朱友华影院座位设计问题1

数学建模作业姓名朱友华
影院座位设计问题
本文研究的是影院座位设计问题，座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β。

视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘的夹角，α越大越好；仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β太大使人的头部过分上仰，引不舒适感，一般要求不超过30度。

而对于本题中的问题一、问题二和问题三则需要实际情况，分侧重点考虑视角α和仰角β的影响。

对问题一，在地板线倾角给定的情况下建立仰角α与某个观众到影院屏幕水平距离的函数，在β<=30度的情况下，求的最佳座位。

对于问题二，在β=30度时，通过求解多组θ值所对应的最佳座位位置，发现最佳座位位置在一个固定位置附近摆动，并且此固定位置距离首排座位较近，在此距离中的观众满意程度随θ的增大而逐渐增大，所以所有观众的平均满意程度主要取决于视角α的值。

仅对视角α进行讨论，得出结果。

问题三在问题二的基础上做进一步的改进，通过分析得知在问题二中的固定位置之前的观众迫切要求其座位再高一些，所以可以让他们的座位从前往后竖直方向变化的速度大于水平方向的速度；而固定位置之后的观众要求座位靠前一些，所以可以让他们的座位水平方向的变化速度大于竖直方向的速度。

而固定位置附近的坡度变化缓慢，综合得出进一步提高观众满意程度的方案。

关键字影院座位设计最佳位置平均满意程度
一、问题的重述
下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β。

视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，α越大越好；仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，30。

一般要求β不超过o
设影院屏幕高h, 上边缘距地面高H，地板线倾角θ，第一排和最后一排座位与屏幕水平距离分别为d和D, 观众平均坐高为c（指眼睛到地面的距离）。

已知参数 h=1.8， H=5，d=4.5 ，D=19，c=1.1（单位：m）。

(如图所示)
10，问最佳座位在什么地方。

(1) 地板线倾角θ＝o
20），使所有观众的平均满意程度最大。

(2) 求地板线倾角θ（一般不超过o
(3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。

二、模型的假设
1、假设观众可以按照比例近似为一段线段
2、假设设计过程中没有观众数额要求
3、假设影院的地面是水平的；
三、符号的说明
H——屏幕上边缘到地面的距离。

D------最后一排到屏幕的水平距离
h------屏幕的高度
c-------观众平均座高
d-------第一排到屏幕的水平距离
α------观众眼睛与屏幕上下边缘的夹角
β------观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角
θ-----地板线倾角
m-------观众脚底到水平线的垂直距离
M-------任意一位观众的座位位置
A-------屏幕上边缘的位置点
B-------屏幕下边缘的位置点
O-------观众座位到屏幕的水平线与屏幕所在竖直线的交点
χ------观众座位到屏幕的水平距离
四、问题的分析
问题一：
题中给出了地板线与水平面的具体夹角，要求求出最佳座位。

根据题中已知条件，算出首排观众的仰角位为38.62度，可知在θ给定的情况下，观众的最佳座位应该在β=30度的位置上。

为此要找到α与某一变量的函数关系式，求此关系式函数所对应的图像，如图一，进一步说明了这一点。

具体找关系式是在题中所给的图中可以看出α在一个三角形中。

因此我们用余弦定理找出角度α与每个边的关系。

题目要求最佳座位，我们设观众与屏幕之间.的水平距离χ，运用简单的几何关系，我们得出了α与χ的函数关系式。

最终得出α的最大值，即找出最佳座位。

图一
问题二：
在问题二中，要求解出一个θ值，使得所有的观众的平均满意程度最大。

在第一题的结果中，我们知道，随着χ的增大，错误！未找到引用源。

的值单调递增，且α为一锐角，则α的值逐渐减小。

同样由第一问可知β的值在整个过程中是逐渐减小的，在计算的过程中，随着θ的变化，最佳位置总在某一点附近摆动，在β=30度时，取定此位置，在此位置右侧β<=30度，最佳位置只受α的影响，左侧同时受α和β的影响，但随着θ值从0度到20度变化，α逐渐变大，β逐渐减小，并考虑到此点距首位置较近，因此可以忽略β的影响，从全局考虑α的影响即可。

又由于首座位的α值固定，故末位置α值取得最大值即可求得此时θ角的大小，列出末位置cosα—θ的函数关系，用EXCEL处理，由函数图像求得所求θ值。

问题的求解；
在β=30度时，由公式：
TAN30°={5-[(X-4.5)*TANθ+1.1]}/X
求得；
θ=5°时，χ=6.432；
θ=10°时，χ=6.225；
θ=15°时，χ=6.020；
θ=20°时，χ=5.820；
取其平均值得X=6.123；
五、模型的建立与求解
六、
问题一：
在影院座位设计问题上，根据题中给出的简易的平面几何图（如下图图二），加之在问题一的分析的基础上，我们将此问题归结为在几何图中求α最大值的问题。

而最大值对应的位置χ，即是最佳座位位置。

为此我们在题中的图中做了标点、找到α与χ的关系式。

（如下图图二）
图二
由图二的几何关系得出
m=﹙χ－4.5﹚tan10°，OA=3.9-m，OB=|m-2.1|。

在△ABM中AM=[χ²＋﹙3.9－m﹚²]½BM= [χ²＋﹙2.1-m﹚²] ½,AB。

故用余弦定理得
cosα=[2χ²＋﹙3.9－m﹚²＋﹙2.1-m﹚²－1.8] ／2[χ²＋﹙3.9－m﹚²]½[χ²＋﹙2.1-m﹚²] ½
运用Excel 软件得出cos α与χ的关系做出了cos α与χ图像，即图一。

根据图像得出α是根据χ的增大而减小的，由此知道α的最大值在β=30º处取得。

根据β值求的最佳座位χ的值即为6.225m 。

问题二：
由上图图二可得 ：
OA=3.9-14.5*TAN θ; OB=14.5*TAN θ-2.1;
AM=SQRT(19^2+(3.9-14.5*TAN θ)^2); BM=SQRT(19^2+(14.5*TAN θ-2.1)^2); AB=1.8;
综上可求的得：
COS α=[2*19^2+(3.9-14.5*TAN θ)^2+(14.5*TAN θ
-2.1)^2-1.8^2]/[2*SQRT(19^2+(3.9-14.5*TAN θ)^2)*SQRT(19^2+(14.5*TAN θ-2.1)^2)];
由EXCEL 软件，得出图三，如下
y = 1E-08x 3 + 1E-06x 2 - 3E-05x +0.9957
R 2 = 1
0.9955
0.995550.99560.995650.9957
0.995750
5
10
15
20
25
系列1多项式 (系列
1)
由图经过计算，可得θ最佳大小约为12.1度。

问题三：
问题三要求设计地板线的形状，进一步提高观众的满意程度，可在问题二的基础上进一步设计地板线形状，进而提高观众的满意程度。

由问题二可知，同一θ角时，在X=6.123附近的观众满意程度最佳，在其左侧的观众渴望更高一些，而右侧的观众则渴望离屏幕更近一些，在附近位置的座位变化须尽量小。

问题上的求解
有分析可知，在x=6.123左侧的座位变化需满足：竖直方向的变化大于水平方向的变化，则其形状应呈现凸行增长；而在x=6.123右侧的座位变化需满足：竖直方向的变化小于水平方向的变化，则其形状应呈现凹形增长。

综合以上分析。

地板线应设计成下图形状，可进一步提高观众满意程度：
：
七、模型的评价与改进
本次模型的建立较好的解决了影院观众的座位问题，使得观众的满意程度尽可能达到最佳程度。

通过运用数学几何知识及Excel处理，把理论与实际结合，使实际问题得以解决。

可以推广到教室座位的安排，会场座位安排等等，有一定意义的实用价值。