数学建模作业：影院座位选择
影院座位设计的数学模型
影院座位设计的数学模型2002级3班 吴小刚【摘要】：本文在平均视角越大越好的前提下，建立了一个简单的数学模型，求出了最佳视角所在位置，提出了进一步提高观众满意程度的地板设计方案。
【关键词】：视角 平均视角 模型 数学建摸问题提出：下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角。
仰角α是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β是观众眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的夹角，视角的大小等于α-β，c 为观众平均坐高。
a=3.9m b=2.1m d=4.5m D=19m c=1.1m(1) 地板倾角θ=10度，问最佳位置在什么地方。
(2) 求地板线倾角 θ（一般不超过20度），使所有观众的平均满意程度最大。
(3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。
模型假设：1、观众的满意程度主要取决于视角α-β，越大越好。
2、观众眼睛处于同一斜面，可以在斜面的任意位置。
3、如图建立直角坐标系，设某观众的眼睛在此坐标系中的坐标为（x,y ）。
模型建立：根据题目，结合模型假设，有Y=xtan θ tan α=tan x d x αθ-+ tan β=tan b x d x θ-+ tan ()βα-=βαβαtan tan 1tan tan +-=xd x x b a ab x d b a +++-++-θθ22tan tan )()(模型求解：（1）令f(x)=(d+x)+xd x x b a ab +++-θθ22tan tan )( )tan(20βαπβα-∴<-< 为增函数要使tan(βα-)最大，即视角βα-最大，只需f(x)最小，为此，我们对f(x)求导f ′(x)=1+2222)()tan tan )(())(tan )(tan 2(x d x x b a ab x d b a x +++--++-θθθθ =1+22222)(tan )(tan )(tan x d ab d b a d d x +-+--+θθθ 令f ′(x)=0x=1tan tan )(tan 222+++=θθθab d b a d (0≤x ≤14.5) 0≤x<1tan tan )(tan 222+++=θθθab d b a d f’(x)>0 1tan tan )(tan 222+++=θθθab d b a d <x ≤14.5 f’(x)<0 因此，tan(βα-)在x=1tan tan )(tan 222+++=θθθab d b a d 处取得最大值。
电影院座位设计
电影院座位设计(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--公选课《数学建模》论文——******问题学号：姓名：学号：姓名：学号：姓名：年月日1 问题的提出下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β.视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，α越大越好；仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求β不超过030.设影院屏幕高h, 上边缘距地面高H，地板线倾角θ，第一排和最后一排座位与屏幕水平距离分别为d和D, 观众平均坐高为c（指眼睛到地面的距离）.已知参数 h=，H=5，d= ，D=19，c=（单位：m）.(如图所示)10，问最佳座位在什么地方.(1) 地板线倾角θ＝o20），使所有观众的平均满意程度最大.(2) 求地板线倾角θ（一般不超过o(3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度.2 模型的假设30的范围内，观众都感到满意，毫无不舒适感，且满意程度相同.2．1 β在小于2．2 观众的满意度只取决于仰角β和视角α，与其他因素无关.2．3 同一排座位，观众的满意程度相同.3 符号约定α: 观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角（视角）（单位：度）β: 观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角（仰角）（单位：度）θ: 地板线倾角（单位：度）h: 影院屏幕高（单位：m）H: 上边缘距地面高（单位：m）d: 第一排座位与屏幕水平距离（单位：m）D: 最后一排座位与屏幕水平距离（单位：m）c : 观众平均坐高（指眼睛到地面的距离）（单位：m ） L: 相邻两排座位间的间距（单位：m ） l: 相邻两排座位间的水平间距（单位：m ） n: 座位的总排数4模型的建立最佳座位（地板线倾角θ＝o10）设屏幕所在直线为y 轴，地面所在直线为x 轴，在图上建立直角坐标系，如图1所示：仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，设某一观众的眼睛的坐标为（x,y ），则有：xyH -=βtan （195.4≤≤x ） (1)xyh H --=-)tan(αβ （195.4≤≤x ） (2)由公式αβαβαβtan tan 1tan tan )tan(+-=-可得：)tan(tan 1)tan(tan tan αββαββα-+--= (3)将（1）、（2）式代入式（3），得：))((tan 2y h H y H x hx---+=α （195.4≤≤x ） ……(4) o x y 图1又 c d x y +-=θtan )( （195.4≤≤x ） (5)有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=----⋅---+=x c d x H c d x h H c d x H x hx θβθθαtan )(arctan ]tan )([]tan )([arctan 2 (6)作出仰角β和视角α沿着x 轴的变化曲线，如图2、图3 所示：由图2、图3可见，沿着x 轴，仰角β和视角α都是单调递减的.视角α越大越好，即座位越往前越好，然而仰角β太大（座位过于靠前）使人的头部过分上仰，会引起不舒适感.要考虑观众的满意程度就必须要同时考虑α与β的取值，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意程度达到最大.然而α与ββ(单位:X(单位:图2α(单位:度)X(单位:米) 图3又存在一定的矛盾，要使α大，β也跟着大，β小α又跟着小，难以同时满足，但β在小于 30的范围内，观众都感到满意，毫无不舒适感，且满意程度相同，此时可以只考虑α的取值.综合以上的分析可得问题一的求解模型为：α maxβS min⎪⎩⎪⎨⎧≤>=300301 ..ββS t s 由（6）式知道，α、β两个函数都是角度，数值上有良好的可比性，可以简单地取其加权和作为单一目标函数.题目中没有关于优先权及权重的规定，可以设α的权重为ρ，β 的权重为)1(ρ-，这里10<<ρ.这样便有：max βρρα)1(--S ……(*). ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=300301ββS 这里主观设ρ＝，把（6）式代入（*）式，并进行化简，代入已知参数 h=、 H=5、d=、c=、010=θ，用数学软件求解得，最佳座位约在点（,）处，即所求最佳座位离屏幕的水平距离为米，此处的仰角030=β，视角092.13=α. 使观众的平均满意程度达到最大的地板线倾角θ值（一般不超过020）设第i 排观众的满意度为i S ，则所有观众的平均满意程度nSS ni i∑==1，可见，平均满意度S 的大小由每一排的满意度i S 所决定，而i S 又是由仰角β和视角α所决定，所以，要使观众的满意程度达到最大，取决于两个方面：（1） 仰角β不超过030的座位所占的比例越大，观众的平均满意程度就越大. （2）所有座位的视角α的均值越大，观众的平均满意程度就越大.地板线倾角θ（00200≤≤θ）的改变将同时使所有座位的仰角β和视角α的大小发生改变，由（6）式可知，在某一座位（即x 取某一定值），在θ（00200≤≤θ）逐渐增大的过程中，θtan 增大，则β减小，仰角β不超过030的区域扩大，即地板线倾角θ（00200≤≤θ）越大，仰角β不超过030的座位所占的比例越大，由（1）、（5）式可得，030=β时x 与θ的关系：θθtan 373.1)tan 1513(9.0++=x (7)查阅相关资料可知，相邻两排座位间的间距一般为=L ，随着地板线倾角θ的变化，相邻两排座位间的间距不变，但相邻两排座位间的水平间距会发生改变.由图4可看出，相邻两排座位间的水平间距与地板线倾角θ的关系为θcos L l = ，座位的总排数1][+-=l dD n ，并限制最后一排观众的视高不要超过屏幕的上边缘，用数学软件编程求出使观众的平均满意程度达到最大的地板线倾角θ值（00200≤≤θ）.（具体程序见附录） 算法设计思想：（1） 让地板线倾角θ在]20,0[0内逐一取值，步长为; （2） 让x 在[,19]内逐一取值，步长为l ；（3） 对一个取定的θ，判断x 所在的位置仰角β是否超过030，若仰角β超过030，则该座位的综合满意度必须同时考虑仰角β和视角α的取值，否则，只需要考虑视角α的取值，把所有座位的综合满意度相加，并求出观众的平均综合满意度，判断此时的平均满意度是否最大，最后一排的高度是否超过屏幕的上边缘，并记下最大值时θ的取值；（4） 改变θ值，重新求值、判断.计算结果为：005.15=θ，这个结果不影响最后一排观众，所以使观众的平均满意程度达到最大的地板线倾角θ约为015. 设计地板线形状以进一步提高观众的满意程度图4由上两问可知，观众的满意程度与仰角β、视角α和地板线倾角θ都有关，而每一座位到屏幕的水平距离（i x ）基本固定不变，考虑观众的满意度，就要考虑仰角β、视角α随着y 的变化情况.由（4）式可得：81.0)1.4(8.1arctan)2.3)(5(8.1arctan222--+=--+=y x xy y x x α ……（8） 由（8）式可知，当x 取某一定值时，α随y 先增后减，当1.4=y 时，α取得最大值.其实，由图5我们可以很直观的看出，当观众的眼睛在屏幕的中垂线上时(即1.4=y )，视角α达到最大值，越往两边，视角α就越小，当x 取某一定值时，视角α都在1.4=y 处取得最大值.图6为10=x 时α随y 的变化曲线：图6屏幕 （0，） （0，5） （0，） αα图5所以，要使每一个座位所对应的视角α取最大值，对应的y 值应在直线1.4=y 上.设计地板线应考虑以下几个方面：（1） 第i 排座位所在的位置应高于第1-i 排座位所在的高度（n i ,...,3,2=）； （2） 前一排的观众不会挡住后一排观众的视线；（3） 视角α尽可能大，即眼睛的位置应尽可能分布在直线1.4=y 的附近； （4） 仰角030<β的座位所占的比例尽可能大.由上述可知，当观众的眼睛在1.4=y 上时，视角α达到最大值，所以在设计地板线时，应尽量使观众的眼睛分布在1.4=y 的附近.在影院的最后一排作一与屏幕平行且等长等高的线段1l ，连接屏幕的下端与线段1l 的上端，记此连接直线为2l ，取座位区域的中点M ，平移直线2l 使其经过中点M ，把地板线设计在与直线2l 平行且在此直线的正下方与此直线相距米处，如图7所示：由图7可得：地板线的倾角：041.5)/arctan(==D h θ第一排观众眼睛所在的位置离地面的高度：41.32)()tan(1.41=-⋅-=d D h θ（m ） 第一排观众的仰角：0147.19arctan=-=dh D β 地板线前端离地面的高度：31.21.112=-=h h （m ） 地板线所在的直线：884.1095.0+=x y图7若观众的眼睛都在直线2l 上，就都能无遮挡的看到整个屏幕，又能使观众的眼睛尽可能分布在1.4=y 的附近，且在此区域内，所有观众的仰角都在030以内，此时观众的平均满意度可达到最大.根据最优地板线的设计知道，第一排座位以下（）都是空置的，这样既浪费建筑材料，又浪费空间，我们可以把屏幕与地板线整体向下移动，这样既不影响观众的平均满意度，又能节省材料与空间，操作性更强.5 模型的评价与推广5．1模型的评价 模型的优点：（1） 模型能抓住影响观众满意程度的主要因素（仰角β和视角α），合理构造满意度函数，过程清晰明了，结果科学合理.（2） 模型具有较好的通用性，实用性强，对现实有很强的指导意义. 模型的不足以及需要改进的地方：（1） 模型主观假设同一排座位观众的满意程度相同，实际情况并非如此，这就使得我们的模型对解决实际问题时有一定的局限性.（2） 模型建立的过程中，以观众眼睛所在的点为坐高点，没有考虑前排观众额部对后排观众的遮挡，在第三问中，我们把2l （连接屏幕的下端与线段1l 的上端，记此连接直线为2l ）适当下移，在使观众的平均满意程度达到更大的同时，也避免了遮挡情况的出现.5．2 模型的推广我们建立模型的方法和思想对其他类似的问题也很适用，本文所建立的模型不但能指导多媒体教室的设计，对标准篮球的设计也具有参考意义.运用我们所建立的模型，对于已知剖面来分析物体的形状这一类型的问题的处理有很好的参考价值.例如：运用该模型去解决房间的布局，旗杆高度的设计等相关的问题.参考文献：[1] 姜启源．数学模型(第三版)[M]．北京：高等教育出版社，2003[2] 洪毅等．经济数学模型[M]．广东：广东华南理工大学出版社，1998 [3] 王庚．实用计算机数学建模[M]．安徽：安徽大学出版社，2000[4] 李海涛、邓樱等．MATLAB 程序设计教程[M]．北京：高等教育出版社，2004[5] 李世奇、杜慧琴等．Maple 计算机代数系统应用及程序设计[M]．四川：重庆大学出版社，1999附 录clearclck=0::20;m=0;v=0;for sita=k.*2.*pi./360s=0;l=*cos(sita);n=fixl)+1;for x=:l:19if x<*(13+15*tan(sita))/+3*tan(sita))s=s+*x/(x^2+ elses=s+*x/(x^2+ endendif s/n>m & tan(sita)*<m=s/n;v=sita;endendmv*180/pi11。
电影院座位的排列组合题
电影院座位的排列组合题在电影院中，座位的排列组合是一个常见的问题。
通过不同的排列组合方式，可以实现座位的合理规划和管理，以提供更好的观影体验。
本文将探讨电影院座位的排列组合问题，并提出一种有效的解决方案。
在电影院中，座位的排列方式通常采用矩阵形式。
每个座位可以用行和列的坐标来表示。
假设一个电影院的座位排列为m行n列，即总共有m*n个座位。
首先，我们考虑座位的排列组合方式。
对于每个座位，观众可以选择坐下或离开。
因此，每个座位有两种状态：占用或空闲。
对于m*n个座位来说，一共有2^(m*n)种可能的组合方式。
然而，并不是所有的组合方式都是可行的。
在实际情况中，观众需要一定的间隔来保持舒适的观影环境。
为了满足这一要求，我们可以引入一些限制条件。
首先，由于人的身体大小是有限的，我们需要确保每个座位周围有足够的空间。
通常情况下，至少要保持一个座位的间隔。
这就意味着每个观众所占据的空间实际上是一个2*2的矩阵。
在排座位时，我们可以将这个矩阵看作是一个整体，而不是单独的座位。
其次，为了方便观众的进出，我们可以在每一排中留出通道。
这样，观众可以更轻松地通过通道进入或离开他们所在的排。
为了确保通道的宽度足够，我们可以预留一定数量的座位来构建通道。
在考虑了以上限制条件后，座位的排列组合方式将大大减少。
我们可以使用排列组合的方法进行计算，得到最终的组合方式数。
在实际应用中，可以使用计算机程序来快速计算。
通过合理的座位排列组合，电影院可以提供更好的观影体验。
观众可以更轻松地进入和离开座位，同时享受到更宽敞舒适的观影环境。
此外，通过适当的座位规划，电影院还可以最大限度地提高座位数量，从而增加收益。
总结起来，电影院座位的排列组合是一个重要的问题。
通过合理的座位规划，可以提供更好的观影体验，增加观众的舒适度和满意度。
同时，适当的座位规划也能够增加电影院的经济效益。
在实际应用中，我们可以使用计算机程序来计算最佳的座位排列组合方式，以实现座位的合理规划和管理。
教室座位选择问题(数学建模)
第十届“新秀杯”校园数学建模竞赛论文题目：教室座位选择摘要本文研究了关于西南交通大学峨眉校区的两种教室听课最佳座位选择的问题。
我们根据题目中所给的示意图以及数据，联系实际，合理假设，建立模型进行求解，旨在找出最适合听课的座位。
本篇论文我们通过仔细读题，确认该题属于数学规划最优解模型。
在问题一中：选择最优座位，则需要考虑视角，仰角两个决策指标，所以我们建立直角坐标系，使用向量夹角来表示视角α和仰角β，使用了满意度函数f (β,α)来衡量不同位置同学们满意度，以得到最佳位置。
为了消除两项决策指标的量纲不同的影响，我们用变异系数法来衡量各项指标的权重大小，其中定义│β-6│和αmax -α为两个决策指标，分别求得权重并赋给两个决策变量，而满意度函数值f (β,α)函数值越小，则表示该座位越合适。
因此我们进行了满意度函数最小值点的求解，解得在普通教室和阶梯教室最小值点均在第二排处取得。
紧接着，我们又绘制了满意度函数与座位数n 的函数图像进行验证。
最后我们可以得到结论，普通教室最佳座位为第二排，阶梯教室最佳座位也为第二排。
问题二在问题一的基础上增加了一个决策指标L ，我们在问题一的决策指标基础上增加了一个新的决策变量L ，然后重新求解三个决策指标的变异系数，进行无量纲化，再分别求得权重，赋给三个决策变量，进行满意度函数g (β,α,L)最小值点的求解，我们解得：普通教室g (β,α,L)最小是在第一排取得，阶梯教室g (β,α,L)最小也是在第一排处取得。
我们又绘制了满意度函数g (β,α,L)与座位排数n 的图像进行验证，综上，我们得出普通教室的第一排，阶梯教室的第一排是最佳座位。
本文最大的特色在于：通过满意度函数，将三个量纲不同的决策函数综合起来，作为座位的属性，给出了衡量舒适度的方法。
此种数学模型能够帮助我们找到教室里或者诸如电影院之类的房间的最佳座位。
关键词：满意度函数 变异系数法 MATLAB 软件一．问题提出自高中升入大学，许多学生一下子从紧的学习进入到自由宽松的学习氛围中，也有一部分同学依旧保持着热忱的学习热情，在大学上课前抢着去占座位。
影院座位设计建模论文
影院座位设计摘 要本文研究了电影院的座位设计问题，观众对座位的满意程度主要取决于视角α与仰角β，视角越大，仰角越小，满意度就越大。
根据这一条件，建立模型，进行比较，提出了增加观众平均满意度的设计改进方案。
问题一：当θ一定时，满意程度主要取决于视角α与仰角β，由图中的几何关系建立的数学模型，以数形结合结合的方法进行分析，利用Matlab 软件作图，通过图像得知视角α与仰角β的变化关系，在30β=︒时取到最佳位置，此时α最大值为°13.9174，其对应的x 的值为1.7282米，结合实际考虑离散化的情形，相邻两排座位间的间距相等，取为0.8米【1】这个最佳位置应当是影院的第四排。
问题二：运用题目中的已知条件，在某一座位选定时（即x 的值确定时），通过分析视角α与地板线倾角θ的内在关系，随着地板线倾角θ的增大，视角α逐渐增大；并且，由β与θ的关系，θ角越大，β角不超过30︒的区域越大，即仰角不超过条件的座位所占比例越大。
给出合理的约束条件，找到约束条件下的最优解，考虑到最后一排观众视高不超过屏幕上边缘的限定，我们可以得出合理的θ值，解出15.054θ≈︒时达到平均观众满意度的最大值。
问题三：先考虑改进直线的情况下的最优方案，因此改进计划中第一要解决的就是使β角符合条件区域更广；其次，还要尽可能的进一步提高α角的平均值。
再对直线地板先来改进设计，保证对应的座位点的坐标均在抛物线上，且均在平均满意度最大的直线的上方，由问题二中的模型求解知当°15.054θ=时，观众的平均满意度最大。
由引理，考虑到屏幕中垂线处视角最大，可采取抬高各排高度的措施。
如果考虑到人的眼睛到头顶的距离0.1m ，若后排不被前排挡住视线，地板线倾角在7.12515.054︒︒范围内变化。
利用C 语言进行搜索求出最大平均视角6.435α=︒，5D y m =，倾角7.125θ=︒.座位安排为第一排被抬高3.1m 的倾斜直线，过直线首尾端点，以高于直线0.01m,采用x 为y 的二次曲线进行拟合，得到的拟合二次函数的表达式为：20.00730.1618 4.1940y x x =-++.最大平均视角将在原有基础上提高，得出改进后的地板线会提高观众的平均满意程度。
影院座位设计
影院座位设计问题分析 座位的满意程度主要取决于视角α与仰角β，视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，α越大越好；仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求β不超过030。
模型假设1、β不超过030时，由决β定的满意程度相同；2、α越大，由α决定的满意程度越大；3、同一排的各个座位的满意程度都相同。
模型构成 以屏幕所在直线为y 轴，地面所在直线为x 轴。
建立直角坐标系，如图1所示设某一座位的坐标为（x ，y ），则由三角函数关系式知： xy H -=βtan ……………………（1） xy h H --=-)tan(αβ 又αβαβαβtan tan 1tan tan )tan(+-=- ∴)tan(tan 1)tan(tan tan αββαββα-+--=2()()hx x H y H h y =+--- ……………………（2） 又c d x y +-=θtan )(， 知o x y 图12tan [()tan ][()tan ]()tan tan hx x H x d c H h x d c H x d c x αθθθβ⎧⎫=⎪⎪+-------⎪⎪⎨⎬---⎪⎪=⎪⎪⎩⎭…………………（⊗）模型求解（1）地板线倾角θ=010，问最佳座位在什么地方？由模型假设1知，最佳座位显然要满足0030β<≤ 从而， 3.9( 4.5)tan 0tan x x θβ--<=≤3当θ=010时，⇒ 6.227191.8 1.8tan 43x x x α≤≤⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬≤<⎪⎪⎪⎪⎩⎭易知，x=6.227时，tan α取得最大值，此时y=(6.227—4.5)0tan10+1.1=1.409 即最佳座位处为（6.227，1.409）（2）求地板线倾角θ（一般不超过020），使所有观众的平均满意程度最大。
由（⊗）式知，当x 取某一定值时，θ越大，则α就越大，β就越小，也即观众的满意度就越大。
数学建模课程设计
数学建模课程设计0840503220 苏阳 0840503224 张明 0840503226 郑景旻影 院 座 位 设 计问题回顾：影院座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β，视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，一般要求仰角β不超过030；记影院的屏幕高为h ，上边缘距离地面高为H ,影院的地板线通常与水平线有一个倾角θ，第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为,d D ，观众的平均座高为c （指眼睛到地面的距离），已知参数h =1.8. H =5， 4.5,19d D ==，c =1.1(单位m)。
求解以下问题：(1) 地板线的倾角010=θ时，求最佳座位的所在位置。
(2) 地板线的倾角θ一般超过020，求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线倾角。
(3) 地板线设计成什么形状，可以进一步提高观众的满意程度。
本次课程设计研究了电影院的座位设计问题，根据观众对座位的满意程度主要取决于视角α与仰角β这一前提条件，建立了满意程度最大的相关模型，并进行求解。
问题一，首先建立在满足仰角条件情况下的优化模型，接着通过主观臆断分别对视角和仰角赋权重，对座位进行离散分析，并引入满意度函数建立了离散加权模型，最后求解出当地板线的倾角为 10时，最佳位置距屏幕的水平距离为6.8635米。
问题二，根据问题一中的离散加权模型，将座位看作离散的点，建立满意度函数平均值模型，解得当地板线的倾角为 0543.15时，所有观众的平均满意程度最大。
问题三，在问题二的基础上，为进一步提高观众的满意程度，将地板线设计成折线形状，即相邻两排座位所在的点构成一条直线，且每排座位所在地板线的倾角以 5.2变化，增加到 20后保持不变，第一排抬高2.1米。
在此在此课程设计中作以下假设:1.忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度；2.观众对座位的仰角的满意程度呈线性；3.观众对座位的水平视角的满意程度呈线性；4.最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘；5.相邻两排座位间的间距相等，取为0.8m ；6.对于同一排座位，观众的满意程度相同；7.所有观众的座位等高为平均座高；8.影院的的地板成阶梯状。
高中数学建模论文
高中数学建模论文 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】数学建模之观影的最佳位置山东省茌平县第一中学高二（9）班李成真指导老师于海霞摘要当今这个时代，电影是一种喜闻乐见的大众艺术，人们喜欢在闲暇时间走进影院，体验其中的喜怒哀乐。
而同时，作为一种消费，人们总是希望自己能坐在电影院的最佳位置，使得视觉，听觉得到最好的享受，本文章从看电影时观众的舒适度出发，对影院的座位设计进行了探讨，而我也专门到电影院采集了相关的一些数据，比如大屏幕的长宽，地板倾角θ等，通过查阅文献，我了解到影院座位的舒适程度主要取决于视角α.和仰角β,视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角, 越大越好; 仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角, 太大使人的头部过分上仰, 引起不适, 一般要求仰角β不超过30。
【1】在了解了这些之后，并通过非线性规划，自学了Matlab软件，利用其进行了计算。
关键词电影院最佳位置仰角视角 Matlab前言电影是一种表演艺术、视觉艺术及听觉艺术，利用胶卷、录像带或数位媒体将影像和声音捕捉，再加上后期的编辑工作而成。
电影艺术诞生于1895年12月28日。
电影于1896年8月传入中国上海。
随着人们生活质量的提高，更高的生活品质成为人们的追求，电影作为一个雅俗共赏的消遣方式，越来越受到人们的关注，而中国的票房也逐年升高，除了引进的外国大片获得很高的票房，如《阿凡达》、《泰坦尼克号》等，国产影片也令人刮目相看，《泰囧》、《大闹天宫》、《私人定制》等创造了一个又一个票房奇迹。
从中我们看到电影在人们生活中的重要性，也因此，为吸引观众，影院开始引入高科技，如3D技术、曲面屏幕、IMAX大屏，除此之外，在设计时影院也充分考虑了观众看电影时的舒适度，对于影院的地板倾角，前后排椅子之间的距离，以及观众离屏幕的距离都进行了精心设计。
可是尽管如此，不同的位置看电影，感受肯定会有很大差异，根据这个想法，我们进行了数学建模。
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影院座位选择摘要看电影是众多大学生所喜爱的业余享受，怎样选择一个好位子观影也是大家所关心的一个问题。
本文针对如何在敬文讲堂选择一个好位子看电影，建立模型进行分析。
由于座位的满意程度主要取决于视角和仰角，视角越大，仰角越小越合适.因此是一个多目标规划问题。
本文先建立了模型1，采用主目标法找出了讲堂最优的一个位子。
而后就"怎样选择一个好位子"的问题，建立模型2，分析了讲堂中央部分座位的满意程度，因为这个问题涉及的目标较多，即要考虑水平和垂直两种情况，相对复杂。
模型 2 作了巧妙的假设，提出了"基本视效"的概念将目标化为单一的一个，运用几何的方法，给出了各个座位的基本视效值，从而基本视效值大的座位满意度高，反之，满意度低。
模型 2 的优点在于避免了其他方法，如权重法的主观性。
因此模型也更加可信。
关键词多目标规划视角仰角几何基本视效m a t l a b一、问题的背景看电影一直是广大学生所偏好的业余活动，将自己隐藏在一片漆黑之中，心随画面变换，感受视听震撼，仿佛置身另一个世界，一时间忘却所有烦恼。
在师范大学，每到周末便可看到各个海报栏贴着电影放映的信息，其中每周敬文讲堂放映的英文电影，因其免费放映、效果良好、寓教于乐，更是成为多年来的保留节目。
每每放映之前，讲堂门口都聚集着众多同学，排着长队，准备争抢观影好地形。
二、问题的提出有效视角是指人的有效视觉范围，一般，双眼正常有效视角大约为水平90°，垂直70°，考虑双眼余光时的视角大约为水平180°，垂直90°。
观影时的视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角。
经医学实验得知：10°以内是视力敏锐区，即中心视野，对图像的颜色及细节部分的分辨能力最强。
20°以内能正确识别图形等信息，称为有效视野。
*0°～30°，虽然视力及色辨别能力开始降低，但对活动信息比较敏感，30°之外视力就下降很低了。
但是人们又发现，若观看一幅宽大的画面时，视角大到一定值后，观看者会感到和画面同处一个空间，给人带来一种身临其境的艺术效果。
即虽然图像内容是二维平面的，但结合在一起后，平面的图像能呈现出立体感，这种效果在观察大画面图像时，会令人感觉出画面有自然感和动人逼真的临场感。
也就是说观影时，视角越大，越能达到一种身临其境的满足感。
但是观影时若只考虑视角的大小而忽略了仰角、斜角也是不行的，其中仰角指观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角。
例如，坐在第一排看电影，虽然视角很大，但观影者须在这个观影过程中仰头，整个过程也不一定享受，一般仰角越小，观影过程越舒适。
同样，定义斜角为观众眼睛到屏幕左、右边缘视线与水平线的夹角中大的角度值，那么坐的越偏，斜角越大，座位过偏时，也会导致颈部向一侧扭曲，甚是难受，无疑坐的越靠近影院中轴线，斜角越小，越舒适。
由上面的分析，在敬文讲堂看电影时，座位过偏、过前，整个过程要么扭颈斜视，要么"曲项向天"，着实难受，座位太后，又视觉不够震撼，不够享受。
怎样选择一个好座位呢，下面我们就进行建模，找出其尽量的实际的答案。
考虑到讲堂的400 个座位分为左侧、中央和右侧三个部分，其中中央部分约2*0 个座位，两侧约各200 个。
由于敬文讲堂，只有一个小的投影屏幕，宽度远小于正规电影院的屏幕，两侧的座位的观影效果在各个方面都比中央部分的座位差很多，又考虑到中央的近200 个座位可以满足占座位同学的需求，所以下面的讨论都只限于中央的座位。
下图为敬文讲堂剖面简图，只画出中央部分的座位，且台阶型座位只简化为3 级。
三、模型的建立模型1：寻找最优位置显然，最优的位置一定位于讲堂最中央的一列座位，所以这个模型所选择的范围就缩小了，只用考虑一列14 个座位。
1) 模型的假设A. 假设敬文讲堂的座位面为与水平面夹角为θ的倾斜面（如下图所示）B. 不考虑人们视力的影响，即坐在后排的人与坐在前排的人的观影清晰度相同。
C. 不考虑中间座位与旁边座位进出方便程度的影响。
D. 只从中间部分的座位选择。
*. 忽略观众头顶到眼睛的距离。
F. 忽略观众两眼间的距离。
*. 将每个座位所在区域视为一个矩形，观众的眼睛位于矩形的上面一条边的垂直地面的中线上。
下图为敬文讲堂侧面简图2) 参量变量H ：屏幕上边缘到地面的高度h ：屏幕的高度H1 : 最后一排距地面的高度α ：观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的有向夹角β ：观众眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的有向夹角θ ：近似座位面与水平面所夹的二面角* ：第一排座位与屏幕的水平距离D ：最后一排座位与屏幕的水平距离*1 ：观众眼睛到屏幕的水平距离l ：观众所处的座位面上的点到水平面的距离* ：观众眼睛到水平面的距离a ：观众平均坐高λ线 ：观众眼睛所在位置构成的直线经过实地测量，讲堂中中央部分的座位有14 排×13 列，座位与座位之间左右间隔0.54 米，前后间隔 1 米。
并测量、计算得到了下列参数的具体数值（长度单位均为米）：3) 模型的求解因为经过如上假设，最佳的位置一定位于讲堂最中央的一列座位，所以问题便转化成一个平面几何问题。
为达到"视角尽可能大，仰角尽可能小"的目的，就是在λ线上选择合适的点使得角（α + β）尽量大，但角α尽量小。
由于α和 β的变化范围都在-90°-90°之间，所以可以用函数arctan 来衡量角的大小。
如图所示，tanα=H-L, tanβ =L-(H-h) L+h-H H-L= 。
所以 α = arc*an，s1 s1 *1 s1β=arctan L+h-H （注意，L+h>H 时为正），那么，问题进一步转化为s1H-L L+h-H H-Larc*a* + arctan尽量大，而ar*ta*尽量小。
而后一目标可简化为s1 s1 s**-L s1尽量小，即尽量大。
s1 H-L用数学语言写为：s1f1(s)=*-*H-L L+h-Hf2(s)=ar*tan+arctans* s1F（s）=[*1(*1),f2(s1)] T在解的可行域R 内,求多目标的极值问题可记为：m*x F(s1)s1∈R这是一个典型的多目标优化问题，一般，在解决这类问题时，要用"化多为单"的方法。
下面就用"主目标优化法"对模型进行求解。
所谓"主目标法"就是分清目标的主要与次要，主要的目标必须达到，所以这种方法就是使主目标优化，而使其他的目标降为约束条件。
进一步分析，人们在观影时，视角大能达到更好的震撼效果，这也是人们进电影院看电影的原因，而通过调整颈部的扭转角度，只要角度不是很大，是不会 给人的身体带来太大的不适感的，特别是当电影内容比较精彩时，人们更会忽略 颈部的不适感，而更追求观影的视觉效果。
查资料知，当仰角不大于 20°时， 短时间的观影不会给人体带来太大的不适感。
也就是说，视角大给人们带来的满 足感比仰角小给人们带来的舒适感更重要。
所以 f*(*1)为主要目标，f1(s*)降 为约束条件 f2(s1)<tan(2*°)。
那么问题转化为一个非线性规划： max*2(s1) d ≤ s*≤ D *1(s1)<tan(*0°)在求 f2(s1)极值时，利用 f2'(s1)=0,即：H-L L+h-H(ar*ta* )'+ (arctan )' =0 s1 s1 - H - L - * + * - * 2 s 1 + s 1 2 = 0 1+ (* - L ) 2 1+(L + h - H ) 2 s 1 2 s 12 * - H H - L - h+ = 0s 1 + (H - *) 2 2 s 1 + (L + h - H ) 2 2将 L=（*1-d ）*tan θ +a=(s1-4)*3/14+1.1,*=4,h=*,代入整理得3(s 1- 4) - 2.9 3(s 1- 4)+ 0.1 1* - 14 = 0 s 1 + ( 3(s 1- *) 3(s *- 4) 2 - 2.9) 2 s 1 + ( * + *.1)2 14 14用 *at*ab 解得 s1=1.6223<4*-L *+*-H画出 f=(arcta*)'+ (arctan )' 的图像（见下图） s1 s1H-L L+h-*由图像看出 f*(s)=arctan +a*ctan 的导数值恒负 s1 s1进一步，算出各排的视角值以及各排的仰角值视角是依排数递减的，再由约束条件*2(s1)<tan(20°)，所以应该坐在第* 排中央的位子。
这是一个有效解。
即在所有可行解中找不到比它更好的解。
4) 模型的分析*-L L+h-*f=(arctan)' (*rctan )'在求导时没有在[4，17]的区间内出现理想s* *1零值，主要跟敬文讲堂的设置有关，它并不是专门的电影院，屏幕高度不够，悬挂的很低，这就导致了仰角主要决定视角的大小，从第一排向后视角依次递减。
所以由敬文讲堂的这种设置，看电影时最好应该坐在第 5 排中央，这是一个有效解。
下面关心此模型用在正规电影院的情形。
广州最豪华的飞扬影城设计采用国际标准，屏幕高10 米，宽14 米。
而观众席全部采用高角度斜坡式，从第一行到最后一行的坡度高达 4.* 米。
它的其他数据与敬文讲堂相同，套用此模型解得从一到十四排的视角为：仰角为：得到在此电影院观影，最优位置为第*4 排中央的位置，这主要是由它宽大的屏幕决定的，坐的靠后，反而观影满意度高，而影院也大力宣传："最后一排的观众感觉尤其奇妙，由于坡度高，会产生一种'空中看电影'的感觉"。
这点验证了模型的合理性。
上述数据摘自新快报文章---《到天河城"空中看电影"》。
模型2：寻找好位置最优位置只有一个，去抢座位看电影的同学能竞争到那个位子可谓十分不易，那么下面我们就来进一步分析，在抢不到最优位置的情况下，再选择哪里的位子可以达到一个也算不错的观影效果。
下图为敬文讲堂俯视图：这样，问题就不能只考虑垂直的情况，还要考虑水平的情况，具体的说，就是如果最佳位置已有人坐了，而它旁边和后面的位置都还空着，那么是坐在最佳位置的后面还是坐在最佳位置的旁边，可以更好的享受这次观影呢？同样，在考虑水平的情况时，根据人的视觉感受，坐的太偏离屏幕中心，需扭转颈部才能达到更好的观影效果，因此，和水平情况的讨论结果相同，水平视角δ越大越好，斜角ξ越小越好。