最新人教版高中数学选修2-2第一章《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)》预习导航
人教版人教课标高中数学选修2-2基本初等函数的导数公式及导数的演算法则课件
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
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基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 运 算 法 则
一.基本初等函数的导数公式
• 我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x 返回
解：因为y ' ( x3 2 x 3) ' ( x3 ) ' (2 x) ' (3) ' 3x 2 2 所以函数y x3 2 x 3的导数是y ' 3x 2 2
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数学：1.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》课件(新人教A版选修2—2)
'
2x 3
'
3
'
3x 2.
所以,函数 y x 2x 3的导数是 y 3x 2.
' 2
2
例3
日常生活中的饮用水 经过 净化的 . 随着水 , 所需净化费 .已知将 1吨水净 x % 时所需费
通常是
纯净度的提高 用不断增加 化到纯净度为 用 单位 : 元 为 cx 5284 100 x
可以看作函数
和u
0 . 05 x 1 的复合函数
y y u
' x
.由复合函数求导法则有
'
e
0 . 05 x 1
u '
0 .0 5 x 1
0 . 05 e
u
0 . 05 e
.
3 函数
y sin π x φ 可以看作函数 .
'
f x f 3. g x
'
'
x g x f x g x g x 2 g x
0 .
例2
根据基本初等函 的导数公式 数
3
和导数运算法则求函数 y x 2x , 3 的导数.
解 x
因为y x 2x 3
一般地 , 对于两个函数 变量 u , y 可以表示成
y f u 和 u g x , 如果通过 x 的函数 , 那么称这个函数为函 fun
数 y f u 和 u g x 的 复合函数 ( composite ction ), 记作 y f g x .
选修2-2第一章1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
(2)y＝3xex－2x＋e；
(3)y＝xl2n＋x1；
(4)y＝x2－sin xcosx. 22
想一想．如何求函数 y＝tan x 的导数？
例3 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两 点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程， 并在弧AOB上求一点P，使△ABP的面积最大.
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
1．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c 为常数)
f′(x)＝__0
f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝__α_x_α_－_1__
(2)积的导数 ①[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ； ②[cf(x)]′＝ cf′(x) ．
(3)商的导数 gfxx′＝
f′xg[xg－xf]2xg′x(g(x)≠0)
．
【例 1】 求下列函数的导数．
(1)y＝cos
π6；(2)y＝x15；(3)y＝
f′(x)＝__c_o_s__x__
f′(x)＝__－__s_i_n_x___ f′(x)＝__a_x_l_n__a_ (a＞0)
f′(x)＝__e_x_
f′(x)＝__xl_1n_a__ (a＞0，且 a≠1) f′(x)＝__1____ x
2.导数的运算法则
(1)和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ．
x2 ； x
(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos π)′＝cos x；② x53 ′＝x23；
人教版高中数学选修(2-2)-1.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(第1课时)》教学课件
（1）y x tan x （3）y sin x
log 2 x
（2）y sin x 1 cos x
练习
练习：求下列函数的导数
（1） y
1 x
2 x2
5 x3
（2） y x tan x cos x
商的导数
新课讲解
例 7．求函数 y = xsinxcosx 的导数
思考：
设 f(x)＝x(x＋1) (x＋2) … (x＋n)，求 f '(0)．
练习
练习.
函数 f(x)＝x(x－1) (x－2)(x－3) …(x－100)在
x＝0 处的导数值为
()
A. 0
B. 1002
C. 200
D. 100!
课堂小结
1．和（或差）的导数 (u±v)＝u±v．
2．积的导数 (uv)＝uv＋uv．
新课讲解
基本初等函数的导数公式
1. 若f ( x) c（c为常数），则f &( x) x（n n Q*），则f '( x) nxn1；
3. 若f ( x) sin x，则f '( x) cos x；
4. 若f ( x) cos x，则f '( x) sin x；
5. 若f ( x) a x，则f '( x) a x ln a；
6. 若f ( x) e x，则f '( x) e x；
7. 若f ( x)
log a
x，则f
'(x)
1； x ln a
8. 若f ( x) ln x，则f '( x) 1 . x
新课讲解
人教版高中数学选修2-2学案：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）【学习目标】1.能由定义求函数y c =，y x =，2y x =，x y xy x y ===,1,3的导数；2.能运用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.【新知自学】知识回顾：1.函数)(x f y =在点0x x =处的导数是：_____________________，记作0|)(/0/x x y x f =或，即=)(0/x f =∆∆→∆xy x 0l i m _____________________．2.导数的几何意义：函数在)(x f 在0x x =处的导数就是函数图象在点))(,(00x f x 处的切线的斜率k ，即k=____________________________.新知梳理：1. 几个常见函数的导数:(1)若f(x)=c(c 为常数),则=')(x f _________________;(2)若f(x)=x, 则=')(x f _________________;(3)若f(x)=x 2, 则=')(x f _________________; (4)若f(x)=x 1, 则=')(x f _________________;(5)若f(x)=x ,则=')(x f _________________.（1）用导数的定义求导，但运算比较繁杂；（2）用导数的公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度，是我们以后主要求导方法. 对点练习：1.函数()0=x f 的导数为（ ）A. 0B.1C.不存在D.不确定2.已知f(x)=e x,则=')1-(f ______________. 3.x y cos =在6π=x 处切线的斜率为（ ）A.23 B.-23C.21-D.214.曲线n x y =在2=x 处的导数为12，则n 的等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【合作探究】典例精析：例1.求下列函数的导数: （1）y=sin 3π； （2）10x y =；（3）y=5x; (4)21xy =；（5）3x x y =; (6)y=log 3x.变式练习：求下列函数的导数: (1)y=lg2; (2)y=2x1;(3)y=x21）（; (4)y=x x ;(5)x y 31log =.例2.求曲线y=x 3在点()1,1处的切线方程.变式练习： 求过曲线y=sinx 上点），（21,6P π，且与过这点的切线垂直的直线方程.规律总结：1.求简单函数的导函数的基本方法：（1）用导数的定义求导，但运算比较繁杂；（2）用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.2.在求函数的导函数时，可根据函数解析式的结构特征，先进行适当变形，在选择合适的求导公式.【课堂小结】【当堂达标】1. 1.函数32x y =的导数y '=（ ）A.23x B.231x C.221x - D.3132-x2.在曲线2x y =上切线的倾斜角为43π的点是（ ） A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8,82ππ B.()4,23.若()3x x f =，()60/=x f，则0x 的值是（ ）.A.2B.2-C.2±D.1±4.求下列函数的导数：（1）y=log 27; (2)21y x=;(3)y=10x; (4)y=log 5x;(5)y=x 43x .【课时作业】1.若()3x =x f 则()1/f =（ ） A.0 B.31-C.3D.312.已知()a x x f =，若()41/-=-f ，则a 的值等于（ ）A.4B.4-C.5D.5- 3.质点的运动方程是41t s =（其中s 的单位为m ，t 的单位为s ），求质点在s t 3=时的速度.4.求曲线3x y =上过点M ()8,2的切线与坐标轴围成的三角形面积.5.已知()1,1-P 、()4,2Q 是曲线2x y =上的两点，求与直线PQ 平行的曲线2x y =的切线方程.6.已知抛物线y=x 2，直线x-y-2=0，求抛物线上的点到直线的最短距离.7.设f 0(x)=sinx ，f 1(x)=),()(),(120x f x f x f '='N n x f x f n n ∈'='⋅⋅⋅+),()(,1，试求f 2016(x).赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DAC1FDAB推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠F AE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DBa +bx -b-ab a45°ABE1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠F AE ＝45°DBa +bx -b-ab a45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DEa +b-a45°A1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．AB CFEDCDC。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)》预习导航
预习导航请沿着以下脉胳预习：1．几个常用函数的导数2.3⎝⎛⎭⎫sin π6′＝cos π6＝32. 提示：不正确．因为sin π6＝12是一个常数，而常数的导数为零，所以⎝⎛⎭⎫sin π6′＝0. 4．如何理解常数函数的导数为0的意义？提示：设f (x )＝c ，则f ′(x )＝0的几何意义为函数f (x )＝c 的图象上每一点处的切线的斜率都为0，其物理意义为若f (x )＝c 表示路程关于时间的函数，则f ′(x )＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．5．如何理解和记忆指数函数和对数函数的导数公式？提示：指数函数、对数函数的导数公式的记忆对于公式(ln x )′＝1x ，(e x )′＝e x 很好记，但公式(log a x )′＝1x ln a，(a x )′＝a x ln a 的记忆比较难，特别是ln a 的位置易记混，应从以下两个方面加深对公式的理解和记忆．(1)区分公式的结构特征，一要从纵的方面区分“(ln x )′与(log a x )′”和“(e x )′与(a x )′”，二是从横的方面区分“(log a x )′与(a x )′”，找出它们的差异，记忆公式．(2)对公式(log a x )′可用(ln x )′来帮助理解和记忆． (log a x )′＝⎝⎛⎭⎫ln x ln a ′＝1ln a (ln x )′＝1ln a ·1x ＝1x ·ln a.1．下列结论正确的是( )． A ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin x B ．若y ＝sin x ，则y ′＝－cos x C ．若1y x =，则21'y x=-D ．若y =，则'2y =答案：C解析：(cos x )′＝－sin x ；(sin x )′＝cos x ；1)'2x =，故选C.2．已知f (x )＝x 3，则f (x )的斜率为3的切线有( )． A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不能确定 答案：B解析：设切点为(x 0，y 0)，由(x 3)′＝3x 2，得在(x 0，y 0)处切线斜率为3x 20，由题意知3x 20＝3得x 0＝±1，故切点为(1,1)和(－1，－1)．故f (x )的斜率为3的切线有2条．3．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x ，则点P 0的坐标是__________． 答案：(1,0)或(－1，－4)解析：设切点坐标为(x 0，y 0)，∴3x 20＋1＝4，∴x 0＝1或－1. 当x 0＝1时，y 0＝0，当x 0＝－1时，y 0＝－4， ∴P 0(1,0)或P 0(－1，－4)．4．对于函数y ＝x 2，其导数等于原来函数值的点是__________． 答案：(0,0)，(2,4)解析：y ′＝2x ，令2x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝2，得适合条件的点是(0,0)，(2,4)． 5．在抛物线y ＝x 2上，哪一点处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？解：函数y ＝x 2的导数为y ′＝(x 2)′＝2x . 设点(x 1，y 1)处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0， 则k 1＝y ′|x ＝x 1＝2x 1＝4，∴x 1＝2.∴y 1＝4. 设点(x 2，y 2)处的切线垂直于直线4x －y ＋1＝0， 则2221='|=24k y x x x ==-.∴1=8x -.∴2164y =. ∴抛物线上点(2,4)处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0， 点11,864⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线垂直于直线4x －y ＋1＝0.。
新人教A版高中数学(选修2-2)1.2《导数的计算》word教案4篇
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用二．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表)（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三．典例分析例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)tp t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05tp t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+ （2）y ＝xx --+1111；（3）y ＝x · sin x · ln x ；（4）y ＝xx 4； （5）y ＝xxln 1ln 1+-．（6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x（7） y ＝xx x xx x sin cos cos sin +-【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．''''252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==--20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =-（1）因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．四．课堂练习 1．课本P 92练习2．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（y ＝－12 x ＋8）五．回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则六．布置作业§1.1.2 导数的概念学习目标1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 一、预习与反馈（预习教材P 4~ P 6，找出疑惑之处）探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的 导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或 即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)。
选修2-2——基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
1．2 导数的计算1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一), [学生用书P 11])1．问题导航(1)函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x －1，y ＝x 2，y ＝x 1的导数分别是什么？能否得出y ＝x n 的导数公式？(2)正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式分别是什么？如何应用这些公式？2．例题导读通过对P 14例1的学习，应注意以下两个问题： (1)用导数公式直接求函数的导数．(2)变化率的实际意义及利用导数知识解决实际问题的优越性．1．几个常用函数的导数(1)若y ＝f (x )＝c ，则f ′(x )＝0． (2)若y ＝f (x )＝x ，则f ′(x )＝1． (3)若y ＝f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ．(4)若y ＝f (x )＝1x ，则f ′(x )＝－1x2＝－x －2．(5)若y ＝f (x )＝x ，则f ′(x ).2．基本初等函数的导数公式(1)若f (x )＝c (c 为常数)，则f ′(x )＝0．(2)若f (x )＝x α(α∈Q *)，则f ′(x )＝αx α－1． (3)若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos_x ． (4)若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin_x ． (5)若f (x )＝a x ，则f ′(x )＝a x ln_a ． (6)若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ．(7)若f (x )＝log a x ，则f ′(x )＝1x ln a ．(8)若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y ＝x 3＋2，则y ′＝3x 2＋2.( )(2)若y ＝1x ，则y ′＝1x2.( )(3)若y ＝2x，则y ′＝x ·2x －1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．余弦曲线y ＝cos x 在(0，1)处的切线的斜率为( ) A ．1 B ．0 C.π2D ．－1 答案：B3．若y ＝25，则y ′＝________． 答案：04．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－4，则α＝________． 答案：41．对常数函数导数的几何意义与物理意义的两点说明(1)常数函数的导数为0，其几何意义为f (x )＝c 在任意点处的切线平行于x 轴或与x 轴重合，其斜率为0.(2)若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．2．函数y ＝kx (k 为常数)的导数值k 与该函数增减快慢之间的关系(1)函数y ＝kx (k >0)增加的快慢与k 有关系，即与函数的导数有关系，k 越大，函数增加得越快，k 越小，函数增加得越慢．(2)函数y ＝kx (k <0)减少的快慢与|k |有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k |越大，函数减少得越快，|k |越小，函数减少得越慢．利用导数公式求函数的导数[学生用书P 12]求下列函数的导数： (1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝⎝⎛⎭⎫12x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1.[解] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝()x 35′＝35x －25＝355x2.(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 2－1＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. (5)y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝－sin x .用公式求函数导数的方法：(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．(2)对于不能直接利用公式的类型，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y ＝1x4可以写成y ＝x －4，y ＝5x 3可以写成y ＝x 35等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．1．(1)已知函数f (x )＝1x3，则f ′(－3)＝( )A ．81B ．243C ．－243D ．－127解析：选D.∵f (x )＝x －3，∴f ′(x )＝－3x －4＝－3x 4，∴f ′(－3)＝－3（－3）4＝－127. (2)已知f (x )＝ln x 且f ′(x 0)＝1x 20，则x 0＝________．解析：∵f (x )＝ln x (x >0)，∴f ′(x )＝1x，∴f ′(x 0)＝1x 0＝1x 20，∴x 0＝1. 答案：1导数的几何意义(1)求曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线方程． [解] ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线斜率为e 0＝1， 又∵切线过点(0，1)，∴切线方程为y －1＝x －0， 即x －y ＋1＝0.(2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解] 由于y ＝sin x ，y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)， 所以两条曲线在P (x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0， k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sin x 0.若使两条切线互相垂直， 必有cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin 2x 0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．利用导数的几何意义解决曲线切线问题的方法：2．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于________．解析：∵y ′＝－12x －32，∴切线的斜率k ＝－12a －32，∴切线方程是y －a －12＝－12a －32(x －a )．令x ＝0，得y ＝32a －12，令y ＝0，得x ＝3a ，∴三角形的面积S ＝12·3a ·32a －12＝18，解得a ＝64.答案：64导数几何意义的综合应用[学生用书P 12](1)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( )A.1nB.1n ＋1C.n n ＋1D ．1 [解析] 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n . 令x ＝1，得在点(1，1)处的切线的斜率k ＝n ＋1， ∴在点(1，1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)，令y ＝0，则x n ＝nn ＋1，∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1，故选B.[答案] B (2)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________．[解析] ∵ f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴ f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴ 切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵ 切线过点(2，7)，∴ 7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. [答案] 1利用导数的几何意义求解曲线的切线与坐标轴所围成的三角形的面积问题，切线与数列的交汇问题，公切线问题等，首先要熟记导数公式，对函数能够正确求导，再注意转化思想，数形结合思想及构造法、配方法的运用．3．已知直线x ＋2y －4＝0与抛物线y 2＝4x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线弧AOB ︵上求一点P ，使△ABP 的面积最大．解：如图所示，|AB |为定值，要使△P AB 面积最大，只要使P 到AB 的距离最大，所以点P 是抛物线的平行于AB 的切线的切点．设P (x ，y )，由图知，点P 在x 轴下方的图象上，所以y ＝－2x .由导函数的定义不难求得y ′＝－1x. 因为k AB ＝－12，所以－1x＝－12，即x ＝2，x ＝4.由y 2＝4x (y <0)，得y ＝－4，所以P (4，－4)．下列结论：①若y ＝3x ，则y ′＝133x ；②若y ＝x 3，则y ′＝3x 2；③若f (x )＝x 2，则f ′(3)＝9.其中正确的序号是________．[解析] y ＝3x ，y ′＝(3x )′＝()x 13′ ＝13x －23＝133x 2. ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，则f ′(3)＝2×3＝6. [答案] ② [错因与防范](1)求导时易出现的错误是解析式化简出错，符号处理不清，理解不到位，从而出错． (2)对用根式形式表示的函数要化商成指数式，能够化商后变为基本初等函数的函数求导问题是易错点．4．求下列函数的导数． (1)y ＝7x 3； (2)y ＝lg x ；(3)y ＝cos t (t 为常数)． 解：(1)∵y ＝7x 3＝x 37，∴y ′＝(7x 3)′＝(x 37)′＝37x －47＝377x 4.(2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(3)y ′＝(cos t )′＝0.1．若f (x )＝sin x ，f ′(α)＝12，则下列α的值中满足条件的是( )A.π3B.π6C.23πD.56π 解析：选A.∵f (x )＝sin x ，∴f ′(x )＝cos x .又∵f ′(α)＝cos α＝12，∴α＝2k π±π3(k ∈Z )．当k ＝0时，α＝π3，故选A.2．(2015·广州高二检测)已知直线y ＝kx 是曲线y ＝3x 的切线，则k 的值为( ) A.13B ．eln 3C ．log 3 eD ．e 解析：选B.设切点为(x 0，y 0)， 因为y ′＝3x ln 3， 所以k ＝3x 0ln 3， 所以y ＝3x 0ln 3·x ，又因为(x 0，y 0)在曲线y ＝3x 上， 所以3x 0ln 3·x 0＝3x 0，所以x 0＝1ln 3＝log 3 e.所以k ＝eln 3. 3．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数，且a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________．解析：在点(a k ，a 2k )处的切线方程为：y －a 2k ＝2a k (x －a k )，当y ＝0时，解得x ＝a k 2，∴a k ＋1＝a k2，∵a 1＝16，∴a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.答案：21[A.基础达标]1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝x ，则y ′＝12xD ．若y ＝x ，则y ′＝1解析：选B.A 、D 显然正确；对于B ，y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－12x －32＝－12x 3，不正确；对于C ，y ′＝(x )′＝12x －12＝12x.正确．2．曲线y ＝12x 2在点⎝⎛⎭⎫1，12处的切线的倾斜角为( ) A ．－π4 B ．1C.π4D.34π 解析：选C.y ′＝x ，∴切线的斜率k ＝tan α＝1，∴α＝π4.3．曲线y ＝x 过点(1，1)的切线方程为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝12x ＋12C ．y ＝－12x ＋32D ．y ＝x解析：选 B.∵y ′＝12x，∴在点(1，1)处的切线的斜率为12，由点斜式得过点(1，1)的切线方程为y ＝12x ＋12.4．下列结论中不正确的是( ) A ．若f (x )＝x 4，则f ′(2)＝32B ．若f (x )＝1x，则f ′(2)＝－22C ．若f (x )＝1x 2·x，则f ′(1)＝－52D ．若f (x )＝x －5，则f ′(－1)＝－5解析：选B.对于A ，∵f ′(x )＝4x 3，∴f ′(2)＝4×23＝32，正确；对于B ，∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－12x －32，∴f ′(2)＝－12×2－32＝－12×123＝－142＝－28，不正确；对于C ，∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2·x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 52′＝(x －52)′＝－52x －72，∴f ′(1)＝－52，正确；对于D ，∵f ′(x )＝－5x －6，∴f ′(－1)＝－5，正确． 5．曲线f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条解析：选C.f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＝1.解得切点坐标为⎝⎛⎭⎫33，39或⎝⎛⎭⎫－33，－39.∴切线有2条． 6．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．解析：法一：∵ y ＝x ＋ln x ，∴ y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2.∴ 曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵ y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴ a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．∵ y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴ y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：87．质点的运动方程是s ＝1t4(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)．则质点在t ＝3s 时的速度是________．解析：∵s ＝t －4，∴s ′＝－4t －5，∴质点在t ＝3 s 时的速度是(－4)×135＝－4243(m/s)．答案：－4243m/s8．已知f (x )＝a 2(a 为常数)，g (x )＝ln x ，若2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝1，则x ＝________． 解析：∵f (x )＝a 2(a 为常数)， ∴f ′(x )＝0.又∵g (x )＝ln x (x >0)，∴g ′(x )＝1x，∴2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝1，即2x －1x＝1，解之得x ＝1. 答案：19．(2015·长沙高二检测)求过曲线f (x )＝cos x 上一点P ⎝⎛⎭⎫π3，12且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．解：因为f (x )＝cos x ，所以f ′(x )＝－sin x ，则曲线f (x )＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12的切线斜率为f ′⎝⎛⎭⎫π3＝－sin π3＝－32，所以所求直线的斜率为233，所求直线方程为y －12＝233⎝⎛⎭⎫x －π3.即y ＝233x －239π＋12.10．(2015·苏州高二检测)设曲线y ＝e x (x ≥0)在点M (t ，e t )处的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为S (t )，求S (t )的解析式．解：对y ＝e x 求导可得f ′(x )＝(e x )′＝e x ， 故切线l 在点M (t ，e t )处的斜率为f ′(t )＝e t ， 故切线l 的方程为y －e t ＝e t (x －t )． 即e t x －y ＋e t (1－t )＝0，令y ＝0可得x ＝t －1.令x ＝0可得y ＝e t (1－t )，所以S (t )＝12|(t －1)·e t (1－t )|＝⎪⎪⎪⎪－12（t －1）2e t ＝12(t －1)2e t .(t ≥0) [B.能力提升]1．曲线y ＝x n在x ＝2处的导数为12，则n 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C.∵y ′＝n ·x n －1，∴y ′|x ＝2＝n ·2n －1＝12，∴n ＝3. 2．(2015·北京高二检测)已知曲线y ＝x 3在点(2，8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b ＝( )A ．4B ．－4C ．28D ．－28解析：选C.∵y ＝x 3，∴y ′＝3x 2， y ′|x ＝2＝12，∴在点(2，8)处的切线方程为y ＝12x －16， ∴k ＝12，b ＝－16. ∴k －b ＝28. 3．若质点P 的运动方程是s ＝3t 2(s 单位为m ，t 单位为s)，则质点P 在t ＝8时的瞬时速度是________．解析：∵s ′＝(3t 2)′＝(t 23)′＝23t －13，∴当t ＝8时，s ′＝23×8－13＝23×2－1＝13.∴质点P 在t ＝8时的瞬时速度为13m/s.答案：13m/s4．设直线l 1与曲线y ＝x 相切于点P ，直线l 2过点P 且垂直于l 1，若l 2交x 轴于点Q ，又作PK 垂直于x 轴于点K ，则KQ 的长为________．解析：如图所示，设P (x 0，y 0)，∵y ′＝12x ，∴kl 1＝12x 0.∵直线l 1与l 2垂直，则kl 2＝－2x 0，∴直线l 2的方程为y －y 0＝－2x 0(x －x 0)． ∵点P (x 0，y 0)在曲线y ＝x 上，∴y 0＝x 0.在直线l 2的方程中令y ＝0，则－x 0＝－2x 0(x －x 0)．∴x ＝12＋x 0，即x Q ＝12＋x 0.又x K ＝x 0，∴|KQ |＝x Q －x K ＝12＋x 0－x 0＝12.答案：125．(2015·淮南高二检测)已知 P (－1，1)，Q (2，4)是曲线y ＝x 2上的两点，(1)求过点P ，Q 的曲线y ＝x 2的切线方程； (2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程． 解：(1)因为y ′＝2x ，P (－1，1)，Q (2，4)都是曲线y ＝x 2上的点． 过P 点的切线的斜率k 1＝y ′|x ＝－1＝－2， 过Q 点的切线的斜率k 2＝y ′|x ＝2＝4， 过P 点的切线方程：y －1＝－2(x ＋1)， 即：2x ＋y ＋1＝0.过Q 点的切线方程：y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点M ⎝⎛⎭⎫12，14， 与PQ 平行的切线方程：y －14＝x －12，即：4x －4y －1＝0.6.如图，已知曲线f (x )＝2x 2＋a (x ≥0)与曲线g (x )＝x (x ≥0)相切于点P ，且在点P 处有相同的切线l .求点P 的坐标及a 的值．解：设切点P (x 0，y 0)，由直线l 与曲线f (x )相切于点P ，得切线l 的斜率为f ′(x 0)＝4x 0， 由直线l 与曲线g (x )相切于点P ，得切线l 的斜率为g ′(x 0)＝12x 0，由f ′(x 0)＝g ′(x 0)，得4x 0＝12x 0，解得x 0＝14.所以y 0＝x 0＝12，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，12. 由点P ⎝⎛⎭⎫14，12在曲线f (x )上，得2×⎝⎛⎭⎫142＋a ＝12，解得a ＝38.所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，12，a 的值为38.。
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预习导航
请沿着以下脉胳预习：
1．导数的运算法则
设两个函数分别为f (x )和g (x )
定义域、值域满足什么关系？
提示：在复合函数中，内层函数u ＝g (x )的值域必须是外层函数y ＝f (u )的定义域的子集．
4．如何认识积和商的导数法则？
提示：(1)牢记[f (x )·g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )，
⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′≠f ′(x )g ′(x )
，避免与[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )混淆．
(2)若c 为常数，则[c ·f (x )]′＝c ·f ′(x )． (3)类比[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )记忆⎣⎡
⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )·g (x )－f (x )·g ′(x )[g (x )]2
(g (x )≠0)． 拓展：(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )的推广：此法则可推广到任意有限个函数的和(或差)的求导．
(2)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )．
(3)当f (x )＝1时有⎣⎡
⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )[g (x )]2
.
提醒：⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′≠f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． ⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′≠f (x )·g ′(x )－f ′(x )·g (x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 5．如何利用复合函数求导法则求复合函数的导数？
提示：(1)分解复合函数为基本初等函数，适当选取中间变量；
(2)求每一层基本初等函数的导数；
(3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数．
1．函数y ＝x 2·sin x 的导数是( )．
A ．2x ·sin x ＋x 2·cos x
B ．x 2·cos x
C ．2x ·cos x
D ．2x ·sin x －x 2·cos x
答案：A
解析：y ′＝(x 2·sin x )′＝(x 2)′·sin x ＋x 2·(sin x )′＝2x ·sin x ＋x 2·cos x .
2．11x f x x ⎛⎫=
⎪+⎝⎭，则f ′(x )＝( )． A.
11x + B ．11x -+ C. 211x (+) D ．2
11x -(+) 答案：D
解析：令1=t x ，则1x t =，1
1()=111t f t t t
=++， ∴2111()=,()='111f x f x x x x ⎛⎫=- ⎪++(+)⎝⎭
. 3．已知f (x )＝log 2(x －1)，则f ′(4)＝______. 答案：13ln2
解析：∵21'()=[log (1)]'=1ln2
f x x x -(-)，∴1'(4)=3ln2.f 4．函数y ＝(2x 2－5x ＋1)·e x 的导数是__________．
答案：(2x 2－x －4)·e x
解析：y ′＝(2x 2－5x ＋1)′·e x ＋(2x 2－5x ＋1)·(e x )′
＝(4x －5)·e x ＋(2x 2－5x ＋1)·e x
＝(2x 2－x －4)·e x .
5．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋1，求y ＝f (x )的表达式．
解：∵f ′(x )＝2x ＋1，∴f (x )＝x 2＋x ＋c (c 为常数)．
又∵方程f (x )＝0有两个相等的实根，
即x 2＋x ＋c ＝0有两个相等的实根，
Δ＝12－4c ＝0，即14
c =， ∴f (x )的表达式为21()=.4
f x x x ++。