四川省成都市2009届高考二诊考试数学理科试题 大纲版高考

成都市2009届高中毕业班第二次诊断性检测数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷至2页，第Ⅱ卷3至8页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

全卷满分为150分，完成时间为120钟.第Ⅰ卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上.3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.参考公式：如果事件A B 、互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S Rπ=如果事件A B 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在依次实验中发生的概率是p ， 34V 3Rπ=那么n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率 ()(1)(0,1,2,k knkn n P k C P Pk n -=-=…,) 其中R 表示球的半径一、选择题：}x R ∈，则集合P 的子集个数是 D ．8的结果是C ．0D ．-1-i(1)f x -的定义域为C ．[1,1]-D ．[1,0)(0,1]- 的图象为（5）在ΔABC 中，a b c 、、分别是三内角A B C 、、所对边的长，若sin A sin ,b a C =则ΔABC 的形状A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形（6）已直数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)n a n N *=∈，则2009S 的值为A B 1- C D 1（7）已知过原点的动圆C 与直线:40l x y --=相切,切当动圆C 面积最小时,圆的方程是A ．22(1)(1)4x y -++=B ．22(1)(1)2x y -++= C ．22(1)(1)4x y ++-= D ．22(1)(1)2x y ++-=（8）已知三棱锥P ABC -中，PA PB PC 、、两两垂直，22PA PB PC a ===，且三棱锥外接球的秒面积为9S π=，则实数a 的值为A ．1B ．2CD ．12（9）为支援地震灾区的灾后重建工作，四川某公司决定分四天每天各运送一批物资到A B C D E 、、、、五个受灾点，由于A 地距离该公司较近，安排在第一天或最后一天送达；B C 、两地相邻，安排在同一天上、下午分别送达（B 在上午、C 在下午与B 在下午、C 在上午为不同运送顺序），且运往这两地的物资算作一批；D E 、两地可随意安排在其余两天送达。

则安排这四天送达五个受灾地点的不同运送顺序种数共有A ．72种B ．18种C ．36种D ．24种（10）将函数21()cos cos 2f x x x x =-+的图象按向量a 平移后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为奇函数，则符合条件的一个向量a 可以是A ．,012a π⎛⎫=⎪⎝⎭ B ．a ⎛= ⎝,06a π⎛⎫= ⎪⎝⎭ D ．,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（11）已知曲线2sin y x =与曲线y =P 的横坐标为23π，且两a 与b 的值分别为3,1b π==- 3,12b π==-的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆222x y a +=的切线，P ⋅若1()2O E O F O P =+，则双曲线的离心率为C 2D 2第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2．答卷前将密封线内的项目填写清楚..二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.（13）若函数122888882()1()log (3)f x C x C x C x x R f =++++∈=…，则______________.（14）与抛物线22y x =关于点（-1，0）对称的抛物线方程是_______________________.（15）若关于x 的方程232x x m -=-在[0，2]上有两个不同实数解，则实数m 的取值范围是__________________.（16）已知空间向量O A (1,,0)(),|O A | 3.O B (3,1,0),k k Z O =∈≤=为坐标原点，给出以下结论：①以OA OB 、为邻边的平行四边形OACB 中，当且仅当0k =时，||O C取得最小值；②当2k =时，到A 和点B 等距离的动点(,,)P x y z 的轨迹方程为4250x y --=，其轨迹是一条直线；③若(0,0,1),O P = 则三棱锥O ABP -体积的最大值为76；④若OP =（0，0，1），则三棱锥O ABP -各个面都为直角三角形的概率为25.其中，所有正确结论的番号应是_____________________.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.（17）（本小题满分12分）已知函数()sin(2)(0,||),2f x A x A πϕϕ=+><且（I ）求ϕ的值； (Ⅱ)若35(),(),512136f a A f A a ππβ=+=<<且cos(22)6a πβ+-求的值（18）（本小题满分12分）如图的多面体是直平行六面体1111ABCD A B C D -经平面AEFG 所截后得到的图形，其中45,22,60BAE GAD AB AD BAD ︒︒∠=∠===∠=.（I ）求证：BD AD G ⊥平面；（Ⅱ）求平面AEFG 与平面ABCD 所成锐而面角的大小；（Ⅲ）求点C 到平面AEFG 的距离（19）（本小题满分12分）质检部门将对12个厂家生产的婴幼儿奶粉进行质量抽检，若被抽检厂家的奶粉经检验合格，则该厂家的奶粉即可投放市场；若检验不合格，则该厂家的奶粉将不能投放市场且作废品处理。

假定这12个厂家中只有2个厂家的奶粉存在质量问题（即检验不能合格），但不知道是哪两个厂家的奶粉.（I ）从中任意选取3个厂家的奶粉进行检验，求至少有2个厂家的奶粉检验合格的概率；（Ⅱ）每次从中任意抽取一个厂家的奶粉进行检验（抽检不重复），记首次抽检到合格奶粉时已经检验出奶粉存在质量问题的厂家个数为随即变量ξ，求ξ的分布列及数学期望.（20）（本小题满分12分）已知函数3221(),(),31x a f x x x b g x x Rx +=-++=∈+其中（I ）当23b =时，若函数()(2)()()(2)f x x F x g x x ≤⎧=⎨>⎩为R 上的连续函数，求()F x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =-时，若对任意12,[1,2],x x ∈-不等式12()()g x f x <恒成立，求实数b 的取值范围.（21）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xO y 中，Rt ΔABC 的斜边BC 恰在x 轴上，点(2,0),(2,0)B C -，且A D 为BC 边上的高.（I ）求A D 中点G 的轨迹方程；（Ⅱ）若一直线与（I ）中G 的轨迹交于两不同点M N 、，且线段MN 为中点，求直线MN 的方程；（Ⅲ）若过点（1，0）的直线l 与（I ）中G 的轨迹交于两不同点,P Q 、试问在x 轴上是否存在定点(.0)E m ，使P E Q E ⋅恒为定值λ？若存在，求出点E 的坐标及实数λ的值；若不存在，请说明理由.（22）（本小题满分14分） ，且当2,n n N ≥∈时，1134,.n n a a a +-=-*1()i N λ*>∈恒成立，求λ的最小值.数学（理工农医类）参考答案及评分意见第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）（1）B ； （2）A ； （3）B ； （4）A ； （5）C ； （6）C ； （7）B ； （8）A ； （9）D ； （10）B ； （11）D ； （12）B第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（每小题4分，共16分） （13）16；（14）22(2);y x =-+ （15）1,0;4⎛⎤-⎥⎝⎦（16）③④ 三、解答题：（本大题共6小题，共74分）（17）解：（I ）由题意，得55(sin()63f A A A ππϕ=-⇒+=-） 553s i n ()1,2332k k πππϕϕπ∴+=-∴+=+ ||,26ππϕϕ<∴=-（Ⅱ）由（I ）可知，()sin(2)6f x A x π=-33()sin(2),sin(2)56565f a A A a A a ππ=⇒-=∴- 又,2.63662a a πππππ<<∴<-<55),sin 261313A πβ=∴=41235332sin(2)sin 2651351365a πββ--=⨯-⨯=22,60AD BAD ︒==∠=∴由余弦定理，可得BD = 222,A B A D B D A D B D∴=+∴⊥又在直平行六面体中，G D ABC D ⊥平面， GD BD ∴⊥又,AD GD D BD ADG =∴⊥ 平面（Ⅱ）解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -45,22BAE GAD AB AD ︒∠=∠===则有(1,0,0),0),(0,0,1),(0,2),(0)A B G E C -。

∴设平面AEFG 的法向量为(,,)n x y z =由20n AE x z n AG x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取(1,3n =- 而平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)D G =，cos ,7||||D G n D G n D G n⋅∴==⋅故平面AEFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小为arccos7（Ⅲ）解：点C 到平面AEFG的距离即为A C在平面AEFG 法向量n 上的射影的模长. (0),(1,3A C n =-=-故所求点C 到平面AEFG的距离为||||AC n d n ⋅==（19）解：（I ）任意选取3一是选取抽检的3个厂家中，恰有221102139C C P ==6336611（20）解：（I ） 当23b =时，函数32212(2)33()(2)1x x x F x x a x x ⎧-++≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪+⎩ 为R 上的连续函数，22lim ()(2)2,85x a g x f a +→+∴===∴=2'()2(2),f x x x x x =-+=-- 令'()002f x x >⇒<<∴当2x ≤时，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在（0，2）上单调递增. 又22228161(),'()1(1)x x x g x g x x x +--+==++当(2,)x ∈+∞时，'()0g x <恒成立，∴当2x >时，函数()g x 在(2,)+∞上单调递减.综上可知，函数()F x 的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（,0),(2,)-∞+∞. （Ⅱ）对任意1212,[1,2],()()x x g x f x ∈-<恒成立max min ()(),[1,2].g x f x x ⇔<∈- 211,()1x a g x x -=-∴=+此时'()0,g x >即221011x x x -++>⇒-<<+。