2016年山东省济南市历下区初三二轮复习学案7：三角形
2016年山东省济南市历下区初三二轮复习学案7：三角形
A D E CF AE课题7： 三角形一．考试大纲要求：① 了解三角形的有关概念，并探索其性质。
会证三角形全等 ② 能运用有关三角形的知识解决问题。
二、重点、易错点分析：重点：通过证明线段或角相等来考虑三角形的性质和判定；运用勾股定理解决实际问题，三角形中重要线段的性质和判定。
易错：确定边长的取值范围时，容易忽略是不是能构成三角形；等腰三角形注意解的不唯一性。
三．课前练习1．（2015•安徽, 第8题4分）在四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C ，点E 在边AB 上，∠AED=60°，则一定有（ ） A ．∠ADE=20°B ． ∠ADE=30°C ． ∠ADE=∠ADCD ．∠ADE=∠ADC2．（2015•永州，第9题3分）如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，BA 和CD 的延长线交于点E ，若） 3、（2015年四川省达州市中考，6,3分）如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，BC 的中垂线交BC 于点E ，5. （2015江苏淮安第6题）下列四组线段组成直角三角形的是（ ）A 、3,2,1===c b aB 、4,3,2===c b aC 、5,4,2===c b aD 、5,4,3===c b a 4、适合条件∠A =∠B =31∠C 的三角形一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D. 任意三角形5、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是( ) A. 13B. 26C. 47D. 946、用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出A OB AOB '''∠=∠的依据是（） A ．（S ．S ．S ）B ．（S ．A ．S ）C ．（A ．S ．A ）D ．（A ．A ．S ）7、如图，在Rt △ABC 中，90∠=A ，AB =AC ＝E 为AC 的中点，点F 在底边BC 上，且⊥FE BE ，则△CEF 的面积是（ ）A ． 16B ． 18C ．D ． 8、如图，B 、A 、E 三点在同一直线上，请你添加一个条件，使AD ∥BC ．你所添加的条件是(不允许添加任何辅助线)．9、如图，l m ∥，矩形ABCD 的顶点B 在直线m 上，则α∠= 度． 10、如图，等边△ABC 的边长为1 cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A ' 处，且点A '在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长 为cm ．11、如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是 度．13、14如图：△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，请你添 加一个适当的条件： ，使△AEH ≌△CEB ．D ABCm l α 65°D A B C O O 'D 'A 'B 'C 'AA 1A 2D E B A 15、如图，在△ABC 中，∠A ＝α．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD的平分线相交于点A 2，得∠A 2； ……；∠A 2009BC 与∠A 2009CD 的平分线相交于点A 2010，得∠A 2010 ．则∠A 2010＝ ．四、典型课堂练习题16．（10分）（2015•铜仁市）（第21题）已知，如图，点D 在等边三角形ABC 的边AB 上，点F 在边AC 上，连接DF 并延长交BC 的延长线于点E ，EF=FD ． 求证：AD=CE ．17．（2015•甘肃庆阳，第25题，10分）如图，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，直线EF 交正方形外角的平分线于点F ，交DC 于点G ，且AE ⊥EF ． （1）当AB=2时，求△GEC 的面积； （2）求证：AE=EF ．18、已知：如图，AB=AC ，点D 是BC 的中点，AB 平分DAE ∠，AE BE ⊥，垂足为E ． 求证：AD=AE ．19、如图，在ABC △中，40AB AC BAC =∠=，°，分别以AB AC ，为边作两个等腰直角三角形ABD 和ACE ，使90BAD CAE ∠=∠=°．（1）求DBC ∠的度数； （2）求证：BD CE =．20、如图，△ABC 中，∠C=90º，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，BD ∶DC=2∶1，BC=7.8cm ，求D到AB 的距离21、已知：如图，D 是等腰ABC 底边BC 上一点，它到两腰AB 、AC 的距离分别为DE 、DF ．当D点在什么位置时，DE=DF ？并加以证明．22、如图，要测量人民公园的荷花池A 、B 两端的距离，由于条件限制无法直接测得，请你用所学过的数学知识设计．．出一种．．．测量方案，写出测量步骤． 用直尺或圆规画出测量的示意图，并说明理由（写出求解或证明过程）ABA B CED23．（2015•湘潭，第22题6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．24．（2015•营口，第25题14分）【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．25.（2015年重庆B第25题12分）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF扔与线段AC相交于点F.求证：1CF2BE AB+=；（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交与点F，作DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：)BE CF BE CF+=-.25题图225题图1CC。
山东2016届中考数学一轮复习三角形学案无解答
1.三角形中，最多有一个锐角，至少有_____个锐角，最多有______个钝角（或直角），三角形外角中，最多有______个钝角，最多有______个锐角．
2.两根木棒的长分别为7cm和10cm，要选择第三根棒，将它钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长xcm的范围是__________
3.等腰三角形的两边长分别为5 cm和10 cm，则此三角形的周长是（）
A．15cmB．20cmC．25 cmD．20 cm或25 cm
4.一个三角形三个内角之比为1：1：2，则这个三角形的三边比为_______.
5.如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=6，AC=3 ，AD=2，∠D=90○，
求CD的长和四边形ABCD的面积．
3.如图，OE是∠AOB的平分线，CD∥OB交OA于C，交OE于D，
∠ACD=50o，则∠CDE的度数是（）
A．175°B．130°C．140°D．155°
4.如图，△ABC中，∠C＝90○，点E在AC上，ED⊥AB，垂足
为D，且ED平分△ABC的面积，则AD：Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等于（）
A．1：1 B．1： C．1：2 D．1：4
教学重点
三角形分类，特殊三角形有关性质及其应用
教学难点
三角形有关性质、判定的综合运用
教学媒体
学案
教学过程
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.三角形中的主要线段
（1）三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的
顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
（2）三角形的中线：连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．
（二）：【课前练习】
【精品】初中复习资料三角形辅导教案(含答案详解)
【精品】初中复习资料三角形辅导教案（含答案详解）学生姓名性别年级初三学科数学授课教师上课时间年月日第（）次课共（）次课课时：3课时教学课题三角形教学目标1．了解三角形和全等三角形有关的概念，知道三角形的稳定性，掌握三角形的三边关系．2．理解三角形内角和定理及推论．3．理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质．4．掌握三角形全等的性质与判定，熟练掌握三角形全等的证明.命题趋势中考中多以填空题、选择题的形式考查三角形的边角关系，通过解答题来考查全等三角形的性质及判定．全等三角形在中考中常与平行四边形、二次函数、圆等知识相结合，考查学生综合运用知识的能力.教学过程1．（2016•贵阳模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．【考点】二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式．【专题】压轴题．【分析】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式．（2）设出M点的坐标，利用S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB即可进行解答；（3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB 是对角线时，由图可知点A与P应该重合．【解答】解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），将A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点代入函数解析式得：解得，所以此函数解析式为：y=；（2）△M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，△M点的坐标为：（m，），△S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB=×4×（﹣m2﹣m+4）+×4×（﹣m）﹣×4×4=﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8=﹣m2﹣4m，=﹣（m+2）2+4，△﹣4＜m＜0，当m=﹣2时，S有最大值为：S=﹣4+8=4．答：m=﹣2时S有最大值S=4．（3）设P（x，x2+x﹣4）．当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ△OB，且PQ=OB，△Q的横坐标等于P的横坐标，又△直线的解析式为y=﹣x，则Q（x，﹣x）．由PQ=OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣4）|=4，解得x=0，﹣4，﹣2±2．x=0不合题意，舍去．如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=﹣x得出Q为（4，﹣4）．由此可得Q（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）或（4，﹣4）．【点评】本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的求解方法．知识梳理一、三角形的概念及性质1．概念(1)由三条线段________顺次相接组成的图形，叫做三角形．(2)三角形按边可分为：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．2．性质(1)三角形的内角和是______；三角形的一个外角等于与它不相邻的____________；三角形的一个外角大于与它________的任何一个内角．(2)三角形的任意两边之和______第三边；三角形任意两边之差________第三边．二、三角形中的重要线段1．三角形的角平分线三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．特性：三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的________．2．三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作______，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高．特性：三角形的三条高线相交于一点，这个点叫做三角形的______．3．三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它对边______的线段叫做三角形的中线．特性：三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的______．4．三角形的中位线连接三角形两边______的线段叫做三角形的中位线．定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的________．三、全等三角形的性质与判定1．概念能够________的两个三角形叫做全等三角形．2．性质全等三角形的__________、__________分别相等．3．判定(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)；(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)；(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)；(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)；(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)．四、定义、命题、定理、公理1．定义对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义．2．命题判断一件事情的语句．(1)命题由________和________两部分组成．命题通常写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论．(2)命题的真假：正确的命题称为________；错误的命题称为________．(3)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的________，而第一个命题的结论是第二个命题的________，那么这两个命题称为互逆命题．每一个命题都有逆命题．3．定理经过证明的真命题叫做定理．因为定理的逆命题不一定都是真命题．所以不是所有的定理都有逆定理．4．公理有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫做公理．五、证明1．证明从一个命题的条件出发，根据定义、公理及定理，经过________，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫做证明．2．证明的一般步骤(1)审题，找出命题的题设和结论；(2)由题意画出图形，具有一般性；(3)用数学语言写出已知、求证；(4)分析证明的思路；(5)写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密．3．反证法先假设命题中结论的反面成立，推出与已知条件或是定义、定理等相矛盾，从而结论的反面不可能成立，借此证明原命题结论是成立的．这种证明的方法叫做反证法．自主测试1．△ABC的内角和为()A．180° B．360°C．540° D．720°2．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是()A．3,8,4 B．4,9,6C．15,20,8 D．9,15,83．如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是()A．AB＝AC B．BD＝CDC．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA4．下面的命题中，真命题是()A．有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等B．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等C．有一条边对应相等的两个等腰三角形全等D．有一条高对应相等的两个等边三角形全等5．如图，D，E分别是AB，AC上的点，且AB＝AC，AD＝AE.求证：∠B＝∠C.考点一、三角形的边角关系【例1】若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是()A．1 B．5 C．7 D．9解析：设第三边为x，根据三角形三边的关系可得4－3＜x＜3＋4，即1＜x＜7.答案：B方法总结1．在具体判断时，可用较小的两条线段的和与最长的线段进行比较．若这两条线段的和大于最长的那条线段，则这三条线段能组成三角形．否则就不能组成三角形．2．三角形边的关系的应用：(1)判定三条线段是否构成三角形；(2)已知两边的长，确定第三边的取值范围；(3)可证明线段之间的不等关系．触类旁通1 已知三角形三边长分别为2，x,13，若x为正整数，则这样的三角形个数为()A．2 B．3 C．5 D．13考点二、全等三角形的性质与判定【例2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板AED如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．解：BE＝EC，BE⊥EC.证明如下：∵AC＝2AB，点D是AC的中点，∴AB＝AD＝CD.∵∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠EDC＝135°.又∵EA＝ED，∴△EAB≌△EDC.∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC.∴∠BEC＝∠AED＝90°.∴BE＝EC，BE⊥EC.方法总结1．判定两个三角形全等时，常用下面的思路：有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等；有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等．在具体的证明中，要根据已知条件灵活选择证明方法．2．全等三角形的性质主要是指全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、周长、面积等之间的等量关系．触类旁通2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.求证：△BEC≌△CDA.考点三、真假命题的判断【例3】下列命题，正确的是()A．如果|a|＝|b|，那么a＝bB．等腰梯形的对角线互相垂直C．顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形D．相等的圆周角所对的弧相等解析：A项错误，例如：|－2|＝|2|，但－2≠2；B项错误，等腰梯形的对角线可能垂直，但并不是所有的等腰梯形对角线都垂直；C项正确，可以根据三角形中位线定理和平行四边形的判定得到；D项错误，相等的圆周角所对的弧相等，必须是在同圆或等圆中．答案：C方法总结对命题的正确性理解一定要准确，判定命题不成立时，有时可以举反例说明道理；命题有正、误，错误的命题也是命题．触类旁通3 已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.其中为真命题的是__________．(填写所有真命题的序号)考点四、证明的方法【例4】如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC 于点E.求证：(1)△BFC≌△DFC；(2)AD＝DE.证明：(1)∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝∠DCF.在△BFC 和△DFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠BCF ＝∠DCF ，FC ＝FC ，∴△BFC ≌△DFC .(2)如图，连接BD .∵△BFC ≌△DFC ，∴BF ＝DF .∴∠FBD ＝∠FDB . ∵DF ∥AB ，∴∠ABD ＝∠FDB . ∴∠ABD ＝∠FBD .∵AD ∥BC ，∴∠BDA ＝∠DBC . ∵BC ＝DC ，∴∠DBC ＝∠BDC . ∴∠BDA ＝∠BDC .又BD 是公共边，∴△BAD ≌△BED .∴AD ＝DE .方法总结 1．证明问题时，首先要理清证明的思路，做到证明过程的每一步都有理有据，推理严密．要证明线段、角相等时，证全等是常用的方法．2．证明的基本方法：(1)综合法，从已知条件入手，探索解题途径的方法； (2)分析法，从结论出发，用倒推来寻求证题思路的方法；(3)两头“凑”的方法，综合应用以上两种方法找证明思路的方法．触类旁通4 如图，在△ABC 中，AD 是中线，分别过点B ，C 作AD 及其延长线的垂线BE ，CF ，垂足分别为点E ，F .求证：BE ＝CF .经典考题1．(2012浙江嘉兴)已知△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于( ) A ．40° B ．60° C ．80° D ．90°2．(2012贵阳)如图，已知点A ，D ，C ，F 在同一条直线上，AB ＝DE ，BC ＝EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要添加一个条件是( )A ．∠BCA ＝∠FB ．∠B ＝∠EC ．BC ∥EFD ．∠A ＝∠EDF3．(2012四川雅安)在△ADB和△ADC中，下列条件：①BD＝DC，AB＝AC；②∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD；③∠B＝∠C，BD＝DC；④∠ADB＝∠ADC，BD＝DC.能得出△ADB≌△ADC的序号是__________．4．(2012广东广州)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BE＝CD.5．(2012江苏苏州)如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝CD，延长线段CB到E，使BE＝AD，连接AE，AC.(1)求证：△ABE≌△CDA；(2)若∠DAC＝40°，求∠EAC的度数．课后作业1．如图，为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得P A＝16 m，PB＝12 m，那么AB间的距离不可能是()A．5 m B．15 mC．20 m D．28 m2．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为()A．2 2 B．4C．3 2 D．423．如图，在△ABC中，∠A＝80°，点D是BC延长线上一点，∠ACD＝150°，则∠B＝__________.4．如图，在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B，∠C越来越大，若∠A减少α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α，β，γ三者之间的等量关系是__________．5．如图所示，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为__________．6．如图，点B，C，F，E在同一直线上，∠1＝∠2，BC＝FE，∠1__________(填“是”或“不是”)∠2的对顶角，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是__________(只需写出一个)．7．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：AB＝FC.8．如图，点A，B，D，E在同一直线上，AD＝EB，BC∥DF，∠C＝∠F.求证：AC＝EF.。
2016-2017学年济南市历下区九上期末数学试卷
2016-2017学年济南市历下区九上期末数学试卷一、选择题（共15小题；共75分）图象上的是 1. 下列各点中，在函数y=6x,3A. 2,4B. 2,3C. −1,6D. −122. 如图所示，该几何体的主视图是 A. B.C. D.3. 二次函数y=2x−12−3的顶点坐标是 A. 1,3B. 1,−3C. −1,3D. −1,−34. 一元二次方程x2+px−2=0的一个根为x=2，则p的值为 A. 1B. 2C. −1D. −25. 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC=24∘，则∠BOC的度数是 A. 12∘B. 36∘C. 48∘D. 60∘6. 下列条件之一能使平行四边形ABCD是矩形的为 ①AC⊥BD，②∠BAD=90∘，③AB=BC，④AC=BD．A. ①③B. ②④C. ③④D. ①②③7. 如果关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有两个相等的实数根，则m所满足的条件是 A. m<9B. m>9C. m=9D. m≤98. 学校新开设了航模、彩绘两个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率为 A. 23B. 12C. 13D. 149. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于−2,0和4,0两点，当函数值y>0时，自变量x的取值范围是 A. x<−2B. x>4C. −2<x<4D. x>010. 在小孔成像问题中，光线穿过小孔，在屏幕上形成倒立的实像，如图所示，若O到AB的距离是18 cm，O到CD的距离是6 cm，则像CD的长是AB长的 A. 3倍B. 12C. 13D. 不知AB的长度，无法判断11. 反比例函数y=kx在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是 A. 1B. 2C. 3D. 412. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是A. 2B. 255C. 55D. 1213. 下列函数中，当x>0时，y随x的增大而增大的是 A. y=−x+1B. y=x2−1C. y=1xD. y=−x2+114. 已知反比例函数y=kx的图象如图，则二次函数y=2kx2−x+k2的图象大致为 A. B.C. D.15. 方程x2+3x−1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数y=1x的图象交点的横坐标，则方程x3+2x−1=0的实根x0所在的范围是 A. 0<x0<14B. 14<x0<13C. 13<x0<12D. 12<x0<1二、填空题（共6小题；共30分）16. 如图，在△ABC中，DE∥BC，ADAB =13，DE=6，则BC的长是．17. 如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:2，堤高BC=5 m，则坡面AB的水平宽度AC的长为m．18. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BAC=30∘，则∠D的度数为．19. 赵州桥是中国现存最早、保存最好的巨大石拱桥，也是世界最早的敞肩石拱桥．赵州桥的桥拱x2，当水面是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=−125离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为m．20. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=k的图象上，则k的值为．x21. 二次函数y=ax2+bx+c a≠0的部分图象如图所示，图象过−1,0，对称轴为直线x=2，,y2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c>3b；③8a+7b+2c>0；④若A−3,y1，B −12 ,y3在该函数图象上，则y1<y3<y2；⑤若方程a x+1x−5=−3的两根为x1和x2，C72且x1<x2，则x1<−1<5<x2．其中正确的结论是．三、解答题（共7小题；共91分）22. （1）计算：tan60∘+2sin45∘−2cos30∘；（2）解方程：x2−4x−5=0．23. （1）已知：如图1，在矩形ABCD中，M为边AD的中点，求证：△ABM≌△DCM；（2）如图2，AB与⊙O相切于C，AO=BO，AB=16，⊙O的半径为6，求OA的长．24. 王大爷要围成一个如图所示的矩形ABCD花圃．花圃的一边利用20米长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成．设AB边的长为x米，BC的长为y米，且BC>AB．（1）求y与x之间的函数关系式（要求直接写出自变量的取值范围）；（2）当x是多少米时，花圃面积S最大?最大面积是多少?25. 如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30∘，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），又测得旗杆顶端A的仰角为45∘，请计算旗杆AB的高度（结果保留根号）26. 如图，矩形OABC的边长OA=8，顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，反比例函数y=kx k≠0在第一象限内的图象经过点D，E，F，且tan∠BOA=12．（1）求边AB的长；（2）求反比例函数的解析式及F点坐标；（3）将矩形折叠，使点O与点F重合，折叠分别与x，y轴正半轴交于点H，G，求线段OG 的长．27. 等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120∘，P为BC的中点，小慧拿着含30∘角的透明三角板，使30∘角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．（1）如图1，当三角板的两边分别交AB，AC于点E，F时．求证：△BPE∽△CFP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E，F．①探究1：△BPE和△CFP还相似吗?（只需写出结论）②探究2：连接EF，△BPE和△PFE是否相似?请说明理由；③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．28. 如图，已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过A3,−1，C0,−4，顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向上平移m m>0个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包含△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．答案第一部分1. B 【解析】A，2×4≠6，故A不在图象上，B，2×3=6，故B在图象上，C，−1×6≠6，故C不在图象上，D，−12×3≠6，故D不在图象上．2. D3. B4. C 【解析】因为一元二次方程x2+px−2=0的一个根为x=2，所以22+2p−2=0，解得p=−1．5. C【解析】∵∠BAC=24∘，∴∠BOC=2∠BAC=48∘．6. B 【解析】因为AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形，所以平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，所以①错误；因为四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=90∘，所以平行四边形ABCD是矩形，所以②正确；因为AB=BC，四边形ABCD是平行四边形，所以平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，所以③错误；因为四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，所以平行四边形ABCD是矩形，所以④正确；即正确的有②④．7. C 【解析】因为关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有两个相等的实数根，所以Δ=b2−4ac=36−4m=0，解得：m=9．8. B 【解析】画树状图如图所示：因为共有4种等可能的结果，征征和舟舟选到同一社团的有2种情况，所以征征和舟舟选到同一社团的概率是：24=12．9. C 【解析】因为二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于−2,0和4,0两点，函数开口向下，所以函数值y>0时，自变量x的取值范围是−2<x<4．10. C【解析】作OM⊥AB于M，交CD于N，如图，则OM=18，ON=6，∵AB∥CD，∴△OAB∽△ODC，∴CDAB =ONOM=618=13，即像CD的长是AB长的13．11. C 【解析】如图，当x=2时，y=k2，∵1<y<2，∴1<k2<2，解得2<k<4．12. D 【解析】如图，连接AC．由勾股定理，得AC=2，AB=22，BC=10，所以△ABC为直角三角形，且∠BAC=90∘，所以tan∠ABC=ACAB =12．13. B 【解析】A．y=−x+1，一次函数，k<0，故y随着x增大而减小，故A错误；B．y=x2−1x>0，故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧（x<0），y随着x的增大而减小，故B正确；C．y=1x，k=1>0，在每个象限里，y随x的增大而减小，故C错误；D．y=−x2+1x>0，故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而减小；而在对称轴左侧（x<0），y随着x的增大而增大，故D错误．14. D 15. C【解析】方程x3+2x−1=0，∴x2+2=1x，∴它的根可视为y=x2+2和y=1x的图象交点的横坐标，当x=14时，y=x2+2=2116，y=1x=4，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x=13时，y=x2+2=219，y=1x=3，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x=12时，y=x2+2=214，y=1x=2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；当x=1时，y=x2+2=3，y=1x=1，此时抛物线的图象在反比例函数上方．故方程x3+2x−1=0的实根x0所在范围为：13<x0<12．第二部分16. 18【解析】∵DE∥BC，∴DE:BC=AD:AB=13，即6:BC=1:3，∴BC=18．17. 10【解析】∵迎水坡AB的坡比是1:2，∴BC:AC=1:2，BC=5，∴AC=10 m．18. 60∘【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∘，又∵∠BAC=30∘，∴∠B=60∘，∴∠D=∠B=60∘．19. 20【解析】根据题意B的纵坐标为−4，把y=−4代入y=−125x2，得x1=10，x2=−10，∴A−10,−4，B10,−4，∴AB=20 m．即水面宽度AB为20 m．20. −6【解析】连接AC，交y轴于点D，因为四边形ABCO为菱形，所以AC⊥OB，且CD=AD，BD=OD，因为菱形OABC的面积为12，所以△CDO的面积为3，所以∣k∣=6，因为反比例函数图象位于第二象限，所以k<0，则k=−6．21. ①③⑤【解析】∵x=−b2a=2，∴4a+b=0，故①正确．由函数图象可知：当x=−3时，y<0，即9a−3b+c<0，∴9a+c<3b，故②错误．∵抛物线与x轴的一个交点为−1,0，∴a−b+c=0，又∵b=−4a，∴a+4a+c=0，即c=−5a，∴8a+7b+2c=8a−28a−10a=−30a，∵抛物线开口向下，∴a<0，∴8a+7b+2c>0，故③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=2，C72,y3，∴12,y3在抛物线上．∵−3<−12<12，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，∴y1<y2<y3，故④错误．方程a x+1x−5=0的两根为x=−1或x=5，如图所示，直线y=−3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，依据函数图象可知：x1<−1<5<x2，故⑤正确.故答案为：①③⑤第三部分22. （1）原式=3+2×22−2×32 =3+2−3= 2.（2）∵x+1x−5=0.∴x+1=0或x−5=0.解得：x=−1或x=5.23. （1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D，AB=DC．∵M为边AD的中点，∴AM=DM．在△ABM和△DCM中，AB=DC,∠A=∠D,AM=DM,∴△ABM≌△DCM．（2）如图，连接OC．∵AB与⊙O相切于C，∴OC⊥AB．∵AO=BO，∴AC=12AB=8．在Rt△AOC中，∠ACO=90∘，OC=6，AC=8，∴OA= OC2+AC2=10．24. （1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=x .∴x+y+x=36 .∴y=−2x+36 .∵墙长20米，BC>AB，∴−2x+36≤20, ⋯⋯①−2x+36>x, ⋯⋯②由①得，x≥8 .由②得，x<12 . 所以8≤x<12．（2）S=xy=x−2x+36=−2x2−18x=−2x2−18x+81−81=−2x−92+162.∴当x=9米时，花圃面积S最大，最大面积是162 米2．25. 由题意可得，CD=16米，∵AB=CB⋅tan30∘，AB=BD⋅tan45∘，∴CB⋅tan30∘=BD⋅tan45∘∴CD+DB×33=BD×1，解得BD=83+8米，∴AB=BD⋅tan45∘=83+8米，即旗杆AB的高度是8+8米．26. （1）在Rt△AOB中，∵tan∠BOA=12，∴AB=OA⋅tan∠BOA=8×12=4．（2）由（1）可知B点坐标为8,4，∵D为OB的中点，∴D4,2，∵反比例函数y=kx图象过点D，∴k=4×2=8，∴反比例函数解析式为y=8x，设F a,4，∵反比例函数图象与矩形的边BC交于点F，∴4a=8，解得a=2，∴F2,4．（3）连接FG，如图，∵F2,4，∴CF=2，设OG=t，则OG=FG=t，CG=4−t，在Rt△CGF中，由勾股定理可得GF2=CF2+CG2，即t2=4−t2+22，解得t=52，∴OG=52．27. （1）∵在△ABC中，∠BAC=120∘，AB=AC，∴∠B=∠C=30∘．∵∠B+∠BPE+∠BEP=180∘，∴∠BPE+∠BEP=150∘，又∵∠EPF=30∘，且∠BPE+∠EPF+∠CPF=180∘，∴∠BPE+∠CPF=150∘，∴∠BEP=∠CPF，∴△BPE∽△CFP．（2）①△BPE∽△CFP；②△BPE与△PFE相似．下面证明结论：同（1），可证△BPE∽△CFP，得CPBE =PFEP，∵CP=BP，∴BPPF =BEPE．又∵∠EBP=∠EPF，∴△BPE∽△PFE．③由②得△BPE∽△PFE，∴∠BEP=∠PEF．如图，分别过点P作PM⊥BE，PN⊥EF，垂足分别为M，N，则PM=PN．连接AP，在Rt△ABP中，由∠B=30∘，AB=8，可得AP=4．∴PM=23，∴PN=23，∴S=12PN×EF=3m．28. （1）把A，C两点的坐标代入得：9+3b+c=−1, c=−4,解得：b=−2, c=−4.∴二次函数的解析式为y=x2−2x−4．配方得：y=x−12−5．∴点M的坐标为1,−5．（2）设直线AC的解析式为y=kx+n，把点A，C的坐标代入得：3k+n=−1, n=−4,解得：k=1, n=−4,∴直线AC的解析式为y=x−4，抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1．如图1所示，直线x=1与△ABC的两边分别交于点Eʹ与点Fʹ，则点Fʹ的坐标为1,−1．将x=1代入直线y=x−4得：y=−3．∴Eʹ1,−3．∵抛物线向上平移m个单位长度时，抛物线的顶点在△BAC的内部，∴−3<−5+m<−1．∴2<m<4．（3）如图2所示：把y=−1代入抛物线的解析式得：x2−2x−4=−1，解得x=−1或x=3，∴B−1,−1．∴BD=1．∵AB∥x轴，A3,−1，∴D0,−1．∴AD=DC=3．∴∠DCA=45∘．过点M作ME⊥y轴，垂足为E．∵C0,−4，M1,−5．∴CE=ME=1．∴∠ECM=45∘，MC=2．∴∠ACM=90∘．∴∠PCM=∠CDB=90∘．①当△MPC∽△CBD时，PCBD =CMDC，即PC1=23，解得PC=23．∴CF=PF=sin45∘⋅PC=23×22=13．∴P −13,−133．如图3所示：点P在点C的右侧时，过点P作PF⊥y轴，垂足为F．∵CP=23，∠FCP=45∘，∠CFP=90∘，∴CF=FP=23×22=13．∴P13,−113．②当△BDC∽△MCP时，PCCM =DCBD，即2=31，解得PC=3．如图4所示：当点P在AC的延长线上时，过点作PF⊥y轴，垂足为F．∵PC=32，∠PCF=45∘，∠PFC=90∘，∴CF=PF=32×22=3．∴P−3,−7．如图5所示：当点P在AC上时，过点P作PF⊥y轴，垂足为F．∵PC=32，∠PCF=45∘，∠PFC=90∘，∴CF=PF=32×22=3．∴P3,−1．综上所述，点P的坐标为−3,−7或3,−1或 −13,−133或13,−113．。
中考复习---三角形学案
几何初步及平行线、相交线一．知识整理1.两点确定一条直线，两点之间线段最短。
_______________叫两点间距离。
2. 1周角=__________平角=_____________直角=____________3.如果两个角的和等于 度，就说这两个角互余，同角或等角的余角相等；如果两个角的和等于___度，就说这两个角互为补角，_________的补角相等。
4. 对顶角___________。
5.过直线外一点心___________条直线与这条直线平行。
6.平行线的性质：两直线平行，_________相等，________相等，________互补。
7.平行线的判定：________相等,或_______相等,或________互补，两直线平行。
8.平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直。
二． 巩固练习1. 如果一个角的补角是1200，那么这个角是2．如图，延长线段AB 到C ，使4BC =，若8AB =，则线段AC 是BC 的 倍．3．如图，已知直线a b ∥，135=∠，则2∠的度数是 ．4．如图，在不等边ABC △中，DE BC ∥，60ADE =∠，图中等于60的角还有______________．5．如图，直线a b ∥，则A ∠的度数是（ ）Ａ．28 Ｂ．31 Ｃ．39 Ｄ．42（第2题图)A BC 第5题图图 A B CD a b 70° 31° ADB C E 第4题图 a b c 1 2 第3题图三．例题讲解例1.如图：AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，若∠1=720，则∠2等于多少度？例2 如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝140°,∠D＝120°，求∠C例3一条公路修到湖边时，需要绕湖而过，如果第一次拐的角∠A= 120°第二次拐的角∠B= 150°如果第三次拐的角∠C，这时的路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求∠CD AB CEEDG1 2FB例4. 点O 在直线AB 上，OC 为射线，12310∠∠︒比的倍少 求∠1，∠221ABCO例5在在△ABC 中，已知AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，∠B=35º，求∠CAFECA BFD四．课堂练习1.下列图形中，能肯定12>∠∠的是（ ）2．如图，直线l 与直线a ，b 相交，且a ∥b ，︒=∠801，则2∠的度数是( )A ．60ºB ．80ºC ．100ºD ．120º1 2 1 2 2 1 2 1 Ｏ A ． B ． C ． D ．1AE D CFG B D ' C ' 3．如图，直线c 截二平行直线a 、b ，则下列式子中一定成立的是 （ ） A ．∠1=∠5 B． ∠1=∠4C ．∠1=∠3 D．∠1=∠24．如果一个角的补角是1200，那么这个角的余角是5. 如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=°，DE 过点C 且平行于AB ，若35BCE ∠=°，则A ∠的度数为（ ） A ．35° B ．45° C ．55° D ．65°6．如图，若AB CD ∥，150∠=，则2∠= ．7．如图，把一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠，若158∠=，则AEG ∠= ．8．如图，直线AB ∥CD ，EF ⊥CD 于F ，如果∠GEF=200，那么∠1的度数是 。
2016年山东省济南市历下区初三二轮复习学案1：数与式
课题： 数与式备课学校：东方双语一、考试大纲要求 1、掌握实数的有关概念2（1）掌握实数的运算法则，并熟练地进行混合运算； （2）掌握整式与分式的化简与运算，并会探究规律 3、会用提公因式法、公式法进行因式分解。
二、重点、易错点分析：1、重点：实数概念；实数的运算;会进行简单的分式混合运算并会探究规律2、易错点:(1)算术平方根：()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==00002a a a a a a a (2) 非负性质0,0),0(02≥≥≥≥a a a a三、考题集锦1. (2015 山东省济南市) －6的绝对值是（ ）A ． 6B ． －6C ． ±6D ．162. (2015 山东省济南市) 新亚欧大陆桥东起太平洋西岸中国连云港，西达大西洋东岸荷兰鹿特丹等港口，横贯亚欧两大洲中部地带，总长约为10900公里．10900用科学记数法表示为（ ） A ． 0.109×105B ． 1.09×104C ． 1.09×103D ． 109×1023. (2015 山东省济南市) 下列运算不正确的是（ ）A ． a 2·a ＝a 3B ． 326()a a =C ． 224(2)4a a =D ． 22a a a ÷=4、（2012济南）化简5（2x-3）+4（3-2x ）结果为（ ）A ．2x-3B ．2x+9C ．8x-3D ．18x-35. (2015 山东省济南市) 化简2933m m m ---的结果是（ ） A ． 3m + B ． m －3 C ． 33m m -+ D ． 33m m +-6、（2013济南）计算：()3216x x +-=________.7、（2011济南）因式分解：a 2﹣6a +9= ．8、（2012济南）分解因式：a 2-1= ．9. (2015 山东省济南市) 分解因式：xy x +＝10. (2015 山东省济南市)0(3)-＝ ．11. (2015 山东省济南市) （1）化简：2(2)(5).x x x +++二、训练题1、2013威海）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000037mg ，已知1g ＝1000mg ，那么0.00037mg 可以用科学记数法表示为 ( )A ．3.7×10－5gB ．3.7×10－6gC ．3.7×10－7gD ．3.7×10－8g2、（2013枣庄）1的值在 ( )A ．2到3之间B ．3到4之间C ．4到5之间D ．5到6之间、3、计算：(1124sin 603-⎛⎫--︒ ⎪⎝⎭_______．4、(2013．沈阳)下面的计算一定正确的是 ( )A ．b 3＋b 3＝2b 6B ．(－3pq)2＝－9p 2q 2C ．5y 3·3y5＝15y 8D ．b 9÷b 3＝b 3 5.(2013．福州)化简：(a ＋3)2＋a （4－a ）．6．（2013．扬州）先化简，再求值：()()()21213x x x +---，其中2x =-． 7．（2013．茂名）下列各式由左边到右边的变形属于因式分解的是 ( ) A ．a(x ＋y)＝ax ＋ay B ．x 2－4x ＋4＝x(x －4)＋4 C ．10x 2－5x ＝5x(2x －1) D ．x 2－16＋6x ＝(x ＋4)(x －4)＋6x8．(2013．张家界)下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是 ( ) A ．x 2＋x ＋1 B ．x 2＋2x －1 C ．x 2－1 D ．x 2－6x ＋9 9．把下列各式分解因式： (1)(x 2＋y 2)2－4x 2y 2； (2)(x －2)(x ＋4)＋x 2－4.10、13．枣庄）若a 2－b 2＝16，a －b ＝13，则a ＋b ＝_______． 11.（大庆）已知ab ＝－3，a ＋b ＝2，求代数式a 3b ＋ab 3的值． 12、（13．淄博)下列运算错误的是 A ．()()221a b b a -=- B ．1a ba b--=-+C ．0.55100.20.323a b a b a b a b ++=-- D ．a b b aa b b a--=++ 13（2013．枣庄）化简211x xx x+--的结果是 ( ) A ．x ＋1 B ．x －1 C ．－x D ．x14、 (2013．临沂)化简2121211a a a a +⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭的结果是 ( ) A ．11a - B ．11a + C ．211a - D ．211a + 10. (2012 青海省) 分解因式：34m m -+= .11. (2012 四川省眉山市) 因式分解：22ax ax a -+=___________．12. (2012 福建省厦门市) 已知a ＋b ＝2，ab ＝－1，则3a ＋ab ＋3b ＝ ；a 2＋b 2＝ .13. (2012 辽宁省大连市) 化简：11a a a-+=_______. 14. (2011 山东省济南市) 计算：2()()2a b a b b +-+．15. (2011 山东省烟台市) 先化简再计算：22121x x x x x x --⎛⎫÷- ⎪+⎝⎭，其中x 是一元二次方程2220x x --=的正数根.四、典型例题：例1、（1）实数P 在数轴上的位置如图1化简=-+-22)2()1(p p本题涉及的知识点：数轴、开平方、化简 本题用到的重要方法：数形结合 本题需注意的事项：符号问题例2．先化简2111122x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭1，1-中选一个你认为合适．．的数作为x 的值代入求值ͼ1知识点：分式的运算 注意事项：利用分式的加减、乘除及因式分解对代数式进行化简，要注意运算步骤。
《三角形》复习
《三角形》复习学案课型：时间：学生姓名：___________【学习目标】1.理解并掌握三角形及三角形的重要线段的概念；2.掌握三角形的三边间的关系；3.会利用三角形的内角和定理及外角公式计算角度。
【学习过程】一、请列出本章知识结构：二、要点梳理：1.三角形的概念：_________________________________________________.2.三角形的性质：_________________________________________________.3.三角形的分类：按边分：_______________和___________________（_____________和____________）；按角分：____________________、____________________和______________________。
4.三角形三边关系：_____________________________________________________；_____________________________________________________；【针对性练习】1.下列长度的各组线段能否组成一个三角形？（1）15cm、10cm、7cm （2）4cm、5cm、10cm（3）3cm、8cm、5cm （4）4cm、5cm、6cm2.已知两条线段的长分别是3cm、5cm ，要想拼成一个三角形，第三条线段a的取值范围是什么？5.请作出△ABC的BC边上的高、AB边上的中线和∠B的角平分线：6.三角形和多边形的角【针对性练习】1.在△ABC中，（1）∠B=70°，∠A=∠C，则∠C= ；（2）2∠A=∠B+∠C，则∠A= 。
2.如图，______是△ACD的外角，∠ADB= 115°∠CAD= 80°则∠C =_______ .3.小明绕五边形各边走一圈，他共转了度。
三角形中考复习学案
中考复习学案 三角形课时21．三角形的概念、等腰三角形、直角三角形【课前热身】1、一副三角板，如图所示叠放在一起．则图中∠α的度敦是()E DCBAFA ．75°B ．60°C ．65°D ．55°2、（2011·济宁）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，那么此三角形的周长是 A.15cm B.16cm C.17cm D. 16cm 或17cm3、（2011•滨州）边长为6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为 ．4、等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 .5． ABC △中，D E ，分别是AB AC ，的中点，当10cm BC =时，DE = cm ．6． 如图，⊿ABC 中，∠A = 40°,∠B = 72°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ，DF ⊥CE ，则∠DCE = ，∠CDF = .7．（2009年齐齐哈尔市）如图，为估计池塘岸边A B 、的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得15OA =米，OB =10米，A B 、间的距离不可能是（ ）A ．20米B ．15米C ．10米D ．5米【考点链接】一、三角形的分类：1．三角形按角分为______________，______________，_____________． 2．三角形按边分为_______________,__________________. 二、三角形的性质：1．三角形中任意两边之和____第三边，两边之差_____第三边2．三角形的内角和为_______，外角与内角的关系：__________________． 三、三角形中的主要线段：1．___________________________________叫三角形的中位线．2．中位线的性质：____________________________________________． 3．三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线) 四、三角形的分类（一）等腰三角形的性质与判定： 1. 等腰三角形的两底角__________；2. 等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一；3. 有两个角相等的三角形是_________． （二）．等边三角形的性质与判定：1. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；2. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形． (三)．直角三角形的性质与判定： 1. 直角三角形两锐角________．2. 直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________．3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．；4. 勾股定理：_________________________________________．5. 勾股定理的逆定理：_________________________________________________．【典例精析】例1 如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°． 求∠DAC 的度数．例2 （2011•泰安）如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为（ ）A 、B 、C 、D 、6OAB第7题4321D C B An2、(2010临沂)如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为(A) 3(B) 23(C) 33(D) 43。
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A D E C
F A
E
课题7： 三角形
一．考试大纲要求：
① 了解三角形的有关概念，并探索其性质。
会证三角形全等 ② 能运用有关三角形的知识解决问题。
二、重点、易错点分析：
重点：通过证明线段或角相等来考虑三角形的性质和判定；运用勾股定理解决实际问题，三角形中重要线段的性质和判定。
易错：确定边长的取值范围时，容易忽略是不是能构成三角形；等腰三角形注意解的不唯一性。
三．课前练习
1．（2015•安徽, 第8题4分）在四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C ，点E 在边AB 上，∠AED=60°，则一定有（ ） A ．∠ADE=20°
B ． ∠ADE=30°
C ． ∠ADE=∠ADC
D ．∠ADE=∠ADC
2．（2015•永州，第9题3分）如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，BA 和CD 的延长线交于点E ，若
） 3、（2015年四川省达州市中考，6,3分）如图，△
ABC 中，BD 平分∠ABC ，BC 的中垂线交BC 于点E ，
5. （2015江苏淮安第6题）下列四组线段组成直角三角形的是（ ）
A 、3,2,1===c b a
B 、4,3,2===c b a
C 、5,4,2===c b a
D 、5,4,3===c b a 4、适合条件∠A =∠B =
3
1
∠C 的三角形一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D. 任意三角形
5、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是( ) A. 13
B. 26
C. 47
D. 94
6、用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出
A O
B AOB '''∠=∠的依据是（
） A ．（S ．S ．S ）
B ．（S ．A ．S ）
C ．（A ．S ．A ）
D ．（A ．A ．S ）
7、如图，在Rt △ABC 中，90∠=
A ，A
B =A
C ＝E 为AC 的中点，点F 在底边BC 上，且
⊥FE BE ，则△CEF 的面积是（ ）
A ． 16
B ． 18
C ．
D ． 8、如图，B 、A 、
E 三点在同一直线上，请你添加一个条件，使AD ∥BC ．你所添加的条件是
(不允许添加任何辅助线)．
9、如图，l m ∥，矩形ABCD 的顶点
B 在直线m 上，则α∠= 度． 10、如图，等边△AB
C 的边长为1 cm ，
D 、
E 分别是AB 、AC 上的点，将△ADE 沿直
线DE 折叠，点A 落在点A ' 处，且点A '在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长 为
cm ．
11、如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是 度．
13、
14如图：△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，请你添 加一个适当的条件： ，使△AEH ≌△CEB ．
D A
B
C
m l α 65°
D A B C O O '
D '
A '
B '
C '
A
A 1
A 2
D E B A 15、如图，在△ABC 中，∠A ＝α．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD
的平分线相交于点A 2，得∠A 2； ……；∠A 2009BC 与∠A 2009CD 的平分线相交于点A 2010，得∠A 2010 ．则∠A 2010＝ ．
四、典型课堂练习题
16．（10分）（2015•铜仁市）（第21题）已知，如图，点D 在等边三角形ABC 的边AB 上，点F 在边AC 上，连接DF 并延长交BC 的延长线于点E ，EF=FD ． 求证：AD=CE ．
17．（2015•甘肃庆阳，第25题，10分）如图，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，直线EF 交正方形外角的平分线于点F ，交DC 于点G ，且AE ⊥EF ． （1）当AB=2时，求△GEC 的面积； （2）求证：AE=EF ．
18、已知：如图，AB=AC ，点D 是BC 的中点，AB 平分DAE ∠，AE BE ⊥，垂足为E ． 求证：AD=AE ．
19、如图，在ABC △中，40AB AC BAC =∠=，°，分别以AB AC ，为边作两个等腰直角三角形
ABD 和ACE ，使90BAD CAE ∠=∠=°．
（1）求DBC ∠的度数； （2）求证：BD CE =．
20、如图，△ABC 中，∠C=90º，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，BD ∶DC=2∶1，BC=7.8cm ，求D
到AB 的距离
21、已知：如图，D 是等腰ABC 底边BC 上一点，它到两腰AB 、AC 的距离分别为DE 、DF ．当D
点在什么位置时，DE=DF ？并加以证明．
22、如图，要测量人民公园的荷花池A 、B 两端的距离，由于条件限制无法直接测得，请你用所学过
的数学知识设计．．出一种．．．
测量方案，写出测量步骤． 用直尺或圆规画出测量的示意图，并说明理由（写出求解或证明过程）
A
B
A B C
E
D
23．（2015•湘潭，第22题6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在
斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
24．（2015•营口，第25题14分）【问题探究】
（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．
（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．
25.（2015年重庆B第25题12分）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.
（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF扔与线段AC相交于点F.求证：1
CF
2
BE AB
+=；
（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交与点F，作DN⊥AC于点N，若DN=FN，求
证：)
BE CF BE CF
+=-.
25题图2
25题图1
C
C。