抛物线与直线交点问答
直线与抛物线的位置关系含答案解析
直线与抛物线的位置关系专题训练一、单选题(共6 分)1“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线与抛物线的位置关系可得答案【详解】“直线与抛物线相切”可得“直线与抛物线只有一个公共点”“直线与抛物线只有一个公共点”时直线可能与对称轴平行此时不相切故“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件故选：A2直线y=k(x−1)+2与抛物线x2=4y的位置关系为（）A相交B相切C相离D不能确定【答案】A【分析】直线y=k(x−1)+2过定点(1,2)在抛物线x2=4y内部即可得出结论．【详解】直线y=k(x−1)+2过定点(1,2)∵12<4×2∴(1,2)在抛物线x2=4y内部∴直线y=k(x−1)+2与抛物线x2=4y相交故选：A．二、填空题(共9 分)3直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点则k=________【答案】0或1【分析】当k=0时直线为y=2与抛物线对称轴平行故只有一个交点当k≠0时将y=kx+2代入抛物线y2=8x用判别式法求解【详解】当k=0时直线为y=2与抛物线只有一个交点(12,2)当k≠0时将y=kx+2代入抛物线y2=8x得：k2x2+(4k−8)x+4=0因为直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点所以Δ=(4k−8)2−16k2=0解得k=1综上：k=0或k=1故答案为：0或1【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力属于基础题4过抛物线x2=4y上一点(4,4)的抛物线的切线方程为________【答案】y=2x−4【分析】解法一：设切线方程为y−4=k(x−4)联立切线方程与抛物线方程由Δ=0得k=2则切线方程可求解法二：利用导数的几何意义直接可求切线斜率再由点斜式方程求得答案【详解】解法一：设切线方程为y−4=k(x−4)．由{y−4=k(x−4)x2=4y⇒x2=4(kx−4k+4)⇒x2−4kx+16(k−1)=0由Δ=(−4k)2−4×16(k−1)=0得k2−4k+4=0∴k=2故切线方程为y−4=2(x−4)即y=2x−4故答案为：y=2x−4解法二：由x2=4y得y=x24∴y′=x2∴y′|x=4=42=2∴切线方程为y−4=2(x−4)即y=2x−4故答案为：y=2x−45过点P(2,−1)作抛物线C:x2=2y的两条切线切点分别为AB则直线AB的方程为___________【答案】2x−y+1=0【分析】利用导数的几何意义求出切线方程再利用直线方程的相关知识即可求出【详解】抛物线C:x2=2y可写成：y=x22且y′=x设A(x1,y1),B(x2,y2)则两条切线的斜率分别为k1=x1,k2=x2两条切线的方程为：y−y1=x1(x−x1)y−y1=x1(x−x1)又两条切线过点P(2,−1)所以−1−y1=x1(2−x1)−1−y1=x1(2−x1)所以直线AB的方程为：−1−y=x(2−x)又x2=2y所以直线AB的方程为：2x−y+1=0故答案为：2x−y+1=0三、多选题(共3 分)6已知点O为坐标原点直线y=x−1与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点则（）A|AB|=8B OA⊥OBC△AOB的面积为2√2D线段AB的中点到直线x=0的距离为2【答案】AC【分析】先判断直线过焦点联立方程组{y =x −1y 2=4x结合韦达定理得两根关系再根据选项一一判断即可．【详解】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)抛物线C:y 2=4x 则P =2 焦点为(1,0)则直线y =x −1过焦点； 联立方程组{y =x −1y 2=4x消去y 得x 2−6x +1=0 则x 1+x 2=6,x 1x 2=1y 1y 2=(x 1−1)(x 2−1)=x 1x 2−(x 1+x 2)+1=−4所以|AB |=x 1+x 2+P =6+2=8 故A 正确；由OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2=1−4=−3≠0所以OA 与OB 不垂直B 错； 原点到直线y =x −1的距离为d =√2=√2所以△AOB 的面积为S =12×d ×|AB |=12×√2×8=2√2 则C 正确；因为线段AB 的中点到直线x =0的距离为x 1+x 22=62=3故D 错故选：AC 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p 若不过焦点则必须用一般弦长公式． 四、填空题(共 3 分)7过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A,B 两点若|AF |=3则|BF |=______ 【答案】32 【详解】设∠AFx ＝θ则由抛物线的定义知x A ＋1＝2＋3cos θ＝3得cos θ＝13 又|BF|＝x B ＋1＝1－|BF|cos θ＋1＝2－13|BF|∴|BF|＝32五、单选题(共 9 分)8过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A,B 两点若AB 的中点M 的横坐标为2则线段AB 的长为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7【答案】C 【分析】结合抛物线的弦长公式求得正确答案 【详解】设点A,B 的横坐标分别为x 1,x 2则x 1+x 2=2x M =4由过抛物线的焦点的弦长公式知：|AB |=x 1+x 2+p =4+2=6 故选：C9已知抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点为F 过点F 且倾斜角为45°的直线交抛物线C 于A 、B 若|AB |=9则抛物线C 的方程为（ ） A x 2=3y B x 2=12yC x 2=92yD x 2=16y【答案】C 【分析】设出直线方程然后联立直线方程与抛物线方程借助韦达定理以及过焦点的弦长公式可求出p【详解】由已知得直线AB的方程为y=x+p2联立方程组{y=x+p2,x2=2py消去x得y2−3py+p24=0设A(x1,y1)B(x2,y2)由韦达定理知y1+y2=3p因为|AB|=9所以y1+y2+p=9所以4p=9即p=94所以所求抛物线C的方程为x2=92y故选：C10设F为抛物线C:y2=3x的焦点过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点O为坐标原点则△OAB的面积为A3√34B9√38C6332D94【答案】D 【分析】【详解】由题意可知：直线AB的方程为y=√33(x−34)代入抛物线的方程可得：4y2−12√3y−9=0设A(x1,y1)、B (x2,y2)则所求三角形的面积为12×34×√(y1+y2)2−4y1y2= 94故选D考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系考查两点间距离公式等基础知识考查同学们分析问题与解决问题的能力六、填空题(共3 分)11已知直线y=(a+1)x−1与曲线y2=ax恰有一个公共点则实数a的值为________【答案】0或−1或−45【分析】根据给定条件联立方程利用方程组有解求解即得【详解】当a=0时曲线y2=ax为直线y=0显然直线y=x−1与y=0有唯一公共点(1,0)因此a=0；当a≠0时由{y=(a+1)x−1y2=ax消去y并整理得：(a+1)2x2−(3a+2)x+1=0当a=−1时x=−1,y=−1直线y=−1与曲线y2=−x有唯一公共点(−1,−1)因此a=−1；当a≠0且a≠−1时Δ=(3a+2)2−4(a+1)2=5a2+4a=0则a=−45此时直线y=15x−1与曲线y2=−45x相切有唯一公共点因此a=−45所以实数a的值为0或−1或−45故答案为：0或−1或−45七、多选题(共3 分)12已知抛物线Γ：x2=2py(p>0)过其准线上的点T(t,−1)作的两条切线切点分别为AB下列说法正确的是（）A p=2B当t=1时TA⊥TBC当t=1时直线AB的斜率为2D△TAB面积的最小值为4【答案】ABD【分析】选项A：由点T(t,−1)在准线上可求出p从而可判断；选项B：设直线y+1=k(x−1)与抛物线方程联立由韦达定理可判断；选项C：设A(x1,y1)B(x2,y2)分别求出TATB方程根据方程结构可判断；选项D：先同C求得直线AB的方程y=t2x+1再表达出△TAB的面积关于t的表达式进而求得面积的最大值即可【详解】对A易知准线方程为y=−1∴p=2C：x2=4y故选项A正确对B设直线y+1=k(x−1)代入y=x 24得x24−kx+k+1=0当直线与C相切时有Δ=0即k2−k−1=0设TATB斜率分别为k1k2易知k1k2是上述方程两根故k1k2=−1故TA⊥TB故选项B正确对C设A(x1,y1)B(x2,y2)其中y1=x124y2=x224则TA：y−x124=x12(x−x1)即y=x12x−y1代入点(1,−1)得x1−2y1+2=0同理可得x2−2y2+2=0故AB：x−2y+2=0故k AB=12故选项C不正确对D同C切线方程TA：y=x12x−y1；TB：y=x22x−y2代入点(t,−1)有−1=x12t−y1−1=x2 2t−y2故直线AB的方程为−1=x2t−y即y=t2x+1联立x2=4y有x2−2tx−4=0则x1+x2=2t,x1x2=−4故|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=2√t2+4又(t,−1)到tx−2y+2=0的距离d =2√t 2+4=√t 2+4故S △TAB =12√1+t 24|x 1−x 2|d =12(t 2+4)32故当t =0时△TAB 的面积小值为12×432=4故D 正确；故选：ABD八、填空题(共 3 分)13在平面直角坐标系xOy 中直线y =kx +4交抛物线C ：x 2=4y 于AB 两点交y 轴于点Q 过点AB 分别作抛物线C 的两条切线相交于点M 则以下结论：①∠AOB = 90°；②若直线MQ 的斜率为k 0有kk 0=−8；③点M 的纵坐标为−4；④∠AMB =90°．其中正确的序号是______________． 【答案】①③ 【分析】设A （x 1,y 1）B （x 2,y 2）利用导数求出切线AM 、BM 的方程求出M (x 1+x 22,x 1x 24)利用“设而不求法”得到x 1+x 2=4kx 1x 2=−16即可得到M(2k,−4)可判断③正确；由OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ·OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0判断①正确；直接计算出k MQ k =−4可判断②；k MA ·k MB =−4≠0可判断④ 【详解】设A （x 1,y 1）B （x 2,y 2）则由y =x 24可得：y ′=x2所以k AM =x 12直线AM 方程为y −x 124=x 12(x −x 1)；同理直线BM 方程为y =x 22x −x 224解得M (x 1+x 22,x 1x 24)将y =kx +4代入x 2=4y =4(kx +4)⇒x 2−4kx −16=0⇒x 1+x 2=4kx 1x 2=−16∴M(2k,−4)故③正确； 因为OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ·OB⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1x 2)216=0故∠AOB =90°故①正确； 由k MQ =−82k=−4k ⇒k MQ k =−4故②错误；由k MA ·k MB =14x 1x 2=−4≠0可知∠AMB ≠90°④错误． 故答案为：①③ 【点睛】解析几何问题常见处理方法：(1)正确画出图形利用平面几何知识运算； (2)坐标化把几何关系转化为坐标运算． 九、单选题(共 3 分)14已知线段AB 是过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 的一条弦过点A （A 在第一象限内）作直线AC 垂直于抛物线的准线垂足为C 直线AT 与抛物线相切于点A 交x 轴于点T 给出下列命题：（1）∠AFx =2∠TAF ； （2）|TF |=|AF |； （3）AT ⊥CF 其中正确的命题个数为 A 0 B 1 C 2 D 3【答案】D 【分析】根据抛物线的定义得到|AF |=|AC |然后判断出过A 点的抛物线的切线垂直CF 进而判断出三个命题正确 【详解】根据抛物线的定义可知|AF |=|AC |由于AC 垂直抛物线的准线所以AC//x 轴 所以∠AFx =∠CAF设A (y 022p ,y 0)则C (−p 2,y 0),F (p2,0)设D 是CF 的中点则D (0,y02)所以直线AD 的方程为y −y 02=y 0−y02y 022p−0(x −0)即y =py 0x +y 02由{y =py 0x +y 02y 2=2px消去y 并化简得p 2y 02x 2−px +y 024=0其判别式Δ=p 2−4×p 2y 02×y 024=0所以直线AD 与抛物线相切故直线AD 与直线AT 重合由于D 是CF 的中点所以AD ⊥CF 也即AT ⊥CF 命题（3）成立根据等腰三角形的性质可知∠CAF =2∠TAF 所以∠AFx =2∠TAF 命题（1）成立 由于AC//x 轴所以∠CAT =∠FTA所以∠FTA =∠TAF 所以|TF |=|AF |命题（2）成立 综上所述正确的命题个数为3个 故选：D 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义和抛物线的切线方程属于中档题 十、多选题(共 3 分)15已知抛物线C:y 2=2px (p >0)的焦点为F 直线的斜率为√3且经过点F 直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限）与抛物线的准线交于点D 若|AF |=8则以下结论正确的是 A p =4 B DF ⃑⃑⃑⃑⃑ =FA⃑⃑⃑⃑⃑ C |BD |=2|BF |D |BF |=4【答案】ABC 【分析】作出图形利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误 【详解】 如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线垂足分别为点E 、M抛物线C 的准线m 交x 轴于点P 则|PF |=p 由于直线l 的斜率为√3其倾斜角为60∘ ∵AE//x 轴∴∠EAF =60∘由抛物线的定义可知|AE |=|AF |则ΔAEF 为等边三角形 ∴∠EFP =∠AEF =60∘则∠PEF =30∘∴|AF |=|EF |=2|PF |=2p =8得p =4A 选项正确；∵|AE |=|EF |=2|PF |又PF//AE ∴F 为AD 的中点则DF ⃑⃑⃑⃑⃑ =FA⃑⃑⃑⃑⃑ B 选项正确； ∴∠DAE =60∘∴∠ADE =30∘∴|BD |=2|BM |=2|BF |（抛物线定义）C 选项正确； ∵|BD |=2|BF |∴|BF |=13|DF |=13|AF |=83D 选项错误 故选：ABC 【点睛】本题考查与抛物线相关的命题真假的判断涉及抛物线的定义考查数形结合思想的应用属于中等题 十一、双空题(共 3 分)16直线l 过抛物线C:y 2=2px (p >0)的焦点F (1,0)且与C 交于A,B 两点则p =______1|AF |+1|BF |=______．【答案】 (1) 2 (2) 1 【分析】由题意知p2=1从而p =2所以抛物线方程为y 2=4x ．联立方程利用韦达定理可得结果 【详解】由题意知p2=1从而p =2所以抛物线方程为y 2=4x ．当直线AB 斜率不存在时：x =1代入解得|AF |=|BF |=2从而1|AF |+1|BF |=1． 当直线AB 斜率存在时：设AB 的方程为y =k (x −1)联立{y =k (x −1)y 2=4x整理得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0设A (x 1,y 1)B (x 2,y 2)则{x 1+x 2=2k 2+4k 2x 1x 2=1从而1|AF |+1|BF |=1x1+1+1x 2+1=x 1+x 2+2x 1+x 2+x 1x 2+1=x 1+x 2+2x 1+x 2+2=1． （方法二）利用二级结论：1|AF |+1|BF |=2p 即可得结果． 【点睛】本题考查抛物线的几何性质直线与抛物线的位置关系考查转化能力与计算能力属于基础题 十二、解答题(共 24 分)17已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F 斜率为32的直线l 与C 的交点为AB 与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4求l 的方程； （2）若AP⃑⃑⃑⃑⃑ =3PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 求|AB |． 【答案】（1）12x −8y −7=0；（2）4√133【分析】（1）设直线l ：y =32x +mA (x 1,y 1)B (x 2,y 2)；根据抛物线焦半径公式可得x 1+x 2=52；联立直线方程与抛物线方程利用韦达定理可构造关于m 的方程解方程求得结果；（2）设直线l ：x =23y +t ；联立直线方程与抛物线方程得到韦达定理的形式；利用AP⃑⃑⃑⃑⃑ =3PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 可得y 1=−3y 2结合韦达定理可求得y 1y 2；根据弦长公式可求得结果【详解】（1）设直线l 方程为：y =32x +mA (x 1,y 1)B (x 2,y 2)由抛物线焦半径公式可知：|AF |+|BF |=x 1+x 2+32=4 ∴x 1+x 2=52 联立{y =32x +m y 2=3x得：9x 2+(12m −12)x +4m 2=0则Δ=(12m −12)2−144m 2>0 ∴m <12 ∴x 1+x 2=−12m−129=52解得：m =−78∴直线l 的方程为：y =32x −78即：12x −8y −7=0 （2）设P (t,0)则可设直线l 方程为：x =23y +t 联立{x =23y +t y 2=3x得：y 2−2y −3t =0则Δ=4+12t >0 ∴t >−13∴y 1+y 2=2y 1y 2=−3t∵AP⃑⃑⃑⃑⃑ =3PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ∴y 1=−3y 2 ∴y 2=−1y 1=3 ∴y 1y 2=−3 则|AB |=√1+49⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√133⋅√4+12=4√133【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题涉及到平面向量、弦长公式的应用关键是能够通过直线与抛物线方程的联立通过韦达定理构造等量关系设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F点M(2,m)(m>0)在抛物线C上且满足|MF|=3．18 求抛物线C的标准方程；19 过点G(0,a)(a>0)的两直线l1,l2的倾斜角互补直线l1与抛物线C交于AB两点直线l2与抛物线C交于P．Q两点△FAB与△FPQ的面积相等求实数a的取值范围．【答案】18 y2=4x19 (0,1)∪(1,√2)【分析】（1）根据抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离即可求解答（2）联立直线与抛物线方程得到根与系数的关系由弦长公式求长度由点到直线的距离求高进而可得三角形的面积即可求解【18题详解】依题意点M(2,m)是抛物线C上的一点点M到焦点的距离为3所以2+p2=3,p=2所以抛物线方程为y2=4x【19题详解】由题意可知直线l1,l2的斜率存在且不为0设直线l1:x=t(y−a)所以设直线l2的方程为x=−t(y−a)联立方程组{y2=4xx=t(y−a)整理得y2−4ty+4at=0可得Δ1=16t2−16at>0,y1+y2=4t,y1y2=4atS△FAB=12×4√1+t2√t2−at×|1+ta|√1+t2=2√t2−at|1+ta|将t用−t代换可得S△FPQ=2√t2+at|ta−1|Δ2=16t2+16at>0由S△FAB=S△FPQ可得2√t2−at|1+ta|=2√t2+at|ta−1|化简可得√t+at−a =|ta+1ta−1|两边平方得t2=12−a2所以2−a2>0解得0<a<√2又由Δ1>0且Δ2>0可得t<−a或t>a可知t2>a2所以12−a2>a2即(a2−1)2>0所以a≠1所以实数a的取值范围是(0,1)∪(1,√2)20已知曲线C：y=x22D为直线y=−12上的动点过D作C的两条切线切点分别为AB（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (052)为圆心的圆与直线AB 相切且切点为线段AB 的中点求四边形ADBE 的面积【答案】(1)见详解；(2) 3或4√2 【分析】（1）可设A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)D(t,−12)然后求出AB 两点处的切线方程比如AD ：y 1+12=x 1(x 1−t)又因为BD 也有类似的形式从而求出带参数直线AB 方程最后求出它所过的定点（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立再通过M 为线段AB 的中点EM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 得出t 的值从而求出M 坐标和|EM |⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的值d 1,d 2分别为点D,E 到直线AB 的距离则d 1=√t 2+1, d 2=√t 2+1结合弦长公式和韦达定理代入求解即可 【详解】(1)证明：设D(t,−12),A(x 1,y 1),则y 1=12x 12． 又因为y =12x 2所以y′=x 则切线DA 的斜率为x 1 故y 1+12=x 1(x 1−t)整理得2tx 1−2y 1+1=0 设B(x 2,y 2)同理得2tx 2−2y 2+1=0A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)都满足直线方程2tx −2y +1=0于是直线2tx −2y +1=0过点A,B 而两个不同的点确定一条直线所以直线AB 方程为2tx −2y +1=0即2tx +(−2y +1)=0当2x =0,−2y +1=0时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点(0,12) （2）[方法一]【最优解：利用公共边结合韦达定理求面积】 设AB 的中点为G A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则G (x 1+x 22,y 1+y 22)EG⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1+x 22,y 1+y 2−52)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1−x 2 ,y 1−y 2)．由EG ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =0得(x 1+x 22)(x 1−x 2)+(y 1+y 2−52)(y 1−y 2)=0将y =x 22代入上式并整理得(x 1−x 2)(x 1+x 2)(x 12+x 22−6)=0 因为x 1−x 2≠0所以x 1+x 2=0或x 12+x 22=6．由（1）知D (x 1+x 22,−12)所以DG ⊥x 轴则S 四边形ADBE =S △ABE +S △ABD = 12|EF|⋅(x 2−x 1)+ 12|GD|⋅(x 2−x 1)=(x 2− x 1)+(x 1+x 2)2+48(x 2−x 1)（设x 2>x 1）．当x 1+x 2=0时(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4即x 2−x 1=2,S 四边形ADBE =3；当x 12+x 22=6时(x 1+x 2)2=4,(x 2−x 1)2=(x 1+ x 2)2−4x 1x 2=8即x 2−x 1=2√2S 四边形ADBE =4√2． 综上四边形ADBE 的面积为3或4√2．[方法二]【利用弦长公式结合面积公式求面积】设D (t,−12)由（1）知抛物线的焦点F 的坐标为(0,12)准线方程为y =−12．由抛物线的定义 得|AB|=x 122+12+x 222+12=(x 1+x 2)2−2x 1x 22+1=4t 2+22+1=2t 2+2．线段AB 的中点为G (t,t 2+12)．当x 1+x 2=0时t =0,AB ⊥y 轴|AB|=2 S 四边形ADBE =12×2×(52+12)=3； 当x 1+x 2≠0时t ≠0由EG ⊥AB 得t 2+12−52t−0⋅t =−1即t =±1．所以|AB|=4,G (±1,32)直线AB 的方程为y =±x +12．根据对称性考虑点G (1,32),D (1,−12)和直线AB 的方程y =x +12即可．E 到直线AB 的距离为|EG|=√(0−1)2+(52−32)2= √2D 到直线AB 的距离为|1+12+12|√12+(−1)2=√2．所以S 四边形ADBE =12×4×(√2+√2)=4√2． 综上四边形ADBE 的面积为3或4√2． [方法三]【结合抛物线的光学性质求面积】图5中由抛物线的光学性质易得∠1=∠2又∠1=∠3所以∠2=∠3． 因为AF =AA 1AD =AD 所以△AFD ≌△AA 1D 所以∠AFD =∠AA 1D =90°,DF ⊥AB,DA 1=DF ．同理△BDF ≌△BDB 1⇒DB 1=DF 所以DA 1=DB 1即点D 为A 1B 1中点． 图6中已去掉坐标系和抛物线并延长BA,B 1A 1于点H ． 因为GE ⊥AB,DF ⊥AB 所以GE ∥DF ．又因为GD 分别为AB,A 1B 1的中点所以GD ∥AA 1∥EF故EFDG 为平行四边形从而GD =EF =2,AB =AA 1+BB 1=2GD =4．因为FI ∥GD 且FI =12GD 所以I 为HD 的中点从而DF =GE =√2．S 四边形ADBE =S △ADB +S △ABE = 12AB ⋅DF +12AB ⋅GE =4√2． 当直线AB 平行于准线时易得S 四边形ADBE =3． 综上四边形ADBE 的面积为3或4√2．[方法四]【结合弦长公式和向量的运算求面积】 由（1）得直线AB 的方程为y =tx +12 由{y =tx +12y =x 22可得x 2−2tx −1=0 于是x 1+x 2=2t,x 1x 2=−1,y 1+y 2=t(x 1+x 2)+1=2t 2+1|AB|=√1+t 2|x 1−x 2|=√1+t 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2(t 2+1)设d 1,d 2分别为点D,E 到直线AB 的距离则d 1=√t 2+1, d 2=√t 2+1因此四边形ADBE 的面积S =12|AB|(d 1+d 2)=(t 2+3)√t 2+1 设M 为线段AB 的中点则M (t,t 2+12)由于EM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 而EM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(t,t 2−2)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 与向量(1,t)平行所以t +(t 2−2)t =0解得t =0或t =±1 当t =0时S =3；当t =±1时S =4√2 因此四边形ADBE 的面积为3或4√2 【整体点评】(2)方法一：利用公共边将一个三角形的面积分割为两个三角形的面积进行计算是一种常用且有效的方法；方法二：面积公式是计算三角形面积的最基本方法；方法三：平稳的光学性质和相似、全等三角形的应用要求几何技巧比较高计算量较少； 方法四：弦长公式结合向量体现了数学知识的综合运用设抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点为F 点D (p,0)过F 的直线交C 于MN 两点．当直线MD 垂直于x 轴时|MF |=3． 21 求C 的方程；22 设直线MD,ND 与C 的另一个交点分别为AB 记直线MN,AB 的倾斜角分别为α,β．当α−β取得最大值时求直线AB 的方程． 【答案】21 y 2=4x ； 22 AB:x =√2y +4 【分析】（1）由抛物线的定义可得|MF |=p +p2即可得解；（2）法一：设点的坐标及直线MN:x =my +1由韦达定理及斜率公式可得k MN =2k AB 再由差角的正切公式及基本不等式可得k AB =√22设直线AB:x =√2y +n 结合韦达定理可解【21题详解】抛物线的准线为x =−p2当MD 与x 轴垂直时点M 的横坐标为p 此时|MF |=p +p2=3所以p =2 所以抛物线C 的方程为y 2=4x ； 【22题详解】[方法一]：【最优解】直线方程横截式设M (y 124,y 1),N (y 224,y 2),A (y 324,y 3),B (y 424,y 4)直线MN:x =my +1 由{x =my +1y 2=4x 可得y 2−4my −4=0Δ>0,y 1y 2=−4由斜率公式可得k MN =y 1−y 2y 124−y 224=4y1+y 2k AB =y 3−y 4y 324−y 424=4y3+y 4直线MD:x =x 1−2y 1⋅y +2代入抛物线方程可得y 2−4(x 1−2)y 1⋅y −8=0Δ>0,y 1y 3=−8所以y 3=2y 2同理可得y 4=2y 1 所以k AB =4y3+y 4=42(y1+y 2)=k MN 2又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为α,β所以k AB =tanβ=k MN 2=tanα2若要使α−β最大则β∈(0,π2)设k MN =2k AB =2k >0则tan (α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=k 1+2k 2=11k+2k≤2√1k⋅2k=√24当且仅当1k =2k 即k =√22时等号成立 所以当α−β最大时k AB =√22设直线AB:x =√2y +n代入抛物线方程可得y 2−4√2y −4n =0 Δ>0,y 3y 4=−4n =4y 1y 2=−16所以n =4 所以直线AB:x =√2y +4 [方法二]：直线方程点斜式 由题可知直线MN 的斜率存在设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),A (x 3,y 3),B (x 4,y 4),直线MN:y =k (x −1) 由 {y =k(x −1)y 2=4x得：k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0x 1x 2=1,同理y 1y 2=−4 直线MD :y =y 1x1−2(x −2),代入抛物线方程可得：x 1x 3=4同理x 2x 4=4代入抛物线方程可得:y 1y 3=−8,所以y 3=2y 2同理可得y 4=2y 1 由斜率公式可得：k AB =y 4−y 3x 4−x 3=2(y 2−y 1)4(1x 2−1x 1)=y 2−y 12(x 2−x 1)=12k MN .（下同方法一）若要使α−β最大则β∈(0,π2)设k MN =2k AB =2k >0则tan (α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=k1+2k 2=11k+2k≤2√1k⋅2k=√24当且仅当1k =2k 即k =√22时等号成立 所以当α−β最大时k AB =√22设直线AB:x =√2y +n代入抛物线方程可得y 2−4√2y −4n =0Δ>0,y 3y 4=−4n =4y 1y 2=−16所以n =4所以直线AB:x =√2y +4 [方法三]：三点共线设M (y 124,y 1),N (y 224,y 2),A (y 324,y 3),B (y 424,y 4)设P (t,0),若 P 、M 、N 三点共线由PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(y 124−t,y 1)，PN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(y 224−t,y 2) 所以(y 124−t)y 2=(y 224−t)y 1化简得y 1y 2=−4t反之若y1y2=−4t,可得MN过定点(t,0)因此由M、N、F三点共线得y1y2=−4由M、D、A三点共线得y1y3=−8由N、D、B三点共线得y2y4=−8则y3y4=4y1y2=−16AB过定点（4,0）（下同方法一）若要使α−β最大则β∈(0,π2)设k MN=2k AB=2k>0则tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=k1+2k2=11k+2k≤2√1k⋅2k=√24当且仅当1k =2k即k=√22时等号成立所以当α−β最大时k AB=√22所以直线AB:x=√2y+4【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式简化了联立方程的运算通过寻找直线MN,AB的斜率关系由基本不等式即可求出直线AB的斜率再根据韦达定理求出直线方程是该题的最优解也是通性通法；法二：常规设直线方程点斜式解题过程同解法一；法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系快速找到直线AB过定点省去联立过程也不失为一种简化运算的好方法．已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)焦距为2√3．23 求椭圆E的方程；24 过点P(−2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点BC直线ABAC分别与x轴交于点MN当|MN|=2时求k的值．【答案】23 x24+y2=124 k=−4【分析】（1）依题意可得{b=12c=2√3c2=a2−b2即可求出a从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程设B(x1,y1)、C(x2,y2)联立直线与椭圆方程消元列出韦达定理由直线AB、AC的方程表示出x M、x N根据|MN|=|x N−x M|得到方程解得即可；【23题详解】解：依题意可得b=12c=2√3又c2=a2−b2所以a=2所以椭圆方程为x 24+y2=1；【24题详解】解：依题意过点P(−2,1)的直线为y−1=k(x+2)设B(x1,y1)、C(x2,y2)不妨令−2≤x1<x2≤2由{y−1=k(x+2)x24+y2=1消去y整理得(1+4k2)x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0所以Δ=(16k2+8k)2−4(1+4k2)(16k2+16k)>0解得k<0所以x1+x2=−16k2+8k1+4k2x1⋅x2=16k2+16k1+4k2直线AB的方程为y−1=y1−1x1x令y=0解得x M=x11−y1直线AC的方程为y−1=y2−1x2x令y=0解得x N=x21−y2所以|MN|=|x N−x M|=|x21−y2−x11−y1|=|x21−[k(x2+2)+1]−x11−[k(x1+2)+1]|=|x2−k(x2+2)+x1k(x1+2)|=|(x2+2)x1−x2(x1+2) k(x2+2)(x1+2)|=2|x1−x2||k|(x2+2)(x1+2)=2所以|x1−x2|=|k|(x2+2)(x1+2)即√(x1+x2)2−4x1x2=|k|[x2x1+2(x2+x1)+4]即√(−16k2+8k1+4k2)2−4×16k2+16k1+4k2=|k|[16k2+16k1+4k2+2(−16k2+8k1+4k2)+4]即81+4k2√(2k2+k)2−(1+4k2)(k2+k)=|k|1+4k2[16k2+16k−2(16k2+8k)+4(1+4k2)]整理得8√−k=4|k|解得k=−4十三、单选题(共3 分)25设抛物线E:y 2=8x 的焦点为F 过点M(4,0)的直线与E 相交于AB 两点与E 的准线相交于点C 点B 在线段AC 上|BF|=3则△BCF 与△ACF 的面积之比S△BCF S △ACF=（ ）A 14 B 15C 16D 17【答案】C 【分析】根据抛物线焦半径公式得到B 点横坐标进而利用抛物线方程求出B 点纵坐标直线AB 的方程求出C 点坐标联立直线与抛物线求出A 点纵坐标利用S △BCF S △ACF=BC AC =y 2−yC y 1−y C求出答案【详解】如图过点B 作BD 垂直准线x =−2于点D 则由抛物线定义可知：|BF|=|BD|=3 设直线AB 为x =my +4 A (x 1,y 1)B (x 2,y 2)C (−2,y C )不妨设m >0则y 1>0,y 2<0所以x 2+2=3解得：x 2=1则y 22=8x 2=8解得：y 2=−2√2则B(1,−2√2)所以−2√2m +4=1解得：m =3√24则直线AB 为x =3√24y +4所以当x =−2时即3√24y +4=−2解得：y C =−4√2则C(−2,−4√2)联立x =my +4与y 2=8x 得：y 2−8my −32=0则y 1y 2=−32 所以y 1=8√2其中S △BCF S △ACF=BC AC =y 2−yC y 1−y C=√212√2=16故选：C十四、解答题(共 6 分)已知抛物线C:x 2=2py (p >0)的焦点为F 且F 与圆M ：x 2+(y +4)2=1上点的距离的最小值为427 若点P 在M 上P APB 是C 的两条切线AB 是切点求△PAB 面积的最大值 【答案】26 2 27 20√5 【分析】（1）结合焦点F (0,p2)与圆M 的位置关系可得F 与圆M 的最小距离为|FM |−1即可求解； （2）设切点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)得到直线l PA ,l PB 的方程联立可得P (x 1+x 22，x 1x 24)设直线l AB ：y =kx +b 与抛物线进行联立可得x 1+x 2=4k,x 1x 2=−4b 故可得到S △PAB =4(k 2+b)32由点P 在圆上可得k 2=−b 2+8b−154代入面积即可求得范围【26题详解】由圆M ：x 2+(y +4)2=1可得圆心圆M (0,−4)半径为1 易得焦点F (0,p2)在圆M 外所以点F (0,p2)到圆M 上的点的距离的最小值为|FM |−1=p2+4−1=4解得p =2 【27题详解】由(1)知抛物线的方程为x 2=4y 即y =14x 2则y ′=12x ,设切点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)则易得直线l PA :y =x 12x −x 124直线l PB :y =x 22x −x 224,由{y =x 12x −x 124y =x 22x −x 224可得P (x 1+x 22，x 1x 24) 设直线l AB ：y =kx +b 联立抛物线方程消去y 并整理可得x 2−4kx −4b =0 ∴Δ=16k 2+16b >0即k 2+b >0且x 1+x 2=4k,x 1x 2=−4b∵|AB |=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√16k 2+16b 点P 到直线AB 的距离d =2√k 2+1∴S △PAB=12|AB |d =4(k 2+b)32①又点P(2k,−b)在圆M:x 2+(y +4)2=1上 故k 2=−b 2+8b−154代入①得S △PAB =4(−b 2+12b−154)32=4[−(b−6)2+214]32而y P =−b ∈[−5,−3]即b ∈[3,5] 因为y =−(b−6)2+214在区间[3,5]内单调递增且y =4x 32在定义域内单调递增所以S △PAB =4[−(b−6)2+214]32在区间[3,5]上单调递增∴当b =5时(S △PAB )max =20√5 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程设交点坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2)；（2）联立直线与圆锥曲线的方程得到关于x （或y ）的一元二次方程必要时计算Δ； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2（或y 1+y 2、y 1y 2）的形式； （5）代入韦达定理求解 十五、单选题(共 3 分)28过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l 交抛物线于AB 两点且|AF |>|BF |则|AF||BF|的值为（ ）A3 B2C 32D 43【答案】A 【分析】方法1根据抛物线焦点弦的性质直接计算作答方法2根据给定条件求出直线l 的方程再与抛物线方程联立结合抛物线定义求解作答 【详解】方法1：根据抛物线焦点弦的性质可知|AF|=p1−cos60∘=3方法2：抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F(p 2,0)准线方程：x =−p2 直线l 方程为：y =√3(x −p2)由{y =√3(x −p2)y 2=2px消去y 得：3x 2−5px +34p 2=0设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)因|AF |>|BF |即有x 1>x 2解得x 1=3p 2,x 2=p6所以|AF||BF|=x 1+p 2x 2+p 2=3p 2+p 2p 6+p 2=3故选：A十六、多选题(共 3 分)29已知O 为坐标原点抛物线E 的方程为y =14x 2E 的焦点为F 直线l 与E 交于AB 两点且AB 的中点到x 轴的距离为2则下列结论正确的是（ ） A E 的准线方程为y =−116 B |AB |的最大值为6C 若AF⃑⃑⃑⃑⃑ =2FB ⃑⃑⃑⃑⃑ 则直线AB 的方程为y =±√24x +1 D 若OA ⊥OB 则△AOB 面积的最小值为16 【答案】BCD 【分析】直接求出准线方程即可判断A 选项；由|AF |+|BF |=2|MN |=6以及抛物线的定义结合|AF |+|BF |≥|AB |即可判断B 选项；设出直线AB 的方程为y =kx +1联立抛物线由AF ⃑⃑⃑⃑⃑ =2FB ⃑⃑⃑⃑⃑ 解出A 点坐标即可判断C 选项；由OA ⊥OB 求得直线AB 恒过点(0,4)结合x 1x 2=−16即可求出面积最小值即可判断D 选项 【详解】由题意知E 的标准方程为x 2=4y 故E 的准线方程为y =−1 A 错误； 设AB 的中点为M 分别过点ABM 作准线的垂线垂足分别为CDN 因为M 到x 轴的距离为2所以|MN |=2+1=3由抛物线的定义知|AC |=|AF ||BD |=|BF |所以2|MN |=|AC |+|BD |=|AF |+|BF |=6 因为|AF |+|BF |≥|AB |所以|AB |≤6所以B 正确； 由AF⃑⃑⃑⃑⃑ =2FB ⃑⃑⃑⃑⃑ 得直线AB 过点F (0,1)直线AB 的斜率存在 设直线AB 的方程为y =kx +1联立方程得{y =kx +1,x 2=4y, 化简得x 2−4kx −4=0则x A x B =−4由于AF⃑⃑⃑⃑⃑ =2FB ⃑⃑⃑⃑⃑ 所以(−x A ,1−y A )=2(x B ,y B −1)得x A =−2x B 得x A =±2√2所以y A =14x A 2=2所以k =±√24直线AB 的方程为y =±√24x +1故C 正确；设A (x 1,y 1)B (x 2,y 2)由OA ⊥OB 得x 1x 2+y 1y 2=0又{y 1=x 124，y 2=x 224，所以x 1x 2+116(x 1x 2)2=0由题意知x 1x 2≠0所以x 1x 2=−16 又k AB =y 2−y1x 2−x 1=x 224−x 124x2−x 1=x 1+x 24故直线AB 的方程为y −y 1=x 1+x 24(x −x 1)由于y 1=x 124所以y =x 1+x 24x −x 1x 24=x 1+x 24x +4则直线AB 恒过点(0,4)所以S △OAB =12×4|x 1−x 2|=2√(x 1+x 2)2+64≥16 所以△AOB 面积的是小值为16故D 正确十七、填空题(共 9 分)30设抛物线x 2=2py(p >0)M 为直线y =−2p 上任意一点过M 引抛物线的切线切点分别为AB记ABM 的横坐标分别为x A ,x B ,x M 则下列关系：①x A +x B =2x M ；②x A x B =x M 2；③1x A+1x B=2xM其中正确的是________(填序号)． 【答案】① 【分析】利用导数几何意义求出切线MA,MB 的方程联立求出x A ,x B ,x M 的关系再逐一判断各个命题即得 【详解】由x 2=2py 得y =x 22p 求导得y ′=x p 则切线MA,MB 的斜率分别为xA p ,x B p而M(x M ,−2p)于是直线MA 的方程为y +2p =x A p(x −x M )直线MB 的方程为y +2p =x B p(x −x M )因此{x A22p+2p =x A p (x A −x M )x B22p+2p =x B p(x B −x M )则x A −x B p ⋅x M =x A 2−x B 22p而x A ≠x B 从而x A +x B =2x M ①正确；x M 2−x A x B =(x A +x B 2)2−x A x B =(x A −x B 2)2>0即x M 2>x A x B ②错误；当x M =0时③无意义 当x M ≠0时1x A+1x B−2x M=x A +x B x A x B−4xA +x B=(x A −x B )2xA xB (x A +x B )≠0③错误所以正确命题的序号是① 故答案为：①31已知A,B 为抛物线C:x 2=4y 上的两点M(−1,2)若AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 则直线AB 的方程为_________ 【答案】x +2y −3=0 【分析】由于AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 可得M 为中点则{x 1+x 2=−2y 1+y 2=4根据点差法即可求得直线AB 的斜率从而得方程．【详解】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)又M (−1,2) 因为AM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 所以{x 1+x 2=−2y 1+y 2=4又x 2=4y ,x 2=4y 则x 2−x 2=4y −4y 得x +x =4y 1−4y 2=−2则直线AB 的斜率为k =−12故直线AB 的方程为y −2=−12(x +1) 化简为x +2y −3=0．联立{x 2=4y x +2y −3=0 可得x 2+2x −6=0 Δ=28>0直线与抛物线有两个交点成立 故答案为：x +2y −3=0．32抛物线y 2=4x 的焦点为F 点P 在双曲线C ：x 24−y 22=1的一条渐近线上O 为坐标原点若|OF |=|PF |则△PFO 的面积为____ 【答案】√23##13√2 【分析】由双曲线的标准方程可求其渐近线方程则P 点坐标可设成只有一个参数m 的形式再由|OF |=|PF |可得m 的值则△PFO 的面积可求 【详解】抛物线y 2=4x 的焦点为F (10)双曲线C ：x 24−y 22=1的渐近线方程为x ±√2y =0不妨设P 在渐近x −√2y =0上可设P(√2m,m)m >0 由|OF |=|PF |可得 √(√2m-1)2+m 2=1解得m =2√23则△PFO 的面积为12|OF ||y P |=12×1×2√23=√23故答案为：√23。
直线与抛物线的相交问题
直线与抛物线的相交问题已知动点M 到定点F (1,0)的距离比M 到定直线x ＝－2的距离小1.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点F 任意作互相垂直的两条直线l 1，l 2，分别交曲线C 于点A ，B 和M ，N .设线段AB ，MN 的中点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点；(3)在(2)的条件下，求△FPQ 面积的最小值．解：(1)由题意可知，动点M 到定点F (1,0)的距离等于M 到定直线x ＝－1的距离，根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹C 是一条抛物线． 易知p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22. 由题意可设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝(2k 2＋4)2－4k 4＝16k 2＋16＞0.因为直线l 1与曲线C 交于A ，B 两点，所以x 1＋x 2＝2＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝4k .所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k 2，2k . 由题知，直线l 2的斜率为－1k ，同理可得点Q 的坐标为(1＋2k 2，－2k )．当k ≠±1时，有1＋2k 2≠1＋2k 2，此时直线PQ 的斜率k PQ ＝2k ＋2k 1＋2k 2－1－2k 2＝k 1－k 2. 所以直线PQ 的方程为y ＋2k ＝k 1－k 2(x －1－2k 2)， 整理得yk 2＋(x －3)k －y ＝0.于是，直线PQ 恒过定点E (3,0)．当k ＝±1时，直线PQ 的方程为x ＝3，也过点E (3,0)． 综上所述，直线PQ 恒过定点E (3,0)．(3)由(2)可得|EF |＝2，所以△FPQ 的面积S ＝12|FE |⎝ ⎛⎭⎪⎫2|k |＋2|k |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1|k |＋|k |≥4，当且仅当k ＝±1时，“＝”成立， 所以△FPQ 面积的最小值为4.。
小专题9__直线与抛物线的交点问题
《小专题9 直线与抛物线的交点问题》【例】如图，已知直线与x轴、y轴分别相交于点M，N，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且直线与抛物线的交点分别为点E，F.（1）求点M，N，A，B，C的坐标；（2）求点E，F的坐标；（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.针对训练1. 如图，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点C，D 是二次函数图象上关于对称轴对称的一对对称点，一次函数的图象经过点B，D. （1）求点D的坐标；（2）求二次函数、一次函数的解析式；（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.2.（黄冈中考）已知直线与抛物线y=x2-4x.（1）求证：直线与该抛物线总有两个交点；（2）设直线与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=-2时，求△OAB的面积.参考答案【例】解：（1）对于y=2x-2，当x=0时，y=-2；令y=0，即2x-2=0，解得x=1.点M，N的坐标分别为（1，0）和（0，-2）.对于y=x2，当x=0时，y=-6；令y=0，即，解得，点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（3，0），（0，一6）.（2）联立或点E，F的坐标分别为（-1，-4）和（4，6）.（3）由图象可知，当一1<x<4时，一次函数值大于二次函数值.针对训练1. 解：（1）由图得C（O，3），抛物线对称轴为直线x—-1，点D的坐标为（-2，3）.（2）由图可得，二次函数与x轴的两个交点分别为A（-3，0），B（1，0），故可设二次函数的解析式为y=（x+3）（x-1），将点C的坐标（0，3）代入二次函数的解析式可得-3=3，=-1.二次函数的解析式为y=-（x十3）（x-1）3.设一次函数的解析式为y=kx+b（k0），把D（-2，3），B（1，0一次函数的解析式为（3）由图象可知，当x<-2或x>1时，一次函数值大于二次函数值.2. 解：（1）证明：联立，化简，得. 故直线l与该抛物线总有两个交点.（2）当k=-2时，y=-2x+1.过点A轴于点F，过点B作BE x轴于点E.联立.解得或. 易求：直线y=-2x+1与x 轴的交点C 为=12O BE。
抛物线与直线的交点问题
For personal use only in study and research; not for commercial use抛物线与直线的交点问题1、 抛物线y=ax +bx+c 与直线y=m （坐标系中的水平直线）的交点问题：①把y=m 代入y=ax 2+bx+c 得ax 2+bx+c=m ，即ax 2+bx+（c-m ）=0此时方程的判别式△=b 2-4a(c-m)。
△＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m 有两个交点；△=0时有一个交点；△＜0时无交点。
②特殊情形：抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的交点问题：令y=0，则ax 2+bx+c=0此时方程的判别式△=b 2-4ac△＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点；△=0时有一个交点；△＜0时无交点。
2、抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 的交点问题：令ax 2+bx+c=kx+b ，整理方程得：ax 2+(b-k)x+（c-b ）=0此时方程的判别式△=(b-k)2-4a （c-b ）△＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 有两个交点；△=0时有一个交点；△＜0时无交点。
总结：判别式△的值决定抛物线与直线的交点个数。
3、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的交点位置问题：若ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点为（x 1，0）、（x 2，0）① 若x 1x 2＞0、x 1+x 2＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点右侧② 若x 1x 2＞0、x 1+x 2＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点左侧③ 若x 1x 2＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点分居于原点两侧4、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的两个交点距离公式若ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点（x 1，0）、（x 2，0）的距离为︱x 1-x 2︱=aac b 42 练习1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是－3和1，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是____________．2．已知二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为( )A ．k >－47B ．k <－47且k ≠0C ．k ≥－47D ．k ≥－47且k ≠03．若抛物线y ＝x 2－８x ＋c 顶点在x 轴上，则c 的值等于( )．A ．４B ．８C ．－４D ．１６4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的值恒为负值的条件是( )．A．a＞０, b2－４ac＜０B．a＜０, b2－４ac＞０C．a＞０, b2－４ac＞０D．a＜０, b2－４ac＜０5.直线y=3x－3与抛物线y=x2－x+1的交点的个数是______6．若抛物线y=（m－1）x2+2mx+m+2恒在x轴上方，则m_______．7．抛物线顶点C(２,)，且与x轴交于A、B两点，它们的横坐标是方程2x2－7x＋1＝０的两根，则S△ABC＝．8．直线y=2x1与抛物线y=x2的公共点坐标是______________．9、不等式x2-9＞０的解集为_________________；x2＞2x+1的解集为_____________.10．利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的根．11．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，－4），且过点B（3,0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．12．已知抛物线y＝x2＋ax＋a－2．(1)证明:此抛物线与x轴总有两个不同的交点;(2)求这两个交点间的距离;(用关于a的表达式来表达)(3)a取何值时,两点间的距离最小?13．已知抛物线y=－x2+（m－2）x+3（m+1）交x轴于A（x1，0），B（x2，0）两点，交y•轴正半轴于C点，且x1<x2，│x1│>│x2│，OA2+OB2=2OC+1．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线？如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由．仅供个人参考仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
直线与抛物线相交
当 Δ<0 且 k≠0，即 k>12时，方程（*）没有实数解，从而 直线 l 与抛物线没有公共点．
综上可得：当 k＝0 或 k＝12时，直线 l 与抛物线只有一个 公共点；当 k<12且 k≠0 时，直线 l 与抛物线有两个公共点；当 k>12时，直线 l 与抛物线没有公共点．
[一点通] 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝ 2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方 程：ax2＋bx＋c＝0．
3．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点
的横坐标为2, 则k＝
()
A．2或－1
B．－1
C．2
D．3
解析：由yy＝2＝k8xx－，2， 得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.
由Δ＝(4k＋8)2－16k2>0，得k>－1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4kk＋2 8＝4，
B．[－2,2]
C．[－1,1]
D．[－4,4]
解析：设直线方程为 y＝k(x＋2)，与抛物线方程联立，得
y2＝8x， y＝kx＋2，
消去 x 得到关于 y 的方程 ky2－8y＋16k＝0.
当 k＝0 时，上述方程有解，所以直线与抛物线有公共点；
当 k≠0 时，应有 Δ≥0，即 64－64k2≥0，解得－1≤k≤1 且 k≠0.
4 3
.两直线间的距离
为15|－8－(－43)|＝43.
法二：设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)， 该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为15|4m－3m2－8|＝35|(m－23)2＋290|. 当m＝23时，取得最小值43.
答案：A
直线与抛物线的交点问题-教师版
直线与抛物线的交点问题一、抛物线与坐标轴的交点1．抛物线22y ax ax c =++与x 轴交于A 、B （A 在B 左边），且4AB =，求A 、B 的坐标．【答案】可得对称轴1x =-，因为4AB =，所以()30A -，，()10B ， 2．抛物线226y x x m =++与x 轴交于A 、B ，且2AB =，求m 的值． 【答案】可得对称轴32x =-，因为2AB =，所以A 、B 点的坐标是502⎛⎫- ⎪⎝⎭，，102⎛⎫- ⎪⎝⎭， 代入可得1302m -+=，所以52m = 3．已知抛物线277y kx x =--的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围．【答案】依题意得492800k k ⎧∆=+⎨≠⎩≥，解得74k -≥且0k ≠ 一、直线与抛物线的交点4．直线23y x =+与抛物线2y x =交于A 、B 两点，求AB 的长．【答案】联立223y x y x =+⎧⎨=⎩，可得2230x x --=，所以()11A -，，()39B ，AB 5．已知直线l ：23y x =-与抛物线C ：215322y x x =++． （1）求证：抛物线C 与直线l 无交点．（2）若与直线l 平行的直线与抛物线C 只有一个公共点P ，求P 点的坐标．【答案】（1）联立21532223y x x y x ⎧=++⎪⎨⎪=-⎩，可得2111022x x ++=，100∆=-＜ 所以抛物线C 与直线l 无交点（2）设与直线l 平行的直线解析式为：23y x k =-+联立21532223y x x y x k⎧=++⎪⎨⎪=-+⎩，210k ∆=-因为与抛物线C 只有一个公共点∴2100k -=，5k =代入得211022x x ++= ∴1x =-∴()10P -，6．已知抛物线2y x h =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且OC AB =．（1）求此抛物线的解析式；（2）直线2y x b =+被抛物线截得线段长为230，求b 的值．【答案】 解：（1）如图由题意，OA OB =， OC AB =，12OA OB h ∴==-， ∴点B 坐标1(2h -，0)， 把点B 坐标代入2y x h =+得到，2104h h =+，解得4h =-或0（舍弃）， ∴抛物线的解析式为24y x =-．（2）设直线2y x b =+与抛物线24y x =-的交点为1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ． 由242y x y x b⎧=-⎨=+⎩消去y 得到2240x x b ---=， 122x x ∴+=，124x x b =--，由此可得1242y y b +=+，21216y y b =-， 22121212()()4420x x x x x x b ∴-=+-=+， 同理可得()()()2222121212()4424161680y y y y y y b b b -=+-=+--=+， 230EF =，4201680120b b ∴+++=，1b ∴=．。
直线与抛物线的交点问题
专题：直线与抛物线的交点问题1、抛物线322--=x x y 与x 轴交点是____________，与y 轴交点坐标是________________；2、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是－3和1，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是_______；3、假设关于x 的函数12y 2-+=x kx与x 轴仅有一个公共点，那么实数k 的值为__________．例1：求直线y=3x －3与抛物线y=x 2－x+1的交点坐标。
例2：抛物线13212-+=x x y 和直线k x y -= 〔1〕当k 为何值时，抛物线与直线有两个公共点？〔2〕当k 为何值时，抛物线与直线有一个公共点？〔3〕当k 为何值时，抛物线与直线没有公共点？练习：抛物线22+-=x x y 与直线b x y +=-2只有一个交点，求直线与抛物线的交点坐标。
例3：二次函数y=x 2+bx+c 的图象如下图，其顶点坐标为M 〔1，﹣4〕． 〔1〕求二次函数的解析式；〔2〕将二次函数的图象在x 轴下方的局部沿x 轴翻折，图象的其余局部保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象答复：当直线y=x+n 与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围．练习1:关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，k 为正整数．〔1〕求k 的值；〔2〕当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k ﹣1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；〔3〕在〔2〕的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的局部沿x 轴翻折，图象的其余局部保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象答复：当直线y=x+b 〔b ＜k 〕与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．练习2:抛物线322--=x x y 在自变量0>x 的局部图像为G ，直线l 的解析式为()52-+=x k y ，当直线l 与图像G 有两个交点时，求K 的取值范围。
中考数学压轴题-抛物线与直线的交点问题
中考数学压轴题专题 抛物线与直线交点问题教学目标：1、 经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图象与函数解析式之间的联系。
2、 理解图象交点与方程（或方程组）解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进一步培养学生数形结合思想。
3、 通过学生共同观察和讨论，进一步提高合作交流意识。
教学重点：1、体会方程与函数之间的联系。
2、理解抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点的条件。
教学难点：理解图象交点个数与方程（或方程组）解的个数之间的关系。
讲授方法：讲授与讨论相结合 教学过程：一、抛物线与x 轴的交点问题例1：已知：抛物线322--=x x y ，求抛物线与x 轴的交点坐标。
练习：1、已知：抛物线)1(3)2(2++-+-=m x m x y （1）求证：抛物线与x 轴有交点。
（2）如果抛物线与x 轴有两个交点，求m 的取值范围。
2、已知抛物线2y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负. （1）求抛物线的解析式.（2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （32，m ）和B （4，n ），求直线的解析式.方法总结：1、 抛物线与x 轴相交：抛物线c bx ax y ++=2的图象与x 轴相交 ）（002≠=++a c bx ax2.抛物线与x 轴的交点的个数（1 △抛物线与x 轴相交（2 △抛物线与x 轴相切（3 △抛物线与x 轴相离二、抛物线与平行于x 轴的直线的交点例2：求抛物线322--=x x y 与y =1的交点坐标 练习：已知：抛物线c x x y ++=22（1） 如果抛物线与y =3有两个交点，求c 的取值范围。
（2） 如果对于任意x ，总有y >3，求c 的取值范围方法总结：1、抛物线与平行于x 轴的直线相交抛物线c bx ax y ++=2的图象与平行于x 轴的直线相交⎩⎨⎧=++=my c bx ax y 2新的一元二次方程m c bx ax =++22.抛物线与平行于x 轴的直线的交点的个数（1 △抛物线与直线相交（2 △抛物线与直线相切（3 △抛物线与直线相离三：抛物线与直线的交点问题 例3：若抛物线221x y =与直线y =x +m 只有一个交点，求m 的值练习：已知:抛物线），（和点0,1-3-2A x x y =过点A 作直线l 与抛物线有且只有一个交点， 并求直线l 的解析式 方法总结：抛物线与直线相离没有交点与方程组没有解时抛物线与直线相切有一个交点与方程组有一组解时抛物线与直线相交有两个交点与时方程组有两组不同的解的解的数目来确定由的交点个数的图象与抛物线的图象一次函数⇔⇔⇔⇔⇔⇔⎩⎨⎧++=+=≠++=≠+=G l G l G l c bx ax y b kx y G a c bx ax y l k b kx y 22)0()0(例4：已知：抛物线c x x y ++=22（1） 当c =-3时，求出抛物线与x 轴的交点坐标（2） 当-2<x <1时，抛物线与x 轴有且只有一个交点，求c 的取值范围方法总结：线段与抛物线的交点，要结合直线与抛物线交点和函数的图象综合分析 练习：1、 抛物线222-m mx x y +=与直线y =2x 交点的横坐标均为整数，且m <2,求满足要求的m 的整数值2、 已知：抛物线14-2+=x x y ，将此抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线（1）求平移后的抛物线的解析式（2）请结合图象回答，当直线y =m 与这两条抛物线有且只有四个交点时，实数m 的取值范围3、已知二次函数23(1)2(2)2y t x t x =++++，在0x =和2x =时的函数值相等。
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课题:抛物线与直线的交点问题教学目标：1、 经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图象与函数解析式之间的联系。
2、 理解图象交点与方程（或方程组）解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进一步培养学生数形结合思想。
3、 通过学生共同观察和讨论，进一步提高合作交流意识。
教学重点：1、体会方程与函数之间的联系。
2、理解抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点的条件。
教学难点：理解图象交点个数与方程（或方程组）解的个数之间的关系。
讲授方法： 讲授与讨论相结合 教学过程：一、抛物线与x 轴的交点问题例1：已知：抛物线322--=x x y ，求抛物线与x 轴的交点坐标。
练习：1、已知：抛物线)1(3)2(2++-+-=m x m x y（1）求证：抛物线与x 轴有交点。
（2）如果抛物线与x 轴有两个交点，求m 的取值范围。
2、（2013房山一模23前两问）已知，抛物线2y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负. （1）求抛物线的解析式.（2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （32，m ）和B （4，n ），求直线的解析式.方法总结：1、 抛物线与x 轴相交：抛物线c bx ax y ++=2的图象与x 轴相交 ）（002≠=++a c bx ax2.抛物线与x 轴的交点的个数（1）有两个交点 △>0 抛物线与x 轴相交 （2）有一个交点 △=0 抛物线与x 轴相切 （3 △<0 抛物线与x 轴相离 二、抛物线与平行于x 轴的直线的交点例2：求抛物线322--=x x y 与y=1的交点坐标练习：已知：抛物线c x x y ++=22（1） 如果抛物线与y=3有两个交点，求c 的取值范围。
（2） 如果对于任意x ，总有y>3，求c 的取值范围方法总结：1、抛物线与平行于x 轴的直线相交c bx ax ++2的图象与平行于x 轴的直线相交⎩⎨⎧=++=my bx ax y 2 新的一元二次方程m c bx ax =++22.抛物线与平行于x 轴的直线的交点的个数（1 △>0 抛物线与直线相交（2 △=0 抛物线与直线相切（3 △<0 抛物线与直线相离 三：抛物线与直线的交点问题例3：若抛物线221x y =与直线y=x+m 只有一个交点，求m 的值 练习：已知:抛物线），（和点0,1-3-2A x x y =过点A 作直线l 与抛物线有且只有一个交点，并求直线l 的解析式 方法总结：抛物线与直线相离没有交点与方程组没有解时抛物线与直线相切有一个交点与方程组有一组解时抛物线与直线相交有两个交点与时方程组有两组不同的解的解的数目来确定由的交点个数的图象与抛物线的图象一次函数⇔⇔⇔⇔⇔⇔⎩⎨⎧++=+=≠++=≠+=G l G l G l cbx ax y b kx y G a c bx ax y l k b kx y 22)0()0(例4：已知：抛物线c x x y ++=22（1） 当c=-3时，求出抛物线与x 轴的交点坐标（2） 当-2<x<1时，抛物线与x 轴有且只有一个交点，求c 的取值范围方法总结：线段与抛物线的交点，要结合直线与抛物线交点和函数的图象综合分析 练习：1、 抛物线222-m mx x y +=与直线y=2x 交点的横坐标均为整数，且m<2,求满足要求的m 的整数值2、 已知：抛物线14-2+=x x y ，将此抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线（1）求平移后的抛物线的解析式（2）请结合图象回答，当直线y=m 与这两条抛物线有且只有四个交点时，实数m 的取值范围3、已知二次函数错误!未找到引用源。
，在错误!未找到引用源。
和错误!未找到引用源。
时的函数值相等。
（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数错误!未找到引用源。
的图象与二次函数的图象都经过点错误!未找到引用源。
，求错误!未找到引用源。
和错误!未找到引用源。
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请结合图象回答：当平移后的直线与图象错误!未找到引用源。
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4、已知关于x 的一元二次方程01422=-++k x x 有实数根，且k 为正整数（1） 求k 的值（2） 当此方程有两个非零的整数根时，关于x 的二次函数1422-++=k x x y 的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式（3） 在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答： 当直线)21k b b x y （+=与此图象有两个公共点时，b 的取值范围课堂小结：1、本节复习课主要复习直线与抛物线交点的问题，没有交点有一个交点，有两个交点，一元二次方程根的个数方程组相交⇔∆⇔=∆⇔∆∆⇔⇔⇔0002、在解题过程中，计算要求比较高，应夯实基础提高应用3、充分利用“图象”这个载体随时随地渗透数形结合的数学思想 1、（2013门头沟一模23）已知关于x 的一元二次方程21(2)2602x m x m +-+-=． （1）求证：无论m 取任何实数，方程都有两个实数根； （2） 当<3m 时，关于x 的二次函数21(2)262y x m x m =+-+-的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且2AB =3OC ，求m 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作直线l ∥x 轴，将二次函数图象在y 轴左侧的部分沿直线l 翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G ．请你结合图象回答：当直线13y x b =+与图象G 只有一个公共点时，b 的取值范围．2、（2013丰台一模23）二次函数2=++的图象如图所示，其顶点坐标为M(1,-4)．y x bx c（4）求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得=+与这个新图象有两个公共到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y x n点时，求n的取值范围．3、（2013昌平一模23）已知抛物线22=-+-+．y x kx k（1）求证：无论k为任何实数，该抛物线与x轴都有两个交点；（2）在抛物线上有一点P（m，n），n<0，OP=10，且线段OP与x轴正半轴所夹锐3，求该抛物线的解析式；角的正弦值为45（3）将（2）中的抛物线x轴上方的部分沿x轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新=-+与图形M有四个交点时，求b的取值范围.的图形M，当直线y x b4、（2013怀柔一模23） 已知关于x 的方程03)13(2=+++x k kx ．（1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根;（2）若二次函数3)13(2+++=x k kx y 的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数，求k 值;（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M ，直线y=－2x ＋9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围.5、（2013燕山一模23）己知二次函数)12(221-+-=t tx x y (t >1)的图象为抛物线1C ．⑴求证：无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点；⑵已知抛物线1C 与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧)，将抛物线1C 作适当的平移，得抛物线2C ：22)(t x y -=，平移后A 、B 的对应点分别为D (m ，n )，E (m ＋2，n )，求n 的值．⑶在⑵的条件下，将抛物线2C 位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折后，连同2C 在DE 上方的部分组成一个新图形，记为图形G ，若直线b x y +-=21(b <3)与图形G 有且只有两个公共点，请结合图象求b 的取值范围．6、（2013海淀一模23）在平面直角坐标系xOy中，抛物线22y mx mx n=-+与x轴交于A、B两点，点A的坐标为(2,0)-．（1）求B点坐标；（2）直线y=12x+4m+n经过点B.①求直线和抛物线的解析式；②点P在抛物线上，过点P作y轴的垂线l，垂足为(0,)D d．将抛物线在直线l上方的部分沿直线l翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G．请结合图象回答：当图象G与直线y=12x+4m+n只有两个公共点时，d的取值范围是．7、（2013顺义二模23）已知抛物线232y x mx=+-．（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；（2）若m为整数，当关于x的方程2320x mx+-=的两个有理数根都在1-与43之间（不包括-1、43）时，求m的值．（3）在(2）的条件下，将抛物线2y x mx=+-在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的32其余部分保持不变，得到一个新图象G，再将图象G向上平移n个单位，若图象G与过点（0，3）且与x轴平行的直线有4个交点，直接写出n Array的取值范围是．3、（2012海淀二模23）已知抛物线 2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点． （1）求m 的取值范围；（2）若m >1, 且点A 在点B 的左侧，OA : OB =1 : 3, 试确定抛物线的解析式； （3）设（2）中抛物线与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l //x 轴, 将抛物线在y 轴左侧的部分沿直线 l 翻折, 抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象. 请你结合新图象回答: 当直线13y x b =+与新图象只有一个公共点P (x 0, y 0)且 y 0≤7时, 求b 的取值范围.8（2012中考数学23）已知二次函数错误!未找到引用源。
在错误!未找到引用源。
和错误!未找到引用源。
时的函数值相等。
（5）求二次函数的解析式；（6）若一次函数错误!未找到引用源。
的图象与二次函数的图象都经过点错误!未找到引用源。
，求错误!未找到引用源。
和错误!未找到引用源。
的值；（7）设二次函数的图象与错误!未找到引用源。