2-1矩阵定义
线性代数 2-1,2-2矩阵运算
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一、矩阵概念
⎛ a11 a12 ⎜a a22 21 ⎜ 1. 定义：数表 A = ⎜ 1.定义：数表 ⋮ ⎜ ⎝ am 1 am 2 ⋯ ⋯
a1n ⎞ a2 n ⎟ ⎟ = (a ) ij m ×n ⋮ ⎟ ⎟ ⋯ amn ⎠
1)m≠n,称为m×n矩阵，简称矩阵. . 阶矩阵. 2)m＝n，称n阶方阵或n阶矩阵 . 维行向量. : m＝1 A= (a1 a2 … an),又称为n维行向量 行矩阵: 3)行矩阵
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二、矩阵的加法
1.定义
⎛ a11 … a1n ⎞ ⎛ b11 … b1n ⎞ ⎛ a11 ± b11 … a1n ± b1n ⎞ ⎜ ⋮ ⋱ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⋱ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⋱ ⋮ ± = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⋯ a ⎟ ⎜b ⋯ b ⎟ ⎜a ± b ⋯ a ± b ⎟ mn ⎠ ⎝ m1 mn ⎠ ⎝ m1 m1 mn mn ⎠ ⎝ m1
线性代数
数学科学学院 陈建华
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第二章
矩阵
1850年J.J.Sylvester(西尔威斯特)首先提出矩阵概念, 1858年 A.Cayley(凯莱)提出矩阵的运算规则, 从此矩阵的应用更广泛, 成为 经济研究和经济工作中处理线性模型的有力工具。如投入产出模型、 线性规划、决策论等，均运用矩阵作为重要工具解决实际问题。
二阶负定矩阵
二阶负定矩阵二阶负定矩阵是一种特殊的矩阵，在数学领域中具有重要的应用。
它的负定性质使得它在优化问题、最小化问题以及控制系统中有着广泛的应用。
虽然矩阵本身并不具备情感，但是通过人类的视角来描述它的特性和应用，可以使读者更容易理解和接受这个概念。
一个二阶负定矩阵是一个2x2的矩阵，它的特点是所有的特征值都是负数。
这意味着矩阵的所有主对角线元素都是负数，而次对角线元素为零。
这种特性使得这种矩阵具有一些特殊的性质和应用。
二阶负定矩阵在优化问题中起着重要的作用。
在优化问题中，我们通常需要找到一个使得目标函数取得最小值的变量值。
二阶负定矩阵可以帮助我们判断一个给定点是否是目标函数的极小值点。
如果一个点的二阶导数矩阵是负定的，那么这个点就是极小值点。
这个性质在很多实际问题中都有着广泛的应用，比如最小二乘法和线性规划等。
二阶负定矩阵在最小化问题中也起着重要的作用。
最小化问题是指找到一个使得目标函数取得最小值的变量值。
在这种情况下，二阶负定矩阵可以帮助我们判断一个给定点是否是目标函数的严格最小值点。
如果一个点的二阶导数矩阵是负定的，那么这个点就是严格最小值点。
这种性质在很多实际问题中也有着广泛的应用，比如非线性规划和凸优化等。
二阶负定矩阵在控制系统中也有着重要的应用。
在控制系统中，我们经常需要设计一个反馈控制器来使得系统的输出稳定。
二阶负定矩阵可以帮助我们判断一个给定的反馈控制器是否能够使得系统的输出稳定。
如果一个反馈控制器的二阶导数矩阵是负定的，那么这个控制器就可以使得系统的输出稳定。
这个性质在控制系统设计中有着重要的意义。
二阶负定矩阵是一种特殊的矩阵，在数学领域和工程领域中具有广泛的应用。
它的负定性质使得它在优化问题、最小化问题以及控制系统中有着重要的作用。
通过人类的视角来描述这个概念，可以使读者更容易理解和接受它的特性和应用。
2-1 线性定常系统的解及转移矩阵
A(t t0 )
x(t0 )
（8）
将（8）式代入（1）式验证
x (t )
和
d x (t ) A e A(t t0 ) x (t0 ) Ax (t ) dt x (t ) t t e A(t0 t0 ) x (t0 ) x (t0 )
0
矩阵指数函数
e
A ( t t 0 )
即
(t ) A (t ) (t ) A
e A0 I
即
(0) I
3）可逆性 即 4）传递性
e
(t )
e
1
At 1
e At
1 (t ) (t )
A( t 2 t1 ) A( t1 t0 )
即
5）当且仅当
(t2 t1 ) (t1 t0 ) (t2 t0 )
根据凯莱-哈密顿定理
Δ( A) An an1 An1 a2 A2 a1 A a0 I 0 An an1 An1 a2 A2 a1 A - a0 I
例 解
3 9 用凯莱-哈密顿定理计算 2 6 λ 3 9 Δ( λ) det λ2 9λ 0 2 λ 6
1）A 的特征值互异 应用凯-哈定理， λi 和 A 都满足 A 的特征方程。因此， λi 也可以 满足（13）式。
e λit a0 (t ) a1 (t ) λi a2 (t ) λi2 an1 (t ) λin1
（其中，i 1,2,, n ） 写成矩阵形式 e λ1t 1 λ1 λ2t e 1 λ2 λnt e 1 λn 于是
2
100
2-1矩阵及其运算
试证： (1) AC = AD
(2) AB = 0
；
17
证：
1 AC 1
1 2 1 1
3 3 3 3
0 0
3 2 ( 1) 1 ( 1) 3
1 2 11
1 AD 1 1 1 1 2
2 B 1 4
1 1 2
0 3 1
求 ( A B ) T。
解一：
1 AB 2 1 0 2 1 8 0 1
28
2 1 4
1 1 2
0 9 3 8 1
2 0
1 1
9 T (AB) 2 1
由m×n 个数 aij ( i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n)
称为一个 m 行 n 列的矩阵，简记 (aij)m×n，通常 用大写字母 A，B，C，…表示，m 行 n 列的矩 阵 A 也记为 Am×n，构成矩阵 A 的每个数称为矩 阵 A 的元素，而 aij 表示矩阵第 i 行、第 j 列的 元素。
1 A 2
1 0
2 2 , B 1 1 4
( 1) 3 ( 1) ( 3 ) 0
3 5 5 3 0 0
1 3 1 ( 3)
0
1 1 2 1 3 1 ( 1) 2 ( 1) 3
故 AC ＝ AD
( 1) ( 5 ) ( 1) 5 0
13
例2.1 设
4 A 2
3 0
1 1 , B 5 1 0 6 1 2 5 2 1 1 4 0
Chapter 2-1 矩阵
对角矩阵常记为 A = diag( a11 , a22 , · · · , ann ). 例如
3 0 0 diag(3,1,2) 0 1 0 . 0 0 2
对角矩阵
(3) 单位矩阵
主对角线上的元素全为 1 的对角矩阵称为单
位矩阵, 简记为 E 或 I . 如
元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数 的矩阵称为复矩阵． （1）式也可简记为
A ＝ ( aij )mn 或 A = ( aij ) .
例如
1 2 4 3 9 8 5 2 , 4 2 1 0
３×４矩阵
1 3 9 5 3
2 0 8 . 1 5
则称矩阵 A 和矩阵 B 相等, 记为 A = B . 例如
3 1 4 2 5 6
与
a b c d . e f
当 a=3, b=-1, c=4, d=2, e=-5, f=6 时, 它们相等.
二、几种常用的特殊矩阵
(1) 行矩阵和列矩阵 只有一行的矩阵称为行矩阵 (也称为行向量).
(2) 对角矩阵
除了主对角线上的元素以外，其余的元素全 都为零的方阵称为对角矩阵，如
a11 a22 A a nn
aij = 0 , i j ,
主对角线
为 n 阶对角矩阵, 其中未标记出的元素全为零, 即 i, j = 1, 2, · · · ,n,
第二章
矩阵及其运算
矩阵是线性代数的主要研究对象. 它在线性代
数与数学的许多分支中都有重要应用, 许多实际问 题可以用矩阵表达并用其相关理论解决. 本章介绍矩阵的概念、 矩阵的基本运算、逆 矩阵、 分块矩阵的概念及其运算.
2-1 矩阵的运算
矩阵-矩阵的运算
18
A为n阶方阵
若 AT
= A 即 aij = aji 称A为反对称矩阵 反对称矩阵
0 a21 a12 0 T A = a a 1n 2n
an1 0 a12 a21 0 an2 = A = a a n2 n1 0
a1n a2n 0
A+ B = C = (cij )m×n 负矩阵: A = (aij )m×n
运算规律: (1)A + B = B + A
cij = aij + bij
交换律: 结合律:
(2) A+ (B + C) = ( A+ B) + C (3)A+ O = O + A (4) A+ (A) = (A) + A = 0 减法: A B = A+ (B) 特别:
A A = 0
把向量看成一个行矩阵,与向量的加法是统一的
20102010-6-24 矩阵-矩阵的运算 5
2.数与矩阵相乘 数与矩阵相乘 Definition 2.1.3: λ A = Aλ = (λaij )m×n 运算规律: (1) (λ) A = λ() A = (λ A) 结合律 矩阵对数的分配律 数对矩阵的分配律
a11 a21 a12 a22 T A = a a 1n 2n
an1 a11 a12 an2 a21 a22 = A= a a ann n1 n2
a1n a2n ann
元素特点:以主对角线为对称轴对应元素相等
20102010-6-24
例如: (4) 验证:例如:A = 1 1 B = 1 0
( AB) = B A
T T
T
0 3 2 1 3 1 1 21 0 3 6 T T AB = B A = = 6 3 0 11 3 1 3
2-1. 矩阵-复习
第2章 矩阵一、矩阵的概念与运算 3. 矩阵与矩阵相乘注意：（1）AB 不一定等于BA ,即矩阵乘法不满足交换律. （2）若矩阵,A 与B 满足=AB O ,并不能得出==A O B O 或的结论,（3）矩阵乘法不满足消去律.从而由,=≠AC BC C O ,也未必推出=A B . 4. 方阵的行列式与幂性质2.4 设A ,B 均为n 阶方阵,λ为数,则 （1）n λλ=A A ；（2）m A =mA ,m 为正整数； （3）==AB A B B A .由于矩阵的乘法不满足交换律,一般而言,1212()()()k k k k +≠AB AB AB . 5. 矩阵的转置性质2.5 (假设运算都是可行的)（1）()T T =A A ； （2）()T T T +=+A B A B ；（3）()T T λλ=A A ； （4）()T T T =AB B A ；（5）若A 为方阵,则T =A A . 二、逆 矩 阵定理2.2 方阵A 可逆的充要条件是0≠A ,且1*1-=A A A. 其中*A 为A 的伴随矩阵.推论2.1 若=AB E （或=BA E ）,则A 可逆,且1-=B A . 性质2.6(1) 若A 可逆,则1-A 也可逆,且11()--=A A ,111--==A A A； (2) 若A 可逆,数0≠λ,则λA 可逆,且111()λλ--=A A ；(3) 若、A B 为同阶矩阵且均可逆,则AB 也可逆,且111()---=AB B A ； (4) 若A 可逆,则其转置矩阵也可逆,且11()()T T --=A A ； (5) 若A 可逆,*A 为其伴随矩阵,则*11*()()--=A A .例5.设a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ,0≠-bc ad ,求1-A .解：1*11d b c a ad bc --⎛⎫== ⎪--⎝⎭A A A 例6.若12(,,,)n diag a a a =L A ,其中0(1,2,...,)i a i n ≠=,求证：112111(,,,)ndiag a a a -=L A . 矩阵方程：求解方法：矩阵方程=AX B ,若A 可逆,则1-=X A B ；同理对矩阵方程=XA B ,若A 可逆,则1-=X BA ；对于矩阵方程=AXB C ,若A 与B 均可逆,则11--=X A CB .注意：两边同时左乘（或同时右乘），不能乱乘. 三、矩阵的初等变换定理2.3 设A 和B 为⨯m n 矩阵,则有（1）r≅⇔A B 存在m 阶可逆矩阵P ,使得=PA B ；（2）c≅⇔A B 存在n 阶可逆矩阵Q ,使得=AQ B ；（3）≅⇔A B 存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q ,使得=PAQ B . 四、矩阵的秩定义2.14如果矩阵A 中不为零的子式最高为r 阶,即存在r 阶子式r D 不为零,而任何1+r 阶子式均为零,则称r D 为A 的最高阶非零子式,称r 为矩阵A 的秩,记作()R r =A .当=A O 时,规定()0R =A .显然{}0()min ,m n R m n ⨯≤≤A .()m n R m ⨯=A 时,称A 为行满秩矩阵；()m n R n ⨯=A 时,称A 为列满秩矩阵；()n n R n ⨯=A 时,称A 为满秩矩阵；()n n R n ⨯<A 时,称A 为降秩矩阵.性质2.8 （1）若矩阵A 中有某个s 阶子式不为0, 则()R s ≥A ；（2）若A 中所有t 阶子式全为0, 则()R t <A ；（3）()()T R R =A A ； （4）n n ⨯A 可逆()R n ⇔=A .（5）行阶梯形矩阵的秩为其非零行的行数.定理2.4 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,即若≅A B ,则()()R R =A B .推论2.3 若,P Q 可逆,且=PAQ B ,则()()R R =A B .性质2.9（1）{}max (),()(,)()()R R R R R ≤≤+A B A A B B ； （2）()()()R R R +≤+A A B B ； （3）{}()min (),()R R R ≤A AB B ； （4）()()m n n s R R n ⨯⨯=⇒+≤B O B A A . 五、分块矩阵 2.5.2 常用的分块阵 1. 按列分块对于矩阵m n ⨯A ,在其列间引入虚线分块得到()111121,,n n m mn a a aa ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭A K M OM L L 令，ααα, 其中j α是A 的第j 列, ()12,,,Tj j j mj a a a =L α. 2. 按行分块对于矩阵m n ⨯A ,在其行间引入虚线分块得到111121T n T m mn T m a a aa ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭KM OM ML令ααA α, 其中T i α是A 的第i 行,()12,,,T i i i in a a a =L α. 3. 对角分块阵设n 阶方阵分块后形如()1212,,,ss diag ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ΟΟL O A A A A A A A , 即A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块方阵,其余子块都为零矩阵,且非零子块都是方块, 则称A 为对角分块阵. 对于对角分块阵A ,易知 （1）12s =L A A A A ；（2）A 可逆⇔0,(1,2,,)i i s ≠=L A ,且()111112,,,s diag ----=L A A A A . 例8.对于n 元线性方程组m n ⨯=A x b ,（1） 若按列分块()12,,n =A L ，ααα,则1122n n x x x =⇔+++=Ax b b L ααα;（2）若按行分块()12,,,TT T T m =A L ααα,则(1,2,,)T i i m =⇔==L Ax b x b α.一、单项选择题1. 设行矩阵A = (a 1, a 2, a 3)、B = (b 1, b 2, b 3), 且A T B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---112112112,则AB T= ( )A . -2B . 2C . -1D . 12. 下列等式中正确的是 ( )A . (A -B )2 = A 2 -2AB + B 2 B . (AB )C = A (BC ) C . (AB )T = A T B TD . (AB )-1= A -1 B -13. 设A 为任意n 阶方阵, X 是1 ⨯ n 阶矩阵, n > 1, 则下列可进行的运算是 ( )A . X T AXB . XAX TC . XAXD . X T AX T 4. 对任意n 阶方阵A 、B , 总有 ( )A . AB =BA B . det(AB ) = det(BA )C . (AB )T =A T B TD . (AB )2=A 2B 25. 设A 是方阵, 如有矩阵关系式AB = AC , 则必有 ( )A . A = 0B . B ≠C 时A = 0 C . A ≠ 0时B = CD . |A | ≠ 0时B = C 6. A 、B 、C 、E 为同阶矩阵, E 为单位阵, 若ABC = E , 则下列各式中总是成立的有 ( )A . BAC = EB . ACB = EC . CBA = ED . CAB =E 7.设n 阶方阵A 、B 、C 满足AB=BC=CA=E,则A 2+B 2+C 2= （ ） （A ）A 2B 2C 2 (B)3E (C)ABC (D)ABCABC8. 设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31000210001, 则A -1等于 ( ) A . ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100020003B . ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020001C . ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛200010003D . ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000300029. 设矩阵A ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2321, 则矩阵A 的伴随矩阵A * = ( ) A . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1322B . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1322 C . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1232 D . ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1232 10.设A 、B 都是n 阶方阵,且=AB O ,则下列一定成立的是（ ）.（A ）=A O 或=B O ； （B ）、A B 都不可逆； （C ）、A B 中至少有一个不可逆； （D ）+=A B O .11.若矩阵1120121012a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A 的秩()2R =A ,则a 的值为（ ）.（A ）0； （B ）0或-1； （C ）-1； （D ）-1或1.12.一个值不为零的n 阶行列式,经过若干次矩阵的初等变换后,该行列式的值（ ）.（A ）保持不变； （B ）保持不为零； （C ）保持相同的正负号； （D ）可以变为任何值.13.设A 是3阶方阵,*A 是其伴随矩阵,则*(3)=A （ ）.（A ）*3A ； （B ）*9A ； （C ）*27A ； （D ）*/3A . 14.设A 为⨯n m 矩阵, C 是n 阶可逆矩阵, 且1()R r =A , ()R r =AC ，则( ）.（A ）1r r >； （B ）1r r <； （C ）1r r =； （D ）r 与1r 的关系依C 而定. 15.已知A 是mxn 矩阵，B 是nxm 矩阵，若AB=E ，则 ( )(A) R(A)=m,R(B)=m (B) R(A)=m,R(B)=n (C) R(A)=n,R(B)=m (D) R(A)=n,R(B)=n16. 已知A 有一个r 阶子式不等于0，则R(A) ( ) (A) =r (B) =r+1 (C) ≦r (D) ≧r二、填空题. 1. 设A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛5443, 则A -1 = . 2. 设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310210001, 则A -1 = .5. 设A 为3阶方阵, det(A )=2, 则det(-2A ) = .6.若A 为2009阶矩阵,且满足T =-A A ,则=A .7.设44⨯矩阵234(,,,)=A αγγγ,234(,,,)=B βγγγ,其中234,,,,αβγγγ均为 四维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则+=A B __________.8.设A 为3阶矩阵,且满足=A 2,则1-=A ______,22-=A _______,*=A ________,**()=A ________.9.设()ij s n a ⨯=A 与rs n⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭E0B 00等价,则矩阵A 的秩()R A =________. 10.设n 阶方阵()ij n n a ⨯=A ,()ij n n i ja ⨯=⋅B ,已知行列式a =A ,则行列式=B .三、 计算题1.已知123143210321,530140321250--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A B ,求32-A B .2.计算下列矩阵乘积：（1）12113412-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）111311*********-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭. 3.已知(1,2,3),(1,1,2),,T T ==-==X Y A X Y B YX ,求4,,A B A .4.若2312312,,21031⎛⎫--⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭A B 求AB 及()TAB .5.（1）设100100λλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,求3A ；（2）设101020001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A , 求(2,3,)k k =L A ．6.将矩阵212341352012⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 化为标准形.7.已知1/22/21/2⎛⎫=⎪⎪⎭A ,且6=A E , 求11A8. 设A 为3阶方阵, det (A ) =21, 计算行列式det [(3A ) -1 - 2A *]. 解: (3A ) -1 - 2A * = 31A -1- 2⋅det (A ) A -1 = 31A -1- A -1 =32-A -1, det [(3A )-1- 2A *]=332⎪⎭⎫ ⎝⎛-det (A -1) = 332⎪⎭⎫ ⎝⎛-[det (A )] -1= 2716-. 9. 设矩阵D = A -1 B T (CB -1 + E ) T - [(C -1) T A ] -1, 其中A = ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31000210001, B = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100012021, C = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1087654321,求出矩阵D .解:D =A -1 B T (CB -1+E ) T - [(C -1) T A ] -1= A -1 [(CB -1 + E ) B ] T - A -1[(C -1) T ] -1= A -1(C + B )T - A -1 C T = A -1(C T + B T ) - A -1 C T = A -1(C T + B T - C T ) = A -1 B T 。
矩阵的定义及其运算规则
矩阵的定义及其运算规则1、矩阵的定义一般而言,所谓矩阵就是由一组数的全体,在括号内排列成m行n 列横的称行,纵的称列的一个数表,并称它为m×n阵;矩阵通常是用大写字母A 、B …来表示;例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为：,或;即：2-3我们称2-3式中的为矩阵A的元素,a的第一个注脚字母 ,表示矩阵的行数,第二个注脚字母jj＝1,2,…,n表示矩阵的列数;当m＝n时,则称为n阶方阵,并用表示;当矩阵a的元素仅有一ij行或一列时,则称它为行矩阵或列矩阵 ;设两个矩阵,有相同的行数和相同的列数,而且它们的对应元素一一相等,即,则称该两矩阵相等,记为A＝B;2、三角形矩阵由i＝j的元素组成的对角线为主对角线,构成这个主对角线的元素称为主对角线元素;如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零,而另外一侧的元素不为零或不全为零,则该矩阵叫做三角形矩阵;例如,以下矩阵都是三角形矩阵：, ,, ;3、单位矩阵与零矩阵在方阵中,如果只有的元素不等于零,而其他元素全为零,如：则称为对角矩阵,可记为;如果在对角矩阵中所有的彼此都相等且均为1,如：,则称为单位矩阵;单位矩阵常用E来表示,即：当矩阵中所有的元素都等于零时,叫做零矩阵,并用符号“0”来表示;4、矩阵的加法矩阵A＝aijm×n 和B＝bijm×n相加时,必须要有相同的行数和列数;如以C＝cijm ×n表示矩阵A及B的和,则有：式中：;即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和; 由上述定义可知,矩阵的加法具有下列性质设A、B、C都是m×n矩阵： 1交换律：A＋B ＝B＋A 2结合律：A＋B＋C＝A＋B＋C5、数与矩阵的乘法我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A,其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵;如：由上述定义可知,数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是m×n矩阵,k、h 为任意常数,则：1 kA＋B＝kA＋kB2k＋hA＝kA＋hA3 khA＝khA6、矩阵的乘法若矩阵乘矩阵,则只有在前者的列数等于后者的行数时才有意义;矩阵的元素的计算方法定义为第一个矩阵第i行的元素与第二个矩阵第j列元素对应乘积的和;若：则矩阵的元素由定义知其计算公式为：2-4例2-1 设有两矩阵为：, ,试求该两矩阵的积;解由于A矩阵的列数等于B矩阵的行数,故可乘,其结果设为C：其中：例2-2 已知：A＝,B＝,求A、B两个矩阵的积;解计算结果如下：矩阵的乘法具有下列性质：1通常矩阵的乘积是不可交换的;2矩阵的乘法是可结合的;3设A是m×n矩阵, B、C是两个n×t矩阵,则有：AB＋C＝AB＋AC;4设A是m×n矩阵,B是n×t矩阵;则对任意常数k有：kAB＝kAB＝AkB; 例2-3 用矩阵表示的某一组方程为：2-5式中：2-6试将矩阵公式展开,列出方程组;解现将2-6式代入2-5式得：2-7将上式右边计算整理得：2-8可得方程组：可见,上述方程组可以写成2-5式的矩阵形式;上述方程组就是测量平差中的误差方程组,故知2-5式即为误差方程组的矩阵表达式;式中称为改正数阵,称为误差方程组的系数阵,称为未知数阵,称为误差方程组的常数项阵;例2-4 设由n个观测值列出r个条件式如下,试用矩阵表示;解现记：2-9则条件方程组可用矩阵表示成：2-10上式中称为条件方程组的系数阵,称为改正数阵,称为条件方程组的闭合差列阵;。
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.
3. 元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作 O . 例如：
O 2 2 0 0 0 0
O 1 4 0
0
0
0
4. 形如
1 0 0
0
2
0
0 0 n
记作 的方阵称为对角阵．
A diag(1 , 2 , , n )
1 0 特别的，方阵 0
0 1 0
0 0 称为单位阵． 记作 E n ． 1
5.上三角矩阵，下三角矩阵（针对方阵而言）
同型矩阵与矩阵相等的概念
1. 两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.
1 例如 5 3 2 14 6 与 8 7 3 3 4 9
表示从变量 x 1 , x 2 , , x n 到变量 y 1 , y 2 , , y m 线性变换，
其中 a ij 为常数.
y1 a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n , y 2 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n , y a x a x a x . m1 1 m2 2 mn n m
A a 11 a 21 am1 a 12 a 22 am1 a1n a2n amn
系数矩阵
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
例
线性变换
y1 x1 , y2 x2 , yn xn
1 2 n
矩阵
a 11 a 21 am1 a 12 a 22 am1 a1n a2n amn
p1 p 2 p n
( 1)
t ( p1 p 2 p n )
行数等于列数 共有n2个元素 本质上就是一个数
行数不一定等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
为同型矩阵.
2. 两个矩阵 A ( a ij ) 与 B ( b ij )为同型矩阵，并且对应元
素相等，即 a ij b ij ( i 1, 2 , , m ; j 1, 2 , , n )
则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B .
例如
0 0 0 0
第二章
矩阵及其运算
§1
矩阵
一、矩阵的定义 二、特殊的矩阵பைடு நூலகம்三、矩阵与线性变换
一、矩阵的定义
由 m×n 个数 a ij ( i 1, 2, , m ; j 1, 2, , n ) 排成的 m 行 n 列的数表
a 11 a 21 am1 a 12 a 22 am 2 a1n a2n amn
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
0
0
0 .
注意：不同型的零矩阵是不相等的.
三、矩阵与线性变换
n 个变量 x 1 , x 2 , , x n 与 m 个变量 y 1 , y 2 , , y m 之间的 存在如下关系：
y1 a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n , y 2 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n , y a x a x a x . m1 1 m2 2 mn n m
称为恒等变换.
y1 1 x 1 0 x 2 0 x n , y 2 x 2 , y2 0 x1 1 x 2 0 x n , y 0 x 0 x 1 x yn xn 1 2 n n
d et( a ij )
( a ij ) m n
二、特殊的矩阵
1. 行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵．可记作 A n .
2. 只有一行的矩阵 A ( a 1 , a 2 , , a n ) 称为行矩阵(或行向量) .
a1 a 2 只有一列的矩阵 B an 称为列矩阵(或列向量)
y1 x1 ,
对应
1 0 0
0 1 0
0 0 1
单位阵 En
a1n a2n amn
简记为
这 m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元.
元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵称为复矩阵.
行列式
a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 an2 a1n a2n a nn a1 p a 2 p a np
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵． 记作
a 11 a 21 A am1 a 12 a 22 am1 a1 n a2n amn
a 11 a 21 A am1
a 12 a 22 am1