选修2-1空间向量的-直角坐标运算课时作业

课时作业19 空间向量的直角坐标运算
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为1，B 1E 1＝14A 1B 1，则BE
1→等于( )
A ．(0，1
4，－1) B ．(－1
4，0,1) C ．(0，－1
4，1)
;
D ．(1
4，0，－1)
【答案】 C
【解析】 ∵B (1,1,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)． ∴E 1(1，34，1)，∴BE 1→＝(0，－14
，1)．故选C. 2．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 相互垂
直，则k 的值是( )
A ．1
【答案】 D。

【解析】 k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，
且(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －4＝0， ∴k ＝75.
3．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b
与a －b 的夹角是( )
A ．90°
B ．60°
C ．30°
D ．0°
【答案】 A
【解析】 a ＋b ＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，
{
a －
b ＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，
∴(a ＋b )·(a －b )＝cos 2α－sin 2α＋sin 2α－cos 2α＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )，故选A.
4．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值是( )
【答案】 C
【解析】 由已知b －a ＝(1＋t,2t －1,0)，
（
∴|b －a |＝?1＋t ?2＋?2t －1?2＋0
＝
5?t －15?2＋95≥35
5.
5．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 夹角的余弦为8
9，
则λ＝( )
A ．2
B ．－2
C ．－2或2
55 D ．2或－2
55
【答案】 C
【解析】 a·b ＝2－λ＋4＝6－λ， |a |＝5＋λ2，|b |＝9.
…
cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝6－λ5＋λ2·9＝8
9
，
55λ2
＋108λ－4＝0，解得λ＝－2或λ＝2
55.
6．已知O 为坐标原点，OA
→＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )
【答案】 C
【解析】 设Q (x ，y ，z )，因Q 在OP →上，故有OQ →∥OP →，可得x ＝λ，y ＝λ，z ＝2λ，
则Q (λ，λ，2λ)，QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
…
所以QA →·QB →＝6λ2
－16λ＋10＝6(λ－43)2－23，
故当λ＝43时，QA →·QB →取最小值． 二、填空题(每小题10分，共30分)
7．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2)，若a ∥b ，则λ＝________，
μ＝________.
【答案】 5 1
2
【解析】
∵a ∥b ，∴a ＝m b ，即⎩⎪⎨⎪
⎧
λ＋1＝6m ，0＝m ?2μ－1?，
2＝2m ，
∴m ＝1，λ＝5，μ＝1
2.
8．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是________． —
【答案】 直角三角形
【解析】 ∵AC →＝(5,1，－7)，BC →＝(2，－3,1)， ∴AC →·BC
→＝0. ∴AC
→⊥BC →，△ABC 为直角三角形． 9．已知a ＝(2,3，－1)，b ＝(－2,1,3)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积是________．
【答案】 65
【解析】 |a |＝14，|b |＝14，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－2
7，∴sin 〈a ，b 〉＝35
7，∴面积S ＝|a ||b |sin 〈a ，b 〉＝6 5.
三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) *
10．(13分)已知A 、B 、C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－
1)，(－2,2,3)．求P 点的坐标，使(1)O P →＝12(A B →－A C →)；
(2)A P →＝1
2(A B →－A C →)．
【解析】 A B →＝(2,6，－3)，A C →＝(－4,3,1)．
(1)O P →＝12(6,3，－4)＝(3，32，－2)，则P 点坐标为(3，32，－2)． (2)设P 点坐标为(x ，y ，z )，则A P →＝(x －2，y ＋1，z －2) ＝12(A B →－A C →)＝(3，32，－2)． ∴x ＝5，y ＝1
2，z ＝0， ∴P 点坐标为(5，1
2，0)．
%
11．(13分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设
a ＝AB
→，b ＝AC →.
(1)设|c |＝3，c ∥BC →，求c . (2)求a 与b 的夹角．
(3)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k . 【解析】 (1)∵c ∥BC →，BC →＝(－2，－1,2)． 设c ＝(－2λ，－λ，2λ)，
∴|c |＝?－2λ?2＋?－λ?2＋?2λ?2＝3|λ|＝3， ∴λ＝±1.
'
∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)．
(2)a ＝AB
→＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)， b ＝AC
→＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)． ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|
＝?1，1，0?·?－1，0，2?2×5＝－1010.
∴a 和b 的夹角为〈a ，b 〉＝π－arccos 10
10. (3)k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． 又(k a ＋b )⊥(k a －2b )，则(k a ＋b )·(k a －2b )＝0， ∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝k 2＋k －2＋k 2－8＝0， ∴k ＝2或k ＝－52.
12．(14分)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，问当点N 位于线段AB 何处时，MN ⊥MC 1
【解析】 以A 为坐标原点，棱AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图．设正方体棱长为a .
则M (0,0，a
2)，C 1(a ，a ，a )． 设N (x,0,0)，
则MC 1→＝(a ，a ，a 2)，MN →＝(x,0，－a 2)． 由M N →·MC 1→＝xa －a 24＝0，得x ＝a 4.
所以点N 的坐标为(a
4，0,0)，即N 为线段AB 的四等分点且靠近点A 时，MN ⊥MC 1.。