人教版八年级下册第17章：勾股定理的应用培优练习题(附答案)
(精练)人教版八年级下册数学第十七章 勾股定理含答案
人教版八年级下册数学第十七章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、在中，∠C=90°，sinA= ，则tanA=（）A. B. C.1 D.2、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A.1B.C.D.3、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AD＝CD＝4，AB=1，F为AD的中点，则F到BC的距离是（）．A.1B.2C.4D.84、直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A.90B.120C.121D.不能确定5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC．若CD=3，BC+AB=16，则△ABC的面积为（）A.16B.18C.24D.326、在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(－6,0),(0,8). 以点A为圆心,以AB长为半径画弧交x轴于点C,则点C的坐标为（）.A.(6,0)B.(4,0)C.(6,0)或(-16,0)D.(4,0)或(-16,0)7、如图，平面直角坐标系中，A点坐标为，点在直线上运动，设的值为，则下面能够大致反映w与m的函数关系的图象是（）A. B. C.D.8、如图，已知由16个边长为1的小正方形拼成的图案中，有五条线段PA、PB、PC、PD、PE，其中长度是有理数的有（）A.1条B.2条C.3条D.4条9、在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB²+BC²+AC²=（）A.2B.4C.6D.810、如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（）A.2B.C.D.11、一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )A.12米B.13米C.14米D.15米12、小明从一根长6m的钢条上截取一段后，截取的钢条恰好与两根长分别为3m、5m的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A.4mB. mC.4m或mD.6m13、如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，若C （0，9），D（0，﹣1），则线段AB的长度为（）A.3B.4C.6D.814、小明搬来一架 3.5 米长的木梯，准备把拉花挂在 2.8 米高的墙上，则梯脚与墙脚的距离为( )A.2.7 米B.2.5 米C.2.1 米D.1.5 米15、已知下列三角形的各边长：①3、4、5，②5、12、13，③3、4、6，④5、11、12其中直角三角形有（）A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题(共10题，共计30分)16、已知，点O为数轴原点，数轴上的A，B两点分别对应，，以AB 为底边作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为________.17、如图，已知圆柱的底面周长为6，高AB=3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到对面的A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为________．18、如图，扇形中，. 为弧上的一点，过点作，垂足为，与交于点，若，则该扇形的半径长为________19、图中是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若最大的正方形E的边长为3则正方形的面积之和为________.20、如图，一扇卷闸门用一块宽18cm，长80cm的长方形木板撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起________cm高．21、如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A处观测停放于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向150米处，船C在点A南偏东15°方向120米处，则船B与船C之间的距离为________米（精确到0.1 ）．22、如图，在等腰中，，，则边上的高是 ________ .23、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=4，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABEF，ACPQ，BDMC，记四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S 3、S4，则S1+S2+S3+S4=________．24、学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出CD=6m，AD=8m，BC=24m，AB=26m，AD⊥CD，那么需要绿化部分的面积为________.25、勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是把图1放入长方形内得到的，，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，中，于D．求及的长．27、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长．28、证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．29、已知如图，．求四边形的面积．30、如图，在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，D是BC的中点，求AD的长和△ABD的面积．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、C3、B4、A5、C6、D7、A8、B9、A10、D11、A12、C13、C14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、30、。
人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》171勾股定理同步练习题(含答案).docx
17.1《勾股定理》同步练习题一、选择题（每小题只有一个正确答案）1.在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）A. a = 15, b = & c = 17B. Q =9,b = 12, c = 15C. Q =7,h = 24, c = 25D. a = 3, b = 5, c = 72.如图所示：数轴上点A所表示的数为a,则“的值是（）•3-2 -1 0 1 • 2 3 4A. A/5+1B. V5-1C. -V5+1D. -V5-13.如图，在RtAABC屮，点E在AB上，把这个直角三角形沿CE折叠后，使点B恰好落在斜边AC的中点0处，若BC = 3,则折痕CE的长为（）A. V3B. 2A/3C. 3^3D. 64.如图，已知AB丄CD, AABD, A BCE都是等腰直角三角形.如果CD = 7, BE=3, 那么AC的长为（）D B CA. 8B. 5C. 3D. 45.如图，三个正方形中的两个的面积为：Sl=25, S2 = 144,则另一个的面积S3 为.（）A. 12B. 13C. 169D. 1946.在A ABC屮，ZA, ZB, ZC的对应边分别是a, b, c,若ZB = 90°,则下列等式中成立的是( )A. a2+b2=c2B. b2 + c2 = a2C. a2 + c2=b2D. c2—a2=b27.由下列条件不能判定AABC为直角三角形的是( )A. ZA+ZC=ZBB. a=—，b=—，c=—3 4 5C. (b+a) (b-a) =c2D. ZA： Z B： ZC=5： 3： 2二、填空题&木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm,宽为32cm,对角线为68cm,这个桌面________ (填”合格，域”不合格”).9.一个直角三角形的两直角边长分别为6、&则其斜边上的高为________ o10.如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7m,当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3m,木板顶端向下滑动了0.9m,则小猫在木板上爬动了____________ m.11.如图，有一个圆柱体，它的高为20,底面半径为5.如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表而爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为_____ (兀取3)12.已知AABC 的三边8、b、c 满足Q-5) 2+ (b-12) 2+c2-26c+169=0,则△ ABC 是三角三角形.三、解答题13.在RtAABC 中，ZC = 90°, ZA、ZB、ZC 的对边分别为a、b、c.⑴若a ： b=3 ： 4, c=75cm,求a、b；(2)若a： c=15 : 17, b=24,求Z\ABC 的面积；(3)若c—a=4, b=16,求a、c；(4)若ZA=30°, c=24,求c 边上的高he；(5)若a、b、c为连续整数，求a+b+c.14.如图，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E, AD=8, AB=4,(1)判断ABDE的形状并说明理由;(2)求A DEC'的面积.15.在RtAABC 中，ZC=-90° , BC=3, ACM.现在要将交ABC 扩充成等腰三角形, 且扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形的周长.赵佳同学是这样操作的：如图1所示，延长BC到点D,使CD二BC,连接AD.所以，AADB为符合条件的三角形.则此时△ADB的周长为_____________ .请你在图2、图3中再设计两种扩充方案，并直接写出扩充后等腰三角形的周长.参考答案1. D2. B3. B4. B5. C6. C7. B&合格9. 4.810. 2. 511.25解析：把圆柱侧面展开，展开图如图所示,点彳,〃的最短距离为线段的长，3020, /C为底面半圆弧长，AC=5T^15,所以MB = A/202 4- 152 = 25.则蚂蚁爬的最短路线长约为25.故答案为：25.12.直角13.(l)a=45cm. b = 60cm； (2)540； (3)a=30, c=34； (4)6V3； (5)12. 解析：⑴设a=3x,b=4x侧(3x)2 +(4町2 = 7S2/解得：x=15,故可得：a=45cm, b=60cm；(2)设a=15x,c=17x,M!|(17x)2一(15%)2 = 242, 解得：%=3,则 &=45,故厶ABC的面积=| x 45 x 24 = 540；(3)c2— a2 = b2 = 16勺即(c + a)(c — a) = 162 /丁c-a=4, ••• c + a = 64 /c — a = 4 c +a = 64,解得：｛a豐lc = 34.即a=30, c=34；(4)v LA = 30°, c = 24,••• a = 12,b = 12A/3/则扣b =|c x h c,解得：h c = 6V3；(5)设Q=X T,b=x, c=x+l,则可得：(X — 1)2 +送=(x + 1)2，解得：x=4,即a=3, b=4, c=5,故a+b+c=12.14.(1) ABDE是等腰三角形，理由见解析；(2) S ADEC-6.解：⑴厶BDE是等腰三角形，理由如下：由折叠可知，ZCBD=ZEBD f•: AD//BC,:.ZCBD=ZEDB,・・・ ZEBD=ZEDB,:.BE=DE,即是等腰三角形；(2)设QE=x,贝ij BE=x, 4E=8 - x,在Rt^ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即4?+(8 - x)2=x2, 解得：x=5, 所以S△肋尸学)氏/皆^5><4=10, 斯以S、DE W=S HBCE!~ *S，A5D^=^x8x4-10=6.所以△DEC的面积为6.15.16 10+2 苗丰解析：•・•在RUABC 中，ZC=90°, BC=3, AC=4, CD=BC, ・•・ AB=V32 + 42 = 5,则AD=AB=5,故此时AADB的周长为：5+5+6=16；如图2所示：AD=BD B寸，设DC=x,则AD=x+3, 在RtAADC 中，(x+3) 2=X2+42,解得：x£,6故AD=3+^ ,6 6则此时△ ADB的周长为：竺+至+5』；6 6 3如图3所示：AB=BD时，在RtAADC中，AD=“22 + 42 = 2V5,则此吋AADB的周长为：2^5+5+5=10+275.。
人教版八年级下册第17章《勾股定理》培优提高考试试题(附答案)
人教版八年级下册第17 章《勾股定理》培优提升试题一．选择题（共8 小题）1．以下条件中，不可以判断△ABC为直角三角形的是（）A ．a ＝ 1.5 b ＝ 2c ＝2.5B ． a ： b ： c ＝ 5： 12： 13C ．∠ A+∠B ＝∠ CD ．∠ A ：∠ B ：∠ C ＝ 3： 4： 52．如图是一株漂亮的勾股树，此中全部的四边形都是正方形，全部的三角形都是直角三角形，若最大正方形 G 的边长是 6cm ，则正方形 A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 的面积之和是 （ ）A ．18cm 2B ．36cm 2C ． 72cm 2D ． 108cm23．现有两根木棒的长度分别为40 厘米和 50 厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所 需木棒的长必定为（）A ．30 厘米B ．40 厘米C ． 50 厘米D ．以上都不对4．在△ ABC 中，∠A ＝ 30°， AB ＝ 4， BC ＝，则∠ B 为（）A ．30°B ．90°C ． 30°或 60°D ． 30°或 90° 5．如图，一架25 米的梯子AB 靠在一座建筑物AO上，梯子的底部B 距离建筑物AO 的底部 O 有7 米（即BO ＝ 7 米），假如梯子顶部A 下滑4 米至A 1，则梯子底部B 滑开的距离BB 1 是（）A ．4 米B ．大于 4 米C ．小于 4 米D ．没法计算6．为比较与的大小，小亮进行了以下剖析后作一个直角三角形，使其两直角边的长分别为与，则由勾股定理可求得其斜边长为．依据“三角形三边关系” ，可得．小亮的这一做法表现的数学思想是（）A ．分类议论思想C．类此思想B．方程思想D．数形联合思想7．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是 3 和 6 ，则中间小正方形与大正方形的面积差是（）A ．9B ．36C． 27D． 348．如图是由“赵爽弦图”变化获得的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD 、正方形EFGH 、正方形 MNPQ 的面积分别为S1、 S2、 S3．若 S1+S2+S3＝ 60，则 S2的值是（）A ．12B ．15 C． 20 D． 30二．填空题（共 6 小题）9．直角三角形的斜边长是5，向来角边长是 3，则此直角三角形另向来角边是．10．设 a＞ b，假如 a+b，a﹣ b 是三角形较小的两条边，当第三边等于时，这个三角形为直角三角形．11．有一棵 9 米高的大树，树下有一个 1 米高的儿童，假如大树在距地面 4 米处折断（未完全折断），则儿童起码走开大树米以外才是安全的．12．如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°， AC＝ 4， BC＝ 3，将△ ABC 扩大为等腰三角形ABD ，使扩大的部分是以AC 为直角边的直角三角形，则CD 的长为．13．一种盛料的柱形杯，得内部底面半径 2.5cm，高12cm，吸管放杯里（如所示），杯口外面起码要露出 3.6cm，省资料，管acm 的取范是．14．勾股定理a 2+b2＝ c2自己就是一个对于a， b， c 的方程，足个方程的正整数解（a，b， c）往常叫做勾股数．达哥拉斯学派提出了一个结构勾股数的公式，依据公式能够结构出以下勾股数：（ 3， 4，5），（ 5，12， 13），（ 7， 24，25），⋯．剖析上边勾股数能够，4＝ 1×（ 3+1）， 12＝2×（ 5+1 ）， 24＝ 3×（ 7+1 ），⋯剖析上边律，第 5 个勾股数．三．解答（共 6 小）15．一个部件的形状如所示，工人傅按定做得∠B＝90°， AB＝ 3，BC＝ 4，CD ＝ 12，AD＝ 13，若是是一板，你能帮工人傅算一下板的面？16．如图，巷子左右双侧是竖着的墙，两墙相距2.2 米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端距离地面 2.4 米．假如保持梯子底端地点不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 2 米．梯长多少米？17．如图，在△ABC 中，∠ ACB＝ 90°， BC＝ 15， AC＝ 20，CD 是高．（1）求 AB 的长；（2）求△ ABC 的面积；（3）求 CD 的长．18．如图，点C 在线段 BD 上， AC ⊥BD，CA＝ CD ，点 E 在线段 AC 上，且 CE＝CB，若已知BC＝ a， AC＝ b， AB＝ c，请借助这个图形证明勾股定理．19．勾股定理神奇而美好，它的证法多样，其奇妙各有不一样，此中的“面积法”给了小聪以灵感，他欣喜的发现，当两个全等的直角三角形如图 1 或图 2 摆放时，都能够用“面积法”来证明，请你利用图 1 或图 2 证明勾股定理（此中∠DAB ＝90°）2 2 2求证： a +b ＝ c ．20．阅读下边的资料，而后解答问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的 2 倍的三角形叫做奇怪三角形．理解：① 依据奇怪三角形的定义，请你判断：等边三角形必定是奇怪三角形吗？（填“是”或“不是”）②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形（填“是”或“不是” ）奇怪三角形．研究：在Rt△ ABC 中，两边长分别是 a、 c，且 a 2＝ 50， c2＝100，则这个三角形是不是奇怪三角形？请说明原因．拓展：在Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AB＝ c，AC ＝b， BC＝ a，且 b＞ a，若 Rt△ABC 是奇怪三角形，求 a 2： b2：c2．参照答案一．选择题（共 8 小题）2 2 2切合勾股定理的逆定理，故△ABC 为直角三角形；1．【解答】 解： A 、由于 1.5 +2 ＝ 2.5 B 、由于 a ： b ： c ＝ 5： 12： 13，因此可设 a ＝ 5x ， b ＝ 12x ，c ＝ 13x ，则（ 5x ） 2+（ 12x ）2＝（ 13x ） 2，故△ ABC 为直角三角形；C 、由于∠ A+∠B ＝∠ C ，∠ A+∠ B+∠ C ＝ 180°，则∠ C ＝ 90°，故△ ABC 为直角三角形；D 、由于∠ A ：∠ B ：∠ C ＝ 3：4：5，因此设∠ A ＝ 3x ，则∠ B ＝ 4x ，∠ C ＝ 5x ，故 3x+4x+5x＝ 180°，解得 x ＝15°， 3x ＝15× 3＝ 45°， 4x ＝ 15× 4＝ 60°， 5x ＝ 15×5＝ 75°，故此三角形是锐角三角形．应选： D ．2．【解答】 解：由图可得， A 与 B 的面积的和是 E 的面积； C 与 D 的面积的和是 F 的面积；而 E ， F 的面积的和是 G 的面积．即 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、F 、 G 的面积之和为 3 个 G 的面积． ∵ G 的面积是 62＝ 36cm 2，∴ A 、 B 、 C 、 D 、 E 、F 、 G 的面积之和为 36× 3＝ 108cm 2．应选： D ．3．【解答】 解：本题要分两种状况：（ 1）当 50 是直角边时，所需木棒的长是 ＝ 10；（ 2）当 50 是斜边时，所需木棒的长是30．应选： D ．4．【解答】 解：本题存在两种状况：（ 1）依据 BC 2＝ AC 2+AB 2﹣ 2AC?AB?cosA 计算得 AC ＝＝ BC ，即∠ B ＝∠ A ＝ 30°．（ 2）依据 BC 2＝ AC 2+AB 2﹣ 2AC?AB?cosA计算得 AC ＝＝ 2BC ，即∠ B ＝ 90°．因此本题答案为 30°或许 90°． 应选： D ．5．【解答】 解：在直角△ OAB 中， AB ＝ 25，当 BO ＝ 7 时， AO ＝＝ 24 米，当下滑 4 米到 A 1 点时，即OA 1＝ 20 米，∴ OB 1＝＝ 15 米，而 OB ＝ 7 米，因此 BB 1＝8 米，大于 4 米，故本题答案为大于 4 米，应选： B．6 ．【解答】解：比较与的大小，根据“ 三角形三边关系”，可得，小亮的这一做法表现的数学思想是数形联合思想，应选： D ．7．【解答】解：依据题意得：小正方形的面积＝（6﹣ 3）2＝ 9，大正方形的面积＝32+62＝ 45，45﹣ 9＝ 36．应选： B．8．【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则 S1＝ 4m+S2， S3＝ S2﹣ 4m，由于 S1 2 3＝ 60，+S +S因此 4m+S2+S2+S2﹣ 4m＝ 60，即3S2＝60，解得 S2＝20．应选：C．二．填空题（共 6 小题）9．【解答】解：由勾股定理得，直角三角形另向来角边＝＝ 4，故答案为： 4．10 ．【解答】解：由于三角形为直角三角形，因此第三边等于＝．11．【解答】解：如图，BC 即为大树折断处4m 减去儿童的高1m，则 BC＝ 4﹣ 1＝ 3m， AB＝ 9﹣ 4＝ 5m，在 Rt△ABC 中， AC＝＝＝4．12．【解答】解：分三种状况：①如图 1 所示：当AD ＝ AB 时，由AC⊥ BD，可得 CD ＝ BC＝ 3；②如图 2 所示：当AD ＝ BD 时，设CD ＝x，则 AD ＝ x+3，在Rt△ADC 中，由勾股定理得：（ x+3 ）2＝ x2+42，解得： x＝，∴CD ＝；③如图 3 所示：当 BD ＝ AB 时，在 Rt△ABC 中， AB＝＝＝5，∴ BD＝ 5，∴ CD ＝ 5﹣ 3＝ 2；综上所述： CD 的长为 3 或或2．故答案为： 3 或或2．13．【解答】解：吸管放进杯里垂直于底面时最短为12+3.6 ＝ 15.6（ cm）；最长时与底面直径和高正好构成直角三角形，底面直径为2× 2.5＝ 5（ cm）．杯里面部分管长为＝ 13（ cm），总长为13+3.6＝ 16.6（cm），故管长 acm 的取值范围是15.6cm≤ a≤16.6cm．故答案 ： 15.6cm ≤ a ≤ 16.6cm ．14．【解答】 解：由勾股数 ： （ 3， 4，5），（ 5，12， 13），（ 7， 24，25）⋯中， 4＝ 1×（ 3+1 ），12＝ 2×（ 5+1 ）， 24＝ 3×（ 7+1），⋯可得第 4 勾股数中 的数 4×（ 9+1）＝ 40，即勾股数 （ 9， 40， 41）；第 5 勾股数中 的数 ： 5×（ 11+1）＝ 60，即（ 11， 60， 61），故答案 ：（ 11， 60， 61）．三．解答 （共6 小 ）2 2222215．【解答】 解：∵ 4 +3＝ 5 ， 5 +12 ＝ 13 ，即 AB 2+BC 2＝ AC 2，故∠ B ＝ 90°，同理，∠ ACD ＝90°，∴ S 四边形 ABCD ＝ S △ ABC +S △ ACD＝ × 3× 4+ × 5× 12＝ 6+30 ＝ 36．答： 板的面 等于 36． 16．【解答】 解： AC ＝x ， BC ＝ 2.2 x ，由 意，∠ DAC ＝∠ EBC ＝90°，∴ AC 2+AD 2＝ BC 2+BE 2，∴ x 2+2.42＝（ 2.2 x ） 2+2 2， 解得 x ＝0.7，∴ CD ＝ 2.5，答：梯 2.5 米．17．【解答】 解：（ 1）由勾股定理得， AB ＝ ＝ 25；（ 2）△ ABC 的面 ＝ × BC × AC ＝ 150；（ 3）由三角形的面 公式可得，× AB × CD ＝ 150CD ＝＝ 12．18．【解答】 明∵ AC ⊥BD ， ∴∠ ECD ＝∠ ACB ＝ 90°，∵ CA ＝ CD ，CE ＝ CB ， ∴△ECD ≌△ BCA （ SAS ），∴ AB ＝ ED ，∠ BAC ＝∠ EDC ，∵∠ AEF ＝∠ DEC ，∠ EDC +∠ DEC ＝ 90°， ∴∠ BAC+∠ AEF ＝∠ EDC +∠ DEC ＝ 90°， ∴∠ AFE ＝180° （∠ BAC+∠ AEF ）＝ 90°， ∴ DF ⊥ AB ．∴ S △ABD ＝ S △BCE +S △ ACD +S △ABE＝ a 2+ b 2+ c?EF ，∵ S △ABD ＝ c?DF ＝ c （ EF+DE ）＝ c （EF +c ），∴ a 2+ b 2+ c?EF ＝ c （ EF+c ），∴ a 2+b 2 ＝c 2．19．【解答】 解：利用图 1 进行证明：证明：∵∠ DAB ＝ 90°，点 C ， A ， E 在一条直线上， BC ∥ DE ，则 CE ＝ a+b ，∵ S 四边形 ＝ S △ +S △ ABD +S △ AED ＝ ab+ c 2BCED ABC+ ab ， 又∵ S 四边形 BCED ＝ （ a+b ） 2，∴ ab+ c 2+ ab ＝ （ a+b ）2，2 22∴ a +b ＝c ．利用图 2 进行证明：证明：如图，连接 DB ，过点 D 作 BC 边上的高 DF ，则 DF ＝ EC ＝ b ﹣ a ，∵ S 四边形 ADCB＝ S △ACD +S △ABC ＝ b 2+ ab ．又∵ S 四边形 ADCB ＝ S △ ADB +S △DCB ＝ c 2+ a （ b ﹣ a ），∴ b 2+ ab ＝ c 2+ a （ b ﹣ a ），∴ a 2+b 2 ＝c 2．20．【解答】 解： ① 设等边三角形的边长为a ，∵ a 2+a 2 ＝2a 2，∴等边三角形必定是奇怪三角形， 故答案为：是；② ∵ 12+（ ）2＝2× 22， ∴该三角形是奇怪三角形， 故答案为：是；研究：当 c 为斜边时， b 2＝c 2﹣ a 2＝ 50，Rt △ ABC 不是奇怪三角形；当 b 为斜边时， b 2＝ c 2+a 2＝150， ∵ 50+150＝ 2× 100，∴ Rt △ABC 是奇怪三角形；∴ a 2+b 2＝ 2c 2∴ Rt △ABC 是奇怪三角形拓展： Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90°，人教版八年级下册第17章《勾股定理》培优提高考试试题(附答案)2 22 ∴ a +b ＝c ，∵ c ＞ b ＞ a ，∴ 2c 2＞ b 2+a 2， 2a 2＜b 2+c 2，∵ Rt △ABC 是奇怪三角形，∴ 2b 2＝ a 2+c 2，∴ 2b 2＝ a 2+a 2+b 2，∴ b 2＝ 2a 2，2 2 2∵ a +b ＝c ，∴ c 2＝ 3a 2，∴ a 2： b 2： c 2＝ 1：2： 3．。
八年级数学人教版下册《第17章勾股定理》综合培优训练(附答案)
2020-2021年度人教版八年级数学下册《第17章勾股定理》综合培优训练（附答案）1．已知点P（3m，4﹣4m）为平面直角坐标系中一点，若O为原点，则线段PO的最小值为（）A．2B．2.4C．2.5D．32．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（）A．8，10，12B．3，4，5C．5，12，13D．7，24，253．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），且OA＝5，在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则所有符合题意的点P的坐标有（）A．3个B．4个C．5个D．6个4．为了打造“绿洲”，计划在市内一块的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10米，BC ＝15米，∠B＝150°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需（）元．A．75a B．50a C．a D．150a5．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，点F为CD上一点，连接AF交BD于点E，AF⊥AB，DE＝DF，∠BAG＝∠ABC＝45°，BC+AG＝20，AE＝2EF，则AF＝．6．在△ABC中，AB＝4，∠A＝30°，AC＝3，点O是△ABC内一点，则点O到△ABC三个顶点的距离和的最小值是．7．如图，已知四边形ABCD中，∠BCD＝60°，连接AC、BD交于点E，BE＝2ED＝4．若CE＝2AE，则AC的最大值为．8．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，D为BC的中点，AD⊥AB，则AC的长为．9．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC的延长线上，连接AD，CD＝1，BC＝12，∠DAB＝30°，则AC＝．10．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为BC边上一点，若△ABD为“准互余三角形”，则BD的长为．11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°，若CD＝4，则DE长为．12．如图，四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，A、B、N、E、F五点在同一直线上，且正方形ABCD、EFGH面积分别是4和9，则正方形NHMC的面积是．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是边AC上一动点，过点D 作DE∥AB，交BC于点E，F为线段DE的中点．当BF平分∠ABC时，AD的长度为．14．如图在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BA延长线上，连接DC，若∠ACD＝2∠B，AB＝3，AD＝2，则CD的长为．15．图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，则以第n个三角形的斜边长为边长的正方形的面积为．16．一块钢板形状如图所示，量得AB＝3，BC＝4，AC＝5，CD＝12，AD＝13，请你计算一下这块钢板的面积．17．已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D．（1）若∠A＝36°，求∠DCB的度数；（2）若AB＝10，CD＝6，求BC的长．18．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）19．如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．（1）求△ABC的面积；（2）通过计算判断△ABC的形状；．（3）求AB边上的高．20．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A →B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长；（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？21．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：m 2 3 3 4…n1123…a22+1232+1232+2242+32…b4 6 1224 …c22﹣1232﹣1232﹣2242﹣32…其中m、n为正整数，且m＞n．（1）观察表格，当m＝2，n＝1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a＝，b＝，c＝．（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．参考答案1．解：根据题意知：PO＝＝．当m＝时，PO最小值＝＝＝2.4．所以线段PO的最小值为2.4．故选：B．2．解：A、∵82+102≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故A选项符合题意；B、∵32+42＝52，∴三条线段能组成直角三角形，故B选项不符合题意；C、∵52+122＝132，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项不符合题意；D、∵72+242＝252，∴三条线段能组成直角三角形，故D选项不符合题意；故选：A．3．解：如图所示：①AO＝AP时，有1个；②AO＝PO时，有2个；③AP＝PO时，有1个；一共4个．故选：B．4．解：如图，作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D，∵∠ABC＝150°，∴∠DBC＝30°，∵CD⊥BD，BC＝15米，∵AB＝10米，∴S△ABC＝AB×CD＝×10×7.5＝37.5（平方米），∵每平方米售价2a元，∴购买这种草皮至少为37.5×2a＝75a（元），故选：A．5．解：延长AF、BC，交于点H，如图：∵AF⊥AB，∠ABC＝45°，∴∠BAH＝90°，∠AHB＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABH为等腰直角三角形，∴AH＝AB，∵∠BAH＝90°，∠BAG＝45°，∠AHB＝45°，∴∠GAE＝∠BAG＝∠AHB＝45°，∵AC⊥BD，∴∠ABG+∠BAC＝90°，∵∠BAC+∠HAC＝∠BAH＝90°，∴∠ABG＝∠HAC，在△ABG和△HAC中，，∴△ABG≌△HAC（ASA），∴AG＝HC，BH＝BC+CH＝BC+AG＝20，在等腰直角三角形△ABH中，AH＝AB，∠BAH＝90°，由勾股定理得：AB2+AH2＝BH2，∵AE＝2EF，∴设EF＝x，则AE＝2x，∵DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE，∴∠AEG＝∠HFC，∵∠AHB＝∠GAE＝45°，∴∠AGE＝135°﹣∠HFC＝∠FCH，在△AGE和△HCF中，，∴△AGE≌△HCF（AAS），∴FH＝AE＝2x，∴AH＝AE+EF+FH＝5x＝20，解得：x＝4，∴AF＝AE+EF＝3x＝12，故答案为：12．6．解：如图，分别以OA和AB边向外作等边三角形ABD和AOE，连接OC，OB，ED，CD，∵△ABD和△AOE都是等边三角形，∴AE＝AO，AD＝AB，∠OAE＝∠BAD＝60°，∴∠DAE＝∠BAO，在△AED和△AOB中，，∴△AED≌△AOB（SAS），∴DE＝OB，∴OA+OB+OC＝OE+DE+OC，当点C，O，E，D四点共线时，OE+DE+OC的值最小，此时OA+OB+OC＝OE+DE+OC＝CD，∵∠BAC＝30°，∠BAD＝60°，∴∠DAC＝90°，又AB＝4，AC＝3，在Rt△ADC中，CD＝＝＝5．故答案为：5．7．解：如图，作△BCD的外接圆⊙O，连接OB，OD，OC，OE，过点O作OH⊥BD于H．∵BE＝2ED＝4，∴DE＝2，BD＝4+2＝6，∵∠BOD＝2∠BCD＝120°，OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝30°，∵OH⊥BD，∴BH＝HD＝3，∴OH＝，OB＝2OH＝2，∴HE＝BE﹣BH＝4﹣3＝1，∴OE＝＝＝2，∵EC≤OE+OC，∴EC≤2+2，∴EC的最大值为2+2，∵EC＝2AE，∴AE的最大值为1+，∴AC的最大值为3+3．故答案为3+3．8．解：如图，作CE⊥AD交AD的延长线于E．∵∠BAD＝∠E＝90°，∠ADB＝∠EDC，BD＝DC，∴△ADB≌△EDC（AAS），∴AB＝EC＝4，∵∠BAC＝120°，∠EAC＝30°，∴AC＝2EC＝8，故答案为8．9．解：过点B作BE⊥AD于点E，AH⊥BC于H．设AB＝AC＝x．在Rt△ABE中，∵∠BAE＝30°，AB＝x，∴BE＝AB＝x，AE＝BE＝x，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴CH＝BH＝6，在Rt△AHB中，AH2＝x2﹣62，在Rt△DBE中，DE＝＝，在Rt△ADH中，AD＝＝，∵AE+DE＝AD，∴x+＝，整理得：x4﹣13×51x﹣（12×13）2＝0，解得x2＝13×48或13×3（舍弃），∵x＞0，∴x＝4，经检验：x＝4是无理方程的解，∴AC＝4，故答案为4．10．解：作DM⊥AB于M．设∠BAD＝α，∠B＝β．①当2α+β＝90°时，∵α+β+∠DAC＝90°，∴∠DAC＝∠DAB，∵DM⊥AB，DC⊥AC，∴DM＝DC，∵∠DMA＝∠C＝90°，DM＝DC，AD＝AD，∴Rt△ADC≌Rt△ADM（HL），∴AM＝AC＝3，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∴BM＝5﹣3＝2，设BD＝x，则CD＝DM＝4﹣x，在Rt△BDM中，则有x2＝（4﹣x）2+22，解得x＝．∴BD＝．②当α+2β＝90°时，∵α+β+∠DAC＝90°，∴∠DAC＝β＝∠B，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴AC2＝CD•CB，∴CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝4﹣＝．故答案为或．11．解：如图：过C点作CF∥AB交AD于点F，∵AD∥BC，∴四边形ABCF是平行四边形，∴CF＝AB，BC＝AF，设BC＝AF＝a，∵AD∥BC，∠BCD＝90°，∠DAC＝45°，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∴AD＝CD＝4，∴DF＝AD﹣AF＝4﹣a，∵AB＝BC+AD，∴CF＝AB＝a+4．在Rt△CDF中，根据勾股定理，得（a+4）2＝（4﹣a）2+42，解得a＝1，∴BC＝1，AB＝5．作EH⊥AB于点H，∵∠EAB＝45°，∴∠AEH＝45°，∴AH＝EH＝AE．设DE＝x，则CE＝4﹣x，在Rt△ADE中，AE＝，S△ADE＝AD•DE＝2x．在Rt△BCE中，S△BCE＝BC•CE＝（4﹣x）．在Rt△ABE中，S△ABE＝AB•EH＝．S梯形ABCD＝CD（BC+AD）＝10．S梯形ABCD＝S△ADE+S△BCE+S△ABE，即10＝2x+（4﹣x）+．整理得：7x2+192x﹣112＝0，解得：x＝或x＝﹣28（舍去）．所以DE的长为．故答案为．12．解：∵四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形∴CN＝NH，∠CNH＝90°，∠CBN＝∠NEH＝90°，∵∠BCN+∠BNC＝90°，∠BNC+∠ENH＝90°，∴∠BCN＝∠ENH，∴△CBN≌△NEH（AAS）∴BC＝NE，BN＝EH∵正方形ABCD、EFGH面积分别是4和9，∴BC＝2，BN＝3∴CN＝∴正方形NHMC的面积是13．故填：13．13．解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵DE∥AB，∴∠1＝∠3，又∵BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2．∴∠1＝∠3．∴EB＝EF．∴ED＝2BE，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴＝＝，即＝＝，解得，CD＝，∴AD＝CA﹣CD＝4﹣＝，故答案是：．14．解：在BA上取一点E，使得EB＝EC．设EB＝EC＝x．∵EB＝EC，∴∠E＝∠ECB，∴∠AEC＝2∠B，∵∠ACD＝2∠B，∴∠AEC＝∠ACD，∵∠AEC+∠ACE＝90°，∠ACD+∠D＝90°，∴∠ACE＝∠D，∴△EAC∽△ECD，∴＝，∠EAC＝∠ECD＝90°∴EC2＝EA•ED，∴x2＝（3﹣x）（5﹣x），∴x＝，∴EC＝，DE＝5﹣＝，∴CD＝＝．故答案为：15．解：第n个三角形的斜边长为边长的正方形的面积即为第n个三角形的斜边长的平方．第一个三角形的斜边长OA1＝，第二个三角形的斜边长OA2＝同理：OA3＝…，OA n＝则第n个的斜边长为边长的正方形的面积为n+1．16．解：∵42+32＝52，52+122＝132，即AB2+BC2＝AC2，故∠B＝90°，同理，∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝×3×4+×5×12＝6+30＝36．17．解：（1）在△ABC中，∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝＝72°．∵CD⊥AB于点D，∴∠DCB＝90°﹣72°＝18°；（2）∵△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，AB＝10，CD＝6，∴AC＝AB＝10．设BD＝x，则AD＝10﹣x，在Rt△ACD中，∵AC2＝CD2+AD2，即102＝62+（10﹣x）2，解得x＝2．在Rt△BCD中，∵BC2＝CD2+BD2，即BC2＝62+22＝40，∴BC＝＝2．18．解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；根据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v＝＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．19．解：（1）△ABC的面积＝4×4﹣×4×2﹣×2×1﹣×3×4＝5；（2）由勾股定理得：AC2＝42+22＝20，BC2＝22+12＝5，AB2＝32+42＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（3）∵AC＝＝2，BC＝，△ABC是直角三角形，∴AB边上的高＝＝＝2．20．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴有勾股定理得AC＝8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm∴出发2秒后，则CP＝2cm，那么AP＝6cm．∵∠C＝90°，∴由勾股定理得PB＝2cm∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝6+10+2＝（16+2）cm；（2）如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D，∵BP平分∠ABC，∴PD＝PC．在Rt△BPD与Rt△BPC中，，∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），∴BD＝BC＝6 cm，∴AD＝10﹣6＝4 cm．设PC＝x cm，则P A＝（8﹣x）cm在Rt△APD中，PD2+AD2＝P A2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴当t＝3秒时，AP平分∠CAB；（3）若P在边AC上时，BC＝CP＝6cm，此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；若P在AB边上时，有两种情况：①若使BP＝CB＝6cm，此时AP＝4cm，P运动的路程为12cm，所以用的时间为12s，故t＝12s时△BCP为等腰三角形；②若CP＝BC＝6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，根据勾股定理求得BP＝7.2cm，所以P运动的路程为18﹣7.2＝10.8cm，∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；③若BP＝CP时，则∠PCB＝∠PBC，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴P A＝PC ∴P A＝PB＝5cm∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．∴t＝6s或13s或12s或10.8s时△BCP为等腰三角形．21．解：（1）当m＝2，n＝1时，a＝5、b＝4、c＝3，∵32+42＝52，∴a、b、c的值能为直角三角形三边的长；（2）观察得，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2；（3）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，∵a2＝（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，b2+c2＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2＝m4+2m2n2+n4，∴a2＝b2+c2，∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．。
人教版八年级数学下册第十七章 勾股定理练习(含答案)
人教版八年级数学下册第十七章 勾股定理练习（含答案）一、单选题1．在Rt△ABC 中，△C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则斜边上的高CD 的长为（ ）A ．125BC ．52D ．2．下列四组数中不是勾股数的是（ ）A ．3，4，5B ．2，3，4C ．5，12，13D ．8，15，17 3．满足下列条件的是直角三角形的是（ ）A ．4BC =，5AC =，6AB = B ．13BC =，14AC =，15AB = C ．::3:4:5BC AC AB = D ．::3:4:5A B C ∠∠∠=4．如图,在ABC ∆中,90C ∠=︒,2AC =,点D 在BC 上,AD =ADC 2B ∠=∠,则BC的长为（ ）A 1B 1C 1D 1 5．如图，点A 表示的实数是（ ）A B C ．1D ．16．如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行A ．8米B ．10米C ．12米D ．14米7．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（ ）cm ．A ．14B ．15C ．16D ．178．如图，网格中每个小正方形的边长均为 1，点 A ，B ，C 都在格点上，以 A 为圆 心 ，AB 为半径画弧，交最上方的网格线于点 D ， 则图中线段CD 的长是（ ）A ．0.8 BC 2D ．39．如图为一个66⨯的网格，在ABC ∆，A B C '''∆和A B C ''''''∆中，直角三角形有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．310．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形二、填空题11．如图，在高3米，坡面线段距离AB 为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需 米．12．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()6,8-，则OP 的长是________．13．如图，某人欲从点A 处入水横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸的地点C 偏离欲到达的地点B200m ，结果他在水中实际游了250m ，求该河流的宽度为________m.14．如图，在四边形ABCD 中，3AB =，13BC =，12CD =，4=AD ，且90A ∠=︒，则四边形ABCD 的面积是______.三、解答题15．已知：在ACB △中，90ACB ∠=︒，3BC =，4AC =，CD AB ⊥于D ． （1）求AB 的长；（2）求CD 的长；（3）求BD 的长．16．如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，长BC 为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长．17．（1）在ABC V 中，90C ∠=︒，18AC =，24BC =，CD AB ⊥，D 为垂足．求△AB 的长；△CD 的长．（2）如图，一架25dm 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，梯子底端B 到墙的距离7BO dm =．移动梯子使底端B 外移至点D ，8BD dm =，求梯子顶端A 沿墙下滑的距离AC 的长．18．如图，把一块三角形()ABC △土地挖去一个直角三角形()90ADC ∠=︒后，测得6CD =米，8AD =米，24BC =米，26AB =米．求剩余土地(图中阴影部分)的面积．答案1．A 2．B 3．C 4．B 5．B 6．B 7．B8．D9．C10．B11．712．1013．15014．3615．（1）5AB =；（2）125CD =；（3）95BD =． 16．3cm ．17．（1）△30；△14.4；（2）4．18．剩余土地(图中阴影部分)的面积为296m。
人教版 八年级数学下册 第17章 勾股定理 培优练习(含答案)
人教版 八年级下册 第17章 勾股定理 培优练习（含答案）一、单选题（共有6道小题）1.下列各组数能构成直角三角形三边长的是（ ）．A ．1，2，3B ．4，5，6C ．12，13，14D ．9，40，412.下列数组为三角形的边长：（1）5，12，13；（2）10，12，13；（3）7，24，25；（4）6，8，10，其中能构成直角三角形的有（ ）A ．4组B ．3组C ．2组D ．1组3.如图，长方形ABC D 中，A B ＝3，BC ＝1，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线A C 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 表示的数是（ ）A :2B :5-1C :10-1 D:54.如图，在矩形ABCD 中，AB =8 ，BC=16，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为 ( )A ．6B ．12C ．25D ．455.如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，点E 在BC 上，把这个矩形沿EF 折叠后，点D 恰好落在BC 边上的G 点处，若矩形面积为34,且∠AFG=60°，GE=2BG ，则折痕EF 的长为（ ）A.1B.3C.2D.326.在等腰△ABC 中，∠ACB ＝90°，且AC ＝1．过点C 作直线l ∥AB ，P 为直线l 上一点，且–1–212MB AC 0D'E F D B CA 60°E H G FD A B CAP ＝AB ．则点P 到BC 所在直线的距离是（ ）A ．1B ．1或132-+C ．1或132+D ．132-+或132+ 二、填空题（共有9道小题）7.如图，图中的数字代表正方形的面积，则正方形A 的面积为 。
8.如图所示,数轴上表示1，3的点为A ，B ，且C ，B 两点到点A 的距离相等,则点C 所表示的数是 ( )A.32-B.23-C.13-D.31-9.观察以下几组勾股数,并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25； ④9，40，41，…请你写出有以上规律的第⑤组勾股数: .10.如图所示，将长方形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 正好落在BC 边上F 点处，已知CE=3cm ，AB=8cm ，则图中阴影部分面积为_______．11.如图，矩形ABCD 中，8,AB =点E 是AD 上的一点，有4,AE =BE 的垂直平分线交BC 的延长线与点,F 连结EF 交CD 于点,G 若G 是CD 的中点，则BC 的长是________. 916A12BA 0C E DA E FD B C A12.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，若点P 在AD 边上，连接BP 、PC ，△BPC 是以PB 为腰的等腰三角形，则PB 的长为_______．13.图①所示的正方形木块棱长为6cm ，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为 cm ．14.一只蚂蚁从长、宽都是30cm ，高是80cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B点，它所行的最短路线长度为 ． 15.观察以下几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41. 请寻找规律，写出有以上规律的第⑤组勾股数： ，第n 组勾股数是 ．三、解答题（共有5道小题）16.如图所示，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为A （3，1），B （2，4），请猜想△OAB 是什么样的三角形，并证明。
人教版初2数学8年级下册 第17章(勾股定理)常考题型优生辅导训练(附答案)
人教版八年级数学下册第17章勾股定理常考题型优生辅导训练（附答案）1．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列说法错误的是（ ）A ．如果∠C ﹣∠B ＝∠A ，则△ABC 是直角三角形B ．如果c 2＝b 2﹣a 2，则△ABC 是直角三角形C ．如果∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，则△ABC 是直角三角形D ．如果a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（ ）A ．1.5B ．2.4C ．2.5D ．3.53．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点D 在AB 上，AD ＝AC ，AF ⊥CD 交CD 于点E ，交CB 于点F ，则CF 的长是（ ）A ．1.5B ．1.8C ．2D ．2.54．如图，△ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，AD 为△ABC 的角平分线，则CD 的长度为（ ）A ．1B ．C ．D ．5．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）A ．32，42，52B ．C ．9，41，40D ．2，3，46．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（ ）米．A．0.5B．1C．1.5D．27．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC 能作出（ ）A．2个B．3个C．4个D．6个8．已知一个直角三角形的三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（ ）A．30 cm B．80 cm C．90 cm D．120 cm9．如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BAC+∠CDE＝ °．10．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支14cm 的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为 ．11．如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，此时绳子末端距离地面2m，则绳子的长度为 m．12．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且DE∥AC，过点E作EF⊥DE，交CB的延长线于点F．若BD＝5，则EF2＝ ．13．已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长的平方是 ．14．附加题：已知等腰三角形腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形面积为 ．15．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为 ．16．如图，点A、B、C分别是正方体展开图的小正方形的顶点，则∠BAC的大小为 ．17．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为 ．18．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为4、3、9，则正方形A的面积为 ．19．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为 ．20．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为 ．21．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下后的树顶与树根的距离为4米，这棵大树在折断前的高度为 米．22．已知：如图，△ABC的面积为84，BC＝21，现将△ABC沿直线BC向右平移a（0＜a＜21）个单位到△DEF的位置．（1）求BC边上的高；（2）若AB＝10，①求线段DF的长；②连接AE，当△ABE时等腰三角形时，求a的值．23．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）24．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝5cm．（1）求证：△BDC是直角三角形；（2）求△ABC的周长25．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：（1）在网格中画出长为的线段AB．（2）在网格中画出一个腰长为、面积为3的等腰△DEF．26．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm 的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．27．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．28．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点O为AB的中点，连接CO．点M在CA边上，从点C以1cm/秒的速度沿CA向点A运动，设运动时间为t 秒．（1）当∠AMO＝∠AOM时，求t的值；（2）当△COM是等腰三角形时，求t的值．参考答案1．解：A、∠C﹣∠B＝∠A，即∠A+∠B＝∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确；B、c2＝b2﹣a2，即a2+c2＝b2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90，说法正确；C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，说法正确；D、a＝3，b＝5，c＝4，32+52≠42，但是32+42＝52，则△ABC可能是直角三角形，故原来说法错误．故选：D．2．解：连接AM，∵AB＝AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM（三线合一），BM＝CM，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BM＝CM＝3，在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，∴根据勾股定理得：AM＝＝＝4，又S△AMC＝MN•AC＝AM•MC，∴MN＝＝＝2.4．故选：B．3．解：连接DF，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，∴CF＝DF，在△ADF和△ACF中，，∴△ADF≌△ACF（SSS），∴∠ADF＝∠ACF＝90°，∴∠BDF＝90°，设CF＝DF＝x，则BF＝4﹣x，在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2＝BF2，即x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝1.5；∴CF＝1.5；故选：A．4．解：∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，∴BC2+AC2＝32+42＝52＝AB2，∴∠C＝90°，过D作DP⊥AP于P，∵AD平分∠BAC，∴PD＝CD，∵S△ABC＝AC•BC＝AC•CD+AB•PD，∴4×3＝4CD+5CD，∴CD＝．故选：D．5．解：A、92+162≠252，故不是直角三角形，故不符合题意；B、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故不符合题意；C、92+402＝412，故是直角三角形，故符合题意；D、22+32≠42，故不是直角三角形，故不符合题意．故选：C．6．解：在Rt△ABC中，AB＝2.5米，BC＝1.5米，故AC＝＝＝2米，在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝（1.5+0.5）米，故EC＝＝＝1.5米，故AE＝AC﹣CE＝2﹣1.5＝0.5米．故选：A．7．解：当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D，E，H四个；当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．因而共有6个满足条件的顶点．故选：D．8．解：设直角三角形的两直角边分别为acm，bcm，斜边为ccm，根据勾股定理得：a2+b2＝c2，∵a2+b2+c2＝1800，∴2c2＝1800，即c2＝900，则c＝30cm．故选：A．9．解：连接AD，由勾股定理得：AD2＝12+32＝10，CD2＝12+32＝10，AC2＝22+42＝20，∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠ACD＝45°，∵AB∥DE，∴∠BAD+∠ADE＝180°，∴∠BAC+∠CDE＝180°﹣90°﹣45°＝45°，故答案为：45°．10．解：∵CD＝5，AD＝12，∴AC＝＝13cm，露出杯口外的长度为＝14﹣13＝1cm．故答案为：1cm．11．解：设绳子的长度为xm，则AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，解得：x＝17，即绳子的长度为17m．故答案为：17．12．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠C＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDB＝30°，∵∠ABC＝60°，∠EDB＝60°，∴△EDB是等边三角形．∴ED＝BD＝5，∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝10，∴EF2＝DF2﹣DE2＝75．故答案为：75．13．解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边长的平方为：42﹣32＝7；②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：42+32＝25．综上，第三边的长为：25或7．故答案为：25或7．14．解：①当等腰三角形的顶角为锐角时，如图，在Rt△ABD中，AD＝＝＝8，CD＝AC﹣AD＝10﹣8＝2，在Rt△BDC中，BC2＝BD2+CD2＝62+22＝40；②当等腰三角形的顶角为钝角时，如图，在Rt△ABD中，AD＝＝＝8，CD＝AC+AD＝10+8＝18，在Rt△BDC中，BC2＝BD2+CD2＝62+182＝360；综上所知，以底边为边长的正方形面积为40，360．故填40，360．15．解：在Rt△ADC中，∵CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，∴AC＝10m，（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．∴S阴影＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（m2）．故答案是：96m216．解：连接BC．根据勾股定理可以得到：AB＝BC＝，AC＝2，∵（）2+（）2＝（2）2，即AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠BAC＝45°．故答案为：45°．17．解：根据勾股定理，AB＝＝，BC＝＝2，AC＝＝3，∵AC2+BC2＝AB2＝26，∴△ABC是直角三角形，∵点D为AB的中点，∴CD＝AB＝×＝．故答案为：．18．解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C∵正方形B，C，D的面积依次为4，3，9∴S正方形A+4＝9﹣3，∴S正方形A＝2故答案为2．19．解：由图可知，（b﹣a）2＝5，4×ab＝42﹣5＝37，∴2ab＝37，（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝5+2×37＝79．故答案为79．20．解：在Rt△ABD中，BD＝＝9；在Rt△ACD中，CD＝＝5，∴BC＝BD+CD＝14或BC＝BD﹣CD＝4，∴C△ABC＝AB+BC+AC＝15+14+13＝42或C△ABC＝AB+BC+AC＝15+4+13＝32．故答案为：32或42．21．解：如图所示：∵△ABC是直角三角形，AB＝3m，AC＝4m，∴BC＝＝＝5m，∴大树的高度＝AB+AC＝3+5＝8m．故答案为：8．22．解：（1）作AM⊥BC于M，∵△ABC的面积为84，∴×BC×AM＝84，解得，AM＝8，即BC边上的高为8；（2）①在Rt△ABM中，BM＝＝6，∴CM＝BC﹣BM＝15，在Rt△ACM中，AC＝＝17，由平移的性质可知，DF＝AC＝17；②当AB＝BE＝10时，a＝BE＝10；当AB＝AE＝10时，BE＝2BM＝12，则a＝BE＝12；当EA＝EB＝a时，ME＝a﹣6，在Rt△AME中，AM2+ME2＝AE2，即82+（a﹣6）2＝a2，解得，a＝，则当△ABE时等腰三角形时，a的值为10或12或．23．解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；根据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v＝＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．24．（1）证明：∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，∴BC2＝BD2+CD2∴△BDC为直角三角形；（2）解：设AB＝x，∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝AC＝x，∵AC2＝AD2+CD2x2＝（x﹣5）2+122，解得：x＝，∴△ABC的周长＝2AB+BC＝2×+13＝．25．解：（1）如图所示：线段AB即为所求；（2）△DEF即为所求．26．解：（1）设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，解得：t＝，∴当t＝时，PA＝PB；（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，解得：t＝，当t＝6时，点P与A重合，也符合条件，∴当或6时，P在△ABC的角平分线上；（3）在Rt△ABC中，∵AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝4cm，根据题意得：AP＝2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，∴PC＝BC，即4﹣2t＝3，∴t＝，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图2，过P作PE⊥BC于E，∴BE＝BC＝，∴PB＝AB，即2t﹣3﹣4＝，解得：t＝，②PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，解得：t＝5，③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，∴BF＝BP，∵∠ACB＝90°，由射影定理得；BC2＝BF•AB，即32＝×5，解得：t＝，∴当时，△BCP为等腰三角形．27．解：（1）∵BQ＝2×2＝4（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣2×1＝14（cm），∠B＝90°，∴PQ＝＝＝（cm）；（2）BQ＝2t，BP＝16﹣t，根据题意得：2t＝16﹣t，解得：t＝，即出发秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10，∴BC+CQ＝22，∴t＝22÷2＝11秒．②当CQ＝BC时，如图2所示，则BC+CQ＝24，∴t＝24÷2＝12秒．③当BC＝BQ时，如图3所示，过B点作BE⊥AC于点E，则BE＝＝，∴CE＝，∴CQ＝2CE＝14.4，∴BC+CQ＝26.4，∴t＝26.4÷2＝13.2秒．综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．28．（1）∵AC＝8，BC＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝＝10，∵O为AB中点，∴AO＝AB＝5，∵AO＝AM，∴AM＝5，∴CM＝3，∴t＝3；（2）①当CO＝CM时，CM＝5，∴t＝5②当MC＝MO时，t2＝32+（4﹣t）2，解得：t＝；③当CO＝OM时，M与A点重合，∴t＝8．综上所述，当△COM是等腰三角形时，t的值为5或或8．。
人教版数学八年级下册 第十七章 勾股定理 习题练习(附答案)
人教版数学八年级下册第十七章勾股定理习题练习（附答案）一、选择题1.如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是()A． 13 cm B． 2√61cm C．√61cm D． 2√34cm2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝5，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度的一半为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则△ACD的周长为()A． 13 B． 17 C． 18 D． 253.如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝√7AB，E是AB边上一点，连接CE，当CE＝AB时，AE∶EB的4值是()A． 1 B． 2 C． 3 D． 44.如图，一棵大树在一次强台风中距地面5 m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12 m，这棵大树在折断前的高度为()A． 10 m B． 15 m C． 18 m D． 20 m5.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为()A． 13 B． 13或√119 C． 13或15 D． 156.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为()A． 60海里B． 45海里C． 20√3海里D． 30√3海里7.以下面每组中的三条线段为边的三角形中，是直角三角形的是()A． 1 3 4 B． 1.5 2 2.5 C． 4 5 6 D． 7 8 98.直角三角形三边的长分别为3,4，x，则x可能取的值为()A． 5 B．√7 C． 5或√7D．不能确定9.一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是()A． 13,12,12 B． 12,12,8 C． 13,10,12 D． 5,8,410.在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，则△ABC的面积为()A． 60 B． 80 C． 100 D． 12011.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋√b−8＋|c－10|＝0，则三角形的形状是()A．底与腰不相等的等腰三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．直角三角形12.直角三角形的三边为a－b，a，a＋b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为() A． 61 B． 71 C． 81 D． 91二、填空题13.一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，它的周长为120，则它的面积是________．14.在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是________米．15.如图，△AOB是等腰三角形，OA＝OB，点B在x轴的正半轴上，点A的坐标是(1,1)，则点B的坐标是________．16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边的正方形面积为12，中线CD的长度为2，则BC 的长度为________．17.勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积＝16，AE＝1；则正方形EFGH的面积＝________.18.如图，在等腰△ABC中，AD是角平分线，E是AB的中点，已知AB＝AC＝15 cm.BC＝18 cm，则△ADE的周长是________ cm.19.中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图1中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1，则正方形A1B1C1D1的面积为________；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，得到的正方形AnBnCnDn的面积为________(用含n的式子表示，n为正整数)．20.一直角三角形两直角边长的比是3∶4，斜边长是20，那么这个直角三角形的面积是________．三、解答题21.在直角三角形中，两条直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，则a2＋b2＝c2.即两条直角边的平方和等于斜边的平方，此结论称为勾股定理．在一张纸上画两个同样大小的直角三角形ABC 和A′B′C′，并把它们拼成如图形状 (点C和A′重合，且两直角三角形的斜边互相垂直)．请利用拼得的图形证明勾股定理．22.在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造处该岛的一个数学模型(如图乙四边形ABCD)，AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝15千米，CD＝3√2千米，AD＝12√3千米．(1)求小溪流AC的长．(2)求四边形ABCD的面积．(结果保留根号)23.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，对角线AC⊥CD，点E在边BC上，且∠AEB＝45°，CD＝10.(1)求AB的长；(2)求EC的长．24.如图是一个滑梯示意图，若将滑梯AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高度CE＝3 cm，CD＝1 m，求滑道AC的长．答案解析1.【答案】A【解析】如图：∵高为12 cm ，底面周长为10 cm ，在容器内壁离容器底部3 cm 的点B 处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3 cm 与饭粒相对的点A 处，∴A ′D ＝5 cm ，BD ＝12－3＋AE ＝12 cm ，∴将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点A ′，连接A ′B ，则A ′B 即为最短距离，A ′B ＝√(A′D 2+BD 2＝√52+122＝13(cm)．故选A.2.【答案】C【解析】∵∠ACB ＝90°，BC ＝12，AC ＝5，∴AB ＝√122+52＝13，根据题意可得EF 是AB 的垂直平分线，∴D 是AB 的中点，∴AD ＝12AB ＝6.5，CD ＝12AB ＝6.5， ∴△ACD 的周长为13＋5＝18，故选C.3.【答案】C【解析】设AB ＝x ，则AC ＝√74x ， ∵AB ＝EC ＝x ，∴AE ＝√x 2(√74)2＝34x ， ∴EB ＝x －34x ＝14x ，∴AE ∶EB ＝3∶1＝3.故选C.4.【答案】C【解析】∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC＝5 m，AB＝12 m，∴AC＝√AB2+BC2＝√125+52＝13 m，∴这棵树原来的高度＝BC＋AC＝5＋13＝18 m.即这棵大树在折断前的高度为18 m.故选C.5.【答案】B【解析】当12是斜边时，第三边是√122−52＝√119；当12是直角边时，第三边是√122−52＝13.故选B.6.【答案】D【解析】由题意可得：∠B＝30°，AP＝30海里，∠APB＝90°，故AB＝2AP＝60(海里)，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为BP＝√AB2−AP2＝30√3(海里)故选D.7.【答案】B【解析】A.12＋32≠42，不能构成直角三角形，故错误；B．1.52＋22＝2.52，能构成直角三角形，故正确；C．42＋52≠62，不能构成直角三角形，故错误；D．72＋82≠92，不能构成直角三角形，故错误．故选B.8.【答案】C【解析】当x为斜边时，x＝2+42＝5；当4为斜边时，x＝√42−32＝√7.∴x的值为5或√7；故选C.9.【答案】C【解析】A.132≠122＋62，错误；B．122≠82＋62，错误；C．132＝122＋52，正确；D．82≠52＋22，错误．故选C.10.【答案】B【解析】如图，作AD⊥BC于点D，∵△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，∴BD＝1BC＝8，2∴在直角△ABD中，由勾股定理，得AD＝√172−82＝15，∴S△ABC＝1×15×16＝120，2故选：D.11.【答案】D【解析】∵(a－6)2≥0，√b−8≥0，|c－10|≥0，又∵(a－b)2＋√b−8＋|c－10|＝0，∴a－6＝0，b－8＝0，c－10＝0，解得a＝6，b＝8，c＝10，∵62＋82＝36＋64＝100＝102，∴是直角三角形．故选D.12.【答案】C【解析】由题可知：(a－b)2＋a2＝(a＋b)2，解之得a＝4b所以直角三角形三边分别为3b、4b、5b.当b＝27时，3b＝81.故选C.13.【答案】480【解析】设三边的长是5x,12x,13x，则5x＋12x＋13x＝120，解得x＝4，则三边长是20,48,52.∵202＋482＝522，∴三角形是直角三角形，∴三角形的面积是12×20×48＝480.14.【答案】2.6【解析】由题意可知，将木块展开，相当于是AB＋2个正方形的宽，∴长为2＋0.2×2＝2.4米；宽为1米．于是最短路径为√2.42+12＝2.6米．15.【答案】(√2，0)【解析】根据勾股定理，得OA＝√12+12＝√2，∴OB＝OA＝√2，∴点B的坐标是(√2，0)．16.【答案】2【解析】∵以AC为边的正方形面积为12，∴AC＝√12＝2√3，∵∠ACB＝90°，∴AB＝2CD＝4，∴BC＝2−AC2＝2.17.【答案】10【解析】∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝FE，∠FEH＝90°，∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∠AEF＋∠DEH＝90°，∴∠AFE＝∠DEH，∵在△AEF和△DHE中，{∠A＝∠D，∠AFE＝∠DEH，EF＝HE，∴△AEF≌△DHE，∴AF＝DE，∵正方形ABCD的面积为16，∴AB＝BC＝CD＝DE＝4，∴AF＝DE＝AD－AE＝4－1＝3，在Rt△AEF中，EF＝2+AF2＝√10，故正方形EFGH的面积＝√10×√10＝10.18.【答案】27【解析】∵AB＝AC＝15 cm，AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD＝1BC＝9 cm，2∴∠ADB＝90°，∴AD＝√AB2−BD2＝√152−92＝12(cm)，∵E是AB的中点，∴DE＝1AB＝AE＝7.5 cm，2∴△ADE的周长＝AE＋DE＋AD＝7.5＋7.5＋12＝27(cm)．19.【答案】55n【解析】已知小正方形ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后，△AA1B1的面积是1，新正方形A1B1C1D1的面积是5，从而正方形A2B2C2D2的面积为5×5＝25＝52，…正方形AnBnCnDn的面积为5n.20.【答案】96【解析】根据题意设两直角边分别为3k,4k(k＞0)，由斜边为20，利用勾股定理，得9k2＋16k2＝400，即k2＝16，解得k＝4，则两直角边分别为12和16，×12×16＝96，所以这个直角三角形的面积＝1221.【答案】证明在直角三角形ABC中，∵∠1＋∠2＝90°，∠1＝∠3，∴∠2＋∠3＝90°，又∵∠ACC′＝90°，∴∠2＋∠3＋∠ACC′＝180°，∴B、C(A′)、B′在同一条直线上，又∠B＝90°，∠B′＝90°，∴∠B＋∠B′＝180°，∴AB∥C′B′，连接AC′，过点C′作C′D⊥AB交AB于点D，则四边形ABB ′C ′面积等于三个直角三角形面积，∴12(a －b )(a ＋b )＋(a ＋b )b ＝12ab ＋12ab ＋12c 2，即12a 2－12b 2＋ab ＋b 2＝12ab ＋12ab ＋12c 2，a 2＋2ab ＋b 2＝2ab ＋c 2，∴a 2＋b 2＝c 2.【解析】连接AC ′，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理．22.【答案】解 (1)∵∠B ＝90°，AB ＝BC ＝15千米，∴AC ＝√AB 2+BC 2＝√152+152＝15√2千米；(2)∵AC 2＝(15√2)2＝450，CD 2＋AD 2＝(3√2)2＋(12√3)2＝450，∴AC 2＝CD 2＋AD 2，则∠D ＝90°，S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD＝12×15×15＋12×3√2×12√3 ＝225+36√62. 【解析】(1)根据勾股定理即可得；(2)由勾股定理逆定理得∠D ＝90°，从而由S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD 可得答案．23.【答案】解 (1)在Rt △ACD 中，∵∠D ＝60°，CD ＝10，∴AC ＝10√3，∠DAC ＝30°，又∵AD ∥BC ，∴∠ACB ＝∠DAC ＝30°，∴在Rt △ACB 中，AB ＝12AC ＝102√6＝5√3.(2)在Rt △ABE 中，∠AEB ＝45°，∴BE ＝AB ＝5√3，由(1)可知，BC ＝√3AB ＝√3×5√3＝15， ∴EC ＝BC －BE ＝15－5√3.【解析】(1)在Rt△ACD中，根据三角函数可求AC＝10√3，∠DAC＝30°，根据平行线的性质得到∠ACB＝30°，在Rt△ACB中，根据三角函数可求AB的长；(2)在Rt△ABE中，根据三角函数可求BE，BC，再根据EC＝BC－BE即可求解．24.【答案】解设AC的长为x米，∵AC＝AB，∴AB＝AC＝x米，∵EB＝CD＝1米，∴AE＝(x－1)米，在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2，即x2＝32＋(x－1)2，解得x＝5，∴滑道AC的长为5米．【解析】设AC的长为x米，表示出AE＝(x－1)米，利用在Rt△ACE中AC2＝CE2＋AE2，列出方程求解即可．。
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人教版八年级下册第17章：勾股定理的应用培优练习1．如图，马路边一根电线杆为5.4m，被一辆卡车从离地面1.5m处撞断，倒下的电线杆顶部是否会落在离它的底部4m的快车道上？2．如图，一辆卡车装满货物后，能否通过如图所示的工厂厂门（上方为半圆）已知卡车高为3.0米，宽为1.6米，说明你的理由．3．如图，是一个长8m，宽6m，高5m的仓库，在其内壁的A（长的四等分点）处有一只壁虎，B（宽的三等分点）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少米．4．如下图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，一头放在离墙0.7米处，另一头靠墙，如果梯子的顶部滑下0.4米，梯子的底部向外滑出多远？5．如下图，为了测量一湖泊的宽度，小明在点A，B，C分别设桩，使AB⊥BC，并量得AC ＝52m，BC＝48m，请你算出湖泊的宽度应为多少米？6．求如图所示（单位mm）矩形零件上两孔中心A和B的距离（精确到0.1mm）．7．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝2.5千米，CH＝2千米，HB＝1.5千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．（精确到0.01）8．如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，小强同学测量出BC＝1m，NC＝m，BN＝m，AC＝4.5m，MC＝6m，求MA的长．9．如图，一轮船以16n mi1e/h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12n mi1e/h 的速度同时从港口出发向东南方向航行，那么离开港口A2h后，两船相距多远？10．如图是一个塑料大棚，它的宽a＝4.8m，高b＝3.6m，棚总长d＝10m．（1）求大棚的占地面积．（2）覆盖在顶上的塑料布需要多少平方米？11．由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A处引水，这就需要在A，B，C 之间铺设地下输水管道．有人设计了3种铺设方案（图中实线表示管道铺设线路）．在图（2）中，AD⊥BC于点D，且BC＝DC；在图（3）中，OA＝OB＝OC，且AO的延长线交BC于点E，AE⊥BC，BE＝EC，OE＝．为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短．若△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，请你通过计算，判断哪一个铺设方案最好．12．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B 是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？13．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，点A处有一所中学，且A点到MN的距离是米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时．（1）学校是否会受到噪声影响？如果受影响，说明理由；（2）已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？14．在学习“神秘的数组”的课堂上，老师请同学们判断以3、4、5为边长的三角形是否为直角三角形时，小明是这样回答的：因为42+52＝41，32＝9，42+52≠32，所以以3、4、5为边长的三角形不是直角三角形．如果当时你也在课堂上，你的意见是什么？并说出你这样回答的理由．15．如图，学校有一块空地ABCD，准备种草皮绿化已知∠ADC＝90°，AD＝4米，CD＝3米，AB＝13米，BC＝12米，求这块地的面积．16．在某段限速公路BC上（公路视为直线），交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h（即m），并在离该公路100m处设置了一个监测点A，在如图的平面直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上，另外一条公路在y轴上，AO为其中的一段．（1）求点B和点C的坐标．（2）一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用时间是15s，判断一下这辆汽车在这段限速路上是否超速（取1.7）17．如图，一个长为5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙4m．（1）求梯子的顶端距地面的垂直距离；（2）若将梯子的底端向墙推进1m，求梯子的顶端升高了多少米；（3）若使梯子的顶端距地面4.8m，此时应将梯子再向墙推进多少米？参考答案1．【解答】解：在直角△ABC′中，BC′是斜边，已知AB＝1.5m，BC′＝BC＝AC﹣AB＝3.9m，则根据勾股定理AC′＝＝3.6m，3.6＜4，所以电线杆不会落在离它的底部4m的快车道上．答：电线杆顶部不会落在离它的底部4m的快车道上．2．【解答】解：设BB′与矩形的宽的交点为C，∵AB＝1，AC＝0.8，∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝0.6米，∵BB′＝BC+CB′＝2.3+0.6＝2.9＜3.0，∴不能通过．3．【解答】解：①将正面和左面展开，过点B向底面作垂线，垂足为点C，则△ABC为直角三角形，∵AC＝×8+×6＝8m，BC＝5m，∴AB＝＝＝m．故壁虎爬到蚊子处的最短距离为m．②将正面和上面展开，则A到B的水平距离为6m，垂直距离为7m，此时的最短距离为m③将下面和右面展开，则A到B的水平距离为11m，垂直距离为2m，此时的最短距离为5m．综上所述，壁虎爬到蚊子处的最短距离为米．4．【解答】解：∵BC＝＝2.4，∴当一直角边为BC﹣0.4＝2，斜边为2.5时，另一直角边为＝1.5．故梯子的底部向外滑出1.5﹣0.7＝0.8（米）．5．【解答】解：＝20．故湖泊的宽度为20m．6．【解答】解：根据图中所标数据求得：AC＝40﹣21＝19mm，BC＝60﹣21＝39mm，∴AB＝≈43.4mm．7．【解答】解：（1）是．理由如下：在△CHB中，CB＝2.5，CH＝2，HB＝1.5，∵CH2+HB2＝22+1.52＝6.25，CB2＝2.52＝6.25，∴CH2+HB2＝CB2，∴CH⊥AB，故CH是从村庄C到河边的最近路；（2）设AC＝x千米，则AB＝AC＝x千米，AH＝x﹣1.5（千米）在Rt△AHC中，由勾股定理得：AH2+HC2＝AC2∴x2＝（x﹣1.5）2+22解得：x≈2.08答：原来的路线AC的长约为2.08千米．8．【解答】解：∵BC＝1m，NC＝m，BN＝m，∴BC2＝1，NC2＝，BN2＝，∴BC2+NC2＝BN2，∴AC⊥MC．在Rt△ACM中，∵AC＝4.5m，MC＝6m，MA2＝AC2+CM2＝56.25，∴MA＝7.5 m．9．【解答】解：∵一轮船以16n mi1e/h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12n mi1e/h的速度同时从港口出发向东南方向航行，∴∠BAC＝90°，离开港口A2h后，AB＝32n mi1e，AC＝24n mi1e，∴BC＝＝40（n mi1e）．答：离开港口A2h后，两船相距40n mi1e．10．【解答】解：（1）大棚的占地面积为：ad＝4.8×10＝48（m2）；（2）根据勾股定理，得直角三角形的斜边为＝6（m），由矩形的面积公式，得覆盖在顶上的塑料布为：6×10＝60（m2）．11．【解答】解：图（1）中，管道长为2a；图（2）中，AD＝＝＝a，则管道长为a+a；图（3）中，设OE＝x，则OB为2x，由勾股定理得（2x）2﹣x2＝（a）2，解得：x＝a，则OB＝a，管道长为a×3＝a，∵2a＞a+a＞a，∴图（3）的辅助设方案最好．12．【解答】解：将台阶展开，如下图，因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝5，所以AB2＝AC2+BC2＝169，所以AB＝13（cm），所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm．13．【解答】解：（1）∵50＜100，∴学校会受到拖拉机的影响；（2）如图：作AC⊥MN于C，则AC＝50．假设当拖拉机行驶到B点开始影响学校，行驶到D点结束对学校的影响，则AB＝AD＝100米，∴BC＝CD＝＝50米，∴BD＝2×50＝100米，∵18千米/时＝5米/秒所以影响学校的时间为：100÷5＝20秒∴拖拉机会影响学校，影响时间为20秒．14．【解答】解：我的意见是直角三角形．∵32+42＝25，52＝25，∴32+42＝52∴以3、4、5为边长的三角形是直角三角形．15．【解答】解：连接AC．由勾股定理可知：AC＝＝＝5，又∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴这块地的面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝×5×12﹣×3×4＝24（米2）．16．【解答】解：（1）在Rt△AOB中，OA＝100，∠BAO＝60°，∴OB＝OA tan∠BAO＝100．Rt△AOC中，∵∠CAO＝45°，∴OC＝OA＝100．∴B（﹣100，0），C（100，0）．（2）∵BC＝BO+OC＝100+100，∴≈18＞，∴汽车在这段限速路上超速了．17．【解答】解：（1）由题意得：EF＝5m，CF＝4m，则EC＝＝＝3（m）．答：梯子的顶端距地面的垂直距离是3m；（2）由题意得：BF＝1m，则CB＝4﹣1＝3（m），AC＝＝＝4（m），则AE＝AC﹣EC＝1m．答：梯子的顶端升高了1m；（3）若AC＝4.8m，则BC＝＝＝1.4（m），应将梯子再向墙推进3﹣1.4＝1.6（m）．答：应将梯子再向墙推进1.6m．。