工程数学第二次作业
工程数学(本科)形考任务答案
工程数学作业（一）答案第 2 章矩阵（一）单项选择题（每小题 2 分，共 20 分）⒈设，则（ D ）．A. 4B. － 4C. 6D. － 6⒉若，则（ A ）．A. B. － 1 C. D. 1⒊乘积矩阵中元素（ C ）．A. 1B. 7C. 10D. 8⒋设均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B ）．A. B.C. D.⒌设均为阶方阵，且，则下列等式正确的是（ D ）．A. B.C. D.⒍下列结论正确的是（ A ）．A. 若是正交矩阵，则也是正交矩阵B. 若均为阶对称矩阵，则也是对称矩阵C. 若均为阶非零矩阵，则也是非零矩阵D. 若均为阶非零矩阵，则⒎矩阵的伴随矩阵为（ C ）．A. B.C. D.⒏方阵可逆的充分必要条件是（ B ）．A. B. C. D.⒐设均为阶可逆矩阵，则（ D ）．A. B.C. D.⒑设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ A ）．A. B.C. D.（二）填空题（每小题 2 分，共 20 分）⒈7 ．⒉是关于的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 ．⒊若为矩阵，为矩阵，切乘积有意义，则为 5 × 4 矩阵．⒋二阶矩阵．⒌设，则⒍设均为 3 阶矩阵，且，则72 ．⒎设均为 3 阶矩阵，且，则－ 3 ．⒏若为正交矩阵，则 0 ．⒐矩阵的秩为 2 ．⒑设是两个可逆矩阵，则．（三）解答题（每小题 8 分，共 48 分）⒈设，求⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹．答案：⒉设，求．解：⒊已知，求满足方程中的．解：⒋写出 4 阶行列式中元素的代数余子式，并求其值．答案：⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：⑴；⑵；⑶．解：（ 1 ）（ 2 ）( 过程略 ) (3)⒍求矩阵的秩．解：（四）证明题（每小题 4 分，共 12 分）⒎对任意方阵，试证是对称矩阵．证明：是对称矩阵⒏若是阶方阵，且，试证或．证明：是阶方阵，且或⒐若是正交矩阵，试证也是正交矩阵．证明：是正交矩阵即是正交矩阵工程数学作业（第二次）第 3 章线性方程组（一）单项选择题 ( 每小题 2 分，共 16 分 )⒈用消元法得的解为（ C ）．A. B.C. D.⒉线性方程组（ B ）．A. 有无穷多解B. 有唯一解C. 无解D. 只有零解⒊向量组的秩为（ A ）．A. 3B. 2C. 4D. 5⒋设向量组为，则（ B ）是极大无关组．A. B. C. D.⒌与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（ D ）．A. 秩秩B. 秩秩C. 秩秩D. 秩秩⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（ A ）．A. 可能无解B. 有唯一解C. 有无穷多解D. 无解⒎以下结论正确的是（ D ）．A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D. 齐次线性方程组一定有解⒏若向量组线性相关，则向量组（ A ）可被该向量组其余向量线性表出．A. 至少有一个向量B. 没有一个向量C. 至多有一个向量D. 任何一个向量9 ．设 A ，Ｂ为阶矩阵，既是Ａ又是Ｂ的特征值，既是Ａ又是Ｂ的属于的特征向量，则结论（）成立．Ａ．是 AB 的特征值Ｂ．是 A+B 的特征值Ｃ．是 A － B 的特征值Ｄ．是 A+B 的属于的特征向量10 ．设Ａ，Ｂ，Ｐ为阶矩阵，若等式（Ｃ）成立，则称Ａ和Ｂ相似．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．（二）填空题 ( 每小题 2 分，共 16 分 )⒈当１时，齐次线性方程组有非零解．⒉向量组线性相关．⒊向量组的秩是３．⒋设齐次线性方程组的系数行列式，则这个方程组有无穷多解，且系数列向量是线性相关的．⒌向量组的极大线性无关组是．⒍向量组的秩与矩阵的秩相同．⒎设线性方程组中有 5 个未知量，且秩，则其基础解系中线性无关的解向量有２个．⒏设线性方程组有解，是它的一个特解，且的基础解系为，则的通解为．9 ．若是Ａ的特征值，则是方程的根．10 ．若矩阵Ａ满足，则称Ａ为正交矩阵．（三）解答题 ( 第 1 小题 9 分，其余每小题 11 分 )1 ．用消元法解线性方程组解：方程组解为２．设有线性方程组为何值时，方程组有唯一解 ? 或有无穷多解 ?解：］当且时，，方程组有唯一解当时，，方程组有无穷多解３．判断向量能否由向量组线性表出，若能，写出一种表出方式．其中解：向量能否由向量组线性表出，当且仅当方程组有解这里方程组无解不能由向量线性表出４．计算下列向量组的秩，并且（ 1 ）判断该向量组是否线性相关解：该向量组线性相关５．求齐次线性方程组的一个基础解系．解：方程组的一般解为令，得基础解系６．求下列线性方程组的全部解．解：方程组一般解为令，，这里，为任意常数，得方程组通解７．试证：任一４维向量都可由向量组，，，线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式．证明：任一４维向量可唯一表示为⒏试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解．证明：设为含个未知量的线性方程组该方程组有解，即从而有唯一解当且仅当而相应齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解9 ．设是可逆矩阵Ａ的特征值，且，试证：是矩阵的特征值．证明：是可逆矩阵Ａ的特征值存在向量，使即是矩阵的特征值10 ．用配方法将二次型化为标准型．解：令，，，即则将二次型化为标准型工程数学作业（第三次）第 4 章随机事件与概率（一）单项选择题⒈为两个事件，则（ B ）成立．A. B.C. D.⒉如果（ C ）成立，则事件与互为对立事件．A. B.C. 且D. 与互为对立事件⒊ 10 奖券中含有 3 中奖的奖券，每人购买 1 ，则前 3 个购买者中恰有 1 人中奖的概率为（ D ）．A. B. C. D.4. 对于事件，命题（ C ）是正确的．A. 如果互不相容，则互不相容B. 如果，则C. 如果对立，则对立D. 如果相容，则相容⒌某随机试验的成功率为, 则在 3 次重复试验中至少失败 1 次的概率为（ D ）．A. B. C. D.6. 设随机变量，且，则参数与分别是（ A ）．A. 6, 0.8B. 8, 0.6C. 12, 0.4D. 14, 0.27. 设为连续型随机变量的密度函数，则对任意的，（ A ）．A. B.C. D.8. 在下列函数中可以作为分布密度函数的是（ B ）．A. B.C. D.9. 设连续型随机变量的密度函数为，分布函数为，则对任意的区间，则（ D ）．A. B.C. D.10. 设为随机变量，，当（ C ）时，有．A. B.C. D.（二）填空题⒈从数字 1,2,3,4,5 中任取 3 个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为．2. 已知，则当事件互不相容时， 0.8 ，0.3 ．3. 为两个事件，且，则．4. 已知，则．5. 若事件相互独立，且，则．6. 已知，则当事件相互独立时，0.65 ， 0.3 ．7. 设随机变量，则的分布函数．8. 若，则 6 ．9. 若，则．10. 称为二维随机变量的协方差．（三）解答题1. 设为三个事件，试用的运算分别表示下列事件：⑴中至少有一个发生；⑵中只有一个发生；⑶中至多有一个发生；⑷中至少有两个发生；⑸中不多于两个发生；⑹中只有发生．解 : (1) (2) (3)(4) (5) (6)2. 袋中有 3 个红球， 2 个白球，现从中随机抽取 2 个球，求下列事件的概率：⑴ 2 球恰好同色；⑵ 2 球中至少有 1 红球．解 : 设= “ 2 球恰好同色”，= “ 2 球中至少有 1 红球”3. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是 2% ，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是 3% ，求加工出来的零件是正品的概率．解：设“第 i 道工序出正品”（ i=1,2 ）4. 市场供应的热水瓶中，甲厂产品占 50% ，乙厂产品占 30% ，丙厂产品占20% ，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为 90%,85%,80% ，求买到一个热水瓶是合格品的概率．解：设5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止．已知他每发命中的概率是，求所需设计次数的概率分布．解：……………………故 X 的概率分布是6. 设随机变量的概率分布为试求．解：7. 设随机变量具有概率密度试求．解：8. 设，求．解：9. 设，计算⑴；⑵．解：10. 设是独立同分布的随机变量，已知，设，求．解：工程数学作业（第四次）第 6 章统计推断（一）单项选择题⒈设是来自正态总体（均未知）的样本，则（ A ）是统计量．A. B. C. D.⒉设是来自正态总体（均未知）的样本，则统计量（ D ）不是的无偏估计．A. B.C. D.（二）填空题1 ．统计量就是不含未知参数的样本函数．2 ．参数估计的两种方法是点估计和区间估计．常用的参数点估计有矩估计法和最大似然估计两种方法．3 ．比较估计量好坏的两个重要标准是无偏性，有效性．4 ．设是来自正态总体（已知）的样本值，按给定的显著性水平检验，需选取统计量．5 ．假设检验中的显著性水平为事件（ u 为临界值）发生的概率．（三）解答题1 ．设对总体得到一个容量为 10 的样本值4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5,5.0, 3.5, 4.0试分别计算样本均值和样本方差．解：2 ．设总体的概率密度函数为试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数．解：提示教材第 214 页例 3矩估计：最大似然估计：，3 ．测两点之间的直线距离 5 次，测得距离的值为（单位： m ）：108.5 109.0 110.0 110.5 112.0测量值可以认为是服从正态分布的，求与的估计值．并在⑴；⑵未知的情况下，分别求的置信度为 0.95 的置信区间．解：（ 1 ）当时，由 1 －α＝ 0.95 ，查表得：- -- - 专业资料- 故所求置信区间为：（ 2 ）当 未知时，用 替代 ，查 t (4, 0.05 ) ，得故所求置信区间为： 4 ．设某产品的性能指标服从正态分布，从历史资料已知 ，抽查 10 个样品，求得均值为 17 ，取显著性水平，问原假设 是否成立． 解： ，由，查表得：因为> 1.96 ，所以拒绝 5 ．某零件长度服从正态分布，过去的均值为 20.0 ，现换了新材料，从产品中随机抽取 8 个样品，测得的长度为（单位： cm ）：20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5 问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（）．解：由已知条件可求得：∵ | T | < 2.62 ∴ 接受 H 0。
0931《工程数学》作业2参考答案
（0931）《工程数学》作业2参考答案一、填空题：1.123147015-. 2．964.. 3．=AB BA . 4．ABC . 5．23. 6. 12二、选择题：1．B 2．B 3．A 4．B 5．B三、按要求解答：1．计算行列式xy x y y x y x x yx y+++.解：1232()()2()2()xy x y x y y x y y x y x c c c x y x yx x yxy x y xy++++++++++21312()00x y y x y r r xy r r x yx++-----2()x yx y x y x-=+--22332()()2()x y x xy y x y =+-+-=-+2．求矩阵A 的秩，并求它的一个最高阶非零子式，其中321312131370518---⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A . 解：12323213113442213132131337051813441r r A r r -----⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪=--−−−−→-- ⎪⎪- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 213113442207119700001r r r r --⎛⎫- ⎪−−−−→--- ⎪ ⎪-⎝⎭所以()3R =A ，且3212137075--=≠是A 的一个最高阶非零子式。
3．判断方程组是否有解?⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-=++=++-.02,12,0,14332131321321x x x x x x x x x x x解 利用初等变换法求增广矩阵(,)=B A b 的秩.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----021111020111141321r r↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----0211110214130111 14131223r r r r r r -++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---030013201740011132r r ↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0300174013200111232r r - ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--03001113200111343r r +.3000110013200111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-因此()3,() 4.==r A r B 由于()(),≠r A r B 故原方程组无解.四、按要求计算：1．两射手彼此独立地向同一目标射击一次。
工程数学作业(第二次)hao
工程数学作业（第二次）(满分100分)第3章 线性方程组 第4章 矩阵的特征值及二次型（一）单项选择题(每小题2分，共16分)⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为（C ）．A. [,,]102-'B. [,,]--'722C. [,,]--'1122D. [,,]---'1122⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪（B ）．A. 有无穷多解B. 有唯一解C. 无解D. 只有零解 解：将增广矩阵进行初等行变换123212321232101602440244033403340⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--***⎣⎦⎣⎦⎣⎦增广矩阵的秩=系数矩阵的秩=3=未知量的个数，线性方程组有唯一解； 故B 正确。
⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为（A ）． A. 3 B. 2 C. 4 D. 5⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥,,,，则（B ）是极大无关组．A. αα12,B. ααα123,,C. ααα124,,D. α1解：[]123410111011101110010*******,,,01110111011101010*******αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1011101100100111011100100000000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以极大无关组是ααα123,,．故B 正确。
工程数学第2次作业(主观题)
工程数学第2次作业（主观题）
三、主观题(共14道小题)
30.判断（1）；（2）是否是五阶行列式D5 中的项。
参考答案：（1）是；（2）不是；
31.
设求的根。
参考答案：
行列式特点是：每行元素之和都等于a+b+c+x，那么，把二、三、四列
同时加到第
一列，并提出第一列的公因子a+b+c+x，便得到
二、三、四列-a依次减去第一列的-a、-b、-c倍得
32.
计算四阶行列式
参考答案：
D的第一行元素的代数余子式依次为
由行列式的定义计算得33.
用克莱姆法则解方程组
参考答案：
34.
35.
参考答案：
36. 用初等行变换把矩阵化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵。
参考答案：
上面最后一个矩阵就是阶梯形矩阵，对这个阶梯形矩阵再作初等行变换，就可以得到简单阶梯形矩阵，即
37. 讨论方程组
的可解性。
38.
参考答案：令
，则
A的阶梯形有零行，所以向量组线性相关。
39.
求方程组
的一个基础解系并求其通解。
参考答案：
对方程组的系数矩阵作初等行变换化成简单阶梯形矩阵：
原方程组的一个基础解系。
40.
a、b为何值时，线性方程组
有唯一解，无解或有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解？参考答案：
41.
把向量组
参考答案：
先得出正交向量组
正交向量组。
42.
设
，求A的特征值和特征向量。
参考答案：
43.用正交变换把二次型化为标准型。
参考答案：
二次型的矩阵
正交化得
位化得。
20101010《工程数学II—统计学》作业题
《工程数学II—统计学》作业题1. 随机事件与概率(1) 某市有50%的住户订日报，65%的住户订晚报，85%的住户至少订这两种报纸中的一种，试求同时订这两种报纸的住户所占的百分比。
(2) 有三个袋子，甲袋中有2个白球1个黑球，乙袋中有2个白球2个黑球，丙袋中有4个白球5个黑球，今任取一个袋子并从该袋中任取2个球，试计算这两个球均为白球的概率。
(3) 将a, b, b, i, i, l, o, p, r, t, y这11个字母随机地排成一排，试计算恰好排成单词probability的概率。
(4) 若事件A, B, C相互独立，且P(A) = 0.25，P(B) = 0.50，P(C) = 0.40，试计算事件A、B、C至少有一个发生的概率。
(5) 从6名候选人甲、乙、丙、丁、戊、己中选出四名委员，试计算甲、乙中最多有一人被选中的概率。
(6) 若10件产品中有4件次品，从中任取两件，发现有一件次品，试计算另一件也是次品的概率。
(7) 某型号的高射炮，每发炮弹击中飞机的概率0.6。
若每门高炮同时各射击一发炮弹，问至少要配备多少门炮，才能保证击落飞机的概率在99%以上？(8) 假设有两箱同种零件，第一箱装50件，其中有10件是一等品；第二箱装30件，其中有18件一等品。
现任取一箱，从中先后取出两个零件(不放回)，试求：1.先取出的零件是一等品的概率p；2.在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的仍然是一等品的概率q；3.第一次取出的是一等品，第二次取出的不是一等品的概率r。
(9) 一个系统由A、B、C、D、E五个独立元件组成，其连接方式如下图所示。
元件B 、C 、D 正常工作的概率为p ，元件A 、E 正常工作的概率为q 。
求：1. 系统正常工作的概率；2. 在系统正常工作的条件下，元件B 、C 、D 中只有一个正常工作的概率。
(10) 某商店将一种电子元件的包装做如下安排：每包装10个，甲类包每包办个次品，乙类包每包2个次品，丙类包每包4个次品。
第二次作业最新版
第二次作业最新版第二次作业1、设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>}B={<1,3>,<2,4>,<4,2>}求A∪B，A∩B，domA，domB，dom（A∪B），ranA，ranB, ran(A∩B), fld(A-B)（见书P140 13）解：A∪B={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>}A∩B={<2,4>}domA={1,2,3}domB={1,2,4}dom(A∪B)={1,2,3,4}ranA={2,3,4}ranB={2,3,4}ran(A∩B)={4}fld(A-B)={1,2,3}2、设A={a,b,c,d}, R1, R2为A上的关系，其中R1={,,}R2={,,,}求R1? R2，R2? R1，R12，R23 （见书P140 16）解：R1? R2={,}R2? R1={ }R12={,,}R23={,,}3、令f和g分别为从{1，2，3，4}到{a,b,c,d}和从{a,b,c,d}到{1，2，3，4}的两个函数，且满足f(1)=d, f(2)=c, f(3)=a, f(4)=b和g(a)=2, g(b)=1, g(c)=3, g(d)=2.则：（1）f 是双射函数吗？g呢？答：f是满射也是单射，所以是双射首先是满射，即对?y∈{a,b,c,d}都有x∈{1,2,3,4}，f(x)=y;再次，是单射，即对?x1，x2，x1≠x2，有f(x1) ≠f(x2)g既不是满射，也不是单射(根据满射和单射的定义加以说明，此处略)（2）f是满射函数吗？g呢？答：f是满射，g不是满射（3）f或g是否有反函数？若有，求出反函数。
答：f是双射，所以有反函数，而g没有f的反函数定义：f-1(a)=3, f-1(b)=4, f-1(c)=2, f-1(d)=13、有多少个十进制三位数的数字恰有一个5和一个7？（见书P250 3）4、从集合{1，2，…，9}中选取不同数字构成七位数，如果5和6不相邻，则有多少种方法？（见书P250 5）解：从{1,2, (9)4、设有k类明信片，且第i类明信片的张数是A i，i=1，2，…，k. 把它们全部送给n个朋友，问：有多少种方法（见书P251 12）5、求解递推方程：（见书P286 6（1））a n -9a n-1 +14a n-2=0 a0 = 3, a1 =16。
工程数学09-10-2B
中国矿业大学09-10学年第二学期《工程数学A 》试卷（B ）卷考试时间：100分钟 考试方式：闭卷1. (1)i i += ,它的主值为 .2. 2t 与cos t 卷积为 .3. sin(21)t +的傅氏变换为 。
4. 2()t r t t i e j t k =++ 的矢端曲线在1t =处的切线方程为法平面方程为 .5. 函数()22sin (1)z e z f z z z =+的奇点有 ，它们的类型分别为 。
6. 若11ln )(-+=s s s F ，则)(s F 的拉氏逆变换)(t f =___ _____。
二、计算题.(本题满分76分；)1（8分）设sin ,x v e y =，求出函数u ，使得()f z u iv =+解析。
2（8分）求矢量场2()A z y i z j yk =-++ 的矢量线方程。
3（10分）（1）求广义积分220sin t te tdt +∞-⎰的值。
（2）求函数30()sin 2tt f t e tdt -=⎰的拉氏变换 。
4 （12分）(1)计算积分 22zc e dz z z -⎰ 其中 C: 2z =,取正向。
(2)计算 11zc z e dz z -⎰，其中 C: 2z =,取正向。
5 （8分）证明矢量场(cos )(cos )sin A y xy i x xy j zk =++ 为保守场，并求其势函数。
6 （8分）计算下列函数在孤立奇点处的留数（1）5sin ()z f z z=（2）14()zz e e f z z -=。
7 （12分）将21()(1)(2)f z z z =--分别在以下圆环域内展开成洛朗级数。
（1） 12z <<； （2）；011z <-<。
8 （10分）求微分方程t e y y y -=-'+''32满足初始条件1)0(,0)0(='=y y 的解。
电大作业-工程数学考核作业(第二次)
第3章 线性方程组 第4章 矩阵的特征值及二次型一、单项选择题1 用消元法得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=-+20142332321x x x x x x 的解123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦为（C ） A []102'- B []722'-- C[]1122'-- D []1122'---2 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=++43362323231321x x x x x x x （B ）A 有无穷多解B 有唯一解C 无解D 只有零解注：经初等行变换，有()()3r A r A B ==,线性方程组有唯一解.3 向量组101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，121⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，304⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得秩为（A ） A 3 B 2 C 4 D 54 设向量组为11100α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，20011α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，31010α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，41111α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则（B ）是极大无关组。
A 21,ααB 321,,αααC 421,,αααD 1α 注：1011101110111011100100100010011101110111011100100101001000000000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦极大无关组为：321,,ααα或431,,ααα.5 A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组有解，则（A ）A )A A 秩（）秩（= B )A (A)秩秩（＜ C )A ((A)秩秩＞ D 1)A ((A)-=秩秩6 若某个线性方程组相应的齐次方程组只有零解，则该线性方程组（A ）A 可能无解B 有唯一解C 有无穷多解D 无解注：若线性方程组相应的齐次方程组只有零解只能说明：系数矩阵的秩等于未知量的个数，至于系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等不得而知。
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工程数学作业（第二次）(满分100分)第3章 线性方程组（一）单项选择题(每小题2分，共16分)⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为（C ）．A. [,,]102-'B. [,,]--'722C. [,,]--'1122D. [,,]---'1122 ⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪（B ）．A. 有无穷多解B. 有唯一解C. 无解D. 只有零解 ⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为（A ）． A. 3 B. 2 C. 4 D. 5⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥,,,，则（B ）是极大无关组．A. αα12,B. ααα123,,C. ααα124,,D. α1⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D ）． A. 秩()A =秩()A B. 秩()A <秩()A C. 秩()A >秩()A D. 秩()A =秩()A -1⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D. 齐次线性方程组一定有解⒏若向量组ααα12,,, s 线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出．A. 至少有一个向量B. 没有一个向量C. 至多有一个向量D. 任何一个向量（二）填空题(每小题2分，共16分)⒈当λ= 1 时，齐次线性方程组x x x x 121200+=+=⎧⎨⎩λ有非零解．⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性 相关 ．⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩是 3 ． ⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量ααα123,,是线性 相关 的．⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是21,αα．⒍向量组ααα12,,, s 的秩与矩阵[]ααα12,,, s的秩 相同 ．⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量，且秩()A =3，则其基础解系中线性无关的解向量有 2 个．⒏设线性方程组A X b =有解，X 0是它的一个特解，且AX =0的基础解系为X X 12,，则A X b =的通解为22110X k X k X ++．（三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分) 1．设有线性方程组λλλλλ11111112⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥x y z λ为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=++-+-↔22322222)1)(1()1)(2(00)1(1111111011111111111111111132312131λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλr r r r r r r r A ］∴ 当1≠λ且2-≠λ时，3)()(==A R A R ，方程组有唯一解当1=λ时，1)()(==A R A R ，方程组有无穷多解2．判断向量β能否由向量组ααα123,,线性表出，若能，写出一种表出方式．其中βααα=---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥8371027133********23,,, 解：向量β能否由向量组321,,ααα线性表出，当且仅当方程组βααα=++332211x x x 有解这里 []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⋯⋯⋯⋯−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------==5710117100041310730110123730136578532,,,321βαααA)()(A R A R ≠∴ 方程组无解∴ β不能由向量321,,ααα线性表出3．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关；（2）求出该向量组的一个极大无关组。
αααα1234112343789131303319636=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=----⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥,,, 解：[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⋯⋯⋯⋯−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=00000001800021101131631343393608293711131,,,4321αααα ∴该向量组线性相关4．求齐次线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341243205230112503540-+-=-+-+=--+-=++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 的一个基础解系． 解：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=+-+-+-+-++30000073140211450110314731407314021314053521113215213142321241312114335r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−+-+↔-000100001431001450100010002114310211450100030002114310211450123133432212131141r r r r r r r r∴ 方程组的一般解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=014314543231x x x x x 令13=x ，得基础解系 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10143145ξ5．求下列线性方程组的全部解．x x x x x x x x x x x x x x x 12341234124123452311342594175361-+-=-+-+=----=++-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=++-+-+-++00000002872140121790156144280287214028721401132511163517409152413113251423212413121214553r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−-0000000221711012179012141r ∴方程组一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=++-=2217112197432431x x x x x x令13k x =，24k x =，这里1k ，2k 为任意常数，得方程组通解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00211021210171972217112197212121214321k k k k k k k k x x x x6．求下列线性方程组的全部解．x x x x x x x x x x x x x x x x 123412341234123432638502412432---=-++=-+-+=--+--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=+-+++++-2612109039270018871048231901843101850188710612312314112141205183612314132124131215323r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−+-+-+---+331141100461501012442001136541100188710482319011365123300188710482319014323133434571931213r r r r r r r r r r⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−++-+-31101001001020001314110046150101244200134241441542111r r r r r r r ∴方程组解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==31124321x x x x（四）证明题(本题4分)⒏试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解．证明：设B AX =为含n 个未知量的线性方程组该方程组有解，即n A R A R ==)()(从而B AX =有唯一解当且仅当n A R =)(而相应齐次线性方程组0=AX 只有零解的充分必要条件是n A R =)(∴ B AX =有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组0=AX 只有零解。