高等数学-第4章 4.2 换元积分法(一)
高等数学第4章
• 式(4-10)称为分部积分公式。这个公式把积分∫udv转化成了积分∫vdu， 如图4-5所示，当积分∫udv不易计算，而积分∫vdu比较容易计算时， 就可以使用这个公式。
• 例4-46 求∫xsinxdx。 • 解 设u=x，dv=sinxdx=d(-cosx)，则 • ∫xsinxdx=∫xd(-cosx)=-xcosx-∫(-cosx)dx • =-xcosx+∫cosxdx • =-xcosx+sinx+C • 当运算比较熟练以后，可以不写出u和dv，而直接应用分部积分
•
=∫f1(x)dx+∫f2(x)dx+…+∫fn(x)dx
• 4.1.4 基本积分运算
• 因为求不定积分的运算是求导数的逆运算，所以，导数公式表中的 每个公式反转过来就得到表4-1的不定积分公式。
表4-1 基本积分公式
1。∫0dx=C
2。∫1dx43;C
6。∫sinxdx=-cosx+C
• 换元积分法包括:第一类换元积分法(凑微分法)和第二类换元积分法。
• 4.2.1 第一类换元积分法(凑微分法) • 定理 如果∫f(x)dx=F(x)+C，则
• ∫f(u)du=F(u)+C • 其中u=φ(x)是x的任一个可微函数。 • 上述定理表明:可以将基本积分公式中的积分变量换成任一可微函数，
(把u还原为φ(x))
• 由于积分过程中有凑微分(φ'(x)dx=d(φ(x)))的步骤，因此第一类换元积 分法又称为凑微分法。
• 用第一类换元积分法求不定积分的过程是:凑微分、换元、积分、回 代。
• 4.2.2 第二类换元积分法
• 第一类换元积分法是通过变量代换u=φ(x)，将积分∫f(φ(x))φ'(x)dx化 为∫f(u)du。计算中常常遇到与第一类换元积分法相反的情形，即 ∫f(x)dx不易求出，但适当选择变量代换x=φ(t)后，得 ∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ'(t)dt，而新的被积函数f(φ(t))φ'(t)的原函数容易求出。 设
高等数学-4_2换元法
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
4.2 换元积分法
解：
(1)
a2
1
x2
dx
1 a
1 a2
1
1(ax1)21da(xax22)dx
1 a
arctan
x a
C
用类似的方法还可以求得
1 a2
x2
dx
arcsin
x a
C．
4.2.1 第一换元积分法 4.第一换元积分法的常见类型
例4
求不定积分 (2)
dx a2 x2
4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分
f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
回代
f (u)du F (u) C F ((x)) C
利用复合函数求导公式，可以验证以上公式的正确性．
用这种方法的计算程序是：先“凑”微分式，再作变量置换。 我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微 分法。
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)
dx x 1
解： 令 x 1 u 则 dx du，于是
dx x 1
du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x
ln
1
x
C
(3)
dx 1 x
2
1 x C
再将u x 1 代回，得
(2)
ln x x
dx
解：
(2)
换元积分法(第一类换元法)
§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求：理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(ϕ'=ϕ .掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+⎰.若u 是中间变量，()u x ϕ=，()x ϕ可微，则根据复合函数求导法则，有(())()[()]()dF x dF du duf u f x x dx du dx dxϕϕϕ'===。
所以根据不定积分的定义可得：()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ϕϕϕϕ='=++=⎰⎰ 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有[][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕϕ='=+=+⎰⎰.以上就是第一换元积分法。
从以上可以看出，虽然[()]()f x x dx ϕϕ'⎰是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待从而上式中的()x dx ϕ'可以看成是()x ϕ的微分，通过换元()u x ϕ=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ϕ'=.定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ϕ=可导，dx x du )(ϕ'=，则[()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰ (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ⎰时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ϕϕ'的形式 那么()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰⎰()()[()]u x F u C F x C ϕϕ==++.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积[()]()f x x ϕϕ'来.例1 求33x e dx ⎰解33333=3x x x e dx e dx e x dx '=⎰⎰⎰()，可设中间变量x u 3=，dx x d du 3)3(== 3dx du ∴=，所以有3333x x u u x e dx e dx e du e C e C ===+=+⎰⎰⎰.首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。
高等数学 第4章 第二节 换元积分法
2
2 lna
1
（2）凑线性式
调整系数时，只管a不管b. ∵d(b)=0
(ax b)5 dx 1 (ax b)5 d(ax b) 1 (ax b)6 C
a
6a
补充例题
s in(3 x
2)dx
1 3
sin(3
x
2)d
(3 x
2)
1 3
cos(3
x
2)
C
sec2 (2x
1)dx
1 2
3
3
( ) ( ) (3)
x2
2x 6x
6
13
dx
x2
1d 6x 13
x2
6x 13
ln
x2
6x 13
C
( ) ( ) (4)
x 3 dx 1 x2
x2 11d x2 1 1 x2
x2 1
x
1
2
1
d
x2
1
(5) cost t dt 2 cos td t 2sin t C
f (arcsin x)
1 1
x2
dx
f
(arcsin
x)d (arcsin
x)
f
(arctan
x)
1
1 x2
dx
f
(arctan
x )d (arctan
x)
7
练习：
(1)
1
1
3
x
dx
1 3
1 d(1 3x) 1 2 1 3x C
1 3x
3
( ) (2) x 2 x 3 1dx 1 x 3 1d x 3 1 1 x 3 1 C
sin cos
高职高等数学教案第四章不定积分
第四章 不定积分§4-1 不定积分的概念与性质一、不定积分的概念1.原函数定义定义1：如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任一xI ，都有()()F x f x 或()()dF x f x dx ，则称()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数。
例：(sin )cos x x ，则sin x 是cos x 的一个原函数；1(sin 1)(sin )(sin 3)cos 2x xx x ，则都是cos x 的原函数。
2.原函数性质定理1：如果()f x 在区间I 上连续，则在该区间原函数一定存在。
定理2：如果()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C 是()f x 的全体原函数，且任一原函数与()F x 只差一个常数。
例：验证2211cos 2,sin 2,cos 233x x x 都是sin 2x 的原函数 证：2211(cos 2)sin 233(sin 2)sin 2(cos 2)sin 2x x x x xx，则三个函数都是sin 2x 的原函数3.不定积分定义定义2：()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()f x dx ，其中称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。
说明：如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则()F x C 就是()f x 的不定积分，即()()f x dxF x C例1：求23x dx解：因为32()3x x ，所以3x 是23x 的一个原函数则233x dx x C例2：求1dx x解：当0x时，1(ln )x x当0x 时，11ln()x xx 所以1 ln ||(0)dx x C xx4.不定积分几何意义在相同横坐标的点处切线是平行的，切线斜率都为()f x ，可由()yF x 沿y 轴平移得到。
例：一条积分曲线过点(1,3)，且平移后与231y x x 重合，求该曲线方程解：设2()31f x x x C由于曲线过(1,3) 则3131C ，2C2()31f x xx二、不定积分性质性质1：[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx性质2：()(0)()0(0)kf x dx k kf x dxdxC k性质3：(())(),()()f x dx f x f x dx f x C三、基本积分表(1)kdx kx C (k 是常数) (2)111ααx dxx C α(3)1ln ||dx x C x (4)x xe dx e C (5)ln x xa a dxC a(6)sin cos xdxxC(7)cos sin xdx x C (8)221sec tan cos dx xdx x C x(9)221csc cot sin dx xdx x C x (10)sec tan sec x xdx xC(11)csc cot csc x dx xC (12)21arctan 1dxx C x(13)21arcsin 1dx x C x例1：求51dx x解：55154111514dx x dxx CC x x例2：求x xdx解：313522223512x x xdx x dxCx C例3：求3(sin )xx dx解：433(sin )sin cos 4x x x dx xdxx dxxC例4：求2(1)x dx x解：22(1)211(2)x x x dx dx x dx xx x2122ln ||2x xdx dxdx xx C x注：根式或多项式函数需化成αx 形式，再利用公式。
《高等数学》教学课件 第4章
〔4-3〕
例1 求 2exdx 。
解
2exdx 2 exdx 2ex C
性质2 两个函数代数和的积分等于它们积分的代数和，即
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
〔4-4〕
例2 求 (2x cos x)dx 。
解
(2x cos x)dx 2xdx cosxdx x2 sin x C
令us100
1
1
0.05 u 2du 0.1u 2 C
回代
1
0.1(s 100)2 C
又因为 Q(0) 0，得 C 1 ，故
1
Q 0.1(s 100)2 1
3
例2 求 (1 2x) dx 。
解 将dx凑成 dx 1 d(1 2x) ，则 2
(1
3
2x) dx
1 2
(1
2x)3
二、不定积分的概念
定义2 如果函数 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，那么表达式 F (x) C
（ C为任意常数）称为 f (x) 的不定积分，记为 f (x)dx ，即
f (x)dx F (x) C
其中“ ”称为积分号，x 称为积分变量，f (x) 称为被积函
数，f (x)dx 称为被积表达式， C 称为积分常数。dx
1 2a
a
1
x
dx
a
1
x
dx
1 ( ln a x ln a x ) C 2a
1 ln a x C. 2a a x
同理有
1
1 xa
dx ln
C
x2 a2 2a x a
例10 求 csc xdx 。
解
csc xdx
高等数学-换元积分法
න = න
1
= −න
( )′
1
= −න
= − | | + ．
同理可得 | | = + ．
8
01 第一类换元积分法
例3
解
1
求不定积分
．
2
令 2 = ，则 = ， = .
2
+1−1
න
=න
= න
1+
1+
1 + 2
1
= න(1 −
) = − | 1 + | +
1+
= 2 − | 1 + 2| + ．
14
02 第二类换元积分法
通过变量代换去掉根号的主要形式有：
而
= 5，考虑将被积函数恒等变形，得
1
1
1
1
1
= ⋅
⋅5= ⋅
⋅ (5 − 2)′
5 − 2 5 5 − 2
5 5 − 2
此时令 = 5 − 2， 得到
4
01 第一类换元积分法
1
1
1
න
= න
(5 − 2)′
5 − 2
5 5 − 2
1
1
= න
( 5 − 2)
0，又设[()] ′ ()的一个原函数为()，则
න()
= ()
න[()] ′ () = [() + ]=−1()
该公式称为第二换元公式． 其中 = −1 ()为函数
= ()的反函数.
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§4.2 换元积分法
能用直接积分法计算的不定积分是非常有限的，因此我们有必要进一步研究新的积分方法．本节把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简称换元法，换元法通常分成两类：第一类换元法和第二类换元法.
一、第一类换元法（凑微分法）
先看下面的例子：
例1 求⎰x x d 3cos 。
解 因为 cos sin xdx x C =+⎰，
而 11cos3cos3(3)cos3(3)33xdx x d x xd x =⋅=⎰⎰⎰， 如果令3u x =，则上式变为
C u u u x x +=⋅=
⎰⎰sin 3
1d cos 31d 3cos ， 回代3u x =，得 C x x x +=⎰3sin 3
1d 3cos ， 由于 x C x 3cos )3sin 31(='+，所以上述结果是正确的． 例1的解法特点是：
（1）把被积表达式变形为1cos3cos3(3)3
xdx x d x =⋅，并引入新变量3u x =，从而把积分变量为x 的积分化为积分变量为u 的积分．
（2）把公式cos d sin x x x C =+⎰中的x 换为3u x =时，公式仍成立，即有
C u udu +=⎰sin cos 或cos(3)(3)sin(3)x d x x C =+⎰．
一般地，有下面定理．
定理4.3 设()()f u du F u C =+⎰，且)(x u ϕ=为可微函数，则
[()]()[ ()]f x x dx F x C ϕϕϕ'=+⎰。
证明从略。
若不定积分的被积表达式dx x g )(能写为)()]([)()]([x d x f dx x x f ϕϕϕϕ='的形式，那么就可以按下述方法计算不定积分．
[][]()()()()()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'==⎰⎰⎰
()()()x u f u du F u C ϕ==+⎰令
[]()()u x F x C ϕϕ=+回代。
用上式求不定积分的方法称为第一换元积分法或凑微分法． 例2 求⎰+dx x 8)13(.
解
⎰+dx x 8)13(=8811(31)3(31)(31)33x dx x x dx '+=++⎰⎰=⎰
++)13()13(318x d x ⎰=+du u u
x 83113令 91139u C =⋅+ 9131(31)27
u x x C =+++回代。
例3 求⎰dx xe x 2。
解 2
22222211112()()2222x x x x u xe dx e xdx e x dx e d x x u e du '====⎰⎰⎰⎰⎰令 C e x u C e x u +=+=22
1212回代。
例4 求dx x
x ⎰2ln 。
解
22222
ln 1ln ln (ln )ln (ln )ln x dx x dx x x dx xd x x u u du x x
'=⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰令 3311ln ln 33u C u x x C =+=+回代。
在凑微分时，常常用到下列凑微分的式子，熟悉它们是有助于求不定积分的．
（1）)(1b ax d a
dx +=
； （2）11()1
n n x dx d x n +=+ （n 为正整数）； （3）1(ln )(0)dx d x x x =>；
（42d
= ；
（5）
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x d dx x 112 ； （6）
)(arctan 112x d dx x =+； （7）)(arcsin 11
2x d dx x =- ；
（8）)(x x e d dx e = ；
（9）)(cos sin x d xdx -=；
（10）)(sin cos x d xdx =；
（11）)(tan sec 2x d xdx =；
（12）)(cot csc 2x d xdx -=；
（13）)(sec tan sec x d xdx x = ；
（14）)(csc cot csc x d xdx x -= .
当运算比较熟练后，变量代换和回代的步骤可以省略不写．
例5 求⎰-dx x 12．
解 C x C x x d x dx x +-=+-⋅=--=-⎰⎰23
2321)12(31)12(3221)12()12(2112。
例6 求⎰xdx tan ．
解 C x x d x
dx x x xdx +-=-==⎰⎰⎰cos ln )(cos cos 1cos sin tan 。
即tan ln cos xdx x C =-+⎰。
类似地，可得 ⎰+=C x xdx sin ln cot 。
例7 求⎰
+dx x a 221. 解 ⎰+dx x a 221＝dx a x a ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+22111＝⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰a x d a x a 211
1＝C a x a +arctan 1 。
即2211arctan x dx C a x a a =++⎰。
类似地，可得 ⎰
-dx x a 221＝C a x +arcsin 。
例8 求 ⎰
-dx x a 221. 解 ⎰-dx x a 221＝⎰-+++-dx x a x a x a x a a )
)((21=dx x a x a a )11(21-++⎰ ＝
a 21[⎰⎰---++)(1)(1x a d x a x a d x a ] ＝()C x a x a a +--+ln ln 21＝C x
a x a a +-+ln 21 。
例9 求dx x ⎰csc 。
解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛===2
tan 22sec 2cos 2tan 22cos 2sin 21sin 1csc 22x x d x x x x d dx x x dx x dx x C x x x d +=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰2tan ln 2
tan 2tan . 因为 x x x x x x x x x cot csc sin cos 1sin 2sin 22cos 2sin
2tan 2
-=-===. 所以 C x x dx x +-=⎰cot csc ln csc .
类似地，可得 C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec .
例10 求⎰xdx 2sin .
解 ⎰xdx 2sin ＝dx x )2cos 1(21⎰-＝dx x dx ⎰⎰-2cos 2
121 C x x x d x x +-=-=⎰2sin 4
121)2(2cos 4121. 例11 求1x
x e dx e
+⎰. 解 1x
x e dx e
+⎰11(1)11x x x x de d e e e ==+++⎰⎰l n (1)x e C =++.。