜2败而结束的概率；（3）设甲先胜3次的概率为a ，乙先胜3次的概率为b ，求a b的值．高二下数学同步测试（13）——互斥事件相互独立事件的概率（答案）一、选择题：1．从装有黑球和白球各2个的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 (B )A ．至少有1个黑球，至少有1个白球B ．恰有一个黑球，恰有2个白球C ．至少有一个黑球，都是黑球D ．至少有1个黑球，都是白球 2．设某种产品分两道独立工序生产，第一道工序的次品率为10%，第二道工序的次品率为3%，生产这种产品只要有一道工序出次品就将生产次品，则该产品的次品率是 （C ）． A ．0.873 Ｂ．0.13 Ｃ．0.127 Ｄ．0.033．一批零件共100个，其中有95件合格品，5件次品，每次任取1个零件装配机器，若第2次取到合格品的概率是2p ，第3次取到合格品的概率是3p ，则 （ B ） A ． 2p >3pB ． 2p =3pC ． 2p <3pD ．不能确定4．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 （ D ） A ．5/126 B ．25/216 C ．31/216 D ．91/2165．甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为51，31，41，则此密码能译出的概率是（C ）A ．1/60B ．2/5C ．3/5D ．59/606．停车场可把12辆车停放在一排上，当有8辆车已停放后，而恰有4个空位连在一起，这样的事件发生的概率为 （ C ）A ．8127/CB ．8128/C C ． 8129/CD ．81210/C7．商场开展促销抽奖活动，摇奖器摇出的一组中奖号码是6，5，2，9，0，4.参抽奖的每位顾客从0，1…，9这十个号码中抽出六个组成一组.如果顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖，某位顾客可能获奖的概率为 （ D ） A ．1/42 B ．1/30 C ．4/35 D ．5/428．进入世界前8名的乒乓球女子单打选手中有4名中国选手，抽签后平均分成甲、乙两组进行比赛，则四名中国选手不都分在同一组的概率为 （ C ） A ．33/35 B ．17/18 C ．34/35 D ． 8/99．对一同目标进行三次射击，第一、二、三次射击命中目标的概率分别为0.4，0.5和0.7，则三次射击中恰有一次命中目标的概率是 （ A ） A ．0.36 B ．0.64 C ．0.74 D ．0.6310．某品牌产品，在男士中有10%使用过，女士中有40%的人使用过，若从男女人数相等的人群中任取一人，恰好使用过该产品，则此人是位女士的概率是 （ D ） A ．1/5 B ． 2/5 C ． 3/5 D ． 4/5 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．2个篮球运动员在罚球时命中概率分别是0.7和0.6，每个投篮3次，则2人都恰好进2球的概率是____ 0.873___．12．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 119190.（结果用分数表示）13．一个口袋中共有10个红、绿两种颜色小球，不放回地每次从口袋中摸出一球，若第三次摸到红球的概率为54，则袋中红球有 8 个.14．4个人中，至少有2人的生日是同一个月的概率是 9641三、解答题15． 袋中有红、白两种颜色的球，作无放回的抽样试验，连抽3次，每次抽一球。
设i A =“第i 次抽到红球”，（i =1, 2, 3）。
试用i A 及i A 表示下列事件：（1）前2次都抽到红球；（2）至少有一次抽到红球；（3）到第2次才抽到白球； （4）恰有两次抽到红球；（5）后两次中至少有一次抽到红球。
解：（1）321321A A A A A A +； （2）“123A A A ⋅⋅”的对立事件；（3）123123A A A A A A ⋅⋅+⋅⋅; (4) 123123123A A A A A A A A A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ; (5)“123123A A A A A A ⋅⋅+⋅⋅ ” 的对立事件.16． 设一台机器在一天内发生故障的概率为0．2，机器发生故障时全天停止工作，一周5个工作日里无故障可获利润10万元，发生一次故障可获利5万元，发生两次故障没有利润，发生三次或三次以上故障就亏损2万元，求一周内平均获利多少？解：555555(0)10(1)5(2)0[(3)(4)(5)](2) 5.20896P P P P P P ⨯+⨯+⨯+++⨯-=万元17． 有一电路如图，共有1号、2号、3号、4号、5号、6号六个开关，若每个开关闭合的概率都是32，且互相独立，求电路被接通的概率？2 31 645解：法一：1号、2号、3号……6号开关开的事件设为A ，B ，C ，D ，E ，F 。
设I 号 6号开关都开的事件为G ，4()()()()9P G P A F P A P F =⋅==2号、3号开关都开的事件为 H ， 4()9P H =4号、5号开关至少有一个开的事件为I ，8()()()()()()()()9P I P D E D E D E P D P E P D p E p D P E =⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=304()[()()()]729P P G P H I P H I P H I =⋅+⋅+⋅=解二：设1一6号开关开的事件为ABCDEF 1号6号都开的事件G ，4()9P G =2号3号至少有一个不开的事件为 H ，P （H ）=954号、5号都不开的事件为I ， 1()9P I =304[1()()]()729P P H P I P G =-⋅=19． 有九件电子产品，其中有5件是正品，4件是次品． （1）一次取出3件测试，求至少抽到两件正品的概率； （2）不放回一个一个测试，求五次测试恰好全部抽到正品的概率；（3）不放回一个一个测试，求经过五次测试恰好将4个次品全部找出的概率． 解： （1）3214453925142C C C p C+=-=； （2）55591126A P A==； （3）3359544263A P A⨯⨯⨯==19．甲、乙两人进行五次比赛，如果甲或乙无论谁胜了三次，比赛宣告结束．假定甲获胜的概率是23，乙获胜的概率是13，试求下列概率．（1）比赛以甲3胜1败而结束的概率； （2）比赛以乙3胜2败而结束的概率；（3）设甲先胜3次的概率为a ，乙先胜3次的概率为b ，求a b的值．解：（1）以甲3胜1败而结束比赛，甲只能在1、2、3次中失败1次，因此所求概率为： 278313233=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=P（2）乙3胜2败的场合C42，因而所求概率为： P =⋅⎛⎝ ⎫⎭⎪⋅⎛⎝ ⎫⎭⎪=6132388132（3）甲先胜3次的情况有3种：3胜无败，3胜1败，3胜2败其概率分别为8278271681、、 于是a =++=82782716816481乙获胜概率b =-=1648117816417a b ∴=：。