2018年北京市东城区高考数学二模试卷(理科)-含详细解析

2018年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）含详细解析一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A={x|−1<x<2}，B={x|x<−2或x>1}，则A∪B=()A. {x|x<−2或x>1}B. {x|x<−2或x>−1}C. {x|−2<x<2}D. {x|1<x<2}2.复数(1+i)(2−i)=()A. 3+iB. 1+iC. 3−iD. 1−i3.(x+ax)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于()A. −1B. 12C. 1D. 24.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1的一条渐近线的倾斜角为60°，且与椭圆x25+y2=1有相等的焦距，则C的方程为()A. x23−y2=1 B. x29−y23=1 C. x2−y23=1 D. x23−y29=15.设a⃗，b⃗ 是非零向量，则“|a⃗+b⃗ |=|a⃗|−|b⃗ |”是“a⃗//b⃗ ”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，m2；平均数分别为s1，s2，则下面正确的是()A. m1>m2，s1>s2B. m1>m2，s1<s2C. m1<m2，s1<s2D. m1<m2，s1>s27.已知函数f(x)=log2x，g(x)=2x+a，若存在x1,x2∈[12,2]，使得f(x1)= g(x2)，则a的取值范围是()A. [−5,0]B. (−∞,−5]∪[0,+∞)C. (−5,0)D. (−∞,−5)∪(0,+∞)8.A，B，C，D四名工人一天中生产零件的情况如图所示，每个点的横、纵坐标分别表示该工人一天中生产的I型、II型零件数，则下列说法错误的是()A. 四个工人中，D的日生产零件总数最大B. A，B日生产零件总数之和小于C，D日生产零件总数之和C. A，B日生产I型零件总数之和小于II型零件总数之和D. A，B，C，D日生产I型零件总数之和小于II型零件总数之和二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.执行如图所示的程序框图，输出的S值为______．10.设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则S4a2=______．11.在极坐标系中，点A(1,π3),B(2,2π3),O是极点，则△AOB的面积等于______．12.如图，已知正方体ABCD−A′B′C′D′的边长为1，若过直线BD′的平面与该正方体的面相交，交线围成一个菱形，则该菱形的面积为______．13.直线x−y−1=0被圆C所截的弦长为√2，则圆C的方程可以为______.(写出一个即可)14.某种物质在时刻t(min)的浓度M(mg/L)与t的函数关系为M(t)=ar t+24(a,r为常数).在t=0min和t=1min测得该物质的浓度分别为124mg/L和64mg/L，那么在t=4min时，该物质的浓度为______ mg/L；若该物质的浓度小于24.001mg/L，则最小的整数t的值为______.(参考数据：lg2≈0.3010)三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=2，bcosC=ccosB．(Ⅰ)求c的值．(Ⅱ)若a=3.求sin2A的值．16.某银行的工作人员记录了3月1号到3月15日上午10：00在该银行取号后等待办理业务的人数，如图所示：从这15天中，随机选取一天，随机变量X表示当天上午10：00在该银行取号后等待办理业务的人数．(Ⅲ)由图判断，从哪天开始的连续五天上午10：00在该银行取号后等待办理业务的人数的均值最大？(结论不要求证明)17.如图，在四棱锥A−BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，AB=AC=CD=2BE=2，BE//CD，CD⊥CB，AB⊥AC．(Ⅰ)求证：平面ACD⊥平面ABC；(Ⅱ)若O为BC中点，P为线段CD上一点，OP//平面ADE，求CP的值；CD(Ⅲ)求二面角A−DE−B的大小；18.已知抛物线C：y2=2px经过点P(2,2)，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．(I)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(II)若OA⊥OB，求△AOB面积的最小值．19.已知函数f(x)=xsinx+cosx+12ax2，x∈[−π,π]．(Ⅰ)当a=0时，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)当a>0时，讨论f(x)的零点个数．20.设a，λ均是正整数，数列{a n}满足：a1=a，a n+1={a n2,a n是偶数a n+λ,a n是奇数(I)若a3=3，λ=5，写出a1的值；(II)若a=1，λ为给定的正奇数，求证：若a n为奇数，则a n≤λ；若a n为偶数，则a n≤2λ；(III)在(II)的条件下，求证：存在正整数n(n≥2)，使得a n=1．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合A={x|−1<x<2}，B={x|x<−2或x>1}，则A∪B={x|x<−2或x>−1}，故选：B．由集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.【答案】A【解析】解：(1+i)(2−i)=2−i+2i−i2=3+i．故选：A．直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】D【解析】解：∵T r+1=C5r⋅x5−r⋅(ax)r=a r C5r x5−2r，又令5−2r=3得r=1，∴由题设知C51⋅a1=10⇒a=2．故选：D．利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为3，列出方程求出a的值．本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题．4.【答案】C【解析】解：根据题意，双曲线C：x2a2−y2b2=1的焦点在x轴上，其渐近线方程为y=±bax，若其一条渐近线的倾斜角为60°，则该渐近线的方程为y=√3x，则有ba=√3，即b=√3a，椭圆x25+y2=1中，c2=5−1=4，若双曲线与椭圆有相等的焦距，则有a2+b2=4，解可得a2=1，b2=3，则双曲线的方程为x2−y23=1；故选：C．根据题意，由双曲线的方程分析可得其渐近线方程，分析可得有ba=√3，即b=√3a，求出椭圆的半焦距，分析可得a2+b2=4，解可得a2、b2的值，将a2、b2的值代入双曲线的方程，即可得答案．本题考查双曲线、椭圆的几何性质，注意分析双曲线的焦点位置．5.【答案】A【解析】解：由|a⃗+b⃗ |=|a⃗|−|b⃗ |，可得a⃗与b⃗ 共线反向，由a⃗//b⃗ ，可得|a⃗+b⃗ |=|a⃗|−|b⃗ |或|a⃗+b⃗ |=|a⃗|+|b⃗ |，∴“|a⃗+b⃗ |=|a⃗|−|b⃗ |”是“a⃗//b⃗ ”的充分而不必要条件．故选：A．由向量共线与向量模的关系结合充分必要条件的判定方法逐一分析得答案．本题考查充分条件，必要条件及其判定方法，是基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用频率分布直方图求平均数、中位数，考查运算求解能力，是基础题．利用频率分布直方图分别求出甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数和平均数，由此能求出结果．【解答】解：由频率分布直方图得：甲地区[40,60)的频率为：(0.015+0.020)×10=0.35，[60,70)的频率为0.025×10= 0.25，∴甲地区用户满意度评分的中位数m1=60+0.5−0.350.25×10=66，甲地区的平均数s1=45×0.015×10+55×0.020×10+65×0.025×10+75×0.020×10+85×0.010×10+95×0.010×10=67．乙地区[50,70)的频率为：(0.005+0.020)×10=0.25，[70,80)的频率为：0.035×10=0.35，∴乙地区用户满意度评分的中位数m2=70+0.5−0.250.35×10≈77.1，乙地区的平均数s2=55×0.005×10+65×0.020×10+75×0.035×10+85×0.025×10+95×0.015×10=77.5．∴m1<m2，s1<s2．故选：C．7.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出两个函数的值域，结合集合元素关系进行求解是解决本题的关键，属于中档题．根据条件求出两个函数的值域，结合存在x1,x2∈[12, 2]，使得f(x1)=g(x2)，等价为两个集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可．【解答】解：当12≤x≤2时，log212≤f(x)≤log22，即−1≤f(x)≤1，则f(x)的值域为[−1,1]，当12≤x≤2时，2×12+a≤g(x)≤4+a，即1+a≤g(x)≤4+a，则g(x)的值域为[1+a,4+a]，若存在x1,x2∈[12, 2]，使得f(x1)=g(x2)，则[1+a,4+a]∩[−1,1]≠⌀，若[1+a,4+a]∩[−1,1]=⌀，则1+a>1或4+a<−1，得a>0或a<−5，则当[1+a,4+a]∩[−1,1]≠⌀时，−5≤a≤0，即实数a的取值范围是[−5,0]．故选A．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查图形的性质等基础知识，是基础题．结合图形得到：A，B，C，D日生产I型零件总数之和大于II型零件总数之和．【解答】解：由图形得：在A中，四个工人中，D的日生产零件总数最大，B生产零件总数最小，故A正确；在B中，A，B日生产零件总数之和小于C，D日生产零件总数之和，故B正确；在C中，A，B日生产I型零件总数之和小于II型零件总数之和，故C正确；在D中，A，B，C，D日生产I型零件总数之和大于II型零件总数之和，故D错误．故选：D．9.【答案】56【解析】解：模拟程序的运行，可得S=0，n=0执行循环体，n=1，S=1不满足条件n>2，执行循环体，n=2，S=12，不满足条件n>2，执行循环体，n=3，S=56，此时，满足条件n>2，退出循环，输出S的值为56．故答案为：56．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.【答案】152【解析】解：∵q=2，∴S4a2=a1(1−q4)1−qa1q=1−q4q(1−q)=1−162(1−2)=152．故答案为：152．由等比数列的通项公式及求和公式可得S4a2=a1(1−q4)1−qa1q=1−q4q(1−q)代入可求．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础试题．11.【答案】√32【解析】解：由在极坐标系中，点A(1,π3),B(2,2π3),O 是极点，可得OA =1，0B =2，∠AOB =2π3−π3=π3，即有△AOB 的面积为S =12OA ⋅OB ⋅sin∠AOB =12×1×2×√32=√32，故答案为：√32．分别求得OA =1，0B =2，∠AOB =2π3−π3=π3，再由△AOB 的面积为S =12OA ⋅OB ⋅sin∠AOB ，代入计算可得所求值．本题考查极坐标系下三角形的面积的求法，注意运用三角形的面积公式，考查运算能力，属于基础题．12.【答案】√62【解析】解：取AA′的中点E ，CC′的中点为F ，连接BED′F ，可得四边形是菱形，两条对角线的长为：√2，√3；则菱形的面积为：S =12×√2×√3=√62． 故答案为：√62．判断过直线BD′的平面与该正方体的面相交，交线围成一个菱形，判断点的坐标，然后求解面积．本题考查空间几何体的性质，菱形的性质与面积．正确作出菱形是解题的关键． 13.【答案】x 2+y 2=1(答案不唯一)【解析】解：设圆的标准方程为x 2+y 2=r 2， ∵直线x −y −1=0被圆C 所截的弦长为√2， ∴圆心到直线的距离d =√2=√22， 则圆的半径r =√d 2+(√22)2=√24+24=1，则圆的方程为x 2+y 2=1，故答案为：x 2+y 2=1(答案不唯一)根据直线和圆相交的弦长公式进行计算即可．本题主要考查圆的方程的求解，根据条件结合直线和圆相交的弦长公式是解决本题的关键．14.【答案】26.56 13【解析】解：根据条件：ar 0+24=124，ar +24=64； ∴a =100,r =25； ∴M(t)=100(25)t +24；∴M(4)=100(25)4+24=26.56；由100(25)t +24<24.001得：(25)t <(0.1)5； ∴lg(25)t <lg(0.1)5； ∴tlg(25)<−5；∴t[lg2−(1−lg2)]<−5；∴t(2lg2−1)<−5，带入lg2≈0.301得：−0.398t <−5； 解得t >12.5；∴最小的整数t 的值是13． 故答案为：25.56，13．由条件即可得出{ar 0+24=124ar +24=64，从而可解得a =100,t =25，这样即可得出M(t)=100(25)t +24，从而可求出t =4时物质的浓度值；物质的浓度小于24.001时，得出100(25)t +24<24.001，结合lg2≈0.301即可解出t >12.5，这样便可得出最小的整数t 的值．考查解析式的定义及求法，待定系数法求函数解析式，以及对数的运算．15.【答案】解：(Ⅰ)△ABC 中，由bcosC =ccosB 及正弦定理， 得sinBcosC −cosBsinC =0，即sin(B −C)=0． 因为0<B <π， 0<C <π，所以−π<B −C <π， 所以B =C ，所以b =c ；因为b =2，所以c =2；……………………………(7分) (Ⅱ)由b =c =2，a =3，得 cosA =b 2+c 2−a 22bc=−18；又因为0<A <π， 所以sinA =3√78； 所以sin2A =2sinAcosA =2×3√78×(−18)=−3√732.………………(13分)【解析】(Ⅰ)由题意，利用正弦定理与三角形的内角和定理求得c 的值；(Ⅱ)由余弦定理和二倍角公式，求得cos A 、sin2A 的值．本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是基础题．(Ⅱ)由(I)可得X 的数学期望为E(X)=8×13+9×215+10×15+11×115+12×215+13×115+14×115=10，所以μ=10；因为P(10−1≤X ≤10+1)=615=25<0.5， P(10−2≤X ≤10+2)=5+2+3+1+215=1315>0.5，所以n =2；………………………(10分)(Ⅲ)由图判断，从第10日或第11日开始的连续五天上午10：00，在该银行取号后等待办理业务的人数均值最大．………………………(13分)【解析】(I)根据题意把X 的分布列补充完整即可； (Ⅱ)计算X 的数学期望，求出μ、n 的值； (Ⅲ)由图中数据分析即可得出结论．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是综合题．17.【答案】(Ⅰ)证明：∵平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABC ∩平面BCDE =CB ，CD ⊂平面BCDE ，CD ⊥CB ， ∴CD ⊥平面ABC ． ∵CD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABC ；(Ⅱ)解：如图，取CD 中点F ，连接EF ，∵OP//平面ADE ，OP ⊂平面BCDE ，平面ADE ∩平面BCDE =DE ， ∴OP//DE ，则∠CPO =∠FDE ． ∵BE//CF ，BE =CF ，∴EF//BC ，则∠PCO =∠DFE ． ∴△COP ～△FED ，得CPFD =COFE =12． ∵F 为CD 的中点，CPCD =14；(Ⅲ)解：连接OA ，由(Ⅰ)知CD ⊥平面ABC ，OA ⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ∴CD ⊥OA ，CD ⊥OB ，∵AB =AC ，点O 为BC 中点，∴OA ⊥OB ． 作OM//CD ，∴OM ⊥OA ，OM ⊥OB ． 如图建立空间坐标坐标系O −xyz ． ∵AB =AC =CD =2BE =2，∴A(0,0,√2),D(−√2,2,0),E(√2,1,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,2,−√2),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,1,−√2,)∵OA ⊥OB ，OA ⊥OM ，OB ∩OM =O ， ∴OA ⊥平面BCDE ．平面BCDE 的法向量n⃗ =(0,0，1)． 设平面ADE 的法向量m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则有{m ⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即{−√2x +2y −√2z =0√2x +y −√2z =0.，令x =1，则y =2√2，z =3，即m ⃗⃗⃗ =(1,2√2,2)． ∴cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗|n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=1×3√2=√22． 由题知二面角A −DE −B 为锐角， 二面角A −DE −B 的大小为π4．【解析】(Ⅰ)由平面ABC ⊥平面BCDE ，CD ⊥CB ，利用面面垂直的性质可得CD ⊥平面ABC.进一步得到平面ACD ⊥平面ABC ；(Ⅱ)取CD 中点F ，连接EF ，由OP//平面ADE ，得OP//DE ，则∠CPO =∠FDE.进一步证明△COP ～△FED ，得CP FD =CO FE =12.结合F 为CD 的中点，可得CP CD =14；(Ⅲ)连接OA ，由(Ⅰ)知CD ⊥平面ABC ，得CD ⊥OA ，CD ⊥OB ，又OA ⊥OB.作OM//CD ，则OM ⊥OA ，OM ⊥OB.建立空间坐标坐标系O −xyz.由已知分别求出平面BCDE 与平面ADE 的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A −DE −B 的大小．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．18.【答案】解：(I)由抛物线C ：y 2=2px 经过点P(2,2)知4p =4，解得p =1． 则抛物线C 的方程为y 2=2x ．抛物线C 的焦点坐标为(12,0)，准线方程为x =−12，( II)由题知，直线AB 不与y 轴垂直，设直线AB ：x =ty +a ， 由{x =ty +a y 2=2x 消去x ，得y 2−2ty −2a =0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=2t ，y 1y 2=−2a ． 因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2+y 1y 2=0，即y 12y 224+y 1y 2=0，解得y 1y 2=0(舍)或y 1y 2=−4． 所以−2a =−4.解得a =2． 所以直线AB ：x =ty +2．所以直线AB 过定点(2,0)．S △AOB =12×2×|y 1−y 2|=√y 12+y 22−2y 1y 2=√y 12+y 22+8≥√2|y 1y 2|+8=4．当且仅当y 1=2，y 2=−2或y 1=−2，y 2=2时，等号成立． 所以△AOB 面积的最小值为4．【解析】(Ⅰ)根据题意，将P 的坐标代入抛物线的方程，可得p 的值，即可得抛物线的标准方程，分析即可得答案；(Ⅱ)直线AB 的方程为x =ty +a ，与抛物线的方程联立，可得y 2−2ty −2a =0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，结合OA ⊥OB ，结合根与系数的关系分析可得y 12y 224+y 1y 2=0，进而可得△AOB 面积的表达式，分析可得答案．本题考查抛物线的与直线的位置关系，关键是求出抛物线的标准方程．19.【答案】解：(Ⅰ)当a =0时，f(x)=xsinx +cosx ，x ∈[−π,π].f′(x)=sinx +xcosx −sinx =xcosx ．当x 在区间[−π,π]上变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表∴f(x)的单调增区间为(−π,−π2)，(0,π2)；f(x)的单调减区间为(−π2,0)，(π2,π)．(Ⅱ)任取x∈[−π,π]．∵f(−x)=(−x)sin(−x)+cos(−x)+12a(−x)2=xsinx+cosx+12ax2=f(x)，∴f(x)是偶函数．f′(x)=ax+xcosx=x(a+cosx)．当a≥1时，a+cosx≥0在[0,π)上恒成立，∴x∈[0,π)时，f′(x)≥0．∴f(x)在[0,π]上单调递增．又∵f(0)=1，∴f(x)在[0,π]上有0个零点．又∵f(x)是偶函数，∴f(x)在[−π,π]上有0个零点．当0<a<1时，令f′(x)=0，得cosx=−a．由−1<−a<0可知存在唯一x0∈(π2,π)使得cosx0=−a．∴当x∈[0,x0)时，f′(x)≥0，f(x)单调递增；当x∈(x0,π)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．∵f(0)=1，f(x0)>1，f(π)=12aπ2−1．①当12aπ2−1>0，即2π2<a<1时，f(x)在[0,π]上有0个零点．由f(x)是偶函数知f(x)在[−π,π]上有0个零点．②当12aπ2−1≤0，即0<a≤2π2时，f(x)在[0,π]上有1个零点．由f(x)是偶函数知f(x)在[−π,π]上有2个零点．综上，当0<a≤2π2时，f(x)有2个零点；当a>2π2时，f(x)有0个零点．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了函数零点的判定，体现了分类讨论的数学思想方法，属压轴题．(Ⅰ)求出a=0时原函数的导函数，由导函数的零点对函数的定义域分段，再由导函数在各区间段内的符号可得原函数的单调性；(Ⅱ)首先证明原函数为偶函数，然后分a≥1，0<a<1讨论f(x)在[0,π]上的单调性并求得最值，由最值与0的关系分析零点个数，从而得到f(x)的零点个数．20.【答案】(共13分)解：(I)∵a，λ均是正整数，数列{a n}满足：a1=a，a n+1={a n2,a n是偶数a n+λ,a n是奇数a3=3，λ=5，∴a n+1={a n2,a n是偶数a n+5,a n是奇数，∴当a1是奇数时，a2=a1+5是偶数，a3=a1+52=3，解得a1=1；当a1是偶数时，a2=a12，当a2=a12是奇数时，a3=a12+5=3，解得a1=−4，不合题意；当a2=a12是偶数时，a3=a122=3，解得a1=12．综上，a1的值为1或12.……………………………………………………………………………(4分)证明：(II)①当n=1，2时，a1=1为奇数，a1≤λ成立，a2=1+λ为偶数，a2≤2λ．②假设当n=k时，若a k为奇数，则a k≤λ，若a k为偶数，则a k≤2λ．那么当n=k+1时，若a k是奇数，则a k+1=a k+λ是偶数，a k+1≤2λ；若a k是偶数，a k+1=a k2≤λ．此时若a k+1是奇数，则满足a k+1≤λ，若a k+1是偶数，满足a k+1≤λ≤2λ．即n=k+1时结论也成立．综上，若a n为奇数，则a n≤λ；若a n为偶数，则a n≤2λ.……………………(9分) (III)由(II)知，{a n}中总存在相等的两项．不妨设a r=a s(r<s)是相等两项中角标最小的两项，下证r=1.假设r≥2．①若a r=a s≤λ，由a r−1>0，a s−1>0知a r和a s均是由a r−1和a s−1除以2得到，即有a r−1=a s−1，与r的最小性矛盾；②若a r=a s>λ，由a r−1≤2λ，a s−1≤2λ知a r和a s均是由a r−1和a s−1加上λ得到，即有a r−1=a s−1，与r的最小性矛盾；综上，r=1，则a s=a1=1．即若a=1，λ是正奇数，则存在正整数n(n≥2)，使得a n=1.…………(13分)【解析】(I)a n+1={a n2,a n是偶数a n+5,a n是奇数，由此利用a1是奇数和a1是偶数两种情况进行分类讨论，由此能求出a1的值．(II)当n=1，2时，a1=1为奇数，a1≤λ成立，a2=1+λ为偶数，a2≤2λ；假设当n=k时，若a k为奇数，则a k≤λ，若a k为偶数，则a k≤2λ.那么当n=k+1时，若a k是奇数，则a k+1=a k+λ是偶数，a k+1≤2λ；若a k是偶数，a k+1=a k2≤λ.由此能证明若a n为奇数，则a n≤λ；若a n为偶数，则a n≤2λ．(III){a n}中总存在相等的两项．不妨设a r=a s(r<s)是相等两项中角标最小的两项，推导出r=1，则a s=a1=1.由此能证明存在正整数n(n≥2)，使得a n=1．本题考查数列的首项的求法，考查数列不等式的证明，考查数学归纳法、数列性质、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．。