福建省闽南师大大一上期末《微积分》试卷(A)答案

漳 州 师 范 学 院
_________________系________________专业_______级
《微积分》课程期末考试卷（A ）答案
（2012—2013学年度第一学期）
班级__________学号_______________姓名_________考试时间：
一、填空题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）
1. =⎪⎭
⎫ ⎝
⎛++∞
→1000
11lim n n n e ； =++∞
→1
!sin lim
2
n n n n 0 .
2.设商品需求函数为,3000100+-=p Q 其中p 为商品价格，Q 为需求量，则20=p 时的需求弹性
==20
p EP
EQ 2 .
3. =⎰)sin (
dx x x d dx x x sin ； =⎰)sin (x
x
d C x x +sin ． 4. 函数)1ln(2
+=x y 在[－1，2]上的最大值为5ln ；最小值为 0 .
5. 某商品的供给函数和需求函数分别为1025-=p Q S ，2005+-=p Q D ，则该商品的均衡价格=0P 7 ；均衡商品量=0Q 165 .
6.曲线 )1ln(x x y +-=在区间]0,1(-内单调减少；在区间),0[+∞内单调增加.
7.曲线1
2
+=x x y 的斜渐近线为1-=x y .
8.dx x x x ⎰
-)tan (sec sec =C x x +-sec tan . 9.曲线1932
3
+--=x x x y 的拐点为()10,1-.
二、单项选择题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
1．若数列}{n x 极限为a ，则在a 的ε邻域之外，数列中的点( B ) (A)必不存在 ； (B)至多只有有限多个；
(C)必定有无穷多个； (D)可以有有限个，也可以有无限多个．
２．已知函数函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥+=0,1tan 0,1sin x x
x x x x
x f ,则0=x 是)(x f 的( C ) (A)连续点； (B)可去间断点； (C)跳跃间断点；(D)振荡间断点. ３. 函数)(x f 在0x x =连续是函数)(x f 在0x x =处可导的( B ) (A)充分条件 ；(B)必要条件；(C)充要条件；(D)非充分也非必要条件． ４. 多项式13)(3
+-=x x x f 在区间 )1,0(内 ( B )
(A)至少有两个零点 ;(B)有且仅有一个零点 ; (C)没有零点; (D)零点个数不能确定. ５.设函数)(x f y =在0x x =处可微,)()(00x f x x f y -+=∆∆,则当0→x ∆时,必有( C )
(A)dy 是比x ∆的高阶无穷小； (B)dy 是比x ∆的低阶无穷小； (C) dy y -∆是比x ∆的高阶无穷小；(D)dy y -∆是比x ∆的同阶无穷小.
６．曲线⎩⎨⎧==t
t y t t x sin cos ，在2π
=t 处的法线方程是( A )
(A))1(2
+=
x y π
；(B)x y π
π
2
2
+
=
；(C))1(2
x y -=
π
；(D)x y π
π
2
2
-
=
.
７．不定积分=+⎰
)(sin )1sin 1
(2x d x
( D ) (A)
C x x ++sin 1 ； (B) C x x
++-sin 1； (C) C x x ++sin sin 1
； (D) C x x
++-sin sin 1．
三、试解下列各题（共６小题，每小题5分，共3０分）
1．求极限: x
x x x x
x ln 1lim 1+--→　
解： 原式=)3(.1)ln 1(1lim 11)ln 1(1lim 11分 x x x x x x x x x x -+-=+
-+-→→ ()分　521
])ln 1([lim 121 =-++-=-→x x x x x x
2．已知C x x dx x f +++=⎰)1ln()(2,求)(x f '. 解：()分311
1111)(2
2
2 x x x
x x x f +=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++++=
()
()分51)(3
2 x x
x f +-='
3. 计算:dx x x x ⎰
+-2
2
1)(arctan ． 解：原式=分）
（3)(arctan )(arctan )1(112122
2 x d x x d x ⎰⎰-++ )5()(arctan 3
1
)1ln(2132分 C x x +-+= 4. 求由方程22ln e e
x y xy
=+确定隐函数)(x y y =的微分dy ．
解：等式两边同时微分，得
0)()ln 2(2
=+++ydx xdy e dx x
y dy x y xy ．．．．．．（３分）
整理得，dx e
x x xy y xye dx xe x y x y ye dy xy
xy xy xy
222
ln 2ln 2++-=++
-=．．．（５分） ５. b
a x a x x
b b a y ⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=，求y '.
解：取对数得
)ln (ln )ln (ln )ln (ln ln a x b x b a b a x y -+-+-=．
．．（２分） 方程两边同时对x 得，
x
b
x a b a y y +--='ln ln 1．
．．．．．（４分） 整理得， )ln (ln x b x a b a a x x b b a y b
a
x
+--⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛='．．．．（５分）
6．求不定积分 dx e
x ⎰+1
2.
解：设()分则2,2
1
,122 tdt dx t x x t =-=+= 原式＝
()分3 dx te t ⎰
)5()112(1
2分 C x e
dt e te de t x t t t +-+=-==+⎰⎰
四、证明题（本题6分）
证明：当0x >时，
()ln 11x
x x x
<+<+． 证明：设)1ln()(+=t t f ，显然()t f 在区间],0[x 上满足lagrange 中值定理条件，根据定理，应有
x x f f x f <<-'=-ξξ0),0)(()0()(．
．．．．．．．（４分）
则ξ
+=
+1)1ln(x
x ，又由x <<ξ0有， x x x x <+<+ξ
11 即
()ln 11x
x x x
<+<+．．．．．．（6分） 五、综合题（本题共2小题，共11分）
1. 设1sin 0
()0 0
x x f x x
x ⎧
≠⎪=⎨⎪=⎩，讨论()f x 在0x =处的连续性与可导性． 解：由于0)0(1
sin
lim 0==→f x
x x ，所以()f x 在0x =处的连续．
．．．．（2分） 而x
x x x x f x f f x x x 1sin lim 1sin
lim )0()(lim )0(000→→→==-=' 极限不存在，因此 ()f x 在0x =处不可导．（5分）
2. 设某产品的价格函数为5
20Q
p -
=，其中p 为价格，Q 为销量，求销 售量为15个单位时的总收益,平均收益与边际收益. (5分)
解：总收益5
20)(2
Q Q PQ Q R -==，
销售量为15个单位时的总收益为：255)15(=R ．．．．．（2分） 平均收益：1715
255
)15(==
R ．
．．．．．．（3分） 边际收益：5
220)520()(2Q Q Q Q R -='-=' 销售量为15个单位时的边际收益为：14)5
220()15(15=-
='=Q Q
R ．
．．(5分) 3．已知某产品的需求函数为Q P 440-=，总成本函数为
10422++=Q Q C ，求产量为多少时总利润L 最大？并验证是否符合最大利
润原则.（6分）
解：总收益为2440)(Q Q PQ Q R -==
利润函数为10366)()()(2-+-=-=Q Q Q C Q R Q L
则 3612)(+-='Q Q L
令0)(='Q L ，解得3=Q ，012)3(<-=''L ，所以当3=Q 时总利润达到最大．（4分）
此时16)3(='R ，16)44()3(3=+='=Q Q C ，有16)3()3(='='C R 8)3(-=''R ，4)3(=''C ，有)3()3(C R ''<''，所以符合最大利润原则．（6分）。