第一换元积分法
积分第一换元法
积分第一换元法1. 定义- 设f(u)具有原函数F(u)，u = φ(x)可导，则有∫ f[φ(x)]φ'(x)dx=∫f(u)du=F(u)+C = F[φ(x)]+C。
- 简单来说，就是通过将被积表达式凑成f[φ(x)]φ'(x)的形式，然后令u = φ(x)，把关于x的积分转化为关于u的积分，求出关于u的原函数后再把u=φ(x)代回。
2. 原理- 这一方法基于复合函数求导的逆运算。
因为如果y = F[φ(x)]，根据复合函数求导法则y'=F'[φ(x)]φ'(x)=f[φ(x)]φ'(x)，所以∫ f[φ(x)]φ'(x)dx = F[φ(x)]+C。
（一）观察被积函数1. 寻找合适的函数组合- 例如对于∫2xcos(x^2)dx，我们发现2x是x^2的导数，这里就可以考虑把u = x^2。
- 一般来说，要找到被积函数中一部分函数u=φ(x)，使得另一部分是u的函数f(u)与φ'(x)的乘积形式。
（二）换元1. 设u=φ(x)并求出du=φ'(x)dx- 在∫2xcos(x^2)dx中，设u = x^2，那么du = 2xdx。
- 此时原积分∫2xcos(x^2)dx就可以转化为∫cos(u)du。
（三）计算关于u的积分1. 求出f(u)的原函数- 对于∫cos(u)du=sin(u)+C。
（四）回代1. 将u=φ(x)代回- 因为u = x^2，所以原积分∫2xcos(x^2)dx=sin(x^2)+C。
三、常见的换元类型（一）幂函数类型1. 示例- 计算∫ x√(1 + x^2)dx。
- 设u = 1+x^2，则du = 2xdx，xdx=(1)/(2)du。
- 原积分∫ x√(1 + x^2)dx=(1)/(2)∫√(u)du=(1)/(2)×(2)/(3)u^(3)/(2)+C=(1)/(3)(1 + x^2)^(3)/(2)+C。
换元积分法(第一类换元法)
§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求：理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(ϕ'=ϕ .掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+⎰.若u 是中间变量，()u x ϕ=，()x ϕ可微，则根据复合函数求导法则，有(())()[()]()dF x dF du duf u f x x dx du dx dxϕϕϕ'===。
所以根据不定积分的定义可得：()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ϕϕϕϕ='=++=⎰⎰ 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有[][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕϕ='=+=+⎰⎰.以上就是第一换元积分法。
从以上可以看出，虽然[()]()f x x dx ϕϕ'⎰是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待从而上式中的()x dx ϕ'可以看成是()x ϕ的微分，通过换元()u x ϕ=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ϕ'=.定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ϕ=可导，dx x du )(ϕ'=，则[()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰ (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ⎰时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ϕϕ'的形式 那么()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰⎰()()[()]u x F u C F x C ϕϕ==++.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积[()]()f x x ϕϕ'来.例1 求33x e dx ⎰解33333=3x x x e dx e dx e x dx '=⎰⎰⎰()，可设中间变量x u 3=，dx x d du 3)3(== 3dx du ∴=，所以有3333x x u u x e dx e dx e du e C e C ===+=+⎰⎰⎰.首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。
第3讲 换元积分法：第一换元积分法
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§2 换元积分法与分部积分法
换元积分法
分部积分法
定理8.4(i)（第一换元积分法）
x (t ) 在区间 J 上 设函数f (x ) 在区间 I 上有定义，
可导, 且 ( J ) I .
如果不定积分 f (x )dx F (x )
C 在 I 上存在， 则不定积分 f ( ( t )) ( t )dt 在J 上
也存在，且
f ( ( t )) ( t )dt F ( ( t )) C .
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§2 换元积分法与分部积分法
换元积分法
分部积分法
证 用复合函数求导法则验证：
3 2
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§2 换元积分法与分部积分法
换元积分法
分部积分法
例4 求 sin 3 xdx . 解
3 2 sin x d x sin x sin x dx
(1 cos 2 x )dcos x
1 cos x cos 3 x C . 3
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
换元积分法
分部积分法
2 求 x 1 x dx . 例3
1 解 x 1 x dx 1 x 2 d(x 2 ) 2 1 1 1 x 2 2d 1 x 2 2
2
1 2
1 2 1 x2 C 2 3 3 1 1 x2 2 C . 3
1 x arctan C . a a
第一类换元积分法
dx dx 1 arctan x c . 20 . arcsin x c . 21 . 2 2 2 a a a x2 a a x dx x a 1 22 . 2 ln c . 2 2a x a x a
dx ax 1 23 . 2 ln c . 2 2a a x a x
例11. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
例12. 求
e3
x
x
dx .
3 x
x
解: 原式 = 2 e
2 3 e 3
2 3 x d x e d(3 x ) 3 C
被积函数中含有三角函数的例子 例13 求三角函数的不定积分
ln cos x cot xdx ? sin x sin x
ln sin x C
sec2 x 1 d tan x dx d x tan x ln tan x c 例 16 . sin x cos x tan x 1 sin2 x cos2 x sinx cos x dx sinx cos x dx (tan x cot x )dx ln cos x ln sin x C ln tan x C 1 1 x 例16ln tan x c . 例 17 . csc x dx d dx x cos x 2 2 sin x sin 2 2 2 sin 2 x 1 cos x x 2 tan csc x cot x . 2 2 sin x cos x sin x 2 2 csc x dx ln csc x cot x c . (新公式)
第一换元积分法
x 2
c
.
tan
x 2
2 sin 2
x 2
2
sin
x 2
cos
x 2
1 cos sin x
x
csc
x
cot
x
.
csc x dx ln csc x cot x c . (新公式)
sec x dx
csc
2
x
d
2
x
(新公式)
ln
csc
2
x
cot
2
x
c ln sec x tan x
b)
x k dx
k
1
1
d
(
xk 1)
(k
1 1) a
d
(axk
1
b)
1 x
dx
d (ln x) d (a ln x)
1 b
d (a b ln x)
e xdx d (e x ) d (e x b)
cos x dx d (sin x) d (sin x b)
sin x dx d (cos x) d (cos x b)
dx
a
2
1
1
x a
ad 2
x a
1 a
arctan
x a
c.
例10, 例11加入基本积分表.
例12 .
x2
dx 4x
8
(
d x
(
x 2)2
2)
例 10
4
1 2
arctan (
x
2
2) c
.
在积分过程中, 适当的函数运算是必要的 .
例 13 .
第一类换元积分法
cscu cotudu cscu c
1 du arcsin u c 1u2
1
1 u
2
dx
arctanu
c
3.积分形式不变性下的
基本积分公式应用举例： 1
(1) 1 (3x)2 d (3x) arctan3x c
1
1 u2
du
arctanu
c
dx 1 d(3x)
1
1 (3x)2
dx
du u c
u du 1 u1 c
1
1 u
dx
ln
u
c
audx 1 au c ln a
eudx eu c
cosudu sin u c sin udu cosu c csc2udu cotu c
sec2 udu tanu c
secu tan udu secu c
u 3 2x
1
dx 1 du 2
1 du 1 ln u c
u
2
2
3
dx 2x
1 2
3
1 2x
d
(3
2
x)
1 ln 3 2x c 2
dx
凑微分
1
d
(3
2x)
2
4.常见凑微分
(1)dx 1 d (ax b) a
(1)求 2x 3dx
1? 解:因为dx _2__ d(2x 3)
凑微分法引入
(sin 2x) 2cos2x,
已知 问题
cosxdx
cos 2 xdx
sin x c
sin 2x
C
,
cos2xdx
sin
2x
c
解决方法 根据函数的复合过程，设置中间变量.
高等数学§4-2第一类换元积分法
以上求积分的方法，叫做第一换元积分法 或凑微分法．
例1 求 e5xdx
解e： 5xdx1 e5xd(5x)令u 5x 1eudu 1euC1e5xC
5
5
5
5
例 2.求(2x7)10 dx
解 (2 x ： 7 )1d 0 x 1(2 x 7 )1d 0 (2 x 7 )
．
类似地得
cs xc d ln c xs xcx oC t.
练习：
1、求 2xex2dx 解： 2xxe 2d xex2d(x2)u x2 eudueuCex2C
2、求
1 dx x(1 2ln x)
解：
1 dx x(1 2ln x)
1 2121lnxd(12lnx)
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第一类换元是求复合函数的不定积分的基本方法．
一般地，有如下定理．
定理: 若 f(u)d uF(u)C ,u(x)可导，则
f[(x )] (x )d凑 x微 f[(x )d 分 ](x )
令 u ( x )f( u ) d 公 u F ( u ) 式 C 回 F [( x 代 ) C ]
4、f设 (x)e2x，则不定 fx积 dx分ex
2
C
x a x a
2
令 xu a
1 a1 duu2
1arctanuc a
将 u x 代入
a
还原
1 arctan x c
a
a
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例6 解：
求 dx a2x2
a0
dx
a2 x2
1 dx a
第一换元积分法(凑微分法)
π π 作三角变换，令 x a sin t t , 那么 2 2
求 a 2 x 2 dx.
x
2 a x 1 a 2 x 2 dx arcsin x a 2 x 2 C . 2 a 2
a2 - x 2
x π π 解 令 x a tan t t ，则dx a sec 2 tdt． 2 2 dx a sec 2 t 1 1 d t cos t d t sin t C ． 所以 3 3 3 3 2 a a 2 x 2 2 a sec t a
积分
F t C
t 1 x 回代
1 F x C.
这种方法叫第二换元法．
使用第二换元法关键是恰当的选择变换函数x t , 对 于 x t , 要 求 其 单 调 可 导 ， t 0, 且 其 反 函 数 t 1 x 存在．下面通过一些例子来说明．
例 2
解 注意到被积式中含有 e 项,而余下的部分恰有 微分关系： 2 xdx d( x 2 ) ．于是类似于例 1,可作如下变 换和计算：
求 2 xe dx ．
x2
x2
2 xe dx e d( x )
x
2
x
2
2
令u x 2
回代 x 2 e du e C e C.
2 2
解
设u cos x, 得 du sin xdx ,
求 cos 2 x sin xdx .
例 4
解
dx 求 ． 2 x 1 ln x
dx x 1 ln 2 x 1 ln 2 x x arcsin ln x C . dx 1
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课题:换元积分法（一）
指导思想:
第一换元积分法是积分学中的重要方法之一,占有相当重要的地位.第一换元积分法是计算积分的基础,第一换元积分法掌握的熟练程度不仅影响着定积分的计算和应用,而且还影响到今后将要学习的多元函数的积分的计算,以及微分方程的求解。
因此，必须重视。
在教学的过程中,考虑到学生的实际情况,结合第一换元积分法的基础性和灵活性,通过比较,分析,作出了一些归纳。
然后通过大量的练习，积累经验，熟悉技巧，熟练掌握第一换元积分法。
教学目标：
（一）知识目标：
熟练掌握第一换元积分法
（二）能力目标：
1.通过第一换元积分法的学习,能够做到举一反三;
2.培养学生分析问题,解决问题的能力;
3.提高学生自主学习的能力。
（三）情感目标：
通过这节课的学习让学生增强自信心,面对数学学习时不再害怕,提高学习数学的兴趣
教学重点:第一换元积分法
教学难点:凑微分
教学课时:2课时
教学过程: 一.复习引入
引例:计算下列不定积分: 1.223
24(21)(441)23
x dx x x dx x x x c +=++=
+++⎰⎰
2.10(21)x dx +⎰
=? 二.新课讲解
第一换元积分法: 凑微分
1
()dx d ax b a =+ x x e dx de =
111x dx dx ααα+=
+ 1
ln dx d x x
= sin cos xdx xdx =- cos sin xdx d x =
三.例题与练习
例1.计算 10(21)x dx +⎰
解:原积分= 10
1011211(2111(21)22)22
x t x x d t dt t c +=+=++⎰⎰令
=
111
(21)22
x c ++ 练习1：1）cos3xdx ⎰ 2）x e dx -⎰
3）
21
14dx x +⎰
例2.计算2
1x
dx x
+⎰ 解:原积分=
122
2()111d x x
++⎰(令21x t +=) =112dt t
⎰=1ln 2t c +=21
ln(1)2x c ++
练习2: 1)2
x xe dx ⎰
2) 2sin x x dx ⎰
例3.计算21x
x
e dx e
+⎰ 解:原积分=211()x x de e +⎰(令x e t =)=211dt t +⎰=arctan x
e c + 练习3: 1) 1x x e dx e
+⎰ 2) cos x x e e dx ⎰ 例4.计算
ln x
dx x ⎰
解:原积分=ln ln xd x ⎰(令ln x t =)=tdt ⎰=212t c +=21
(ln )2x c +
练习4: 1) 1
ln dx x x
⎰ 2) 2
1(ln )dx x x ⎰ 例5.1)计算2(sin )cos x xdx ⎰
2) tan xdx ⎰
解:1)原积分=2
(sin )sin x d x ⎰(令sin x t =)=2
t dt ⎰
=313t c +=31(sin )3
x c +
2)原积分=sin cos x dx x
⎰=1
cos cos d x x -⎰
(令cos x t =) =1
dt t -
⎰=ln t c -+=ln cos x c -+
练习5: 1) 2(cos )sin x xdx ⎰ 2) cot xdx ⎰
四.课堂小结:
1.第一换元积分法的关键:凑微分和基本积分公式 3.凑微分的五大类型:
1).1
()()()f ax b dx f ax b d ax b a
+=++⎰⎰
2).111
1()()()1x f x dx f x d x ααααα+++=
+⎰
⎰ 3).()()x x x x e f e dx f e de =
⎰⎰
4).
(ln )
(ln )ln f x dx f x d x x
=⎰
⎰ 5).sin (cos )(cos )cos xf x dx f x d x =-⎰⎰
cos (sin )(sin )sin xf x dx f x d x =⎰⎰
五.巩固练习 求下列不定积分
1) sin 2
x
dx ⎰ 2) 5x e dx -⎰
3)
1
32dx x -⎰ 4) 22
x xe
dx -⎰
5) 4ln x dx x
-⎰ 6) 3(cos )sin x xdx ⎰
7) sin x x e e dx ⎰ 8) 3()cosx dx ⎰
六．P149.A2 七.板书设计
1. 第一换元积分法: 凑微分 例 1
2.五大类型 2 1) 3 2) 4 3) 5
4) 练习 1, 2,3,4.5 5) 小结。