2016新课标三维人教B版数学必修4 3. 2 倍角公式和半角公式
人教B版高中数学必修四《3.2 倍角公式和半角公式 3.2.1 倍角公式》_13
二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计教材的地位及作用:1.本节内容是三角函数中最基础的知识之一。
它是在学生学过三角函数的诱导公式和两角和与差的正弦、余弦、正切公式之后的又一重要公式。
2.本节在本章中处于承上启下的地位。
3.三角函数是高考的热点问题，而二倍角的正弦、余弦、正切公式是三角函数求值、化简及证明必备的基础知识点之一。
它为研究三角函数图象及性质等问题提供了又一必备的要素。
本节教材的作用则主要是可以培养学生逻辑思维能力和化归的重要数学思想方法，使学生体验的数学知识发生发展（形成）的过程，增进学生对数学知识的理解，增强学生学数学的兴趣和信心。
教学目标：式，掌握二倍角公式，运用二倍角公式解决有关问题。
2、过程与方法：培养学生观察分析问题的能力，寻找数学规律的能力，同时注意渗透由一般到特殊的化归的数学思想及问题转化的数学思想。
3、情感、态度及价值观：培养学生认真参与、积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和及时解决问题的态度。
教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.教学方法和手段（1）采用问题解决教学模式，培养学生不断地发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力；（2）注重类比、联想、构造、转化等数学方法在问题解决中的应用，（3）注重整体意识、换元思想、方程思想在解题中的灵活应用，特别注重对知识与方法的总结和提炼。
多媒体平台教学流程：复习引入，创设情境观察探究、推进新课引导探究、深化认识例题讲解、归纳步骤课堂练习、巩固提高课堂小结、构建体系课后作业、深化拓展?D C BA100米50米教学过程 教学 步骤教学过程设计意图 一、复习引入1.（复习性提问）：请同学回顾两角和的公式 （学生回答，教师板书）2.创设情境如图,为了得到塔的高度,某人在距塔的竖直山脚B 100米的A 处测得塔底的仰角为α、塔顶的仰角为2α,并测得山高为50米,求塔高?将实际问题转化为数学问题,并进行分析:温旧知新，让学生明确学习的内容，通过复习公式，使学生熟练掌握公式，深刻理解公式的本质内涵，为顺利的推导二倍角公式垫定基础。
3.2倍角公式和半角公式课件人教新课标B版
y sin 2 2sin cos
复习引入 1. 三角函数的和(差)公式:
复习引入 1. 三角函数的和(差)公式:
复习引入 2. 三角函数的倍角公式:
讲授新课
思考：
讲授范例： 例1.
思考：
代数式变换与三角变换有什么不同？
代数式变换往往着眼于式子结构情势 的变换．对于三角变换，由于不同的三角 函数式不仅会有结构情势方面的差异，而 且还会有所包含的角，以及这些角的三角 函数种类方面的差异，因此三角恒等变换 常常第一寻找式子所包含的各个角之间的 联系，这是三角式恒等变换的重要特点．
讲授范例： 例2.
讲授范例： 例3. 求证：
讲授范例： 例3. 求证：
思考：
求证：
(1)式是积化和差的情势; (2)式是和差化积的情势，在后面的 练 习当中还有六个关于积化和差、和 差
练习： 教材P.142练习第1、2、3题.
课堂小结
要对变换过程中体现的换元、 逆向使用公式等数学思想方法加 深认识，学会灵活运用．
课后作业
1. 阅读教材P.139到P.142; 2. 《习案》作业三十三.
人教B版高中数学必修四《第三章 三角恒等变换 3.2 倍角公式和半角公式 3.2.1 倍角公式》_1
3.2.1倍角公式一、教学目标（1）在理解两角和的正弦、余弦和正切公式的基础上，能够推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，并能运用这些公式解决简单的三角函数问题。
（2）通过公式的应用（正用、逆用、变形用），使学生掌握有关化简技巧，提高分析、解决问题的能力。
二、教学重难点1、教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式2、教学难点：二倍角的理解及其正用、逆用、变形用。
三、教学过程1、问题情境，复习公式复习回顾两角和的正弦、余弦、正切公式()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()tan αβ+=2、建构数学试用上述公式推导sin 2α、cos2α、tan 2α的公式.（提示：上述公式中令=βα即可） sin 2=sin )ααα+=（ =cos 2=cos()ααα+= = ①tan 2=tan()ααα+= =对①式的变形（根据22sin cos 1αα+=）变形一：把22sin 1cos αα=-代入①可得cos2α=变形二：把22cos 1sin αα=-代入①可得cos2α=（由学生自行讲解，体会公式推导过程）公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．以上这些公式都叫做倍角公式，从形式上看，倍角公式给出了αα与2的三角函数之间的关系。
既公式中等号左边的角是右边角的2倍。
人教B版高中数学必修四《3.2 倍角公式和半角公式 3.2.1 倍角公式》_10
1、学生数学基础较薄弱，但对数学求知欲较强，有不断自我提升的需要；
2、对于知识的掌握程度还停留在表层，把知识只做为一个个独立的模块来认识，没有把知识与知识互相联系起来对待.
四、教学过程
教师活动
预设学生活动
设计意图
（复习性提问）：请同学回顾两角和的公式
学生回答
（探索性提问）当上述公式中两角具有特殊化关系时，公式变为什么形式？
二倍角的正弦、余弦公式
1、公式导出
2、公式变型及应用
3、重点例题（一例多练）
4、小结与作业
情意表现
A、在学习中表现出良好的心理，很自信，敢于克服学习中遇到的各种困难。
B、在学习中有较好的心理表现，比较自信并能克服一定的困难。
C、在学习中不太信，个性比较突出，克服困难的意志品质有待提高
合作精神
A、主动配合同伴，合作意识高
B、比较主动配合同伴，合作意识有待提高
C、与同伴关系紧张，不配合甚至易于与同伴发生矛盾
学生板书集体订正
温故知新
引导学生观察其结构，并指名回答观察结果
左边角均为2α，右边角均为α，具有“二倍”关系
温故知新
一例三练，使学生熟练掌握二倍角公式的正用、逆用、变形使用
板书或口头回答
一题多变，由浅入深，加深学生对二倍角的理解
试问是否可通过公式变形用 或 来单
独表示 以达到公式简洁
利用 ，公式 进行变形
教师活动
预设学生活动
设计意图
1、灵活运用动画体现角之间的转化与对比
2、以课件形式展示习题
加深理解，快速回答问题
直观动画展示,节省抄题时间，加快课堂节奏，带动课堂气氛
六、教学评价设计
高中数学3.2倍角公式和半角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切课后训练新人教B版必修4
半角的正弦、余弦和正切1．tan 15°＋cot 15°等于( )A ．2B ．．4 D ．32．设α∈(π，2π)( ) A ．sin 2α B ．cos 2α C ．sin 2α- D ．cos 2α- 3．若sin 11cos 2αα=+，则sin α＋cos α的值是( ) A ．75B ．85C ．1D ．2915 4．若sin 2α＝14，且α∈ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos α－sin α的值是( )A B ．34C ．．5．1sin8cos81sin8cos8θθθθ+-=++( ) A ．tan 2θ B ．cot 4θC ．tan 4θD ．cot 2θ6．已知α为三角形的内角，sin α＝35，则cot 2α=________.7．若3π2＜α＜2π，且cos α＝14________．8．已知0°＜α＜β＜90°，sin α与sin β是方程x 2－40°)x ＋cos 240°－12＝0的两根，则cos(2α－β)＝________. 9．已知ππ1sin 2sin 2444αα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，α∈ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，求2sin 2α＋tan α－1tan α－1的值．10．(2011·北京模拟)已知函数f (x )x －2sin 2x . (1)求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)若x ∈ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求f (x )的最大值和最小值．参考答案1．解析：原式＝1cos30sin30sin301cos30-︒︒+︒-︒＝224. 答案：C 2．解析：∵α∈(π，2π)，∴2α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴sin 02α>.sin sin 22αα=. 答案：A3．解析：由sin 11cos 2αα=+，① 得sin (1cos )1(1cos )(1cos )2αααα-=+-，整理得1cos 1sin 2αα-=.② 由①得1cos 2sin αα+=.③ ②＋③得25sin 2α=，解得sin α＝45. 又由①得cos α＝2sin α－1＝2×45－1＝35. 故sin α＋cos α＝437555+=. 答案：A4．解析：∵(cos α－sin α)2＝1－sin 2α＝1－14＝34， ∴|cos α－sin α|.由α∈ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，知cos α＜sin α，∴cos α－sin α＝答案：C5．解析：由sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+，得 tan 4θ＝sin81cos81cos8sin8θθθθ-=+， 所以1sin8cos81sin8cos8θθθθ+-=++＝tan 4θ. 答案：C6．解析：由条件，得cos α＝45±， 则411cos 5cot 332sin 5ααα±+===或13.答案：3或137．解析：∵3π2＜α＜2π，∴3π4＜2α＜π.又cos α＝14，∴cos 2α=cos cos 224αα==-=.答案：48．解析：由已知得Δ＝2cos 240°－4cos 240°＋2＝2sin 240°，∴x＝2cos 40°±2sin 40°. ∴x 1＝sin 45°cos 40°＋cos 45°sin 40°＝sin 85°，x 2＝sin 45°cos 40°－cos 45°sin 40°＝sin 5°.又由0°＜α＜β＜90°，知β＝85°，α＝5°，∴cos(2α－β)＝cos(－75°)＝cos 75°9．解：∵ππ1sin 2sin 2444αα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ππ12sin 2cos 2442αα⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即π1sin 422α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴1cos 42α＝. 而2sin 2α＋tan α－1tan α－1＝－cos 2α＋22sin cos sin cos αααα-＝2cos2tan2αα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. ∵α∈ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴cos 2α＝2=-， tan 2α＝=∴2cos2tan2αα⎛⎫ ⎪⎛⎫ -+=-= ⎪⎝⎭ ⎝即2sin 2α＋tan α－1tan α－1的值为2.10．解：(1)π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭2ππ312sin 213624-=-⨯=.(2)f (x )x ＋cos 2x －1＝2πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－1.因为x ∈ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2666x -≤+≤， 所以12-≤πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1，所以f (x )的最大值为1，最小值为－2.。
高中数学第三章三角恒等变换3.2倍角公式和半角公式例题与探究新人教B版必修4
3.2 倍角公式和半角公式典题精讲例1 求下列各式的值：(1)cos cos；(2)(cos-sin)(cos+sin)；(3)-cos2；(4)-+cos215°.思路分析:本题考查倍角公式的变形及应用.(1)题添加系数2，即可逆用倍角公式；(2)题利用平方差公式之后再逆用倍角公式；(3)中提取系数后产生倍角公式的形式；(4)则需提取系数.解:(1)cos cos=cos sin=×2cos sin=sin=；(2)(cos-sin)(cos+sin)=cos2-sin2=cos=；(3)-cos2=-(2cos2-1)=-cos=-；(4)-+cos215°=(2cos215°-1)=cos30°=.绿色通道:根据式子本身的特征，经过适当变形，进而利用公式，同时制造出特殊角，获得式子的值，在变形中一定要整体考虑式子的特征.变式训练1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.思路分析:由sin30°=，原式可化为sin10°sin50°sin70°，再转化为cos20°cos40°cos80°，产生成倍数的角，增加一项sin20°，即可依次逆用倍角公式；也可使用三角中的对偶式，设而不求，达到变形的目的.解法一：sin10°sin30°sin50°sin70°=cos20°cos40°cos80°=====.解法二：令M=sin10°sin30°sin50°sin70°，N=cos10°cos30°cos50°cos70°，则MN=(sin10°cos10°)(sin30°cos30°)(sin50° cos50°)(sin70° cos70°)=sin20° sin60° sin100° sin140°=cos10° cos30° cos50° cos70° =N，∴M=，即sin10° sin30° sin50° sin70°=.例2(2005江苏高考卷，10)若sin(-α)=，则cos(+2α)等于( )A.-B.-C.D.思路解析:本题考查三角函数的恒等变换以及运算能力.观察发现+2α=2(+α)，而(+α)+(-α)=，则cos(+α)=sin(-α)，cos(+2α)=2cos2(+α)-1=2sin2(-α)-1=-.答案:A绿色通道:通过角的形式的变化，生成所求的角或再变形即得所求角，是三角变换的重要方式，求解时应当对所给角有敏锐的感觉，这种感觉的养成要靠平时经验的积累.变式训练1 已知sin(+α)sin(-α)=，且α∈(，π)，求sin4α的值.思路分析:发现+α与-α的互余关系，将其中一个角的三角函数变为另一个的余名三角函数，即可产生倍角公式的形式，逆用倍角公式可得2α的三角函数值，进一步可求4α的正弦值.解:∵(+α)+(-α)=，∴sin(-α)=cos(+α).∵sin(+α)sin(-α)= ，∴2sin(+α)cos(+α)=.∴sin(+2α)=.∴cos2α=.又∵α∈(，π)，∴2α∈(π，2π).∴sin2α=-=-.∴sin4α=2sin2αcos2α=-.变式训练2 设5π＜θ＜6π，cos=a，则sin的值等于( )。
人教B版高中数学必修四《3.2 倍角公式和半角公式 3.2.1 倍角公式》_19
《二倍角的正弦、余弦、正切公式》的教学设计一、教学目标1. 知识与技能（1）能清楚二倍角公式是指哪一些,能够应用和差公式推导三角函数的二倍角公式；（2）能熟练地应用公式进行化简、求值等运算，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理的能力；（3）揭示三角函数运算的主要技巧，引发学生学习兴趣，激发学生分析探求的学习态度，强化学生的参与意识，培养学独立分析问题解决问题的能力。
让学生参与由和差公式推导倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式蕰含的和谐美，激发学生学习数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法。
通过做练习，巩固所学知识。
2. 情感态度价值观通过本节学习，使同学对三角函数各个公之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力，提高逆用思维的能力二、学习重点、难点重点：二倍角公式的应用。
难点：整体法的应用三、教材分析本节在学习了两角和与差的三角函数的基础上，进一步学习了二倍角关系的正弦、余弦、正切公式，它既是两角和与差公式的特殊化，又为以后的学习提供了理论基础，因此对这一节的学下就显得成就尤为重要。
四、教学流程与教学内容1. 提出今天学习的四个问题：(1)二倍角公式是什么？(2)二倍角公式是怎么推导得来的?(3）主要有哪些题型？（4）我们主要的解题思想是什么？如何解题？学生带着这四个问题，预习这一节课内容，同时也是这一节课的主线。
2. 采用分析、讨论、讲、练、点评总结，让学生充分参与整节课的学习过程中来，体验学自主学习的成就与快乐，让学生掌握学习新知识的一般思路、方法。
让学生自主学习，自主探索成为一种习惯。
3. 授课过程（1）先让学生课前根据第一点提出的四个问题进行预习，并完成课本上的例题与练习。
（2）老师再对这四个问题进行讲解，让学生检查自己的自学是否正确？能否完老师课件里提出的例题与练习。
（3）讲练结合，及时检查学生学习效果，并对每一题进行总结，强调解题思想。
新课标人教B高中数学必修4教案 3.2.2半角公式
普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B]第三章 三角恒等变换3.2.2半角公式教学目标：要求学生能较熟练地运用倍角公式推导半角公式，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力教学重点：半角公式的应用教学过程 一、复习引入 二倍角公式：αααcos sin 22sin =；)(2αS ααα22sin cos 2cos -=；)(2αC 1cos 22-=αα2sin 21-= ααα2tan1tan 22tan -=；)(2αT二、讲解新课 1、半角公式α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan,2cos 12cos,2cos 12sinαα-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan证：1︒在 α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α 即得：2sin21cos 2α-=α ∴2cos 12sin2α-=α2︒在 1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2α代α 即得：12cos2cos 2-α=α ∴2cos 12cos2α+=α3︒以上结果相除得：α+α-=αcos 1cos 12tan24︒2tan2cos2sin 2cos2sin2)2sin 21(1sin cos 12αααααααα==--=-2tan2cos2sin12cos212cos2sin 2cos 1sin 2αααααααα==-+=+2、例子1如果｜cos θ｜＝51，25π＜θ＜3π,则sin 2θ的值等于2设5π＜θ＜6π且cos2θ＝a ,则sin4θ等于3．tan12π－cot12π的值等于4．设25sin 2ｘ＋sin ｘ－24＝0且ｘ是第二象限角，求tan2x小结：运用倍角公式推导半角公式，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力 课堂练习：第154页练习A 、B 课后作业：第155页习题B 3。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4 B. 3 D．－2
版权所有:中国好课堂
解析： 选 A 由题意可得， sin α＝－ 1－cos2α＝－ 4 ＝－ ，故选 A. 3 2sin 2α cos2α 4．化简 · 等于( 1＋cos 2α sin α A．2cos α 1 C. 2 ) B．2sin α D．cos α
[一题多变] 1．[变设问]本例条件不变，求 cos 2α 的值． π ＋ α sin4
cos2α－sin2α π 6 解：原式＝ ＝ 2(cos α－sin α)＝2cos α＋4＝5. π π sin cos α＋cos sin α 4 4 π π π 3 2．[变条件，变设问]若本例条件变为：若 x∈ 0，2，sinx－6 ＝5，求 sin2x＋6的 值． π 3 解：由 sin x－6＝5， 得 sin xcos π π 3 －cos xsin ＝ ， 6 6 5 版权所有:中国好课堂
2tan α 2 5 ， ∴tan α＝2， ∴tan 2α＝ 5 1－tan2α
4sin αcos α cos2α 解析：选 A 原式＝ · ＝2cos α. 1＋2cos2α－1 sin α 5．已知 α 为锐角，且满足 cos 2α＝sin α，则 α 等于( A．75° C．60° B．45° D．30° )
层级一 α 3 1．若 sin ＝ ，则 cos α＝( 2 3 A．－ 1 C. 3 α 3 解析：选 C 因为 sin ＝ ， 2 3 α 32＝1. 所以 cos α＝1－2sin2 ＝1－2× 2 3 3 2．下列各式中，值为 A．2sin 15° cos 15° C．2sin215° 3 的是( 2 ) 2 3 )
＝
＝
＝
＝1.
(1)化简三角函数式的常用方法： ①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次． (2)化简三角函数式的常用技巧： ①特殊角的三角函数与特殊值的互化； ②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行 约分； ③对于二次根式，注意倍角公式的逆用； ④利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等； ⑤利用“1”的恒等变形，如 tan 45° ＝1，sin2α＋cos2α＝1 等． [活学活用] 1 化简：(1) －tan θtan 2θ； cos 2θ 1 (2)sin2αsin2β＋cos2αcos2β－ cos 2αcos 2β. 2 sin θsin 2θ 1 1 解：(1) －tan θtan 2θ＝ － cos 2θ cos 2θ cos θcos 2θ ＝ ＝ cos θ－2sin2θcos θ cos θcos 2θ 1－2sin2θ cos 2θ ＝ ＝1. cos 2θ cos 2θ
[解]
(2)原式＝cos(2×750° )＝cos 1 500° ＝cos(4×360° ＋60° ) 1 ＝cos 60° ＝ . 2 (3)原式＝tan(2×150° )＝tan 300° ＝tan(360° －60° ) ＝－tan 60° ＝－ 3. (4)原式＝ ＝ ＝ 2sin 20° · cos 20° · cos 40° · cos 80° 2sin 20°
1 1 3 9 两边平方，得 sin2x＋ － sin 2x＝ ， 2 4 4 25 1 1－cos 2x 1 3 9 ∴ · ＋ － sin 2x＝ ， 2 2 4 4 25 3 1 7 即 sin 2x· ＋cos 2x· ＝ ， 2 2 25 π 7 ∴sin 2x＋6＝25.
解决条件求值问题的方法 给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； (2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二 倍关系．
答案：D 3 4．已知 α 为第三象限角，cos α＝－ ，则 tan 2α＝________. 5 24 答案：－ 7
给角求值问题
[典例] (1)sin
求下列各式的值：
π π cos ；(2)1－2sin2750° ； 12 12
2tan 150° (3) ；(4)cos 20° cos 40° cos 80° . 1－tan2150° π π π 2sin cos sin 12 12 6 1 (1)原式＝ ＝ ＝ . 2 2 4
解：(1)∵sin ∴sin
π 3π π π 1 π π 1 π 2 sin ＝sin cos ＝ · 2sin cos ＝ sin ＝ . 8 8 8 8 2 8 8 2 4 4
(2)∵cos275° ＝cos2(90° －15° )＝sin215° ， ∴cos215° －cos275° ＝cos215° －sin215° ＝cos 30° ＝ (3)2cos2 5π 5π 3 －1＝cos ＝－ . 12 6 2 3 . 2
解析：选 D 因为 cos 2α＝1－2sin2α，故由题意，知 2sin2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋ 1 1)(2sin α－1)＝0.因为 α 为锐角，所以 sin α＝ ， 2 所以 α＝30° .故选 D. π 6．已知 tan x＝2，则 tan 2 x－4＝________. 解析：∵tan x＝2， ∴tan 2x＝ 2tan x 4 2 ＝－ . 3 1－tan x π 2x－ sin 2
[解]
(2)原式＝
cos 2α π 2π π 2tan 4 －αcos 2－4－α
版权所有:中国好课堂
＝
cos 2α π 2π 2tan 4－αcos 4－α cos 2α π π 2sin 4－αcos4－α cos 2α π 2× －2α sin 4 cos 2α cos 2α
π π tan 2 x－4＝tan2x－2＝ π cos2x－ 2 ＝ －cos 2x 1 3 ＝－ ＝ . sin 2x tan 2x 4 3 4 θ θ 2 3 ＋cos ＝ ，那么 sin θ＝____________，cos 2θ＝____________. 2 2 3 θ θ 2 3 ＋cos ＝ ， 2 2 3
答案：
7．已知 sin 解析：∵sin
θ θ 4 sin ＋cos 2＝ ， ∴ 2 2 3 θ θ 4 即 1＋2sin cos ＝ ， 2 2 3 1 ∴sin θ＝ ， 3 版权所有:中国好课堂
1 2 7 ∴cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2× 3 ＝9. 答案： 1 7 3 9
版权所有:中国好课堂
＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－ 1 1 1 ＝sin2β＋cos2β－ ＝1－ ＝ . 2 2 2
1 2
给值求值 π 3 π π 3π [典例] 已知 cos α＋4＝5，2≤α< 2 ，求 cos2α＋4的值． [解] π 3π 3π π 7π ∵ ≤α< ，∴ ≤α＋ < . 2 2 4 4 4
9．已知 α 为第二象限角，且 sin α＝
2 sin α＋cos α 2 2sin α＋cos α 解：原式＝ ＝ . 2sin αcos α＋2cos2α 4cos αsin α＋cos α ∵α 为第二象限角，且 sin α＝ 15 ， 4
学业水平达标
B．－ 2 D. 3
1 3
Байду номын сангаас
B．cos215° －sin215° D．sin215° ＋cos215° 3 . 2 )
解析：选 B cos215° －sin215° ＝cos 30° ＝ 3．已知 α 为第三象限角，且 cos α＝－ A．－ C．－ 4 3 3 4
5 ，则 tan 2α 的值为( 5
1 ×2tan 30° tan 30° 2 1 3 (4) ＝ ＝ tan 60° ＝ . 2 1－tan230° 1－tan230° 2 化简问题
[典例] (2)
1 1 化简：(1) － ； 1－tan θ 1＋tan θ
2cos2α－1 . π π －αsin2 ＋α 2tan 4 4 (1)原式＝ 1＋tan θ－1－tan θ 2tan θ ＝ ＝tan 2θ. 1－tan θ1＋tan θ 1－tan2θ
倍角公式和半角公式
3．2.1 倍角公式
预习课本 P143～144，思考并完成以下问题
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式是什么？公式如何推导？
(2)联系已学公式，考虑 cos2α，sin2α 有哪几种变形方法？
[新知初探] 二倍角公式
[小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( (2)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立．( (3)对任意角 α，总有 tan 2α＝ 答案：(1)× (2)√ (3)× ) 2tan α .( 1－tan2α ) ) )
π 3π π 7π ∵cos α＋ 4>0，∴ 2 <α＋4< 4 . π ∴sin α＋4＝－ ＝－ π 1－cos2 α＋4
32 4 1－ 5 ＝－5.
π π π 2α＋ ＝2sinα＋ cosα＋ ∴cos 2α＝sin 2 4 4 4 3 24 ＝2× －5×5＝－25， π π 2α＋ ＝1－2cos2α＋ sin 2α＝－cos 2 4 32 7 ＝1－2× 5 ＝25. π 2 2 ∴cos 2α＋4＝ 2 cos 2α－ 2 sin 2α ＝ 2 24 7 31 2 × － － ＝－ . 2 25 25 50
1 (2)原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－ (2cos2α－1)· (2cos2β－1) 2 1 ＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－ (4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1) 2 ＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－ 1 2