4、定积分的概念 学生版

[点睛]利用定积分的几何意义求定积分的关注点
(1)当f(x)≥0时， f(x)dx等于由直线x＝a，x＝b，y＝0与曲线y＝f(x)围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义．
(2)计算 f(x)dx时，先明确积分区间[a，b]，从而确定曲边梯形的三条直边x＝a，x＝b，y＝0，再明确被积函数f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积S而得到定积分的值：
C．当v＝at＋b(a≠0，a，b为常数)时，汽车做匀变速直线运动，这时路程s＝bt1＋ at
D．当v＝at2＋bt＋c(a≠0，a，b，c为常数)时，汽车做变速直线运动，这时路程s＝ sn＝ (ξi)Δt
2．函数f(x)＝x2－1在区间 上()
A．f(x)的值变化很小
B．f(x)的值变化很大
C．f(x)的值不变化
C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均不正确
4．在求由函数y＝ 与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为()
A. B. C．[i－1，i]D.
5．函数f(x)＝x2在区间 上()
A．f(x)的值变化很小B．f(x)的值变化很大
2．定积分 (－3)dx等于()
A．－6B．6C．－3D．3
3．下列命题不正确的是()
A．若f(x)是连续的奇函数，则 f(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则 f(x)dx＝2 f(x)dx
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则 f(x)dx＞0
D．若f(x)在[a，b]上连续且 f(x)dx＞0，则f(x)在[a，b]上恒正
7．由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2＋2x围成的图形的面积为________________．
8．汽车以v＝(3t＋2)m/s做变速直线运动，在第1 s到第2 s间经过的路程是________．
9.求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的图形的面积．
10．汽车做变速直线运动，在时刻t的速度(单位：km/h)为v(t)＝t2＋2，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程为多少？
[点睛]当n→＋∞时，所得梯形的面积不是近似值，而是真实值．
求曲边梯形的面积
[典例]求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1所围成的曲边梯形的面积[参考公式12＋22＋…＋n2＝ n(n＋1)(2n＋1)]．
求曲边梯形面积
(1)思想：以直代曲．
(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限．
(3)关键：近似代替．
用定积分的性质求定积分
[典例](1)f(x)＝ 则 f(x)dx＝()
A. (x＋1)dxB. 2x2dxC. (x＋1)dx＋ 2x2dxD. 2xdx＋ (x＋1)dx
(2)已知 xdx＝ ， x2dx＝ ，求下列定积分的值：
① (2x＋x2)dx；
② (2x2－x＋1)dx.
[活学活用]
若f(x)＝ 且 (2x－1)dx＝－2， e－xdx＝1－e－1，求 f(x)dx.
(4)结果：分割越细，面积越精确．
[活学活用]
求由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝x3所围成的图形的面积．
求变速运动的路程
[典例]一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间t的速度v(t)＝ ，求汽车在t＝1到t＝2这段时间内运动的路程s.
[活学活用]
已知一质点的运动速度为v(t)＝6t2＋4(单位：m/s)，求质点开始运动后5 s内通过的路程．
③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；
④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．
3．求变速直线运动的位移(路程)
如果物体作变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
用定积分的几何意义求定积分
[典例]求定积分： ( －x)dx.
[活学活用]
计算 ( －x3)dx的值．
1．和式 (xi＋1)可表示为()
A．(x1＋1)＋(x5＋1)B．x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋1
C．x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋5D．(x1＋1)(x2＋1)…(x5＋1)
2．在求由x＝a，x＝b(a<b)，y＝f(x)(f(x)≥0)及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是()
C．f(x)的值不变化D．当n很大时，f(x)的值变化很小
6．若 f(x)dx＝3， g(x)dx＝2，则 [f(x)＋g(x)]dx＝__________.
7．若 f(x)dx＝1， g(x)dx＝－3，则 [2f(x)＋g(x)]dx＝_______.
8．计算： dx＝____________.
①n个小曲边梯形的面积和等于S；
②n个小曲边梯形的面积和小于S；
③n个小曲边梯形的面积和大于S；
④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值等于()
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
个性化教学辅导教案
学生姓名
年 级
学 科
上课时间
教师姓名
课 题
定积分的概念
教学目标
1.曲边梯形的面积 汽车行驶的路程
2.定积分的概念
教学过程
学生活动
——进门测 评分_____
（老师根据学生情况进行添加）
1．将区间[1,3]进行10等分需插入________个分点，第三个区间是________．
2．做直线运动的物体的速度v＝2t(m/s)，则物体在前3 s内行驶的路程为________ m.
(3) f(x)dx＝ f(x)dx＋ f(x)dx(其中a<c<b)．
——出门测 评分_____
1．已知汽车在时间[0，t1]内以速度v＝v(t)做直线运动，则下列说法不正确的是()
A．当v＝a(常数)时，汽车做匀速直线运动，这时路程s＝vt1
B．当v＝at＋b(a，b为常数)时，汽车做匀速直线运动，这时路程s＝bt1＋ at
3. xdx的值为()
A．1B. C．2D．－2
4．已知 f(x)dx＝8，则()
A. f(x)dx＝4B. f(x)dx＝4C. f(x)dx＋ f(x)dx＝8D．以上答案都不对
5．已知 xdx＝2，则 xdx＝________.
曲边梯形的面积 汽车行驶的路程
1．连续函数
如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．
当f(x)≥0时， f(x)dx＝S；当f(x)<0时，
f(x)dx＝－S.
2．定积分的性质
(1) kf(x)dx＝k f(x)dx(k为常数)．
(2) [f1(x)±f2(x)]dx＝ f1(x)dx± f2(x)dx.
(3) f(x)dx＝ f(x)dx＋ f(x)dx(其中a<c<积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
(2)定积分的几何意义：如果在区间[a，b]上函数连续且恒有f(x)≥0，那么定积分 f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a<b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(如图中的阴影部分的面积)．
2．曲边梯形的面积
(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．
(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：
①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；
②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；
9．化简下列各式，并画出各题所表示的图形的面积．
(1) x2dx＋ x2dx；
(2) (1－x)dx＋ (x－1)dx.
10．已知函数f(x)＝
求f(x)在区间[－1,3π]上的定积分．
1、 f(x)dx＝ f(ξi)
2、定积分的性质
(1) kf(x)dx＝k f(x)dx(k为常数)．
(2) [f1(x)±f2(x)]dx＝ f1(x)dx± f2(x)dx.
[典例]利用定义求定积分 x2dx.
用定义求定积分的一般步骤
(1)分割：n等分区间[a，b]；
(2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]，可取ξi＝xi－1或ξi＝xi；
(3)求和： (ξi)· ；
(4)取极限： f(x)＝ (ξi)· .
[活学活用]
利用定积分的定义计算 (－x2＋2x)dx的值．
D．当n很大时，f(x)的值变化很小
3．在求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边三角形的面积时，把区间[0,2]等分成n个小区间，则第i个小区间是________．
4．图1 5 3中阴影部分的面积用定积分表示为()
图1 5 3
A. 2xdxB. (2x－1)dxC. (2x＋1)dxD. (1－2x)dx
4．设f(x)＝ 则 f(x)dx的值是()
A. x2dxB. 2xdxC. x2dx＋ 2xdxD. 2xdx＋ x2dx
5．下列各阴影部分的面积S不可以用S＝ [f(x)－g(x)]dx求出的是()
6.求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝0，x＝1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，则所有矩形的面积之和为__________．