【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学 双基限时练21 新人教A版必修4
【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学 双基限时练7 新人教A版必修4
双基限时练(七)1．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )解析 可以用特殊点来验证：x ＝0时，y ＝－sin0＝0，排除A 、C ； 又x ＝－π2时，y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝1，故选D.答案 D2．用五点法作y ＝2sin2x 的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3解析 令2x 分别等于0，π2，π，3π2，2π时，得x ＝0，π4，π2，3π4，π.答案 B3．若cos x ＝0，则角x 等于( ) A ．k π(k ∈Z ) B.π2＋k π(k ∈Z ) C.π2＋2k π(k ∈Z ) D ．－π2＋2k π(k ∈Z )答案 B4．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，则f (x )的图象( )A ．与g (x )的图象相同B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位，得g (x )的图象D ．向右平移π2个单位，得g (x )的图象答案 D5．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )答案 D6．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B7．下列函数图象相同的序号是________． ①y ＝cos x 与y ＝cos(x ＋π)；②y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2与y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ；③y ＝sin x 与y ＝sin(2π－x )；④y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x . 答案 ④8．函数y ＝sin x 的图象和y ＝cos x 的图象在[0,2π]内的交点坐标为________． 解析 在同一坐标系内画出图象即可． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫π4，22和⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，－229．利用正弦曲线，写出函数y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的值域是________．解析 y ＝sin x 的图象如图．由图知，当x ＝π2时，sin x 取到最大值1，当x ＝π6时，sin π6＝12.∴当π6≤x ≤2π3时，1≤y ≤2.答案 [1,2]10．函数y ＝2cos x －2的定义域是________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z11．用“五点法”画函数y ＝－2＋sin x (x ∈[0,2π])的简图． 解 按五个关键点列表：12．作出函数y ＝－sin x ，x ∈[－π，π]的图象，并回答下列问题： (1)观察函数的图象，写出满足下列条件的区间： ①sin x >0；②sin x <0；(2)直线y ＝12与y ＝－sin x 的图象有几个交点？解 用五点法作图如下：(1)根据图象可知，图象在x 轴上方的部分－sin x >0，在x 轴下方的部分－sin x <0，所以当x ∈(－π，0)时，－sin x >0；当x ∈(0，π)时，－sin x <0.即当x ∈(0，π)时，sin x >0；当x ∈(－π，0)时，sin x <0.(2)画出直线y ＝12，知有两个交点．13．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积．解观察图可知：图形S1与S2，S3与S4是两个对称图形；有S1＝S2，S3＝S4，因此函数y＝2cos x的图象与直线y＝2所围成的图形面积，可以转化为求矩形OABC的面积．因为|OA|＝2，|OC|＝2π，所以S矩形OABC＝2×2π＝4π.所以所求封闭图形的面积为4π.。
【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学 双基限时练8 新人教A版必修4
双基限时练(八)1．下列函数以π为周期的是( ) A ．y ＝cos 12xB ．y ＝sin xC ．y ＝1＋cos2xD ．y ＝cos3x答案 C2．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝－cos2x .∴最小正周期为T ＝2π2＝π，且为偶函数．答案 B3．下列是定义在R 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( )解析 显然D 中函数图象不是经过相同单位长度，图象重复出现．而A 、C 中每经过一个单位长度，图象重复出现．B 中图象每经过2个单位，图象重复出现．所以A 、B 、C 中函数是周期函数，D 中函数不是周期函数．答案 D4．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析 ∵f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，∴f (0)＝±1.∴sin φ3＝±1.∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )． ∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )．又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，φ＝3π2.故选C.答案 C5．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k ＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( )A ．10B ．11C ．12D ．13解析 ∵T ＝2πk4＝8πk≤2，∴k ≥4π，又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13. 答案 D6．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ≤0，sin x ，0<x ≤π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4的值等于( )A ．1B.22 C ．0 D ．－22解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π× －3 ＋34π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＝sin 34π＝22.答案 B7．函数y ＝12sin2x 的最小正周期T ＝________.解析 T ＝2π2＝π.答案 π8．y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π6的最小正周期为π，则a ＝______. 解析 由最小正周期的定义知2π|a |＝π，∴|a |＝2，a ＝±2.答案 ±2 9．已知f (n )＝sinn π4(n ∈Z )，那么f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝________. 解析 ∵f (n )＝sin n π4(n ∈Z )，∴f (1)＝22，f (2)＝1，f (3)＝22，f (4)＝0，f (5)＝－22，f (6)＝－1，f (7)＝－22，f (8)＝0，…，不难发现，f (n )＝sin n π4(n ∈Z )的周期T ＝8，且每一个周期内的函数值之和为0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (100) ＝f (97)＋f (98)＋f (99)＋f (100) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4) ＝22＋1＋22＋0＝2＋1. 答案2＋110．函数y ＝cos x 1－sin x 1－sin x 的奇偶性为________．解析 由题意，当sin x ≠1时，y ＝cos x 1－sin x1－sin x＝cos x ，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．答案 非奇非偶函数11．函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f x. 求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期． 解 因为f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2) ＝－1f x ＋2＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且4是它的一个周期．12．判断函数f (x )＝ln(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性．解 ∵1＋sin 2x >|sin x |≥－sin x ， ∴sin x ＋1＋sin 2x >0. ∴定义域为R .又f (－x )＝ln []sin －x ＋1＋sin 2 －x ＝ln(1＋sin 2x －sin x ) ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋sin 2x ＋sin x ＝ln(1＋sin 2x ＋sin x )－1＝－ln(sin x ＋1＋sin 2x ) ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．13．设有函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3和函数g (x )＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2kx －π6(a ＞0，b ＞0，k ＞0)，若它们的最小正周期之和为3π2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－3g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－1，求这两个函数的解析式．解 ∵f (x )和g (x )的最小正周期之和为3π2，∴2πk ＋2π2k ＝3π2，解得k ＝2. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，∴a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2－π3＝b cos ⎝⎛⎭⎪⎫4×π2－π6， 即a ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝b ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6.∴32a ＝32b ，即a ＝b .① 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－3g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－1， 则有a ·sin π6＝－3b ·cos 5π6－1，即12a ＝32b －1.② 由①②解得a ＝b ＝1，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6.。
【名师一号】(学习方略)2015-2016学年高中数学 1.3.2.1函数的奇偶性双基限时练 新人教A版必修1
【名师一号】（学习方略）2015-2016学年高中数学 1.3.2.1函数的奇偶性双基限时练 新人教A 版必修11．设自变量x ∈R ，下列各函数中是奇函数的是( )A ．y ＝x ＋3B ．y ＝－|x |C ．y ＝－2x 2D ．y ＝x 3＋x答案 D2．对于定义在R 上的任意奇函数f (x )都有( )A ．f (x )－f (－x )>0B ．f (x )－f (－x )≤0C ．f (x )·f (－x )≤0D ．f (x )·f (－x )>0解析 ∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )·f (－x )＝－f 2(x )≤0，故C 正确．答案 C3．函数f (x )＝1x －x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称解析 函数f (x )的定义域关于原点对称，又∵f (－x )＝1－x ＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，其图象关于坐标原点对称．答案 C4．奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象必定经过点( )A ．(a ，f (－a ))B ．(－a ，f (a ))C ．(－a ，－f (a )) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a解析 当x ＝－a 时，f (－a )＝－f (a )，∴过点(－a ，－f (a ))．答案 C5．偶函数y ＝f (x )在区间[0,4]上单调递减，则有( ) A ．f (－1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (－π)B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (－1)>f (－π)C ．f (－π)>f (－1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D ．f (－1)>f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 解析 ∵y ＝f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)，f (－π)＝f (π)．∵0<1<π3<π<4，y ＝f (x )在[0,4]上单调递减， ∴f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (π)． ∴f (－1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (－π)． 答案 A6．已知x >0时，f (x )＝x －2013，且知f (x )在定义域上是奇函数，则当x <0时，f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝x ＋2013B ．f (x )＝－x ＋2013C ．f (x )＝－x －2013D ．f (x )＝x －2013 解析 设x <0，则－x >0， 所以f (－x )＝－x －2013，又因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝x ＋2013，故选A.答案 A7．设函数f (x )＝ x ＋1 x ＋a x为奇函数，则a ＝________. 解析 由f (－x )＝－f (x )，得 －x ＋1 －x ＋a －x ＝ x ＋1 x ＋a －x， 即(x －1)(x －a )＝(x ＋1)(x ＋a )(x ≠0)，∴a ＝－1.答案 －18．已知函数f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个不同的交点，则这四个不同交点的横坐标之和为________．解析 由题意可知函数f (x )的图象关于y 轴对称．所以函数f (x )的图象与x 轴的四个不同交点关于y 轴对称，因此四个不同交点的横坐标之和为0.答案 09．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x x ≥0 g x x <0 为奇函数，则f (g (－1))＝________.解析 当x <0时，则－x >0，由f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝(－x )2－2x ＝x 2－2x ，所以f (x )＝－x 2＋2x .即g (x )＝－x 2＋2x ，因此，f (g (－1))＝f (－3)＝－9－6＝－15.答案 －1510．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域是[a －1,2a ]，求f (x )的值域． 解 ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在区间[a －1,2a ]上的偶函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＋2a ＝0，b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝13，b ＝0.∴f (x )＝13x 2＋1. ∴f (x )＝13x 2＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，23上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3127. 11．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝1x －1； (2)f (x )＝－3x 2＋1；(3)f (x )＝1－x ·1＋x |x ＋2|－2； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x >0，1，x ＝0，－x ＋1，x <0.解 (1)f (x )＝1x －1的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数． (2)f (x )＝－3x 2＋1的定义域是R ，f (－x )＝f (x )，所以为偶函数．(3)f (x )＝1－x ·1＋x |x ＋2|－2的定义域是[－1,0)∪(0,1]，所以解析式可化简为f (x )＝1－x ·1＋x x，满足f (－x )＝－f (x )，所以是奇函数． (4)函数的定义域为R .当x >0时，－x <0，则f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1＝f (x )；当x ＝0时，f (－x )＝f (x )＝1；当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x ＋1＝f (x )．综上，对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．12．(1)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且在R 上为增函数，求不等式f (4x －5)>0的解集；(2)已知偶函数f (x )(x ∈R )，当x ≥0时，f (x )＝x (5－x )＋1，求f (x )在R 上的解析式． 解 (1)∵y ＝f (x )在R 上为奇函数，∴f (0)＝0.又f (4x －5)>0，即f (4x －5)>f (0)，又f (x )为增函数，∴4x －5>0，∴x >54.即不等式f (4x －5)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >54.(2)当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝－x (5＋x )＋1，又f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝－x (5＋x )＋1.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 5－x ＋1 x ≥0 ，－x 5＋x ＋1 x <0 .。
【名师一号】(学习方略)高中数学 1.1.3.2补集及综合应用双基限时练 新人教A版必修1
【名师一号】（学习方略）2015-2016学年高中数学 1.1.3.2补集及综合应用双基限时练新人教A版必修11．已知全集U＝{0,1,2}，且∁U A＝{0}，则集合A＝( )A．{0,1,2} B．{1,2}C．U D．∅解析∵U＝{0,1,2}，且∁U A＝{0}，∴A＝{1,2}．答案 B2．设全集U＝R，集合A＝{x|x＋1＞0}，则∁U A是( )A．{x|x＜－1} B．{x|x＋1≤0}C．{x|x＞－1} D．{x|x＋1≥0}解析x＋1>0⇒x>－1，∵U＝R，∴∁U A＝{x|x≤－1}，即∁U A＝{x|x＋1≤0}．答案 B3．设U＝Z，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{1,3,5} B．{1,2,3,4,5}C．{7,9} D．{2,4}解析图中阴影部分表示的集合是(∁U A)∩B＝{2,4}．答案 D4．已知全集U，M，N是U的非空子集，且∁U M⊇N，则必有( )A．M⊆∁U N B．M∁U NC．∁U M＝∁U N D．M＝N解析用韦恩图表示答案 A5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析A＝{1,2}，B＝{x|x＝2a，a∈A}＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4}，∴∁U(A∪B)＝{3,5}，故选B.答案 B6．已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是( )A．a≤1 B．a＜1C．a≥2 D．a＞2解析用数轴表示为：∁R B＝{x|x≤1，或x≥2}，又A∪(∁R B)＝R，∴a≥2.答案 C7．已知A＝{x|x≤1，或x>3}，B＝{x|x>2}，则(∁U A)∪B＝________.解析∁U A＝{x|1<x≤3}，∴(∁U A)∪B＝{x|x>1}．答案{x|x>1}8．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁U A＝{x|x<3，或x>4}，则a＝________，b＝________.答案 3 49．设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________.解析依题意得，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}．∴A∪B＝{1,3,5,6,7}∴∁U(A∪B)＝{2,4,8}．答案{2,4,8}10．设全集U＝{2,3，x2＋2x－3}，A＝{5}，∁U A＝(2，y)，求x，y的值．解∵A⊆U，∴5∈U.∴x2＋2x－3＝5，即x 2＋2x －8＝0，解得x ＝－4，或x ＝2. ∴U ＝{2, 3,5}，∵∁U A ＝{2，y }，∴y ∈U ，且y ∉A ，∴y ＝2，或y ＝3.由∁U A 中元素的互异性知，y ≠2，∴y ＝3. 综上知，x ＝－4或x ＝2，y ＝3.11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤2}，若B ∪∁R A ＝R ，B ∩∁R A ＝{x |0<x <1或2<x <3}，求集合B .解析 ∵A ＝{x |1≤x ≤2}，∴∁R A ＝{x |x <1或x >2}．又B ∪∁R A ＝R ，A ∪∁R A ＝R ，可得A ⊆B . 而B ∩∁R A ＝{x |0<x <1或2<x <3}，∴{x |0<x <1或2<x <3}⊆B .借助于数轴可得B ＝A ∪{x |0<x <1或2<x <3}＝{x |0<x <3}．12．设全集为R ，集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，∁R B ＝{x |－1≤x ≤5}．(1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝A ，求a 的取值范围．解 ∵全集为R ，∁R B ＝{x |－1≤x ≤5}， ∴B ＝{x |x ＜－1，或x ＞5}．(1)若A ∩B ＝∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥－1，a ＋3≤5，∴－1≤a ≤2.(2)若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，结合数轴得 a ＋3＜－1，或a ＞5，即a ＜－4，或a ＞5.。
【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学 双基限时练10 新人教A版必修4
双基限时练(十)1．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，函数y ＝tan|x |的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于x 轴对称 D ．没有对称轴答案 B2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋3π8，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋3π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋3π8，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z解析 由2x －π4≠k π＋π2，得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z .答案 A3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y ＝1所得的线段长为π4.则ω的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 由题意可得f (x )的周期为π4，则πω＝π4，∴ω＝4.答案 C4．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋tan(π＋x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋tan(π＋x )＝sin x ＋tan x . ∵y ＝sin x ，y ＝tan x 均为奇函数，∴原函数为奇函数． 答案 A5．设a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos25°，则有( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．a <c <b解析 ∵tan70°>tan45°＝1，∴a ＝log 12tan70°<0.又0<sin25°<sin30°＝12，∴b ＝log 12sin25°>log 1212＝1，而c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos25°∈(0,1)，∴b >c >a .答案 D6．下列图形分别是①y ＝|tan x |；②y ＝tan x ；③y ＝tan(－x )；④y ＝tan|x |在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2内的大致图象，那么由a 到d 对应的函数关系式应是( )abcdA ．①②③④B ．①③④②C ．③②④①D ．①②④③解析 y ＝tan(－x )＝－tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是减函数，只有图象d 符合，即d 对应③.答案 D7．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为2π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________. 解析 由已知πω＝2π，∴ω＝12，∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝tan π4＝1.答案 18．函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤3π4，且x ≠π2的值域是________．解析 ∵y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2，⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4上都是增函数，∴y ≥tan π4＝1或y ≤tan 3π4＝－1.答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)9．满足tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≥－3的x 的集合是________．解析 把x ＋π3看作一个整体，利用正切函数图象可得k π－π3≤x ＋π3<k π＋π2，所以k π－2π3≤x <k π＋π6，k ∈Z . 故满足tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≥－3的x 的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π－2π3≤x <k π＋π6，k ∈Z答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π－2π3≤x <k π＋π6，k ∈Z10．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.解析 由图象可知，此正切函数的半周期等于38π－18π＝28π＝14π，即周期为12π，所以，ω＝2.由题意可知，图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π，0，所以0＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×38π＋φ，即34π＋φ＝k π(k∈Z )，所以，φ＝k π－34π(k ∈Z )，又|φ|<12π，所以，φ＝14π.再由图象过定点(0,1)，所以，A ＝1.综上可知，f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋14π.故有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫124π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×124π＋14π＝tan 13π＝3. 答案311．已知函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3的最小正周期T 满足1<T <32，求正整数k 的值，并指出f (x )的奇偶性、单调区间．解 ∵1<T <32，∴1<πk <32，即2π3<k <π.∵k ∈N *，∴k ＝3，则f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3，由3x －π3≠π2＋k π得x ≠5π18＋k π3，k ∈Z ，定义域不关于原点对称，∴f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3是非奇非偶函数．由－π2＋k π<3x －π3<π2＋k π得－π18＋k π3<x <5π18＋k π3，k ∈Z .∴f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3的单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－π18＋k π3，5π18＋k π3，k ∈Z .12．函数f (x )＝tan(3x ＋φ)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫π4，0，其中0<φ<π2，试求函数f (x )的单调区间．解 由于函数y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，其中k ∈Z . 故令3x ＋φ＝k π2，其中x ＝π4，即φ＝k π2－3π4. 由于0<φ<π2，所以当k ＝2时，φ＝π4.故函数解析式为f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. 由于正切函数y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上为增函数．则令k π－π2<3x ＋π4<k π＋π2，解得k π3－π4<x <k π3＋π12，k ∈Z ， 故函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π3－π4，k π3 ＋π12，k ∈Z .13．求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3的最值及相应的x 的值．解 y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－(tan x －5)2＋24. ∵π4≤x ≤π3，∴1≤tan x ≤ 3. ∴当tan x ＝3时，y 有最大值103－4，此时x ＝π3.当tan x ＝1时，y 有最小值8，此时x ＝π4.。
《名师一号》(新课标版)2015-2016学年高二数学必修2双基限时练第四章第二节直线、圆的位置关系30Word版含
双基限时练(三十)1．已知直线ax －by ＋c ＝0(abc ≠0)，与圆x 2＋y 2＝1相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形( )A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在解析 直线与圆相切，则圆心到切线的距离d ＝|c |a 2＋b2＝1，∴a 2＋b 2＝c 2，故三角形为直角三角形．答案 B2．已知点A ，B 分别在两圆x 2＋(y －1)2＝1与(x －2)2＋(y －5)2＝9上，则A ，B 两点之间的最短距离为( )A ．2 5B ．25－2C ．25－4D ．2 解析 两圆心之间的距离为2－02＋5－12＝25>4＝r 1＋r 2，∴两圆相离，∴A 、B 两点之间的最短距离为25－4.答案 C3．方程x (x 2＋y 2－1)＝0和x 2－(x 2＋y 2－1)2＝0表示的图形是( ) A ．都是两个点 B ．一条直线和一个圆C ．前者是一条直线和一个圆，后者是两个圆D ．前者为两个点，后者是一条直线和一个圆解析 x (x 2＋y 2－1)＝0⇒x ＝0，或x 2＋y 2－1＝0，则它表示一条直线x ＝0和一个圆x 2＋y 2＝1；x 2－(x 2＋y 2－1)2＝0⇒(x ＋x 2＋y 2－1)(x －x 2－y 2＋1)＝0，∴x ＋x 2＋y 2－1＝0，或x －x 2－y 2＋1＝0.即(x ＋12)2＋y 2＝54，或(x －12)2＋y 2＝54，它表示两个圆．因此选C.答案 C4．过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )A ．y ＝3xB ．y ＝－3xC ．y ＝33x D ．y ＝－33x 解析 设切线方程为y ＝kx ，圆的方程化为(x ＋2)2＋y 2＝1，而圆心(－2,0)到直线y ＝kx的距离为1，∴|－2k |k 2＋1＝1.∴k ＝±33.又∵切点在第三象限，∴k ＝33. 答案 C5．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为( )A ．－3或 3 B. 3 C ．－2或 2D. 2解析 ∵∠POQ ＝120°，∴点O 到直线y ＝kx ＋1的距离d ＝12，又d ＝|0＋0＋1|k 2＋1＝12，∴k ＝± 3答案 A6．圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是____________． 解析 半径r ＝|1＋1－4|2＝ 2则圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 答案 (x －1)2＋(y －1)2＝27．设A 为圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4上的动点，PA 是圆C 的切线，且|PA |＝1，则点P 的轨迹方程是________．解析 由题意知CA ⊥PA ， ∴|CP |2＝|CA |2＋|PA |2.∵C (－1,0)，|CA |＝2，|PA |＝1， 设P 的坐标为(x ，y )， 则(x ＋1)2＋y 2＝5. 答案 (x ＋1)2＋y 2＝58．与圆x 2＋y 2＝4切于点P (－1，3)的切线方程为________． 解析 圆心(0,0)，k OP ＝－3， ∴切线的斜率k ＝33，又切点为(－1，3)， ∴切线方程为y －3＝33(x ＋1)， 即x －3y ＋4＝0.答案 x －3y ＋4＝09．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.解析 由题意可知，直线x －y ＋2＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2，所以－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋2＝0，a ＝－2.答案 －210．已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2.(1)求与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程；(2)从圆C 外一点P 作圆C 的一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且|PM |＝|PO |，求使|PM |最小时点P 的坐标．解 (1)设横、纵截距相等的切线方程为kx －y ＝0与x ＋y ＋c ＝0，则|2k |1＋k 2＝2与|2＋c |2＝2，解得k ＝±1，c ＝－4，或c ＝0. 故切线方程为x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋y －4＝0. (2)设P (x ，y )，由|PM |＝|PO |，得 [x －22＋y 2]－2＝x 2＋y 2，化简得点P 的轨迹为直线x ＝12，要使|PM |最小，即要使|PO |最小，过O 作直线x ＝12的垂线．∴垂足P (12，0)是所要求的点．11．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0， (1)求yx的最值； (2)求y －x 的最值； (3)求x 2＋y 2的最值．解 (1)∵圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝3，其圆心为(2,0)，半径为 3.设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值．此时，|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.∴y x的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b .当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时，|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2± 6.∴y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上一点与原点距离的平方，由平面几何知识可知，它在过原点的连心线与圆的交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，∴x 2＋y 2的最大值为(2＋3)2＝7＋43，最小值为(2－3)2＝7－4 3.12．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2外一点P (2，－1)，过点P 作圆C 的切线PA ，PB ，其中A ，B 是切点．(1)求PA ，PB 所在的直线方程； (2)求|PA |，|PB |的值； (3)求直线AB 的方程．解 (1)由圆心C (1,2)，点P (2，－1)及半径r ＝2知，切线斜率一定存在．设切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.∵圆心到切线的距离等于半径． ∴|k －2－2k －1|k 2＋1＝2，即k 2－6k －7＝0.解得k ＝－1或k ＝7.故切线方程为x ＋y －1＝0或7x －y －15＝0. 即PA ，PB 所在的直线方程分别为x ＋y －1＝0,7x －y －15＝0. (2)∵|PC |＝2－12＋－1－22＝10，∴|PA |＝|PB |＝|PC |2－r 2＝2 2. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －12＋y －22＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴A (0,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧7x －y －15＝0，x －12＋y －22＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝125，y ＝95.∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫125，95.故直线AB 的方程为y －195－1＝x －0125－0，即x －3y ＋3＝0.。
【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学 双基限时练22 新人教A版必修4
双基限时练(二十二)1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( ) A.BD →＝CE → B.BD →与CE →共线 C.BE →＝BC →D.DE →与BC →共线解析 由题意知，DE 为△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，∴DE →与BC →共线．答案 D2．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 解析 DB →＋DC →－2DA →＝(DB →＋AD →)＋(DC →＋AD →)＝AB →＋AC →，∴(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0.即AB →2＝AC →2，∴|AB →|＝|AC →|.故选B.答案 B3．(2009·福建高考)设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则|b ·c |的值一定等于( )A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积B ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积C ．以a ，b 为两边的三角形的面积D ．以b ，c 为两边的三角形的面积 解析如右图，设b 与c 的夹角为θ，a 与b 的夹角为α， ∵a ⊥c ，∴|cos θ|＝|sin α|. 又|a |＝|c |，∴|b ·c |＝|b ||c ||cos θ|＝|b ||a ||sin α|，即|b ·c |的值一定等于以a ，b 为邻边的平行四边形的面积． 答案 A4．已知点A ，B 的坐标分别为A (4,6)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32，则与直线AB 平行的向量的坐标可以是( )①⎝⎛⎭⎪⎫143，3；②⎝ ⎛⎭⎪⎫7，92；③⎝ ⎛⎭⎪⎫－143，－3；④(－7,9)．A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④解析 ∵A (4,6)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32，∴AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－7，－92，易知①、②、③与AB →平行，故选C. 答案 C5．设O (0,0)，A (1,0)，B (0,1)，点P 是线段AB 上的一个动点，AP →＝λAB →，若OP →·AB→≥PA →·PB →，则实数λ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1＋22D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22 解析 设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，AB →＝(－1,1)，PA →＝(1－x ，－y )，PB →＝(－x,1－y )，∵AP →＝λAB →，∴(x －1，y )＝(－λ，λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－λ，y ＝λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－λ，y ＝λ，①又∵OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,1)＝－x ＋y ，PA →·PB →＝(1－x ，－y )·(－x,1－y )＝－x (1－x )－y (1－y )，∴－x ＋y ≥－x (1－x )－y (1－y )，将①代入可得：λ－1＋λ≥(λ－1)·λ－λ(1－λ)，整理可得：2λ2－4λ＋1≤0，解得：1－22≤λ≤1＋22，又P 是线段AB 上的动点，∴λ≤1，∴1－22≤λ≤1，故选B. 答案 B6．在Rt △ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA |2＋|PB |2|PC |2＝( ) A ．2 B ．4 C ．5D ．10解析 ∵PA →＝CA →－CP →，∴|PA →|2＝CA →2－2CP →·CA →＋CP →2. ∵PB →＝CB →－CP →，∴|PB →|2＝CB →2－2CP →·CB →＋CP →2.∴|PA →|2＋|PB →|2＝(CA →2＋CB →2)－2CP →·(CA →＋CB →)＋2CP →2＝AB →2－2CP →·2CD →＋2CP →2. 又AB →2＝16CP →2，CD →＝2CP →，代入上式整理得|PA →|2＋|PB →|2＝10CP →2，故所求值为10. 答案 D7．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PAB 与△ABC 的面积之比为________．解析 ∵PA →＋PB →＋PC →＝AB →，∴PC →＝AB →－PA →－PB →＝AP →＋AB →＋BP →＝2AP →，∴A ，P ，C 三点共线，且点P 是靠近点A 的线段AC 的三等分点， 故S △PAB S △ABC ＝13. 答案 138．质量m ＝2.0 kg 的物体，在4 N 的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3 s ，则水平力在3 s 内对物体所做的功为__________．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →＝________.解析 如图，∵AB ＝3，取D 为AB 的中点，又OA ＝1，∴∠AOD ＝π3.∴∠AOB ＝2π3.∴OA →·OB →＝1×1×cos 2π3＝－12.答案 －129.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF→＝2，则AE →·BF →的值是________．解析 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系， 则由题意知，点B (2，0)，点E (2，1)，设点F (a,2)，所以AB →＝(2，0)，AF →＝(a,2)． 由条件解得点F (1,2)，所以AE →＝(2，1)，BF →＝(1－2，2)． 所以AE →·BF →＝ 2. 答案210．如下图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．解析 如下图，过B 作BD ∥MN ， 易知m ＝AB AM ＝AD AN ，n ＝ACAN，∴m ＋n ＝AD ＋AC AN .∵BO OC ＝DNNC＝1， ∴AD ＋AC ＝2AN . ∴m ＋n ＝2.答案 2 11.如图所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2. 求证：AD ⊥BC .分析 解答本题可先表示出图中线段对应的向量，找出所给等式所蕴含的等量关系，再利用它计算所需向量的数量积．证明 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝e ，DB →＝c ，DC →＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d . ∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2. 由已知a 2－b 2＝c 2－d 2，∴c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2，即e ·(c －d )＝0. ∵BC →＝BD →＋DC →＝d －c ，∴AD →·BC →＝e ·(d －c )＝0. ∴AD →⊥BC →，即AD ⊥BC .12．已知点A 、B 的坐标分别是(－4,3)，(2,5)，并且OC →＝3OA →，OD →＝3OB →，求证：AB ∥CD .证明 ∵OC →＝3OA →，OD →＝3OB →， ∴C (－12,9)，D (6,15)， ∴AB →＝(6,2)，CD →＝(18,6)． ∴CD →＝3AB →，∴AB ∥CD .13．如图所示，以原点和A (5,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，∠B ＝90°，求点B 的坐标．解 设B (x ，y )，则|OB →|＝x 2＋y 2. ∵B (x ，y )，A (5,2)， ∴|AB →|＝ x －5 2＋ y －2 2. 又|AB →|＝|OB →|，∴ x －5 2＋ y －2 2＝x 2＋y 2， 整理，得10x ＋4y ＝29①∴又OB →＝(x ，y )，AB →＝(x －5，y －2)，且OB →⊥AB →.∴OB →·AB →＝0，∴x (x －5)＋y (y －2)＝0， 即x 2＋y 2－5x －2y ＝0，② 由①、②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝72，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝－32.∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－32.。
【高中数学】【名师一号】高中数学 16 微积分基本定理双基限时训练 新人教版选
【名师一号】2014-2015学年高中数学 1-6 微积分基本定理双基限时训练 新人教版选修2-21．下列各式中，正确的是( )A .⎠⎛a b F ′(x )d x ＝F ′(b )－F ′(a )B.⎠⎛a b F′(x)d x ＝F′(a)－F′(b)C .⎠⎛a b F ′(x )d x ＝F (b )－F (a )D.⎠⎛ab F′(x)d x ＝F(a)－F(b) 答案 C2．∫π20( sin x －cos x)d x ＝( )A ．0B ．1C ．2D .π2解析 ∫π20(sin x －cos x)d x＝∫π20sin x d x －∫π20co s x d x＝(－cos x)⎪⎪⎪ π20－(sin x)⎪⎪⎪ π20 ＝1－1＝0. 答案 A3．若∫a 1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2(a>1)，则a 的值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析 ∵⎠⎛1a (2x ＋1x )d x＝(x 2＋ln x)⎪⎪⎪ a1＝a 2＋ln a －1，又⎠⎛1a (2x ＋1x )d x ＝3＋ln 2，∴a＝2.答案 D4.⎠⎛π－πcos x d x 等于( )A ．2πB ．πC ．0D ．1解析 ⎠⎛π－πcos x d x ＝sin x⎪⎪⎪ π－π＝sinπ－sin (－π)＝0.答案 C5．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 20≤x<1，2－x1<x≤2，则⎠⎛02f(x)d x 等于( )A .34 B .45C .56D ．不存在解析 ⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x)d x＝13x 3⎪⎪⎪ 10＋(2x －12x 2)⎪⎪⎪ 21＝13＋2－32＝56. 答案 C6．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图阴影部分)是( )A .⎠⎛02(x 2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x答案 C7．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02 sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析 ∵a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x3⎪⎪⎪ 20＝83， b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4⎪⎪⎪ 20＝4，c ＝⎠⎛02 sin x d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪ 20＝－co s2＋1<2.∴b >a >c . 答案 b >a >c8．计算⎠⎛2－2( sin x ＋2)d x ＝________.解析 ⎠⎛2－2(sin x ＋2)d x ＝⎠⎛2－2sin x d x ＋⎠⎛2－22d x＝(－cos x )⎪⎪⎪ 2－2＋2x⎪⎪⎪ 2－2＝－cos2＋cos(－2)＋2×2－2×(－2) ＝8. 答案 89．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若0≤x 0≤1.且⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，则x 0＝________. 解析 ∵⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a3x 3＋cx ⎪⎪1＝a3＋c ， 又⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，∴ax 20＋c ＝a3＋c .∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 答案3310．计算下列定积分：(1)⎠⎛14x －x 2x ＋x d x ；(2)⎠⎛02(2－|1－x |)d x ；(3)∫π2－π2(sin x －cos x )d x . 解 (1)⎠⎛14x －x 2x ＋x d x ＝⎠⎛14x ＋xx －xx ＋xd x ＝⎠⎛14(x －x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪41＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×432－12×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＝163－8－23＋12＝－176. (2)∵y ＝2－|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，0≤x ≤1，3－x ，1<x ≤2.∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 2⎪⎪⎪1＋⎝⎛⎭⎪⎫3x －12x 2⎪⎪⎪21＝32＋4－52＝3. (3)∫π2－π2(sin x －co s x )d x ＝(－cos x －sin x )⎪⎪⎪π2－π2＝－1－1＝－2. 11．f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式．解 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 由⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，得⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝(12ax 2＋bx )⎪⎪⎪1＝12a ＋b ， ⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝(13ax 3＋12bx 2) ⎪⎪⎪10＝13a ＋12b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝5，13a ＋b 2＝176，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3.12．求f (a )＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x 的最小值．解 f (a )＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝⎠⎛016x 2d x ＋⎠⎛014ax d x ＋⎠⎛01a 2d x＝2x3⎪⎪⎪ 10＋2ax2⎪⎪⎪ 10＋a 2x⎪⎪⎪ 10＝2＋2a ＋a 2＝(a ＋1)2＋1.∴当a ＝－1时，f (a )的最小值为1. 13．设F (x )＝⎠⎛0x (t 2＋2t －8)d t .(1)求F (x )的单调区间； (2)求F (x )在[1,3]上的最值．解 F (x )＝⎠⎛0x (t 2＋2t －8)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3＋t 2－8t ⎪⎪⎪x 0＝13x 3＋x 2－8x ，定义域是(0，＋∞)．(1)F ′(x )＝x 2＋2x －8＝(x ＋4)(x －2)， ∵当x <－4或x >2时，F ′(x )>0； 当－4<x <2时，F ′(x )<0.又∵x >0，∴函数的增区间为(2，＋∞)，减区间为(0,2)． (2)令F ′(x )＝0，得x ＝2(x ＝－4舍去)． 又F (1)＝－203，F (2)＝－283，F (3)＝－6，∴F (x )在[1,3]上的最大值为－6，最小值是－283.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
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双基限时练(二十一)
1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝( )
A．23 B．7
C．－23 D．－7
解析 a·b＝－3×5＋4×2＝－7，故选D.
答案 D
2．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝( )
A．－1 B．－
C. D．1
解析 由a＝(1，－1)，b＝(2，x)可得a·b＝2－x＝1，故x＝1.
答案 D
3．若非零向量a，b，满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案 C
4．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别
为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均不正确
解析 ＝(3，－1)，＝(－1，－3)，＝(－4，－2)，
∴||＝，||＝，||＝.
∴||＝||，且||2＋||2＝||2＝20.
∴△ABC为等腰直角三角形，应选C.
答案 C
5．已知a＝(0,1)，b＝(3，x)，向量a与b的夹角为，则x的值为( ) A．±3 B．±
C．±9 D．3
解析 cos＝＝，
∴2x＝，且x>0，∴3x2＝27，∴x＝3.
答案 D
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a ＋b)，则c＝( )
A. B.
C. D.
解析 不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)．
又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，
∴m＝－，n＝－.
答案 D
7．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,2)，若(a－c)⊥b，则k＝
________.
解析 ∵a＝(3,1)，c＝(k,2)，
∴a－c＝(3－k，－1)．
又b＝(1,3)，且(a－c)⊥b，
∴(a－c)·b＝0，
即1×(3－k)＋(－1)×3＝0.
∴k＝0，故应填0.
答案 0
8．已知向量a＝(1，－2)，b＝(2，λ)，且a与b夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．
解析 a·b＝2－2λ，|a|＝，|b|＝，由a与b的夹角为锐角，得＝>0，即2－2λ>0，
∴λ<1.
当＝1时，解得λ＝－4，此时a与b夹角为0°，不合题意．
∴λ≠－4.故λ的取值范围是(－∞，－4)∪(－4,1)．
答案 (－∞，－4)∪(－4,1)
9．已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a－2b|等于________．
解析 a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1,3)，
∴x＝2，y＝1，∴a＝(2,1)．
又|a|＝，|b|＝，a·b＝0，
∴|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝25.
∴|a－2b|＝5.
答案 5
10．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．(用数字作答)
解析 由题意知|a|＝1，设a与b的夹角为θ，则
b·(a－b)＝b·a－b2＝0，
∴b2＝b·a，∴|b|2＝|a||b|cosθ.
∴|b|(|b|－cosθ)＝0，∴|b|＝0，或|b|＝cosθ.
∵θ∈[0，π]，∴|b|∈[0,1]．
答案 [0,1]
11．已知点A(－1,1)，点B(1,2)，若点C在直线y＝3x上，且⊥.求点C 的坐标．
解 设C(x,3x)，则＝(2,1)，＝(x－1,3x－2)，
所以2(x－1)＋3x－2＝0，
所以x＝，所以C.
12.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)．
(1)若λa－2b与a垂直，求λ的值；
(2)若a－2k b与a＋b平行，求k的值．
解 (1)∵a＝(1,1)，b＝(2，－3)，
∴λa－2b＝(λ，λ)－(4，－6)＝(λ－4，λ＋6)．
∵(λa－2b)⊥a，∴(λa－2b)·a＝0，
∴λ－4＋λ＋6＝0，∴λ＝－1.
(2)∵a－2k b＝(1,1)－(4k，－6k)＝(1－4k,1＋6k)，
a＋b＝(3，－2)，且(a－2k b)∥(a＋b)，
∴－2(1－4k)－3(1＋6k)＝0，
∴k＝－.
13．已知点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值．
解 (1)∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)，
由·＝1×(－3)＋1×3＝0，
得⊥.∴AB⊥AD.
(2)∵AB⊥AD，四边形ABCD为矩形，∴＝.设点C的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)，又＝(1,1)，
∴∴∴C(0,5)．
从而＝(－2,4)，＝(－4,2)，且||＝2，
||＝2，·＝8＋8＝16.
设〈，〉＝θ，
则cosθ＝＝＝.
∴矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值为.。