高中数学集合的基本运算(二)
1.3集合的基本运算课件(第二课时)-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
在实数范围内有三个解：2， 3， − 3，即{ ∈ |( − 2)( 2 − 3) = 0} =
{2, 3, − 3}.
全集、补集
全集的定义：
一般地，如果一个集合包含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就
称这个集合为全集（universe set），通常记作U．
补集的定义：
对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为
拓展补充——集合中元素的个数
问题2:学校举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运
动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人
两次远动会中，这个班共有多少名同学参赛？
拓展补充——集合中元素的个数
更一般地,对于有限集合, , ,你能发现 ( ∪ ∪ )与 (), (),
集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，
记作 CU A，即 CU A {x | x U , 且x A}．
补集的Venn图表示
补集
【例5】设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求
CU A，CU B
【解析】根据题意可知，U={1，2，3，4，5，6，7，8}，所以
（4）若A⊆B，则A∪B=B，反之也成立．
交集的概念：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A
与B的交集．
交集的性质：（1）A∩A=A；（2）A∩
=
；（3）(A∩B)⊆B，(A∩B)⊆A；
（4）若A⊆B，则A∩B=A，反之也成立．
新课引入
在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围.
CU A ={4，5，6，7，8}，
第02讲 集合的运算(7大考点13种解题方法)(解析版)
第02讲集合的运算（7大考点13种解题方法）考点考向集合之间的基本运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U 表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }1.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的并集，记作A ∪B ；符号表示为A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }2．并集的性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ⊆A ∪B .3.对于两个给定的集合A 、B ，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的交集，记作A ∩B。
符号为A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }。
4.交集的性质A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ⊆A .5、对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A 。
符号语言：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }。
【要点注意】1．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()UUA B A B U ⇔=∅⇔=痧.2.德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()()U UU A B A B 痧；②交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU AB A B 痧．方法技巧1.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解.2.求集合交集的方法为：（1）定义法，（2）数形结合法．（3）若A ，B 是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．3.集合基本运算的求解规律(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn 图求解．(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况．(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解．考点精讲考点一：交集题型一：交集的概念及运算1．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则A B =（）A ．{1,2,3,4}B ．{2,3}C ．{1,2}D ．∅【答案】B【分析】根据交集的定义可求A B .【详解】{}2,3AB =，故选：B.2．（2022·全国·高一）已知集合{}22A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，则A B =（）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}2,0,1,2-D ．{}1,0,1,2-【答案】B【分析】根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】因为{}22A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以{0,1}A B =，故选:B ．题型二：根据交集的结果求集合或参数3．（2017·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知集合{}2,3,4,5A =，{}1,B a =，若{}5A B =，则=a （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】根据集合的交运算结果，即可求得参数值.【详解】因为{}5A B =，故可得{}51,a ∈，则5a =.故选：D.4．（2021·湖北·车城高中高一阶段练习）若集合{}322P x x =<≤，非空集合{}2135Q x a x a =+≤<-，则能使()Q PQ ⊆成立的所有实数a 的取值范围为()A ．(1,9)B ．[1,9]C ．[6,9)D ．(6,9]【答案】D【分析】由()Q P Q ⊆知Q P ⊆，据此列出不等式组即可求解.【详解】∵()Q P Q ⊆，∴P Q Q ⋂=，Q P ⊆，∴21352133522a a a a +<-⎧⎪+>⎨⎪-≤⎩，解得69a <≤，故选：D.题型三：根据交集的结果求集合元素个数5．（2021·河南·襄城县实验高级中学高一阶段练习）已知集合()1,A x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，(){},B x y y x ==，则AB 中元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】联立方程解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，得到答案.【详解】1y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，故A B 中有两个元素.故选：C.6．（2022·江苏·高一）若集合{}1,2,3,4A B =，{}1,2A B =，集合B 中有3个元素，则A中元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．不确定【答案】C【分析】根据条件得到{}1,2,3B =或{}1,2,4B =，进而可得集合A 中元素个数.【详解】{}1,2AB =，则集合B 中必有元素1，2当{}1,2,3B =时，{}1,2,4A =，当{}1,2,4B =时，{}1,2,3A =，故集合A 中元素个数为3.故选：C.考点二：并集题型四：并集的概念及运算1．（多选）（2021·福建·晋江市磁灶中学高一阶段练习）已知集合{|2}A x x =<，{|320}B x x =->，则（）A ．32AB x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．{}2A B x x ⋃=<D ．A B R=【答案】AC【分析】先求得集合B ，由此确定正确选项.【详解】3{|320}{|}2B x x B x x =->==<，所以32A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭，{}2A B x x ⋃=<.故选：AC2．（多选）（2021·福建省同安第一中学高一阶段练习）已知集合{|2}A x x =<，{|320}B x x =->，则（）A ．32AB x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．A B R=D ．{}A B 2x x ⋃=<【答案】AD【解析】先化简集合B ，再由交集和并集的概念，即可得出结果.【详解】因为集合{|2}A x x =<，{}33202B x x x x ⎧⎫=->=<⎨⎬⎩⎭，因此32A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭，{}A B 2x x ⋃=<.故选：AD.题型五：根据并集的结果求集合或参数3．（多选）（2022·湖北武汉·二模）已知集合{}{}1,4,,1,2,3A a B ==，若{}1,2,3,4A B =，则a 的取值可以是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】AB【分析】根据并集的结果可得{}1,4,a {}1,2,3,4，即可得到a 的取值；【详解】解：因为{}1,2,3,4A B =，所以{}1,4,a {}1,2,3,4，所以2a =或3a =；故选：AB4．（多选）（2021·湖南·高一期中）已知集合{}1,4,M x =，{}2,3N =，若{}1,2,3,4M N =U ，则x 的可能取值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BC【分析】根据题意，结合集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，即可求解.【详解】由题意，集合{}1,4,M x =，{}2,3N =，且{}1,2,3,4M N =U 根据集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，可得2x =或3x =．故选：BC.题型六：根据并集的结果求集合元素个数5．（多选）（2021·广东揭阳·高一期末）若集合{}0,1,2,A x =，2{1,}B x =，A B A ⋃=则满足条件的实数x 为()A ．0B ．1C ．D ．【答案】CD【分析】由A B A ⋃=说明B 是A 的子集，然后利用子集的概念分类讨论x 的取值．【详解】解：由A B A ⋃=，所以B A ⊆．又{}0,1,2,A x =，2{1,}B x =，所以20x =，或22x =，或2x x =．20x =时，集合A 违背集合元素的互异性，所以20x ≠．22x =时，x =或x =2x x =时，得0x =或1x =，集合A 均违背集合元素互异性，所以2x x ≠．所以满足条件的实数x 的个数有2个．故选CD ．【点睛】本题考查了并集及其运算，考查了子集的概念，考查了集合中元素的特性，解答的关键是要考虑集合中元素的互异性，是基本的概念题，也是易错题．考点三：补集、全集题型七：补集的概念及运算1．（2022·广东汕尾·高一期末）全集U =R ，集合{}3A x x =≤-，则 U A =ð______．【答案】{}3x x >-【分析】直接利用补集的定义求解【详解】因为全集U =R ，集合{}3A x x =≤-，所以 U A =ð{}3x x >-，故答案为：{}3x x >-2．（2022·江苏·高一单元测试）若全集S ＝{2,3,4}，集合A ＝{4,3}，则S A ð＝____；若全集S ＝{三角形}，集合B ＝{锐角三角形}，则S B ð＝______；若全集S ＝{1,2,4,8},A ＝∅，则S A ð＝_______；若全集U ＝{1,3,a 2＋2a ＋1}，集合A ＝{1,3}，U A ð＝{4}，则a ＝_______；已知U 是全集，集合A ＝{0,2,4}，U A ð＝{－1,1}，U B ð＝{－1,0,2}，则B ＝_____.【答案】{2}{直角三角形或钝角三角形}{1,2,4,8}1或－3{1,4}【分析】利用补集的定义，依次分析即得解【详解】若全集S ＝{2,3,4}，集合A ＝{4,3}，由补集的定义可得S A ð＝{2}；若全集S ＝{三角形}，集合B ＝{锐角三角形}，由于三角形分为锐角、直角、钝角三角形，故S B ð＝{直角三角形或钝角三角形}；若全集S ＝{1,2,4,8},A ＝∅，由补集的定义S A ð＝{1,2,4,8}；若全集U ＝{1,3,a 2＋2a ＋1}，集合A ＝{1,3}，U A ð＝{4}，故{1,3,4}U U A A =⋃=ð即2214a a ++=，即223(1)(30a a a a +-=-+=），解得=a 1或－3；已知U 是全集，集合A ＝{0,2,4}，U A ð＝{－1,1}，故{1,0,1,2,4}U U A A =⋃=-ð，U B ð＝{－1,0,2}，故B ={1,4}。
2019-2020年高中数学必修一1.1.3《集合的基本运算(2)》Word精讲精析
2019-2020年高中数学必修一1.1.3《集合的基本运算（2）》Word 精讲精析学习目标展示1. 能熟练地进行集全的并、并、补运算2. 理解补集的性质及其应用3. 能够进行集合的运算与性质的综合应用衔接性知识1. 已知全集，集合，求：（1），，，（2），解：（1），，（2），所以，2．观察上题的结果，你能猜想得到什么结论？解：从上题结果可猜想结论， [()]()[()]A B B A B A B A B =C C典例精讲剖析例1．已知全集，集合，，，求集合解：全集，例2. 设全集，，，求解：，由题且，解之或.例3. 设全集，，求、.解：将1、2、3、4代入中，或，当m = 4时，，即A = {1，4}，又当m = 6时，，即A = {2，3}.故满足条件： = {1，4}，m = 4； = {2，3}，m = 6例4．设，集合，；若，求的值解：，由，得而2{|(1)0}{|(1)()0}B x x m x m x x x m =+++==++=当时，，符合；当时，，而，∴，即∴或精练部分A 类试题（普通班用）1. 已知全集{}{}5,42,13,0,2U R A x x B x x P x x x ⎧⎫==-≤<=-<≤=≤≥⎨⎬⎩⎭或求 解：，，2. 已知，，，试用列举法写出集合解：∵，，∴而}，∴3.设全集，方程有实数根，方程有实数根，求解：当时，，即；当时，，解得∴而对于，即，∴从而4. 全集，，如果求实数解：，∴从而实数的值为5. 已知全集{5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5}I =-----，集合，，其中，若，求解：，，，考查集合若，则，此时，，，，与已知矛盾.若，则，此时，，，，与已知相符.，所以B 类试题（尖子班用）1. 设全集，集合，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．解：，，选C2. 设全集，，，那么（ ）A ．B ．C ．D ． 解：3{(,)|1}{(,)|1,2}2y M x y x y y x x x -====+≠-， ，，选B3. 下列命题之中，U 为全集时，不正确的是（ B ） A ．若，则 B ．若，则=或=C ．若，则D ．若，则解：B 不正确，如，，则，但，4．已知全集{}{}5,42,13,0,2U R A x x B x x P x x x ⎧⎫==-≤<=-<≤=≤≥⎨⎬⎩⎭或那么 解：，，5．已知集合，，那么集合 ， ，解：或；；或6. 已知，，，试用列举法写出集合解：∵，，∴而}，∴7.设全集，方程有实数根，方程有实数根，求解：当时，，即；当时，，解得∴而对于，即，∴从而8. 全集，，如果则这样的实数是否存在？若存在，求出；若不存在，请说明理由 解：设满足条件的实数存在，则，∴，解得从而存在实数，满足已知条件9. 已知全集{5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5}I =-----，集合，，其中，若，求解：，，，考查集合若，则，此时，，，，与已知矛盾.若，则，此时，，，，与已知相符.，所以10. 设全集，集合，，且，求实数、的值。
1.3 集合的基本运算(第二课时)(同步训练)(附答案)—高一上学期数学必修第一册
1.3 集合的基本运算（第二课时）（同步训练）一、选择题1.已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩∁N B等于()A．{1,5,7} B．{3,5,7}C．{1,3,9} D．{1,2,3}2.(多选)设全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{0,1,4}，B＝{0,1,3}，则()A．A∩B＝{0,1} B．∁U B＝{4}C．A∪B＝{0,1,3,4} D．集合A的真子集个数为83.已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是()A．a≤2 B．a<1C．a≥2 D．a>24.图中的阴影部分表示的集合是()A．A∩(∁U B) B．B∩(∁U A)C．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)5.设全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9}，B＝{x∈Z|－4<x<4}，则集合(∁U A)∩B中的元素的个数为()A．3 B．4 C．5 D．66.(多选)已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是()A．A∩B＝∅B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}C．A∪∁R B＝{x|x≤－1或x＞2} D．A∩∁R B＝{x|2＜x≤3}7.M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁I M＝∅，则M∪N等于()A．M B．NC．I D．∅二、填空题8.已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________9.已知集合A＝{1,2，m}，集合B＝{1,2}，若∁A B＝{5}，则实数m＝________10.已知全集U＝A∪B＝{1,2,3,4}，A＝{1,2,4}，A∩B＝{1}，则集合∁U B为________，集合B 共有________个子集．11.设全集U＝R，已知集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|x<a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a的取值范围为________12.已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是________三、解答题13.已知全集U＝R，集合A＝{x|x<1或x>2}，集合B＝{x|x<－3或x≥1}，求∁R A，∁R B，A∩B，A∪B．14.已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|4x＋p<0}，且B⊆∁U A，求实数p的取值范围．15.已知集合A＝{x|x2＋4ax－4a＋3＝0}，B＝{x|x2＋(a－1)x＋a2＝0}，C＝{x|x2＋2ax－2a＝0}，其中至少有一个集合不为空集，求实数a的取值范围．参考答案：一、选择题1.A2.AC3.C4.B5.B6.BD7.A二、填空题8.答案：{2,3,5,7}9.答案：510.答案：{2,4}，411.答案：{a|a>3}12.答案：{a|a≥2}解析：因为B＝{x|1<x<2}，所以∁R B＝{x|x≤1或x≥2}．又因为A∪(∁R B)＝R，A＝{x|x<a}，观察∁R B与A在数轴上表示的区间，如图所示．可得当a ≥2时，A ∪(∁R B)＝R.三、解答题13.解：如图，可知∁R A ＝{x|1≤x ≤2}，∁R B ＝{x|－3≤x<1}．所以A ∩B ＝{x|x<－3或x>2}，A ∪B ＝R.14.解：∁U A ＝{x|x<－1或x>2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x<－p 4. 因为B ⊆∁U A ，所以－p 4≤－1.所以p ≥4. 所以p 的取值范围是{p|p ≥4}．15.解：假设集合A 、B 、C 都是空集，当A ＝∅时，表示不存在x 使得x 2＋4ax －4a ＋3＝0成立，所以Δ＝16a 2－4(－4a ＋3)＜0，解得－32＜a ＜12； 当B ＝∅时，同理Δ＝(a －1)2－4a 2＜0，解得a ＞13或a ＜－1； 当C ＝∅时，同理Δ＝(2a)2＋8a ＜0，解得－2＜a ＜0.三者交集为－32＜a ＜－1，取反面即可得A ，B ，C 三个集合至少有一个集合不为空集， 所以a 的取值范围是a ≥－1或a ≤－32.。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.3 集合的基本运算(第2课时)补集及综合应用学案 新人教A
2018版高中数学第一章集合与函数概念1.1.3 集合的基本运算（第2课时）补集及综合应用学案新人教A版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第一章集合与函数概念1.1.3 集合的基本运算（第2课时）补集及综合应用学案新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高中数学第一章集合与函数概念1.1.3 集合的基本运算（第2课时）补集及综合应用学案新人教A版必修1的全部内容。
第2课时补集及综合应用1．了解全集的含义及其符号表示．（易混点）2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点）3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)[基础·初探]教材整理补集阅读教材P10补集以下部分，完成下列问题．1．全集(1）定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．（2)记法:全集通常记作U。
2．补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝｛x|x∈U，且x∉A}图形语言3∁U U＝∅,∁U∅＝U，∁U（∁U A）＝A.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”）(1)只有实数R才可以做为全集U.（）(2）一个集合的补集一定含有元素．( ）(3）集合∁Z N与集合∁Z N＊相等．（)【解析】（1）×.由全集的定义可知，所有的集合都可以做为全集．(2)×。
∵∁U U＝∅,∴（2）错．(3）×.∵0∉∁Z N,而0∈∁Z N＊，∴(3）错．【答案】（1)×（2)×（3）×2．已知全集U＝{x｜|x｜<5,x∈Z｝，A＝{0,1，2｝，则∁U A＝________。
高中数学：第一章1.1.3集合的基本运算 (2)
集合1．1.3集合的基本运算第一课时并集与交集预习课本P8～10，思考并完成以下问题(1)两个集合的并集与交集的含义是什么？它们具有哪些性质？(2)怎样用Venn图表示集合的并集和交集？[新知初探]1．并集和交集的概念及其表示类别概念自然语言符号语言图形语言并集由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}[点睛](1)两个集合的并集、交集还是一个集合．(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B 可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．2．并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)并集定义中的“或”就是“和”．()(2)A∪B表示由集合A和集合B中元素共同组成．()(3)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合．() 答案：(1)×(2)×(3)√2．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于() A．{0,1}B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}答案：D3．若集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－3<x<3}，则A∩B＝() A．{x|－3<x<2} B．{x|－5<x<2}C．{x|－3<x<3} D．{x|－5<x<3}答案：A4．满足{1}∪B＝{1,2}的集合B的个数是________．答案：2并集的运算[例1](1)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝() A．{1,2,3,4}B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于()A．{x|x>－2} B．{x|x>－1}C．{x|－2<x<－1} D．{x|－1<x<2}[解析](1)由题意得A∪B＝{1,2,3,4}．(2)画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．[答案](1)A(2)A求集合并集的2种基本方法[活学活用]1．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝() A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5}解析：选A将集合M和N在数轴上表示出来，如图所示，可知M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．2．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，则A∪B＝________________. 解析：A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．答案：{0,1,2,3,4,5}交集的运算[例2](1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5B．4C．3 D．2[解析](1)在数轴上表示出集合A与B，如下图．则由交集的定义，A∩B＝{x|0≤x≤2}．(2)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.[答案](1)A(2)D1．求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为：(1)定义法，(2)数形结合法． 2．若A ，B 是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．[活学活用]3．(2017·北京高考)若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2<x <－1} B ．{x |－2<x <3} C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <3}解析：选A 由集合交集的定义可得A ∩B ＝{x |－2<x <－1}． 4．若集合A ＝{x |2x ＋1>0}，B ＝{x |－1<x <3}，则A ∩B ＝________.解析：∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－12，B ＝{x |－1<x <3}，画数轴如图：∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <3. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <3题点一：由并集、交集求参数的值1．已知M ＝{1,2，a 2－3a －1}，N ＝{－1，a,3}，M ∩N ＝{3}，求实数a 的值．由集合的并集、交集求参数解：∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M ； ∴a 2－3a －1＝3，即a 2－3a －4＝0， 解得a ＝－1或4.但当a ＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； 当a ＝4时，M ＝{1,2,3}，N ＝{－1,3,4}，符合题意． ∴a ＝4.题点二：由并集、交集的定义求参数的范围2．设集合A ＝{x |－1<x <a }，B ＝{x |1<x <3}且A ∪B ＝{x |－1<x <3}，求a 的取值范围．解：如图所示，由A ∪B ＝{x |－1<x <3}知，1<a ≤3.题点三：由交集、并集的性质求参数的范围3．已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，集合B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．解：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ， ①当B ＝∅时，k ＋1>2k －1，∴k <2.②当B ≠∅，则根据题意如图所示： 根据数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1≤2k －1，－3<k ＋1，2k －1≤4，解得2≤k ≤52.综合①②可得k 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪k ≤52. 4．把3题中的条件“A ∪B ＝A ”换为“A ∩B ＝A ”，求k 的取值范围．解：∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .又A ＝{x |－3<x ≤4}，B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，可知B ≠∅.由数轴可知⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1≤－3，2k －1≥4，解得k ∈∅，即当A ∩B ＝A 时，k 不存在．由集合交集、并集的性质解题的方法及关注点(1)方法：当题目中含有条件A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将关系进行等价转化如：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B 等．此类问题常借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．(2)关注点：当题目条件中出现B ⊆A 时，若集合B 不确定，解答时要注意讨论B ＝∅的情况．层级一 学业水平达标1．(2017·浙江高考)已知集合P ＝{x |－1<x <1}，Q ＝{x |0<x <2}，那么P ∪Q ＝( ) A ．(－1,2) B ．(0,1) C ．(－1,0)D ．(1,2)解析：选A 根据集合的并集的定义，得P ∪Q ＝(－1,2)． 2．若A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |x ＝3a ，a ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{1,2}B ．{0,1}C．{0,3} D．{3}解析：选C因为B＝{x|x＝3a，a∈A}＝{0,3,6,9}，所以A∩B＝{0,3}．3．A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则下图中阴影部分表示的集合为()A．{2} B．{3}C．{－3,2} D．{－2,3}解析：选A注意到集合A中的元素为自然数，因此A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而B＝{－3,2}，因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}，故选A.4．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于()A．{1,2} B．{1,5}C．{2,5} D．{1,2,5}解析：选D∵A∩B＝{2}，∴2∈A,2∈B，∴a＋1＝2，∴a＝1，b＝2，即A＝{1,2}，B＝{2,5}．∴A∪B＝{1,2,5}，故选D.5．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是() A．a<2 B．a>－2C．a>－1 D．－1<a≤2解析：选C∵A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，要使A∩B≠∅，借助数轴可知a>－1.6．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．解析：∵A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，∴A∪B＝{1,2,3,4,5}，∴A∪B中元素个数为5.答案：57．若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________. 解析：借助数轴可知：A∪B＝R，A∩B＝{x|－1＜x≤1，或4≤x<5}．答案：R{x|－1＜x≤1，或4≤x<5}8．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围为________．解析：因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，解得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ －a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.由①②，得a 的取值范围为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]9．已知集合M ＝{x |2x －4＝0}，集合N ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}，(1)当m ＝2时，求M ∩N ，M ∪N .(2)当M ∩N ＝M 时，求实数m 的值．解：(1)由题意得M ＝{2}．当m ＝2时，N ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，则M ∩N ＝{2}，M ∪N ＝{1,2}．(2)∵M ∩N ＝M ，∴M ⊆N .∵M ＝{2}，∴2∈N .∴2是关于x 的方程x 2－3x ＋m ＝0的解，即4－6＋m ＝0，解得m ＝2.10．已知集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x －m <0}．(1)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值范围．解：(1)∵A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x <m }，又A ∩B ＝∅，∴m ≤－2.(2)∵A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x <m }，由A ∩B ＝A ，得A ⊆B ，∴m ≥4.层级二 应试能力达标1．设集合M ＝{m ∈Z|－3<m <2}，N ＝{n ∈Z|－1≤n ≤3}，则M ∩N ＝()A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C ．{0,1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：选B 由题意，得M ＝{－2，－1,0,1}，N ＝{－1,0,1,2,3}，∴M ∩N ＝{－1,0,1}．2．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝4}，那么集合M ∩N 为( )A ．x ＝3，y ＝－1B ．(3，－1)C ．{3，－1}D ．{(3，－1)}解析：选D 集合M ，N 中的元素是平面上的点，M ∩N 是集合，并且其中元素也是点，解⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.3．下列四个命题：①a ∈(A ∪B )⇒a ∈A ；②a ∈(A ∩B )⇒a ∈(A ∪B )；③A ⊆B ⇒A ∪B ＝B ；④A ∪B ＝A ⇒A ∩B ＝B .其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选C a ∈(A ∪B )⇒a ∈A 或a ∈B ，所以①错，由交集、并集的定义，易知②③④正确．4．已知M ＝{x |y ＝x 2－1}，N ＝{y |y ＝x 2－1}，那么M ∩N 等于( )A ．{y |y ＝－1或0}B ．{x |x ＝0或1}C ．{(0，－1)，(1,0)}D ．{y |y ≥－1}解析：选D M ＝{x |y ＝x 2－1}＝R ，N ＝{y |y ＝x 2－1}＝{y |y ≥－1}，故M ∩N ＝{y |y ≥－1}．5．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为________． 解析：∵A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，∴a ＝4，a 2＝16或a ＝16，a 2＝4(舍去)，解得a ＝4.答案：46．已知A ＝{x |a <x ≤a ＋8}，B ＝{x |x <－1，或x >5}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为________．解析：由题意A ∪B ＝R ，在数轴上表示出A ，B ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，a ＋8≥5，解得－3≤a <－1. 答案：－3≤a <－17．设集合A ＝{－2}，B ＝{x |ax ＋1＝0，a ∈R}，若A ∪B ＝A ，求a 的值． 解：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .∵A ＝{－2}≠∅，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0.当B ≠∅时，此时a ≠0，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a ， ∴－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12. 综上，a ＝0或a ＝12.8．已知非空集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |3≤x ≤22}．(1)当a ＝10时，求A ∩B ，A ∪B ；(2)求能使A ⊆(A ∩B )成立的a 的取值范围．解：(1)当a ＝10时，A ＝{x |21≤x ≤25}．又B ＝{x |3≤x ≤22}，所以A ∩B ＝{x |21≤x ≤22}，A ∪B ＝{x |3≤x ≤25}．(2)由A ⊆(A ∩B )，可知A ⊆B ，又因为A 为非空集合，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1≥3，3a －5≤22，2a ＋1≤3a －5，解得6≤a ≤9.。
人教B版高中数学必修一 《集合的基本运算》集合与常用逻辑用语(第2课时全集、补集及综合应用)
解析：选 D.由题意，知aa＝2－22，a＋3＝3，得 a＝2.
4．设全集为 R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B) 及(∁RA)∩B. 解：把集合 A，B 在数轴上表示如图，
由图知，A∪B＝{x|2<x<10}， 所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2 或 x≥10}， 因为∁RA＝{x|x<3 或 x≥7}， 所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3 或 7≤x<10}．
1．已知全集 U＝{1，2，3，4，5，6}，集合 P＝{1，3，5}，Q
＝{1，2，4}，则(∁UP)∪Q＝( )
A．{1}
B．{3，5}
C．{1，2，4，6}
D．{1，2，3，4，5}
解析：选 C.由题意得，∁UP＝{2，4，6}， 所以(∁UP)∪Q＝{1，2，4，6}． 故选 C.
2．设全集 U＝R，区间 A＝(0，＋∞)，B＝(1，＋∞)，则
15＝0}，B＝{－3，3，4}，则∁UA＝________，∁UB＝________．
【解析】 (1)借助数轴易得∁UA＝(0，2]．
(2)法一：在集合 U 中， 因为 x∈Z，则 x 的值为－5，－4，－3，3，4，5，所以 U＝ {－5，－4，－3，3，4，5}． 又 A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3，5}， 所以∁UA＝{－5，－4，3，4}，∁UB＝{－5，－4，5}．
A∩(∁UB)＝( )
A．[0，1)
B．(0，1]
C．(－∞，0)
D．(1，＋∞)
解析：选 B.因为∁UB＝(－∞，1]， 所a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，
则实数 a 等于( )
人教课标版高中数学必修一《集合的基本运算(第2课时)》教案-新版
1.1.3 集合的基本运算第二课时一、教学目标（一）核心素养通过这节课的学习，理解全集与补集的概念，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集，能使用Venn图表达集合的运算，体会直观想象对理解抽象概念的作用，培养学生的应用意识与创新意识．（二）学习目标1．理解集合全集的概念．2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．3．能使用Venn图表达集合的关系及运算．（三）学习重点1．全集与补集的概念．2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义．（四）学习难点1．会求给定子集的补集．2．对Venn图表达集合的关系及运算的正确使用．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第10页至第11页．（2）练一练：全集的定义：如果集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看成一个全集，全集通常用符号U表示．补集的三种语言：①文字语言：设U是一个集合，A是U的一个子集(即A⊆U)，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集．②符号语言：C A＝{x|x∈U，且x∉A}．U③图形语言：A U2．预习自测C A＝（）（1）设U={1，2，3}，A={2，3}，求UA．{1} B．{2} C．{2，3} D．{1，2，3}【答案】A．C A B＝（）（2）设U={1，2，3，4}，A={2，3}，B={3，4，5}，求()UA．{1，2，3}B．{4，5}C．{1，2，4}D．{1，4，5}，【答案】C．C A B＝（）（3）设U={1，2，3，4，5}，A={2，3}，B={3，4，5}，求()UA．{1，2}B．{4，5}C．{1}D．{4，5}，【答案】C．(二)课堂设计1．知识回顾（1）元素与集合的关系：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．（2）集合间的基本关系：如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B；若集合A与集合B的元素是一样的，称集合A与集合B相等；若集合A是集合B的子集，且集合A不等于集合B，则集合A是集合B的真子集；把不含任何元素的集合叫做空集．（3）由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记为A ∪B；由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记为A∩B．2．问题探究探究一 明确研究范围，认识全集★ ●活动① 通过练习例题，回顾所学旧知之前，我们已经学过集合的交集、并集运算．我们来看下面的例题： （1）已知A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∪B ＝（ ）A ．{1，2，3，4，5}B ．{2，3，4}C ．{1，2，4}D ．{2，3，5}【答案】A ．（2）已知集合A ＝{x |－5＜x ＜2}，B ＝{x |－3＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ）A ．{x |－3＜x ＜2}B ．{x |－5＜x ＜2}C ．{x |－3＜x ＜3}D ．{x |－5＜x ＜3} 【答案】A ．（3）设集合M ＝{1，2，4，8}，N ＝{x |x 是2的倍数}，则M ∩N ＝（ ）A ．{2，4}B ．{1，2，4}C ．{2，4，8}D ．{1，2，8}【答案】C ．注意在求集合并集时注意集合中元素的互异性，并集对应着“或”，交集对应着“且”． 【设计意图】通过实际例题，考查学生对已学知识点的掌握情况，为认识全集与学习集合间的补集运算打下基础． ●活动② 明确研究范围，认识全集在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围．例如，从小学到初中，数的研究范围逐步地由自然数到正分数，再到有理数，引进无理数后，数的研究范围扩充到实数．在高中阶段，数的研究范围将进一步扩充．在不同范围内研究同一个问题可能有不同的结果． 考查方程()()2230x x --=在下面范围内的解集． （1）有理数范围； （2）实数范围．学生自行求解这个问题，发现在有理数范围内只有一个解，即()(){}{}22302x Q x x ∈--==；在实数范围内有三个解，即()(){}{}22302,3,3x R x x ∈--==-x 的不同取值范围对方程的解集结果有什么影响？（抢答） 范围不同，同一个问题所解得的最后的结果也不同． 教师根据学生的回答，适时引入全集的概念．一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U ．如何理解全集的相对性？全集具有相对性，是相对于我们研究的问题而言的一个概念．如：小学数学研究的问题常在有理数集内，则有理数集是全集．初中代数研究的问题常在实数集内，则实数集就是全集．【设计意图】通过研究方程在不同范围内解的不同，引出集合全集的概念，为后面学习补集的定义打下基础． 探究二 探究集合的补集运算★▲●活动① 通过实例、探究补集概念★考查下面的问题，集合A ，B 与集合U 之间有什么关系？A ={1，3，5}，B ={2，4，6}，U ={1，2，3，4，5，6}；一般地，对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合A 的补集，记作：U C A 根据补集的定义，能否像并集和交集运算一样用数学语言及图形语言（Venn 图）表示出来？ 数学语言表示： U C A =﹛x |x ∈U ，且x ∉A }．图形语言（Venn 图）表示：给定集合A ，它的补集唯一吗？为什么？（抢答）补集是相对于全集的概念，全集若不同，则相应的补集也不一样．通过刚才的实例探究，同学们发现A ，U C A ，U 有着什么关系？（抢答）全集U 是由集合A 与补集U C A 中所有的元素组成的，且A ⊆U ，U C A U ⊆．AU如何理解U C A① A 是U 的一个子集，即A ⊆U ，A 可以是∅，也可以是U . ② U C A 表示一个集合，且U C A ⊆U . ③ U C A 与A 之间没有公共元素．④ U 中的元素各自分布在U C A 和A 中，非此即彼，互不相容．【设计意图】通过实例，引出集合补集的概念，并通过提问抢答的方式，理解补集与全集的关系以及在给定集合中一个子集的补集的含义，并复习之前所学的集合间的基本关系． ●活动② 根据补集概念，探究补集的性质集合A 为任意一个给定的集合，可将集合A 作为特殊的全集U ，空集∅以及补集U C A ，可得补集的三条性质： （1）U C ∅＝U ；（2）U C U =∅；（3）()U U C C A A =．【设计意图】探究补集性质，加深对补集概念的理解．●活动③ 通过实例，会求一个子集的补集▲（1）设U ＝{x | x 是小于9的正整数}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5，6}，求U C A 、U C B ． 解：根据题意可知，U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8 }，所以 U C A ＝{4，5，6，7，8}， U C B ＝{1，2，7，8}．（2）将（1）中的U ＝{x | x 是小于9的正整数}改成U ＝{x | x 是小于10的非负整数}，求U C A 、U C B ．解：根据题意可知，U ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，所以 U C A ={0，4，5，6，7，8，9}， U C B ={0，1，2，7，8，9}．【设计意图】通过实例，加深理解在给定集合中一个子集的补集的含义，并会求所给集合的补集．探究三 使用Venn 图表达集合的关系及运算▲●活动① 应用Venn 图探究集合的运算（反演律） （1）()()()U U U C A B C A C B =；（2）()()()U U U C A B C A C B =．教师给出反演律后，可有学生自主画出Venn 理解并给予证明，培养学生的动手能力． 【设计意图】通过Venn 图探究集合交并补三种运算之间的关系，体会直观想象对理解抽象概念的作用．●活动② 巩固基础，检查反馈例1 (1)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |2＜x ≤5}，则U C A ＝________．(2)已知U ＝{x |－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，x ∈Z }，A ＝{x | x 2－2x －15＝0}，B ＝{－3，3，4}，则U C A ＝________， U C B ＝________． 【知识点】补集及其运算，Venn 图表达集合的关系及运算． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】(1)用数轴表示集合A 为图中阴影部分，故U C A ＝{x | x ≤2或x >5}．（2）可用Venn 图表示，如下图．则U C A ＝{－5，－4，3，4}，U C B ＝{－5，－4，5}． 【思路点拨】求集合补集处理技巧：① 当集合用列举法表示时，可借助Venn 图求解．②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 【答案】 (1) U C A ＝{x | x ≤2或x >5}．(2) U C A ＝{－5，－4，3，4},U C B ＝{－5，－4，5}．同类训练(1)设全集U ＝{x ∈N| x ≥2}，集合A ＝{ x ∈N | x 2≥5}，则U C A ＝（ ） A ．∅ B ．{2} C ．{5}D ．{2，5}(2)已知U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若U C A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________． 【知识点】补集及其运算． 【数学思想】【解题过程】(1)由题意知集合A ＝{x ∈N | x ≥5}，则U C A ＝{2}.(2)∵A ∪U C A ＝U ，且A ∩U C A =∅，∴A ＝{x |1≤x ＜2}，∴a ＝2．【思路点拨】当已知集合较复杂时应化简后再求补集，正确运用补集的性质． 【答案】(1) B ；(2) 2．例2 设U ＝R ，已知集合A ＝{x |－5＜x ＜5}，B ＝{ x |0≤x ＜7}，求： (1) A ∩B ；(2)A ∪B ；(3)A ∪(U C B )；(4)B ∩(U C A )；(5)(U C A )∩(U C B )．【知识点】交、并、补集的混合运算，Venn 图表达集合的关系及运算，子集与交集、并集运算的转换．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】作出数轴表示两个集合：(1) 根据图形知：A ∩B ＝{x |0≤x ＜5}；(2) 根据图形知：A ∪B ＝{x |－5＜x ＜7}．(3)U C B ＝{x |x ＜0或x ≥7}，A ∪(U C B )＝{x |x ＜5或x ≥7}．(4)U C A ＝{x |x ≤－5或x ≥5}，B ∩(U C A )＝{x |5≤x ＜7}．(5)()()()U U U C A C B C A B =＝{x |x ≤－5或x ≥7}．【思路点拨】数轴法要注意各个端点的画法；注意()U U A C A =，()U A C A =∅，从而决定端点的去向．【答案】(1) {x |0≤x ＜5}；(2) {x |－5＜x ＜7}；(3) {x |x ＜5或x ≥7}；(4) {x |5≤x ＜7}；(5) {x |x ≤－5或x ≥7}．同类训练 已知集合A ＝{x |－1＜x ≤4}，M ＝{x |－3≤x ≤7}，S ＝{x |－1≤x ≤8}，则M C A ＝________，S C A ＝_______，M ∩(R C A )＝________；A ∪(R C A )＝________．【知识点】交、并、补集的混合运算，子集与交集、并集运算的转换． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】在数轴上分别画出集合A 、M 、S ，认清全集与所给子集，根据补集的定义求出所给子集的补集．【思路点拨】会求给定集合中一个子集的补集，注意运用数轴法时端点处的取值． 【答案】{x |－3≤x ≤－1或4＜x ≤7}；{x |x ＝－1或4＜x ≤8}；{x |－3≤x ≤－1或4＜x ≤7}；{x |x ＜－1或－1＜x ≤4或x ＞8}．【设计意图】巩固检查集合的全集与补集的概念，熟练应用数轴法与Venn 图求集合交、并、补集的混合运算．●活动③ 强化提升、灵活应用例3 已知全集U ，M ，N 是U 的非空子集，且U C M N ⊇，则必有（ ）A ．M ⊆U C NB ．M ⊇UC N C ．U C M ＝U C ND ．M ＝N【知识点】Venn 图表达集合的关系及运算． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】由图可知M ⊆U C N .要注意：由已知有可能出现M =U C N .因此有可能M =U C N .【思路点拨】这里M 与N 是两个抽象的集合，因此经过补集运算后，它们之间的关系就更加抽象了，而这时用韦恩图法，则使问题变得形象、直观起来．【答案】A ．同类训练 设全集U ≠∅，已知集合M ，P ，S 之间满足关系，M ＝U C P ，P ＝U C S ，则集合M 与S 之间的正确关系是( )A ．M ＝U C SB ．M ＝SC ．S ⊆MD ．S ⊇M【知识点】Venn 图表达集合的关系及运算． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】画出满足M ＝U C P ，P ＝U C S 的Venn 图，由图观察集合M 与S 之间的关系．【思路点拨】研究抽象集合的关系问题，可以利用集合的韦恩图去分析，在作图的时候要设法将所有可能的情况都考虑进去，以防因思虑不全面和由局部图形的先入为主而导致解题的失误．【答案】B ．【设计意图】提高学生运用Venn 图表达集合的关系及运算的能力，培养学生数形结合的思想． 3. 课堂总结知识梳理 （1）全集的概念．一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U ．全集具有相对性，是相对于我们研究的问题而言的一个概念．如：小学数学研究的问题常在有理数集内，则有理数集是全集．初中代数研究的问题常在实数集内，则实数集就是全集．通常也把给定集合的集合叫做全集． （2）补集的概念．一般地，对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合A 的补集，记作：U C A ，即U C A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．可用Venn 图来表示：补集是相对于全集的概念，全集若不同，则相应的补集也不一样． （3）补集的性质．①U∅＝U ；②UU ＝∅；③U(UA )＝A ．④反演律：U(A ∪B )＝(U C A )∩(U C B )；U(A ∩B )＝(U C A )∪(U C B )．重难点归纳（1）理解全集与补集的概念，理解全集具有相对性，补集是相对于全集的概念，全集若不同，则相应的补集也不一样，理解在给定集合中一个子集补集的含义，且()U A C A U =．（2）会应用数轴法求交、并、补集的混合运算，并进行补集与交集、并集运算的转换，注意运用数轴法时端点处的取值．（3）学会应用Venn 图表达集合的关系与运算，在作图的时候要设法将所有可能的情况都考虑进去，避免先入为主的观念．（三）课后作业 基础型 自主突破1．已知U ＝{1，3}，A ＝{1，3}，则UA ＝（ ）A ．{1，3}B ．{1}AUC．{3} D．∅【知识点】补集及其运算．【数学思想】【解题过程】集合A＝U，因此UU＝∅．【思路点拨】根据集合补集的概念进行判断．【答案】D．2．设全集U＝{x∈N*| x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则U(A∪B)＝（）A．{1，4} B．{1，5} C．{2，4} D．{2，5}【知识点】交、并、补集的混合运算．【数学思想】【解题过程】先算出A∪B，在根据补集的定义，求出U(A∪B)．【思路点拨】根据集合并集与补集的概念进行判断．【答案】C．3．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，3}，集合B＝{3，4，5}，则(U A)∪(UB)＝（）A．{1，2，3，4，5} B．{3} C．{1，2，4，5} D．{1，5} 【知识点】交、并、补集的混合运算．【数学思想】【解题过程】U (A∩B)＝(UA)∪(UB)，故先算出A∩B，在根据补集的定义，求出U(A∩B)．【思路点拨】先运用反演律化简，再根据集合并集与补集的概念进行判断．【答案】C．4．若集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{ x | x＜1}，则A∩(RB)＝（）A．{ x | x＞1} B．{ x | x≥1}C．{ x |1＜x≤2} D．{ x|1≤x≤2}【知识点】交、并、补集的混合运算．【数学思想】数形结合思想【解题过程】在数轴上分别表示出集合A，RB，由图形语言解决问题．【思路点拨】将符号语言转化为图形语言．【答案】D．5．设P＝{x︱x＜4}，Q＝{ x︱x2＜4}，则（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆R Q D．Q⊆RP【知识点】补集及其运算．【数学思想】数形结合思想【解题过程】在数轴上分别表示出集合P，Q，R Q，RP，由图形语言解决问题．【思路点拨】将符号语言转化为图形语言，根据集合补集的概念进行判断．【答案】B．6．设全集U＝{2，3，5}，A＝{2，|a－5|}，UA＝{5}，则a的值为（）A．2 B．8 C．2或8 D．－2或8【知识点】补集及其运算．【数学思想】【解题过程】UA＝{5}包含两层意义，①5∉ A；②U中除5以外的元素都在A中．∴|a－5|＝3，解得a＝2或8.【思路点拨】根据集合补集的概念进行判断．【答案】C．能力型师生共研7．设A＝{x|| x |＜2}，B＝{ x | x＞a}，全集U＝R，若A⊆RB，则有（）A．a＝0 B．a≤2 C．a≥2 D．a＜2【知识点】补集及其运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】A＝{x|－2＜x＜2}，RB＝{x| x≤a}，在数轴上把A，B表示出来．【思路点拨】将集合化简后再进行运算．【答案】C．8．集合A含有10个元素，集合B含有8个元素，集合A∩B含有3个元素，则集合A∪B 有________个元素．【知识点】Venn图表达集合的关系及运算，交、并、补集的混合运算．【数学思想】数形结合思想【解题过程】由A∩B含有3个元素知，仅有3个元素相同，根据集合元素的互异性，集合的元素个数为10＋8－3＝15，或直接利用Venn图得出结果．【思路点拨】利用集合交、并、补集的概念及Venn图得出结果．【答案】15．探究型多维突破9．全集U＝{2，0，3－a2}，P＝{2，a 2－a－2}且UP＝{－1}，求实数a．【知识点】补集及其运算．【数学思想】【解题过程】∵U＝{2，0，3－a2}，P＝{2，a 2－a－2}，UP＝{－1}，∴223120aa a⎧-=-⎪⎨--=⎪⎩，解得a＝2.【思路点拨】集合补集的概念构造不等式组，并进行求解．【答案】2．10．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．【知识点】Venn图表达集合的关系及运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】画出满足上述条件的Venn图，由补集的定义可得喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12人．【思路点拨】借助Venn图表达集合的关系及运算．【答案】12．自助餐1．已知全集U＝{0，1，2}且UA＝{2}，则集合A的真子集的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【知识点】补集及其运算．【数学思想】【解题过程】A＝{0，1}，∴真子集的个数为22－1＝3．【思路点拨】根据集合补集的概念求得A＝{0，1}，再由真子集的概念得最后结果．【答案】B．2．如果U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3，4}，B＝{2，4，5}，那么(U A)∩(UB)等于（）A．∅B．{1，3} C．{4} D．{2，5} 【知识点】交、并、补集的混合运算．【数学思想】【解题过程】U A＝{2，5}，UB＝{1，3}，(UA)∩(UB)＝∅．【思路点拨】正确理解集合交、并、补集的概念．【答案】A．3．设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，P＝{1，2，3，4，5}，Q＝{3，4，5，6，7}，则P∩(UQ)等于（）A．{1，2} B．{3，4，5}C．{1，2，6，7} D．{1，2，3，4，5}【知识点】交、并、补集的混合运算．【数学思想】【解题过程】U Q＝{1，2}，∴P∩(UQ)＝{1，2}．【思路点拨】正确理解集合交、并、补集的概念．【答案】A．4．设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，7}，B＝{3，5}，则正确的是（）A．U＝A∪B B．U＝(UA)∪BC．U＝A∪(U B) D．U＝(UA)∪(UB)【知识点】子集与交集、并集运算的转化．【数学思想】【解题过程】U B＝{1，2，4，6，7}，A∪(UB)＝{1，2，3，4，5，6，7}．【思路点拨】正确集合交、并、补集的概念．【答案】C．5．如果U＝{x∈N|x＜6}，A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，那么(U A)∪(UB)＝________．【知识点】交、并、补集的混合运算．【数学思想】【解题过程】U＝{x∈N|x＜6}＝{0，1，2，3，4，5}，∴U A＝{0，4，5}，UB＝{0，1，3}．(U A)∪(UB)＝{0，1，3，4，5}．【思路点拨】先将集合化简，求出U A，UB，再求出两集合的并集．【答案】{0，1，3，4，5}．6．设集合U＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈U| x2－5x＋m＝0}，若UA＝{2，3}，求m的值．【知识点】补集及其运算．【数学思想】【解题过程】∵UA＝{2，3}，U＝{1，2，3，4}，∴A＝{1，4}，即1，4是方程x2－5x＋m＝0的两根，故m＝1×4＝4．【思路点拨】根据集合补集的定义求出m的值．【答案】4．数学视野为数学而疯的康托尔康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者，是数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一．他对数学的贡献是集合论和超穷数理论．年轻的康托尔在27岁的时候，就在数学上表现出优秀的数学天赋，他用有理数列构造实数R，在数学发展历史上，这是“前无古人”的创意．无穷理论的研究，在当时一直是一个世界性的难题，由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度．从1874年开始，康托尔向神秘的“无穷”宣战，他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应．这样看起来，1 厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”．后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论．然而，康托尔在学术上的成就，在最开始，并没有得到同行的认可，尤其是当时欧洲最杰出的数学家之一，也是他的老师——克罗内克，早已流露过不满．1877年，康托尔将发现“所有连续的直线、平面或曲面都是相同等级的无穷”的论文，又投给了《克列尔杂志》．本来，杂志编辑同意发表，但克罗内克一再阻止，导致发表的时间拖到了第二年．这个敏感而卑微的年轻人，面对权威的批评毫无回击之力，加上年轻的康托尔自己过激冲动的情绪．39岁的康托尔，经历了人生第一次精神崩溃，使康托尔曾一度患精神分裂症，被送进精神病诊所．由于生性容易激动，这不仅加剧了他的病情，也让他失去了不少朋友．在康托尔的余生中，多次遭受不同程度的精神崩溃．他不得不一次次出入精神病院．然而，这位伟大的数学家并没有因为自己患病而放弃对数学的探索，在精神状态好的时候，他完成了关于无穷理论的最好的那部分工作．都说，真金不怕火炼，是金子总会发光的，在1897 年举行的第一次国际数学家会议上，康托尔的思想终于大放光彩，他的成就得到承认．伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”．希尔伯特(Hilbert David，1862.1.23-1943.2.14)高度赞誉康托尔的集合论“是数学天才最优秀的作品”，“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”．在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性，并把康托尔的连续统假设列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首．当康托尔的朴素集合论出现一系列悖论时，克罗内克的后继者布劳威尔（1881.2.27－1966.12.2）等人借此大做文章，希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布：“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”．康托尔在数学上的功绩，以及敢于向无穷大冒险迈进的精神，不仅在当时影响引起巨大的反响，为如今数学理论的发展，做出了不朽的贡献．。