3第三章 力矩与平面力偶理论(H)
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工程力学I-第3章 力矩与平面力偶系
D
x
§3-2 关于力偶的概念
力偶：一对等值、反向而不共线的平行力，用 符号（F ,F′）表示。
力偶臂：两个力作用
线之间的垂直距离d。
F’
F
力偶的作用面：两个 力作用线所决定的平 面
§3-2 关于力偶的概念
F F
d
d
F
d
F
F
F
转动游戏方向盘
拧水龙头
扳手拧螺母
§3-2 关于力偶的概念
Q AABD AABC 显然， 并注意到力偶矩的转向也相同， 则有M ( F , F ) M ( P, P) P
M (P 1, P 1 ) M ( P, P ) 显然， 1, P 1) 从而有M ，( F , F ) M ( P
P1
力偶等效
M ( F , F ) M ( P 1, P 1)
（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。
（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。 *（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 （4）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
Mo(F)＝±Fd
§3-1 关于力矩的概念及其计算
合力矩定理：
y Fy
(3)将力P和P’沿各自的作用 线移至任意点A’，B’，根 据力的可传性原理，有 (P,P’) =(P1,P1’) 。
§3-2 关于力偶的概念
(4) A′
P1′ b F′ A A F B Q′ D P′ B′ C
M (F , F ) AB BD 2 AABD ,
M（P, P'） AB BC 2 AABC
第三章 力偶与平面力偶理论)
M 0 F F h
力对点之矩（力矩）是一个代数量，它的绝 对值等于力的大小与力臂的乘积；
它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。 常用单位为 N· m 或 kN· m。 注意：力矩在下列几种情况下等于零 （1）力的大小等于零；
（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零；
（3） 互成平衡的二力对同一点之矩为零。
78.93N m
按合力矩定理 M O F M O Ft M O Fr
F cos θ r 78.93N m
例3-2 已知：q,l； 求： 合力及合力作用线位置. 解： 取微元如图
x q q l l x 1 P q dx ql 0 l 2
M Mi Mi
i 1 n
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
Mi
0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力 偶矩的代数和等于零。
例3-1
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm
求: M O F .
解:直接按定义
MO
F F h F r cos θ
M1 F1 d M2 F2 d
M1 F1d
M 2 F2d
Mn Fn d
M n Fnd
=
=
FR F1 F2 Fn
F1 F2 Fn FR
=
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M 2 M n
定理：同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶 彼此等效。 推论： 任一力偶可在它的作用面内任意转移，而不改变它对刚体 的作用。因此力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无 关。 只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小与 力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.
理论力学第三章力矩与平面力偶理论（H）
理论⼒学第三章⼒矩与平⾯⼒偶理论（H）第3章⼒矩与平⾯⼒偶理论※平⾯⼒对点之矩的概念及计算※⼒偶及其性质※平⾯⼒偶系的合成与平衡※结论与讨论§3-1 平⾯⼒对点之矩的概念及计算1.⼒对点之矩AFBhhF M O ?±=)(F h ——⼒臂O ——矩⼼OABM O Δ±=2)(F M O (F ) ——代数量（标量）“＋”——使物体逆时针转时⼒矩为正；“－”——使物体顺时针转时⼒矩为负。
2. 合⼒之矩定理平⾯汇交⼒系合⼒对于平⾯内⼀点之矩等于所有各分⼒对于该点之矩的代数和。
3. ⼒矩与合⼒矩的解析表达式xA FF xF yOαyx yx y y O x O O yF xF M M M ?=+=)()()(F F F )()()()()(21i O n O O O R O M M M M M F F F F F ∑=+++=")()(ix i iy i R O F y F x M ?∑=FF nαOrF rF 已知：F n ，α，r求：⼒F n 块对轮⼼O 的⼒矩。
h解：（1）直接计算αcos )(r F h F M n n n O ==F （2）利⽤合⼒之矩定理计算αcos )()()()(r F M M M M n O O r O n O ==+=F F F F 例题1§3-2 ⼒偶及其性质1.⼒偶与⼒偶矩⼒偶——两个⼤⼩相等、⽅向相反且不共线的平⾏⼒组成的⼒系。
⼒偶臂——⼒偶的两⼒之间的垂直⼒偶的作⽤⾯——⼒偶所在的平⾯。
（1）⼒偶不能合成为⼀个⼒，也不能⽤⼀个⼒来平衡。
⼒和⼒偶是静⼒学的两个基本要素。
（2）⼒偶矩是度量⼒偶对刚体的转动效果；它有两个要素：⼒偶矩的⼤⼩和⼒偶矩的转向。
F′FABOdx FdFxxdFMMMOOO=+′=′+=′)()()(),(FFFF⼒偶矩±=FdM2.平⾯⼒偶的等效定理1F ′F ′2F ′0F ′F 00F ′F 0ABDCdF F 1F 2★在同平⾯内的两个⼒偶，如果⼒偶矩相等，则两⼒偶彼此等效。
工程力学__静力学 第三章 力矩 平面力偶系
应当指出，以上的结论，不适用于变形效应的研究。
工程力学课件
§3-4 平面力偶系的合成与平衡
设在同一平面内的两个力偶(F1,F`1)和(F2，F`2)，它们的力 偶臂各为d1和d2(图a)，其力偶矩分别为M1和M2。求其合成结果。
在力偶的作用面内任取 一 线 段 AB=d ， 在 不 改 变 力 偶矩的条件下将各力偶的臂 都化为d，于是得到与原力 偶等效的两个力偶(F3,F`3)和 (F4,F`4)，F3和F4的大小可由 下列等式算出：
M O (F ) 2 AOAB
通常规定：力使物体绕矩心作逆时 针方向转动时，力矩取正号；作顺时针 方向转动时，取负号。
根据以上情况，平面内力对点之矩， 只取决于力矩的大小及旋转方向，因此 平面内力对点之矩是一个代数量。
综上所述可知： ①力F对O点之矩不仅取决于力F的大小,同时还与矩心的位置有关 ②力F对任一点之矩，不会因该力沿其作用线移动而改变，因为 此时力和力臂的大小均未改变 ③力的作用线通过矩心时,力矩等于零 ④互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零
力偶对物体的作用效应是怎样的呢?由于力偶中的两个力大 小相等、方向相反、作用线平行，因此这两个力在任何坐标轴 上投影之和等于零(图c)。可见，力偶无合力，即力偶对物体不 产生移动效应。实践证明力偶只能使物体产生转动效应。
工程力学课件
如何度量力偶对物体的转动效应呢? 显然可用力偶中两个力对矩心的力矩之和来度量。如图所 示，在力偶平面内任取一点O为矩心，设O点与力F作用线的 距离为x，则力偶的两个力对于O点之矩的和为
由 M 0 知 M0 Fc CD sin 0
sin
240
0.8
2402 (320 140)2
得
FC
M0 CD sin
工程力学课件
§3-4 平面力偶系的合成与平衡
设在同一平面内的两个力偶(F1,F`1)和(F2，F`2)，它们的力 偶臂各为d1和d2(图a)，其力偶矩分别为M1和M2。求其合成结果。
在力偶的作用面内任取 一 线 段 AB=d ， 在 不 改 变 力 偶矩的条件下将各力偶的臂 都化为d，于是得到与原力 偶等效的两个力偶(F3,F`3)和 (F4,F`4)，F3和F4的大小可由 下列等式算出：
M O (F ) 2 AOAB
通常规定：力使物体绕矩心作逆时 针方向转动时，力矩取正号；作顺时针 方向转动时，取负号。
根据以上情况，平面内力对点之矩， 只取决于力矩的大小及旋转方向，因此 平面内力对点之矩是一个代数量。
综上所述可知： ①力F对O点之矩不仅取决于力F的大小,同时还与矩心的位置有关 ②力F对任一点之矩，不会因该力沿其作用线移动而改变，因为 此时力和力臂的大小均未改变 ③力的作用线通过矩心时,力矩等于零 ④互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零
力偶对物体的作用效应是怎样的呢?由于力偶中的两个力大 小相等、方向相反、作用线平行，因此这两个力在任何坐标轴 上投影之和等于零(图c)。可见，力偶无合力，即力偶对物体不 产生移动效应。实践证明力偶只能使物体产生转动效应。
工程力学课件
如何度量力偶对物体的转动效应呢? 显然可用力偶中两个力对矩心的力矩之和来度量。如图所 示，在力偶平面内任取一点O为矩心，设O点与力F作用线的 距离为x，则力偶的两个力对于O点之矩的和为
由 M 0 知 M0 Fc CD sin 0
sin
240
0.8
2402 (320 140)2
得
FC
M0 CD sin
建筑力学 第三章 力矩与平衡力偶系
• 以公式记为：Mo(F)=±Fd • O点称为力矩中心，简称为矩心。 • 矩心O到力作用线的垂直距离d称为力臂。 • 在平面力系中，其正负号表示力使刚体绕矩心转动 的方向。通常规定，力使刚体逆时针方向转动时力矩 为正，反之为负。力矩的单位是：牛顿· 米（N· m）
§1.1 力对点之矩与合力矩定理
平面汇交力系的合力对于平面内任意一点之矩等于所有各力对于该点之矩的代只要保持力偶矩大小和转向力偶可以在其作用面内任不变可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短而不改变它对刚体的作用效应
力矩与平面力偶
一、力对点之矩与合力矩定理 二、力偶及其性质 三、平面力偶系的合成和平衡
力的效应
力对物体效应可以产生： 运动效应；变形效应
力对物体的运动效应可以产生：
移动效应--取决于力的大小、方向；一个是如 果力的作用线通过刚体的质心，将使刚体在力作 用的方向上平移。 转动效应--取决于力矩的大小、方向；如果力 的作用线不通过刚体的质心，则刚体将在力的作 用下边移动边转动，是力对刚体的转动效应。
§1.1 力对点之矩与合力矩定理
§1.1 力对点之矩与合力矩定理
M = M1 + M3 + · · ·+Mn M i
结论：平面力偶系合成的结果是一个力偶，它的矩等于原 来各力偶的矩的代数和。 合力偶矩正负号：使物体逆时针方向转动为正
§1.3 平面力偶系的合成和平衡
平面力偶系平衡条件
在上面讨论中，若Fd1+ Fd2=Fd3 ，则其合力 F=0，从而有 M 1 + M 2 +M 3 = 0 推广到由任意个力偶组成的平面力偶系,有
M O ( F ) M O ( Fx ) M O ( Fy ) xFy yFx
§1.1 力对点之矩与合力矩定理
平面汇交力系的合力对于平面内任意一点之矩等于所有各力对于该点之矩的代只要保持力偶矩大小和转向力偶可以在其作用面内任不变可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短而不改变它对刚体的作用效应
力矩与平面力偶
一、力对点之矩与合力矩定理 二、力偶及其性质 三、平面力偶系的合成和平衡
力的效应
力对物体效应可以产生： 运动效应；变形效应
力对物体的运动效应可以产生：
移动效应--取决于力的大小、方向；一个是如 果力的作用线通过刚体的质心，将使刚体在力作 用的方向上平移。 转动效应--取决于力矩的大小、方向；如果力 的作用线不通过刚体的质心，则刚体将在力的作 用下边移动边转动，是力对刚体的转动效应。
§1.1 力对点之矩与合力矩定理
§1.1 力对点之矩与合力矩定理
M = M1 + M3 + · · ·+Mn M i
结论：平面力偶系合成的结果是一个力偶，它的矩等于原 来各力偶的矩的代数和。 合力偶矩正负号：使物体逆时针方向转动为正
§1.3 平面力偶系的合成和平衡
平面力偶系平衡条件
在上面讨论中，若Fd1+ Fd2=Fd3 ，则其合力 F=0，从而有 M 1 + M 2 +M 3 = 0 推广到由任意个力偶组成的平面力偶系,有
M O ( F ) M O ( Fx ) M O ( Fy ) xFy yFx
理论力学03力矩力偶与平面力偶系
本章讨论平面力偶系的合成与平衡问题
一、平面力偶系的合成 平面力偶系可合成为一个合力偶； 合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即
M1
M2 M3
M4
M Mi
二、平面力偶系的平衡方程
Mi 0
M
说明：根据平面力偶系的平衡方程，可解 一个未知量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[例2] 已知梁长 l = 5 m，M = 100 kN·m ；若不计梁的自重，试求 铰支座 A 、B 处的约束力。
2. 力偶中的两个力对任一点的矩的代数和 恒等于力偶矩，与矩心位置无关。
dF F
3. 作用于刚体同一平面内两个力偶等效的充要条件为其力偶矩 相等。
结论：力偶矩唯一决定了力偶对刚体的作用效应。
◆ 通常用力偶矩符号来代表力偶：
F
d
M Fd
F
M 或M
第三节 平面力偶系
平面力偶系：由位于同一平面内的一群力偶所组成的力系
构平衡。试求作用于摆杆 BO1上的力偶矩 M2 （各构件的自重不计）
解： 1）首先研究曲柄 AO与套筒A 的组合 画受力图 列平衡方程
Mi 0, M1 FA r sin 30 0
解得
FA
FO
2M1 r
M1
O
FO
FA
FA
FO
2M1 r
2）再选取摆杆 BO1 为研究对象
画受力图
列平衡方程
Mi 0, M 2 FA AO1 0
的平行力称为一个力偶，记作 F, F。
dF F
二、力偶矩 定义
M Fd
为平面内力偶 F, F 的矩，简称力偶矩。
说明： 1）平面内力偶矩为代数量，其正负号表转向，一般规定 逆时针转向为正，反之为负。
力矩和平面力偶系
（力偶三要素：力偶矩旳大小；力偶旳转向和力 偶旳作用面。）
所以两个力偶等效，必须是该两个力偶旳力偶矩 大小相同，转向相同，作用面相同。（对刚体， 可作用面平行。）
例题：
F
1.习题3-2
a
b
Fx F cosa
a
Fy f sin a
M A (F ) -Fx b Fy 0 -Fb cosa
M B (F ) -Fx b Fy a F (a sin a - b cosa )
2．习题3-7
正三角形ABC
B F2
F1 F2 F3 F
X F1 cos 60 F2 cos 60 - F3 0
F1
Y F1 sin 60 - F2 sin 60 0
A
即合力FR=0
F1x
F
cos 60
第三章: 力矩与平面力偶系
本章研究力矩和力偶旳概念、力偶旳 性质、平面力偶系旳合成与平衡。本 章与第二章旳理论是研究平面一般力 系旳基础。
§3-1 力矩旳概念和计算
一般情况下，力对物体作用时能够产 生移动和转动两种外效应。力旳移动 效应取决于力旳大小和方向。为了度 量力旳转动效应，需要引入力矩旳概 念。
设物体上作用有一 力偶臂为d旳力偶 （Ｆ，Ｆ‘）
该力偶对作用面内任 一点Ｏ之矩为：
Ｏ x
F
F’ d
Ｍo(F)+Mo(F’)=F(x+d)-Fx=Fd
力偶对作用面内任一点旳矩之大小恒等于力偶中 一力旳大小和力偶臂旳乘积，而与矩心旳位置无关。
力偶对物体旳转动效应可用力与力偶臂旳乘积Fd 及转向来度量，该物理量称为力偶矩。
互成平衡旳二力对同一点旳力矩之和为 零
虽然力矩概念由力对物体上固定点旳 作用引出。实际上，作用于物体上旳力 能够对任意点取矩，即矩心可是空间中 旳任意点。
所以两个力偶等效，必须是该两个力偶旳力偶矩 大小相同，转向相同，作用面相同。（对刚体， 可作用面平行。）
例题：
F
1.习题3-2
a
b
Fx F cosa
a
Fy f sin a
M A (F ) -Fx b Fy 0 -Fb cosa
M B (F ) -Fx b Fy a F (a sin a - b cosa )
2．习题3-7
正三角形ABC
B F2
F1 F2 F3 F
X F1 cos 60 F2 cos 60 - F3 0
F1
Y F1 sin 60 - F2 sin 60 0
A
即合力FR=0
F1x
F
cos 60
第三章: 力矩与平面力偶系
本章研究力矩和力偶旳概念、力偶旳 性质、平面力偶系旳合成与平衡。本 章与第二章旳理论是研究平面一般力 系旳基础。
§3-1 力矩旳概念和计算
一般情况下，力对物体作用时能够产 生移动和转动两种外效应。力旳移动 效应取决于力旳大小和方向。为了度 量力旳转动效应，需要引入力矩旳概 念。
设物体上作用有一 力偶臂为d旳力偶 （Ｆ，Ｆ‘）
该力偶对作用面内任 一点Ｏ之矩为：
Ｏ x
F
F’ d
Ｍo(F)+Mo(F’)=F(x+d)-Fx=Fd
力偶对作用面内任一点旳矩之大小恒等于力偶中 一力旳大小和力偶臂旳乘积，而与矩心旳位置无关。
力偶对物体旳转动效应可用力与力偶臂旳乘积Fd 及转向来度量，该物理量称为力偶矩。
互成平衡旳二力对同一点旳力矩之和为 零
虽然力矩概念由力对物体上固定点旳 作用引出。实际上，作用于物体上旳力 能够对任意点取矩，即矩心可是空间中 旳任意点。
03--第三章 力矩与平面力偶系(修订)
例3-5 ：
已知 M 2kN m,OA r 0.5m,θ 30; 1
求：平衡时的 M 2及铰链O，B处的约束力.
解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图.
M 0 M1 FA r sin 0
解得 FO FA 8kN
取杆BC，画受力图.
M 0
FA'
r
sin
M2
0
解得 M2 8kNm
F 'd Fd
力矩的符号 M F 力偶矩的符号 M O
3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任 意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力 臂的长短，对刚体的作用效果不变.
=
=
=
ABC ABD
ABC？ABD
M FR，Fi R FRd1 2ABD
M
F,
Fi
Fd
2ABC
=
=
=
=
l
q dx x
0
l
0
x2 l
q dx
得 h 2l 3
例3-4
已知：M1 M 2 10N m, M3 20N m, l 200mm;
求： 光滑螺柱AB所受水平力.
解：由力偶只能由力偶平衡的性质， 其受力图为
M 0
FAl M1 M2 M3 0
解得
FA
FB
M1 M2 l
M3
200N
力偶矩 M F d 2 1 F d 2ABC
2
二. 力偶与力偶矩的性质 1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零.
2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩， 不因矩心的改变而改变.
M F d
MO1 F
F,
d
F
x1
MO1 F M
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第三章 力矩与平面力偶理论
第三章
力矩与平面力偶理论
第三章 力矩与平面力偶理论
Fx F cos
F Fx i Fy j
（2）解析法 根据合力投影定理：
2 2 FR FRx FRy ( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2 FRy FRx cos(FR , i ) , cos(FR , j ) FR FR
O
h 解：（1）直接计算 F
M O (Fn ) Fn h Fn r cos
（2）利用合力之矩定理计算
Fn
Fr
M O (Fn ) M O (Fr ) M O (F ) M O (F ) Fn r cos
第三章 力矩与平面力偶理论
§3-2
1.力偶与力偶矩
力偶及其性质
力偶——两个大小相等、方向相反 且不共线的平行力组成的力系。 力偶臂——力偶的两力之间的垂直 距离。 力偶的作用面——力偶所在的平面。
E
FE
第三章 力矩与平面力偶理论
注意！
（1）明确研究对象 （2）正确作出受力图 （3）列方程求解
文字不宜过多，但也不能过少。 力不允许多画，但也不能少画。
第三章 力矩与平面力偶理论
思考题1
问刚体在四个力的作用下是否 平衡，若改变 F1 和 F1′的方向，则
D
F1 F2
A
F1
结果又如何。
C
F2
第3章
力矩与平面力偶理论
※ 平面力对点之矩的概念及计算 ※ 力偶及其性质
※ 平面力偶系的合成与平衡
※ 结论与讨论
第三章 力矩与平面力偶理论
§3-1
1.力对点之矩
平面力对点之矩的概念及计算
M O (F ) F d
B
F
M O (F ) 2OAB
A
h
MO(F) —— 代数量（标量）
O —— 矩心 h —— 力臂
E
(4) 取ACE为研究对象
FE
C
FC
Fy 0, FC sin FE cos 45 0
FA
A
1 sin 5
5M FC a
(3) 取DE为研究对象
FD
D
C
B
FD
FC
D
FB
M
M 0, FD a sin 45 M 0
2M FD FE a
F0
F0 F1 A F C F2 D B
F2
F0
F1
d
F
M
第三章
力矩与平面力偶理论
§3-3
F1 d1
F2
平面力偶系的合成与平衡
F3d F1d1 M1
F1
F2
d2
F4 d F2 d 2 M 2
F F4 F3 , F F4 F3
F3 A
F4
F4
M Fd ( F4 F3 )d M 2 M1
M O (FR ) M O (F1 ) M O (F2 ) M O (Fn ) M O (Fi )
7. 力偶和力偶矩
力偶——两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。
M Fd 力偶矩
力偶在任一轴上的投影等于零，且对平面内任一点的矩恒等于 力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。
M1
(2) 取CD为研究对象
M2 FB
B
M 0, M 2 FC a sin 30 0
M1
D A
FC
C
解得
FA
1 M 2 FC 2
FD
M2
第三章 力矩与平面力偶理论
因为
FB = FC
M1 3 M2
D
M
E
例 题 4
B
求：A、B、C、D、E处 的约束反力。
a
C
FB a
A
解: (1) 取整体为研究对象
（2）力偶矩是度量力偶对 刚体的转动效果；它有两个 要素：力偶矩的大小和力偶 矩的转向。
2.平面力偶的等效定理
F0
★ 在同平面内的两个力偶， 如果力偶矩相等，则两力偶彼 此等效。 推论1：力偶对刚体的作用与力 偶在其作用面内的位置无关。 推论2：只要保持力偶矩的大小 和力偶的转向不变，可以同时 改变力偶中力的大小和力偶臂 的长短，而不改变力偶对刚体 的作用。 M M
合成结果：
d
B
F3
F
A F
第三章 力矩与平面力偶理论
M Mi
平衡条件：
d
B
Mi 0
例 题 2
已知：a, M
M
B
求：A、 C 处约束反力。
a
A
解：（1）取AB为研究对象
C
a
a
M 0, M FA 2a 0
2 FA FB M 2
M
FB
B
（2）取BC为研究对象
第三章 力矩与平面力偶理论
A
F
d B
x O
M O ( F , F ) M O ( F ) M O ( F ) F (d x) Fx Fd
F
M Fd 力偶矩
（1）力偶不能合成为一个 力，也不能用一个力来平衡。 力和力偶是静力学的两个基 本要素。
第三章 力矩与平面力偶理论
B
C
2 FC FB FB M 2
第三章 力矩与平面力偶理论
FA
A
FB
FC
例 题 3
解: (1)取AB为研究对象
已知：AB=CD=a, ∠BCD=30°
求：平衡时M1、M2之间的关系。
B C D
M 0, FB a cos30 M1 0
解得
3 M1 FB 2
A
3. 力矩与合力矩的解析表达式
y
Fy
x
F
M O (F ) M O (Fx ) M O (Fy ) xFy yFx M O (FR ) ( xi Fiy yi Fix )
x
A y
Fx
力矩与平面力偶理论
O
第三章
例 题 1
已知：Fn，，r 求：力 Fn 块对轮心O的力矩。 r
B
第三章
力矩与平面力偶理论
思考题2
当 M=PR 时，系统处于平 衡，因此力偶也可以与一个力
o
M
R
平衡，这种说法对吗。
P
第三章
力矩与平面力偶理论
思考题3
图示系统平衡否，若平 衡，A、B处约束反力的方向 应如何确定。
B
M
C
M
A
第三章
力矩与平面力偶理论
结论与讨论
1. 力在坐标轴上的投影为： 2. 平面内力的解析表达式为： 3. 求平面汇交力系的合力 （1）几何法 根据力多边形规则，求得合力的大小和方向为： FR Fi 合力的作用线通过各力的汇交点。
4. 平面汇交力系的平衡条件 （1）平衡的必要和充分条件： （2）平衡的几何条件：
FR Fi 0
力多边形自行封闭
（3）平衡的解析条件：
Fxi 0 Fyi 0
第三章
力矩与平面力偶理论
5. 平面力对点之矩
M O (F ) F d 2OAB
6. 合力矩定理：
第三章
“＋ ”—— 使使物体顺时针转时力矩为负。
力矩与平面力偶理论
2. 合力之矩定理
平面汇交力系合力对于平面内一点之矩等于所有各分力对于
该点之矩的代数和。
M O (FR ) M O (F1 ) M O (F2 ) M O (Fn ) M O (Fi )
FA
FD
D
M 0, M FAa 0 M FA FB a
(2) 取BCD为研究对象
a
a
确定 D 处约束反力的方向
C B
(3) 取DE为研究对象
FB
FD
FC
D
M
M 0, FD a sin 45 M 0
2M FD FE a
E
FE
第三章 力矩与平面力偶理论
第三章
力矩与平面力偶理论
第三章 力矩与平面力偶理论
Fx F cos
F Fx i Fy j
（2）解析法 根据合力投影定理：
2 2 FR FRx FRy ( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2 FRy FRx cos(FR , i ) , cos(FR , j ) FR FR
O
h 解：（1）直接计算 F
M O (Fn ) Fn h Fn r cos
（2）利用合力之矩定理计算
Fn
Fr
M O (Fn ) M O (Fr ) M O (F ) M O (F ) Fn r cos
第三章 力矩与平面力偶理论
§3-2
1.力偶与力偶矩
力偶及其性质
力偶——两个大小相等、方向相反 且不共线的平行力组成的力系。 力偶臂——力偶的两力之间的垂直 距离。 力偶的作用面——力偶所在的平面。
E
FE
第三章 力矩与平面力偶理论
注意！
（1）明确研究对象 （2）正确作出受力图 （3）列方程求解
文字不宜过多，但也不能过少。 力不允许多画，但也不能少画。
第三章 力矩与平面力偶理论
思考题1
问刚体在四个力的作用下是否 平衡，若改变 F1 和 F1′的方向，则
D
F1 F2
A
F1
结果又如何。
C
F2
第3章
力矩与平面力偶理论
※ 平面力对点之矩的概念及计算 ※ 力偶及其性质
※ 平面力偶系的合成与平衡
※ 结论与讨论
第三章 力矩与平面力偶理论
§3-1
1.力对点之矩
平面力对点之矩的概念及计算
M O (F ) F d
B
F
M O (F ) 2OAB
A
h
MO(F) —— 代数量（标量）
O —— 矩心 h —— 力臂
E
(4) 取ACE为研究对象
FE
C
FC
Fy 0, FC sin FE cos 45 0
FA
A
1 sin 5
5M FC a
(3) 取DE为研究对象
FD
D
C
B
FD
FC
D
FB
M
M 0, FD a sin 45 M 0
2M FD FE a
F0
F0 F1 A F C F2 D B
F2
F0
F1
d
F
M
第三章
力矩与平面力偶理论
§3-3
F1 d1
F2
平面力偶系的合成与平衡
F3d F1d1 M1
F1
F2
d2
F4 d F2 d 2 M 2
F F4 F3 , F F4 F3
F3 A
F4
F4
M Fd ( F4 F3 )d M 2 M1
M O (FR ) M O (F1 ) M O (F2 ) M O (Fn ) M O (Fi )
7. 力偶和力偶矩
力偶——两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。
M Fd 力偶矩
力偶在任一轴上的投影等于零，且对平面内任一点的矩恒等于 力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。
M1
(2) 取CD为研究对象
M2 FB
B
M 0, M 2 FC a sin 30 0
M1
D A
FC
C
解得
FA
1 M 2 FC 2
FD
M2
第三章 力矩与平面力偶理论
因为
FB = FC
M1 3 M2
D
M
E
例 题 4
B
求：A、B、C、D、E处 的约束反力。
a
C
FB a
A
解: (1) 取整体为研究对象
（2）力偶矩是度量力偶对 刚体的转动效果；它有两个 要素：力偶矩的大小和力偶 矩的转向。
2.平面力偶的等效定理
F0
★ 在同平面内的两个力偶， 如果力偶矩相等，则两力偶彼 此等效。 推论1：力偶对刚体的作用与力 偶在其作用面内的位置无关。 推论2：只要保持力偶矩的大小 和力偶的转向不变，可以同时 改变力偶中力的大小和力偶臂 的长短，而不改变力偶对刚体 的作用。 M M
合成结果：
d
B
F3
F
A F
第三章 力矩与平面力偶理论
M Mi
平衡条件：
d
B
Mi 0
例 题 2
已知：a, M
M
B
求：A、 C 处约束反力。
a
A
解：（1）取AB为研究对象
C
a
a
M 0, M FA 2a 0
2 FA FB M 2
M
FB
B
（2）取BC为研究对象
第三章 力矩与平面力偶理论
A
F
d B
x O
M O ( F , F ) M O ( F ) M O ( F ) F (d x) Fx Fd
F
M Fd 力偶矩
（1）力偶不能合成为一个 力，也不能用一个力来平衡。 力和力偶是静力学的两个基 本要素。
第三章 力矩与平面力偶理论
B
C
2 FC FB FB M 2
第三章 力矩与平面力偶理论
FA
A
FB
FC
例 题 3
解: (1)取AB为研究对象
已知：AB=CD=a, ∠BCD=30°
求：平衡时M1、M2之间的关系。
B C D
M 0, FB a cos30 M1 0
解得
3 M1 FB 2
A
3. 力矩与合力矩的解析表达式
y
Fy
x
F
M O (F ) M O (Fx ) M O (Fy ) xFy yFx M O (FR ) ( xi Fiy yi Fix )
x
A y
Fx
力矩与平面力偶理论
O
第三章
例 题 1
已知：Fn，，r 求：力 Fn 块对轮心O的力矩。 r
B
第三章
力矩与平面力偶理论
思考题2
当 M=PR 时，系统处于平 衡，因此力偶也可以与一个力
o
M
R
平衡，这种说法对吗。
P
第三章
力矩与平面力偶理论
思考题3
图示系统平衡否，若平 衡，A、B处约束反力的方向 应如何确定。
B
M
C
M
A
第三章
力矩与平面力偶理论
结论与讨论
1. 力在坐标轴上的投影为： 2. 平面内力的解析表达式为： 3. 求平面汇交力系的合力 （1）几何法 根据力多边形规则，求得合力的大小和方向为： FR Fi 合力的作用线通过各力的汇交点。
4. 平面汇交力系的平衡条件 （1）平衡的必要和充分条件： （2）平衡的几何条件：
FR Fi 0
力多边形自行封闭
（3）平衡的解析条件：
Fxi 0 Fyi 0
第三章
力矩与平面力偶理论
5. 平面力对点之矩
M O (F ) F d 2OAB
6. 合力矩定理：
第三章
“＋ ”—— 使使物体顺时针转时力矩为负。
力矩与平面力偶理论
2. 合力之矩定理
平面汇交力系合力对于平面内一点之矩等于所有各分力对于
该点之矩的代数和。
M O (FR ) M O (F1 ) M O (F2 ) M O (Fn ) M O (Fi )
FA
FD
D
M 0, M FAa 0 M FA FB a
(2) 取BCD为研究对象
a
a
确定 D 处约束反力的方向
C B
(3) 取DE为研究对象
FB
FD
FC
D
M
M 0, FD a sin 45 M 0
2M FD FE a
E
FE
第三章 力矩与平面力偶理论