高斯公式
高斯定理公式
高斯定理公式
高斯定理数学公式是：∮F·dS=∫(▽·F)dV。
高斯定律表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。
高斯定理（Gauss' law）也称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。
高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。
因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。
扩展资料：
高斯定理指出：穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
换一种说法：电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的位置分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。
在真空的情况下，Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。
当存在介质时，Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。
高斯散度定理公式
高斯散度定理公式
高斯散度定理公式是∫∫（(əQ/əx)-(əP/əy)）dxdy。
散度定理又称为高斯散度定理、高斯公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。
散度定理经常应用于矢量分析中。
矢量场的散度在体积τ上的体积分等于矢量场在限定该体积的闭合曲面s上的面积分。
在物理和工程中，散度定理通常运用在三维空间中。
然而，它可以推广到任意维数。
在一维，它等价于微积分基本定理；在二维，它等价于格林公式。
散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处流散开来程度的量。
从定义中还可以看出，散度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是一个封闭区域表面的通量。
高斯公式
2. 简单应用
例1 计算曲面积分
∫∫ ( x − y )dxdy + ( y − z ) xdydz，
Σ
其 中 Σ 为 柱 面 x + y = 1及 平 面 z = 0， z = 3
2 2
所 围 成 的 空 间 闭 区 域 Ω的 整 个 边 界 曲 面 的 外 侧.
4
解 P = ( y − z ) x , Q = 0, R = x − y , z 3 ∂P ∂Q ∂R = y − z, = 0, = 0, ∂x ∂y ∂z
其中 Σ 为锥面 x + y = z 介于平面 z = 0 及 z = h( h > 0 )之间的部分的下侧， cos α , cos β , 之间的部分的下侧， cos γ 是 Σ 在 ( x , y , z ) 处的法向量的方向余弦 .
解 由第二型曲面积分的定义
原式 = ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ
Σ Ω . 这里 是 的整个边界曲面的外侧
2
由两类曲面积分之间的关系知
∂P ∂Q ∂R ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dv Ω = ∫∫ ( P cosα + Qcos β + Rcosγ )dS.
Σ
Gauss公式的实质 Gauss公式的实质 揭示了空间闭区域上的三重积分与 其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 其边界曲面上的曲面积分之间的关系
原式 = ∫∫∫ ( y − z )dxdydz
= ∫∫∫ ( ρ sinθ − z ) ρ d ρ dθ dz
= ∫ dθ ∫ ρdρ ∫ ( ρ sin θ − z )dz
高数高斯公式
R z
)dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
2、高斯公式的实质
（1）应用的条件
（2）物理意义 divAdv AdS
21
习题10 6
P174
高斯 ( Gauss ) 公 式25
1(2)(3)(4),2(3),3(2)
22
1
3
x2 y2 dxdy
Dxy
2
d
R
r rdr
2 R3
0
0
3
1
1
1
高斯
1 4 R3 2 R3 4 R3
( Gauss ) 公 式10
23
3
3
9
例 3 计算曲面积分
高斯
( x2 cos y2 cos z2 cos )ds,其中Σ为
( Gauss ) 公 式11
解 P ( y z)x, Q 0, x R x y,
1
3
z
o1
y
5
P y z, Q 0, R 0,
x
y
z
z
高斯 ( Gauss ) 公
式7
1
3
原式 ( y z)dxdydz
(利用柱面坐标得)
(r sin z)rdrddz
o1
y
x
2
1
3
0 d 0 rdr 0 (r sin z)dz
A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分为
AdS Pdydz Qdzdx Rdxdy
如E为称电为场向强量 度,场单A位(时x,间y,通z)过向正的侧电穿通过量曲面I Σ的E通dS量.
高斯公式的表达式
高斯公式的表达式
高斯公式是18世纪德国数学家卡尔·马克思·高斯发明的一个知名的数学理论，用来求解多项式次方，如二次多项式的极值、四边形的面积等复杂问题。
其公式体现在各种数学、物理中，在用法亦十分广泛，即它可以口头表达，也可以用代数和几何等等各种数学形式表达。
高斯公式定义为：((x-a)(x-b))ⁿ=C(x-a)(x-b)¹¹⁰¹⁰...,(1)
其中a和b是多项式的系数，n是次方，C是常数项。
可以看出，高斯公式中包含了三个变量，通过这三个变量的变化，可以求出多种不同的数学结果。
高斯公式的广泛用途反映在多个领域中。
它经常用于分析二次多项式的极大值和极小值的位置。
此外，它还被用于数学归纳法，计算面积、计算积分和密度函数等方面，也可以用来解决有关组合数学和概率统计的问题。
在数学、物理学以及其他学科领域中，高斯公式是不可或缺的重要工具，它可以帮助我们解决复杂的数学问题。
其优秀的计算性能以及准确的结果被广泛应用于不同学科，从而极大地推动了科学发展。
高斯公式
高斯公式（Gauss Formula ）(一) 高斯公式：1st 导论：格林公式表达了平面闭区域D 上的二重积分与D的边界曲线的曲线积分的关系，而gauss formula 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲线上的曲面积分之间的关系。
2nd 定理1：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面组成，函数∑(,,)P x y z ，，(,,)Q x y z (,,)R x y z 在上具有一阶连续偏导数，则： ∑()(P Q R dv Pd )ydz Qdxdz Rdxdy x y z Ω∑∂∂∂++=++∂∂∂∫∫∫∫∫ 或者： ……gauss formula ()(cos cos co P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑∂∂∂++=++∂∂∂∫∫∫∫∫ s )这里，是整个边界区域的外侧，∑(cos ,cos ,cos )αβγ是上点∑(,,)x y z 处的法向量的方向余弦。
(二) 沿任意闭区曲面的曲面积分等于0的条件：A. 二维单连通区域：对空间区域G ，如果G 内任意闭曲面所围成的闭曲面总是属于G ，则称空间区域G 是二维单连通区域。
B. 设G 是空间而为单连通区域，，，(,,)P x y z (,,)Q x y z (,,)R x y z 在G 内具有一阶连续偏导数，则曲面积分：(P Q R dv x y z )Ω∂∂∂++∂∂∂∫∫∫在G 上与所取曲面∑无关，而只取决于∑的边界曲线（或者沿G 内任一闭曲面的曲面积分为0）的充要条件是：0P Q R x y z∂∂∂++=∂∂∂；、(三)通量与散度总结：一般地，设某向量场由：(,,)(,,)(,,)(,,)x y z P x y z Q i j x y A z R x y z =++u r k r r r给出，其中 PQR 具有一阶连续偏导数，∑是场内的一片有向曲面，是上一点n r ∑(,,)x y z 处的单位法向量，则A n dS ∑⋅⋅∫∫u r r 叫做向量场A u r 通过曲面指定侧的通量（或者流量），而∑P Q R x y ∂∂∂++∂∂∂z 称作向量场A u r 的散度：P Q R x v zdi A y ∂∂∂++∂∂∂=u r GAUSS FORMULA 可以写成：()(nP Q R dv Pdydz Qdxdz Rdxdy x y z div AdS A dSΩ∑Ω∑∂∂∂++=++∂∂∂==∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫r u r u r )其中是空间闭区域的边界曲面，而∑Ωcos cos cos n A P Q R αβγ=++r表示向量A u r 在曲面外侧法向量上的投影。
高等数学11.6高斯(Gauss)公式
一、高斯公式
P Q R )dV ( x y z Pdydz Qdzdx Rdxdy
其中 取外侧 .
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy ( ) dv x y z
对图中区域 , 可添加曲面 3 ( 上侧 ),
1 2 ,
1 2 ,
1 1 3 , 2 2 3 ,
1 2
z
2
3
2
1
1 3
2 3
2
z=h
1
法向量 y z h( h 0) (0,0,1)
2 2
h
D xy
o
y
2 2 2 1 4 ( x cos y cos z cos ) dS 2 ( x y z ) dv h . 2 1
x
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS z 2 dS
2
y z h( h 0)
2 2
h
D xy
o
y
2
x P Q R ( P cos Q cos R cos )dS . ( ) dv x y z
2 2 2 ( x cos y cos z cos )dS ( x y z )dv 1
0,
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
高斯公式
(
u x
v x
u v y y
u v )dv z z
二、通量与散度
定义1 给了向量场
A(x, y, z) ( P (x, y, z) ,Q (x, y, z) , R (x, y, z) )
又 P、Q、R 具有一阶连续偏导数，则称
P Q R 为向量场 A 的散度，记为 x y z
S 1
S
2
R[x, y, z1( x, y)]dxdy
1 : z z1(x, y) y
Dxy
o
0
Dxy
x
R[x, y, z2( x, y)]dxdy
Dxy
{R[x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy
D xy
z 2 : z z2( x, y)
(0 , 0, 1) (cos ,cos ,cos )
cos 0，cos 0，cos 1
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS
1
( x2 0 y2 0 z2 1)dS
z
1
z2dS
o
(x, y)
R( x, y, z)
z2(x, y)
dxdy
x
Dxy
D xy
z1( x, y)
{R[x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy
D xy
z 2 : z z2( x, y)
Rdxdy
Rdxdy Rdxdy Rdxdy
1(外) S0 (下)
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1 h h
o x
y
2 2 2 1: z h, ( x, y ) D x y : x y h , 取上侧
记 , 1所围区域为, 则
I (
1 1
在 1 上 , 0 2
)( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) d S
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内容小结
1. 高斯公式及其应用
公式:
P d y d z Q d z d x R d x d y P Q R d xd yd z x y z
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)
应用: (1) 计算曲面积分
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(Gauss 公式)
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例1. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 z 闭域 的整个边界曲面的外侧. 3 解: 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( y z ) d x d y d z (用柱坐标)
2 z d x d ydz h
4
2 z d x d ydz h 4
z
4 h 2 z z d z 0 2
h
1 h h
o x
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y
结束
1 4 h 2
二、通量与散度
定义: 设有向量场
A( x, y, z ) P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k
(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:
P d y d z Q d z d x R d x d y 0
P Q R 0 x y z
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2. 通量与散度
设向量场 A ( P, Q, R), P, Q, R, 在域G内有一阶 连续
其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向 有向曲面 的通量(流量) . 在场中点 M(x, y, z) 处 曲面,其单位法向量 n, 则称 A n d S 为向量场 A 通过
P Q R 记作 div A x y z
称为向量场 A 在点 M 的散度.
偏导数, 则
向量场通过有向曲面 的通量为
A n d S
G 内任意点处的散度为 P Q R div A x y z
机动
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第六节 高斯公式 通量与散度
Green 公式
推广
第十一章
Gauss 公式
一、高斯公式 二、通量与散度
机动
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高斯(1777 – 1855)
德国数学家、天文学家和物理学家,
是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、
代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 在对天文学、大 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 恪守这样的
ห้องสมุดไป่ตู้
原则: “问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.
一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 上有连续的一阶偏导数 , 则有
Pdydz Qdzdx Rdxdy
或
P cos Q cos R cos dS
2
xy
2 ( x y z ) d x d y d z D h d x d y
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I 2 ( x y z ) d xdydz
Dx y
h d xd y
2
2 x d x d ydz 2 y d x d ydz
( sin z ) d d d z
o 1 x
y
d d ( sin z ) d z
0 0 0
2
1
3
9 2
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例2. 利用Gauss 公式计算积分
z
其中 为锥面 x 2 y 2 z 2 介于 z = 0 及