第一换元积分法
3.3第一类换元积分法
§3.3 第一类换元积分法教学目的：使学生理解第一类换元积分法，掌握第一类换元积分法的一般步骤及其应用。
重点：第一类类换元积分法及其应用 难点：第一类类换元积分法及其应用教学过程：一、问题的提出不定积分的概念较为简单，但从计算上讲是较为繁杂的，如同数学中一般逆运算比正运算困难一样，不定积分作为微分运算的逆运算，其难易程度却相差甚远，若把求导数比喻为将一根绳子打结，求不定积分则是解结，解结显然比打结难，有时甚至解不开。
而且利用直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的其它计算方法，由复合函数的求导法则可推得一种十分重要的积分方法——换元积分法（通常简称换元法）。
该法可分为两类，即第一类和第二类换元法。
本节将介绍第一类换元法。
二、第一类换元积分法（凑微分法）我们将把复合函数的求导法反过来用于求不定积分，即利用变量代换的方法将所要求的不定积分变为基本积分表中所已有的形式或原函数为已知的其他形式来求函数的不定积分，这种方法称为换元积分法。
下面先介绍第一类换元积分法。
定理 设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式⎰⎰=='⋅)(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ证明 设)(u f 具有原函数)(u F ，即)(u F '=)(u f ，⎰du u f )(=Cu F +)(.又因为u 是关于x 的可导函数)(x u ϕ=,所以有⎰⎰⎰+==='⋅C x F x dF x d x f dx x x f )]([)]([)]([)]([)()]([ϕϕϕϕϕϕ又)(])([x u du u f ϕ=⎰)(])([x u C u F ϕ=+=C x F +=)]([ϕ从而推得⎰⎰=='⋅)(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ 证毕推论 若 ⎰dx x f )(=C x F +)(成立，则⎰du u f )(=Cu F +)(.也成立，其中u 为x 的任一可导函数该推论表明：在基本的积分公式中，把自变量x 换为u 的任一可导函数后，公式仍成立，这就大大的扩大了公式的使用范围。
第一换元积分法
第一换元积分法
第一类换元法通过配凑导数，将配凑到的导数u'和dx合在一起形成du，构成形如f(u)du的形式求积分，这里的f(u)通常为易求的积分形式
而第二类换元法则是令x=g(t),把dx拆分为g'(t)dt,从而把简单函数变为一个复合函数，高数中常常用三角函数代换分母中的多项式，再利用三角恒等变换使分母简单化从而得解
换句话来说，第一类换元法是先将函数分为两部分，一部分为u',另一部分为f(u),其中u'dx=du,于是待求积分从f(x)dx转化为f(u)du,而第二类换元法是将x用g(t)代换，再将dx拆分为g'(t)dt从而使积分可求，而其不同于第一类换元法表现在其后须使用t=g-(x)将t换掉得到关于x的积分。
换元积分法(第一类换元法)
§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求：理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(ϕ'=ϕ .掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+⎰.若u 是中间变量，()u x ϕ=，()x ϕ可微，则根据复合函数求导法则，有(())()[()]()dF x dF du duf u f x x dx du dx dxϕϕϕ'===。
所以根据不定积分的定义可得：()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ϕϕϕϕ='=++=⎰⎰ 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有[][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕϕ='=+=+⎰⎰.以上就是第一换元积分法。
从以上可以看出，虽然[()]()f x x dx ϕϕ'⎰是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待从而上式中的()x dx ϕ'可以看成是()x ϕ的微分，通过换元()u x ϕ=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ϕ'=.定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ϕ=可导，dx x du )(ϕ'=，则[()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰ (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ⎰时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ϕϕ'的形式 那么()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰⎰()()[()]u x F u C F x C ϕϕ==++.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积[()]()f x x ϕϕ'来.例1 求33x e dx ⎰解33333=3x x x e dx e dx e x dx '=⎰⎰⎰()，可设中间变量x u 3=，dx x d du 3)3(== 3dx du ∴=，所以有3333x x u u x e dx e dx e du e C e C ===+=+⎰⎰⎰.首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。
第3讲 换元积分法：第一换元积分法
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§2 换元积分法与分部积分法
换元积分法
分部积分法
定理8.4(i)（第一换元积分法）
x (t ) 在区间 J 上 设函数f (x ) 在区间 I 上有定义，
可导, 且 ( J ) I .
如果不定积分 f (x )dx F (x )
C 在 I 上存在， 则不定积分 f ( ( t )) ( t )dt 在J 上
也存在，且
f ( ( t )) ( t )dt F ( ( t )) C .
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§2 换元积分法与分部积分法
换元积分法
分部积分法
证 用复合函数求导法则验证：
3 2
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§2 换元积分法与分部积分法
换元积分法
分部积分法
例4 求 sin 3 xdx . 解
3 2 sin x d x sin x sin x dx
(1 cos 2 x )dcos x
1 cos x cos 3 x C . 3
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
换元积分法
分部积分法
2 求 x 1 x dx . 例3
1 解 x 1 x dx 1 x 2 d(x 2 ) 2 1 1 1 x 2 2d 1 x 2 2
2
1 2
1 2 1 x2 C 2 3 3 1 1 x2 2 C . 3
1 x arctan C . a a
第一类换元积分法
dx dx 1 arctan x c . 20 . arcsin x c . 21 . 2 2 2 a a a x2 a a x dx x a 1 22 . 2 ln c . 2 2a x a x a
dx ax 1 23 . 2 ln c . 2 2a a x a x
例11. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
例12. 求
e3
x
x
dx .
3 x
x
解: 原式 = 2 e
2 3 e 3
2 3 x d x e d(3 x ) 3 C
被积函数中含有三角函数的例子 例13 求三角函数的不定积分
ln cos x cot xdx ? sin x sin x
ln sin x C
sec2 x 1 d tan x dx d x tan x ln tan x c 例 16 . sin x cos x tan x 1 sin2 x cos2 x sinx cos x dx sinx cos x dx (tan x cot x )dx ln cos x ln sin x C ln tan x C 1 1 x 例16ln tan x c . 例 17 . csc x dx d dx x cos x 2 2 sin x sin 2 2 2 sin 2 x 1 cos x x 2 tan csc x cot x . 2 2 sin x cos x sin x 2 2 csc x dx ln csc x cot x c . (新公式)
第一类换元积分法
cscu cotudu cscu c
1 du arcsin u c 1u2
1
1 u
2
dx
arctanu
c
3.积分形式不变性下的
基本积分公式应用举例： 1
(1) 1 (3x)2 d (3x) arctan3x c
1
1 u2
du
arctanu
c
dx 1 d(3x)
1
1 (3x)2
dx
du u c
u du 1 u1 c
1
1 u
dx
ln
u
c
audx 1 au c ln a
eudx eu c
cosudu sin u c sin udu cosu c csc2udu cotu c
sec2 udu tanu c
secu tan udu secu c
u 3 2x
1
dx 1 du 2
1 du 1 ln u c
u
2
2
3
dx 2x
1 2
3
1 2x
d
(3
2
x)
1 ln 3 2x c 2
dx
凑微分
1
d
(3
2x)
2
4.常见凑微分
(1)dx 1 d (ax b) a
(1)求 2x 3dx
1? 解:因为dx _2__ d(2x 3)
凑微分法引入
(sin 2x) 2cos2x,
已知 问题
cosxdx
cos 2 xdx
sin x c
sin 2x
C
,
cos2xdx
sin
2x
c
解决方法 根据函数的复合过程，设置中间变量.
第一换元积分法(凑微分法)
π π 作三角变换，令 x a sin t t , 那么 2 2
求 a 2 x 2 dx.
x
2 a x 1 a 2 x 2 dx arcsin x a 2 x 2 C . 2 a 2
a2 - x 2
x π π 解 令 x a tan t t ，则dx a sec 2 tdt． 2 2 dx a sec 2 t 1 1 d t cos t d t sin t C ． 所以 3 3 3 3 2 a a 2 x 2 2 a sec t a
积分
F t C
t 1 x 回代
1 F x C.
这种方法叫第二换元法．
使用第二换元法关键是恰当的选择变换函数x t , 对 于 x t , 要 求 其 单 调 可 导 ， t 0, 且 其 反 函 数 t 1 x 存在．下面通过一些例子来说明．
例 2
解 注意到被积式中含有 e 项,而余下的部分恰有 微分关系： 2 xdx d( x 2 ) ．于是类似于例 1,可作如下变 换和计算：
求 2 xe dx ．
x2
x2
2 xe dx e d( x )
x
2
x
2
2
令u x 2
回代 x 2 e du e C e C.
2 2
解
设u cos x, 得 du sin xdx ,
求 cos 2 x sin xdx .
例 4
解
dx 求 ． 2 x 1 ln x
dx x 1 ln 2 x 1 ln 2 x x arcsin ln x C . dx 1
换元积分法
tan 2tdt (sec2t - 1)dt tan t - t C
x sect
2
1 cos t
1 cost , x
1 t arccos , x
1 原式 x - 1 - arccos C x
练习：
2、三角代换：被积函数型如→
(1) a 2 x 2 , 设x a sin t ; (3) x 2 a 2 , 设x a sect. (2) a 2 x 2 , 设x a tan t ;
例1：求 4 - x 2 dx
解：设x 2 sin t , 则 4 - x 2 4 - 4 sin 2 t
4(1 sin 2 t ) 2 cost
dx d (2 sin t ) (2 sin t)' dt 2 costdt
原式 2 cos t 2 cos tdt
2t sin 2t C x x 4 - x2 sin t , t arcsin , 又 cos t 2 2 2
解：设x 3 tan t , 则 x 2 9
dx d (3 tan t ) (3 tan t)' dt 3 sec2 tdt
原式 1 3 sec2 tdt 3 sect
sectdt
ln sect tan t C
x tan t , 3
sect
cosudu 求结果 sin u C
分析本例被积函数的特点：
sin x 2 C
1、被积函数能看做两函数的乘积; 2、其一为复合函数；
3、其二能看做复合函数的中间变量的导数。
此题的解法被称作第一换元法，又叫凑微分法。用公式表示为：
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x 2
c
.
tan
x 2
2 sin 2
x 2
2
sin
x 2
cos
x 2
1 cos sin x
x
csc
x
cot
x
.
csc x dx ln csc x cot x c . (新公式)
sec x dx
csc
2
x
d
2
x
(新公式)
ln
csc
2
x
cot
2
x
c ln sec x tan x
b)
x k dx
k
1
1
d
(
xk 1)
(k
1 1) a
d
(axk
1
b)
1 x
dx
d (ln x) d (a ln x)
1 b
d (a b ln x)
e xdx d (e x ) d (e x b)
cos x dx d (sin x) d (sin x b)
sin x dx d (cos x) d (cos x b)
dx
a
2
1
1
x a
ad 2
x a
1 a
arctan
x a
c.
例10, 例11加入基本积分表.
例12 .
x2
dx 4x
8
(
d x
(
x 2)2
2)
例 10
4
1 2
arctan (
x
2
2) c
.
在积分过程中, 适当的函数运算是必要的 .
例 13 .
tan
x dx
sin cos
x x
dx
d (x2)
1 2
arctan
x2
c.
例 5.
ln2 x
x
dx
ln
x)
1 3
ln 3
xc .
例 6.
sin3
x cos xdx
sin3
x d sin x
1 4
sin4
xc.
常用的"凑微分":
dx
1 a
d(ax b)
xdx
1 2
d(x2)
1 2
d(x2
b)
1 2a
d (ax 2
x x
dx
1 sin2
x
cos x sin2 x
dx
csc2 x csc x cot x dx cot x csc x c .
另解
:
1
dx cos
x
dx 2cos2
x 2
sec2
x 2
d
x 2
...
例20 .
4
1 x2 arcsin
x 2
dx
1 arcsin
x 2
1 dx 4 x2
1 arcsin
x 2
d
arcsin
x 2
ln
arcsin
x 2
c.
1 a2
x2
dx
arcsin
x a
c
(公式)
例21. 设 f (sin2 x) cos2 x , 求 f ( x) .
解 . 记 u sin2 x ,
代入上式得: f (u) 1 u .
f (u) (1 u )du
1 2
(2x
1)8
(2x 1)dx
1 2
(2x 1)8d(2x 1)
1 2
(2x 1)9 9
c
1 (2x 1)9 c . 18
例 3.
x
1
x2 dx
1 2
1 x2 d (1 x2 )
3
3
1 2
2 3
1 x2
2
c
1 3
1 x2
2 c.
例4.
1
x x
4
dx
1 2
1 1 x4
一 . 第一换元法公式: (凑微分法)
g( x)dx f ( x) ( x)dx
u( x)
f (u)d u
g( x) f ( x)( x)
例1 .
cos 3xdx
1 3
cos 3x (3x)dx
1 3
cos 3 x
d(3x)
1 3
sin 3 x
c
.
例 2.
(2x
1)8 dx
例17.
1
dx e
x
.
解法1
(1 ex ) ex 1 ex
dx
dx
d(1 ex ) 1 ex
x ln(1 ex ) C
解法2
ex 1 ex
dx
d(1 ex ) 1 ex
ln(1 ex ) C
ln(1 ex ) ln[ex (ex 1)] 两法结果一样
例18.
1 2x 3
5
3
例9 求三角函数的不定积分
结论: 一般地, 对形如 这样的不定积分:
当n为偶数时应先降次后再积分；
当n为奇数时应先凑微分再积分；
对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分.
例10 .
1 a2
x2
dx
a
1 1
ad x2 a
x a
arcsin
x a
c
.
例11 .
a
2
1
x2
d cos x cos x
ln cos x c . (新公式)
cot x dx ln sin x c . (新公式)
积分是否正确, 可用微分法检验.
例 14 .
dx x2 a2
1 2a
x
1
a
x
1
a
dx
1 2a
x
1
a
dx
x
1
a
dx
1 2a
ln
x
a
ln
x
a
c
1 ln x a c . (新公式) 2a x a
dx a2 x2
x
dx 2 a
2
1 2a
ln
xa xa
c.
(新公式)
例 15 .
sin
1 x cos
x
dx
sec2 x tan x
dx
d tan x tan x
ln tan x c .
例16.
csc
x
dx
1 sin
x
dx
sin
1
x 2
cos
xd 2
x 2
例15
ln
tan
x dx d 1 x2 1 x2
以上方法不必硬背, 而在于熟练运用!
课堂练习
例8. 求 sec6xdx.
解: 原式 = sec4x sec2 xdx.
(tan 2 x 1)2 sdect2anxdxx
(tan4 x 2 tan2 x 1) dtan x
1 tan5 x 2 tan3 x tan x C
c.
sec x dx
sec x(sec x tan x)dx sec x tan x
(sec2 x sec x tan x)dx sec x tan x
d(sec x tan x) ln sec x tan x c . sec x tan x
csc x dx ln csc x cot x c . (新公式)
dx 2x 1
2x 3
2x 3
2x 1
2x 1 2x 3
2x 1 dx
2x 3 4
2x 1dx
1 4
2x
3
dx
1 4
2x 1 dx
1 8
2x
3
d(2x
3)
1 8
2x 1 d(2x 1)
1 2x 33 1 2x 13 c .
12
12
例19.
1
1 cos
x
dx
1 cos 1 cos2
u
u2 2
c .
f (x) x x2 c . 2
例22
求
arctan x(1
xdx. x)
解
原
2
arc 1
tan (x
x )2
d
x.
arctanu
2 1 u2 du.
令 u x
2 arctanud(arctanu)
arctan u2 C arctan