2013高三数学例题精选精练2.4

一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A ．y ＝－log 2x (x >0) B ．y ＝x 3
＋x (x ∈R) C ．y ＝3x
(x ∈R)
D ．y ＝－1
x
(x ∈R ，x ≠0)
解析：A 、C 选项中的函数不是奇函数，D 选项中的函数在定义域内不是增函数． 答案：B
2．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) ①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④
D ．②④
解析：由奇函数的定义验证可知②④正确． 答案：D
3．若函数f (x )＝ax ＋1
x
(a ∈R)，则下列结论正确的是( )
A ．∀a ∈R ，函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数
B ．∀a ∈R ，函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数
C ．∃a ∈R ，函数f (x )为奇函数
D ．∃a ∈R ，函数f (x )为偶函数
解析：当a ＝1时，函数f (x )在(0,1)上为减函数，A 错；当a ＝1时，函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，B 错；D 选项中的a 不存在．
答案：C
4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，
则( )
A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)
B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)
C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)
D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)
解析：∵f (x －4)＝－f (x )，∴T ＝8. 又f (x )是奇函数，∴f (0)＝0.
∵f (x )在[0,2]上是增函数，且f (x )＞0， ∴f (x )在[－2,0]上也是增函数，且f (x )＜0.
又x ∈[2,4]时，f (x )＝－f (x －4)＞0，且f (x )为减函数． 同理f (x )在[4,6]为减函数且f (x )＜0.如图．
∵f (－25)＝f (－1)＜0，f (11)＝f (3)＞0，f (80)＝f (0)＝0，∴f (－25)＜f (80)＜f (11)． 答案：D
5．定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，
下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )
A ．y ＝x 2
＋1 B ．y ＝|x |＋1
C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋1，x ≥0，x 3
＋1，x ＜0.
D ．y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
e x ，x ≥0，e －x
，x <0.
解析：利用偶函数的对称性知f (x )在(－2,0)上为减函数．又y ＝x 2
＋1在(－2,0)上为减
函数；y ＝|x |＋1在(－2,0)上为减函数；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋1，x ≥0，
x 3
＋1，x ＜0在(－2,0)上为增函数，y ＝
⎩⎪⎨⎪
⎧
e x
，x ≥0，e －x ，x ＜0
在(－2,0)上为减函数．
答案：C
6．若函数f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (2)＝0，则f x －f －x x
<0的解集为( )
A ．(－2,0)∪(0,2)
B ．(－∞，－2)∪(0,2)
C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D ．(－2,0)∪(2，＋∞)
解析：因为函数f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，f (2)＝0，所以x >2或－2<x <0时，f (x )>0；x <－2或0<x <2时，f (x )<0.f x －f －x x <0，即f x x
<0，可知－2<x <0
或0<x <2.
答案：A
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)
7．已知函数f (x )＝x 2
＋(m ＋2)x ＋3是偶函数，则m ＝________. 解析：本题考查了函数的奇偶性f (x )为偶函数，则m ＋2＝0，m ＝－2. 答案：－2
8．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数
a ＝________.
解析：令x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－x (1－x )， 又f (x )为奇函数，所以当x <0时有f (x )＝x (1－x )， 令f (a )＝a (1－a )＝－2，得a 2
－a －2＝0， 解得a ＝－1或a ＝2(舍去)． 答案：－1
9．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1
f x ，当1≤x ≤2时，f (x )
＝x －2，则f (6.5)＝________.
解析：由f (x ＋2)＝－
1
f x ，得f (x ＋4)＝－
1
f x ＋2＝f (x )，那么f (x )的周期是4，得f (6.5)＝f (2.5)．因为f (x )是偶函数，得f (2.5)＝f (－2.5)＝f (1.5)．
而1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，∴f (1.5)＝－0.5. 由上知：f (6.5)＝－0.5. 答案：－0.5
三、解答题(共3小题，满分35分) 10．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝lg 1－x 2
|x 2－2|－2
；
(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＋x x <0，
－x 2
＋x x >0.
解：(1)由⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x 2>0
|x 2
－2|－2≠0得定义域为(－1,0)∪(0,1)，这时f (x )＝lg 1－x 2
－x 2
－2－2
＝－
lg 1－x 2
x 2
.
∵f (－x )＝－lg[1－－x 2
]－x 2
＝－
lg 1－x 2
x 2
＝f (x )．
∴f (x )为偶函数． (2)当x <0时，－x >0，
则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－(x 2
＋x )＝－f (x )
当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2
－x ＝x 2
－x ＝－(－x 2
＋x )＝－f (x ) ∴对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝－f (x ) 故f (x )为奇函数．
11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2
＋2x ，x >0，0， x ＝0，
x 2＋mx ， x <0是奇函数．
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x <0，则－x >0，
所以f (－x )＝－(－x )2
＋2(－x )＝－x 2
－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2
＋2x ＝x 2
＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，
结合f (x )的图象知⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －2>－1，
a －2≤1，
所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．
12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2
.
(1)求证：f (x )是周期函数；
(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)． 解：(1)∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．
(2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得
f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2，
又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2
， ∴f (x )＝x 2
＋2x .
又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f (x －4)＝(x －4)2
＋2(x －4)． 又f (x )是周期为4的周期函数， ∴f (x )＝f (x －4) ＝(x －4)2
＋2(x －4) ＝x 2
－6x ＋8.
从而求得x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2
－6x ＋8. (3)f (0)＝0，f (2)＝0，
f (1)＝1，f (3)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＝0.
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝0.。