5 三角形内角和定理.ppt定稿
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三角形内角和ppt课件完整版
度或边长。
余弦函数
cosA = b/c，表示邻边与斜边的 比值，同样用于直角三角形中。
正切函数
tanA = a/b，表示对边与邻边的比 值，常用于求解直角三角形的角度。
三角函数在解三角形中应用
已知两边及夹角求第三边
01
利用正弦定理或余弦定理求解。
已知三边求角度
02
利用余弦定理求解角度，再结合三角形内角和为180度求解其他
算错误。
公式选择
根据已知条件选择合适的公式 进行计算，避免使用错误的公
式导致结果不准确。
精度问题
在计算过程中要注意精度问题， 避免因舍入误差导致结果不准
确。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
三角形的内角和定义 三角形三个内角的度数之和等于180度。
三角形内角和定理的证明 可以通过多种方法证明，如平行线性质、外角性质等。
角度。
已知两角及一边求其他边和角
03
利用正弦定理和三角形内角和求解。
边长比例与角度关系探讨
边长比例对角度的影响
在三角形中，边长比例的变化会影响角度 的大小，如等腰三角形底角相等。
VS
角度对边长比例的影响
角度的变化也会影响三角形的边长比例， 如直角三角形中，30度角所对的直角边等 于斜边的一半。
典型问题解决方法分享
建筑设计
建筑设计中经常涉及到三角形的面积计算，如屋顶、窗户等部分的 设计。
物理问题
在物理问题中，三角形的面积计算也经常出现，如求解力的大小和方 向等。
误区提示和易错点剖析
01
02
03
04
底和高的对应
在计算三角形面积时，一定要 注意底和高的对应关系，避免
余弦函数
cosA = b/c，表示邻边与斜边的 比值，同样用于直角三角形中。
正切函数
tanA = a/b，表示对边与邻边的比 值，常用于求解直角三角形的角度。
三角函数在解三角形中应用
已知两边及夹角求第三边
01
利用正弦定理或余弦定理求解。
已知三边求角度
02
利用余弦定理求解角度，再结合三角形内角和为180度求解其他
算错误。
公式选择
根据已知条件选择合适的公式 进行计算，避免使用错误的公
式导致结果不准确。
精度问题
在计算过程中要注意精度问题， 避免因舍入误差导致结果不准
确。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
三角形的内角和定义 三角形三个内角的度数之和等于180度。
三角形内角和定理的证明 可以通过多种方法证明，如平行线性质、外角性质等。
角度。
已知两角及一边求其他边和角
03
利用正弦定理和三角形内角和求解。
边长比例与角度关系探讨
边长比例对角度的影响
在三角形中，边长比例的变化会影响角度 的大小，如等腰三角形底角相等。
VS
角度对边长比例的影响
角度的变化也会影响三角形的边长比例， 如直角三角形中，30度角所对的直角边等 于斜边的一半。
典型问题解决方法分享
建筑设计
建筑设计中经常涉及到三角形的面积计算，如屋顶、窗户等部分的 设计。
物理问题
在物理问题中，三角形的面积计算也经常出现，如求解力的大小和方 向等。
误区提示和易错点剖析
01
02
03
04
底和高的对应
在计算三角形面积时，一定要 注意底和高的对应关系，避免
三角形内角和定理ppt
证明方法三：三角函数证明法
• 三角函数证明法是一种利用三角函数的性质证明三角形内角和为180度的方法。 • 具体步骤如下 • 根据三角函数的和差化积公式，可以得出：sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB。 • 由于0<A+B<180度，因此sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB>0。 • 同理，可以得出：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB<0。 • 由于sin(A+B)和cos(A+B)异号，因此它们的和为90度或270度，即A+B=90度或A+B=270度。 • 由于三角形内角和为180度，因此A+B+C=180度，因此C=90度或C=90度。
学思维和解决问题的能力具有重要意义。
三角形内角和定理的历史背景
起源
三角形内角和定理的历史可以追溯到古希腊数学家欧几里得的时 代。
发展
在随后的几个世纪中，许多数学家对这一定理进行了研究和证明 ，推动了数学的发展。
现代应用
在现代数学中，三角形内角和定理被广泛应用于各种领域，包括 计算机图形学、机器学习、物理学等。
2023
三角形内角和定理ppt
目 录
• 三角形内角和定理的介绍 • 三角形内角和定理的证明方法 • 三角形内角和定理的应用 • 三角形内角和定理的扩展知识 • 总结与展望
01
三角形内角和定理的介绍
什么是三角形内角和定理
1
三角形内角和定理定义：三角形的三个内角之 和等于180度。
2
定理的表述简洁明了，易于理解，且具有广泛 的实用性。
建筑设计
在建筑设计中，三角形结构通常被广泛使用，因为它的稳定性较高。利用三 角形内角和定理可以优化建筑设计中的角度和结构。
三角形的内角和PPT课件
三角形的内角和PPT课与性质 • 三角形内角和定理及其证明 • 三角形外角性质与计算 • 三角形角度计算技巧与方法 • 三角形内角和在生活中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
CATALOGUE
三角形基本概念与性质
三角形定义及分类
三角形定义
由不在同一直线上的三条线段首 尾顺次连接所组成的封闭图形。
04
CATALOGUE
三角形角度计算技巧与方法
利用平行线求角度
平行线性质
两直线平行，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补。
示例
已知三角形ABC中，角A=60度，角B=45度，求角C的度数。可以过点C作AB的 平行线，将角C分为两个与角A、角B分别相等或互补的角，从而求得角C的度数 。
利用相似三角形求角度
三角形分类
按边可分为不等边三角形、等腰 三角形；按角可分为锐角三角形 、直角三角形、钝角三角形。
三角形边与角关系
三角形边的关系
任意两边之和大于第三边，任意两边 之差小于第三边。
三角形角的关系
三个内角之和等于180°，外角等于与 它不相邻的两个内角之和。
特殊三角形性质
01
02
03
等腰三角形性质
两腰相等，两底角相等； 三线合一（即顶角的平分 线、底边上的中线、底边 上的高重合）。
相似三角形性质
两个三角形如果三边对应成比例，则这两个三角形相似。相 似三角形的对应角相等。
示例
已知三角形ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且BD=DC。 求角BAD的度数。可以通过构造与三角形ABD相似的三角形 ，利用相似三角形的性质求得角BAD的度数。
利用三角函数求角度
三角函数性质
正弦、余弦、正切等三角函数在特定角度下有确定的值。
01
CATALOGUE
三角形基本概念与性质
三角形定义及分类
三角形定义
由不在同一直线上的三条线段首 尾顺次连接所组成的封闭图形。
04
CATALOGUE
三角形角度计算技巧与方法
利用平行线求角度
平行线性质
两直线平行，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补。
示例
已知三角形ABC中，角A=60度，角B=45度，求角C的度数。可以过点C作AB的 平行线，将角C分为两个与角A、角B分别相等或互补的角，从而求得角C的度数 。
利用相似三角形求角度
三角形分类
按边可分为不等边三角形、等腰 三角形；按角可分为锐角三角形 、直角三角形、钝角三角形。
三角形边与角关系
三角形边的关系
任意两边之和大于第三边，任意两边 之差小于第三边。
三角形角的关系
三个内角之和等于180°，外角等于与 它不相邻的两个内角之和。
特殊三角形性质
01
02
03
等腰三角形性质
两腰相等，两底角相等； 三线合一（即顶角的平分 线、底边上的中线、底边 上的高重合）。
相似三角形性质
两个三角形如果三边对应成比例，则这两个三角形相似。相 似三角形的对应角相等。
示例
已知三角形ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且BD=DC。 求角BAD的度数。可以通过构造与三角形ABD相似的三角形 ，利用相似三角形的性质求得角BAD的度数。
利用三角函数求角度
三角函数性质
正弦、余弦、正切等三角函数在特定角度下有确定的值。
《三角形内角和定理的证明》证明PPT课件 (共18张PPT)
A
C
这里的结论,以后可以直接运用.
随堂练习P208
☞
A
我是最 棒的
1.直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个 内角是多少度?请证明你的结论. A
B A D E C
C
B
C
B
已知:如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=600, ∠C=700. 求证： ∠ADE=500.. 结论: 直角三角形的两个锐角互余.以后可以直接 运用.
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
挫折的名言 1、 我觉得坦途在前，人又何必因为一点小障碍而不走路呢？——鲁迅 2、 “不耻最后”。即使慢，弛而不息，纵会落后，纵会失败，但一定可以达到他所向的目标。——鲁迅 3、 故天将降大任于是人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不能。 战胜挫折的名言 1、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。——贝多芬 2、每一种挫折或不利的突变，是带着同样或较大的有利的种子。——爱默生 3、我以为挫折、磨难是锻炼意志、增强能力的好机会。——邹韬奋 4、斗争是掌握本领的学校，挫折是通向真理的桥梁。——歌德 激励自己的座右铭 1、 请记得，好朋友的定义是：你混的好，她打心眼里为你开心；你混的不好，她由衷的为你着急。 2、 要有梦想，即使遥远。 3、 努力爱一个人。付出，不一定会有收获；不付出，却一定不会有收获，不要奢望出现奇迹。 4、 承诺是一件美好的事情，但美好的东西往往不会变为现实。 工作座右铭 1、 不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。——《荀子劝学》 2、 反省不是去后悔，是为前进铺路。 3、 哭着流泪是怯懦的宣泄，笑着流泪是勇敢的宣言。 4、 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。——屈原《离骚》 5、 每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路。 国学经典名句 1、知我者，谓我心忧，不知我者，谓我何求。（诗经王风黍离） 2、人而无仪，不死何为。 （诗经风相鼠） 3、言者无罪，闻者足戒。 （诗经大序） 4、他山之石，可以攻玉。 （诗经小雅鹤鸣） 5、投我以桃，报之以李。 （诗经大雅抑） 6、天作孽，犹可违，自作孽，不可活。（尚书） 7、满招损，谦受益。 （尚书大禹谟） 青春座右铭 1、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 2、把手握紧，什么也没有；把手伸开，你就拥有了一切。 3、不在打击面前退缩，不在困难面前屈服，不在挫折面前低头，不在失败面前却步。勇敢前进！ 4、当你能飞的时候就不要放弃飞。 5、当你能梦的时候就不要放弃梦。 激励向上人生格言 1、实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。 2、世界会向那些有目标和远见的人让路。 3、为了不让生活留下遗憾和后悔，我们应该尽可能抓住一切改变生活的机会。 4、无论你觉得自己多么的不幸，永远有人比你更加不幸。 5、无论你觉得自己多么的了不起，也永远有人比你更强。 6、打击与挫败是成功的踏脚石，而不是绊脚石。 激励自己的名言 1、忍别人所不能忍的痛，吃别人所别人所不能吃的苦，是为了收获得不到的收获。 2、销售是从被别人拒绝开始的。 3、好咖啡要和朋友一起品尝，好机会也要和朋友一起分享。 4、生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。 5、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。 6、有识有胆，有胆有识，知识与胆量是互相促进的。 7、体育锻炼可以（有时可以迅速）使人乐观（科学实验证明）。 8、勤奋，机会，乐观是成功的三要素。（注意：传统观念认为勤奋和机会是成功的要素，但是经过统计学和成功人士的分析得出，乐观是成功的第三要素） 9、自信是人格的核心。 10、获得的成功越大，就越令人高兴。
C
这里的结论,以后可以直接运用.
随堂练习P208
☞
A
我是最 棒的
1.直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个 内角是多少度?请证明你的结论. A
B A D E C
C
B
C
B
已知:如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=600, ∠C=700. 求证： ∠ADE=500.. 结论: 直角三角形的两个锐角互余.以后可以直接 运用.
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挫折的名言 1、 我觉得坦途在前，人又何必因为一点小障碍而不走路呢？——鲁迅 2、 “不耻最后”。即使慢，弛而不息，纵会落后，纵会失败，但一定可以达到他所向的目标。——鲁迅 3、 故天将降大任于是人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不能。 战胜挫折的名言 1、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。——贝多芬 2、每一种挫折或不利的突变，是带着同样或较大的有利的种子。——爱默生 3、我以为挫折、磨难是锻炼意志、增强能力的好机会。——邹韬奋 4、斗争是掌握本领的学校，挫折是通向真理的桥梁。——歌德 激励自己的座右铭 1、 请记得，好朋友的定义是：你混的好，她打心眼里为你开心；你混的不好，她由衷的为你着急。 2、 要有梦想，即使遥远。 3、 努力爱一个人。付出，不一定会有收获；不付出，却一定不会有收获，不要奢望出现奇迹。 4、 承诺是一件美好的事情，但美好的东西往往不会变为现实。 工作座右铭 1、 不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。——《荀子劝学》 2、 反省不是去后悔，是为前进铺路。 3、 哭着流泪是怯懦的宣泄，笑着流泪是勇敢的宣言。 4、 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。——屈原《离骚》 5、 每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路。 国学经典名句 1、知我者，谓我心忧，不知我者，谓我何求。（诗经王风黍离） 2、人而无仪，不死何为。 （诗经风相鼠） 3、言者无罪，闻者足戒。 （诗经大序） 4、他山之石，可以攻玉。 （诗经小雅鹤鸣） 5、投我以桃，报之以李。 （诗经大雅抑） 6、天作孽，犹可违，自作孽，不可活。（尚书） 7、满招损，谦受益。 （尚书大禹谟） 青春座右铭 1、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 2、把手握紧，什么也没有；把手伸开，你就拥有了一切。 3、不在打击面前退缩，不在困难面前屈服，不在挫折面前低头，不在失败面前却步。勇敢前进！ 4、当你能飞的时候就不要放弃飞。 5、当你能梦的时候就不要放弃梦。 激励向上人生格言 1、实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。 2、世界会向那些有目标和远见的人让路。 3、为了不让生活留下遗憾和后悔，我们应该尽可能抓住一切改变生活的机会。 4、无论你觉得自己多么的不幸，永远有人比你更加不幸。 5、无论你觉得自己多么的了不起，也永远有人比你更强。 6、打击与挫败是成功的踏脚石，而不是绊脚石。 激励自己的名言 1、忍别人所不能忍的痛，吃别人所别人所不能吃的苦，是为了收获得不到的收获。 2、销售是从被别人拒绝开始的。 3、好咖啡要和朋友一起品尝，好机会也要和朋友一起分享。 4、生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。 5、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。 6、有识有胆，有胆有识，知识与胆量是互相促进的。 7、体育锻炼可以（有时可以迅速）使人乐观（科学实验证明）。 8、勤奋，机会，乐观是成功的三要素。（注意：传统观念认为勤奋和机会是成功的要素，但是经过统计学和成功人士的分析得出，乐观是成功的第三要素） 9、自信是人格的核心。 10、获得的成功越大，就越令人高兴。
《三角形内角和》ppt课件
45°+45°+90°=180°
30°+60°+90°=180°
我发现了，他们两个的内 角和都等于180°。
是不是所有的三角形内 角和都是180°呢？接下 来就让我带你们一起探 索吧！
这里这么多三角形，我们怎么知道 他们的内角和到底是不是180°呢？
钝角三角形
锐角三角形
直角三角形
我们可以测量啊！可以把 他们每个角都测量出来， 然后加起来。
那小朋友们动起你们的 手来吧！
小新，我测出来的 是179°。
小新，我 测出来的 是180°。
小新，我测出来的怎 么是181°啊？
小朋友们，你们知道为什么 他们测量出的结果不一样呢？
哈哈，答对了，就是因为我们 在测量的时候出现了测量误差。
小朋友们，你们还有没 有更好的办法呢？
小新，我们可以把三角形 的三个角分别撕下来，然 后把他们的顶点放到同一 个点上拼起来。
今天的小新课堂就到这里 了，大家知道了任意三角 形内角和都等于180°！ 很棒哦！小朋友们，回家 找找你们喜欢的三角形， 用我们今天学的内容解决 生活中的问题吧!
谢谢观看
THANKS FOR WATCHING
三角形内角和
哈喽小朋友们，我是野 原新之助，你们可以叫 我小新哦！我今天在学 校学到了新的知识呢！ 风间也说我今天很棒哦。 大家看我今天带的这两 兄弟你们熟悉吗？
它们好像在吵架呢， 让我们一起看看它 们在吵什么吧！
怎么可能，明 明是我！我们 来比比！
我个头大，我的 内角和一定比你 的内角和大。
1 3
2
132
同学们，你们得出
了什么样的结论了
呢？
21 3
当三个角拼在一起的时候 刚好形成了平角耶！
30°+60°+90°=180°
我发现了，他们两个的内 角和都等于180°。
是不是所有的三角形内 角和都是180°呢？接下 来就让我带你们一起探 索吧！
这里这么多三角形，我们怎么知道 他们的内角和到底是不是180°呢？
钝角三角形
锐角三角形
直角三角形
我们可以测量啊！可以把 他们每个角都测量出来， 然后加起来。
那小朋友们动起你们的 手来吧！
小新，我测出来的 是179°。
小新，我 测出来的 是180°。
小新，我测出来的怎 么是181°啊？
小朋友们，你们知道为什么 他们测量出的结果不一样呢？
哈哈，答对了，就是因为我们 在测量的时候出现了测量误差。
小朋友们，你们还有没 有更好的办法呢？
小新，我们可以把三角形 的三个角分别撕下来，然 后把他们的顶点放到同一 个点上拼起来。
今天的小新课堂就到这里 了，大家知道了任意三角 形内角和都等于180°！ 很棒哦！小朋友们，回家 找找你们喜欢的三角形， 用我们今天学的内容解决 生活中的问题吧!
谢谢观看
THANKS FOR WATCHING
三角形内角和
哈喽小朋友们，我是野 原新之助，你们可以叫 我小新哦！我今天在学 校学到了新的知识呢！ 风间也说我今天很棒哦。 大家看我今天带的这两 兄弟你们熟悉吗？
它们好像在吵架呢， 让我们一起看看它 们在吵什么吧！
怎么可能，明 明是我！我们 来比比！
我个头大，我的 内角和一定比你 的内角和大。
1 3
2
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同学们，你们得出
了什么样的结论了
呢？
21 3
当三个角拼在一起的时候 刚好形成了平角耶！
三角形内角和定理课件
又∵∠1+∠2+∠3= 180°(平角的定义), ∴ ∠BAC+∠B+∠C= 180°(等量代换).
小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启示? 你有新的证法吗?
【试一试】
根据下面的图形,写出相应的证明. A
Q
R
B
P
C
B
(1) Q S P N
A
R
A S Q PN
R
M TC
(2)
MT
B
C
(3)
你还能想出其他证法吗?
3.在直角三角形ABC中,一个锐角为40°,则另一个锐角 是_______°.
【解析】直角三角形中有一直角为90°，所以另 外两锐角的和为90°，因为一个锐角为40°, 所以 另一个锐角是50°. 【答案】50
4.（红河·中考） 如图，D,E分别是AB,AC上的点，若 ∠A=70°，∠B=60°，DE∥BC，则∠AED的度数是____.
A
C
A
E
3 12
C
D
这里的CD,CE称为 辅助线,辅助线通常
画成虚线.
证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则 ∠1=∠A(两直线平行,内错角相等), ∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等).
又∵∠1+∠2+∠3= 180°(平角的定义), ∴∠A+∠B+∠ACB= 180° (等量代换).
同学们，你们知道其中的道理吗？
三角形的三个内角和是多少? 你有什么办法可以验证呢? 把三个角拼在一起试试看
从刚才拼角的过程你 能想出证明的办法吗?
1．掌握三角形内角和定理的证明及其简单应用. 2.初步掌握利用辅助线证明，体会思维转化和符号语 言的作用. 3.通过一题多解，初步体会思维的多向性，引导学生 的个性化发展.
小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启示? 你有新的证法吗?
【试一试】
根据下面的图形,写出相应的证明. A
Q
R
B
P
C
B
(1) Q S P N
A
R
A S Q PN
R
M TC
(2)
MT
B
C
(3)
你还能想出其他证法吗?
3.在直角三角形ABC中,一个锐角为40°,则另一个锐角 是_______°.
【解析】直角三角形中有一直角为90°，所以另 外两锐角的和为90°，因为一个锐角为40°, 所以 另一个锐角是50°. 【答案】50
4.（红河·中考） 如图，D,E分别是AB,AC上的点，若 ∠A=70°，∠B=60°，DE∥BC，则∠AED的度数是____.
A
C
A
E
3 12
C
D
这里的CD,CE称为 辅助线,辅助线通常
画成虚线.
证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则 ∠1=∠A(两直线平行,内错角相等), ∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等).
又∵∠1+∠2+∠3= 180°(平角的定义), ∴∠A+∠B+∠ACB= 180° (等量代换).
同学们，你们知道其中的道理吗？
三角形的三个内角和是多少? 你有什么办法可以验证呢? 把三个角拼在一起试试看
从刚才拼角的过程你 能想出证明的办法吗?
1．掌握三角形内角和定理的证明及其简单应用. 2.初步掌握利用辅助线证明，体会思维转化和符号语 言的作用. 3.通过一题多解，初步体会思维的多向性，引导学生 的个性化发展.
三角形内角和ppt课件
直角三角形的内角和等于180° ，其中两个锐角的度数之和为 90°。
直角三角形是轴对称图形，其 对称轴为直角边中垂线。
THANKS
感谢观看
在实际问题中的应用
测量角度问题
通过PPT展示如何利用三角形内角和定理解决实际测量角度的问题，如测量山 的高度、建筑物的角度等。
工程设计问题
介绍如何利用三角形内角和定理进行工程设计，如桥梁设计、建筑结构设计等 。
04
特殊三角形的内角和
等边三角形的内角和
等边三角形的三个内角都相等，每个角的大小为60°，因此其 内角和为180°。
三角形内角和ppt课件
目录
• 三角形内角和的定义 • 三角形内角和的证明方法 • 三角形内角和的应用 • 特殊三角形的内角和
01
三角形内角和的定义
什么是三角形的内角
01
三角形的内角是指三角形内部的 角，即相邻两边之间的夹角。
02
三角形有三个内角，分别为∠A、 ∠B和∠C，它们的大小在0°到 180°之间。
通过三角函数的加法定理，将三角形 的三个内角表示为两角之和的形式， 再利用诱导公式进行推导，最终得出 三角形内角和的性质。
常用的三角函数证明方法包括利用三 角函数的加法定理和诱导公式进行推 导。
03
三角形内角和的应用
在几何图形中的应用
三角形内角和定理证明
通过PPT展示不同证明方法，如通过 平行线、通过三角形全等或通过三角 形相似来证明三角形内角和为180度 。
三角形内角和的定义
三角形内角和是指三角形三个内角的度数之和。 三角形内角和的大小等于180°。
三角形内角和定理
三角形内角和定理是几何学中的基本 定理之一，它表明任何三角形的三个 内角之和等于180°。
5三角形内角和定理(第1课时)PPT课件(北师大版)
证法1:
过点A作DE∥BC. ∵DE∥BC, ∴∠1=∠B,∠2=∠C
D
A
E
12
3
(两直线平行,内错角相等).
∵∠1+∠2+∠3=180° B (平角的定义),
C
∴∠BAC+∠B+∠C=180°
(等量代换).
证法2：
过点A作AD∥BC.
∵AD∥BC，∴∠1=∠B(两直线平行，内错角相
等)，∠DAC+∠C=180°(两直线平行，同旁内角
4.在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：3：5， 求∠A，∠B，∠C的度数。
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为 x，3x，5x， 则x+3x+5x=180°， 解得x=20°， ∴∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°.
明字母，便于书写证明过程； (3)辅助线小画能小虚把辅线题助 ，目线 写中， 清可作 其利时 来用的隐藏条件显 露出来，化源难，为隐易藏。条件见
知识探究
怎样添加辅助线？
例题讲授
如 图 所 示 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ B=38° ， ∠ C=62°， AD 是 △ ABC 的 角 平 分 线 ， 求 ∠ADB的度数.
∵∠B=38°（已知），∠BAD=40°（已证），
∴∠ADB=180°-38°-40°=102°（等式的性质）.
课堂小结
证明的基本思想
运用辅助线将原三角形中处于不同位置的 三个内角集中在一起，拼成一个平角。辅 助线是联系命题的条件和结论的桥梁.
检测反馈
1.三角形三个内角的和等于 180 .
° 2.如下图所示的是三角形内角和定理的几种证 明方法，可分别记作 拼凑 法，作平行线 法，折叠
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的图形上添
画的线叫做
∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等).
又∵∠1+∠2+∠3= 180° (平角的定义), ∴∠A+∠B+∠ACB= 180° (等量代换).
辅助线。在
平面几何里， 辅助线通常
你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗? 画成虚线。
议一议
一题 多解
在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“
随堂练习
☞
A
我是最 棒的
A D E C
1.直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个 内角是多少度?
B A B C
C
B
2.
已知:如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=600, ∠C=700.
求证： ∠ADE=500.. 结论: 直角三角形的两个锐角互余.以后可以直接 运用.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.三角形的内角和是180°. 2、辅助线的作法技巧 通过平行线将三个内角拼在一起，得到一个平角或构造 同旁内角是常用方法. 3、三角形内角和定理简单应用
∴
B
∠B+ ∠BAC+ ∠1 = 180°
即 ∠B+ ∠BAC+ ∠C= 180°
思路总结
• 为了证明三个角的和为1800,转化 为一个平角或同旁内角互补,这种 转化思想是数学中的常用方法
• 例1： 在△ABC中，∠B=38°, ∠C=620,AD是△ABC的角平分线， A 求∠ADB的度数。
B D C
观察：∠A与∠1的数Fra bibliotek关系∠A与∠1的位置关系
根据所学知识,你能用自己的语言说
说这一结论的证明思路吗?同伴交流.
已知:如图,△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=180°. B
A
1
在这里，为 E
2
了证明的需 要，在原来
3
C
D
证明:作BC的延长线CD,过点C作射线CE∥AB,则 ∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),
当堂检测
• 1、在一个三角形中，下列说法错误的（）A．可以 有一个锐角和一个钝角B．可以有两个锐角C．可以 有一个锐角和一个直角D．可以有两个钝角 • 2、已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6， 则其最大内角的度数为( ) • A．60° B．75° C．90° D．120° • 3.△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，∠B=——。 • 4. △ABC中，∠A=50°，∠C=30 °，则∠B= — —。 • 5.如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到 一个四边形，则∠1+∠2=___度．
八年上册第七章第五节
三角形内角和定理
回顾与思考
☞
胜者的 “钥匙”
证明命题的一般步骤:
（１）根据题意，画出图形． （２）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证。 （３）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出 证明过程．
我们在小学已经学习了三角形内角和是180° 请同学利用撕纸验证三角形三个内角的和为180°
小明的想法已经变为现实,由此你受到
什么启发?你有新的证法吗?
试一试
☞
R Q C
S
根据下面的图形,交流一下证明思路. A Q B P Q
“行家” 看“门 道”
A
S
P
(2)
N
R
B
P
N
M
T
C
A R C
M
B
T
(3)
你还能想出其它证法吗?
探 索 交 流
A
1
D
证明：
C
作AD∥BC, 则∠ DAB+ ∠ B=180°, ∠ 1= ∠ C
• （1）△ABC中可以有3个锐角吗？ 3个直角 呢？ 2个直角呢？若有1个直角另外两角有什 么特点？ （2）△ABC中，∠C=90°，∠A=30°∠B= （3）∠A=50°∠B=∠C，则△ABC 中∠B= （4）三角形的三个内角中，只能有____个直 角或____个钝角． （5）任何一个三角形中，至少有____个锐角； 至多有____个锐角． （6）三角形中三角之比为1∶2∶3，则三个 角各为多少度？
凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以
吗?请你帮小明把想法化为实际行动.
证明:过点A作PQ∥BC,则 ∠1=∠B(两直线平行,内错角相等), ∠2=∠C(两直线平行,内错角相等),
P
13
A
2
Q
B
C
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换 ).