福建省福州八中2016-2017学年高二(下)期中数学试卷(解析版)(文科)
福建省2016-2017学年高二第二学期期中数学试卷文
福建省2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文考试时间：120分钟；满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合{13}A x x =-<<，{}B x x a =<，若AB A =，则实数a 的取值范围是（ ）A.3a >B. 3a ≥C. 1a ≥-D. 1a >- 2.复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ） A.-1 B.-3 C.1 D.23.计算235log 5log 2log 3⋅⋅的值为（ ）A.1B.2C.4D.84.已知x 与y 之间的一组数据：（0，1），（1，3），（2，5），（3，7），则y 与x 的线性回归方程必过点（ ）A.（2，4）B.（1.5，2）C.（1，2）D.（1.5，4）5.已知函数2,0()21,0x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，若()1f x ≥，则x 的取值范围是（ ）A.(,1]-∞-B. [1,)+∞C. (,0][1,)-∞+∞UD.(,1][1,)-∞-+∞U6.已知()f x 是定义在[0,)+∞上单调递增的函数，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是（ ） A. 12(,)23 B. 2(,)3-∞ C. 12[,)23 D. 2(,]3-∞ 7.参数方程2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和极坐标方程6cos ρθ=-所表示的图形分别是（ ） A.圆和直线 B.直线和直线 C.椭圆和直线 D.椭圆和圆8.“0,0a b >> ”是“2()2a b ab +<”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知实数,,a b c 满足1()32a =，31log 2b =-，21()log 3c c =，则实数,,a b c 的大小关系为（ ）A.a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<10.若直线l 的参数方程为1324x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线l 倾斜角的余弦值为（ ） A.45- B. 35- C. 35 D. 4511.已知函数()()()f x x a x b =-- ()a b >的图象如图所示，则函数g（x ）=a x+b 的图象是（ ） A. B. C. D.12.已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)y f x =-的图象关于(1,0)点对称，且当0x ≥时恒有31()()22f x f x -=+，当[0,2)x ∈时，()1x f x e =-，则(2016)f +(2015)f -=（ ）A.1e -B.1e -C. 1e --D. 1e +二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.全称命题：2,1x R x ∀∈>的否定是 ______ ．14. .已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，(2)0f =，且当120x x << 时有121()()0xf x f x x x ->-，则不等式()0f x <的解集是 ______ ． 15.已知复数z x yi =+(,,0)x y R x ∈≠且2z -y x 的范围为 ______ ． 16.对函数1()1ax f x x +=-（其中a 为实数，1x ≠），给出下列命题； ①当1a =时，()f x 在定义域上为单调递减函数；。
福建省福州市高二数学下学期期中试题 文(1)
福建省福州市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文考试时间：120分钟 试卷满分：150分2017.4.27第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1．在复平面内，复数2(12)i -对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是 ①y ＝cos x(x ∈R)是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y ＝cos x(x ∈R)是周期函数． A ．①②③B ．③②①C ．②③①D ．②①③3．根据所给的算式猜测1234567×9+8等于1×9+2=11 ；12×9+3=111；123×9+4=1 111；1234×9+5=11 111；…… A ．1 111 110B ．1 111 111C ．11 111 110D ．11 111 1114．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是 A.没有一个内角是钝角 B. 至少有两个内角是钝角 C.有三个内角是钝角 D. 有两个内角是钝角5. 给出下列命题：①对任意x ∈R ，不等式x 2＋2x>4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x>1；③“若a>b>0且c<0，则c a >cb ”的逆否命题．其中真命题只有A ． ①③B ．①②C ． ①②③D ．②③6．若圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝6t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是A ．过圆心B ．相交而不过圆心C ．相切D ．相离7．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是A ．3B ．4C ．5D ．68．已知x>0，y>0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则()cdb a 2+的最小值是 A ．4B ．1C ．2D.0二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）9．在极坐标系中，定点A(1，π2)，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是________ 10．若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是______11．对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如下：根据以上数据，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为10.5y x a ∧∧=+，据此模型来预测当x= 20时，y 的估计值为 12. 给出下列等式：221121213-=⨯⨯；2223112132421213⨯-=⨯⨯+⨯⨯；3322411214352132421213⨯-=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯，…… 由以上等式推出一个一般结论：对于n n n n N n 21)1(22132421213,2*⨯++++⨯⨯+⨯⨯∈ =三、解答题（本大题共有３个小题，共36分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 13．（本小题满分12分）已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0<x<4.若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数x的取值范围． 14. （本小题满分 12 分）已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －b|＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．15．（本小题满分12分）已知某圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos (θ－π4)＋6＝0，求：(1)圆的普通方程和参数方程；(2)在圆上所有的点(x ，y)中x·y 的最大值和最小值．第Ⅱ卷四、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上） 16．满足条件|z －i|＝|3－4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是 A ．一条直线B ．圆C ．两条直线D ．椭圆17．用数学归纳法证明“42n －1＋3n ＋1(n ∈N ＋)能被13整除”的第二步中，当n ＝k ＋1时为了使用归纳假设，对42k ＋1＋3k ＋2变形正确的是A ．3(42k －1＋3k ＋1)－13×42k －1B ．4×42k＋9×3kC ．(42k －1＋3k ＋1)＋15×42k －1＋2×3k ＋1D ．16(42k －1＋3k ＋1)－13×3k ＋118．设F 1和F 2是双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，那么△F 1PF 2的面积是 A ．2B.52C ．1D ．519．设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 的某一排列(a 1，a 2，…，a n 均为正数)，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a nc n 的最小值是A ．2nB.1nC.nD. n五、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）20．圆ρ＝r 与圆ρ＝－2rsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(r>0)的公共弦所在直线的方程为21．已知关于x 的不等式 ()7a x 1x 22≥-+在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为_______六、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 22．（本小题满分12分）已知经过A(5，－3)且倾斜角的余弦值是－35的直线，直线与圆x 2＋y 2＝25交于B 、C 两点． (1)请写出该直线的参数方程以及BC 中点坐标； (2)求过点A 与圆相切的切线方程及切点坐标．23.（本小题满分14分）（1）已知a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，求(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值． （2）请用数学归纳法证明： ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n(n≥2，n ∈N ＋)．高二数学（文） 试卷参考答案及评分标准第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1-8 CDDB CBCA二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分 9. ⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4 10. (－∞，8] 11. 211.5 12. 1-n n 2)1(1∙+ 三、解答题：本大题共有4个小题，共36分 13．（本小题满分12分）解: 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，∴x≥3，或x≤－1.即p ：x≥3，或x≤－1. …………………２分 ∴非p ：－1<x<3.又∵q ：0<x<4，∴非q ：x≥4，或x≤0. …………………５分 由p 且q 为假，p 或q 为真知p ，q 一真一假，…………………６分当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧x≥3，或x≤－1，x≥4，或x≤0，得x≥4，或x≤－1； …………………9分当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x<3，0<x<4，得0<x<3，∴实数x 的取值范围是{x|x≤－1，或0<x<3，或x≥4}．………………１２分 14. （本小题满分12分）解：(1)因为f(x)＝|x ＋a|＋|x －b|＋c≥|(x＋a)－(x －b)|＋c ＝|a ＋b|＋c ，……３分当且仅当－a≤x≤b 时，等号成立． 又a>0，b>0，所以|a ＋b|＝a ＋b ，所以f(x)的最小值为a ＋b ＋c. …………………６分 又已知f(x)的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4. (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c×12＝(a ＋b ＋c)2＝16，……………9分即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. ………………１０分 当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立，高二数学（文）期中考答案 第1页 共3页故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值是87. ………………１２分 15．（本小题满分12分）解：(1)原方程可化为ρ2－42ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＋6＝0，即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.① ………………２分因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以①可化为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2，此方程即为所求圆的普通方程．………………４分设cos θ＝2－2，sin θ＝2－2，所以参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θy ＝2＋2sin θ(θ为参数)．…………………６分(2)由(1)可知xy ＝(2＋2cos θ)·(2＋2sin θ) ＝4＋22(cos θ＋sin θ)＋2cos θ·sin θ＝3＋22(cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2.②…………………８分 设t ＝cos θ＋sin θ，则t ＝2sin (θ＋π4)，t ∈[－2，2]．…１０分所以xy ＝3＋22t ＋t 2＝(t ＋2)2＋1. 当t ＝－2时xy 有最小值为1；当t ＝2时，xy 有最大值为9. ………………１２分第Ⅱ卷一、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 16-19 ＢＤＣＤ二、填空题：本大题共2小题，每小题4分，共8分 20. 2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r 21. ２三、解答题: 本大题共有2个小题，共26分 22． （本小题满分１２分） 解: (1)直线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ，y ＝－3＋45t (t 为参数)，…………………２分代入圆的方程得t 2－545t ＋9＝0，∴t M ＝t 1＋t 22＝275，则x M ＝4425，y M ＝3325，中点坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4425，3325.…………………５分 (2)设切线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋tcos α，y ＝－3＋tsin α(t 为参数)，代入圆的方程得t 2＋(10cos α－6sin α)t ＋9＝0. Δ＝(10cos α－6sin α)2－36＝0，…………………８分 整理得cos α(8cos α－15sin α)＝0， cos α＝0或tan α＝815.∴过A 点切线方程为x ＝5,8x －15y －85＝0. …………………１０分 又t 切＝－b2a＝3sin α－5cos α，由cos α＝0得t 1＝3，由8cos α－15sin α＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝817，cos α＝1517，可得t 2＝－3.将t 1，t 2代入切线的参数方程知，相应的切点为(5,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4017，－7517.…………１２分23. （本小题满分１４分）解：（1）由柯西不等式得：(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥[2(a－1)＋2(b ＋2)＋c －3]2， …………………４分∴9[(a－1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥(2a＋2b ＋c －1)2. …………………５分 ∵2a＋2b ＋c ＝8，∴(a－1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2≥499，∴(a－1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是499.…………………６分（2）证明：(1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34.所以等式成立．…………………８分(2)假设当n ＝k(k≥2，k ∈N ＋)时，等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k (k≥2，k ∈N ＋)．…………………１０分当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1（k ＋1）2＝k ＋12k ·（k ＋1）2－1（k ＋1）2＝（k ＋1）k·（k ＋2）2k·（k ＋1）2＝k ＋22（k ＋1）＝（k ＋1）＋12（k ＋1），…13分 所以当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)知，对n≥2，n ∈N ＋时，等式成立．………………１４分。
福州八中2016—2017学年高二期中考试(2).doc
福州八中2016—2017学年高二期中考试(2) 福州八中2016—2017学年高二期中考试(2)1.它并不是什么神秘的东西，而是中国早期阶级社会中政权结构的一种表现形式，一种由部落联盟转变而来的联邦或邦联式的松散的国家结构形式。
材料中所提的政权结构的表现形式是指A.宗法制B.分封制C.郡县制D.中央集权制2.《吕氏春秋重己篇》记载大力士乌获疾引牛尾，尾绝力勯(dān，尽)，而牛不可行，逆也。
使五尺竖子引其棬(ju n，牛鼻环)而牛恣所以之，顺也。
与之大致同时代的是A.田庄手工业发达B.铁农具的使用C.曲辕犁得到推广D.郡县制普遍确立3.对右图所示措施意义的叙述，正确的是A.有利于汉初经济恢复B.促进自然经济的发展C.为秦国增强实力统一全国创造条件D.有利于巩固统一的多民族的封建国家4.据统计，清初期江南地区棉花与棉纺织业市镇有52个，蚕桑与丝织市镇有25个;长江中游湖北、湖南、江西陶瓷业市镇有25个，纺织丝市镇44个。
这些市镇中手工工场较为发达。
这一现象说明A.自然经济开始瓦解，资本主义萌芽产生B.重农抑商政策松动，对外贸易繁盛C.商品经济活跃，社会处于转型的前夜D.手工业发展迅速，社会分工明显5.19世纪50年代初，在中国的一位英国人说：我还没看见过一个靠劳作生活的中国人穿过一件用我们的布料做的衣服。
出现这种情况的主要原因是A.自给自足的自然经济的抵制作用B.外国的布料质量不如当地土布C.严格的闭关锁国政策限制了进口D.中国农民生活贫困购买力下降6.2015年国家考古部门确定2014年在黄海海域发现的沉船丹东一号为历史上著名的致远舰，并开始研究打捞的可行性方案。
致远舰打捞的重要意义是研究A.甲午战争的爆发B.丁汝昌的生平C.北洋舰队的覆灭D.中国的近代化7.1862年，四川总督骆秉章致函总理衙门说，习教(洋教)之人，恃法国为其教主，常有赴衙门求见，干预公事。
拒之则在外喧嚷，接见则日不暇给。
信函内容表明A.列强已经控制了清政府B.西方宗教势力深入到内地C.宗教势力影响地方行政D.地方官仇视洋教的传播8.下列竹枝词中，不能反映晚清时期新的社会风尚的是A.门外电灯明似昼，陕西巷深醉琼林B.眼前报馆如林立，不见中央有大同C.衣裳朴素容幽静，程度绝高女学生D.十三行畔搬洋货，如看波斯进宝图9.1953至1960年，在全国基本建设投资总额中，内地与沿海分别占47.8%和41.8%。
福建省福州市第八中学高二数学下学期期中试卷文(含解析)
福建省福州市第八中学2015-2016学年高二数学下学期期中试卷 文（含解析）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合P ＝{x |2≤x <4}，Q ＝{x |3x ≥}，则P ∩Q 等于（ ） A ．{x |3≤x <4} B ．{x |－3<x <4} C ．{x |2≤x <3}D ．{x |2≤x ≤3}【答案】A考点：集合的运算.2．复数i(1i)z =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（ ） A ．(1,1) B ．(1,1)--C ．(1,1)-D ． (1,1)- 【答案】D 【解析】试题分析：因i z +-=1,故应选D. 考点：复数的运算.3.设[),0,a b ∈+∞，A B ==A,B 的大小关系是（ ）A.A B ≤B.A B ≥C.A B <D.A B > 【答案】B 【解析】试题分析：因00≥⇒≥ab ab ,故b a ab b a +≥++2,所以应选B.考点：不等式的性质.4.小明想沏壶茶喝，当时的情况是，开水没有，烧开水需要15分钟，烧开水的壶要洗，需要1分钟，沏茶的壶和茶杯要洗，需2分钟，茶叶已有，取茶叶需1分钟，沏茶也需1分钟，小明要喝到自己所沏的茶至少需要花的时间为（）A.16分钟B. 19分钟C.20分钟D.17分钟【答案】D【解析】试题分析：因洗沏茶的壶和茶杯的2分钟可以在烧水的时候做,取茶也可以与烧水同步,故至少需17分钟就可以了,故应选D.考点：算法及运用.5.《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（）A．合情推理B．归纳推理C．类比推理D．演绎推理【答案】D考点：推理的形式.6．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根【答案】A 【解析】试题分析：因至少有一个实数根的反面是无实数根,故应选A. 考点：反证法及运用.7．已知x ，y 之间的一组数据如下表：对于表中数据则根据最小二乘法的思想得拟合程度最好的直线是（ ） A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝85x －25D ．y ＝32x【答案】C 【解析】试题分析：因8598643,4565432=++++==++++=y x ,通过计算可知拟合程度最好的是直线5258-=x y ,故应选C.考点：线性回归方程及运用.8.执行如图所示的程序框图,则输出的k 的值是（ ） A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】考点：算法流程图的理解和识读.9．函数f (x )）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(2，＋∞)D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：因0)(log 1221>-x ,故1log 121<<-x ,由对数函数的性质可得221<<x ,故应选A.考点：对数不等式的解法.10.观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4 , |x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8, |x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12 .则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为（ ）A ．76B ．80C ．86D ．92 【答案】B考点：归纳推理及运算.【易错点晴】解答本题的关键是探寻出整数解的个数的表达式所存在的规律,这是进行归纳猜想的合情推理的基础,也是进行归纳、猜想的阶梯.本题的解答过程是通过对方程的整数解的个数的数字分析探究,不难发现当n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=时,整数解的个数为n ⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯4,44,34,24,14,这说明个数的都是项数的四倍,即方程的整数解的个数的通项是n a n 4=,再取20=n ,就获得答案80.运用数学的归纳法进行猜想时,一定要列举一些事实之后,当然这一猜想是有基础的,那就是对以上几个特殊值的归纳的结果.二、填空题（本大题共4小题，每题4分，满分16分．） 11.已知复数z 满足(1)1z i i -=+，那么z =___. 【答案】i 【解析】试题分析：因i i i i z =+=-+=2)1(112,故应填i . 考点：复数及运算．12.函数223y x ax =--在区间[]0,1上具有单调性，则a 的取值范围是 ．【答案】(][),01,-∞+∞【解析】试题分析：因二次函数的对称轴为a x =,所以当0≤a 或1≥a 时,二次函数在区间[]0,1上单调.考点：二次函数的图象和性质． 13.已知ABC ∆，若存在111A B C ∆，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===,则称111A B C ∆是ABC ∆的一个“友好”三角形,若等腰ABC ∆存在“友好”三角形，则其顶角的度数为___. 【答案】45︒考点：逻辑推理及运用．【易错点晴】本题以三角形的内角之间的正弦余弦的关系为前提定义了一个友好三角形的新概念和新的信息.解答本题时充分依据题设中提供的这一新的信息和概念,进行合理的推理和分析探究,最终使得问题巧妙获解.求解本题的关键是探寻出等腰三角形的顶角和底角与友好三角形的顶角和底角之间的关系1C C =且1sin cos C C =,借助三角形的内角和为0180,求出了即0902=C ,故=C 45︒.14.对于等差数列{}n a 有如下命题：“若{}n a 是等差数列，01=a ，t s 、是互不相等的正整数，则有011=---s t a t a s ）（）（”．类比此命题，给出等比数列{}n b 相应的一个正确命题是：“若{}n b是等比数列，11=b ，t s 、是互不相等的正整数，则有 ”．【答案】111=--t ss t b b【解析】试题分析：由类比推理的格式可知,等差数列是差,则等比数列是比,等差数列的差是0,则等比数列的商是1,故应填答案111=--t ss t b b .考点：类比推理及运用．【易错点晴】本题是一道合情推理中的类比推理题,类比的内容是等差数列与等比数列的之间的类比.所谓类比推理是指运用两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也相似或相同的推理方法.本题的解答就是借助等差和等比数列之间的这种相似进行类比推理的.解答时将差与比进行类比,将零与1进行类比,从而使得问题巧妙获解.当然这需要对类比的内涵具有较为深刻的理解和把握.三、解答题（本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题10分）设复数z 满足1z =，且(34)i z +⋅是纯虚数，求z ． 【答案】4355z i =-或4355z i =-+.【解析】考点：复数的有关概念和运算．16.已知命题46p x :|-|≤，22:210(0)q x x a a -+-≥,>，若p ⌝是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．【答案】03a <≤. 【解析】试题分析：借助题设条件建立不等式组求解.试题解析:由46102p x x x ⌝:|-|>,><-,解得或记A={x|x>10或x<-2},---------2分 q:22210x x a -+-≥,解得1x a ≥+或x ≤1-a,记B={x|x ≥1+a 或1x a ≤-}. --------4分 而⌝p q q ⇒,/⇒ p ⌝,----------------------------------------------------------6分∴A ⊂≠B,-----------------------8分即 121100a a a -≥-,⎧⎪+≤,⎨⎪>.⎩--------------11分∴03a <≤.------------------12分 考点：充分必要条件及运用．17. 2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引发了海啸及核泄漏．某国际组织用分层抽样的方法从心理专家、核专家、地质专家三类专家中抽取若干人组成研究团队赴日本工作，有关数据见表1(单位：人)．核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响，随机选取了110只羊进行了检测，并将有关数据整理为不完整的2×2列联表(表2)． 表1表2（1）求研究小组的总人数；（2）写出表2中A 、B 、C 、D 、E 的值，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为羊受到高度辐射与身体不健康有关．【答案】(1)12；(2)能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为羊受到高度辐射与身体不健康有关. 【解析】试题分析：(1)依据题设条件建立方程求解；(2)借助题设条件运用独立性检验的卡方系数进行推断. 试题解析:考点：正弦余弦定理及三角形面积公式的运用．第Ⅱ卷（50分）四、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）18．已知命题p ：函数)2log y x =是奇函数；命题212),,0(:00=+∞∈∃x x q ，则下列判断正确的是（ ） A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．)(q p ⌝∧是真命题D ．q p ∧⌝)(是真命题【答案】C 【解析】试题分析：因01log )1(log )1(log )()(22222==+++-+=-+x x x x x f x f ,故)2log y x =是奇函数,命题p 真；由于2120=x ,则),0(10+∞∈-=x ,所以命题 212),,0(:00=+∞∈∃x x q 是假的,所以应选C. 考点：命题及复合命题的真假的判定.19.对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C 【解析】试题分析：因2|1||1|,1|||1|≥++-≥+-y y x x (当且仅当11,10≤≤-≤≤y x 时取等号),故3|1||1||||1|≥++-++-y y x x ,应选C. 考点：绝对值不等式的几何意义及应用.20．已知抛物线y 2=4x,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是（ ） A.8 B.32C.16D.4【答案】B 【解析】考点：直线与抛物线的位置关系及基本不等式的灵活运用.21.设()f x 的定义域为D ，若()f x 满足条件:存在[],a b D ⊆,使()f x 在[],a b D ⊆上的值域是,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”．若函数2()log (2)xf x t =+为“倍缩函数”，则t 的取值范围是 （ ） A.1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.()0,1C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】试题分析：由题设函数的定义域是],[b a ,则其值域是]2,2[ba ,由于函数在R 上是单调递减函数,所以2)2(log 2a t a=+,即222a a t =+；同理可得222b b t =+,由此可知方程222xx t =+有两个不等是实数根.令022>=u x,则t u u =-2,则问题转化为函数)0(2>-=u u u y 和t y =有两个不同的交点问题.而函数)0(2>-=u u u y 的最大值为41,结合图象可知410<<t 时,两函数的图象有两个不同的交点,故应选D.考点：函数与方程思想、转化化归思想和数形结合思想的综合运用.五、填空题（本大题共2小题，每题4分，满分8分．）22．已知21x y +=，则22x y +的最小值为________．【答案】15 【解析】 试题分析：因21x y +=，故22x y +145)21(222+-=+-=y y y y ,由于该函数是开口向上的抛物线,因此当52=y ，函数取最小值为15. 考点：二次函数的图象和性质．【易错点晴】本题表面上是一道求二元函数的最值问题,解答时充分借助题设条件中的21x y +=,运用消元的思想,将两个变量变为一个变量,即利用21x y +=消去未知数x ,将问题转化为求二次函数145)(2+-=y y y h 的最小值的问题,求解时直接将对称轴52=y 代入函数的解析式145)(2+-=y y y h 中可得51158)52(5)(2min =+-=y h ,故所求最小值为15. 23．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在0，2]上的解析式为f (x )＝()1,01sin ,12x x x x x π-≤≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩， 则291746f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝______． 【答案】516考点：分段函数的图象和性质的综合运用．六、解答题（本大题共2小题，共22分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）24.（10分）已知函数()R a a x x x f ∈++-=,22.(Ⅰ)当2a =时，解不等式()5≥x f ；(Ⅱ)若存在0x 满足()3200<-+x x f ，求a 的取值范围.【答案】(Ⅰ) 5{|1}3x x x ≤-≥或；(Ⅱ) 71a -<<-.【解析】试题分析：(Ⅰ)先去掉绝对值化为一次不等式求解；(Ⅱ)借助题设条件运用绝对值的几何意义求解.试题解析（Ⅰ）当2a =时，()|2||22|f x x x =-++.由5)(≥x f 得. |2||22|5x x -++≥当2≥x 时，不等式等价于52225,3x x x -++≥≥解得，所以2≥x ；…1分 当12x -<<时，不等式等价于2225,1,2x x x x -++≥≥≤<即所以1，…2分 当1x ≤-时，不等式等价于52225,3x x x ---≥≤-解得，所以53x ≤-.......3分. 所以原不等式的解集为5{|1}3x x x ≤-≥或 ............5分 （Ⅱ）4)42(22422222)(+=--+≥++-=++-=-+a x a x a x x a x x x x f ...7分 因为原命题等价于min (()|2|)3f x x +-<， ............9分 所以43a +<，所以71a -<<-为所求实数a 的取值范围. (10)考点：绝对值不等式及综合运用．【易错点晴】绝对值不等式一直是高中数学内容的难点之一.解答本题的关键是如何去掉函数解析式中的绝对值符号将其转化为普通的函数的形式,也是解答好本题的关键.求解过程中充分依据题设条件,运用绝对值的定义和几何意义,从而使得问题的解答简捷明快.求解第一问时,运用绝对值的定义将不等式化为整式形式的一元一次不等式,需要注意的是不要忘记讨论时的前提条件,这是解答这类问题的容易出错的地方.第二问中的不等式恒成立问题是巧妙地借助绝对值的几何意义从而使得问题的解答简捷巧妙独辟歧径.25．（12分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >；（Ⅱ）若关于x 的不等式2mf (x )≤2()1xg x e m ---在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(Ⅰ)1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+，证明见解析；(Ⅱ) 1,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.又由基本不等式，有1()(e e )12x x g x -=+>=，即() 1.g x >-------4分考点：函数的奇偶性和基本不等式的运用．【易错点晴】函数的单调性、奇偶性和对称性等基本性质是函数的表达式和图象在平面直角坐标系中的反映和再现.借助这些性质可以推证和研究许多与函数有关的问题.本题在解答时充分依据题设条件,巧妙运用函数的奇偶性这一性质,求出了函数)(),(x g x f 的解析表达式.然后运用指数函数和基本不等式证明了1)(,0)(>>x g x f 的结论；第二问中设置了不等式恒成立的情境下,求参变量的取值范围问题,求解时依据题设将其参变量分离出来,使其等价转化求构造函数的最小值问题.从而使得问题简捷巧妙地获解.。
福建省高二数学下学期期中试卷 文(含解析)
2016-2017学年福建高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=4x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．4 B．0 C．﹣1﹣i D．12．i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣13．复数z=m2+2m+（m2+3m+2）i是纯虚数，则实数m的值是（）A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．﹣14．给出下面类比推理：①“若2a＜2b，则a＜b”类比推出“若a2＜b2，则a＜b”；②“（a+b）c=ac+bc（c≠0）”类比推出“=+（c≠0）”；③“a，b∈R，若a﹣b=0，则a=b”类比推出“a，b∈C，若a﹣b=0，则a=b”；④“a，b∈R，若a﹣b＞0，则a＞b”类比推出“a，b∈C，若a﹣b＞0，则a＞b（C为复数集）”．其中结论正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．满足条件|z﹣i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．一条直线 B．两条直线 C．圆D．椭圆6．下列推理是演绎推理的是（）A．由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想椭圆=1（a＞b＞0）的面积S=πabB．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电C．猜想数列，，的通项公式为a n=（n∈N*）D．半径为r的圆的面积S=πr2，则单位圆的面积S=π7．更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”右图是该算法的程序框图，如果输入a=153，b=119，则输出的a值是（）A．16 B．17 C．18 D．198．已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，圆心为C点A（，），则线段AC 的长为（）A．B．5 C．D．9．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃xα∈R，f（xα）=0B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形C．若xα是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，xα）单调递减D．若xα是f（x）的极值点，则f′（xα）=010．已知函数f（x）=f′（）sinx+x，则f′（π）=（）A．B．﹣ C．1 D．﹣111．已知函数g（x）=|e x﹣1|的图象如图所示，则函数y=g′（x）图象大致为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣1）二、填空题：（每小题5分，共20分）13． = ．14．已知方程x2﹣（2i﹣1）x+3m﹣i=0有实数根，则实数m为．15．某少数民族刺绣有着悠久历史，下图中的（1）（2）（3）（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形，则f（5）= ，f（n）= ．16．奇函数f（x）定义域为（﹣π，0）∪（0，π），其导函数为f′（x）．当0＜x＜π时，有f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜f（）sinx的解集是．三、解答题：（本大题共2小题，共70分）17．某产品的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间有下表所对应的数据：广告支出x（单位：万元） 1 2 3 4销售收入y（单位：万元）12 28 42 56（Ⅰ）求出y对x的线性回归方程；（Ⅱ）若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？（线性回归方程系数公式： ==， =﹣．18．某机构随机调查了某市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：次数人数年龄[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60]18岁至31岁8 12 20 60 140 15032岁至44岁12 28 20 140 60 15045岁至59岁25 50 80 100 225 45060岁及以上25 10 10 18 5 2联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”．根据以上数据，用样本估计总体，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？P（K2≥k）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2=．[选修4-4：坐标系与参数方程]19．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，其左焦点F在直线l上．（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形周长的最大值．[选修4-5：不等式选讲]20．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣m|（Ⅰ）当m=2时，求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）当m＞1时，若f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}，且关于x的不等式f（x）＜a 有解，求实数a的取值范围．解答题21．已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在x=﹣2和x=﹣ln2处有极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．22．设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0（ I）求b；（II）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．2016-2017学年福建师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=4x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．4 B．0 C．﹣1﹣i D．1【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据所有数据的样本点都在一条直线上，这组样本数据完全相关，其相关系数为1，得出结果【解答】解：在一组样本数据的散点图中，所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在一条直线y=4x+1上，那么这组样本数据完全正相关，且相关系数为1．故选：D．2．i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】A1：虚数单位i及其性质．【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可．【解答】解：i607=i604+3=i3=﹣i，它的共轭复数为：i．故选：A．3．复数z=m2+2m+（m2+3m+2）i是纯虚数，则实数m的值是（）A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．﹣1【考点】A2：复数的基本概念．【分析】由纯虚数的定义可得：m2+2m=0，m2+3m+2≠0，解得m．【解答】解：复数z=m2+2m+（m2+3m+2）i是纯虚数，∴m2+2m=0，m2+3m+2≠0，解得m=0．故选：A．4．给出下面类比推理：①“若2a＜2b，则a＜b”类比推出“若a2＜b2，则a＜b”；②“（a+b）c=ac+bc（c≠0）”类比推出“=+（c≠0）”；③“a，b∈R，若a﹣b=0，则a=b”类比推出“a，b∈C，若a﹣b=0，则a=b”；④“a，b∈R，若a﹣b＞0，则a＞b”类比推出“a，b∈C，若a﹣b＞0，则a＞b（C为复数集）”．其中结论正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】F3：类比推理．【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对4个结论逐一进行分析，不难解答．【解答】解：①“若2a＜2b，则a＜b”类比推出“若a2＜b2，则a＜b”，不正确，比如a=1，b=﹣2；②“（a+b）c=ac+bc（c≠0）”类比推出“=+（c≠0）”，正确；③在复数集C中，若两个复数满足a﹣b=0，则它们的实部和虚部均相等，则a，b相等．故正确；④若a，b∈C，当a=1+i，b=i时，a﹣b=1＞0，但a，b 是两个虚数，不能比较大小．故错误．故选：B．5．满足条件|z﹣i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．一条直线 B．两条直线 C．圆D．椭圆【考点】J3：轨迹方程；A3：复数相等的充要条件．【分析】据得数的几何意义可直接得出|z﹣i|=|3+4i|中复数z在复平面上对应点的轨迹是圆．【解答】解：|3+4i|=5满足条件|z﹣i|=|3+4i|=5的复数z在复平面上对应点的轨迹是圆心为（0，1），半径为5的圆．故应选C．6．下列推理是演绎推理的是（）A．由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想椭圆=1（a＞b＞0）的面积S=πabB．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电C．猜想数列，，的通项公式为a n=（n∈N*）D．半径为r的圆的面积S=πr2，则单位圆的面积S=π【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．【解答】解：选项A：是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，是类比推理，选项B：是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理，C是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理；选项D：半径为r圆的面积S=πr2，因为单位圆的半径为1，则单位圆的面积S=π中，半径为r圆的面积S=πr2，是大前提单位圆的半径为1，是小前提，单位圆的面积S=π为结论；故选：D．7．更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”右图是该算法的程序框图，如果输入a=153，b=119，则输出的a值是（）A．16 B．17 C．18 D．19【考点】EF：程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：第一次循环得：a=153﹣119=34；第二次循环得：b=119﹣34=85；第三次循环得：b=85﹣34=51；同理，第四次循环b=51﹣34=17；第五次循环a=34﹣17=17，此时a=b，输出a=17，故选：B．8．已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，圆心为C点A（，），则线段AC 的长为（）A．B．5 C．D．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，即ρ2=ρ（4cosθ﹣2sinθ），利用互化公式化为直角坐标方程．可得圆心C（2，﹣1）．点A（，）化为直角坐标：A（1，1），利用两点之间的距离公式可得线段|AC|．【解答】解：圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，即ρ2=ρ（4cosθ﹣2sinθ），利用互化公式化为直角坐标方程：x2+y2=4x﹣2y，配方为：（x﹣2）2+（y+1）2=5．可得圆心C（2，﹣1）．点A（，）化为直角坐标：A（1，1），则线段|AC|==．故选：A．9．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃xα∈R，f（xα）=0B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形C．若xα是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，xα）单调递减D．若xα是f（x）的极值点，则f′（xα）=0【考点】6C：函数在某点取得极值的条件；2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用导数的运算法则得出f′（x），分△＞0与△≤0讨论，列出表格，即可得出．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b．（1）当△=4a2﹣12b＞0时，f′（x）=0有两解，不妨设为x1＜x2，列表如下x （﹣∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 + f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：①x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（﹣∞，x2）不具有单调性，故C不正确．②∵+f（x）=+x3+ax2+bx+c=﹣+2c，=，∵+f（x）=，∴点P为对称中心，故B正确．③由表格可知x1，x2分别为极值点，则，故D正确．④∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃xα∈R，f（xα）=0，故A正确．（2）当△≤0时，，故f（x）在R上单调递增，①此时不存在极值点，故D正确，C不正确；②B同（1）中②正确；③∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃xα∈R，f（xα）=0，故A正确．综上可知：错误的结论是C．由于该题选择错误的，故选：C．10．已知函数f（x）=f′（）sinx+x，则f′（π）=（）A．B．﹣ C．1 D．﹣1【考点】63：导数的运算．【分析】根据导数的求导公式，即可得到结论．【解答】解：f′（x）=f′（）cosx+1，∴f′（）=f′（）cos+1，∴f′（）=2，∴f′（π）=2cosπ+1=﹣2+1=﹣1，故选：D．11．已知函数g（x）=|e x﹣1|的图象如图所示，则函数y=g′（x）图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据导数的几何意义：表示切线斜率，结合原函数图象可得切线斜率的变化情况，从而可得正确选项．【解答】解：根据函数图象可知当x＜0时，切线的斜率小于0，且逐渐减小，当x＞0时，切线的斜率大于0，且逐渐增加，故选C．12．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣1）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，两个解，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．对a 分类讨论：①当a＜0时，由题意可得；②当a＞0时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．【解答】解：（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．①当a＜0时，＜0，当x＜或x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当＜x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．∵函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，则：，即：，可得a＜﹣2．②当a＞0时，＞0，当x＞或x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．不满足函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．二、填空题：（每小题5分，共20分）13． = ﹣1﹣i ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：原式==﹣1﹣i，故答案为：﹣1﹣i．14．已知方程x2﹣（2i﹣1）x+3m﹣i=0有实数根，则实数m为．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】首先分析题目关于x的方程x2﹣（2i﹣1）x+3m﹣i=0有实根，可把实根设出来，然后根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：设方程的实根为x0，则，∵x0、m∈R，∴方程变形为，由复数相等的充要条件得，解得．则实数m为．故答案为：．15．某少数民族刺绣有着悠久历史，下图中的（1）（2）（3）（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形，则f（5）= 41 ，f（n）= 2n2﹣2n+1 ．【考点】F1：归纳推理．【分析】先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…总结一般性的规律，将一般性的数列转化为特殊的数列再求解．【解答】解：根据前面四个发现规律：f（2）﹣f（1）=4×1，f（3）﹣f（2）=4×2，f（4）﹣f（3）=4×3，…f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1）这n﹣1个式子相加可得：f（n）=2n2﹣2n+1．当n=5时，f（5）=41．故答案为：41；2n2﹣2n+1．16．奇函数f（x）定义域为（﹣π，0）∪（0，π），其导函数为f′（x）．当0＜x＜π时，有f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜f（）sinx的解集是．【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】令g（x）=，x∈（﹣π，0）∪（0，π），g′（x）=＜0，0＜x＜π．可得函数g（x）在（0，π）上单调递减．奇函数f（x）定义域为（﹣π，0）∪（0，π），因此函数g（x）为偶函数．x∈（0，π），不等式f（x）＜f（）sinx化为：＜，利用单调性即可解出；x∈（﹣π，0），不等式f（x）＜f（）sinx化为：＞=，利用单调性即可得出．【解答】解：令g（x）=，x∈（﹣π，0）∪（0，π），g′（x）=＜0，0＜x＜π．∴函数g（x）在（0，π）上单调递减．奇函数f（x）定义域为（﹣π，0）∪（0，π），因此函数g（x）为偶函数．x∈（0，π），不等式f（x）＜f（）sinx化为：＜，∴π＞x∈（﹣π，0），不等式f（x）＜f（）sinx化为：＞=，∴．综上可得：x∈：．故答案为：．三、解答题：（本大题共2小题，共70分）17．某产品的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间有下表所对应的数据：广告支出x（单位：万元） 1 2 3 4销售收入y（单位：万元）12 28 42 56（Ⅰ）求出y对x的线性回归方程；（Ⅱ）若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？（线性回归方程系数公式： ==， =﹣．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（I）观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，得到这组数据符合线性相关，求出利用最小二乘法所需要的数据，做出线性回归方程的系数，得到方程．（Ⅱ）把x=9代入线性回归方程，估计出当广告费为9万元时，销售收入约为129.4万元．【解答】解：（Ⅰ）列出下列表格，x i 1 2 3 4y i12 28 42 561 4 9 16x i y i12 56 126 224x i y i=418，=30， =， =…代入公式得：b==，…a=﹣b=﹣×=﹣2．…故y与x的线性回归方程为y=x﹣2．…（Ⅱ）当x=9万元时，y=×9﹣2=129.4（万元）．…所以当广告费为9万元时，可预测销售收入约为129.4万元．…．18．某机构随机调查了某市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：次数人数年龄[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60]18岁至31岁8 12 20 60 140 15032岁至44岁12 28 20 140 60 15045岁至59岁25 50 80 100 225 45060岁及以上25 10 10 18 5 2联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”．根据以上数据，用样本估计总体，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？P（K2≥k）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2=．【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】根据题意，填写列联表，根据表中数据计算K2，对照临界值得出结论．【解答】解：根据题意，得出2×2列联表：骑行爱好者非骑行爱好者总计青年人700 100 800^非青年人800 200 1000总计300 1500 1800…计算K2==18＞7.879，…根据这些数据，能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关．…[选修4-4：坐标系与参数方程]19．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，其左焦点F在直线l上．（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形周长的最大值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程；QL：椭圆的参数方程．【分析】（1）将直线l和椭圆C的转化为普通方程，左焦点F在直线l上，求解出直线1方程与椭圆C联立方程组，求解A，B坐标，利用两点之间的距离公式求解|FA|•|FB|的值．（也可以利用参数的几何意义做）．（2）设椭圆在第一象限上一点P（acosθ，bsinθ），内接矩形周长为：L=4（acosθ+bsinθ）=4sin（θ+φ），可得答案．【解答】解：（1）由椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，可得x2+3y2=12，即．其左焦点为（﹣2，0）．直线l消去参数t可得：x﹣y=m，∵左焦点F在直线l上，∴直线l方程为：x﹣y=﹣2．联立，解得A（，），B（，）那么|FA|•|FB|=2．法二：几何法：∵左焦点为（﹣2，0）．左焦点F在直线l上，带入参数方程可得：，将直线参数方程带入椭圆x2+3y2=12，可得：t2﹣2t﹣2=0．那么|FA|•|FB|=|t1t2|=2（2）设椭圆在第一象限上一点P（2cosθ，2sinθ），（）内接矩形周长为：L=8cosθ+8sinθ）=16sin（θ+），∴当时，周长取得最大值为为16．∴椭圆C的内接矩形周长的最大值为16．[选修4-5：不等式选讲]20．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣m|（Ⅰ）当m=2时，求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）当m＞1时，若f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}，且关于x的不等式f（x）＜a 有解，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（I）讨论x的范围，去绝对值符号解不等式；（II）判断f（x）的单调性，利用单调性列方程组解出m．【解答】解：（Ⅰ）当m=2时，由不等式f（x）＞4得|x﹣1|+|x﹣2|＞4，∴或或，解得或，∴原不等式的解集为．（Ⅱ）当m＞1时，，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，m）上为常数函数，在（m，+∞）上单调递增，∵f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}，∴，即，解得m=3．解答题21．已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在x=﹣2和x=﹣ln2处有极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据y=f（x）在x=﹣2和x=﹣ln2处有极值，得到关于a，b的方程组，解出即可；（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=e x（ax+b+a）﹣2x﹣4因为曲线y=f（x）在x=﹣2和x=﹣ln2处有极值，所以，即，解得a=b=4，经检验a=b=4符合题意，所以a=b=4；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=4e x（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4（x+2）（e x﹣），令f′（x）＞0，解得：x＞﹣ln2或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜﹣ln2，故f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，﹣ln2）递减，在（﹣ln2，+∞）递增，故x=﹣2时，函数f（x）取极大值，极大值是f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．22．设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0（ I）求b；（II）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），求出b的值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（ I），由题设知 f'（1）=0，解得b=1．…（Ⅱ） f （x）的定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）知，，…（i）若，则，故当x∈[1，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）在[1，+∞）上单调递增．…所以，存在x0≥1，使得 a，b的充要条件为，…即，所以，满足，所以符合题意…（ii）若，则，故当x∈（1，）时，f'（x）＜0，x∈（）时，f'（x）＞0，f（x）在（1，）上单调递减，f （x）在（）单调递增．…所以，存在x0≥1，使得的充要条件为，而，所以不合题意．…（ⅲ）若a＞1，则．所以a＞1符合题意．…综上，a的取值范围为：…21。
福建省福州市八县(市)2016-2017学年高二下学期期末联考数学(文)试题-含答案
2016—2017学年度第二学期八县(市)一中期末联考高中二年数学文科试卷完卷时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）。
1、已知R是实数集，集合A={|(1/2)2+1≤1/16},B={|log4(3-)<0.5}，则(C R A)∩B=（）。
A、(1,2)B、（1,2）C、(1,3)D、(1,1.5)2、下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）。
A、f()=-||B、f()=sinC、f()=1/D、f()=0.53、函数f()＝e＋－2的零点所在的区间为( )。
A、(－2，－1)B、(－1，0)C、(0，1)D、(1，2)4、设a=log38,b=21.2,c=0.33.1，则（）。
A、b<a<cB、a<c<bC、c<b<aD、c<a<b5、已知函数f()的定义域为，则函数g()=的定义域为（）。
A、 B、6、函数的图象大致为（）。
7、祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A,B为两个同高的几何体，pA,B 的体积不相等，qA,B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，q 是p 的（ ）。
A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件8、已知函数f()是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜＜1时，f()=2(1-)，则f(-5/2)+f(1)=( )。
A 、-1/2B 、-1/4C 、1/4D 、1/2 9、下列四个结论：①若>0，则>sin 恒成立； ②“若am 2<bm 2，则a<b ”的逆命题为真命题 ③m ∈R,使是幂函数，且在(-∞,0)上单调递减④对于命题p ∈R 使得2++1<0,则﹁p ∈R ，均有2++1>0其中正确结论的个数是（ ）。
福建省福州市八县(市)2016-2017学年高二下学期期末联考数学(文)试题-含答案
2016—2017学年度第二学期八县(市)一中期末联考高中二年数学文科试卷完卷时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）。
1、已知R是实数集，集合A={|(1/2)2+1≤1/16},B={|log4(3-)<0.5}，则(C R A)∩B=（）。
A、(1,2)B、（1,2）C、(1,3)D、(1,1.5)2、下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）。
A、f()=-||B、f()=sinC、f()=1/D、f()=0.53、函数f()＝e＋－2的零点所在的区间为( )。
A、(－2，－1)B、(－1，0)C、(0，1)D、(1，2)4、设a=log38,b=21.2,c=0.33.1，则（）。
A、b<a<cB、a<c<bC、c<b<aD、c<a<b5、已知函数f()的定义域为，则函数g()=的定义域为（）。
A、B、6、函数的图象大致为（）。
7、祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A,B为两个同高的几何体，pA,B 的体积不相等，qA,B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，q 是p 的（ ）。
A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件8、已知函数f()是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜＜1时，f()=2(1-)，则f(-5/2)+f(1)=( )。
A 、-1/2B 、-1/4C 、1/4D 、1/2 9、下列四个结论：①若>0，则>sin 恒成立； ②“若am 2<bm 2，则a<b ”的逆命题为真命题 ③m ∈R,使是幂函数，且在(-∞,0)上单调递减④对于命题p ∈R 使得2++1<0,则﹁p ∈R ，均有2++1>0其中正确结论的个数是（ ）。
精品：【全国百强校】福建省福州市第八中学2015-2016学年高二下学期期中考试文数试题(解析版)
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合P ＝{x |2≤x <4}，Q ＝{x |3x ≥}，则P ∩Q 等于（ ） A ．{x |3≤x <4} B ．{x |－3<x <4} C ．{x |2≤x <3}D ．{x |2≤x ≤3}【答案】A考点：集合的运算.2．复数i(1i)z =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（ ） A ．(1,1) B ．(1,1)--C ．(1,1)-D ． (1,1)-【答案】D 【解析】试题分析：因i z +-=1,故应选D. 考点：复数的运算.3.设[),0,a b ∈+∞，A B =+=A,B 的大小关系是（ ）A.A B ≤B.A B ≥C.A B <D.A B >【答案】B 【解析】试题分析：因00≥⇒≥ab ab ,故b a ab b a +≥++2,所以应选B.考点：不等式的性质.4.小明想沏壶茶喝，当时的情况是，开水没有，烧开水需要15分钟，烧开水的壶要洗，需要1分钟，沏茶的壶和茶杯要洗，需2分钟，茶叶已有，取茶叶需1分钟，沏茶也需1分钟，小明要喝到自己所沏的茶至少需要花的时间为（）A.16分钟B. 19分钟C.20分钟D.17分钟【答案】D【解析】试题分析：因洗沏茶的壶和茶杯的2分钟可以在烧水的时候做,取茶也可以与烧水同步,故至少需17分钟就可以了,故应选D.考点：算法及运用.5.《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（）A．合情推理B．归纳推理C．类比推理 D．演绎推理【答案】D考点：推理的形式.6．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根【答案】A【解析】试题分析：因至少有一个实数根的反面是无实数根,故应选A.考点：反证法及运用.7．已知x，y之间的一组数据如下表：对于表中数据则根据最小二乘法的思想得拟合程度最好的直线是（）A ．y ＝x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝85x －25D ．y ＝32x【答案】C 【解析】 试题分析：因8598643,4565432=++++==++++=y x ,通过计算可知拟合程度最好的是直线5258-=x y ,故应选C. 考点：线性回归方程及运用.8.执行如图所示的程序框图,则输出的k 的值是（ ） A.3B.4C.5D.6【答案】C 【解析】考点：算法流程图的理解和识读.9．函数f (x )）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(2，＋∞)D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：因0)(log 1221>-x ,故1log 121<<-x ,由对数函数的性质可得221<<x ,故应选A. 考点：对数不等式的解法.10.观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4 , |x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8, |x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12 .则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为（ ） A ．76 B ．80 C ．86 D ．92 【答案】B考点：归纳推理及运算.【易错点晴】解答本题的关键是探寻出整数解的个数的表达式所存在的规律,这是进行归纳猜想的合情推理的基础,也是进行归纳、猜想的阶梯.本题的解答过程是通过对方程的整数解的个数的数字分析探究,不难发现当n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=时,整数解的个数为n ⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯4,44,34,24,14,这说明个数的都是项数的四倍,即方程的整数解的个数的通项是n a n 4=,再取20=n ,就获得答案80.运用数学的归纳法进行猜想时,一定要列举一些事实之后,当然这一猜想是有基础的,那就是对以上几个特殊值的归纳的结果.二、填空题（本大题共4小题，每题4分，满分16分．）11.已知复数z 满足(1)1z i i -=+，那么z =___. 【答案】i 【解析】试题分析：因i i i i z =+=-+=2)1(112,故应填i .考点：复数及运算．12.函数223y x ax =--在区间[]0,1上具有单调性，则a 的取值范围是 ． 【答案】(][),01,-∞+∞【解析】试题分析：因二次函数的对称轴为a x =,所以当0≤a 或1≥a 时,二次函数在区间[]0,1上单调. 考点：二次函数的图象和性质． 13.已知ABC ∆，若存在111A B C ∆，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===,则称111A B C ∆是ABC ∆的一个 “友好”三角形,若等腰ABC ∆存在“友好”三角形，则其顶角的度数为___. 【答案】45︒考点：逻辑推理及运用．【易错点晴】本题以三角形的内角之间的正弦余弦的关系为前提定义了一个友好三角形的新概念和新的信息.解答本题时充分依据题设中提供的这一新的信息和概念,进行合理的推理和分析探究,最终使得问题巧妙获解.求解本题的关键是探寻出等腰三角形的顶角和底角与友好三角形的顶角和底角之间的关系1C C =且1sin cos C C =,借助三角形的内角和为0180,求出了即0902=C ,故=C 45︒.14.对于等差数列{}n a 有如下命题：“若{}n a 是等差数列，01=a ，t s 、是互不相等的正整数，则有011=---s t a t a s ）（）（”．类比此命题，给出等比数列{}n b 相应的一个正确命题是：“若{}n b是等比数列，11=b ，t s 、是互不相等的正整数，则有 ”．【答案】111=--t ss t b b【解析】试题分析：由类比推理的格式可知,等差数列是差,则等比数列是比,等差数列的差是0,则等比数列的商是1,故应填答案111=--t ss t b b .考点：类比推理及运用．【易错点晴】本题是一道合情推理中的类比推理题,类比的内容是等差数列与等比数列的之间的类比.所谓类比推理是指运用两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也相似或相同的推理方法.本题的解答就是借助等差和等比数列之间的这种相似进行类比推理的.解答时将差与比进行类比,将零与1进行类比,从而使得问题巧妙获解.当然这需要对类比的内涵具有较为深刻的理解和把握.三、解答题（本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（本小题10分）设复数z 满足1z =，且(34)i z +⋅是纯虚数，求z ． 【答案】4355z i =-或4355z i =-+.【解析】考点：复数的有关概念和运算．16.已知命题46p x :|-|≤，22:210(0)q x x a a -+-≥,>，若p ⌝是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．【答案】03a <≤. 【解析】试题分析：借助题设条件建立不等式组求解.试题解析:由46102p x x x ⌝:|-|>,><-,解得或记A={x|x>10或x<-2},---------2分 q:22210x x a -+-≥,解得1x a ≥+或x ≤1-a,记B={x|x ≥1+a 或1x a ≤-}. --------4分 而⌝p q q ⇒,/⇒ p ⌝,----------------------------------------------------------6分 ∴A ⊂≠B,-----------------------8分即 121100a a a -≥-,⎧⎪+≤,⎨⎪>.⎩--------------11分∴03a <≤.------------------12分 考点：充分必要条件及运用．17. 2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引发了海啸及核泄漏．某国际组织用分层抽样的方法从心理专家、核专家、地质专家三类专家中抽取若干人组成研究团队赴日本工作，有关数据见表1(单 位：人)．核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响，随机选取了110只羊进行了检测， 并将有关数据整理为不完整的2×2列联表(表2)． 表1表2（1）求研究小组的总人数；（2）写出表2中A 、B 、C 、D 、E 的值，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的 前提下认为羊受到高度辐射与身体不健康有关．【答案】(1)12；(2)能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为羊受到高度辐射与身体不健康有关. 【解析】试题分析：(1)依据题设条件建立方程求解；(2)借助题设条件运用独立性检验的卡方系数进行推断. 试题解析:考点：正弦余弦定理及三角形面积公式的运用．第Ⅱ卷（50分）四、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）18．已知命题p ：函数)2log y x =是奇函数；命题212),,0(:00=+∞∈∃x x q ，则下列 判断正确的是（ ） A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．)(q p ⌝∧是真命题D ．q p ∧⌝)(是真命题【答案】C 【解析】试题分析：因01log )1(log )1(log )()(22222==+++-+=-+x x x x x f x f ,故)2log y x =是奇函数,命题p 真；由于2120=x ,则),0(10+∞∈-=x ,所以命题 212),,0(:00=+∞∈∃x x q 是假的,所以应选C. 考点：命题及复合命题的真假的判定.19.对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】试题分析：因2|1||1|,1|||1|≥++-≥+-y y x x (当且仅当11,10≤≤-≤≤y x 时取等号),故3|1||1||||1|≥++-++-y y x x ,应选C.考点：绝对值不等式的几何意义及应用.20．已知抛物线y 2=4x,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最 小值是（ ） A.8 B.32C.16D.4【答案】B 【解析】考点：直线与抛物线的位置关系及基本不等式的灵活运用.21.设()f x 的定义域为D ，若()f x 满足条件:存在[],a b D ⊆,使()f x 在[],a b D ⊆上的值域是,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”．若函数2()log (2)xf x t =+为“倍缩函数”，则t 的取值范围是 （ ） A.1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.()0,1C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：由题设函数的定义域是],[b a ,则其值域是]2,2[b a ,由于函数在R 上是单调递减函数,所以2)2(log 2at a=+,即222a a t =+；同理可得222b b t =+,由此可知方程222xx t =+有两个不等是实数根.令022>=u x ,则t u u =-2,则问题转化为函数)0(2>-=u u u y 和t y =有两个不同的交点问题.而函数)0(2>-=u u u y 的最大值为41,结合图象可知410<<t 时,两函数的图象有两个不同的交点,故应选D.考点：函数与方程思想、转化化归思想和数形结合思想的综合运用.五、填空题（本大题共2小题，每题4分，满分8分．）22．已知21x y +=，则22x y +的最小值为________． 【答案】15【解析】试题分析：因21x y +=，故22x y +145)21(222+-=+-=y y y y ,由于该函数是开口向上的抛物线,因此当52=y ，函数取最小值为15.考点：二次函数的图象和性质．【易错点晴】本题表面上是一道求二元函数的最值问题,解答时充分借助题设条件中的21x y +=,运用消元的思想,将两个变量变为一个变量,即利用21x y +=消去未知数x ,将问题转化为求二次函数145)(2+-=y y y h 的最小值的问题,求解时直接将对称轴52=y 代入函数的解析式145)(2+-=y y y h 中可得51158)52(5)(2min =+-=y h ,故所求最小值为15. 23．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝()1,01sin ,12x x x x x π-≤≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩， 则291746f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝______． 【答案】516考点：分段函数的图象和性质的综合运用．六、解答题（本大题共2小题，共22分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）24.（10分）已知函数()R a a x x x f ∈++-=,22.(Ⅰ)当2a =时，解不等式()5≥x f ；(Ⅱ)若存在0x 满足()3200<-+x x f ，求a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ) 5{|1}3x x x ≤-≥或；(Ⅱ) 71a -<<-.【解析】试题分析：(Ⅰ)先去掉绝对值化为一次不等式求解；(Ⅱ)借助题设条件运用绝对值的几何意义求解. 试题解析（Ⅰ）当2a =时，()|2||22|f x x x =-++.由5)(≥x f 得. |2||22|5x x -++≥当2≥x 时，不等式等价于52225,3x x x -++≥≥解得，所以2≥x ；…1分 当12x -<<时，不等式等价于2225,1,2x x x x -++≥≥≤<即所以1，…2分当1x ≤-时，不等式等价于52225,3x x x ---≥≤-解得，所以53x ≤-.……3分. 所以原不等式的解集为5{|1}3x x x ≤-≥或 …………5分 （Ⅱ）4)42(22422222)(+=--+≥++-=++-=-+a x a x a x x a x x x x f …7分因为原命题等价于min (()|2|)3f x x +-<， ............9分 所以43a +<，所以71a -<<-为所求实数a 的取值范围. (10)考点：绝对值不等式及综合运用．【易错点晴】绝对值不等式一直是高中数学内容的难点之一.解答本题的关键是如何去掉函数解析式中的绝对值符号将其转化为普通的函数的形式,也是解答好本题的关键.求解过程中充分依据题设条件,运用绝对值的定义和几何意义,从而使得问题的解答简捷明快.求解第一问时,运用绝对值的定义将不等式化为整式形式的一元一次不等式,需要注意的是不要忘记讨论时的前提条件,这是解答这类问题的容易出错的地方.第二问中的不等式恒成立问题是巧妙地借助绝对值的几何意义从而使得问题的解答简捷巧妙独辟歧径.25．（12分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >；（Ⅱ）若关于x 的不等式2mf (x )≤2()1xg x e m ---在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(Ⅰ)1()(e e )2x x f x -=-， 1()(e e )2x x g x -=+，证明见解析；(Ⅱ) 1,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.又由基本不等式，有1()(e e )12x x g x -=+>=，即() 1.g x >-------4分考点：函数的奇偶性和基本不等式的运用．【易错点晴】函数的单调性、奇偶性和对称性等基本性质是函数的表达式和图象在平面直角坐标系中的反映和再现.借助这些性质可以推证和研究许多与函数有关的问题.本题在解答时充分依据题设条件,巧妙运用函数的奇偶性这一性质,求出了函数)(),(x g x f 的解析表达式.然后运用指数函数和基本不等式证明了1)(,0)(>>x g x f 的结论；第二问中设置了不等式恒成立的情境下,求参变量的取值范围问题,求解时依据题设将其参变量分离出来,使其等价转化求构造函数的最小值问题.从而使得问题简捷巧妙地获解.。
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2016-2017学年福建省福州八中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1．在复平面内，复数（1﹣2i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y=cosx（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx（x∈R）是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①3．根据所给的算式猜测1234567×9+8等于（）1×9+2=11；12×9+3=111；123×9+4=1 111；1234×9+5=11 111；…A．1 111 110 B．1 111 111 C．11 111 110 D．11 111 1114．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是（）A．没有一个内角是钝角B．有两个内角是钝角C．有三个内角是钝角D．至少有两个内角是钝角5．给出下列命题：①对任意x∈R，不等式x2+2x＞4x﹣3均成立；②若log2x+log x2≥2，则x＞1；③“若a＞b＞0且c＜0，则＞”的逆否命题．其中真命题只有（）A．①③B．①②C．①②③D．②③6．若圆的方程为（θ为参数），直线的方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是（）A．相交过圆心B．相交而不过圆心C．相切D．相离7．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．68．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）9．（6分）在极坐标系中，定点A，点B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是．10．（6分）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是．11．（6分）对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下：根据以上数据，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为．12．（6分）给出下列等式：×=1﹣；；…由以上等式推出一个一般结论：对于n∈N*，=．三、解答题（本大题共有3个小题，共36分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）13．（12分）已知命题p：lg（x2﹣2x﹣2）≥0；命题q：0＜x＜4．若p且q为假，p或q为真，求实数x的取值范围．14．（12分）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．15．（12分）已知某圆的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0，求：（1）圆的标准方程和参数方程；（2）在圆上所有的点（x，y）中x•y的最大值和最小值．四、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）16．满足条件|z﹣i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆17．用数学归纳法证明“42n﹣1+3n+1（n∈N*）能被13整除”的第二步中，当n=k+1时为了使用归纳假设，对42k+1+3k+2变形正确的是（）A．16（42k﹣1+3k+1）﹣13×3k+1B．4×42k+9×3kC．（42k﹣1+3k+1）+15×42k﹣1+2×3k+1D．3（42k﹣1+3k+1）﹣13×42k﹣118．设F1和F2是双曲线为参数）的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，那么△F1PF2的面积是（）A．1 B．C．2 D．519．设c1，c2，…，c n是a1，a2，…，a n的某一排列（a1，a2，…，a n均为正数），则++…+的最小值是（）A．2n B．C．D．n五、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）20．（4分）圆ρ=r与圆ρ=﹣2rsin（θ+）（r＞0）的公共弦所在直线的方程为．21．（4分）已知关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，则实数a的最小值为．六、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）22．（12分）已知经过A（5，﹣3）且倾斜角的余弦值是﹣的直线，直线与圆x2+y2=25交于B、C两点．（1）请写出该直线的参数方程以及BC中点坐标；（2）求过点A与圆相切的切线方程及切点坐标．23．（14分）（1）已知a，b，c∈R，且2a+2b+c=8，求（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2的最小值．（2）请用数学归纳法证明：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=（n ≥2，n∈N*）．2016-2017学年福建省福州八中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1．在复平面内，复数（1﹣2i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．【解答】解：∵（1﹣2i）2 =12﹣4i+（2i）2=﹣3﹣4i，∴复数（1﹣2i）2对应的点的坐标为（﹣3，﹣4），位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y=cosx（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx（x∈R）是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】根据三段论”的排列模式：“大前提”→“小前提”⇒“结论”，分析即可得到正确的次序．【解答】解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：①y=cosx（（x∈R ）是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y=cosx（（x∈R ）是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③故选B【点评】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法：大前提一定是一个一般性的结论，小前提表示从属关系，结论是特殊性结论．3．根据所给的算式猜测1234567×9+8等于（）1×9+2=11；12×9+3=111；123×9+4=1 111；1234×9+5=11 111；…A．1 111 110 B．1 111 111 C．11 111 110 D．11 111 111【考点】F1：归纳推理．【分析】分析：1×9+2=11；12×9+3=111；123×9+4=1 111；1 234×9+5=11 111；不难发现规律，故可大胆猜测（12…n）×9+（n+1）=11…1（n个）【解答】解：分析1×9+2=11；12×9+3=111；123×9+4=1 111；1 234×9+5=11 111；12 345×9+6=111 111…，故可大胆猜测：（12…n）×9+（n+1）=11…1（n个）∴1234567×9+8=11111111，故选：D．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．4．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是（）A．没有一个内角是钝角B．有两个内角是钝角C．有三个内角是钝角D．至少有两个内角是钝角【考点】2J：命题的否定．【分析】写出命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定即可【解答】解：命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是“至少有两个内角是钝角”故选D．【点评】本题考查命题的否定，命题中含有量词最多，书写否定是用的量词是至少，注意积累这一类量词的对应．5．给出下列命题：①对任意x∈R，不等式x2+2x＞4x﹣3均成立；②若log2x+log x2≥2，则x＞1；③“若a＞b＞0且c＜0，则＞”的逆否命题．其中真命题只有（）A．①③B．①②C．①②③D．②③【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用配方法，可判断①；根据对勾函数和对数函数的性质，可判断②；判断原命题的真假，进而根据互为逆否的命题真假性相同，可判断③．【解答】解：不等式x2+2x＞4x﹣3可化为：（x﹣1）2+2＞0，显然恒成立，故①正确；若log2x+log x2≥2，则log2x＞0，即x＞1，故②正确；“若a＞b＞0，则，又由c＜0，则＞”，即原命题为真命题，故他的逆否命题正确．即③正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，难度中档．6．若圆的方程为（θ为参数），直线的方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是（）A．相交过圆心B．相交而不过圆心C．相切D．相离【考点】J9：直线与圆的位置关系；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．【分析】把圆的方程及直线的方程化为普通方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，判定发现d小于圆的半径r，又圆心不在已知直线上，则直线与圆的位置关系为相交而不过圆心．【解答】解：把圆的参数方程化为普通方程得：（x+1）2+（y﹣3）2=4，∴圆心坐标为（﹣1，3），半径r=2，把直线的参数方程化为普通方程得：y+1=3（x+1），即3x﹣y+2=0，∴圆心到直线的距离d==＜r=2，又圆心（﹣1，3）不在直线3x﹣y+2=0上，则直线与圆的位置关系为相交而不过圆心．故选：B【点评】此题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线与圆的位置关系，其中直线与圆的位置关系为：（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）0≤d＜r，直线与圆相交；d=r，直线与圆相切；d＞r，直线与圆相离．7．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】EF：程序框图．【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，输出结果．【解答】解：模拟执行程序，可得：k=1，s=1，第1次执行循环体，s=1，不满足条件s＞15，第2次执行循环体，k=2，s=2，不满足条件s＞15，第3次执行循环体，k=3，s=6，不满足条件s＞15，第4次执行循环体，k=4；s=15，不满足条件s＞15，第5次执行循环体，k=5；s=31，满足条件s＞31，退出循环，此时k=5．故选：C．【点评】本题给出程序框图，要我们求出最后输出值，着重考查了算法语句的理解和循环结构等知识，属于基础题．8．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】83：等差数列；7F：基本不等式；87：等比数列．【分析】首先由等差数列和等比数列的性质可得a+b=x+y，cd=xy，然后利用均值不等式求解即可．【解答】解：∵x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y，cd=xy，∴．当且仅当x=y时取“=”，故选D．【点评】本题在应用等差数列和等比数列的性质的同时，还用到了均值不等式，是一道综合性题目．二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）9．在极坐标系中，定点A，点B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是．【考点】IT：点到直线的距离公式；QH：参数方程化成普通方程．【分析】在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=0，化为x+y=0，线段AB最短，就是过A与x+y=0垂直的直线，和它的交点．再换成极坐标．【解答】解：直线ρcosθ+ρsinθ=0，化为x+y=0，与x+y=0垂直过A的直线方程为：y﹣1=x，这两条直线的交点是．所以B的极坐标是．故答案为：．【点评】本题是极坐标和直角坐标方程，极坐标和直角坐标的互化，容易出错．10．若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是（﹣∞，8] ．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】利用绝对值的意义求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，由此可得实数a的取值范围．【解答】解：由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，是解题的关键，属于中档题．11．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下：根据以上数据，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为211.5．【考点】BK：线性回归方程．【分析】利用公式求出，即可得回归直线方程=10.5x+，当x=20时，求解y 即可．【解答】解：样本平均数=5，=54，回归直线方程为=10.5x+，∴=10.5，∴=54﹣10.5×5=1.5则回归直线方程为=10.5x+1.5，当x=20时，y=10.5×20+1.5=211.5．故答案为：211.5．【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．12．给出下列等式：×=1﹣；；…由以上等式推出一个一般结论：对于n∈N*，=1﹣．【考点】F1：归纳推理．【分析】由已知中的三个式子，我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势，可以归纳出其通项为×，分析等式右边的式子，发现每一个式了均为两项差的形式，且被减数均为1，减数为，由此即可得到结论．【解答】解：由已知中的等式：×=1﹣；；…由以上等式我们可以推出一个一般结论：对于n∈N*，=1﹣．故答案为：=1﹣．【点评】本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．三、解答题（本大题共有3个小题，共36分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）13．（12分）（2017春•台江区校级期中）已知命题p：lg（x2﹣2x﹣2）≥0；命题q：0＜x＜4．若p且q为假，p或q为真，求实数x的取值范围．【考点】2E：复合命题的真假．【分析】分别求出p，￢p以及￢q的范围，根据p，q的真假，得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由lg（x2﹣2x﹣2）≥0，得x2﹣2x﹣2≥1，∴x≥3，或x≤﹣1．即p：x≥3，或x≤﹣1，∴非p：﹣1＜x＜3．又∵q：0＜x＜4，∴非q：x≥4，或x≤0，由p且q为假，p或q为真知p、q一真一假．当p真q假时，由，得x≥4，或x≤﹣1．当p假q真时，由，得0＜x＜3．综上知，实数x的取值范围是{x|x≤﹣1，或0＜x＜3，或x≥4}．【点评】本题考查了对数函数以及复合命题的真假，考查分类讨论思想，是一道基础题．14．（12分）（2015•福建）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．【考点】RB：一般形式的柯西不等式．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题．15．（12分）（2017春•吉林期中）已知某圆的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0，求：（1）圆的标准方程和参数方程；（2）在圆上所有的点（x，y）中x•y的最大值和最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0，即ρ2﹣4×ρ（cosθ+sinθ）+6=0，利用互化公式可得直角坐标方程，再利用平方关系即可得出参数方程．（2）设圆上的点，则xy=4+2sinθ+2cosθ+2sinθcosθ，令sinθ+cosθ=sin=t∈，可得xy=4+2t+t2﹣1，即可得出．【解答】解：（1）ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0，即ρ2﹣4×ρ（cosθ+sinθ）可得x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，配方为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．可得参数方程：（θ为参数）．（2）设圆上的点，则xy=4+2sinθ+2cosθ+2sinθcosθ，令sinθ+cosθ=sin=t∈，则t2=1+2sinθcosθ，可得sinθcosθ=．则xy=4+2t+t2﹣1=+1∈[1，9]．∴xy的最大值最小值分别为1，9．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）16．满足条件|z﹣i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆【考点】J3：轨迹方程；A3：复数相等的充要条件．【分析】据得数的几何意义可直接得出|z﹣i|=|3+4i|中复数z在复平面上对应点的轨迹是圆．【解答】解：|3+4i|=5满足条件|z﹣i|=|3+4i|=5的复数z在复平面上对应点的轨迹是圆心为（0，1），半径为5的圆．故应选C．【点评】考查复数的几何意义及复数求模的公式．题型很基本．较全面考查了复数的运算与几何意义．17．用数学归纳法证明“42n﹣1+3n+1（n∈N*）能被13整除”的第二步中，当n=k+1时为了使用归纳假设，对42k+1+3k+2变形正确的是（）A．16（42k﹣1+3k+1）﹣13×3k+1B．4×42k+9×3kC．（42k﹣1+3k+1）+15×42k﹣1+2×3k+1D．3（42k﹣1+3k+1）﹣13×42k﹣1【考点】RG：数学归纳法．【分析】本题考查的数学归纳法的步骤，为了使用已知结论对42k+1+3k+2进行论证，在分解的过程中一定要分析出含42k﹣1+3k+1的情况．【解答】解：假设n=k时命题成立．即：42k﹣1+3k+1被13整除．当n=k+1时，42k+1+3k+2=16×42k﹣1+3×3k+1=16（42k﹣1+3k+1）﹣13×3k+1．故选：A．【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基）P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．18．设F1和F2是双曲线为参数）的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，那么△F1PF2的面积是（）A．1 B．C．2 D．5【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】由双曲线为参数），消去参数θ可得：﹣y2=1．利用双曲线的定义与勾股定理即可得出．【解答】解：由双曲线为参数），消去参数θ可得：﹣y2=1．可得a=2，b=1，∴=．设|PF1|=m，|PF2|=n，m＞n，则，可得mn=2．∴△F1PF2的面积S==1．故选：A．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、双曲线的定义、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．设c1，c2，…，c n是a1，a2，…，a n的某一排列（a1，a2，…，a n均为正数），则++…+的最小值是（）A．2n B．C．D．n【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用均值不等式即可得出．【解答】解：∵c1，c2，…，c n是a1，a2，…，a n的某一排列（a1，a2，…，a n均为正数），则++…+≥n=n，当且仅当=…=时取等号．故选：D．【点评】本题考查了均值不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．五、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）20．圆ρ=r与圆ρ=﹣2rsin（θ+）（r＞0）的公共弦所在直线的方程为ρ（sinθ+cosθ）=﹣r．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】圆ρ=r，可得直角坐标方程：x2+y2=r2．圆ρ=﹣2rsin（θ+）（r＞0），即ρ2=﹣2ρrsin（θ+），可得直角坐标方程：x2+y2=﹣rx﹣ry．相减可得公共弦所在直线的方程．【解答】解：圆ρ=r，可得直角坐标方程：x2+y2=r2．圆ρ=﹣2rsin （θ+）（r ＞0），即ρ2=﹣2ρrsin （θ+），可得直角坐标方程：x 2+y 2=﹣rx ﹣ry ．相减可得公共弦所在直线的方程： x +y +r=0．即ρ（sin θ+cos θ）=﹣r ．故答案为：ρ（sin θ+cos θ）=﹣r ．【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、两圆的公共弦，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知关于x 的不等式2x +≥7在x ∈（a ，+∞）上恒成立，则实数a的最小值为 2 ．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6D ：利用导数研究函数的极值．【分析】关于x 的不等式2x +≥7在x ∈（a ，+∞）上恒成立，令f （x ）=2x +，可得：f （x ）min =7，利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：关于x 的不等式2x +≥7在x ∈（a ，+∞）上恒成立，令f （x ）=2x +，可得：f （x ）min =7，则f′（x ）=2﹣=，当且仅当x=a +1时，f （x ）取得最小值，f （a +1）=2a +3=7，解得a=2． ∴实数a 的最小值为2． 故答案为：2．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）22．（12分）（2017春•台江区校级期中）已知经过A （5，﹣3）且倾斜角的余弦值是﹣的直线，直线与圆x 2+y 2=25交于B 、C 两点． （1）请写出该直线的参数方程以及BC 中点坐标；（2）求过点A与圆相切的切线方程及切点坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）求出直线的斜率，可得直线方程，求出过圆心与直线4x+3y﹣11=0垂直的直线方程，两直线方程联立可得BC中点坐标；（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可过点A与圆相切的切线方程及切点坐标．【解答】解：（1）直线参数方程为（t为参数），代入圆的方程得t2﹣t+9=0，∴t M==，则x M=，y M=，中点坐标为M （，）．（2）设切线方程为：（t为参数），代入圆的方程得t2+（10cos α﹣6sin α）t+9=0．△=（10cos α﹣6sin α）2﹣36=0，整理得cos α（8cos α﹣15sin α）=0，cos α=0或tan α=．∴过A点切线方程为x=5，8x﹣15y﹣85=0．=3sin α﹣5cos α，又t切=﹣由cos α=0得t1=3，由8cos α﹣15sin α=0，解得：，可得t2=﹣3．将t1，t2代入切线的参数方程知，相应的切点为（5，0），（，﹣）．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，垂径定理，勾股定理，以及两直线垂直时斜率满足的关系，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．23．（14分）（2017春•台江区校级期中）（1）已知a，b，c∈R，且2a+2b+c=8，求（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2的最小值．（2）请用数学归纳法证明：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=（n ≥2，n∈N*）．【考点】RG：数学归纳法；RA：二维形式的柯西不等式．【分析】（1）使用柯西不等式证明；（2）先验证n=2成立，假设n=k成立，推导n=k+1成立即可．【解答】解：（1）由柯西不等式得：（4+4+1）×[（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2]≥[2（a﹣1）+2（b+2）+c﹣3]2，∴9[（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2]≥（2a+2b+c﹣1）2．∵2a+2b+c=8，∴（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2≥，∴（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2的最小值是．（2）证明：①当n=2时，左边=1﹣=，右边==，所以等式成立．）时，等式成立，②假设当n=k（k≥2，k∈N+）．即（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=（k≥2，k∈N+当n=k+1时，（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）=•==，∴当n=k+1时，等式成立．时，等式成立．∴对n≥2，n∈N+【点评】本题考查了柯西不等式的应用，属于归纳法证明，属于中档题．。